P assive Fillter - Fritz Dellspergerfritz.dellsperger.net/downloads/FILTER 2012.pdf · Abbildung 10-3: Tiefpass-Bandpass Transformation 55 Abbildung 10-4: Tiefpass-Bandsperre Transformation

Pde

Passer Hoc

sivechfreq

F. D

0.

-50

-40

-30

-20

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B

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Dellsperger 2

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chnik

F. Dellsperger 2012

F. Dellsperger 2012

Inhaltsverzeichnis

1 Filter Jargon, Begriffe und Definitionen .............................................................................................. 1 1.1 Filteranwendungen ....................................................................................................................... 1 1.2 Filtertypen ..................................................................................................................................... 1 1.3 Approximationen, Filtercharakterisiken ........................................................................................ 4 1.4 Übertragungsfunktionen, Dämpfungsfunktionen .......................................................................... 5 1.5 Phasen- und Gruppenlaufzeit ....................................................................................................... 7 1.6 Sprungantwort, Impulsantwort ...................................................................................................... 8 1.7 Impedanzanpassung .................................................................................................................... 8

2 Einfache LC-Bandpassfilter .............................................................................................................. 10 2.1 Parallelkreis und kapazitiver Teiler ............................................................................................. 10 2.2 Parallelkreis und induktivem Teiler ............................................................................................. 13 2.3 2-Kreis Filter mit kapazitiver Kopplung für kleine Impedanzen .................................................. 15

3 Filter mit kritischer Dämpfung .......................................................................................................... 19 4 Bessel-Filter ..................................................................................................................................... 22 5 Gauss-Filter ...................................................................................................................................... 25 6 Raised Cosine Filter ......................................................................................................................... 29 7 Butterworth-Filter .............................................................................................................................. 33

7.1 Dimensionierung Butterworth: .................................................................................................... 38 8 Chebyshev-Filter .............................................................................................................................. 41

8.1 Dimensionierung Chebyshev: ..................................................................................................... 46 9 Filtervergleich ................................................................................................................................... 50 10 Skalierung, Transformationen .......................................................................................................... 52

10.1 Impedanz .................................................................................................................................... 52 10.2 Frequenz ..................................................................................................................................... 52 10.3 Tiefpass - Hochpass-Transformation ......................................................................................... 53 10.4 Tiefpass - Bandpass-Transformation ......................................................................................... 54 10.5 Tiefpass - Bandstop-Transformation .......................................................................................... 56

11 Netzwerktransformationen ............................................................................................................... 59 11.1 Norton-Transformationen ........................................................................................................... 59

11.1.1 Zusammenstellung der Norton-Transformationen .............................................................. 64 11.2 Impedanz- und Admittanzinverter (Immittanzinverter) ............................................................... 66

11.2.1 Praktische Realisierung von Impedanz- und Admittanzinvertern: ...................................... 69 11.2.2 Anwendungen von Impedanz- und Admittanzinvertern ..................................................... 71 11.2.3 Transformation des normierten Tiefpasses ........................................................................ 73 11.2.4 Bandpasstransformation mit Immittanzinvertern ................................................................ 74

12 Realisierung von Filtern mit planaren Leitungen (Mikrostrip)........................................................... 79 12.1 Richard’s Transformation ........................................................................................................... 84 12.2 Kuroda Identitäten ...................................................................................................................... 85 12.3 Tiefpassfilter ............................................................................................................................... 86

12.3.1 Stepped Impedance Tiefpassfilter ...................................................................................... 86 12.3.2 Tiefpassfilter mit Stubs ....................................................................................................... 94 12.3.3 Tiefpassfilter mit kommensurablen Leitungen .................................................................... 98

12.4 Hochpassfilter ........................................................................................................................... 101 12.4.1 Hochpassfilter mit „quasi konzentrierten“ Elementen ....................................................... 101 12.4.2 Hochpassfilter mit Stubs ................................................................................................... 101

12.5 Bandpassfilter ........................................................................................................................... 104 12.5.1 Bandpassfilter mit endgekoppelten Leitungen ................................................................. 105 12.5.2 Bandpassfilter mit parallel gekoppelten Leitungen ........................................................... 108 12.5.3 Zig-Zag und Hairpin Bandpassfilter .................................................................................. 112 12.5.4 Interdigital Bandpassfilter ................................................................................................. 115 12.5.5 Combline Bandpassfilter ................................................................................................... 123

13 Literatur zu Filter ............................................................................................................................ 128

F. Dellsperger 2012

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1-1: Dämfungsfunktion des idealen und realen Tiefpasses 1 Abbildung 1-2: Dämfpungsfunktion des realen Hochpasses 2 Abbildung 1-3: Dämpfungsfunktion des realen Bandpasses 2 Abbildung 1-4: Dämfpungsfunktion der realen Bandsperre 3 Abbildung 1-5: Diplexer 3 Abbildung 1-6: Beschalteter Zweitor 5 Abbildung 1-7: Quelle mit Leistungsanpassung 5 Abbildung 1-8: Tiefpass 7 Abbildung 1-9: Sprungfunktion 8 Abbildung 1-10: Dirac-Impuls 8 Abbildung 1-11: Impedanzanpassung 9 Abbildung 1-12: Beziehung zwischen Impedanzanpassung und Bandbreite 9 Abbildung 2-1: Parallelkreis mit kapazitivem Teiler 10 Abbildung 2-2: Netzwerkumformung 11 Abbildung 2-3: Simulationsergebnis für Beispiel 2–1 12 Abbildung 2-4: Parallelkreis mit induktivem Teiler 13 Abbildung 2-5: Umgeformtes Netzwerk 13 Abbildung 2-6: Simulationsergebnis für Beispiel 2–2 14 Abbildung 2-7: 2-Kreis Bandpass 15 Abbildung 2-8: Netzwerkumformung 16 Abbildung 2-9: Simulationsergebnis für Beispiel 2–3 18 Abbildung 2-10: Ersatzschaltung für C3 18 Abbildung 3-1: Blockschaltbild für Filter mit kritischer Dämpfung 19 Abbildung 3-2: Amplitudengang für Filter mit kritischer Dämpfung, n = 5 20 Abbildung 3-3: Sprungantwort für Filter mit kritischer Dämpfung 21 Abbildung 4-1: Amplitudengang des Bessel-Filters 23 Abbildung 4-2: Amplitudengang des Bessel-Filters im Durchlassbereich 24 Abbildung 4-3: Gruppenlaufzeit des Bessel-Filters 24 Abbildung 4-4: Sprungantwort des Bessel-Filters 24 Abbildung 5-1: Normierter Amplitudengang des Gauss-Filters 25 Abbildung 5-2: Normierte Impulsantwort des Gauss-Filters 26 Abbildung 5-3: Amplitudengang des Gauss-Filters 27 Abbildung 5-4: Amplitudengang des Gauss-Filters im Durchlassbereich 27 Abbildung 5-5: Gruppenlaufzeit des Gauss-Filters 27 Abbildung 5-6: Sprungantwort des Gauss-Filters 28 Abbildung 6-1: Amplitudengang des Raised-Cosine-Filters 29 Abbildung 6-2: Impulsantwort des Raised-Cosine-Filters 30 Abbildung 6-3: Amplitudengang des Raised-Cosine-Filters mit verschiedenen α 31 Abbildung 6-4: Log. Amplitudengang des Raised-Cosine-Filters mit verschiedenen α 31 Abbildung 6-5: Amplitudengang des Raised-Cosine- und Root-Raised-Cosine-Filters 31 Abbildung 6-6: Impulsantwort des Raised-Cosine-Filters mit verschiedenen α 32 Abbildung 6-7: Impulsantwort des Raised-Cosine-Filters mit drei aufeinander folgenden Impulsen 32 Abbildung 7-1: Beschalteter Zweitor 33 Abbildung 7-2: Dämpfungsfunktion des idealen und realen Tiefpasses 33 Abbildung 7-3: Approximation des Tiefpassverhaltens 34 Abbildung 7-4: Amplitudengang des Butterworth-Filters mit verschiedenen n 36 Abbildung 7-5: Amplitudengang des Butterworth-Filters im Durchlassbereich 37 Abbildung 7-6: Rückflussdämpfung des Butterworth-Filters mit verschiedenen n 37 Abbildung 7-7: Gruppenlaufzeit des Butterworth-Filters mit verschiedenen n 37 Abbildung 7-8: Sprungantwort des Butterworth-Filters mit verschiedenen n 38 Abbildung 7-9: Tiefpassschaltung, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie 38 Abbildung 7-10: Dämpfungsfunktion des Butterworth-Filters 38 Abbildung 7-11: normierter Tiefpass, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie 39 Abbildung 8-1: Fehlerfunktion 41 Abbildung 8-2: Amplitudengang und Rückflussdämpfung des Chebyshev-Filters mit verschiedenen n 44 Abbildung 8-3: Amplitudengang und Rückflussdämpfung des Chebyshev-Filters mit verschiedenen Ar 44 Abbildung 8-4: Amplitudengang des Chebyshev-Filters im Durchlassbereich, mit verschiedenen Ar 44 Abbildung 8-5: Gruppenlaufzeit des Chebyshev-Filters mit verschiedenen Ar 45

F. Dellsperger 2012

Abbildung 8-6: Sprungantwort des Chebyshev-Filters mit verschiedenen n 45 Abbildung 8-7: Tiefpassschaltung, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie 46 Abbildung 8-8: Dämpfungsfunktion des Chebyshev-Filters 46 Abbildung 8-9: normierter Tiefpass, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie 48 Abbildung 9-1: Vergleich des Amplitudengangs verschiedener Filter 50 Abbildung 9-2: Vergleich des Amplitudengangs im Durchlassbereich 50 Abbildung 9-3: Vergleich der Rückflussdämpfung verschiedener Filter 50 Abbildung 9-4: Vergleich der Gruppenlaufzeit verschiedener Filter 51 Abbildung 9-5: Vergleich der Sprungantwort verschiedener Filter 51 Abbildung 10-1: Tiefpass-Hochpass Transformation 53 Abbildung 10-2: Tiefpass-Bandpass Transformation 54 Abbildung 10-3: Tiefpass-Bandpass Transformation 55 Abbildung 10-4: Tiefpass-Bandsperre Transformation 56 Abbildung 11-1: Netzwerktransformation nach Norton 59 Abbildung 11-2: Transformation von zwei Kapazitäten 60 Abbildung 11-3: Transformiertes Netzwerk 60 Abbildung 11-4: Elimination des Transformators 61 Abbildung 11-5: Impedanzinverter (K-Inverter) und Admittanzinverter (J-Inverter) 66 Abbildung 11-6: Transformation von Reaktanzen mit Invertern 67 Abbildung 11-7: Allgemeine Transformation von Impedanzen und Admittanzen 67 Abbildung 11-8: λ/4-Leitung als Impedanz- und Admittanzinverter 69 Abbildung 11-9: K-Inverter mit Leitungen und Reaktanzen 69 Abbildung 11-10: J-Inverter mit Leitungen und Reaktanzen 70 Abbildung 11-11: K-Inverter mit Reaktanzen 70 Abbildung 11-12: J-Inverter mit Reaktanzen 70 Abbildung 11-13: Schmalbandiger K-Inverter 70 Abbildung 11-14: SchmalbandigerJ-Inverter 71 Abbildung 11-15: Serie-Paralleltransformation mit J-Invertern 71 Abbildung 11-16: Transformation Parallelschwingkreis in Serieschwingkreis 73 Abbildung 11-17: Tiefpasstransformation mit Immittanzinvertern 74 Abbildung 11-18: Bandpasstransformation mit Immittanzinvertern 75 Abbildung 11-19: Allgemeine Bandpasstransformation mit Immittanzinvertern 76 Abbildung 12-1: gewünschter Durchlassbereich und Periodizität eines Bandpassfilters 79 Abbildung 12-2: Designablauf für die Realisierung von Filtern mit Mikrostrip 80 Abbildung 12-3: Einige typische Substrate 81 Abbildung 12-4: Umrechnung mil - mm 82 Abbildung 12-5: Mikrostrip 82 Abbildung 12-6: Leitungen als Reaktanzen 83 Abbildung 12-7: Richard's Transformation 84 Abbildung 12-8: Richard's Transformation eines Tiefpassgliedes 85 Abbildung 12-9: Richard's Transformation eines Bandpassgliedes 85 Abbildung 12-10: Unit Element UE 85 Abbildung 12-11: Kuroda Identitäten 86 Abbildung 12-12: Stepped Impedance Tiefpassfilter 87 Abbildung 12-13: Kettenmatrix der Leitung und der Ersatzschaltbilder 87 Abbildung 12-14: Benachbarte Situation für eine Induktivität 88 Abbildung 12-15: Benachbarte Situation für eine Kapazität 89 Abbildung 12-16: Tiefpassfilter mit leerlaufenden Stubs 94 Abbildung 12-17: Dimensionierungsablauf für kommensurable Filter 99 Abbildung 12-18: Interdigital Kondensator 101 Abbildung 12-19: Strukturen für Bandpassfilter 104 Abbildung 12-20: Bandpassfilter mit endgekoppelten Leitungen und Ersatzschaltbild 105 Abbildung 12-21: Abmessungen 105 Abbildung 12-22: Bandpassfilter mit gekoppelten Leitungen 108 Abbildung 12-23: Eigenschaften der gekoppelten Leitung 108 Abbildung 12-24: Ersatzschaltbild der gekoppelten Leitung 109 Abbildung 12-25: Entwicklung der äquivalenten Schaltung 109 Abbildung 12-26: Abmessungen des Bandpassfilters mit gekoppelten Leitungen 109 Abbildung 12-27: Verschiedene Bauformen des Bandpassfilter mit parallel gekoppelten Leitungen. a): Inline, b): Zig-Zag, c) Hairpin 112

F. Dellsperger 2012

Abbildung 12-28: Entwicklung der Hairpin-Struktur aus der Inline-Struktur 113 Abbildung 12-29: Tapped Hairpin 113 Abbildung 12-30: Interdigitales Bandpassfilter 115 Abbildung 12-31: Layout und EM-Simulation zur Bestimmung des Kopplungskoeffizienten 117 Abbildung 12-32: Kopplungskoeffizient in Funktion des Leiterabstandes S, RO4350B 60mil 117 Abbildung 12-33: Kopplungskoeffizient in Funktion des Leiterabstandes S, RO4350B 30mil 117 Abbildung 12-34: Combline Bandpassfilter 123 Abbildung 12-35: Combline Filter mit Ein- und Auskopplungsleitungen 124 Abbildung 12-36: EM-Simulation zur Bestimmung des Kopplungskoeffizienten 125 Abbildung 12-37: Kopplungskoeffizient in Funktion des Leiterabstandes S, RO4350B 60mil 126

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1-1: Wichtigste Eigenschaften der Filter .......................................................................................... 4 Tabelle 3-1: Konstante η für Filter mit kritischer Dämpfung ....................................................................... 20 Tabelle 4-1: Bessel-Koeffizienten ............................................................................................................... 23 Tabelle 5-1: Normierte Elementwerte des Gauss-Filters ........................................................................... 26 Tabelle 7-1: Normierte Elementwerte für Butterworth-Filter ....................................................................... 40 Tabelle 8-1: Normierte Elementwerte für Chebyshev-Filter mit ar = 0.5 dB (RLmin = 9.6 dB) ................... 49 Tabelle 8-2: Normierte Elementwerte für Chebyshev-Filter mit ar = 0.1 dB (RLmin = 16.4 dB) ................. 49 Tabelle 8-3: Normierte Elementwerte für Chebyshev-Filter mit ar = 0.05 dB (RLmin = 19.4 dB) ............... 49 Tabelle 10-1: Tiefpass-Bandpass Transformation ..................................................................................... 55 Tabelle 10-2: Tiefpass-Bandsperre Transformation ................................................................................... 56 Tabelle 11-1: Zusammenstellung der Norton-Transformationen ............................................................... 65

2012 F. Dellsperger 1

1 Filter Jargon, Begriffe und Definitionen

In der Hochfrequenz- und Nachrichtentechnik werden zum Teil leicht andere Begriffe und Definitionen verwendet als in der Aktivfiltertechnik. Mit einer kurzen Einführung wird ein Überblick gegeben.

1.1 Filteranwendungen

Unterdrückung unerwünschter Frequenzen

Ausfilterung erwünschter Frequenzen

Trennung oder Summierung verschiedener Frequenzen

Impulsformung

Impedanzanpassung

1.2 Filtertypen

Tiefpass TP (Lowpass LP)

Ein idealer Tiefpass weist folgende Dämpfungsfunktion auf

( ) c

c

0 0A / dB

ω ωω

ω ω≤ ≤

=∞ < ≤ ∞

(1.1)

( )A / dBω

ωHω

minA

maxA

Cω

( )A / dBω

Cωω

Abbildung 1-1: Dämfungsfunktion des idealen und realen Tiefpasses

Reale Filter haben keinen so idealen Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich.

Der Frequenzbereich von c0 ω ω≤ ≤ heisst Durchlassbereich DB (Passband)

Der Frequenzbereich von Hω ω≤ ≤ ∞ heisst Sperrbereich SB (Stopband)

Der Frequenzbereich von c Hω ω ω≤ ≤ heisst Übergangsbereich ÜB (Transition)

Hω ist eine für jede Applikation zu spezifizierende Frequenz oberhalb cω .

Hochpass HP (Highpass HP)

Ein idealer Hochpass weist folgende Dämpfungsfunktion auf


( ) c

c

0A / dB

0

ω ωω

ω ω∞ ≤ ≤

=< ≤ ∞

(1.2)

00

ωCωHω

( )A / dBω

minA

maxA

Abbildung 1-2: Dämfpungsfunktion des realen Hochpasses

Bandpass BP (Bandpass BP)

Ein idealer Bandpass weist folgende Dämpfungsfunktion auf

( )a

a b

b

0

A / dB 0

ω ωω ω ω ω

ω ω

∞ ≤ <= ≤ ≤

∞ < ≤ ∞ (1.3)

00 aω

( )A / dBω

bωω

maxA

Abbildung 1-3: Dämpfungsfunktion des realen Bandpasses


Bandsperre (Bandstop BS)

Eine idealer Bandsperre weist folgende Dämpfungsfunktion auf

( )a

a b

b

0 0

A / dB

0

ω ωω ω ω ω

ω ω

≤ <= ∞ ≤ ≤

< ≤ ∞ (1.4)

00 aω

( )A / dBω

bωω

maxA

Abbildung 1-4: Dämfpungsfunktion der realen Bandsperre

Multiplexer (Multiplexer) sind Filterkombinationen zum Zusammenschalten oder Auftrennen mehrerer Frequenzen oder Frequenzbänder, z.B.:

TP

HP

Abbildung 1-5: Diplexer

Diese Filterkombinationen werden hier nicht behandelt.

Allpassfilter (Allpass) werden für Gruppenlaufzeitentzerrungen verwendet und haben einen konstanten Amplitudengang bei vorgegebener Gruppenlaufzeitcharakteristik.

Diese Filter werden hier nicht behandelt.

Für die Synthese von Filtern werden die gewünschten Filtertypen normalerweise in TP-Filter transformiert, als TP-Prototypfilter synthetisiert und anschliessend wieder in die Originalform mit gleichzeitiger Impedanz- und Frequenztransformation zurückgewandelt. Diese Methode erlaubt auch die Verwendung von Tabellen normierter Filterelemente (Filterkataloge).


1.3 Approximationen, Filtercharakterisiken

Die Dämpfungs- oder Übertragungsfunktionen können mit verschiedenen Approximationen an die idealen Filtertypen angenähert werden. In Hochfrequenzanwendungen werden hauptsächlich - Kritische Dämpfung - Butterworth - Chebyshev eingesetzt. Diese Filterapproximationen werden im Folgenden eingehender diskutiert.

In der Impulstechnik (digitale Modulationen) werden hauptsächlich - Bessel - Gauss - Raised Cosine eingesetzt. Diese Filterapproximationenen werden ebenfalls diskutiert, da sie in digitalen Modulationen sehr häufig zur Anwendung gelangen. Als Hochfrequenzfilter im Spektralbereich werden diese Typen kaum eingesetzt.

Weitere Filterapproximationen für den Spektralbereich sind - Invers Chebyshev - Elliptische Filter, Cauer Für diese Filter sei auf die Spezialliteratur verwiesen. Sie werden hier nicht diskutiert.

Filtercharakteristik Eigenschaften Vorteile Nachteile Kritische Dämpfung

Einfache Kaskadierung mit Verstärkern

Kein Überschwingen der Sprungantwort h(t), gutes Zeitverhalten

Geringe Flankensteilheit im ÜB

Butterworth Maximal flacher Verlauf im DB, Dämpfung im SB monoton steigend

Gutes Amplitudenverhalten im DB und SB


Chebyshev Welligkeit im DB, Dämpfung im SB monoton steigend

Gute Flankensteilheit im ÜB

Grosse Gruppenlauf-zeitänderung, schlechtes Zeitverhalten

Invers Chebyshev Maximal flacher Verlauf im DB, Welligkeit im SB

Sehr gute Flankensteilheit im ÜB


Elliptische Filter Welligkeit im DB und SB

Sehr gute Flankensteilheit im ÜB


Bessel Impulsformung Lineare Phase, konstante Gruppenlaufzeit im DB


Gauss Impulsformung Nahezu konstante Gruppenlaufzeit im DB Kein Überschwingen der Sprungantwort, ISI-arm


Raised Cosine Nyquist Filter, Impulsformung

ISI-frei Geringe Flankensteilheit im ÜB

Tabelle 1-1: Wichtigste Eigenschaften der Filter


DB: Durchlassbereich

SB: Sperrbereich

ÜB: Übergangsbereich

ISI: Intersymbol Interference

1.4 Übertragungsfunktionen, Dämpfungsfunktionen

Übertragungs-, Impedanz- und Admittanzfunktionen werden als rationelle Funktionen der komplexen Frequenz s dargestellt. s jσ ω= + (1.5)

In der allgemeinen Elektrotechnik werden Übertragungsfunktionen als Ausgangs- zu Eingangsgrösse beschrieben, z.B.

( ) ( )( )

2 mout 0 1 2 m

2 nin 0 1 2 n

U s a a s a s ........ a sG s

U s b b s b s ........ b s

+ + + += =

+ + + + (1.6)

Diese Übertragungsfunktion muss, wenn sie ein stabiles System beschreiben soll, Hurwitz sein, d.h. alle Pole müssen in der linken Halbebene von s (oder auf der jω -Achse, wenn keine Verluste

vorhanden sind) liegen.

In der Filtertheorie wird die Übertragungsfunktion manchmal auch als Verhältnis der Eingangs- zur Ausgangsgrösse beschrieben:

( ) ( )2 n

0 1 2 n2 m

0 1 2 m

b b s b s ........ b s1H s

G s a a s a s ........ a s

+ + + += =

+ + + + (1.7)

Damit werden die Pole von G(s) zu Nullstellen von H(s) und die Nullstellen von G(s) zu Polen von H(s).

RG

Zweitor R2U1U2UG

Abbildung 1-6: Beschalteter Zweitor

Weiter wird in der Filtertheorie nicht die tatsächlich vorhandene Spannung U1 für die Bestimmung der Übertragungsfunktion verwendet, sondern diejenige Spannung, die bei einer maximalen Leistungsübertragung vom Generator zur Last (Leistungsanpassung) vorhanden ist:

G 2av

G

u Ru

2 R= (1.8)

RG

UavUG R2

Abbildung 1-7: Quelle mit Leistungsanpassung

Für den häufig auftretenden Fall, dass G 2R R= , gilt


Gav

uu

2= (1.9)

Die Übertragungsfunktion lautet mit diesen Definitionen

( ) ( )( )

( )( ) ( )

av G 2

2 2 G 21

u s u s R 1H s

u s 2u s R S s= = = (1.10)

ijS : Streuparameter

Die üblicherweise verwendete Definition für die Leistungsübertragungsfunktion ist die Einfügungsdämpfung (Insertionloss)

2 2

20 G2

2 G 2 2

P uR

P R R u

= +

(1.11)

P2 ist die Leistung, die beim beschalteten Zweitor in R2 absorbiert wird P20 ist die Leistung in R2, wenn das Zweitor entfernt wird und R2 mit der Quelle und RG verbunden wird.

Auch hier wird bei Anpassung P20 durch Pav ersetzt. Pav ist die von der Quelle maximal verfügbare Leistung.

2

Gav

G

uP

4R= (1.12)

Die in der Filtertechnik verwendete Leistungsübertragungsfunktion av 2P / P wird Transducer loss

genannt.

( )( ) ( )

( ) ( )

22Gav 2

2 22 G 2 21

u jP R 1 1H j

P 4R u j G j S j

ωω

ω ω ω= = = = (1.13)

Meist wird die Leistungsübertragungsfunktion als Dämpfungsfunktion (Attenuation) in dB verwendet.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

21A / dB 10log H j 20log H j 20log G j 20log S jω ω ω ω ω= = = − = − (1.14)

Für verlustlose, reziproke Zweitore gilt weiter

2 2 2 2 2 2

11 21 11 21 21 11

11 22

12 21

1 S S S 1 S S 1 S

S S

S S

= + → = − → = −

=

=

(1.15)

Daraus ( ) ( )( )2

11A / dB 10log 1 Sω ω= − − (1.16)

Dies bedeutet auch, dass bei verlustlosen passiven Filtern Dämpfung nur durch Reflexion erzielt wird.

1 011 1

1 0

Z RS r

Z R

−= =

+ R0 = Bezugswiderstand (1.17)


1.5 Phasen- und Gruppenlaufzeit

Für einen Tiefpass gemäss untenstehendem Schaltbild gilt:

R0

UG R6C1

L2 L4

C3 C5 U6

Abbildung 1-8: Tiefpass

6

G

uarg rad

uϕ = (1.18)

die Phasenlaufzeit

ptϕω

= − (1.19)

und die Gruppenlaufzeit

g

dt

d

ϕω

= − (1.20)

Je nach Anwendung kann eine der Grössen von Bedeutung sein. Meistens ist die Gruppenlaufzeit von Bedeutung, weil nur wenn tg konstant ist, am Ausgang ein originalgetreues Abbild des Eingangssignales möglich ist.

Tiefpässe mit obiger Struktur haben ϕ = 0 für ω = 0. Für ω→ ∞ erhält man

n

rad2ω

πϕ→∞

→ n = Anzahl reaktive Elemente (1.21)

Da der grösste Teil des Phasenganges im Durchlassbereich vorhanden ist, kann die Gruppenlaufzeit sehr grob abgeschätzt werden mit

g1

nt

2

πω

≈ − ω1 = Grenzfrequenz (1.22)

Bei Bandpässen führt die gleiche Überlegung zur Abschätzung

gb a

nt

πω ω

≈ −−

(1.23)


1.6 Sprungantwort, Impulsantwort

Die Sprungantwort h(t) ist die Antwort eines Zweitors auf die Erregung mit einer Sprungfunktion σ(t).

t

0

1

Zweitor h(t)

( )tσ

Abbildung 1-9: Sprungfunktion

Die Impulsantwort g(t) ist die Antwort eines Zweitors auf eine Erregung mit einem Dirac-Impuls δ(t).

t

0

Zweitor g(t)

( )tδ

Abbildung 1-10: Dirac-Impuls

Diese Grössen stehen in folgenden Beziehungen zu einander:

( ) ( ) ( ) ( )t

0

dh tg t h t g d

dtτ τ= = (1.24)

( ) ( ) ( ) st

0

g t G s g t e dt+∞

−−• = (1.25)

( ) ( )G sh t

s−• (1.26)

1.7 Impedanzanpassung

Werden Filter für Impedanzanpassungen verwendet, sind die Resultate der Untersuchungen von R.M.Fano von grosser Bedeutung: Fano zeigt, dass der Wirkungsgrad der Übertragung und die Bandbreite bei der Impedanzanpassung einer reaktiven Last austauschbar sind.

Kleine Bandbreite → grosser Wirkungsgrad (kleiner Reflexionsfaktor)

Grosse Bandbreite → kleiner Wirkungsgrad (grosser Reflexionsfaktor)

( ) ( )( )

in Gin

in G

Z R

Z R

ωΓ ω

ω−

=+

(1.27)


verlustlosesAnpassungs-

netzwerkRL

RG

UG CL

Zin Abbildung 1-11: Impedanzanpassung

Nach Fano ist das bestens zu erreichende Resultat begrenzt durch

( ) L L0

1ln d

R C

πωΓ ω

∞

= (1.28)

Mit ( )0 1Γ ω≤ ≤ und ( ) 0Γ ω = für Anpassung, ist der Wirkungsgrad der Übertragung um so

grösser, je grösser ( )1

lnΓ ω

.

Aber die Fläche unter der Kurve von ( )1

lnΓ ω

kann nicht grösser als L LR C

π sein.

Wenn innerhalb einem Frequenzband von aω bis bω beste Anpassung erzielt werden soll, muss

ausserhalb a b 1ω ω ω Γ≤ ≤ = sein.

( )b

a L L

1ln d

R C

ω

ω

πωΓ ω

=

Damit finden wir für diesen Idealfall

( )b a L LR Ceπ

ω ωΓ−

−= für a bω ω ω≤ ≤ (1.29)

1Γ = für a b0 ,ω ω ω ω≤ < < ≤ ∞ (1.30)

Für den realen Fall bei gegebenem RL und CL zeigt untenstehende Skizze die Beziehung zwischen Impedanzanpassung und Bandbreite.

0

1

Γ

0ω b1ωω

a2ω a1ω b2ω

Abbildung 1-12: Beziehung zwischen Impedanzanpassung und Bandbreite


2 Einfache LC-Bandpassfilter

In vielen Anwendungen der diskreten Schaltungstechnik, z.B. Zwischenfrequenzverstärker, selektive Verstärker und Selektionsstufen bis ca. 200 MHz, werden vielfach einfache LC-Bandpassfilter verwendet, deren Dimensionierung nicht auf der Übertragungsfunktion basieren. Durch ihren einfachen Aufbau sind sie für einfache Anforderungen geeignet.

Zur Vereinfachung werden in den untenstehenden Gleichungen zum Teil Approximationen verwendet. Eine Optimierung der Schaltungen kann in einem Simulator erfolgen.

2.1 Parallelkreis und kapazitiver Teiler

Abbildung 2-1: Parallelkreis mit kapazitivem Teiler

Diese Schaltung ist geeignet für niederohmige Impedanz (R1) auf einer Seite und hochohmige Impedanz (R2) auf der anderen Seite.

Gleichungen aus Schwingkreistheorie und untenstehender Netzwerkumwandlung:

1 20 T

0 T 1 2

C C1X 2 f L C

2 f C C Cπ

π= = ≈

+

L LR Q X= (a)

1 L1 L 2

1 L

R' RR' / /R R (Anpassung)

R' R= =

+

L 21 L 2

L 2

R RR' R R

R R= >

−

2Tot 1 2 L

RR R' / /R / /R

2= =

Tot 0 2Tot

0

R f R BQ X

X B 2f= = → = (2.1)

0

XL

2 fπ= (2.2)

Tot0

1C

2 f Xπ= (2.3)

Aus (a) und (2.1):


2 LL

0

R Q BR

2f= (2.4)

L 21 L 2

L 2

R RR' R R

R R= >

− (2.5)

Aus Netzwerkumformung:

( )2

1 1 11 1 1 2

2 2 1

C C R'R' R 1 1 N 1 C C N 1

C C R

= + → = − = − → = −

1

1

R 'N

R= (2.6)

( )( )

221 2

Tot 21 2 2 2

C N 1C C N 1C C

C C C N 1 C N

− −= = =+ − +

Tot2

C NC

N 1=

− (2.7)

( )1 2C C N 1= − (2.8)

Netzwerkumformung:

R1 C1

C2

L R2RL

Par-Ser

R1s

C2

L R2RL

Ser-Par

C1s

R’1 CT L R2RL

Abbildung 2-2: Netzwerkumformung


Beispiel 2–1: Parallelkreis mit Impedanztransformation

Mittenfrequenz = 10.7 MHz, Bandbreite = 500 kHz, Güte der Induktivität = 120, R1 = 50 Ω, R2 = 500 Ω

Gegeben:

f0 10.7 MHz⋅:= B 0.5 MHz⋅:= QL 120:= R1 50 Ω⋅:= R2 500 Ω⋅:=

Berechnungen:

XR2 B⋅

2 f0⋅:=

X 11.682Ω⋅=

LX

2 π⋅ f0⋅:=

L 173.765nH⋅=

CTot1

2 π⋅ f0⋅ X⋅:=

CTot 1.273 nF⋅=

RL

R2 QL⋅ B⋅

2 f0⋅:=

RL 1.402 kΩ⋅=

R 1

RL R2⋅

RL R2−:=

R 1 777.202Ω⋅=

NR 1

R1:=

N 3.943=

C2

CTot N⋅

N 1−:=

C2 1.706 nF⋅=

C1 C2 N 1−( )⋅:=C1 5.02 nF⋅=

Simulationsergebnis:

Abbildung 2-3: Simulationsergebnis für Beispiel 2–1

9.5 10.0 10.5 11.0 11.59.0 12.0

-15

-10

-5

-20

0

freq, MHz

dB

(S(2

,1))

m1 m2

m3

dB

(S(1

,1))

BW

500.0 kEqn BW=indep(m2)-indep(m1)


2.2 Parallelkreis und induktivem Teiler

R1

L1

L2

C R2LQL

Abbildung 2-4: Parallelkreis mit induktivem Teiler

Abbildung 2-5: Umgeformtes Netzwerk

Diese Schaltung ist geeignet für niederohmige Impedanz (R1) auf einer Seite und hochohmige Impedanz (R2) auf der anderen Seite.

L LR Q X=

1 L1 L 2

1 L

R' RR' / /R R (Anpassung)

R' R= =

+

L 21 L 2

L 2

R RR' R R

R R= >

−

2Tot 1 2 L

RR R' / /R / /R

2= =

Tot 0 2Tot

0

R f R BQ X

X B 2f= = → = (2.9)

0

XL

2 fπ= (2.10)

0

1C

2 f Xπ= (2.11)

2 LL

0

R Q BR

2f= (2.12)

L 21 L 2

L 2

R RR' R R

R R= >

− (2.13)

21 1R' ü R=


1 1 2

1 1 1

R ' n n Lü

R n L

+= = = (2.14)

tot1 1

nLL n

ü ü= = (2.15)

Beispiel 2–2: Parallelkreis mit induktivem Teiler

Mittenfrequenz = 7.0 MHz, Bandbreite = 300 kHz, Güte der Induktivität = 100, R1 = 50 Ω, R2 = 1000 Ω

Gegeben:

f0 7 MHz⋅:= B 0.3 MHz⋅:= QL 100:= R1 50 Ω⋅:= R2 1000 Ω⋅:=

Berechnungen:

XR2 B⋅

2 f0⋅:=

X 21.429Ω=

LX

2 π⋅ f0⋅:=

L 487.209nH=

C1

2 π⋅ f0⋅ X⋅:=

C 1.061nF=

RL

R2 QL⋅ B⋅

2 f0⋅:=

RL 2.143kΩ=

R 1

RL R2⋅

RL R2−:=

R´1 1.875kΩ=

üR´1

R1:=

ü 6.124=

L1L

ü:=

L1 79.561nH=



6.2 6.4 6.6 6.8 7.0 7.2 7.4 7.6 7.86.0 8.0

-15

-10

-5

-20

0

freq, MHz

dB

(S(2

,1)) m3 m2

m1

dB

(S(1

,1))

BW

337.0 kEqn BW=indep(m2)-indep(m3)


2.3 2-Kreis Filter mit kapazitiver Kopplung für kleine Impedanzen

Abbildung 2-7: 2-Kreis Bandpass

Diese Schaltung ist geeignet für niederohmige Quelle und Last.

Für die Dimensionierung müssen bekannt sein:

Mittenfrequenz f0

Bandbreite B

Quellen- und Lastwiderstand R1, R2

Gewünschter Kopplungsfaktor K12 K12 > 1: überkrit. Kopplung K12 = 1: krit. Kopplung K12 < 1: unterkrit. Kopplung

Induktivität L muss gewählt werden. Empfehlung: XL = 5R R = grösserer Wert von R1, R2

Güte der Induktivität QL QL muss sein als Q0

Dimensionierungsgleichungen aus Schwingkreistheorie und untenstehender Netzwerkumwandlung:

0

5RL

2 fπ= (2.16)

00 12

fQ K

B= (2.17)

L 0X 2 f Lπ= (2.18)

3 0 LX Q X= − (2.19)

L 0m L

L 0

Q QR X

Q Q=

− (2.20)

3m

0

XX

Q 1=

− (2.21)

mn 2

m

m

RR

R1

X

=

+

(2.22)

2n 1

11 n

R RX

R R= −

− (2.23)


2n 2

52 n

R RX

R R= −

− (2.24)

2 2

m 1

m 12 m 12 2

m 1

m 1

R R

X XX X X

R R1 1

X X

= −

+ +

(2.25)

22

2m

5m4 m 52 2

m 2

m 5

RR

XXX X X

R R1 1

X X

= −

+ +

(2.26)

10 1

1C

2 f Xπ=

− (2.27)

20 2

1C

2 f Xπ=

− (2.28)

30 3

1C

2 f Xπ=

− (2.29)

40 4

1C

2 f Xπ=

− (2.30)

50 5

1C

2 f Xπ=

− (2.31)

Netzwerkumformung:

Abbildung 2-8: Netzwerkumformung


Beispiel 2–3: 2-Kreis Filter

Mittenfrequenz = 100 MHz, Bandbreite = 4 MHz, Güte der Induktivität = 100, R1 = 50 Ω, R2 = 50 Ω g

Gegeben:

f0 100 MHz⋅:= B 4 MHz⋅:= R1 50:= R2 50:= K12 1:= QL 100:= QL muss > Q 0 sein

Wahl von L: Empfehlung: XL ca. 5R1 LEmpf

5 R1⋅

2 π⋅ f0⋅:= LEmpf 397.887nH= L 390 nH⋅:=

Berechnungen:

Q0

f0 K12⋅

B:= Q0 25= XL 2 π⋅ f0⋅ L⋅:= XL 245.044=

X3 Q0− XL⋅:= X3 6.126− 103×= Rm XL

QL Q0⋅

QL Q0−⋅:= Rm 8.168 10

3×=

Xm

X3

Q0 1−:= Xm 255.254−=

Rn

Rm

1Rm

Xm

2

+

:= Rn 7.969=

X1

Rn R12⋅

R1 Rn−−:= X1 21.771−= X5

Rn R22⋅

R2 Rn−−:= X5 21.771−=

X2 Xm

Rm

Xm

2

1Rm

Xm

2

+

⋅ X1

R1

X1

2

1R1

X1

2

+

⋅−:= X2 236.704−=

X4 Xm

Rm

Xm

2

1Rm

Xm

2

+

⋅ X5

R2

X5

2

1R2

X5

2

+

⋅−:= X4 236.704−=

C11

2− π⋅ f0⋅ X1⋅:= C1 73.103pF= C5

1

2− π⋅ f0⋅ X5⋅:= C5 73.103pF=

C21

2− π⋅ f0⋅ X2⋅:= C2 6.724pF= C4

1

2− π⋅ f0⋅ X4⋅:= C4 6.724pF=

C31

2− π⋅ f0⋅ X3⋅:= C3 0.26pF=




Die Simulation zeigt eine leicht grössere Bandbreite als bei der Dimensionierung vorgegeben. Durch die Verkleinerung von C3 kann die Bandbreite reduziert werden. Da C3 bereits einen sehr kleinen Wert aufweist, empfiehlt sich der Ersatz von C3 durch einen kapazitiven Teiler. Mit der untenstehenden Schaltung kann die Kopplung kontinuierlich eingestellt werden.

Abbildung 2-10: Ersatzschaltung für C3

70 80 90 100 110 120 13060 140

-40

-30

-20

-10

-50

0

freq, MHz

dB

(S(1

,1))

dB

(S(2

,1))

96 97 98 99 100 101 102 103 10495 105

-15

-10

-5

-20

0

freq, MHz

dB

(S(1

,1))

dB

(S(2

,1))

m1

m2 m3

Eqn BW=indep(m3)-indep(m2)BW

5.800 M


3 Filter mit kritischer Dämpfung

Haupteigenschaften:

Weist kein Überschwingen der Sprungantwort h(t) auf

Geringe Flankensteilheit im Übergang zum Sperrbereich

Erhält man, wenn n Tiefpässe 1. Ordnung mit Entkopplung kaskadiert werden

11 1

TPnTP2TP1

Abbildung 3-1: Blockschaltbild für Filter mit kritischer Dämpfung

Die Übertragungsfunktion eines Tiefpasses 1. Ordnung lautet:

( )1

1G s reelle positive Konstante

1 sη

η= =

+ (3.1)

Die Übertragungsfunktion des Gesamtsystems lautet demnach

( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

1 2 n ii 1 i 1

1G s G s G s .......G s G s

1 sη= =

= = =+∏ ∏ (3.2)

In normierter Form mit

C C

sP j j

ω Ωω ω

= = = (3.3)

( )n n

i 1 i 1

1 1G p

1 P 1 jη ηΩ= =

= =+ +∏ ∏ (3.4)

Der Betrag ergibt sich zu

( )n

n n

2 2 2 2i 1 i 1

1 1 1G j

1 j 1 1Ω

ηΩ η Ω η Ω= =

= = = + + +

∏ ∏ (3.5)

( )n

2 2

1G j

1Ω

η Ω

= +

(3.6)


Bei ( )C1,Ω ω ω= = soll der Amplitudengang den Wert von 1/ 2 annehmen:

n

2

1 1

21 η

= +

(3.7)

Damit wird die reelle Konstante

1

n2 1η = − (3.8)

n η

1 1.00002 0.64363 0.50984 0.43505 0.38566 0.34997 0.32268 0.30089 0.2829

10 0.267911 0.255012 0.243913 0.2340

Tabelle 3-1: Konstante η für Filter mit kritischer Dämpfung

20 log G Ω( )( ).

Ω0.01 0.1 1 10 100

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Filter mit kritischer Dämpfung n=5

Abbildung 3-2: Amplitudengang für Filter mit kritischer Dämpfung, n = 5


U1(t) U2(t)

U1

0t

U2

0t

1 1

Abbildung 3-3: Sprungantwort für Filter mit kritischer Dämpfung

Beispiel 3–1: Tiefpassfilter 7. Ordnung mit kritischer Dämpfung

Bestimme die Filterkoeffizienten eines Tiefpassfilters 7. Ordnung mit kritischer Dämpfung. Grenzfrequenz = 5 kHz.

Das Filter kann auch beschrieben werden:

1. Ordn. 2. Ordn. 2. Ordn. 2. Ordn.

7. Ordn.

( ) 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1G p

1 P 1 2 P P 1 2 P P 1 2 P Pη η η η η η η= ⋅ ⋅ ⋅

+ + + + + + +

1 1

n 72 1 2 1 0.3226η = − = − =

( )3

2

1 1G p

1 0.3226P 1 0.6453P 0.1041P = ⋅ + + +

(normierte Filterkoeffizienten)

Für die Entnormierung erhält man:

( )3

21 2 2

1 1G s

1 s 1 s sα α β

= ⋅ + + +

mit C

sP

ω= :

6 61 2

C C

2 26

2C

0.3226 2 2 0.322610.27 10 s 20.54 10 s

2 5kHz 2 5kHz

0.32263.313 10 s

2 5kHz

− −

−

⋅= = = ⋅ = = = ⋅⋅ ⋅

= = = ⋅⋅

η ηα αω π ω π

ηβω π


4 Bessel-Filter

(Thomson-Filter, Maximally Flat Delay Filter)

Haupteigenschaften:

Weist im Durchlassbereich eine lineare Phasenänderung und damit konstante Gruppenlaufzeit gt auf

( ) ( )g

dt

d

ϕ ωω

ω= − (4.1)


Aus der allgemeinen Übertragungsfunktion eines Tiefpasses in normierter Form

( )n

2i 1 i i

1G P

1 a P b P=

=+ +∏ (4.2)

erhält man mit P jΩ=

( )n

2i 1 i i

1G j

1 b jaΩ

Ω Ω=

=− +∏ (4.3)

und damit die Phase

( ) ( ) ( )

nNenner i

2i 1 iNenner

Im G j aa tan a tan

1 bRe G j

Ω Ωϕ Ω

ΩΩ =

= − = − −

(4.4)

( ) ( )( )

2ni

i 2 2 2 4i 1 i i i

d 1 btg a

d 1 a 2b b

ϕ Ω ΩΩ

Ω Ω Ω=

+= − =

+ − + (4.5)

Für den Durchlassbereich 0 1Ω≤ ≤ gilt: 4 2Ω Ω<<

( ) ( )2n

ig i 2 2

i 1 i i

1 bt a

1 a 2b

ΩΩ

Ω=

+≈

+ − (4.6)

Diese Gleichung ist dann konstant (und damit die Gruppenlaufzeit konstant), wenn

2

2 ii i i i

ab a 2b b

3= − → = (4.7)

Diese Eigenschaft erfüllen Besselpolynome:

( )n n

i in i o i

i 0 i 1

B P P Pξ ξ ξ= =

= = + (4.8)


Die Übertragungsfunktion kann dann geschrieben werden

( ) ( )o

niin

i 1 o

1G P

B P1 P

ξξξ=

= =+

(4.9)

Die Koeffizienten können bestimmt werden mit

( )

( )i n i

2n i !i 0,1, ..... ,n

2 i! n i !ξ −

−= =

− (4.10)

Besselkoeffizienten iξ

i n 0 1 2 3 4 5 1 1 1 2 3 3 1 3 15 15 6 1 4 105 105 45 10 1 5 945 945 420 105 15 1

Tabelle 4-1: Bessel-Koeffizienten

11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB(S

21)

Ω

Abbildung 4-1: Amplitudengang des Bessel-Filters


11E-1 2E0

-4

-3

-2

-1

-5

0

dB(S

21)

Ω

Abbildung 4-2: Amplitudengang des Bessel-Filters im Durchlassbereich

11E-1 1E1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

0.6

tg,

s

cf 1Hz=

Ω

Abbildung 4-3: Gruppenlaufzeit des Bessel-Filters

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

1.2

time, sec

U2,

V

cf 1Hz=

Abbildung 4-4: Sprungantwort des Bessel-Filters


5 Gauss-Filter

Haupteigenschaften:

konstante Gruppenlaufzeit im DB und SB

kein Überschwingen der Sprungantwort h(t)


Das Gaussfilter ist kein Nyquistfilter, wird aber häufig bei digitalen Modulationen verwendet, z.B. GMSK (Gaussian Minimum Shift Keying).

Das Gaussfilter hat eine „weiche“ Impulsantwort ohne Nullduchgänge. Die Übertragungsfunktion ergibt eine glockenförmige Amplitudenverteilung um f = 0.

( )2 2

2f f0.3466

B BG f e eα − −

= ≈ (5.1)

mit ln2

ln 2 0.58872

α = = ≈ (5.2)

B = 3dB-Bandbreite = fc

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz/Hz

| G(

f )

|

.

Abbildung 5-1: Normierter Amplitudengang des Gauss-Filters

Für die Impulsantwort finden wir

( )2 2 2

2

t B

g t B eπ

απα

−= (5.3)


1 0.5 0 0.5 10

1

2

3

4

t /s

g(t)

.

Abbildung 5-2: Normierte Impulsantwort des Gauss-Filters

In der digitalen Modulationstechnik wird das Bandbreite-Bitdauer-Produkt BT verwendet

bBT B T= ⋅ B = 3dB-Bandbreite = fc (5.4)

Tb = Bitdauer

Die Übertragungsfunktion kann damit geschrieben werden

( )2

2

b

f

BT rG f eα

− ⋅ = b

b

1r Bitrate

T= = (5.5)

Für GSM (Global System Mobile, Natel D) werden Filter mit BT = 0.3 und für DECT (Digital European Cordless Telephone) mit BT = 0.5 verwendet.

n g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 2 0.47

38 2.1850

3 0.2624

0.8167

2.2262

4 0.1772

0.5302

0.9321

2.2450

5 0.1312

0.3896

0.6485

0.9782

2.2533

7 0.0830

0.2473

0.4059

0.5606

0.7333

1.0073

2.2582

9 0.0591

0.1761

0.2892

0.3973

0.5025

0.6134

0.7556

1.0137

2.2592

(normiert auf 1o1 rad s R 1Ω Ω−= ⋅ = )

Tabelle 5-1: Normierte Elementwerte des Gauss-Filters


Ω11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0dB

(S21

)

n=5

n=3

n=9 n=7

Abbildung 5-3: Amplitudengang des Gauss-Filters

Ω11E-1 2E0

-4

-3

-2

-1

-5

0

dB(S

21)

Abbildung 5-4: Amplitudengang des Gauss-Filters im Durchlassbereich

cf 1Hz=

11E-1 1E1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.0

0.5

tg,

s

Ω

Abbildung 5-5: Gruppenlaufzeit des Gauss-Filters


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

1.2

time, sec

u2

, Vcf 1Hz=

Abbildung 5-6: Sprungantwort des Gauss-Filters


6 Raised Cosine Filter

Haupteigenschaften:

kosinusförmiger Verlauf von G(f) im SB

ISI-frei, (ISI = Intersymbol Interference)

Das populärste Nyquistfilter in der Kommunikationstechnik

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

2

1 0 f 1

fG f cos 1 1 f 1

4 B

0 1 f

1 0 f 1

1 f1 cos 1 1 f 1

2 2 B

0 1 f

1 0 f 1

1 f1 sin 1 1 f 1

2 2 B

0 1 f

α

π α α αα

α

α

π α α αα

α

α

π α αα

α

≤ < −

= − − − ≤ ≤ + + < ≤ ∞

≤ < −

= + − − − ≤ ≤ +

+ < ≤ ∞

≤ < −

= − − − ≤ ≤ +

+ < ≤ ∞

(6.1)

Mit f

0 1B

Δα α= ≤ ≤ B = 50%-Bandbreit = 6dB-Bandbreite

0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/Hz

G( f )

.

Δf

Δf

B

Abbildung 6-1: Amplitudengang des Raised-Cosine-Filters

In digitalen Modulationssystemen ist nach Nyquist

s

1B

2T= Ts = Symboldauer (6.2)


Damit kann geschrieben werden

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

s

s

s s s

s

s

s

s s s

s

11 0 f

T

1 1T1 1G f 1 cos f f

2 2T T T

10 f

T

11 0 f

T

1 1T1 11 sin f f

2 T T T

10 f

T

α

α απ αα

α

α

α απα

α

−≤ <

− + − = + − ≤ ≤

+ < ≤ ∞

−≤ <

− + = − − ≤ ≤

+ < ≤ ∞

(6.3)

Für die zugehörige Impulsantwort erhält man

( ) s s2

ss

t tsin cos

T Tg t

t t1 2T T

π πα

πα

= ⋅ −

(6.4)

3 2 1 0 1 2 3

0

0.5

1

t/Ts

g(t)

.

Abbildung 6-2: Impulsantwort des Raised-Cosine-Filters

Mit zunehmendem α wird - Die Bandbreite grösser - Die Amplitude von g(t) im Bereich von sn T⋅ kleiner

Die Symbolrate die über ein solches Filter übertragen werden kann, ist

ss

1 2BR

T 1 α= =

+ (6.5)


Für HF-Kanäle steht die doppelte Bandbreite zur Verfügung, so dass gilt

HFs

BR

1 α=

+ (6.6)

1=α

0.5=

α0.35

=α

0 (ideal)=α

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0

1.0

mag

(S21

)

Ω

Abbildung 6-3: Amplitudengang des Raised-Cosine-Filters mit verschiedenen α

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0 2.0

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB(S

21)

Ω

1=α

0.5=α0.35=α

Abbildung 6-4: Log. Amplitudengang des Raised-Cosine-Filters mit verschiedenen α

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.80.0 2.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0.0

1.0

mag

(S21

)

Ω

0.35=α

RCosine RCosine

Abbildung 6-5: Amplitudengang des Raised-Cosine- und Root-Raised-Cosine-Filters


0

1

2

-1

3

Out

put

2 4 6 8 10 12 14 16 180 20

0

1

2

-1

3

Time

Out

put

1

2

3

0

4

Inpu

t

0

1

2

-1

3

Out

put

2 4 6 8 10 12 14 16 180 20

0

1

2

-1

3

Time

Out

put

0 .1=α

0.35=α

Abbildung 6-6: Impulsantwort des Raised-Cosine-Filters mit verschiedenen α

1

2

0

3

Inpu

t

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110 12

0

1

2

-1

3

Time

Out

put

Abbildung 6-7: Impulsantwort des Raised-Cosine-Filters mit drei aufeinander folgenden Impulsen


7 Butterworth-Filter

(Allpole-Filter, Maximally Flat, Potenzfilter)

Haupteigenschaften:

Maximal flacher Dämpfungsverlauf im DB

Dämpfung im SB monoton steigend

Schlechte Flankensteilheit im ÜB

RL

RG

UG U2U1

Abbildung 7-1: Beschalteter Zweitor

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )2 1

1 2

u s u s 1G s H s

u s u s G s= = = (7.1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2G s G s G s H s H s H s= − = − (7.2)

Dämpfungsfunktion:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

21A 10log H j 20log H j 20log G j 20log S jω ω ω ω ω= = = − = − (7.3)

Tiefpass:

00

00

ideal real

Durchlassbereich(Passband)

Sperrbereich(Stopband)

Hω

( )A / dBω

Cωω

maxA

minA

( )A / dBω

ωCω

Abbildung 7-2: Dämpfungsfunktion des idealen und realen Tiefpasses


Der ideale Tiefpass:

Im Durchlassbereich soll gelten: ( ) ( )H j 1 A 0 dBω = =

Im Sperrbereich soll gelten: ( )H jω = ∞

Um die Konstante von 1 zu eliminieren, wird die sogenannte Charakteristische Funktion K(s) eingeführt:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2 2

H s H s 1 K s K s

H j 1 K jω ω

− = + −

= +

(7.4)

Aus dieser Gleichung folgt, dass H(s) und K(s) das gleiche Nennerpolynom aufweisen müssen, d.h. beide Funktionen haben die gleichen Pole.

( ) ( )( )

( ) ( )( )

m sH s

N s

q sK s

N s

=

=

(7.5)

Die Dämpfungsfunktion ergibt sich zu

( ) ( ) ( )2 2A 10log H j 10log 1 K jω ω ω = = +

(7.6)

Wenn ( ) 2H jω = ∞ oder ( ) 2

K j Aω = ∞ → = ∞

Aber nur wenn ( ) 2K j 0 A 0ω = → =

Die Charakteristische Funktion ist also für die Beschreibung besser geeignet, weil die Konstante 1 nicht enthalten ist.

00 Hω

( )K jω

Cωω

ε

minK

Abbildung 7-3: Approximation des Tiefpassverhaltens


Durchlassbereich: ( )2maxA 10log 1 ε= + (7.7)

Sperrbereich: ( )2min minA 10log 1 K= + (7.8)

Zur Approximation des Tiefpassverhaltens können Butterworth-Polynome ( )nB ω , n-ter Ordnung

verwendet werden.

Die Eigenschaften dieser Polynome sollen sein:

( )nB ω ist ein Polynom n-ter Ordnung

( )nB 0 0=

( )nB ω ist maximal flach im Ursprung

( )nB 1 1=

Eigenschaft 1): ( ) 2 nn o 1 2 nB c c c ...... cω ω ω ω= + + + +

Eigenschaft 2): oc 0=

Eigenschaft 3): Bedeutet, dass im Ursprung so viele Ableitungen wie möglich Null sein sollen.

( )n 2 n 1

1 2 3 n

dBc 2c 3c ..... nc

d

ωω ω ω

ω−= + + + +

Damit muss 1c 0= sein und für höhere Ableitungen entsprechend höhere Koeffizienten.

Daraus resultiert: ( ) n

n nB cω ω=

Eigenschaft 4): nc 1=

Damit wird ( ) n

nB ω ω=

Mit

( ) ( )( )2A 10log 1 K jω ω= +

( )2

nC C

K j Bω ωω ε ε

ω ω

= =

erhalten wir:

( )2n

2

C

A 10log 1ωω ε

ω

= +

(7.9)


oder auf C

ωΩω

= normiert

( ) ( )2 2nA 10log 1Ω ε Ω= +

Diese Dämpfungsfunktion hat folgende Eigenschaften:

( )

( ) ( )2C max

A 0 0

A 10log 1 Aω ε

=

= + =

Mit dieser Gleichung finden wir

maxA

2 1010 1ε = − (7.10)

( )2n

2 HH min

C

A 10log 1 Aω

ω εω

= + =

(7.11)

Wird noch ε eingesetzt, erhält man nach n aufgelöst

maxmin AA

10 10

H

C

log 10 1 / 10 1

n

2logωω

− − =

(7.12)

11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB

(S2

1)

n=5

n=7

n=9

Ω

Abbildung 7-4: Amplitudengang des Butterworth-Filters mit verschiedenen n


11E-1 2E0

-4

-3

-2

-1

-5

0

dB(S

21)

Ω

Abbildung 7-5: Amplitudengang des Butterworth-Filters im Durchlassbereich

11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB

(S1

1)

Ω

n=5

n=7

n=9

Abbildung 7-6: Rückflussdämpfung des Butterworth-Filters mit verschiedenen n

11E-1 1E1

0.5

1.0

1.5

0.0

2.0

tg,

s

Ω

cf 1Hz=

Abbildung 7-7: Gruppenlaufzeit des Butterworth-Filters mit verschiedenen n


1 2 3 40 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

1.2

t, s

u, V

cf 1Hz=

Abbildung 7-8: Sprungantwort des Butterworth-Filters mit verschiedenen n

7.1 Dimensionierung Butterworth:

R0

g0

L2

g2

C1

g1

C3

g3

L4

g4

Cn

gn

Rn+1

gn+1

Ln

gn

Gn+1

gn+1

G0

g0

L1

g1

C2

g2

C4

g4

L3

g3

Gn+1

gn+1

Rn+1

gn+1

Ln

gn

Cn

gn

a)

b)

Abbildung 7-9: Tiefpassschaltung, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie

00 Hω

( )A / dBω

Cωω

CA

HA

Abbildung 7-10: Dämpfungsfunktion des Butterworth-Filters


2n

2

c

A( ) 10log 1ωω ε

ω

= +

(7.13)

cA2 1010 1ε = − 2

cA 3.01 dB : 1ε= = (7.14)

HA210

H

c

log 10 1 /

n

2log

ε

ωω

− =

(7.15)

Die Pole liegen auf dem Einheitskreis:

( ) ( )k

2k 1 2k 1p sin j cos k 1,2,....n

2n 2n

π π − −= − + =

(7.16)

Normierte Elementwerte:

( )0

k

n 1

g 1

2k 1g 2sin k 1,2,...n

2n

g 1

π

+

=

−= =

=

(7.17)

Die Elementwerte sind normiert auf:

0R ' 1 G' 1S ' 1Ω Ω= = = (7.18)

a)

b)

0R' 1 Ω=

1 1C' g F=

2 2L ' g H=

3 3C' g F=

4 4L ' g H=

n nC' g F=n 1 n 1R' g 1Ω Ω+ += = n 1 n 1

n 1 n 1

G' g S 1 S

R' 1/ G' 1 Ω+ +

+ +

= == =

n 1 n 1

n 1 n 1

G' g S 1 S

R' 1/ G' 1 Ω+ +

+ +

= == =

n 1 n 1R' g 1Ω Ω+ += =

n nL ' g H=

1 1L ' g H=0 0

0 0

G' g S 1 S

R' 1/ G' 1 Ω= == =

2 2C' g F=

3 3L ' g H=

4 4C' g F=

n nL ' g H=

n nC' g F=

Abbildung 7-11: normierter Tiefpass, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie


Entnormierung:

0k k k 0

0k k k 0

0k k k 0

c c

k k k0 c 0 c

RR g g R

R'

GG g g G

G'

R ' 1L g g R

R'

R' ' 1C g g

R R

Ωω ω

Ωω ω

= = = =

= =

= =

(7.19)

n g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12

3 1 1 2 1 1

4 1 0.7654 1.8478 1.8478 0.7654 1

5 1 0.6180 1.6180 2.0000 1.6180 0.6180 1

6 1 0.5176 1.4142 1.9319 1.9319 1.4142 0.5176 1

7 1 0.4450 1.2470 1.8019 2.0000 1.8019 1.2470 0.445 1

8 1 0.3902 1.1111 1.6629 1.9616 1.9616 1.6629 1.1111 0.3902 1

9 1 0.3473 1.0000 1.5321 1.8794 2.0000 1.8794 1.5321 1.0000 0.3473 1

10 1 0.3129 0.9080 1.4142 1.7820 1.9754 1.9754 1.7820 1.4142 0.9080 0.3129 1

11 1 0.2846 0.8308 1.3097 1.6825 1.9190 2.0000 1.9190 1.6825 1.3097 0.8308 0.2846 1

Tabelle 7-1: Normierte Elementwerte für Butterworth-Filter


8 Chebyshev-Filter

Haupteigenschaften:

Welligkeit im DB

Gute Flankensteilheit im Übergang zum Sperrbereich

Dämpfung im SB monoton steigend

Eine Funktion ( )h ω ist eine Chebyshev-Approximation von ( )f ω , wenn der Betrag des maximalen

Fehlers minimiert ist.

Die Fehlerfunktion

( ) ( ) ( )e f hω ω ω= −

hat dann die Eigenschaft, dass sie zwischen einem Maximal- und Minimalwert oszilliert.

Bω

( )e ω

−ω ω

B−ω

Abbildung 8-1: Fehlerfunktion

Für die Tiefpassapproximation soll im Durchlassbereich

B Bω ω ω− ≤ ≤

eine konstante Welligkeit erzielt werden.

Die Dämpfungsfunktion kann beschrieben werden als

( ) ( )( )2 2 2n

B

A 10log 1 K j 10log 1 Tωω ω ε

ω

= + = +

(8.1)

( ) 2 2 2n

B

K j Tωω ε

ω

=

(8.2)


Dabei ist ( )n nB

T T xω

ω

=

die Funktion eines Chebyshev-Polynoms n-ter Ordnung.

Die Eigenschaften von ( )nT x müssen sein:

( )nT x ist gerade (ungerade), wenn n gerade (ungerade)

( )nT x hat alle Nullstellen im Bereich 1 x 1− < <

( )nT x oszilliert zwischen 1± im Bereich 1 x 1− ≤ ≤

( )nT 1 1= +

Die Funktion

( ) ( )1nT x cos ncos x−= (8.3)

erfüllt diese Bedingungen.

Wir finden

( )( )

0

1

T x 1

T x x

=

=

Die Funktionen höherer Ordnungen können mit einer rekursiven Beziehung bestimmt werden:

( ) ( ) ( )n 1 n n 1T x 2xT x T x+ −= − (8.4)

Damit erhalten wir:

( )( )( )( )( )( )

22

33

4 24

5 35

6 4 26

7 5 37

T x 2x 1

T x 4x 3x

T x 8x 8x 1

T x 16x 20x 5x

T x 32x 48x 18x 1

T x 64x 112x 56x 7x

= −

= −

= − +

= − +

= − + −

= − + −

(8.5)


Beispiel 8–1: Darstellung von Chebyshev Funktionen

Stelle ( )2T x bis ( )6T x und ( )22T x bis ( )2

6T x für den Bereich 1.5 x 1.5− ≤ ≤ + dar und diskutiere die

Eigenschaften.

( )nT x für x>1: ( )1cos x− wird imaginär

da ( ) ( )1 1cos x jcosh x− −= und ( ) ( )cos jx cosh x= gilt:

( ) ( )( )( )( )( )( )

1n

1

1

T x cos ncos x

cos njcosh x

cosh ncosh x

−

−

−

=

=

=

( )( )( )

( )( )1

n 1

cos ncos x 1 x 1T x

cosh ncosh x 1 x 1

−

−

− ≤ ≤= − > >

T 5 x( )

x1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

T 6 x( )

x1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

T 5 x( )2

x1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

T 6 x( )2

x1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5


11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB(S

21)

dB

(S11

)

Ω

rA 0.5 dB=

Abbildung 8-2: Amplitudengang und Rückflussdämpfung des Chebyshev-Filters mit verschiedenen n

rA 0.05 dB=rA 0.1dB=rA 0.2 dB=rA 0.5 dB=rA 1dB=

n 7=

11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB(S

21)

dB(S

11)

Ω

Abbildung 8-3: Amplitudengang und Rückflussdämpfung des Chebyshev-Filters mit verschiedenen Ar

11E-1 2E0

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-2.0

0.0

dB(S

21)


n 7=

Ω

Abbildung 8-4: Amplitudengang des Chebyshev-Filters im Durchlassbereich, mit verschiedenen Ar


11E-1 1E1

1

2

3

0

4

tg,

s

c

n 7

f 1Hz

==


Ω

Abbildung 8-5: Gruppenlaufzeit des Chebyshev-Filters mit verschiedenen Ar

1 2 3 40 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

1.2

t, s

u, V

c

r

f 1Hz

A 0.5 dB

==

Abbildung 8-6: Sprungantwort des Chebyshev-Filters mit verschiedenen n


8.1 Dimensionierung Chebyshev:

R0

g0

L2

g2

C1

g1

C3

g3

L4

g4

Cn

gn

Rn+1

gn+1

Ln

gn

Gn+1

gn+1

G0

g0

L1

g1

C2

g2

C4

g4

L3

g3

Gn+1

gn+1

Rn+1

gn+1

Ln

gn

Cn

gn

a)

b)

Abbildung 8-7: Tiefpassschaltung, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie

00 Hω

( )A / dBω

Cωω

rA

HA

Abbildung 8-8: Dämpfungsfunktion des Chebyshev-Filters

rA2 1010 1ε = − (8.6)

Durchlassbereich:

2 2 1c

c

A( ) 10log 1 cos n cosωω ε ω ω

ω−

= + ⋅ ≤

(8.7)

rrmin AA

1010

1 1RL 20log 10log

1 101 10−−

= =−−

( )min

2r RL

10

1A 10log 1 10log 1

10

= − − = +

ε (8.8)

( ) 11RL Re turnloss Rückflussdämpfung 20log S= = −


Sperrbereich:

2 2 1c

c

A( ) 10log 1 cosh n coshωω ε ω ω

ω−

= + ⋅ ≥

(8.9)

HA

101

2

1 H

c

10 1cosh

n

cosh

εωω

−

−

−

=

(8.10)

1

3dB c

1cosh

coshn

εω ω

−

=

(8.11)

Eigenschaften:

n gerade: n/2 Frequenzen mit A = 0

n 1 0

n 1 0

R R

G G+

+

≠≠

n ungerade: (n+1)/2 Frequenzen mit A = 0

n 1 0

n 1 0

R R

G G+

+

==

Normierte Elementwerte:

0

11

k 1 kk

k 1 k 1

n 1 2

g 1

2ag

q

4a ag k 2,3,...n

b g

1 n ungerade

g mcoth n gerade

4

−

− −

+

=

=

⋅= =

⋅

=

(8.12)

r r

r

1

A Am ln coth ln coth

40 log e 17.372

Aln coth

40 log em 1 1q sinh sinh sinh sinh

2n 2n n−

= = ⋅

⋅ = = =

ε

(8.13)


( )k

2 2k

2k 1a sin k 1,2,...n

2n

kb q sin

n

−= =

= +

π

π (8.14)

Die Elementwerte sind normiert auf:

0 0R ' 1 G' 1S ' 1Ω Ω= = = (8.15)

a)

b)

0R' 1 Ω=

1 1C' g F=

2 2L ' g H=

3 3C' g F=

4 4L ' g H=

n nC' g F=n 1 n 1R' g 1Ω Ω+ += = n 1 n 1

n 1 n 1

G' g S

R' 1/ G' Ω+ +

+ +

==

n 1 n 1

n 1 n 1

G' g S 1 S

R' 1/ G' 1 Ω+ +

+ +

= == =

n 1 n 1R' g Ω+ +=

n nL ' g H=

1 1L ' g H=0 0

0 0

G' g S 1 S

R' 1/ G' 1 Ω= == =

2 2C' g F=

3 3L ' g H=

4 4C' g F=

n nL ' g H=

n nC' g F=

Abbildung 8-9: normierter Tiefpass, a): erstes Element parallel, b): erstes Element serie

Entnormierung:

0k k k 0

0k k k 0

0k k k 0

c c

k k k0 c 0 c

RR g g R

R'

GG g g G

G'

R ' 1L g g R

R'

R' ' 1C g g

R R

Ωω ω

Ωω ω

= = = =

= =

= =

(8.16)

Die Pole liegen auf einer Ellipse:

( ) ( )k

1

2k 1 2k 1p sin sinh P j cos cosh P

2n 2n

1 1P sinh k 1,2,...n

n

π π

ε−

− −= − ⋅ + ⋅

= =

(8.17)


n g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12

3 1 1.5963 1.0967 1.5963 1

4 1 1.6703 1.1926 2.3661 0.8419 1.9841

5 1 1.7058 1.2296 2.5408 1.2296 1.7058 1

6 1 1.7254 1.2479 2.6064 1.3137 2.4758 0.8696 1.9841

7 1 1.7373 1.2582 2.6383 1.3443 2.6383 1.2582 1.7373 1

8 1 1.7451 1.2647 2.6564 1.3590 2.6964 1.3389 2.5093 0.8796 1.9841

9 1 1.7504 1.2690 2.6678 1.3673 2.7239 1.3673 2.6678 1.2690 1.7504 1

10 1 1.7543 1.2721 2.6754 1.3725 2.7392 1.3806 2.7231 1.3485 2.5239 0.8842 1.9841

11 1 1.7571 1.2743 2.6808 1.3760 2.7487 1.3880 2.7487 1.3760 2.6808 1.2743 1.7571 1

Tabelle 8-1: Normierte Elementwerte für Chebyshev-Filter mit ar = 0.5 dB (RLmin = 9.6 dB)

n g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 3 1 1.0316 1.1474 1.0316 1

4 1 1.1088 1.3062 1.7704 0.8181 1.3554

5 1 1.1468 1.3712 1.9750 1.3712 1.1468 1

6 1 1.1681 1.4040 2.0562 1.5171 1.9029 0.8618 1.3554

7 1 1.1812 1.4228 2.0967 1.5734 2.0967 1.4228 1.1812 1

8 1 1.1898 1.4347 2.1199 1.6010 2.1699 1.5641 1.9445 0.8778 1.3554

9 1 1.1957 1.4426 2.1346 1.6167 2.2054 1.6167 2.1346 1.4426 1.1957 1

10 1 1.1999 1.4482 2.1444 1.6266 2.2253 1.6419 2.2046 1.5822 1.9628 0.8853 1.3554

11 1 1.2031 1.4523 2.1514 1.6332 2.2378 1.6559 2.2378 1.6332 2.1514 1.4523 1.2031 1


n g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 g11 g12 3 1 0.8794 1.1132 0.8794 1

4 1 0.9588 1.2970 1.6078 0.7734 1.2396

5 1 0.9984 1.3745 1.8283 1.3745 0.9984 1

6 1 1.0208 1.4141 1.9183 1.5475 1.7529 0.8235 1.2396

7 1 1.0346 1.4369 1.9637 1.6162 1.9637 1.4369 1.0346 1

8 1 1.0436 1.4514 1.9899 1.6503 2.0457 1.6053 1.7992 0.8419 1.2396

9 1 1.0499 1.4611 2.0065 1.6698 2.0858 1.6698 2.0065 1.4611 1.0499 1

10 1 1.0544 1.4679 2.0177 1.6820 2.1085 1.7009 2.0851 1.6277 1.8197 0.8506 1.2396

11 1 1.0578 1.4729 2.0257 1.6903 2.1227 1.7184 2.1227 1.6903 2.0257 1.4729 1.0578 1



9 Filtervergleich

Ω11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB(S

21)

c

r

n 5

f 1Hz

A 0.5dB (Cheb)

===

Butterworth

Gauss

Bessel

Abbildung 9-1: Vergleich des Amplitudengangs verschiedener Filter

11E-1 2E0

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-2.0

0.0

dB(S

21)

c

r

n 5

f 1Hz

A 0.5dB (Cheb)

===

Ω

Abbildung 9-2: Vergleich des Amplitudengangs im Durchlassbereich

11E-1 1E1

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-100

0

dB(S

11)

c

r

n 5

f 1Hz

A 0.5dB (Cheb)

===

Ω

Abbildung 9-3: Vergleich der Rückflussdämpfung verschiedener Filter


11E-1 1E1

0.5

1.0

1.5

0.0

2.0

tg,

s

c

r

n 5

f 1Hz

A 0.5dB (Cheb)

===

Ω

Abbildung 9-4: Vergleich der Gruppenlaufzeit verschiedener Filter

1 2 3 40 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

1.2

time, sec

u, V

c

r

n 5

f 1Hz

A 0.5dB (Cheb)

===

Abbildung 9-5: Vergleich der Sprungantwort verschiedener Filter


10 Skalierung, Transformationen

10.1 Impedanz

Alle Impedanzen mit gleichem Faktor multiplizieren.

0 El k kk

1R a Z a j L a a

j Cω

ω⋅ = ⋅ = = (10.1)

b ab a b a

a b

R RL L C C

R R= = (10.2)

10.2 Frequenz

Alle Elementimpedanzen müssen bei verschiedenen Grenzfrequenzen konstant bleiben.

a b a bc a c b c a c bL L C Cω ω ω ω= = (10.3)

a a

b b

c c

b a b ac c

L L C Cω ωω ω

= = (10.4)

Frequenz- und Impedanztransformation kombiniert:

a a

b b

c cb ab a b a

a c b c

R RL L C C

R R

ω ωω ω

= = (10.5)


10.3 Tiefpass - Hochpass-Transformation

HPTP

1s

s= (10.6)

00

00

Tiefpass Hochpass( )A / dBω

CTPωHPω

rA

HA

CHPωTPω

HA

rA

( )A / dBω

Hω Hω

Abbildung 10-1: Tiefpass-Hochpass Transformation

TP HP

TP HP HP

c c

2c c c

TPHP HP

ω ω

ω ω ωω

ω ω

=

⋅= − = −

(10.7)

Tiefpass Hochpass

k k 0R g R= ⋅ k k 0R g R= ⋅

L

C

TP

TP

k k 0c

1L g R

ω= ⋅

HP

TP HP TP HP

kc c k c 0 k

1 1C

L R gω ω ω= =

⋅

C

L

TP

TP

k k0 c

1C g

R ω=

⋅

HP

TP HP TP HP

0k

c c k c k

R1L

C gω ω ω= =

⋅

Berechnung von A, n:

TP

TP

c

ωω

HPc

HP

ωω


10.4 Tiefpass - Bandpass-Transformation

+1

00

Tiefpass Bandpass

-1

( )A / dBω

1ωBPω

rA

2ωTPωTP−ω

0ω

( )A / dBω

Abbildung 10-2: Tiefpass-Bandpass Transformation

TPω BPω

−∞ 0

-1 1ω

0 0ω

+1 2ω

+∞ +∞

TP BPBP

0TP BP

c TP 0 BP

1s k s

s

kωω ω

ω ω ω

= +

= −

(10.8)

01

0 1

02

0 2

1 k

1 k

ωωω ω

ωωω ω

− = −

+ = −

(10.9)

Die Lösung dieser Gleichungen:

0 2 10 1 2

2 1 0 0

1 Bk w

w

ω ω ωω ω ω

ω ω ω ω−

= = = = =−

(10.10)

w = Normierte Bandbreite, Fractional Bandwidth

Aus obigen Gleichungen:

TP

0TP BP

c 0 BP

1

w

ωω ωω ω ω

= −

(10.11)


00

00

Tiefpass Bandpass( )A / dBω

CTPωBPω

rA

HA

H TPωTPω

aω 1ω 0ω 2ω bω

( )A / dBω

HA

rA

Abbildung 10-3: Tiefpass-Bandpass Transformation

TP

0TP BP 2 10 1 2

c 0 BP 0

1w

w

ωω ω ω ωω ω ω

ω ω ω ω −

= − = ⋅ =

(10.12)

Tiefpass Bandpass

k k 0R g R= ⋅ k k 0R g R= ⋅

L

L C

TP

TP

k k 0c

1L g R

ω= ⋅

BP BP

0 kk k

0 0 k 0

R gwC L

R g wω ω⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

C

C L

TP

TP

k k0 c

1C g

R ω=

⋅

BP BP

0kk k

0 0 0 k

w RgC L

w R gω ω⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

Berechnung von n:

TP

TP

H

c

ωω

b 0 a 0

0 b 0 a

1 1

w w

ω ω ω ωω ω ω ω

− = −

Berechnung von A:

TP

TP

c

ωω

0BP

0 BP

1

w

ωωω ω

−

Tabelle 10-1: Tiefpass-Bandpass Transformation


10.5 Tiefpass - Bandstop-Transformation

00

00

Tiefpass Bandsperre( )A / dBω

CTPωBSω

rA

HA

H TPωTPω

1ωaω

0ωbω

2ω

( )A / dBω

HA

rA

Abbildung 10-4: Tiefpass-Bandsperre Transformation

TP

TP 2 1TP 0 1 2

BS 0c 0BS

0 BSBS

1 ws w

1k s

s

ω ω ωω ω ω

ω ωω ωω ω

−= = = ⋅ =

−+

(10.13)

Tiefpass Bandstop

k k 0R g R= ⋅ k k 0R g R= ⋅

L

L

C

TP

TP

k k 0c

1L g R

ω= ⋅

BS BS

0 kk k

0 0 k 0

w R g1C L

w R gω ω⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

C

L

C

TP

TP

k k0 c

1C g

R ω=

⋅

BS BS

0kk k

0 0 0 k

Rw gC L

R w gω ω⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

Berechnung von n:

TP

TP

H

c

ωω

b 0 a 0

0 b 0 a

w w

ω ω ω ωω ω ω ω

=

− −

Berechnung von A:

TP

TP

c

ωω

BS 0

0 BS

w

ω ωω ω

−

Tabelle 10-2: Tiefpass-Bandsperre Transformation


Beispiel 10–1: Chebyshev Tiefpass

Tiefpass mit folgenden Eigenschaften:

Chebyshev, Zo = 50 Ω, n = 5, Ar = 0.1 dB, fg = 30 MHz

Loesung: g0 = g6 = 1g1 = g5 = 1.1468g2 = g4 = 1.3713g3 = 1.9751

VARVAR1

C5=C1L4=L2C3=209.5 pFL2=364 nHC1=121.6 pF

EqnVar

SP_NWAX2

Port2Z=50Port1Z=50NumPoints=501Stop=100 MHzStart=0.1 MHz

+ +

21

LL2L=L2

CC5C=C5

CC3C=C3

CC1C=C1

LL4L=L4

10 20 30 40 50 60 70 80 900 100

-50

-40

-30

-20

-10

-60

0

freq, MHz

dB(S

(2,1

))dB

(S(1

,1))

10 20 300 40

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-1.0

0.0

freq, MHz

dB(S

(2,1

))


Beispiel 10–2: Chebyshev Bandpass

Bandpass mit folgenden Eigenschaften:

Chebyshev, n = 5, Zo = 50 Ω, RLmin = 20 dB, f1 = 87.5 MHz, f2 = 108 MHz

Loesung:SP_NWAX2

Port2Z=50Port1Z=50NumPoints=1001Stop=150 MHzStart=50 MHz

+ +

21

VARVAR1

C5=C1L5=L1C4=C2L4=L2C3=280 pFL3=9.5735 nHC2=5.03 pFL2=532.7 nHC1=151.1 pFL1=17.74 nH

EqnVar

CC5C=C5

LL5L=L5

CC4C=C4

CC3C=C3

LL3L=L3

CC2C=C2

LL2L=L2

LL1L=L1

LL4L=L4

CC1C=C1

70 90 110 13050 150

-80

-60

-40

-20

-100

0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-1.0

0.0

freq, MHz

dB

(S(2

,1))

dB

(S(1

,1))

dB

(S(2

,1))


11 Netzwerktransformationen

Die in den vorangehenden Kapiteln beschriebenen Methoden zur Filtersynthese führen vielfach zu Strukturen oder Elementwerte die nicht erwünscht oder kaum realisierbar sind. Durch Anwendung von Netzwerktransformationen können diese Nachteile meist behoben werden. Zudem hilft die Netzwerktransformation in der Realisation von Filtern mit verteilten Elementen (Leitungselemente). Zwei spezielle Transformationen mit Leitungselementen sind die Kuroda Identitäten und die Richard-Transformation. Diese werden im Kapitel 12.1und 12.2 besprochen.

11.1 Norton-Transformationen

Lastimpedanzanpassung und Aenderung der Elementwerte können mit Hilfe der Norton-Transformation vorgenommen werden. Dadurch können Elementwerte die kaum realisierbar sind, in besser realisierbare Strukturen transformiert werden. Diese Transformationen wurden erstmals von E.L. Norton beschrieben und werden deshalb allgemein als Norton-Transformationen bezeichnet.

Z

Y

Z'

Y'

n : 1

Original Transformiert

Abbildung 11-1: Netzwerktransformation nach Norton

Wir beschreiben beide Netzwerke mit den A-Parametern und setzen die resultierenden Parameter gleich:

1 0 1 Z 1 Z' 1 0 n 0A A '

Y 1 0 1 0 1 Y ' 1 0 1/ n

1 Z n(1 Y 'Z ') Z '/ n

Y 1 ZY nY ' 1/ n

= =

+ = = +

(11.1)

Daraus folgt:

12 12

21 21

22 22

A A ' Z Z '/ n Z ' nZ

A A ' Y nY ' Y ' Y / n

1A A ' 1 ZY 1/ n n

1 ZY

= → = → == → = → =

= → + = → =+

(11.2)

Z ' nZ

Y ' Y / n

1n

1 ZY

==

=+

(11.3)


Besteht das Originalnetzwerk aus Kapazitäten, erhalten wir:

C1

C2 Z'

Y'

n : 1

RLRL

Abbildung 11-2: Transformation von zwei Kapazitäten

1

2

Y sC

1Z

sC

=

= (11.4)

2

1 1 21

2 2

C1 1n

1 C C C1 sC 1sC C

= = =++ +

(11.5)

2 1 2

1 1Z' nZ n

sC s(C C )= = =

+ (11.6)

1 1 1 2

2

sC sC (C C )YY'

n n C

+= = = (11.7)

Damit wird das transformierte Netzwerk:

Ca

Cb

n : 1

RL

Abbildung 11-3: Transformiertes Netzwerk

Mit

2

1 2

2a

1b

Cn

C C

CC

nC

Cn

=+

=

=

(11.8)


Der ideale Transformator kann eliminiert werden, wenn alle Impedanzen auf der Sekundärseite mit 2n multipliziert werden.

Ca

Cb R'L=RLn2

Abbildung 11-4: Elimination des Transformators

Beispiel 11–1: Norton-Transformation an einem Bandpass

Gegeben sei ein Bandpass:

r 1 2 0

Chebyshev

n 3 A 0.1dB f 200 MHz f 250 MHz Z 50 Ω= = = = =

164 nH 3.08 pF

6.9 nH 73 pF

3.08 pF 164 nH

RL50 Ω = 50 Ω

164 nH 3.08 pF

6.9 nH Cb

Ca 164 nH

RL50 Ω = 50 Ω

n:1

nC 2

C 1 C 2=n 0.04

C a

C 2

n=C a 76.08 pF

C b

C 1

n=C b 1.803 10

3pF


Elimination des Trafos:

2

2L L

L ' n L 0.2688 nH

R' n R 0.082 Ω= =

= =

164 nH 3.08 pF

6.9 nH 1803 pF

76.08 pF L' = 0.268 nH

R'L50 Ω = 0.082 Ω

Wenn die Transformationsgleichungen untersucht werden, kann festgestellt werden, dass alle Elemente des gleichen Typs sein müssen:

1

n1 ZY

=+

(11.9)

n muss frequenzunabhängig sein, also muss s in ZY kürzbar sein. Da die transformierten Elemente mit n verknüpft sind, müssen beide Netzwerke, das Original und das transformierte, den gleichen Elementtyp aufweisen.

Die Transformation kann zur Impedanzanpassung auch aufgeteilt werden, wenn spezielle Übertragungsverhältnisse n gewünscht werden. Die Grenzen von n sind gegeben durch:

1

n 11 ZY

≤ ≤+

(11.10)

Y1a

Z2

Y1a

Za

Yb

n:1

Pi

Y1

Z2 Za

Yb

n:1

T

Y1

Z2a n2Z2a


Bei gegebenen n, C1 und C2 erhält man:

n:1

C1

C2

Ca

Cb

Cc

2

a 1

2b

c

1 nC C

nC C C

CC

nC

Cn

−=

= −

=

=

(11.11)

Beispiel 11–2: Impedanztransformation mit Norton-Transformation

Die Schaltung aus Beispiel 11–1 soll so transformiert werden, dass LR ' 5 Ω= wird.

C 1.73 pF C 2

.3.08 pF R Lt.5 Ω R L

.50 Ω L .0.164 μH

nR Lt

R L=n 0.316

C .C 21 n

n=C 2 3.08 pF

C a C 1 C =C a 66.34 pF

C b

C 2

n=C b 9.74 pF

C cC

n=C c 21.06 pF

L t.n

2L =L t 0.016 μH

164 nH 3.08 pF

6.9 nH 66.4 pF

9.7 pF

21.06 pF

16.4 nH

50 Ω 5 Ω

Auf die gleiche Art und Weise können die anderen möglichen Transformationstopologien ebenfalls hergeleitet werden.


11.1.1 Zusammenstellung der Norton-Transformationen

Original Netzwerk Transformiertes Netzwerk Transformationsgleichungen

C1

C2

RL

2

22L L L L L

1 2

CR R' R R' n R

C C

≤ ≤ = +

R'LCb

Ca

2

1 2

2 1a b

Cn

C C

C CC C

n n

=+

= =

Ca

Cb

R'LCc

2 a 1

2b c

1 nC C C C C

nC C

C Cn n

−= = −

= =

Cb

Ca

R'L

Cc

( )

1 a

1 2b c 2

2

n CC C C

1 n nC CC

C Cn n C C

= =−

= =−

C2 RL

C1

2

21 2L L L L L

1

C CR R' R R' n R

C

+≤ ≤ =

R'L

Cb

Ca

1 2

1

2 1a b

C Cn

C

C CC C

n n

+=

= =

Ca

Cb

R'LCc

( ) 1 a

1 2b c 2

CC n 1 C C

nC C C

C Cn n

= − =

−= =

Cb

Ca

R'L

Cc

2 1a

1

2b c

C CCC C

n 1 C C

C CC C

n n

= =− −

= =


Original Netzwerk Transformiertes Netzwerk Transformationsgleichungen

RL

L2

L1

2

22L L L L L

1 2

LR R' R R' n R

L L

≤ ≤ = +

R'L

La

Lb

1

1 2

a 2 b 1

Ln

L L

L nL L nL

=+

= =

R'L

Lb

La Lc

12 a

1

b 2 c

LLnL L L

1 n L L

L nL L nL

= =− −

= =

R'L

La Lc

Lb

( )

1 a

2b 1 c 2

1 nL L L nL

n

L nL L n L L

−= =

= = −

RL

L1

L2

2

21 2L L L L L

2

L LR R' R R' n R

L

+≤ ≤ =

R'L

Lb

La

1 2

2

a 2 b 1

L Ln

L

L nL L nL

+=

= =

R'L

Lb

La Lc

1a

22

b 1 c2

LL L nL

n 1

n LLL nL L

L L

= =−

= =−

R'L

La Lc

Lb

( ) 2 a 1

b 2 c

L n 1 L L L L

L nL L nL

= − = −

= =

Tabelle 11-1: Zusammenstellung der Norton-Transformationen


11.2 Impedanz- und Admittanzinverter (Immittanzinverter)

Zur Manipulation von Kettennetzwerken können Impedanz- und Admittanzinverter verwendet werden.

Impedanzinverter sind Zweitore, die eine Lastimpedanz am Ausgang auf eine Admittanz am Eingang transformieren. Ein idealer Impedanzinverter verhält sich wie eine λ/4-Leitung der Impedanz K bei allen Frequenzen. Ein Impeanzinverter transformiert die Lastimpedanz Zb so, dass die Eingangsimpedanz

2

ab

KZ

Z= (11.12)

wird. K wird die Impedanzinverterkonstante genannt. Wie in Abbildung 11-5: Impedanzinverter (K-Inverter) und Admittanzinverter gezeigt, beträgt die Phasendrehung des Inverters ±90o, oder ein ungerades Vielfaches davon.

2

ab

KZ

Z=

o90±

2

ab

KY

Y=

o90± Abbildung 11-5: Impedanzinverter (K-Inverter) und Admittanzinverter (J-Inverter)

Analog dazu verhält sich der Admittanzinverter. Seine Lastadmittanz Yb wird auf eine Eingangsadmittanz

2

ab

JY

Y= (11.13)

transformiert.

Die zugehörigen Kettenparameter (ABCD-Matrizen) sind:

0 jK 10A B A B

jJ10C D C D

jK jJ 0

± ± = = ± ±

(11.14)

Zwischen den Inverterkonstanten gilt folgende Beziehung:

a b

a b

1 1J Y Y

KZ Z= = = (11.15)


Auf Grund der Invertierung verhält sich eine Serieinduktivität zwischen zwei Impedanzinvertern wie eine Parallelkapazität. Entsprechend kann eine Parallelkapazität zwischen zwei Admittanzinverten in eine Serieinduktivität transformiert werden.

Abbildung 11-6: Transformation von Reaktanzen mit Invertern

Oder allgemein:

K K

J J

Z

Z

Y

Y

Abbildung 11-7: Allgemeine Transformation von Impedanzen und Admittanzen

Weitere Eigenschaften:

a) Transformation der Elementwerte

Die gleiche Vorschrift gilt auch für das duale Netzwerk mit K-Invertern

b) Wahl des Invertertyps

Grundsätzlich spielt es keine Rolle ob K- oder J-Inverter verwendet werden. Die Wahl richtet sich vorwiegend nach der für die gewünschte Schaltung geeigneten Realisierungsschaltung der Inverter. Wichtig dabei ist, dass die negativen Elemente der Inverter in den benachbarten Schaltungen absorbiert werden können.


2

in

KZ

Z=

22

in

2

in 2in

JY J Z

Y

1 1 KZ

Y ZJ Z

= =

= = =

c) Impedanz- und Admittanztransformation

Impedanz- und Admittanztransformation ist eine weitere Eigenschaft die angewendet werden kann.

1

2

in

KZ

Z= 2

2

in

KZ

Z=

Soll z.B. der Kennwiderstand k

LZ

C= eines Schwingkreises transformiert werden,

gelten folgende Beziehungen:

1

2

ink1

KZ

Z= 1

k11

LZ

C=

1

2

ink1

KZ

Z= 2

k22

LZ

C=

2 22 21 2 1 2

in 2 11 21 2

1 2

K K C LZ K K

L CL L

C C

= = → = und mit 1 1 2 2L C L C= (beide Kreise die

gleiche Resonanzfrequenz) erhält man die Transformationsbeziehung

1 22 1 1

2 1

C LK K K

C L= =


Analog dazu:

1k1

1

LZ

C= 2

k22

LZ

C=

2 12 1 1

1 2

C LJ J J

C L= =

11.2.1 Praktische Realisierung von Impedanz- und Admittanzinvertern:

Impedanz- und Admittanzinverter können durch verschiedene Schaltungen realisiert werden. Alle sind Frequenzabhängig und eignen sich daher hauptsächlich für schmalbandige (Bandbreite <10%) Filteranwendungen.

Wie bereits erwähnt ist die einfachste Inverterschaltung eine verlustlose λ/4-Leitung mit der reellen Leitungsimpedanz Zw.

0Y J=0Z K=

/ 4λ / 4λ

Abbildung 11-8: λ/4-Leitung als Impedanz- und Admittanzinverter

Diese λ/4-Leitung weist folgendes Transformationsverhältnis auf:

2

wa

b

ZZ

Z= (11.16)

Wobei Zb die Lastimpedanz und Za die Eingangsimpedanz ist. Daraus folgt, dass die Impedanzinverterkonstante K = Zw, bzw. die Admittanzinverterkonstante J = Yw = 1/Zw ist. Dieser Inverter ist somit sowohl ein Impedanz- wie auch ein Admittanzinverter.

Nebst der λ/4-Leitung sind weitere Inverter realisierbar, die eine grössere Bandbreite aufweisen als die λ/4-Leitung.

Inverter mit Leitungen und Reaktanzen:

X Lω=1

XCω

= −0Z0Z

θθ−

02

0

0

K / ZX

Z K1

Z

=

−

0

1

0

K Z tan Ohm2

2Xtan rad

Z

θ

θ −

=

= − (11.17)

Abbildung 11-9: K-Inverter mit Leitungen und Reaktanzen


1B

Lω= − B Cω=

0Y0Y

/ 2θ / 2θ / 2θ− / 2θ−

0

1

0

J Y tan Siemens2

2Btan rad

Y

θ

θ −

=

= − 0

20

0

J / YB

Y J1

Y

=

−

(11.18)

Abbildung 11-10: J-Inverter mit Leitungen und Reaktanzen

Inverter mit Reaktanzen:

K Lω= 1

KCω

= (11.19)

Abbildung 11-11: K-Inverter mit Reaktanzen

1

JLω

= J Cω= (11.20)

Abbildung 11-12: J-Inverter mit Reaktanzen

In allen diesen Schaltungen kommen negative Elementwerte vor. Diese können bei Filteranwendungen meist durch die Filterelemente absorbiert werden, wie die Beisiele im nächsten Abschnitt zeigen.

Schmalbandige Inverter:

2

1C

Lω=

2

1L

Cω=

K Lω= 1

KCω

= (11.21)

Abbildung 11-13: Schmalbandiger K-Inverter


2

1L

Cω=

2

1C

Lω=

J Cω= 1

JLω

= (11.22)

Abbildung 11-14: SchmalbandigerJ-Inverter

Der Beweis der Funktion als Inverter wird exemplarisch am K-Inverter mit Induktivitäten gezeigt.

Die Kettenmatrix dieser Schaltung ergibt sich zu

1 0 0 j L1 j L 1 j L

A 1 110 1 0 1 j 0j L L

ωω ω

ω ω

− − − = ⋅ ⋅ = −

(11.23)

Der Vergleich mit (11.14) beweist die richtige Funktion und liefert K Lω= . Wird der Zweitor mit Zb abgeschlossen, erhält man die Eingangsimpedanz zu

2 2 2

11 b 12 12a

21 b 22 21 b bb

A Z A A j L L KZ

jA Z A A Z ZZL

ω ω

ω

+ −= = = = =−+

Dies entspricht der Gleichung (11.12).

11.2.2 Anwendungen von Impedanz- und Admittanzinvertern

Beispiel 11–3: Transformation mit Admittanzinverter

In untenstehender Schaltung soll die Serieimpedanz Z1 in eine Parallelimpedanz Z2 transformiert werden.

Abbildung 11-15: Serie-Paralleltransformation mit J-Invertern


Mit den Gleichung (11.20) und (11.13) gilt für die J-Inverter

J Cω= und 2

21

JY

Y=

Damit 2 2

12 2 2 2 2 2

1 1

YC 1Y Z

Y C C Z

ωω ω

= → = =

Die Transformation gilt nur für die Frequenz ω, ist also nur für schmalbandige Anwendungen geeignet. Die beiden inneren negativen Käpazitäten müssen in Z2 und die beiden äusseren negativen Kapazitäten in der Quellen- und Lastimpedanz absorbiert werden können.

Beispiel 11–4: Transformation mit Impedanzinverter

Gemäss Abbildung 11-16 soll der Parallelschwingkreis L1-C1 in einen Serieschwingkreis gleicher Resonanzfrequenz transformiert werden.

Nach Gleichung (11.19) und (11.12) gilt für die K-Inverter

0

1K

Cω= und

2

21

KZ

Z=

Damit 2 2 21 0

1Z

Z Cω=

Mit 0 111 2 2

1 1 0 1 1

j LsLZ

1 s L C 1 L C

ωω

= =+ −

und 22

0 2 22 22

2 0 2

1 L C1 s L CZ

sC j C

ωω

−+= =

Kann Z2 gleichgesetzt werden:

2 2

0 2 2 0 1 12 2

0 2 0 1 0

1 L C 1 L C 1

C L C

ω ωω ω ω

− −= ⋅

Weiter muss für die gleiche Resonanzfrequenz gelten

1 1 2 2C L C L=

Aus diesen beiden Gleichungen erhält man die Elementwerte für L2 und C2 zu

1

2 2 20

2 22 0 1

CL

C

C L C

ω

ω

=

=


Abbildung 11-16: Transformation Parallelschwingkreis in Serieschwingkreis

Das Inverterelement C kann so gewählt werden, dass die inneren negativen C in C2 und die äusseren negativen C in Quelle und Last absorbiert werden können.

11.2.3 Transformation des normierten Tiefpasses

Mit idealen, frequenzunabhängigen Immittanzinvertern können Tiefpässe einfach in Tiefpässe transformiert werden, die nur Induktivitäten oder nur Kapazitäten enthalten.

0 10,1

0 1

R LK

g g= i i 1

i,i 1i i 1

L LK

g g+

++

= n n 1n,n 1

n n 1

L RK

g g+

++

= (11.24)


0 10,1

0 1

Y CJ

g g= i i 1

i,i 1i i 1

C CJ

g g+

++

= n n 1n,n 1

n n 1

C YJ

g g+

++

= (11.25)

Abbildung 11-17: Tiefpasstransformation mit Immittanzinvertern

Die Elementwerte für L1 und C1 können frei gewählt werden.

Die oben aufgeführten Gleichungen können durch Beschreibung der Eingangs- und Ausgangsimpedanz (Admittanz) des Prototypfilters und des transformierten Filters in Kettenbruchform mit Vergleich der entsprechenden Glieder hergeleitet werden.

11.2.4 Bandpasstransformation mit Immittanzinvertern

Durch Einsetzen der Tiefpass-Bandpasstransformation c TPBP TP

0 0

LL L

w w

Ωω ω

= =

in die

Gleichungen (11.24) und (11.25) erhält man die entsprechenden Gleichungen für die Bandpass-Inverter.

0 1 00,1

0 1

wR LK

g g

ω= i i 1

i,i 1 0i i 1

L LK w

g gω +

++

= n 1 n 0n,n 1

n n 1

wR LK

g g

ω++

+

= (11.26)

i 20 i

1C

Lω=


0 1 00,1

0 1

w Y CJ

g g

ω= i i 1

i,i 1 0i i 1

C CJ w

g gω +

++

= n 1 n 0n,n 1

n n 1

w Y CJ

g g

ω++

+

= (11.27)

i 20 i

1L

Cω=

Abbildung 11-18: Bandpasstransformation mit Immittanzinvertern

Die Elementwerte L1 und C1 können frei gewählt werden, so dass für alle Elemente gut realisierbare Werte resultieren.

ig : normierte Tiefpass-Elemente

normiert auf 0 0 cR 1 , G 1S, 1RadΩ Ω= = =

0 1 2ω ω ω= Mittenfrequenz, siehe Gleichung (10.10)

2 1

0

wω ω

ω−

= Normierte Bandbreite, siehe Gleichung (10.10)

Die allgemeine Transformation mit Immittanzinverten zeigt Abbildung 11-19. Hier können die konzentrierten Elemente durch verteilte Elemente z.B. Leitungselemente, Mikrostripleitungen, Koaxresonatoren, etc. ersetzt werden. Die Reaktanzen und Suszeptanzen der verteilten Elemente müssen gleich sein wie diejenigen der konzentrierten Elemente. In der Praxis ist dies nur im Bereich der Resonanzfrequenz realisierbar. Daher sind diese Transformationen nur für schmalbandige Filter geeignet. Für eine geeignete Beschreibung wird an Stelle der Reaktanzen und Suszeptanzen deren Steilheit bei der Resonanzfrequenz gleichgesetzt. Die Reaktanz- und Suszeptanzsteilheit ist definiert als

( )

0

0dX

2 dω ω

ωωω

=

=x ( )

0

0dB

2 dω ω

ωωω

=

=b

Dabei sind ( )X ω und ( )B ω die Reaktanz, resp. Suszeptanz der Schwingkreise, mit dem Wert 0

bei der Resonanzfrequenz 0ω . Für Schwingkreise mit konzentrierten Elementen ist 0Lω=x für

den Seriekreis und 0Cω=b für den Parallelkreis. Durch Ersetzen von 0 iLω und 0 iCω durch ix

und ib in Abbildung 11-18 erhält man die Beziehungen in Abbildung 11-19.


( )1X ω ( )2X ω ( )nX ω

0 10,1

0 1

wRK

g g=

x i i 1

i,i 1i i 1

K wg g

++

+

=x x

n 1 nn,n 1

n n 1

wRK

g g+

++

=x

(11.28)

( )

0

i0i

dX

2 dω ω

ωωω

=

=x

( )1B ω ( )2B ω ( )nB ω

0 10,1

0 1

w YJ

g g=

b i i 1

i,i 1i i 1

J wg g

++

+

=b b

n 1 nn,n 1

n n 1

w YJ

g g+

++

=b

(11.29)

( )

0

i0i

dB

2 dω ω

ωωω

=

=b

Abbildung 11-19: Allgemeine Bandpasstransformation mit Immittanzinvertern

Beispiel 11–5: 3-Kreis Bandpassfilter

3-kreisiges Bandpassfilter mit kapazitiver Kopplung für den Frequenzbereich von 150 MHz bis 160 MHz. Das Filter soll Chebyshev-Verhalten mit einer Welligkeit von Ar = 0.5 dB aufweisen. Der Ein- und Ausgangswiderstand betrage 50 Ohm.

Normierter Tiefpass

Normale Tiefpass-Bandpass-Transformation

Tiefpass-Bandpass-Transformation mit Admittanzinvertern


Realisation der Admittanzinverter mit Kapazitäten

Zusammenfassung der Kapazitäten

Gegeben:

f1 150 MHz⋅:= f2 160 MHz⋅:= R0 50 Ω⋅:= R4 50 Ω⋅:= n 3:= Ar 0.05 dB⋅:=

Berechnungen:

f0 f1 f2⋅ 154.919MHz⋅=:= ω0 2 π⋅ f0⋅ 9.734 108×=:=

wf2 f1−

f00.065=:=

Normierte Tiefpass Elementwerte Cheb 0.05dB n=3:

g0 1:= g1 0.879:= g2 1.113:= g3 g1:= g4 1:=

Wahl: alle drei Resonanzkreise mit gleichem L und C, und C 10 pF⋅:=C1 C:= C2 C:= C3 C:=

J01

w ω0⋅ C1⋅

R0 g0⋅ g1⋅3.781 10

3−×=:=

J12 w ω0⋅C1 C2⋅

g1 g2⋅⋅ 6.352 10

4−×=:=

J23 w ω0⋅C2 C3⋅

g2 g3⋅⋅ 6.352 10

4−×=:=

J34

w ω0⋅ C3⋅

R4 g3⋅ g4⋅3.781 10

3−×=:=

L1

ω02

C⋅105.543nH⋅=:=

CJ01

J01

ω03.884 pF⋅=:= CJ12

J12

ω00.653 pF⋅=:=

CJ23

J23

ω00.653 pF⋅=:= CJ34

J34

ω03.884 pF⋅=:=

Da die Quellen- und Lastimpedanzen reell sind, können die negativen Kapazitäten –CJ01 und –CJ34 nicht absorbiert werden. Die Berechnung von XCJ01 zeigt, dass die Reaktanz von diesen


Kapazitäten wesentlich grösser ist als der Quellen- und Lastwiderstand und somit diese Kapazitäten vernachlässigt werden können.

0

XCJ011

ω0 CJ01⋅264.478Ω=:=

C1 C CJ01− CJ12− 5.463 pF⋅=:=

C3 C1:=

C2 C CJ12− CJ23− 8.695 pF⋅=:=

50Ω 50Ω

Endgültige Schaltung

Wie die Simulation der Schaltung zeigt, ist die Welligkeit im Durchlassbereich grösser als vorgegeben. Durch eine Optimierung mit Variation der Kopplungskondensatoren erreicht man die gewünschten Eigenschaften. Die Ein- und Ausgangskopplungskondensatoren müssen von 3.88 pF auf 4.06 pF, die beiden Kopplungskondensatoren in der Mitte von 0.65 auf 0.665 pF vergrössert werden.

Simulationsresultate:

140 150 160 170130 180

-40

-30

-20

-10

-50

0

freq, MHz

dB(S

21),

dB

(S11

)

150 155 160145 165

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

-2.0

0.0

freq, MHz

dB(S

21)

x x x vor Optimierungnach Optimierung


12 Realisierung von Filtern mit planaren Leitungen (Mikrostrip)

Die folgenden Betrachtungen gelten nicht nur für Mikrostrip-Leitungen, sondern grundsätzlich für alle Leitungsformen wie Koax, Stripline, Waveguide, etc. Da heute die meisten Schaltungen in Mikrostriptechnik realisiert werden, sind die nachfolgenden Betrachtungen und Beispiele auf diese Leitungsstruktur konzentriert. Die Kunst des Filterdesign liegt in der richtigen Wahl der Transformationen, damit gut realisierbare physikalische Strukturen entstehen.

Viele Herleitungen und Beweise sind in diesem Kapitel weggelassen oder auf das Minimum der Verständlichkeit beschränkt. Ausführliche Theorie ist in Lit. [2] und [5] zu finden.

Da die Leitungseigenschaften mit λ/2 periodisch sind, werden auch die Filtereigenschaften mit der Frequenz periodisch, wenn alle Leitungen gleich lang sind, oder weisen verzerrte Amplitudengänge mit nichtperiodischen Eigenschaften auf. Wie Abbildung 12-1 zeigt, weist z.B. ein Bandpass mit gekoppelten Leitungen periodische Durchlassbereiche auf.

Abbildung 12-1: gewünschter Durchlassbereich und Periodizität eines Bandpassfilters

Heute stehen verschiedene kommerzielle CAE-Simulatoren zur Verfügung die sehr genaue Elementmodelle von Leitungselementen für verschiedene Leitungsformen enthalten. Damit lassen sich komplizierte Filterstrukturen in einer schnell ablaufenden linearen Simulation mit S-Parameter nicht nur analysieren, sondern auch auf vorgegebene Zielwerte optimieren. Wichtig dabei ist, dass gute Kenntnisse über das Verhalten und realisierbare Eigenschaften der Filter vorhanden sind, damit in der Optimierung die richtigen Parameter in einem vernünftigen Wertebereich zur Variation freigegeben und die Zielwerte realistisch spezifiziert werden können. Ausgehend von den in der Synthese durch Approximation gefundenen Parametern, empfiehlt sich ein schrittweises Vorgehen mit kleinen Wertebereichserweiterungen der Parameter und und kleinen Verschärfungen der Zielwerte. Es ist auch sinnvoll, Nichtidealitäten wie Diskontinuitäten und Leitungsverluste schrittweise hinzuzufügen. Nach der Optimierung in einem linearen Schaltungssimulator empiehlt sich das Layout in einem EM-Simulator zu überprüfen. Bei der EM-Simulation werden auch Kopplungen und Diskontinuitäten erfasst, die in einem linearen Schaltungssimulator nur schwer oder überhaupt nicht zu beschreiben sind. Die Simulationszeit in einem EM-Simulator ist ein Vielfaches der Simulationszeit eines linearen Simulators und eine Optimierung ist daher nur beschränkt durchführbar.

Mit diesem, in Abbildung 12-2 gezeigten Designablauf, erzielt man sehr schnell die gewünschten Resultate.

Die meistverwendeten kommerziellen CAE-Simulatoren mit linearer und nichtlinearer Schaltungssimulation, Systemsimulation und 2.5D-EM-Simulation sind:

- Advanced Design System ADS von Agilent - Genesys von Agilent - Microwave Office von AWR Applied Wave Research - Ansoft Designer von Ansoft Corporation

Die Leistungsmerkmale und der Leistungsumfang dieser Simulatoren sind leicht unterschiedlich.

2.5D-EM-Simulatoren, zum Teil auch planar 3D-EM-Simulator genannt, ermöglichen die Elektomagnetische Simulation von schichtweise aufgebauten Strukturen, also ein- und mehrschichtige Printstrukturen. Für volle 3D-EM-Simulation wie z.B. koaxiale Strukturen sind verschiedene weitere Produkte auf dem Markt:

- Microwave Studio von CST - HFSS von Ansoft - EMPro von Agilent - Und weitere

1.75 1.80 1.85 1.90 1.951.70 2.00

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

-40

0

freq, GHz

dB(S

(2,1

))dB

(S(1

,1))

2 3 4 5 6 7 8 91 10

-80

-60

-40

-20

-100

0

freq, GHz

dB(S

(2,1

))


Spezifikationen

Specs OK

Konzentrierte, ideale Elemente:Exakte Synthese

Netzwerktransformationen,konzentrierte Elemente ersetzendurch ideale, verteilte Elemente

Lineare Simulation, ohne Diskontinuitäten und Verlusten

Specs OK Optimierung

Diskontinuitäten einfügen

Specs OK Optimierung

Layout mit Anschlussleitungen

EM Simulation

Specs OKOptimierung

(meist nicht nötig)

Fabrikation

N

J

N

J

N

J

N

J

Verluste einfügen

Specs OKOptimierung

(meist nicht nötig)N

J

Abbildung 12-2: Designablauf für die Realisierung von Filtern mit Mikrostrip


Der Übergang von idealen Leitungselementen aus der Synthese zu realen Leitungen mit physikalischen Abmessungen ist meist ziemlich kompliziert und erfolgt am Einfachsten mit Hilfe von entsprechenden Softwaretools. Alle kommerziellen CAE-Simulatoren enthalten diese Tools, z.B. „Linecalc“ in ADS, „TXLine“ in Microwave Office und „TRL85“ in Serenade. „TXLine“ und „TRL85“ haben zum Teil eingeschränkte Synthesemöglichkeiten bei gekoppelten Mikrostripleitungen. Diese Werkzeuge erlauben die Synthese und Analyse von verschiedenen planaren Leitungen wie Mikrostrip, Stripline, Coplanar Waveguide, etc. Die Synthese berechnet die physikalische Leiterbreite, Leiterlänge und Leitungsabstände bei vorgegebenen Substrateigenschaften und –abmessungen, gewünschtem Leitungswellenwiderstand und elektrischer Leitungslänge. Die Analyse berechnet aus den physikalischen Vorgaben die elektrischen Eigenschaften. Für die meisten Anwendungen kann auch das an unserer Hochschule entwickelte Tool „Line“ verwendet werden. Es steht auf meiner Homepage zum Download zur Verfügung. Ein Key für den vollen Funktionsumfang kann bei mir angefordert werden. Grundlagen zu Mikrostripleitungen sind im Skript „Streifenleitungen“ zu finden.

Als Substrat für Filteranwendungen ist das in der allgemeinen Elektronik verwendete Basismaterial FR4 nur für Frequenzen bis ca. 1 GHz und kleinen Anforderungen an die Verluste und Reproduzierbarkeit geeignet. Bei diesem Substrat werden die für Filteranwendungen wichtigen Parameter wie Materialdicke, konstante Permittivität und konstanter Verlustwinkel im Herstellungsprozess nicht in genügend engen Grenzen kontrolliert und eingehalten. Wesentlich besser eignen sich spezielle Mikrowellensubstrate mit eng kontrollierten Eigenschaften. Von den Hauptherstellern Arlon, Taconic und Rogers sind viele verschiedene Substrate mit Dicken von 10 mil bis 125 mil (1 mil = 2.54 μm, Standardwerte: 20, 30, 31, 60 und 62 mil) und Permittivitäten von 2.2 bis 10 erhältlich. Die höhere Qualität dieser Materialien muss auch mit einem höheren Preis erkauft werden. Für Standardanwendungen bis ca. 5 GHz sind Substrate die mit den gleichen Herstellungsprozessen wie FR4 verarbeitet werden können sehr geeignet, z.B. RO 4350, RF-35.

Bezeichnung Material εr tan δ 10 GHz

Luft (trocken) 1 ≈0

FR-4 Epoxy/Glas 4.7 ±0.3 0.0251)

GT, GX PTFE/Glas 2.5 ±0.05 0.0018

Rogers Duroid 5880 PTFE/Glas 2.2 ±0.02 0.0009

Rogers RO 4350 Keramik/Glas 3.66 ±0.05 0.004

Taconic TLC-32 PTFE/Glas 3.2 ±0.05 0.003

Taconic TLE-95 PTFE/Glas 2.95 ±0.05 0.0028

Taconic TLT-8 PTFE/Glas 2.55 ±0.05 0.0019

Taconic RF-35 Keramik/Glas 3.5 ±0.05 0.0018

Arlon Epsilam 10 Keramik 10.2 ±0.25 0.002

Alumina Al2O3 99.5% 9.7 0.0003

Beryllia BeO 97% 6.9 0.0003

Saphir 9.4/11.6 0.0001

Glas 5 0.002

Quarz 3.8 0.0001

Gallium Arsenid GaAs 13.1 0.0016

Germanium Ge 16.0

Silizium Si 11.7 0.005 1) 1 GHz

Abbildung 12-3: Einige typische Substrate


Thickness

mil mm mil mm mil mm mil mm 4 0.102 19 0.483 45 1.143 93 2.3625 0.127 20 0.508 50 1.270 100 2.540

6.6 0.168 25 0.635 60 1.524 125 3.17510 0.254 30 0.762 62 1.575 187 4.75015 0.381 31 0.787 75 1.905 250 6.350

Abbildung 12-4: Umrechnung mil - mm

Bei Mikrostrip-Leitungen werden die Wellenwiderstände der Leitungen durch das Verhältnis w/h und die Permittivität des Substrates bestimmt. Dabei ist w die Leiterbreite und h die Substratdicke. Hochohmige Wellenwiderstände ergeben eine kleine Leiterbreite und umgekehrt. Die kleinste Leiterbreite ist durch den Herstellungsprozess und die damit auftretenden Toleranzen gegeben und beträgt für normale Herstellungsverfahren ca. 0.15 bis 0.2 mm. Die grösste Leiterbreite ist begrenzt durch die Wellenausbreitung auf der Leitung. Es darf nur TEM-Ausbreitung vorhanden sein, d.h. die maximale Leiterbreite muss viel kleiner als λg sein. λg ist die Wellenlänge auf dem Substrat, also

ungefähr r/λ ε . Unter diesen Randbedingungen beträgt der realisierbare Wellenwiderstandsbereich

für Mikrostripleitungen ca. 15 – 120 Ohm.

r tan, δε

Abbildung 12-5: Mikrostrip

Oberhalb einiger 100 MHz sind konzentrierte Elemente für Filteranwendungen schwierig zu realisieren oder genügen mit ihren Eigenschaften den Anforderungen nicht mehr. Kondensatoren und Induktivitäten weisen sehr schnell eine Eigenresonanz auf, die tiefer liegt als für das entsprechende Filterglied notwendig ist. Zudem sinkt die Güte der Induktivitäten auf tiefe Werte und die Filterverluste steigen. Mit Leitungselementen können die konzentrierten Elemente aber vielfach leicht realisiert werden. Aus der Leitungstheorie ist bekannt, dass sich am Leitungsende kurzgeschlossene oder leerlaufende kurze (<λ/4) Leitungen wie Induktivitäten oder Kapazitäten verhalten. Für die verlustlose Leitung berechnet sich die Eingangsimpedanz einer mit Z2 abgeschlossenen Leitung zu:

2 w

in w

w 2

2Z jZ tan

Z Z2

Z jZ tan

π+λ=π+λ

(12.1)

Zw = Wellenwiderstand der Leitung

= Leitungslänge

Damit wird für die am Leitungsende kurzgeschlossene Leitung mit Z2 = 0:

in0 w

2Z jZ tan

πλ

= (12.2)


Im Winkelbereich 02

πϕ< < entsprechend 04

λ< < ist ( )tan ϕ positiv und Zin0 ist rein induktiv:

w0 /4

2Z tan L

λ

π ωλ < <

=

(12.3)

Im Winkelbereich 2

π ϕ π< < entsprechend 4 2

λ λ< < ist ( )tan ϕ negativ und Zin0 ist rein kapazitiv:

w/4 /2

2 1Z tan

Cλ λ

πλ ω< <

=

(12.4)

Da der Tangens π-periodisch ist, gelten die gleichen Beziehungen, wenn die Leitung um Vielfache von λ/2 verlängert wird.

Für die am Leitungsende leerlaufende Leitung mit Z2 = ∞ gilt analog dazu:

in win

1 2Y jY tan

Z

πλ∞

∞

= = w

w

1Y

Z= (12.5)

w0 /4

2Y tan C

λ

π ωλ < <

=

(12.6)

w/4 /2

2 1Y tan

Lλ λ

πλ ω< <

=

(12.7)

4λ

2λ

wZ 2L tan

πω λ

=

w

1C

2Z tan

πωλ

=

wY 2C tan

πω λ

=

w

1L

2Y tan

πωλ

=

Abbildung 12-6: Leitungen als Reaktanzen


12.1 Richard’s Transformation

Die oben gezeigten Zusammenhänge können auch durch die sogenannte Richard’s Transformation dargestellt werden.

2

tan tan tanc

π ωΩ βλ

= = = (12.8)

Diese Transformation bildet die ω -Ebene in der Ω -Ebene ab und ist 2π -periodisch. Wenn die Frequenzvariable ω durch Ω ersetzt wird und auf cω und 0Z resp. wY kann für eine Reaktanz,

resp. Suszeptanz geschrieben werden

L CjX j L jL tan jB j C tanΩ β Ω β= = = (12.9)

Die Grenzfrequenz für den normierten Tiefpass beträgt 1Ω = . Soll für ein Filter mit der Richard’s Transformation die gleiche Grenzfrequenz gelten, muss

2

1 tanπΩλ

= = und damit

8

λ= (12.10)

betragen. λ ist die Wellenlänge der Leitung bei cω .

Unter diesen Bedingungen, c

1ω Ω

ω= = und

8

λ= , reduzieren sich die Gleichungen (12.3) und (12.6)

auf

w ww

1Z L Y C

Z= = = (12.11)

cbei

8λ ω=

cbei8λ ω=

Abbildung 12-7: Richard's Transformation

Damit können die konzentrierten Induktivitäten und Kapazitäten eines Filters durch kurzgeschlossene und leerlaufende Stubs mit der Leitungslänge von λ/8 bei ωc und dem Wellenwiderstand von Zw = L und Zw = 1/C ersetzt werden. Weil alle Leitungen die gleiche Länge aufweisen werden sie als kommensurable Leitungen bezeichnet.

Bei Frequenzen ω ≠ ωc entsprechen die Impedanzen und Admittanzen der Stubs nicht mehr den Impedanzen und Admittanzen der konzentrierten Elemente. Dies resultiert in einem verzerrten Amplitudengang des mit Stubs realisierten Filters. Weiter ist der Amplitudengang periodisch mit c4ω .

Bei der Realisierung mit planaren Leitungen treten Schwierigkeiten auf, die mit weiteren Methoden beseitigt werden müssen. In Abbildung 12-8 ist der Seriestub für die Induktivität mit planaren Leitungen nur schwer erdfrei zu realisieren. Eine Umwandlung in einen Parallelstub mit Distanzierung von den beiden anderen Parallelstubs würde zu einer gut realisierbaren Struktur führen. In Abbildung 12-9 sind die beiden Parallelstubs am gleichen Leitungsort angeschlossen. Auch hier führt eine Distanzierung der beiden Stubs zu einer besser realisierbaren Struktur. Weiter ist darauf zu achten,


dass die Stubs nicht untereinander koppeln. Zum Teil führt die Richard’s Transformation auch zu sehr grossen und sehr kleinen Wellenwiderständen der Leitungen.

cbei8λ ω=

Abbildung 12-8: Richard's Transformation eines Tiefpassgliedes

C L

Abbildung 12-9: Richard's Transformation eines Bandpassgliedes

12.2 Kuroda Identitäten

Zu physikalisch realisierbaren Dimensionen bei Filtern und Strukturen mit kommensurablen Leitungen helfen die Kuroda Identitäten. Mit diesen Transformationen können

- Stubs physikalisch distanziert werden

- Serie-Stubs in Parallel-Stubs und umgekehrt transformiert werden

- Nicht realisierbare Impedanzen in realisierbare Impedanzen transformiert werden

Der zusätzliche Zweitor wird Unit Element UE genannt und besteht aus einer Leitung mit dem Wellenwiderstand Z und der Leitungslänge von λ/8 bei ωc.

cZ bei8

λ ω=

Abbildung 12-10: Unit Element UE

Alle als L dargestellen Elemente werden als kurzgeschlossene Stubs, alle als C dargestellten Elemente als leerlaufende Stubs realisiert. Die Leitungslängen betragen λ/8 bei ωc. Die angegebenen Impedanzen und Admittanzen sind die Wellenimpedanzen und –admittanzen der entsprechenden Stubs.

Der Beweis der Identität kann leicht über den Vergleich der Kettenmatrix erfolgen.

Die Anwendung der Kuroda-Transformation wird in Kapitel 12.3.3 gezeigt.


2

1

Z

2

1

Z

1L

ZZ

N=

2Z

N

1N Z⋅

2Z

N

1N Z⋅

C 2Z N Z= ⋅

1L

ZZ

N=

C2

1Y

N Z=

⋅

2

1

ZN 1

Z= +

Abbildung 12-11: Kuroda Identitäten

12.3 Tiefpassfilter

Für die Realisation von Tiefpassfiltern mit Leitungselementen gibt es verschiedene Verfahren. Die drei gebräuchlisten werden nachfolgend besprochen. Allen gemeinsam ist, dass sie keinen monotonen Sperrbereich aufweisen und Pseudopassbänder (spurious response) zeigen, die bei Tiefpässen mit konzentrierten Elementen nicht vorhanden sind. Durch Kaskadierung mehrerer Tiefpässe mit verschiedenen Grenzfrequenzen können die Pseudopassbänder unterdrückt oder gedämpft werden.

12.3.1 Stepped Impedance Tiefpassfilter

Eine einfache Methode ist, die konzentrierten Kapazitäten durch niederohmige Leitungen und die Induktivitäten durch hochohmige Leitungen zu approximieren. Durch Vergleich der Kettenmatritzen einer verlustlosen Leitung mit dem Pi- und T-Ersatzschaltbild der Leitung erhält man einfache Dimensionierungsgleichungen. Die hochohmigen und niederohmigen Leitungswellenwiderstände werden entsprechend den realisierbaren Leiterbreiten gewählt. In der Praxis werden die Leiterbreiten definiert und daraus für das angewendete Substrat die zugehörigen Wellenwiderstände und effektiv wirksamen Permittivitäten mit Hilfe von „Line“, „Linecalc“, „TXLine“ oder „TRL85“ berechnet. Die hier verwendeten Approximationen ohne Berücksichtigung der Diskontinuitäten (Sprünge der Leiterbreiten) genügen vollkommen, wenn die Schaltung in einem CAE-Simulator optimiert werden kann. Das Beispiel 12–1 zeigt den detaillierten Entwurfsablauf für diesen Filtertyp.


50Ω 50Ω

Abbildung 12-12: Stepped Impedance Tiefpassfilter

wZ 0α =

θ

wL11 L12

LL21 L22

w

8

cos jZ sinA A

A jsincosA A

Z

2c 3 10 m / s

c

θ θ = = θ θ π ωθ = = = ⋅λ

(12.12)

( )

P

2

2 2

1 0 1 j L 1 0A

j C 1 0 1 j C 1

1 LC j L

j C 2 LC 1 LC

ωω ω

ω ω

ω ω ω

= ⋅ ⋅

− =

− −

(12.13)

( )

T

2 2

2

1 j L 1 0 1 j LA

0 1 j C 1 0 1

1 LC j L 2 LC

j C 1 LC

ω ωω

ω ω ω

ω ω

= ⋅ ⋅

− −= −

(12.14)

Abbildung 12-13: Kettenmatrix der Leitung und der Ersatzschaltbilder

Durch Gleichsetzen von AL12 von Gleichung (12.12) und AP12 von Gleichung (12.13) erhält man

wL Z sinω θ= (12.15)

sowie von AL11 und AP11

w w

1 cos 1C tan

Z sin Z 2

θ θωθ

− = =

(12.16)

Für / 2θ π< und Zw hochohmig ist wZ sinθ positiv und 1

LC

ωω

. Dadurch kann eine Induktivität

durch eine hochohmige Leitung approximiert werden.

wZL sinθ

ω= (12.17)


Die notwendige Leitungslänge wird

1 cL

wc re

Lcsin

Z

ωω ε

− =

(12.18)

reε : effektiv wirksame Permittivität für die hochohmige Leitung

cω : Grenzkreisfrequenz des Tiefpasses

c: Lichtgeschwindigkeit im freien Raum 83 10 m / s= ⋅

wZ : Wellenwiderstand der hochohmigen Leitung

Auf die gleiche Weise findet man durch Gleichsetzen von AL21 und AT21 sowie AL11 und AT11

w

sinC

Z

θω = (12.19)

w w

1 cosL Z Z tan

sin 2

θ θωθ

− = =

(12.20)

Für / 2θ π< und Zw niederohmig ist wsin / Zθ positiv und 1

LC

ωω

. Dadurch kann eine Kapazität

durch eine niederohmige Leitung approximiert werden.

w

sinC

Z

θω

= (12.21)

Die notwendige Leitungslänge wird

( )1C c w

c re

csin Z Cω

ω ε−= (12.22)

Weiter können noch die induktiven und kapazitiven Anteile der hochohmigen und niederohmigen, benachbarten Leitungen berücksichtigt werden. Die Situation mit den oben verwendeten Ersatzschaltungen zeigt für eine Induktivität Li die Abbildung 12-14.

Abbildung 12-14: Benachbarte Situation für eine Induktivität

Die Induktivität L’i der Tiefpassschaltung mit konzentrierten Elementen setzt sich zusammen aus der Induktivität Li der hochohmigen Leitung und den parasitären Induktivitäten Li+1 und Li-1 der beiden benachbarten niederohmigen Leitungen. Die Leitungslänge der hochohmigen Leitung muss also um die Leitungslängen der parasitären Induktivitäten verkleinert werden.

Nach Abbildung 12-14 muss gelten

i i 1 i 1Z Z Z Z− += + + (12.23)

Z: Impedanz der Induktivität des Tiefpasses mit konzentrierten Elementen Zi: Impedanz der hochohmigen i-ten Leitung


Zi-1: Impedanz der niederohmigen i-1-ten Leitung Zi+1: Impedanz der niederohmigen i+1-ten Leitung

Die Gleichungen (12.15) und (12.20) in (12.23) eingesetzt

' i 1 i 1L i L i C CZ sin Z sin Z tan Z tan

2 2

θ θθ θ − + = + +

(12.24)

ZL = Zi: Wellenwiderstand der hochohmigen Leitung ZC = Zi-1 = Zi+1: Wellenwiderstand der niederohmigen Leitung

Mit c mm c

ωθ =

und der Approximation für kleine θ mit sin tanθ θ θ≈ ≈

' i 1 i 1L i L i C CZ Z Z Z

2 2− += + + (12.25)

Erhält man für die korrigierte Länge der hochohmigen Leitung

' C i 1 i 1i i

L

Z

Z 2− ++ = −

(12.26)

Analog dazu findet man für die korrigierte Länge der niederohmigen Leitung gemäss Abbildung 12-15 das gleiche Resultat

Abbildung 12-15: Benachbarte Situation für eine Kapazität

' CL i 1 i 1 i 1 i 1i i i

C L

ZY

Y 2 Z 2− + − ++ + = − = −

(12.27)

Beispiel 12–1: Stepped Impedance Tiefpassfilter

Stepped Impedance Tiefpassfilter mit fc = 1000 MHz, Chebyshev-Charakteristik, Ar = 0.05 dB, n = 5, erstes Element parallel, Substrat RO4350, 60 mil, εr = 3.48, tanδ = 0.0037, wmin = 0.3 mm, wmax = 12 mm.

Der Designablauf erfolgt gemäss Abbildung 12-2 und wird in diesem Beispiel detailliert gezeigt. Die Filtersynthese nach Kapitel 8.1, 10.1 und 10.2 ergibt folgende Elementwerte für die konzentrierten Elemente:

50Ω 50Ω

2012 F.

Simu

Mit „LPerm

Alle C(w = 0

Berec

Z

C

ω

-

-

-

-

dB(S

(2,1

))dB

(S(1

,1))

Dellsperger

lationsresult

Line“ (oder „Lmittivitäten für

C werden mit0.3 mm).

chnung der L

Zlow 20.16Ω⋅:=

C1 3.178pF⋅:=

ωc 2 π⋅ fc⋅:=

10

-60

-40

-20

-80

0

r

tat des Tiefpa

Linecalc“ in Ar die Leiterbr

t 20.16 Ω - L

Leitungsläng

Ω Zhigh

F L2 10:=

c 3 108⋅:=

2 3

freq, GHz

asses mit ko

ADS) werdenreiten von 0.2

Leitungen (w

en:

134.2Ω⋅:=

.938nH⋅ C3

4 5

onzentrierten

n die Wellenw2 mm und 12

= 12 mm) er

εre.low 3.:=

3 5.82 pF⋅:=

5 0.0

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

dB

(S(2

,1))

Elementen:

widerstände2 mm bestim

rsetzt, alle L

05 εre.high

L4 L2:=

0.2 0.4

fre

und effektiv mmt:

w

0.3 mm

12 mm

3.4 mm

mit 134.2 Ω

h 2.363:= f

C5 C1:= Z

0.6 0.8

eq, GHz

wirksamen

Zw

m 134.2 Ω

20.16 Ω

m 50.0 Ω

- Leitungen

fc 1000MH⋅:=

Z0 50 Ω⋅:=

1.0 1.2

90

εre

Ω 2.363

Ω 3.05

2.738

Hz

0


lC1c

ωc ε re.low⋅asin ωc Zlow⋅ C1⋅( )⋅ 11.327mm⋅=:=

lL2c

ωc ε re.high⋅asin

ωc L2⋅

Zhigh

⋅ 16.699mm⋅=:=

lC3c

ωc ε re.low⋅asin ωc Zlow⋅ C3⋅( )⋅ 22.663mm⋅=:=

lL4 lL2 16.699mm⋅=:=

lC5 lC1 11.327mm⋅=:=

Korrigierte Leitungslängen:

lĆ1 lC1

Zlow

Zhigh

lL2

2⋅− 10.073mm⋅=:=

l´L2 lL2

Zlow

Zhigh

lC1

2

lC3

2+

⋅− 14.146mm⋅=:=

lĆ3 lC3

Zlow

Zhigh

lL2

2

lL2

2+

⋅− 20.154mm⋅=:=

l´L4 l´L2 14.146mm⋅=:=

lĆ5 lĆ1 10.073mm⋅=:=

Simulationsresultat:

In dieser Simulation sind keine Diskoninuitäten (Sprünge der Leiterbreiten) und keine Verluste (tanδ = 0, Leitwert des Kupfers = ∞) eingefügt. Die Simulation zeigt eine ca. 10% zu tiefe Grenzfrequenz und eine zu kleine Welligkeit im Durchlassbereich. Zu beachten ist das erste Pseudopassband bei ca. 4 GHz und die endliche Dämpfung im Sperrbereich.

Im nächsten Simulationsschritt wird eine Optimierung durchgeführt bis die Grenzfrequenz und Welligkeit den Vorgaben entspricht. In der Optimierung wird an Stelle der Welligkeit die Rückflussdämpfung (Returnloss) als Zielgrösse verwendet, weil die absolute Wertänderung dort viel grösser ist. Der Zusammenhang zwischen Dämpfung und Reflexion wurde in Kapitel 1.4 aufgezeigt und ist gemäss Gleichung (8.8):

r

min A

10

1RL 20log

1 10−

=

−

1 2 3 40 5

-60

-40

-20

-80

0

freq, GHz

dB

(S(2

,1))

dB

(S(1

,1))

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 1.2

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

freq, GHz

dB

(S(2

,1))


Für die in diesem Beispiel geforderte Welligkeit von Ar = 0.05 dB erhält man eine minimale Rückflussdämpfung im Durchlassbereich von 19.4 dB. In der Simulation wird 1120log S verwendet,

was einen negativen Wert ergibt (= „Rückflussverstärkung“, dieser Ausdruck wird aber nie verwendet).

Für die Optimierung werden die Leitungsängen L1, L2 und L3 in einem kleinen Wertebereich zur Variation freigegeben. Als Zielgrösse (Goal) wird 1120log S = dB(S11) < -19.4 dB im

Durchlassbereich vorgegeben.

Optimierung in ADS:

MLINTL7

L=8 mmW=W50 mmSubst="MSub1"

MLINTL1


GoalOptimGoal1

RangeMax[1]=1 GHzRangeMin[1]=1 MHzRangeVar[1]="freq"Weight=Max=-19.4Min=SimInstanceName="SP1"Expr="db(S11)"

GOAL

OptimOptim1

SaveCurrentEF=noUseAllGoals=yesUseAllOptVars=yesSetBestValues=yesNormalizeGoals=noFinalAnalysis="None"StatusLevel=4DesiredError=0.0MaxIters=25OptimType=Random

OPTIM

S_ParamSP1

Step=1.0 MHzStop=5 GHzStart=1 MHz

S-PARAMETERS

MSUBMSub1

Rough=0 mmTanD=0T=0 mmHu=1.0e+033 mmCond=1.0E+50Mur=1Er=3.48H=60 mil

MSub

TermTerm2

Z=50 OhmNum=2

MLINTL6

L=L1 mmW=Wlow mmSubst="MSub1"

MLINTL5

L=L2 mmW=Whigh mmSubst="MSub1"

MLINTL4


MLINTL3


MLINTL2


VARVAR1

Whigh=0.3Wlow=12W50=3.4L3=19.2221 oL2=13.2919 oL1=10.7657 o

EqnVar

TermTerm1

Z=50 OhmNum=1

Nach dieser Optimierung können die Diskontinuitäten eingefügt und die Leitungslängen wieder optimiert werden.

OptimOptim1

SaveCurrentEF=noUseAllGoals=yesUseAllOptVars=yesSetBestValues=yesNormalizeGoals=noFinalAnalysis="None"StatusLevel=4DesiredError=0.0MaxIters=25OptimType=Random

OPTIM

MLINTL1


VARVAR1

Whigh=0.3Wlow=12W50=3.4L3=18.4139 oL2=12.2079 oL1=10.5181 o

EqnVar

MSTEPStep5

W2=Whigh mmW1=Wlow mmSubst="MSub1"

MLINTL5


MSTEPStep4


MLINTL4


MSTEPStep3


MLINTL3


MSTEPStep2


MLINTL2


MSTEPStep1

W2=W50 mmW1=Wlow mmSubst="MSub1"

GoalOptimGoal1

RangeMax[1]=1 GHzRangeMin[1]=1 MHzRangeVar[1]="freq"Weight=Max=-19.4Min=SimInstanceName="SP1"Expr="db(S11)"

GOAL

S_ParamSP1

Step=1.0 MHzStop=5 GHzStart=1 MHz

S-PARAMETERS

MSUBMSub1

Rough=0 mmTanD=0T=0 mmHu=1.0e+033 mmCond=1.0E+50Mur=1Er=3.48H=60 mil

MSub

TermTerm1

Z=50 OhmNum=1

1 2 3 40 5

-60

-40

-20

-80

0

freq, GHz

dB

(S(2

,1))

dB

(S(1

,1))

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 1.2

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

freq, GHz

dB

(S(2

,1))

2012 F.

Einfü

MM

RTaT=HCMErH

M

Jetzt berückleineRechin eineinemFrequbis koptim

Layou

dB

(S(2

,1))

dB

(S(1

,1))

dB

(S(2

,1))

dB

(S(1

,1))

Dellsperger

gen der Verl

MSUBMSub1

ough=2.4 umanD=0.0038=35 umu=1.0e+033 mond=5.8e7

Mur=1r=3.48=60 mil

MSub

kann das cksichtigt auce Unterschiehenzeiten alsnzelne Zellenm groben Meuenzpunkten

keine Unterscmalen Einstel

ut:

10

-60

-40

-20

-80

0

10

-60

-40

-20

-80

0

r

luste:

mm

Verluste:

Leitwert de

KupferdickeVerlusttangOberfläche

Layout erstech die Kopp

ede zur lineas die lineare n) und von desh (25 Zellen zu beginnechiede mehrlungen.

2

freq, GH

2

freq, GH

es Kupfers

egens des Deielenrauhigkeit des

ellt und einelungen zwiscren SimulatioSimulation u

der Anzahl Fen pro Wellen und das Mr festgestellt

3 4

Hz

3 4

Hz

ektrikumss Kupfers

e EM-Simulchen den nieon ergeben.

und ist stark arequenzpun

enlänge bei dMesh dann zut werden. M

5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

dB

(S(2

,1))

5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

dB

(S(2

,1))

ation durchgederohmigenDie EM-Sim

abhängig vokte die berecder höchstenu verfeinern uit etwas Erf

0.20.0

4

3

2

5

0

0.20.0

4

3

2

5

0

geführt werdn Leitungen. mulation benö

m „Meshing“chnet werden Simulationund die Freqfahrung finde

0.4 0.6

freq, GHz

0.4 0.6

freq, GHz

den. Die EMEs sollten s

ötigt wesentl“ (Aufteilung

en. Es empfiesfrequenz) u

quenzpunkte et man sehr

0.8 1.0

0.8 1.0

93

M-Simulationich nur nochich grössereder Struktur

ehlt sich, mitund wenigenzu erhöhen,

r schnell die

1.2

1.2

3

n h e r t

n ,

e

2012 F.

Resu

Vergl

12.3

Eine Serie

A

Die B

dB(S

(1,1

))dB

(S21

_Mom

)dB

(S11

_Mom

)

dB(S

(1,1

))dB

(Mea

s..S

(2,1

))dB

(Mea

s..S

(1,1

))

Dellsperger

ultat der linea

leich der line

3.2 Tiefp

weitere Meeinduktivität w

5

Abbildung 1

Berechnung d

0

-60

-40

-20

-80

0

dB(S

(2,1

))(

(,

))

0

-40

-30

-20

-10

-50

0

dB(S

(2,1

))

r

aren und EM

earen Simula

passfilter m

ethode ist, wird wie bei S

L

C

high Zw

50Ω

Open Stub

12-16: Tiefpa

der hochohm

1 2

freq,

1 2

freq, G

-Simulation n

ation und der

mit Stubs

die ParalleStepped Imp

C

50Ω

assfilter mit

migen Leitung

3 4

GHz

3 4

GHz

nach der Op

r Messung:

elkapazitätenpedance Filte

t leerlaufend

g erfolgt nac

dB(S

(2,1

))dB

(S21

_Mom

)

5dB

(S(2

1))

dB(M

eas.

.S(2

,1))

5

timierung:

durch leeern durch ein

den Stubs

h Gleichung

0.20.0

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

0.20.0

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

dB(S

(2,1

))

rlaufende Sne hochohmig

(12.18)

0.4 0.6

freq, GH

2 0.4 0.6

freq, G

Stubs zu erge Leitung a

0.8 1.0

Hz

0.8 1.0

GHz

94

rsetzen. Dieapproximiert.

1.2

1.2

4

e


1 cL

wc re

Lcsin

Z

ωω ε

− =

(12.28)

reε : effektiv wirksame Permittivität für die hochohmige Leitung

cω : Grenzkreisfrequenz des Tiefpasses

c: Lichtgeschwindigkeit im freien Raum 83 10 m / s= ⋅

wZ : Wellenwiderstand der hochohmigen Leitung

Für die Stubs gilt nach Gleichung (12.6)

cc w

restub

CZ tanc

ωω

ε

=

(12.29)

Es kann entweder Zw oder gewählt werden. Als Startwert für die Stublänge kann eine auf dem

Substrat gut realisierbare Länge von c

4

λ< mit c

c restub

c

fλ

ε= gewählt werden. Ergibt sich mit dem

gewälten ein unrealistisch kleiner Wellenwiderstand Zw, muss iterativ ein Kompromiss gesucht werden. Stubs mit niederohmigem Wellenwiderstand können auch mit zwei parallel geschalteten Stubs realisiert werden. Da reε von Zw abhängt, ist ein iterativer Prozess zur Bestimmung der

Stubleitungslänge notwendig. Da aber viele Diskontinuitäten nicht berücksichtigt werden und auch der genaue elektrische Verbindungspunkt der verschiedenen Leitungen nicht genau bekannt ist, wird eine CAE-Optimierung unumgänglich. Ein einfacher Dimensionierungsablauf wird in Beispiel 12–2 gezeigt.

Beispiel 12–2: Stub Tiefpassfilter

Stub Tiefpassfilter mit fc = 1000 MHz, Chebyshev-Charakteristik, Ar = 0.05 dB, n = 5, erstes Element parallel, Substrat RO4350, 60 mil, εr = 3.48, tanδ = 0.0037, wmin = 0.3 mm. (Wie Beispiel 12–1).

Die Synthese des Tiefpasses für konzentrierte Elemente ist identisch mit Beispiel 12–1.

Die hochohmigen Leitungen zur Approximation der Induktivitäten werden mit Leiterbreiten vo 0.3 mm realisiert. Damit wird mit (12.28) die Länge der beiden hochomigen Leitungen

2 4 16.7 mm= =

Mit der Schätzung von restub 3.3ε = und der Wahl der Leitungslängen für die Stubs von

c1 3 5

restub

16.51mm10

λε

= = = = werden mit Gleichung (12.29) die Wellenwiderstände für die

Stubs

w1 w5

w3

Z Z 36.4

Z 19.9

ΩΩ

= ==

Der Stub mit Zw3 ist so niederohmig, dass er durch zwei parallelgeschaltete Stubs mit Zw3a = 38.6 Ω realisiert werden muss. In „Line“ können nun für diese Impedanzen die effektiven Permittivitäten bestimmt werden zu

re1 re32.854 2.822ε ε= =

Mit diesen Werten wird nun 1 neu berechnet und in „Line“ die Leiterbreiten für Zw1 und Zw3bestimmt:

2012 F.

Berec

W

B

Z

lL

Z

lL

Nach

Da doptim

Layou

Dellsperger

Z

Z

Z

chnungen:

Zlow 20.16:=

C1 3.178pF⋅:=

ωc 2 π⋅ fc⋅:=

Wahl der Leit

lstub10 ε⋅

:=

Berechnung v

Zw1

tanω

:=

L2c

ωc εre⋅:=

Zw3

tanω

:=

L4 lL2 16=:=

h Einfügung a

ie Diskontinmale Leitungs

ut:

r

1

w1 w5

w3

w3a w3

17.80 mm

Z Z 3

Z 19.9

Z 2Z

Ω

== === =

6Ω⋅ Zhigh

F L2 10:=

c 3 108⋅:=

tungslänge fü

λ

ε re.stub17=

von Zw der Stu

ωc lstub⋅ ε re.⋅

c

ωc C1⋅

e.highasin

ω

Z

⋅

ωc lstub⋅ ε re.⋅

c

ωc C3⋅

6.699mm⋅

aller Diskonti

1 5

2 4

3

19.2

14.0

19.4 mm

= == ==

uitäten beimslänge diese

m

36.4 w

39.8 w

Ω

Ω=

134.2Ω⋅:=

0.938nH⋅ C

8 λc

f:=

ür die Stubs:

7.802mm⋅

ubs:

stub 36.3=

ωc L2⋅

Zhigh

16.6=

stub 19.8=

inuitäten liefe2 mm

0 mm

m

m mittleren Sr Stubs versc

1

3

w 5.52 mm

w 4.84 m

=

=

εre.stub 2:=

C3 5.82 pF⋅:=

c

fc300 mm⋅=

385Ω⋅

699mm⋅

868Ω⋅

ert die Optim

Stub verschiechieden zu d

m

m

2.84 εre.high

L4 L2:=

mierung der L

eden sind zuden anderen

h 2.363:=

C5 C1:=

Leitungslänge

u den äusseStubs.

fc 1000 MH⋅:=

Z0 50 Ω⋅:=

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eren Stubs,

96

Hz

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6

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2012 F.

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Gegeauf. zwiscder lin

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dB(S

(1,1

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_Mom

)

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C

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-60

-40

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r

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Radialstub:

1 2

freq, GHz

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nannte Radiche Leitungs

eine beschrän Radialstub

20 r r

2h

ε ε α

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3 4

z

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Layout sollte

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dicke tät des Vaku

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0.0

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

dB(S

(2,1

))dB

(S21

_Mom

)

5

timierung:

Stubfilter gröe der Stubspplungen zwmodelliert.

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geführt werdötigen allerdinhl Radialstube Kapazität v

uum = 8.854

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0.2 0.4

f

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lich so sein,

en. Sie weisngs in der Brbs angebracverwendet w

10-12 F/m

0.6 0.8

freq, GHz

pfungen im Ss grössere Stubs zurück

dass die Ko

sen eine etwreite mehr Pcht werden

werden:

1.0 1.2

97

SperrbereichAbweichung

kzuführen. In

pplung unter

was grösserelatz, so dasskönnen. Als

(12.30)

7

h g n

r

e s s


Resultat der linearen und EM-Simulation nach der Optimierung:

12.3.3 Tiefpassfilter mit kommensurablen Leitungen

Mit Hilfe der Richard’s Transformation und den Kuroda-Identitäten können Tiefpassfilter mit Stubs realisiert werden. Alle Leitungen weisen die Leitungslänge von λ/8 bei ωc auf. Die Stubs sind durch λ/8-Leitungen voneinander distanziert. Diese Filter weisen eine Periodizität von 4ωc auf. Wie die Simulation bestätigt, weist das Filter eine Bandpasscharakteristik mit der Mittenfrequenz 4ωc und einer Bandbreite von 2ωc auf. Die nichtideale Welligkeit im Bandpassbereich entsteht durch die Diskontinuitäten bei den Verbindungen der Leitungen und kann durch eine Optimierung der Leitungslängen korrigiert werden.

Der Tiefpassprotoyp muss so transformiert werden, dass er nur aus Unit Elementen und Parallelkapazitäten besteht. Diese Elemente können mit Serieleitungen und leerlaufenden Parallelstubs realisiert werden.Der Ablauf der Synthese dieser Filter ist wie folgt:

a) Synthese des Protoyp-Tiefpasses gemäss Kapitel 8.1. Abbildung 12-17 a).

b) Auf der Quellen- und Lastseite wird je ein Unit-Element UE mit dem Wellenwiderstand 1 eingefügt. Diese Elemente verändern den Amplitudengang des Filters nicht, sondern nur den Phasengang der Übertragungsfunktion. Abbildung 12-17 b).

c) Die in Abbildung 12-17 b) grün hinterlegten Elemente werden mit der Kuroda-Identität 1 in die Schaltung gemäss Abbildung 12-17 c) transformiert.

d) Auf der Quellen- und Lastseite wird je ein weiteres UE mit dem Wellenwiderstand 1 eingefügt. Abbildung 12-17 d).

e) Die in Abbildung 12-17 d) grün hinterlegten Elemente werden mit der Kuroda-Identität 2 in die Schaltung gemäss Abbildung 12-17 e) transformiert.

f) Alle Elemente in Abbildung 12-17 e) werden mit der gewünschten Systemimpedanz (50 Ω) multipliziert und in Leitungselemente transformiert. Die Kapazitäten mit Hilfe der Richard’s Transformation in leerlaufende Stubs mit der Länge λ/8 bei ωc, und die UE in Serieleitungen mit der Länge λ/8 bei ωc. Daraus entsteht die Leitungsstruktur gemäss Abbildung 12-17 f). Alle Leitungen lassen sich als Mikrostrip realisieren.

Typisch für diese Tiefpässe sind:

- Die UE weisen hohe Wellenwiderstände auf.

- Die Stubs am Ein- und Ausgang weisen hohe Wellenwiderstände auf.

- Die Stubs in der Mitte weisen niedrige Wellenwiderstände auf.

Zum Teil wird es schwierig die hohen Wellenwiderstände mit Mikrostrip-Leitungen zu realisieren. Stubs mit niedrigen Wellenwiderständen können durch zwei parallelgeschaltete Stubs realisiert werden.

Die hinzugefügten UE sind redundante Elemente. Das Filter enthält mehr Elemente als der Prototyptiefpass, daher werden diese Filtertypen auch als Filter mit redundanten Elementen bezeichnet.

0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 1.2

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

freq, GHz

dB(S

(2,1

))dB

(S21

_Mom

)

1 2 3 4 50 6

-60

-40

-20

-80

0

freq, GHz

dB(S

(2,1

))dB

(S(1

,1))

dB(S

21_M

om)

dB(S

11_M

om)


Z2=g2

=1.375

Z1=1/g1

=1.002Z3=1/g3

=0.547Z5=g5

=1.002

Z4=g4

=1.375

Z0=g1=1 Z6=g6=1

UE

Z=1

UE

Z=1Z0=g1=1 Z6=g6=1

Z2=Z4

Z1=Z5Z3

=0.547Z5

=1.002

Z4=1.375

UE

Za

UE

Za=0.5Z0=g1=1 Z6=g6=1

Z2=Z4

Z3

=0.547

Z4

=1.375 Z51=0.5Z11=Z51

UE

Za

UE

Za=0.5Z0=g1=1 Z6=g6=1

Z2=Z4

Z3

=0.547

Z4

=1.375 Z51=0.5Z11=Z51

UE

Z=1

UE

Z=1

UE

Zb

UE

Zb

=1.875

Z0=g1=1 Z6=g6=1Z3

=0.547

UE

Zc

UE

Zc=1.5Z42

=0.683Z52

=3.002Z22

=Z42

Z12

=Z52

0Z 50Ω= 6Z 50Ω=cZ 74.98Ω= cZ 74.98Ω=bZ 93.78Ω= bZ 93.78Ω=

42Z

34.1

3Ω

=

52Z

150.

1Ω

=

12Z15

0.1

Ω=

3Z

27.3

5Ω

=

22Z

34.1

3Ω

=

f)

a)

b)

c)

d)

e)

calle Leitungen haben die Länge / 8 bei λ ω

Abbildung 12-17: Dimensionierungsablauf für kommensurable Filter


Berechnungen:

Z 1:= Z5 1.002:= Z4 1.375:= Z3 0.547:=

Z´51Z

2

Z5 Z+0.5=:= Zá

Z5 Z⋅

Z5 Z+0.5=:=

Z´42 Zá 1Zá

Z4+

⋅ 0.683=:= Z´b Zá Z4+ 1.875=:=

Z´52 Z 1Z

Z´51+

3.002=:= Zć Z Z´51+ 1.5=:=

alle Impedanzen multipliziert mit 50Ohm:

Z42 Z´42 50⋅ Ω⋅ 34.134Ω=:= Zb Z´b 50⋅ Ω⋅ 93.775Ω=:=

Z52 Z´52 50⋅ Ω⋅ 150.1Ω=:= Zc Zć 50⋅ Ω⋅ 74.975Ω=:=

Z3 Z3 50⋅ Ω⋅ 27.35Ω=:=

Die physikalischen Abmessungen der Mikrostripleitungen werden wieder mit „Line“ bestimmt.

Synthese Optimierung Z Impedanz w

Z12, Z52 150.1 Ω 0.2 mm 24.6 mm 24.3 mm Zc 75.0 Ω 1.6 mm 23.3 mm 24.9 mm

Z22, Z42 34.13 Ω 6.0 mm 22.1 mm 22.8 mm Zb 93.78 Ω 1.0 mm 23.7 mm 22.7 mm Z3 27.35 Ω 8.15 mm 21.8 mm 23.1 mm

Layout:

Resultat der linearen und EM-Simulation nach der Optimierung:

Die Abweichungen zwischen linearer und EM-Simulation resultieren aus den Kopplungen zwischen den Stubs.

1 2 3 4 50 6

-60

-40

-20

-80

0

freq, GHz

dB(S

(2,1

))dB

(S(1

,1))

dB(S

21_m

om)

dB(S

11_m

om)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.20.0 1.4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-0.5

0.0

freq, GHz

dB(S

(2,1

))dB

(S21

_mom

)


12.4 Hochpassfilter

Mit Leitungselementen sind „echte“ Hochpassfilter nicht zu realisieren. Sie weisen alle Pseudosperrbänder oberhalb der Grenzfrequenz auf.

12.4.1 Hochpassfilter mit „quasi konzentrierten“ Elementen

Hochpassfilter mit konzentrierten Elementen enthalten immer Serie-Kapazitäten die mit Leitungselementen nicht realisiert werden können. Für diese Kapazitäten müssen konzentrierte Elemente verwendet werden, oder sie können bestenfalls mit „quasikonzentrierten“ Interdigitalkondensatoren ersetzt werden. Die Parallelinduktivitäten können mit kurzgeschlossenen Stubs ersetzt werden. Beide Elemente weisen Nachteile auf, die bei Hochpassfiltern zu unerwünschten Eigenschaften führen.

Werden konzentrierte Kapazitäten verwendet, wird der Abstand von Stub zu Stub sehr klein und führt zu Querkopplungen der Stubs untereinander. Um den Abstand der Stubs zu vergrössern können kurze Leitungsstücke auf beiden Seiten der Kondensatoren eingefügt werden, deren Induktivität aber durch vergrössern der Kapazitätswerte kompensiert werden müssen. Eine alternierende Seitenanordnung der Stubs vermindert die Querkopplungen, führt aber zu grösseren Abmessungen des Filters.

Interdigitalkondensatoren können nur für kleine Kapazitätswerte von fF bis ca. 0.5 pF realisiert werden.

Die Stubs haben nur bei der Grenzfrequenz die gewünschten Reaktanzen. Die Reaktanz steigt mit zunehmender Frequenz und zeigt das periodische Verhalten von Leitungen. Die Berechnung der Stubs erfolgt nach (12.3).

Abbildung 12-18: Interdigital Kondensator

Für W = s , in mm, n = Anzahl Finger und Substratdicke h >> W kann C approximiert werden zu

( ) ( )14rC 3.937 10 1 0.11 n 3 0.252ε− ≈ ⋅ + − +

12.4.2 Hochpassfilter mit Stubs

Mit Invertern können Hochpassfilter mit Stubs entwickelt werden. Da die Stubs und Inverter nur bei einer Frequenz approximiert werden können, sind die resultierenden Filtereigenschaften nicht optimal und eine Optimierung auf den gewünschten Hochpassbereich in einem CAE-Werkzeug ist unumgänglich. Die Synthese mit Invertern liefert gute Startwerte für die Optimierung. Im Beispiel 12–3 wird der Designablauf gezeigt.


Beispiel 12–3: Hochpassfilter mit Stubs

Hochpassfilter mit Stubs. fc = 2000 MHz, Chebyshev-Charakteristik, Ar = 0.05 dB, n = 3, Substrat RO4350, 60 mil, εr = 3.48, tanδ = 0.0037, t = 35 μm, Z0 = 50 Ohm.

Gewählt wird eine Hochpassstruktur mit dem ersten Element parallel. Dies resultiert in der kleinsten Anzahl Kapazitäten im Seriezweig.

Die normierten Elementwerte für den Prototyptiefpass werden gemäss Kapitel 8.1 oder mit Filtertabellen bestimmt. Aus den normierten Tiefpasselementen werden die normierten Elementwerte für den Prototyphochpass bestimmt:

HP

TP

ii

1g

g= (12.31)

HP0gHP1g

HP2g

HP3g HP4g

Prototyphochpass mit normierten Elementen

HP0gHP1g

HP2gHP3g HP4g

Transformation der Seriekapazität in eine Parallelinduktivität

/ 4λ

J-Inverter mit / 4λ -Leitung realisieren

/ 4λ

J-Inverter durch Leitungen ersetzen

/ 4λ / 4λ

Admittanztransformation: alle Admittanzen mit Y0 multiplizieren

o90θ = o90θ =

Z 50 Ω=Z 50 Ω=

o1Z

140

17.3

Ωθ

= =

o2Z

140

21.7

Ωθ

= =

o3Z

140

17.3

Ωθ

= =

Suszeptanzen durch Stubs ersetzen. Für die Stubimpeanz wurde 140 Ohm gewählt, dies entspricht auf dem Substrat einer Leiterbreite von 0.3 mm. Die Stublängen berechnen sich mit (12.3).


Stublängen: 1 si

i

Ytan

Gθ −

=

SS

1 1Y

Z 140Ω= = (12.32)

Das Filter enthält zwei Elemente mehr als der Prototyphochpass. Diese zusätzlichen Elemente dienen zur physikalischen Distanzierung der Stubs.

Mit „Line“ oder „LineCalc“ in ADS werden jetzt die physikalischen Abmessungen auf dem Substrat bestimmt.

50 Ω 50 Ω

EM-Simulation:

Oberhalb 8 GHz ist der zweite Sperrbereich deutlich ersichtlich.

1 2 3 4 5 6 7 8 90 10

-40

-30

-20

-10

-50

0

freq, GHz

dB

(S2

1_

mo

m)

dB

(S1

1_

mo

m)

1 2 3 4 5 6 7 8 90 10

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-1.0

0.0

freq, GHz

dB

(S2

1_

mo

m)


12.5 Bandpassfilter

Für die Realisation von Bandpassfiltern in Mikrostrip sind die fünf unten aufgeführten Grundstrukturen üblich. Diese Strukturen weisen prinzipiell keine Kreuzkopplungen auf. Unter Kreuzkopplungen versteht man Kopplungen z.B. vom Eingang auf den Ausgang oder unter nicht benachbarten Resonatoren. Die Theorie zu den hier gezeigten Strukturen ist in Lit. [2[, aber auch in Lit. [5], [6], [7], [8], [9] und [10] zu finden.

/ 2λ / 2λ

/ 4λ/ 4λ

/4λ

/4λ

<

Abbildung 12-19: Strukturen für Bandpassfilter

a) Bandpassfilter mit endgekoppelten Leitungen. Die Leitungen bestehen aus λ/2-Resonatoren die an ihren Enden kapazitiv gekoppelt sind. In Mikrostrip werden die Kapazitäten durch Leitungszwischenräume (Gaps) realisiert. Damit sind nur kleine Kapazitäten realisierbar und dieser Filtertyp eignet sich vorwiegend für kleine Bandbreiten (< 10%).

b) Bandpassfilter mit parallel gekoppelten Leitungen. Dieser Filtertyp besteht aus parallel gekoppelten λ/2-Resonatoren (edge-coupled). Die Resonatorlänge beträgt λ/2 bei der Mittenfrequenz f0. Die Resonatoren sind so angeordnet, dass sie über die halbe Länge (λ/4) mit dem vorangehenden und nachfolgenden Resonator gekoppelt sind. Diese Parallelanordnung ergibt wesentlich grössere Kopplungen als bei kapazitiv gekoppelten Resonatoren und ermöglicht daher auch die Realisation von grösseren Bandbreiten. Die parallel gekoppelten Leitungen können in verschiedenen geometrischen Anordnungen, wie ZigZag und Hairpin angeordnet werden.

c) Interdigital Bandpassfilter. Dieses Filter besteht aus einseitig kurzgeschlossenen, untereinander gekoppelten λ/4-Resonatoren. Die Realisation in Mikrostrip resultiert manchmal in der Schwierigkeit, einen niederohmigen, induktionsarmen Kurzschluss auf kleinem Raum zu realisieren. Bei durchplatierten Verbindungen (Via) zur Massefläche auf der Rückseite sollten mehrere Vias parallel verwendet werden.

d) Combline Bandpassfilter. Diese Filterstruktur besteht aus einseitig kurzgeschlossenen, untereinander gekoppelten, verkürzten λ/4-Resonatoren. Auf der leerlaufenden Seite werden die Resonatoren durch


Kapazitäten elektrisch verlängert. Diese Kapazitäten können auch abstimmbar ausgeführt werden, z.B. Abstimmschrauben die dem Leitungsende genähert werden. Alle Resonatoren sind auf der gleichen Seite kurzgeschlossen, so dass dort eine grössere Massefläche mit vielen Vias angebracht werden kann. Damit erzielt man sehr gute Kurzschlüsse.

e), f) Bandpassfilter mit leerlaufenden oder kurzgeschlossenen Stubs. Je nach Dimensionierung können die Stubs eine Länge von λ/4 oder λ/2 aufweisen. Zum Teil haben diese Filter nur „Quasi-Bandpass“ Charakteristik, d.h. es sind Tiefpassfilter bei denen die Bandpasscharakteristik bei harmonischen Frequenzen ausgnützt wird. Siehe auch Kapitel 12.3.

Alle diese Filtertypen sind empfindlich auf die Genauigkeit der Abmessungen. Streuungen in der Herstellung verschlechtern die Eigenschaften, so dass die realisierten Filter meist schlechtere Eigenschaften aufweisen als in der Simulation. Wenn in der Simulation im Durchlassbereich minimale Rückflussdämpfungen von 20 dB erreicht werden, weisen realisierte Filter vielleicht nur noch 15 dB auf. Die Dimensionierungsmethoden für diese Filtertypen approximieren ideale Elemente mit Leitungselementen, die nur in einem schmalen Frequenzbereich die gewünschten Eigenschaften aufweisen. Die Verwendung der Synthese der Tiefpass Prototypelemente gemäss Kapitel 7 und 8 mit der Tiefpass-Bandpass-Transformation nach Kapitel 10.4 weisen im Sperrbereich symmetrische Dämpfungsverläufe auf, die durch die Verwendung von Leitungselementen unsymmetrisch werden und unerwünsche Durchlassbereiche bei vielfachen Frequenzen der gewünschten Durchlassbereiche aufweisen.

12.5.1 Bandpassfilter mit endgekoppelten Leitungen

Dieser Filtertyp besteht aus kapazitiv gekoppelten λ/2-Resonatoren. Die Resonatorlänge beträgt λ/2 bei der Mittenfrequenz f0. Die Koppelkapazitäten bestehen aus den Zwischenräumen an den Enden der Resonatoren. Die physikalische Länge des Zwischenraumes kann für eine gegebene Kapazität mit Hilfe einer EM-Simulation, oder unter Beizug eines in der Spezialliteratur beschriebenen Modelles bestimmt werden. CAE-Systeme enthalten diese Element-Modelle für Mikrostrip und andere Leitungsformen.

/ 2λ / 2λ

Abbildung 12-20: Bandpassfilter mit endgekoppelten Leitungen und Ersatzschaltbild

Die negativen Kapazitäten der Inverter müssen in den Leitungslängen 1θ bis nθ absorbiert werden.

Es kann gezeigt werden, dass eine schwach angekoppelte λ/2-Leitung sich wie ein Parallelresonanzkreis verhält. Daher können aus der allgemeinen Bandpasstransformation gemäss Abbildung 11-19 die Dimensionierungsgleichungen hergeleitet werden.

1θ 2θ nθ

1 2 n

Abbildung 12-21: Abmessungen


0,1 w0 1

FBWJ Y

2g g

⋅= π (12.33)

i,i 1 w

i i 1

FBWJ Y i 1....n 1

2 g g+

+

⋅= = −π (12.34)

n,n 1 wn n 1

FBWJ Y

2g g++

⋅= π (12.35)

2 1 2 1

0 1 2

FBW− −

= =ω ω ω ω

ω ω ω (12.36)

FBW: Fractional Bandwidth, normierte Bandbreite 0 1 n 1g ,g ...g + : normierte Tiefpasselemente

Wenn der Gap als perfekte Seriekapazität mit der Suszeptanz Bi,i+1 betrachtet wird gilt:

i,i 1i,i 1 2

i,i 1

w

JB

J1

Y

++

+

=

−

(12.37)

und

i 1,i i,i 11 1i

w w

2B 2B1tan tan rad

2 Y Yθ π − +− −

= − +

(12.38)

Der zweite Term der rechten Seite dieser Gleichung entspricht der Absorption der negativen Kapazitäten der J-Inverter. Die erste und letzte negative Kapazität der J-Inverter können durch die Resonatoren nicht absorbiert werden. Eine induktive Korrektur der Quelle und Last kann, falls überhaupt notwendig, durch ein induktives Leitungsstück auf der Last- und Quellenseite erfolgen.

Die Kopplungskapazitäten können berechnet werden aus

i,i 1i,i 1

0

JC

ω+

+ = (12.39)

Der Gap kann in einem EM-Simulator ohne Einschränkung der physikalischen Parameter simuliert werden und damit der Gapabstand bestimmt werden. In der Simulation werden die Y-Parameter der Struktur auf den Deembedding Ebenen bestimmt.

[ ] 11 12

21 22

Y YY

Y Y

=


Aus den Y-Parametern lassen sich die Kapazitäten Cs und Cp des Ersatzschaltbildes bestimmen:

( ) ( )21 11 21

s p0 0

Im Y Im Y YC C

ω ω+

= − = (12.40)

Beispiel 12–4: Bandpassfilter mit endgekoppelten Leitungen

Bandpassfilter mit endgekoppelten Leitungen. f0 = 3000 MHz, Bandbreite B = 100 MHz, Chebyshev-Charakteristik, Ar = 0.05 dB, n = 3, Substrat RO4350, 60 mil, εr = 3.48, tanδ = 0.0037, t = 35 μm, Zw = 50 Ohm.

Die Filtersynthese nach Kapitel 8.1 und 10.4 ergibt folgende Elementwerte für den normierten Tiefpass: g0 = g4 = 1, g1 =g3 = 0.879, g2 = 1.113

Die Berechnung der Inverter, Suszeptanzen der Kondensatoren, Kapazitäten und elektrischen Leitungslängen gemäss Geichungen (12.33) bis (12.39) ergibt:

0,1 3,4 1,2 2,3

0,1 3,4 1,2 2,3

0,1 3,4 1,2 2,3

o o1 3 2

J J 4.882 mS J J 1.059 mS

B B 5.191mS B B 1.062 mS

C C 0.275 pF C C 0.056 pF

2.849 rad 163.25 3.036 rad 173.94θ θ θ

= = = =

= = = =

= = = =

= = = = =

Auf dem Substrat RO4350 werden mit Zw = 50 Ohm die Leitungsabmessungen:

1 3 2w 3.4 mm 27.26 mm 29.0 mm= = = =

1θ 2θ 3θ

1 27.26 mm= 2 29.0 mm= 3 27.26 mm=

Für die Kapazität von 0.275 pF resultiert beim Gap ein unrealisierbar kleiner Gapabstand s, so dass diese Kapazität durch einen Gap mit Parallelschaltung einer verlustarmen, konzentrierten Kapazität (z.B. von ATC) realisiert werden muss. Nach Bestimmung der Gapabstände in einer EM-Simulation und Optimierung der Leitungslängen ergibt sich folgende Realisation:


2θ

2 28.6 mm=

1θ

1 26.9 mm=0,1s 0.42 mm= 1,2s 0.65 mm=

Simulationsresultat (verlustlos):

12.5.2 Bandpassfilter mit parallel gekoppelten Leitungen

Dieser Filtertyp besteht aus parallel gekoppelten λ/2-Resonatoren (edge-coupled). Die Resonatorlänge beträgt λ/2 bei der Mittenfrequenz f0. Die Resonatoren sind so angeordnet, dass sie über die halbe Länge (λ/4) mit dem vorangehenden und nachfolgenden Resonator gekoppelt sind. Diese Parallelanordnung ergibt wesentlich grössere Kopplungen als bei kapazitiv gekoppelten Resonatoren und ermöglicht daher auch die Realisation von grösseren Bandbreiten.

/ 4λ1

2

3

4

5

6

0Z

Abbildung 12-22: Bandpassfilter mit gekoppelten Leitungen

θ

1Z

1Z

( ) ( )2 2 20e 0o 0e 0o

1

Z Z Z Z cosZ

2sin

θθ

− − +=

( )1Re Z

θ2π

32ππ

2π

Abbildung 12-23: Eigenschaften der gekoppelten Leitung

θ θ

0Z0ZJ

o90−

2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.82.0 4.0

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

-80

0

freq, GHz

dB

(S(2

,1))

dB

(S(1

,1))

2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10 3.152.80 3.20

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-1.0

0.0

freq, GHz

dB

(S(2

,1))


Abbildung 12-24: Ersatzschaltbild der gekoppelten Leitung

/ 4λ

0Z

1J

o90−

2J

o90−

3J

o90−

/ 4λ / 4λ / 4λ / 4λ / 4λ / 4λ

1J

o90−

2J

o90−

3J

o90−

Abbildung 12-25: Entwicklung der äquivalenten Schaltung

Aus der äquivalenten Schaltung geht hervor, dass ein Bandpassfilter n-ter Ordnung n+1 gekoppelte Leitungen enthält.

1

0Z

Abbildung 12-26: Abmessungen des Bandpassfilters mit gekoppelten Leitungen

Dimensionierungsgleichungen:

1 00 1

FBWJ Y

2g g

⋅= π (12.41)

i 0

i 1 i

FBWJ Y i 2....n

2 g g−

⋅= =π (12.42)

n 1 0n n 1

FBWJ Y

2g g++

⋅= π (12.43)

2 1 2 1

0 1 2

FBW− −

= =ω ω ω ω

ω ω ω (12.44)


FBW: Fractional Bandwidth, normierte Bandbreite 0 1 n 1g ,g ...g + : normierte Tiefpasselemente

2

i iwe,i

0 0 0

J J1Z 1 i 1,2...n 1

Y Y Y

= + + = +

(12.45)

2

i iwo,i

0 0 0

J J1Z 1 i 1,2...n 1

Y Y Y

= − + = +

(12.46)

we,iZ : Even Mode Impedanz des Kopplers

wo,iZ : Odd Mode Impedanz des Kopplers

' 0i i

4re,i ro,i

1

4= − = −

λΔ Δ

ε ε (12.47)

reε : Effektive Permittivität für den Even Mode

roε : Effektive Permittivität für den Odd Mode

Δ : äquivalente Länge der open end Diskontinuität

Für die Leitungsverkürzung Δ durch die Fringingkapazität der leerlaufenden Leitung gibt Lit. [13] eine empirische Gleichung an:

w

0.1 10h

≤ ≤

reff

reff

w0.2620.3 h0.412

wh 0.258 0.813h

+ε +Δ = ⋅ε − +

mit reff re,i ro,iε ε ε= (12.48)

0.1 1 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

w / h

Del

ta l

/ h

r eff 2ε =

r eff 3ε =

r eff 4ε =

r eff 6ε =

r eff 8ε =

Die physikalischen Abmessungen wi, si, 'i und re,iε und ro,iε werden mit o90θ = , we,iZ und wo,iZ mit

„Line“ bestimmt.

Beispiel 12–5: Bandpassfilter mit parallel gekoppelten Leitungen

2012 F.

BandCheb35 μm

Die FTiefp

Die Bbis (1

Auf d

Die L

Die o

1

2

w

w

=

=

Layou

Simu

-

-

-

-

dB(S

(2,1

))dB

(S(1

,1))

Dellsperger

dpassfilter mibyshev-Charam, Zw = 50 O

Filtersyntheseass: g

Berechnung d12.46) ergibt:

J

Z

Z

dem Substrat

w

w

Längenkorrek

ΔΔ

optimierten A

4

3

w 2.94 m

w 3.38 m

=

= =

ut:

lationsresult

2.2 2.4 2.62.0

-60

-40

-20

-80

0

r

t parallel gekakteristik, Ar

Ohm. (Wie Be

e nach Kapit0 = g4 = 1, g1

der Inverter, :

1 4

we,1 we,4

we,2 we,3

J J 4.88

Z Z

Z Z

= == =

= =

t RO4350 we

1 4

2 3

w w 2.9

w w 3.

= =

= =

kturen nach (

1 4

2 3

0

0

Δ ΔΔ Δ

= == =

Abmessungen

1

2

mm s

mm s

tat (verlustlos

6 2.8 3.0 3.2 3

freq, GHz

koppelten Le= 0.05 dB, n

eispiel 12–4)

el 8.1 und 101 =g3 = 0.879

Odd- und Ev

82 mS

65.18

52.79

=

=

Ω

Ω

erden die Lei

94 mm

38 mm

(12.48) erge

0.236 mm

0.268 mm

→→

n betragen:

4

3

s 0.65

s 3.68

= =

= =

s):

.4 3.6 3.8 4.0

eitungen. f0 =n = 3, Substr.

0.4 ergibt fol9, g2 = 1.113

ven-Impedan

2

wo,1

wo,2

J J

Z

Z

=

itungsabmes

1 4

2 3

s s 0

s s 3

= =

= =

ben:

1

2

→ =→ =

1

2

mm

mm

2.90

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-1.0

0.0

dB(S

(2,1

))

= 3000 MHz, rat RO4350,

gende Elem3

nzen der Kop

3

wo,4

wo,3

J 1.059 m

Z 40.

Z 47.

== =

= =

ssungen:

.64 mm

3.6 mm

4

3

15.07 m

14.81m

==

4

3

14.46

14.35

= =

= =

2.95 3.00

freq, G

Bandbreite B60 mil, εr = 3

entwerte für

ppler gemäss

mS

78

.49

Ω

Ω

' '1 4

' '2 3

15

15

= =

= =

mm

mm

6 mm

5 mm

0 3.05

GHz

B = 100 MHz3.48, tanδ = 0

den normier

s Geichunge

5.331mm

5.072 mm

3.10

-40

-30

-20

-10

-50

0

dB(S

(1,1))

111

z, 0.0037, t =

rten

en (12.41)


12.5.3 Zig-Zag und Hairpin Bandpassfilter

Das Bandpassfilter mit parallel gekoppelten Leitungen gibt eine kleine Flächenausnutzung, wenn es in der Form von Abbildung 12-27 a) realisiert wird. Bessere Ausnutzungen ergeben das Zig-Zag- und das Hairpin-Filter gemäss Abbildung 12-27 b) und c). Diese Bauformen enthalten zusätzliche Diskontinuitäten und zusätzliche Kopplungen zwischen benachbarten Kopplern. Um diese Nichtidealitäten zu berücksichtigen wird eine Optimierung in einem CAE-Werkzeug unumgänglich. Die Kopplung zwischen den benachbarten Kopplern ist in linearen Simulatoren nur unbefriedigend zu modellieren und erfolgt normalerweise in einer EM-Simulation. Für die physikalischen Abmessungen können die Startwerte für die Optimierung gemäss Kapitel 12.5.2 und einigen weiteren Approximationen gewonnen werden.

/ 4λ

12

3

4

5

6

0Z

1 2 3 4 5 60Z

0Z 0Z

/4λ

a)

b)

c)

Abbildung 12-27: Verschiedene Bauformen des Bandpassfilter mit parallel gekoppelten Leitungen. a): Inline, b): Zig-Zag, c) Hairpin


/ 4λ

0Z

/ 4λ

0Z

a b

b c b

/ 4λ

/ 4λ

0Zb b

b b

ca

Abbildung 12-28: Entwicklung der Hairpin-Struktur aus der Inline-Struktur

Die Länge b sollte so gewählt werden, dass die Kopplung zwischen benachbarten Kopplern

möglichst gering wird. EM-Simulationen zeigen, dass diese Bedingung hinreichend erfüllt ist, wenn b

10 bis 20% von / 4λ beträgt. Da die Kopplungslänge um b verkürzt wird, muss die verminderte

Kopplung durch Verkleinerung des Abstandes s korrigiert werden.

Die Ankopplung des Ein- und Ausgang des Filters kann auch über einen galvanischen Anzapf (Tab) gemäss Abbildung 12-29 erfolgen.

0Z

t

rZ

Abbildung 12-29: Tapped Hairpin

In Lit. [12] wird eine Approximation für Berechnung von t geliefert.

1 0 rt

e

Z / Z2sin

2 Q

ππ

− =

(12.49)

0 1e

g gQ

FBW=

Beispiel 12–6: Hairpin Bandpassfilter

Das Filter aus Beispiel 12–5 soll als Hairpin realisiert werden.

2012 F.

Die D

Leitun

In ADLeiterKopp

Die o

1

2

w

w

=

=

Die Lvergr

Simu

Die EDurchResu

Layou

MBe

WSu

-

-

-

-

dB(S

(2,1

))dB

(S(1

,1))

Dellsperger

Dimensionier

ngslänge + c

DS werden drbreiten) zur

plungsleitung

optimierten A

4

3

w 2.94 m

w 3.38 m

=

= =

Leitungslängerössert. Eine

lationsresult

EM-Simulatioh kleine Korr

ultate erreicht

ut:

SOBND_MDSend3

W=W2 mmubst="MSub1"

MSOBND_MDSBend2

W=W2 mmSubst="MSub1

MC

LSWS

2.2 2.4 2.2.0

-60

-40

-20

-80

0

r

rung wird aus

ca. 3 mm dur

1 4

2 3

15.0

14.8

= == =

iese StartweOptimierung

gen zur Varia

Abmessungen

1

2

mm s

mm s

e zwischen dzusätzliche

tat (verlustlos

on zeigt eine rekturen der t werden.

VARVAR

SpacL2=8L1=7s2=2s1=0W2=W1=W50

EqnVar

MLINTL9

L=SpaW=W2Subst=

S

"

MCFILCLin2

=L2 mmS=s2 mmW=W2 mmSubst="MSub1"

6 2.8 3.0 3.2 3

freq, GHz

s Beispiel 12

rch die Leitun

07 mm 6 m

81mm 6 m

−−

erte zusammeg im linearenation freigege

n betragen:

4

3

s 0.2 m

s 2.25

= =

= =

den KopplernVerlängerun

s):

MittenfrequeLängen und

RR1

ce=38.10308 o7.79995 o2.25598 o0.202942 o3.383.0=3.4 MSO

Ben

W=WSub

MLINTL10

L=Space mW=W2 mmSubst="MS

ce mm2 mm="MSub1"

3.4 3.6 3.8 4.0

2–5 übernom

ngswinkel). D

mm 9.07 mm

mm 8.81mm

==

en mit den Dn Simulator veben.

1

2

mm

mm

n wird noch ung erfolgt dur

enz von 3.15 Kopplungsa

OBND_MDSnd5

W2 mmbst="MSub1"

MCFCLin

L=L2S=sW=WSub

mmmSub1"

MSOBND_MBend4

W=W2 mmSubst="MSu

2.90

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

-1.0

0.0

dB(S

(2,1

))

men. Wir wä

Damit werde

m

m

Diskontinuitäterwendet un

4

3

7.8 m

8.1m

= =

= =

um die Leitunrch die Disko

5 GHz und eiabstände kön

MS

WWS

MLINTL11

L=Space mmW=W2 mmSubst="MSub1"

FILn3

2 mm2 mmW2 mmst="MSub1"

MDS

ub1"

2.95 3.00

freq, G

ählen b 6=en die Leitung

ten (Leitungsnd die Länge

mm

m

ngswinkel umontinuitäten.

ne etwas zu nnen leicht d

MLINTL6

L=SpW=WSubs

MSTEPStep3

W2=W1 mmW1=W2 mmSubst="MSub1"

3.05

GHz

mm (3 mm

gslängen de

swinkel, Sprün und Abstä

m ca. die Leit

kleine Bandie gewünsch

N

pace mmW1 mmst="MSub1"

3.10

-40

-30

-20

-10

-50

0

dB(S

(1,1))

114

r Koppler:

ünge der nde der

terbreite

dbreite. hten

4


12.5.4 Interdigital Bandpassfilter

In Mikrostriptechnik kann das Interdigitale Bandpassfilter gemäss Abbildung 12-30 realisiert werden. Die Resonatoren haben bei der Mittenfrequenz eine elektrische Länge von / 4λ und sind abwechselnd an einem Ende kurzgeschlossen und am anderen Ende leerlaufend. Die Kopplung der Resonatoren wird durch die Abstände s2,1 bis sn-1,n bestimmt. Die mechanischen Längen der Resonatoren werden durch die Streukapazität am offenen Ende verkürzt. Durch die Ein- und Auskopplung am ersten und letzten Resonator muss die an diesen Resonatoren notwendige Zusatzkapazität durch eine Verlängerung dieser Resonatoren realisiert werden. Die Impedanzen Z1 bis Zn bezeichnen die Impedanzen der einzelnen Mikrostripleitungen mit den Breiten w1 bis wn. Grundsätzlich können die Leiterbreiten w1 bis wn verschiedene Werte aufweisen. Um die Dimensionierung zu vereinfachen werden werden hier alle Leiterbreiten gleich angenommen wi=w1=w2= … =wn. Damit wird auch Zi=Z1=Z2= … =Zn. Meistens weisen diese Filter oberhalb des Durchlassbereiches eine Nullstelle der Übertragung auf. Diese Nullstelle entsteht durch zusätzliche Querkopplung zwischen den Resonatoren. Die Theorie zu diesem Filtertyp ist in Lit. [2] zu finden.

w1 w2 w3 wn-1 wn

31 2 n 1− n

Z0 Z0

3Z1Z 2Z n 1Z − nZ

S1,2 S2,3 Sn-1,n

t1 t2

Abbildung 12-30: Interdigitales Bandpassfilter

Dimensionierung schmalbandiger Filter (FBW≤10%):

In Lit. [14] und [12] ist eine Methode aufgezeigt, bei der die Kopplungskoeffizienten zwischen den Resonatoren mit Hilfe der normierten Tiefpassprototypelementen berechnet werden kann. Die Bestimmung der Filterordnung n und die Berechnung der normierten Elementwerte g0 bis gn+1 erfolgt nach Kapitel 7 (Butterworth), 8 (Chebyshev) und 10.4 (Tiefpass-Bandpass-Transformation). Dabei ist zu beachten, dass damit ein symmetrisches Verhalten im Sperrbereich vorausgesetzt wird, was aber für Filter mit Leitungselementen nie der Fall ist. Die Filterordnung n ist je nach Dämpfungs-anforderungen im Sperrbereich eventuell grösser zu wählen. Damit bei Chebyshevfiltern g0 = gn+1 und damit die Ankopplung am Ein- und Ausgang des Filters gleich ist, sollte für eine einfache Dimensionierung n = ungerade gewählt werden. Die mechanischen Abstände si,i+1 erhält man durch die Bestimmung der Kopplungskoeffizienten in einer EM-Simulation. In Lit. [12] sind Kurven für Basismaterial mit r 2.22ε = und r 9.8ε = zu finden.

Kopplungskoeffizienzen zwischen den Resonatoren:

i,i 1

i i 1

FBWK

gg+

+

= i 1 ... n= (12.50)

Externe Güte der Endresonatoren:


0 1 n n 1e1 en

g g g gQ Q

FBW FBW+= = (12.51)

2 1 2 1

0 1 2

FBW− −

= =ω ω ω ω

ω ω ω (12.52)

FBW: Fractional Bandwidth, normierte Bandbreite Die Leiterbreite w ist für alle Resonatoren gleich und wird üblicherweise so gewählt, dass die Impedanz Zi der einzelnen Mikrostripleitung im Bereich zwischen 50 und 80 Ohm liegt. Die Leerlaufgüte der Resonatoren nimmt mit kleiner Leiterbreite ab.

Die Längen 2 bis n 1− der Resonatoren 2 bis n-1 sind

0i i

re4

λ= − Δ

ε i 2...n 1= − (12.53)

iΔ ist die Verkürzung durch das offene Leitungsende und kann approximiert werden mit (12.48)

rei

re

w0.2620.3 h0.412h

w0.258 0.813h

+ε +Δ ≈

ε − + (12.54)

mit reε = effektive Permittivität der einzelnen Mikrostripleitung

Bei den Resonatoren 1 und n wird durch den Anzapf eine Zusatzkapazität notwendig, die durch eine Leitungsverlängerung von 1Δ realisiert wird.

01 n i 1

re4

λ= = − Δ + Δ

ε (12.55)

( )101 0 0 t

re

tan Z 2 f C2

−λΔ = π

π ε mit tC nach (12.70) (12.56)

Die Längen t1Δ und t2Δ für den Abgriff der Ein- und Auskopplung berechnen sich aus

1 01t1

i e1

Z2sin

4Z Q− π

= π

1 0nt2

i en

Z2sin

4Z Q− π

= π

(12.57)

In Lit. [15] ist gezeigt, wie diese Längen auch durch EM-Simulation ermittelt werden können. In der gleichen Publikation wird auch die EM-Simulation zur Ermittlung der Kopplungskoeffizienten beschrieben. Zwei lose angekoppelte Resonatoren gleicher Resonanzfrequenz zeigen in der Übertragungsmessung zwei Spitzen, deren Frequenzabstand eine Funktion der Kopplung der beiden Resonatoren ist. Der Kopplungskoeffizient kann berechnet werden aus

2 2high low

2 2high low

f fK

f f

−=

+ (12.58)

2012 F.

Port 1

A

A

A

Beisp

f0 = 2RO43

Die FTiefp

0

0.2

0

0.3

0

0.4

0

Ko

pp

lun

gsk

oef

fizi

ent

K

0

0.1

0

0.2

0

0.3

Ko

pp

lun

gsk

oef

fizi

ent

K

Dellsperger

Vias

s

Abbildung 1

Abbildung 1

Abbildung 1

piel 12–7: In

2400 MHz, Ba350, 30 mil, ε

Filtersyntheseass: g

.2

25

.3

35

.4

45

.5

0.2 0.3 0.4 0Leite

RO4350

.1

15

.2

25

.3

35

0.2 0.3 0.4 0Leite

RO4350

r

Vias

Port 2

12-31: Layou

12-32: Kopp

12-33: Kopp

nterdigitales

andbreite B εr = 3.48, tan

e nach Kapit0 = g6 = 1, g1

0.5 0.6 0.7 0.8erabstand S in mm

0B 60mil = 1.524mm

0.5 0.6 0.7 0.8erabstand S in mm

0B 30mil = 0.762mm

ut und EM-S

plungskoeffi

plungskoeffi

s Bandpassf

= 200 MHz, nδ = 0.0037,

el 8.1 und 101 =g5 = 0.998

0.9 1

m εr = 3.48

W =

W =

0.9 1

m εr = 3.48

W =

Simulation z

zient in Fun

zient in Fun

filter 1

Chebyshev-t = 35 μm, Z

0.4 ergibt fol8, g2 = g4 = 1

= 2.743mm

= 1.524mm

0.0

0.

0.1

0.

0.2

0.

Ko

pp

lun

gsk

oef

fizi

ent

K

= 1.374mm0.0

0.

0.1

Ko

pp

lun

gsk

oef

fizi

ent

K

zur Bestimm

nktion des L

nktion des L

CharakteristZ0 = 50 Ohm.

gende Elem.375, g3 = 1

0

05

.1

15

.2

25

.3

1 1.5 2 2.5Leite

RO4350

0

05

.1

15

1 1.5Leite

RO435

mung des Ko

Leiterabstan

Leiterabstan

ik, Ar = 0.05

entwerte für .828

3 3.5 4 4.5erabstand S in mm

0B 60mil = 1.524mm

2 2.5 3rabstand S in mm

0B 30mil = 0.762mm

opplungsko

ndes S, RO4

ndes S, RO4

dB, n = 5, S

den normier

5 5.5 6

m εr = 3.48

W

W

3 3.5

m εr = 3.48

W

117

oeffizienten

350B 60mil

350B 30mil

ubstrat

rten

= 2.743mm

= 1.524mm

= 1.374mm

7

2012 F.

Die Bergib

Für dLinca

Die L

Die zADS

In Ab

Die in

i

12

23

w

s

s

=

=

=

Layou

Dellsperger

Berechnung Kt:

F

K

Q

die Resonatoalc von ADS

w

Z

ε

Leitungslänge

zusätzliche Läkorrigiert. Da

bbildung 12-3

K

K

n ADS optim

45

34

1.37 mm

s 1.62 m

s 2.12 m

= =

= =

ut:

r

Kopplungsko

1,2 4,5

e1 e5

FBW 0.083

K K 0

Q Q 1

== =

= =

oren wählen wdie Mikrostri

1 5

i

re

w bis w 1

Z 57

2.67

===

Ωε

en werden n

i 18.8 mm=

änge der Enamit wird die

t1 t2 2.9= =

33 findet man

1,2 4,5

2,3 3,4

K K 0

K K 0

= =

= =

ierten Abme

t1

1

2

mm

mm

oeffizienten u

3

0.07114

1.976

wir eine Leitep Impedanz

1.374 mm

ach (12.53) u

dresonatoree Länge für d

9mm

n die notwen

0.07114

0.05256

→

→

ssungen bet

t5

5

3 4

3.2 m

19.00

1

= =

= =

= = =

und externen

2,3K =

erbreite von und die effe

und (12.54):

n wird hier vden Abgriff am

ndigen Leiter

12

23

s

s

→ =

→ =

tragen:

mm

0 mm

18.35 mm

n Q gemäss G

3,4K 0.05= =

1.374 mm (wktive Permitt

ernachlässigm Ein- und A

abstände:

45

34

s 1.8mm

s 2.3mm

= =

= =

Geichungen

256

w/h=1.8) undtivität

gt und erst inAusgang mit

m

m

(12.50) bis (

d berechnen

n der Optimie(12.57)

118

(12.52)

damit in

erung in

8

2012 F.

Sche

Simu

Die ESche

Dellsperger

ema:

lationsresult

EM-Simulatioemasimulatio

r

tat (verlustlos

on zeigt eine n.

s):

Frequenzve

erschiebung vvon ca. +50 MHz gegenü

über der

1199


Dimensionierung breitbandiger Filter (FBW 20%-50%):

Für grosse Bandbreiten ist die Methode nach Dishal Lit. [14] nicht gültig. In Lit. [16] und [17] ist gezeigt, wie die Filter mit Hilfe der Even- und Odd-Mode-Impedanzen der gekoppelten Leitungen dimensioniert werden können. Mit den Even- und Odd-Mode-Impedanzen können die Kopplungskoeffizienten berechnet werden und darauswie beim vorherigen Verfahren die Leiterabstände bestimmt werden. Die Bestimmung der Filterordnung n und die Berechnung der normierten Elementwerte g0 bis gn+1 erfolgt nach Kapitel 7 (Butterworth), 8 (Chebyshev) und 10.4 (Tiefpass-Bandpass-Transformation). Damit bei Chebyshevfiltern g0 = gn+1 und damit die Ankopplung am Ein- und Ausgang des Filters gleich ist, sollte für eine einfache Dimensionierung n = ungerade gewählt werden. Die Methode liefert recht gute Resultate, wenn für die Berechnung der Even- und Odd-Mode-Impedanzen einen um ca. 20% grösseren Wert für die normierte Bandbreite verwendet wird.

FBW: Fractional Bandwidth, normierte Bandbreite (Filterspezifikation) FBW2: normierte Bandbreite (für die Berechnung der Even- und Odd-Mode-Impedanzen) Zi=Z1=Z2= … =Zn Impedanzen der einzelnen Mikrostripleitungen Z0: Generator- und Lastimpedanz 0ei,jZ : Even-Mode-Impedanz

0oi,jZ : Odd-Mode-Impedanz

FBW2 1.2 FBW= ⋅ (12.59)

1

FBW21

2 2

π θ = −

(12.60)

( )i 1

1Y

Z tan=

θ i

i

1Y

Z= (12.61)

i,i 1

i i 1

YJ

gg+

+

= i 1 .... n 1= − (12.62)

( )i,i 1 i,i 1 1Y J sin+ += θ i 1 .... n 1= − (12.63)

i0e12

12 i i 12

Z 1Z

1 Y Z Y Y= =

− − i

0o1212 i i 12

Z 1Z

1 Y Z Y Y= =

+ + (12.64)

Für i 2 .... n 2= − :

0ei,i 1

i i 1,i i,i 10ei 1,i

1Z

12Y Y Y

Z

+

− +−

=− − −

0oi,i 1

i,i 10ei,i 1

1Z

12Y

Z

+

++

=+

(12.65)

i0en 1,n

n 1,n i i n 1,n

Z 1Z

1 Y Z Y Y−− −

= =− −

i0on 1,n

n 1,n i i n 1,n

Z 1Z

1 Y Z Y Y−− −

= =+ +

(12.66)

Da es grundsätzlich nicht möglich ist, mit konstanter Leiterbreite beliebige Even- und Odd-Impedanzen zu realisieren, werden aus den berechneten Even- und Odd-Impedanzen die Kopplungsfaktoren bestimmt und aus diesen dann die Leiterabstände bestimmt.

0ei,i 1 0oi,i 1i,i 1

0ei,i 1 0oi,i 1

Z ZK

Z Z+ +

++ +

−=

+ i 1 .... n 1= − (12.67)


Für den Abgriff der Ein- und Auskopplung und die Leitungslänge gilt:

( )2

0 11t

0 1

Z Y sin1sin

FBW g g12

− θ θ = −

(12.68)

it 2 2

12 i

ZZ

1 Y Z=

− (12.69)

( ) ( )

( ) ( )( )3

t t tt 2 2 2 2

0 0 t t t

Z cos sinC

2 f Z Z cos sin

θ θ=

π + θ θ (12.70)

it1 t2 t

2= = θ

π

i nach (12.53) und (12.54) (12.71)

Beispiel 12–8: Interdigitales Bandpassfilter 2

f0 = 1500 MHz, Bandbreite B = 500 MHz, Chebyshev-Charakteristik, Ar = 0.05 dB, n = 7, Substrat RO4350, 60 mil, εr = 3.48, tanδ = 0.0037, t = 35 μm, Z0 = 50 Ohm.

Die Filtersynthese nach Kapitel 8.1 und 10.4 ergibt folgende Elementwerte für den normierten Tiefpass: g0 = g8 = 1, g1 =g7 = 1.035, g2 = g6 = 1.437, g3 = g5 = 1.964, g4 = 1.616

Die Berechnung Even- und Odd-Impedanzen und der Kopplungskoeffizienten gemäss Geichungen (12.59) bis (12.67) ergibt:

0e1,2 0e6,7 0o1,2 0o6,7 1,2 6,7

0e2,3 0e5,6 0o2,3 0o5,6 2,3 5,6

0e3,4 0e4,5 0o3,4 0o4,5 3,4 4,5

FBW 0.333 FBW2 0.4

Z Z 76.35 Z Z 47.48 K K 0.253

Z Z 69.85 Z Z 48.14 K K 0.184

Z Z 68.96 Z Z 48.57 K K 0.173

= == = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

In Abbildung 12-32 findet man die notwendigen Leiterabstände:

1,2 6,7 12 67

2,3 5,6 23 56

3,4 4,5 34 45

K K 0.253 s s 0.75mm

K K 0.184 s s 1.2mm

K K 0.173 s s 1.4mm

= = → = =

= = → = =

= = → = =

Für die Resonatoren wählen wir eine Leiterbreite von 2.75 mm (w/h=1.8) und berechnen damit in Lincalc von ADS die Mikrostrip Impedanz und die effektive Permittivität

1 7

i

re

w bis w 2.75 mm

Z 57

2.67

===

Ωε

Die Leitungslängen werden nach (12.53) bis (12.56) und (12.68) bis (12.71) berechnet:

i t 1

1 7

2 3 4 5 6

29.97mm 11.96mm 2.88mm

32.85mm

29.97mm

= = == == = = = =

Δ

Die in ADS optimierten Abmessungen betragen:

2012 F.

Layou

Simu

Dellsperger

w

s

s

s

ut:

lationsresult

r

i

t1 t7

1 7

2 3 4

12 67

23 56

34 45

w 2.75 mm

10.

32.1

s s 0.

s s 1.

s s 1.3

=

= == == = == == == =

tat (verlustlos

5 6

m

.2 mm

1mm

2

80mm

15mm

3mm

= = =

s):

28.7mm

122

2


12.5.5 Combline Bandpassfilter

Abbildung 12-34 zeigt die Struktur des Combline Filters. Sie besteht aus einer Reihe gekoppelter Leitungsstücke, die an einem Ende kurzgeschlossen sind und am anderen Ende mit einer Kapazität beschaltet sind. Die Resonatoren haben bei der Mittenfrequenz eine elektrische Länge die kürzer als

/ 4λ ist. Mit den Kapazitäten wird die gewünschte Resonanzfrequenz erzielt. Je grösser die Kapazitäten, um so kürzer werden die Leitungslängen und damit das Filter kleiner in seinen mechanischen Abmessungen. Gleichzeitig wird auch der zweite Durchlassbereich nach höheren Frequenzen verschoben und dadurch der Sperrbereich zwischen dem ersten (erwünschten) und zweiten (unerwünschten) Durchlassbereich vergrössert. Für elektrische Leitungslängen von / 8λ liegt der zweite Durchlassbereich bei ungefähr der vierfachen Frequenz des ersten Duchlassbereiches. Meistens weisen diese Filter oberhalb des Durchlassbereiches eine Nullstelle der Übertragung auf. Diese Nullstelle entsteht durch zusätzliche Querkopplung zwischen den Resonatoren. Die Kapazitäten werden zu Abstimmzwecken variabel ausgeführt. Für tiefe Frequenzen bis ca. 1000 MHz können hochwertige Trimmer verwendet werden. Für höhere Frequenzen werden die Kapazitäten sehr klein und können mit Abstimmschrauben im Gehäusedeckel realisiert werden. Eine interessante Eigenschaft dieser Filterstruktur ist, dass wenn die Kapazitäten weggelassen werden und eine reine TEM-Ausbreitung auf den Leitungen vorhanden ist (z.B. Stripline) keine Übertragung vom Eingang auf den Ausgang stattfindet. Dies weil sich die elektrischen und magnetischen Felder vollständig aufheben. Bei Mikrostrip-Leitungen ist keine reine TEM-Ausbreitung vorhanden und daher diese Eigenschaft nicht feststellbar. Die Kapazitäten können variabel ausgeführt und zur Abstimmung des Filters verwendet werden. Dabei ist zu beachten, dass konzentrierte Kapazitäten für hohe Frequenzen tendenziell kleine Q’s aufweisen und damit für hohe Verluste verantwortlich sind. Die Ein- und Auskopplung am ersten und letzten Resonator kann alternativ auch nach Abbildung 12-35 erfolgen. Die Ein- und Auskopplungsleitungen sind nich resonant. Die Theorie Combline Filter ist in Lit. [2] zu finden.

w1 w2 w3 wn-1 wn

31 2 n 1− n

Z0 Z0

3Z1Z 2Z n 1Z − nZ

S1,2 S2,3 Sn-1,n

t1 tn

C1 C2 C3 Cn-1 Cn

Abbildung 12-34: Combline Bandpassfilter


w1 w2 w3 wn-1 wn

31 2 n 1− n

ZG

3Z1Z 2Z n 1Z − nZ

S1,2 S2,3 Sn-1,n

C1 C2 C3 Cn-1 Cn

00Z

S0,1

w0

n 1+n 1Z +

Sn,n+1

Wn+1

ZG

Abbildung 12-35: Combline Filter mit Ein- und Auskopplungsleitungen

In Lit. [2] und [16] ist die Dimensionierung dieser Filter über die Berechnung der Leitungs- und Kopplungskapazitäten beschrieben. Grundsätzlich sind die gleichen Dimensionierungsverfahren wie bei Interdigitalen Filtern anwendbar.

FBW: Fractional Bandwidth, normierte Bandbreite (Filterspezifikation) 0θ : elektrische Leitungslänge der Resonatoren,

/ 4< λ , typisch o/ 8, (45 ,0.785rad)λ

(für die Berechnung der Even- und Odd-Mode-Impedanzen) Zi=Z1=Z2= … =Zn Impedanzen der einzelnen Mikrostripleitungen Z0: Generator- und Lastimpedanz 0ei,jZ : Even-Mode-Impedanz

0oi,jZ : Odd-Mode-Impedanz

( ) ( )002

i 0

1b cot

2Z sin

θ= + θ θ

(12.72)

ii

1Y

Z= (12.73)

i,i 1

i i 1

b FBWJ

gg+

+

⋅= i 1 .... n 1= − (12.74)

( )i,i 1 i,i 1 1Y J tan+ += θ i 1 .... n 1= − (12.75)

i0e12

12 i i 12

Z 1Z

1 Y Z Y Y= =

− − i

0o1212 i i 12

Z 1Z

1 Y Z Y Y= =

+ + (12.76)

Für i 2 .... n 2= − :

0ei,i 1

i i 1,i i,i 10ei 1,i

1Z

12Y Y Y

Z

+

− +−

=− − −

0oi,i 1

i,i 10ei,i 1

1Z

12Y

Z

+

++

=+

(12.77)


i0en 1,n

n 1,n i i n 1,n

Z 1Z

1 Y Z Y Y−− −

= =− −

i0on 1,n

n 1,n i i n 1,n

Z 1Z

1 Y Z Y Y−− −

= =+ +

(12.78)

Da es grundsätzlich nicht möglich ist, mit konstanter Leiterbreite beliebige Even- und Odd-Impedanzen zu realisieren, werden aus den berechneten Even- und Odd-Impedanzen die Kopplungsfaktoren bestimmt und aus diesen dann die Leiterabstände bestimmt.

0ei,i 1 0oi,i 1i,i 1

0ei,i 1 0oi,i 1

Z ZK

Z Z+ +

++ +

−=

+ i 1 .... n 1= − (12.79)

Für den Abgriff der Ein- und Auskopplung und die Leitungslänge gilt:

( ) ( )( )0 0 0 01

ti 0 1

Z FBW cos sinsin

2Z g g− θ θ + θ θ =

(12.80)

0i 0

re2

λ= θ

π ε i 1....n= (12.81)

0t t

re2

λ= θ

π ε i 1....n= (12.82)

Für die Kapazität der Resonatoren gilt:

( )0

i0 i

cotC

2 f Z

θ=

π i 1 .... n= (12.83)

Abbildung 12-36: EM-Simulation zur Bestimmung des Kopplungskoeffizienten


Abbildung 12-37: Kopplungskoeffizient in Funktion des Leiterabstandes S, RO4350B 60mil

Beispiel 12–9: Combline Bandpassfilter

f0 = 1500 MHz, Bandbreite B = 500 MHz, Chebyshev-Charakteristik, Ar = 0.05 dB, n = 7, Substrat RO4350, 60 mil, εr = 3.48, tanδ = 0.0037, t = 35 μm, Z0 = 50 Ohm.

Die Filtersynthese nach Kapitel 8.1 und 10.4 ergibt folgende Elementwerte für den normierten Tiefpass: g0 = g8 = 1, g1 =g7 = 1.035, g2 = g6 = 1.437, g3 = g5 = 1.964, g4 = 1.616

Die Berechnung Even- und Odd-Impedanzen und der Kopplungskoeffizienten gemäss Geichungen (12.72) bis (12.79) ergibt:

0e1,2 0e6,7 0o1,2 0o6,7 1,2 6,7

0e2,3 0e5,6 0o2,3 0o5,6 2,3 5,6

0e3,4 0e4,5 0o3,4 0o4,5 3,4 4,5

FBW 0.333

Z Z 87.87 Z Z 42.18 K K 0.351

Z Z 76.52 Z Z 45.42 K K 0.255

Z Z 75.05 Z Z 45.95 K K 0.241

== = = = = =

= = = = = =

= = = = = =

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

In Abbildung 12-37: Kopplungskoeffizient in Funktion des Leiterabstandes S, RO4350B 60mil findet man die notwendigen Leiterabstände:

1,2 6,7 12 67

2,3 5,6 23 56

3,4 4,5 34 45

K K 0.351 s s 0.2mm

K K 0.255 s s 0.6mm

K K 0.241 s s 0.65mm

= = → = =

= = → = =

= = → = =

Für die Resonatoren wählen wir eine Leiterbreite von 2.75 mm (w/h=1.8) und berechnen damit in Lincalc von ADS die Mikrostrip Impedanz und die effektive Permittivität.

1 7

i

re

w bis w 2.75 mm

Z 57

2.67

===

Ωε

Die Leitungslängen und die Kapazität werden nach (12.80) bis (12.82) und (12.83) berechnet:

i t

i

15.29mm 8.57mm

C 1.86pF

= ==

Die in ADS optimierten Abmessungen betragen:

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Ko

pp

lun

gsk

oef

fizi

ent

K

Leiterabstand S in mm

RO4350B 60mil = 1.524mm εr = 3.48

W = 2.743mm

W = 1.524mm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Ko

pp

lun

gsk

oef

fizi

ent

K

Leiterabstand S in mm

RO4350B 60mil = 1.524mm εr = 3.48

W = 2.743mm

W = 1.524mm

2012 F.

Layou

Simu

Dellsperger

w

s

s

s

C

C

C

C

ut:

lationsresult

r

i

t1 t7

i

12 67

23 56

34 45

1 7

2 6

3 5

4

w 2.75 mm

9.2

15.9mm

s s 0.

s s 0.

s s 0.

C C 2.1

C C 1.9

C C 1.8

C 1.78pF

=

= ==

= == == == == == ==

tat (Momentu

m

2 mm

35mm

75mm

85mm

1pF

91pF

81pF

um verlustlos

s):

1277


13 Literatur zu Filter

[1] Daniels, R.: Approximation Methods for Electronic Filter Design, McGraw-Hill, N.Y., 1974, 0-07-015308-6

[2] Matthaei et al.: Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, Artech House, Inc., MA, 1980, 0-89006-099-1

[3] Saal, R.: Handbuch zum Filterentwurf, Hüthig, Heidelberg, 1988, 3-7785-1558-6

[4] Williams, Taylor: Electronic Filter Design Handbook, McGraw-Hill, N.Y., 1988, 0-07-070434-1

[5] Pozar, D.M.: Microwave Engineering, John Wiley & Sons, 1998, 2nd. Ed., 0-471-17096-8

[6] Lee, T.H.: Planar Microwave Engineering, Cambridge University Press, 2004, 0-521-83526-7

[7] Bächtold, W.: Mikrowellentechnik, Vieweg, 1999, 3-528-07438-8

[8] Hong,J-S.G., Lancaster, M.J.: Microstrip Filters for RF/Microwave Applications, John Wiley & Sons, 2001, 0-471-38877-7

[9] Hunter, I.: Theory and Design of Microwave Filters, IEE, 2001, 0-85296-777-2

[10] Cameron, R.J., Kudsia, C.M., Mansour, R.R. Microwave Filters for Communication Systems, John Wiley & Sons, 2007, 978-0-471-45022-1

[11] Levy, R.: Classic Works in RF Engineering, Volume 2: Microwave and RF Filters, Artech House, Inc., 2007, 978-1-59693-212-8

[12] Wong, J.S.; Microstrip Tapped-Line Filter Design, Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on, Volume 27, Issue 1, Jan 1979 Page(s):44 - 50

[13] Hammerstad, E.: Computer-Aided Design of Microstrip Couplers with Accurate Discontinuity Models, MTT-S Digest, 1981, 54-65

[14] Dishal, M.: A Simple Design Procedure for Small Percentage Bandwidth Round-Rod Interdigital Filters Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on, Volume MTT-13, Sept 1965, 696-698

[15] Swanson, D.G.: Narrow-band microwave filter design, Microwave Magazine, IEEE, Volume: 8 Issue: 5 Oct. 2007, Page(s): 105-114

[16] Caspi, S.; Adelman, J.: Design of Combline and Interdigital Filters with Tapped-Line Input, Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on, Volume 36, Issue 4, April 1988 Page(s):759 - 763

[17] Denig, Carl: Using Microwave CAD Programs to Analyze Microstrip Interdigital Filters, Microwave Journal, March 1989, 147-152


Noch zu schreiben: (12.5.6) Bandpassfilter mit Stubs (12.6) Bandstopfilter (12.6.1) Schmalband Bandstopfilter mit gekoppelten Resonatoren (12.6.2) Bandstopfilter mit Stubs

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P assive Fillter - Fritz Dellspergerfritz.dellsperger.net/downloads/FILTER 2012.pdf · Abbildung 10-3: Tiefpass-Bandpass Transformation 55 Abbildung 10-4: Tiefpass-Bandsperre Transformation