05.12.01 1

Elektronisch

messen, steuern, regeln

FilterTiefpass (TP), Hochpass (HP),

Bandpass (BP), Bandsperre (BS)

05.12.01 2

Warum Filter ?

• Verbesserung der Qualität einer Messung

• Unterdrückung von Frequenzbereichen mit grossen Störsignalen und kleinem Nutzsignalanteil.

• Beschränkung der Bandbreite, um bei der Abtastung Frequenzfaltung zu vermeiden.

05.12.01 3

Wann analog ? / Wann digital ?

Analog Digital Analog

FilterAnalog-DigitalWandler

notwendig, sonstVerfälschung derMessung

verbessertQualität derMessung

FilterSignal-Verarbeitungz.B. mit Filter

Digital-AnalogWandler

verbessertQualität derMessung

05.12.01 4

Tiefpass 1. Ordnung

RC

i

V

iR

R

U

UV

iR

U

R

UIundII

iR

UIRCwenn

RC)i(R

U

Ci

U

R

U I

g

a

aa

aa

aaaa

1 enzGrenzfrequ

1)1(

)1(

)1(:

11

:fliessen Cdurch und Rdurch die nenten,

-Kompoden ausbesteht I StromDer

0

11

1

111

a

U1

IaI1

C

R

R1

Ua

05.12.01 5

Frequenzverhalten Tiefpass 1.Ordnung

-40

-30

-20

-10

0

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

Am

plit

ud

e [

dB

] -3 dB bei der Grenzfrequenz

-20 dB pro Frequenz-Dekade

05.12.01 6

Sprungantwort Tiefpass 1.Ordnung

0

1

0 1 2 3 4 5

normierte Zeit [RC]

Impu

lsan

twor

t

Eine Tangente an einem beliebigen Punkt der Kurve schneidet die Asymptote nach einer Zeitkonstante RC.

05.12.01 7

Tiefpass 2. Ordnung

U1

IaI1

C

R

R/2

Ua

R/2

4C

2

1111

11

11

1

1

1

1

:Eingesetzt

122

1222

212212

2

122

4

1

242

12

4

1

24

:enungsquellErsatzspan

;11

RCiUa

UV

RCiR

U

RRCiRR

U

RCiRR

UI

R

RCi

RRCi

UR

R

UI

RCi

R

Ci

RCi

RR

RCi

U

Ci

RCi

UU

IICRi

RI

CiRCi

RIU

x

x

x

x

aaa

a

05.12.01 8

Tiefpass 2.Ordnung

1 wennDämpfung, cheüberkritis

1 wennDämpfung, kritische

10 wennDämpfung, scheunterkriti

21

12

i

V

05.12.01 9

Frequenzverhalten Tiefpass 2.Ordnung

-3 dB bei der Grenzfrequenz

-80

-60

-40

-20

0

20

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

Am

plit

ud

e [d

B]

05.12.01 10

SprungantwortTiefpass 2.Ordnung

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Zeit

Sig

na

l

= 1

= 0.5

= 0.2

05.12.01 11

Mehrfach-Gegenkopplung

Ue

R1

Ua

R3

C2

R2C1

05.12.01 12

Einfach Mitkopplung

Ue

R1

Ua

R2

C1

C2

(-1)R3

R3

.4

,4

1

21

1

1

121

21

1

Cf

aRRRwird

a

b

C

CundWenn

llSpiezialfa

g

234.23

,586.1

,268.1

,1

:

21;21

2

effTschebyschdB

hButterwort

Bessel

kritisch

fürwirddann

CCCRRR

lSpezialfal

05.12.01 13

Tiefpass n-ter Ordnung

iPnPcPbPaP

Vn...1

1

gVerstärkunder Betrag

32

05.12.01 14

Unterteilung in Glieder 1. + 2.Ordnung

0,

111

1

:2.Ordnung und 1.Glieder in Zerlegung

...1

1

1

2222

211

32

bungeradenwenn

PbPaPbPaPbPaV

nPcPbPaPV

ii

n

05.12.01 15

Filtertypen

• Aneinanderreihung passiver, entkoppelter Tiefpässe Filter kritischer Dämpfung (ohne Überschwingen bei Impulsen)

• Bessel-Filter: optimale Sprungantwort, allerdings nimmt der Amplituden-Frequenzgang nicht so scharf ab, wie bei den nachfolgenden Filtern.

• Butterworth-Filter: Frequenzgang möglichst lang flach, dann bei der Grenzfrequenz möglichst scharfes Abknicken, dafür Sprungantwort mit beträchtlichem Überschwingen.

• Tschebyscheff-Filter: oberhalb der Grenzfrequenz noch steilerer Abfall, dafür erzeugen sie im Durchlassbereich eine Welligkeit definierter Amplitude z.B. 3dB. Sprungantwort unbrauchbar.

• Elliptische Filter: noch steilerer Abfall, sie zeigen eine Welligkeit im Durchlassband, aber auch im Sperrband. Sprungantwort unbrauchbar.

05.12.01 16

Lage der Pole (ästhetisch ?)

• Bei allen Filtern mit minimaler Phasenverschiebung liegen die Pole bei konjugiert komplexen Werten mit negativem reellen Anteil.

• Beim Butterworth-Filter liegen die konjugiert, komplexen Pole auf einem Halbkreis (Radius=1).

05.12.01 17

Frequenzverhalten der Filtertypen(4. Ordnung)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

dB

krit.Dämpfung

Bessel

Butterworth

0.5dB Tschebyscheff

3dB Tschebyscheff

05.12.01 18

Sprungantwort der Filtertypen

05.12.01 19

Transformation TP HP(HP = HochPass)

i

ii

P

b

P

a

APA

PP

AA

2

0

1

/1durchersetzen

bzw./1durchersetzen

:spiegeln1umngFrequenzga

-80

-60

-40

-20

0

20

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

Am

plit

ud

e [

dB

]

-80

-60

-40

-20

0

20

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

05.12.01 20

Ue

R1

Ua

R2

C1

C2

(-1)R3

R3

Tiefpass

Hochpass 2.Ordnung

Ue

C1Ua

C2

R1

R2

(-1)R

R

Hochpass

Cfb

aR

CfaR

Awird

CCCundWenn

g

g

1

12

11

21

4

1

1

1

05.12.01 21

Transformation TP --> BP(BP = BandPass)

2

minmax

1)(

1-

ersetzen11

durchriableFrequenzva

PP

PAPA

Q

PP

P

M

-80

-60

-40

-20

0

20

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

Am

plit

ud

e [

dB

]

-80

-60

-40

-20

0

20

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

Am

plit

ud

e [

dB

]

05.12.01 22

Bandpass 2. Ordnung

Ue

RUa

C

2R

R

(-1)R3

R3

C

3

13

)(

2

1

QGüte

AfbeigVerstärkun

RCfuenzMittenfreq

MM

M

05.12.01 23

Transformation TP --> BS(BS = BandSperre)

2

20

11

1)(

1

ersetzen1

durchriableFrequenzva

PPQ

PAPA

Q

PP

P

-80

-60

-40

-20

0

20

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

Am

plit

ud

e [

dB

]

-80

-60

-40

-20

0

20

0.01 0.1 1 10 100

normierte Frequenz

Am

plit

ud

e [

dB

]

05.12.01 24

Bandsperre 2.Ordnung

Ue

C

Ua

C

R

R/2

(-1)R3

R3

R

2C )2(2

1

)(

2

1

QGüte

AfbeigVerstärkun

RCfuenzMittenfreq

MM

M

05.12.01 25

Allpass

iii

iii

PbPa

PbPaPA

)1(

)1()(

2

2

• Verstärkung konstant, nur frequenzabhängige Phasenverschiebung

• Anwendung: Phasenentzerrung / Signalverzögerung.

05.12.01 26

Allpass 1.Ordnung

U1

R

RUa

R

C

RCi

RCiA

RCi

RCi

RCiU

UA

RCi

UUU

UUUU

U

RCi

U

CiRCi

UU

a

a

a

1

1

1

121

1

2

122

;22

11

1

11

1

11

05.12.01 27

Einstellbarer Phasenschieber

U1

R

RUa

R

C

Bei einer vorgegebenen Frequenz, kann die Phasenverschiebung im Bereich 0 < < 180° durch R justiert werden.

05.12.01 28

Digitalfilter

0

1

2

3

4

5

1 6 11 16 21

Sprungantwort eines digitalen Filters 1.Ordnung

05.12.01 29

Digitalfilter z.B. 1.Ordnung

• Ähnliches Verhalten wie analoge Filter

• bestehen aus Multiplikationen für die Koeffizienten, Summierern und Verzögerungsgliedern

X

1 Y

Verzögerungsglied

Ta

D0

-C0

D1

++

z.B.D0 = D1 = 1C0 =-0.75

05.12.01 30

Digitalfilter 2.Ordnung

1 Y

Verzögerungsglied

Ta

-C1

D2

++

X

1

Verzögerungsglied

Ta

D0

-C0

D1

++