ập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian GV: Đỗ Văn ... · Trong lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài và sao

Bài tập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian GV: Đỗ Văn Thọ

1

Chương II: Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian I. Dạng 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

1. Phương Pháp giải: - Tìm giao tuyến của (P) và (Q) hoặc xác định giao tuyến của (P) và (Q) là chỉ ra đường thẳng chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) - Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung cùng thuộc 2 mặt phẳng đó

Q

PA B

Q

P

B

A

P Q AB . Nên AB là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Nhận xét: - Hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng nếu chúng không song song hoặc trùng nhau thì chúng sẽ cắt nhau tại một điểm chung (có thể kéo dài 2 đường thẳng đó) - Nếu hai mặt phẳng và có điểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song (d) và (d’) thì giao tuyến của và là đường thẳng đi qua S và song song với (d) và (d’)

2. Bài tập:


2

Bài 1: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) Bài 2: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD ( AB CD và AB>CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

a. (SBM) và (SCD) b. (ABM) và (SCD) c. (ABM) và (SAC)

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đôi không song song và S là một điểm không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Tìm giao tuyến của :

a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD). c) (SAD) và (SBC).

Bài 5: Cho tứ diện ABCD. GỌi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (JAD). b) Gọi M là điểm trên cạnh AB, N là điểm trên cạnh AC sao cho

MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN).


3

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Trên SD lấy điểm M.

a) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAC). b) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAD).

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD. P là một điểm trên SC sao cho SP > PC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng: (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD). Bài 8: Cho hình bình hành ABCD và điểm M không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành

a. Tìm giao tuyến của (MAC) và (MBD) b. Gọi N là trung điểm của cạnh BC. Tìm giao tuyến của

(AMN) và (ACD) Bài 9: Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, BC, SD. Tìm giao tuyến của (MNE) với các mặt phẳng (SAD), (SCD), (SAB)*, (SBC)* Bài 10: Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa hình bình hành. Gọi M, E lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB, SD. N là điểm đối xứng với B qua C. Tìm giao tuyến của (MNE) với các mặt phẳng: (SCD), (SBD), (SAD) và (SAB)*


4

Bài 11: Cho một tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng (P) có các cạnh đối không song song với nhau. M là một điểm không nằm trong (P). Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

a. (MAB) và (MCD) b. (MAD) và (MBC) II. Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng 1. Phương Pháp: - Tìm giao điểm M của đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) là

chỉ ra một đường thẳng (d’) nằm trong (P) và cắt đường thẳng (d)

d'

d

PM

- Hãy chọn ra một mặt phẳng (Q) đi qua (d). Xác định giao

tuyến (d’) của (P) và (Q). Tìm giao điểm M của (d) và (d’) trong (Q)


5

d'

d

Q

PM

d

d'

Q

P

M

2. Bài tập: Bài 13: Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm cạnh AC, N là trung điểm cạnh SA và G là trọng tâm tam giác SBC a. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với mặt phẳng (SBM) b. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với mặt phẳng (ABC) Bài 14: Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong

mặt phẳng (ABCD) a. Trên đoạn thẳng SC ta lấy điểm M. Tìm giao điểm của đường

thẳng AM với mặt phẳng (SBD) b. Giả sử M là trung điểm của đoạn thẳng SC. Gọi G là trọng

tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đoạn thẳng MG với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB)

Bài 15: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối không song song và ngoài (P) cho điểm S


6

a. Trên đoạn thẳng SA ta lấy điểm M. Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SCD)

b. Trên phần kéo dài của cạnh BC về phía C, ta lấy điểm N. Gọi G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm của đường thẳng NG với các mặt phẳng (SCD), (SBD), (SAB)

Bài 16: Cho tứ diện ABCD có các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Lấy điểm K thuộc đoạn BD (K không là trung điểm của BD). Tìm giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNK) Bài 17: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC) a. Hãy xác định điểm L b. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện

ABCD Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy M, N và P lần lượt là các điểm trên các đoạn SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm của các đoạn thẳng ấy. Tìm giao điểm (nếu có) của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD. M và N tương ứng là các điểm thuộc các cạnh SC và BC. Tìm giao điểm của các đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) Bài 20: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm BC, N là điểm trên cạnh BD sao cho BN=3ND


7

a. Tìm giao điểm của MN với (ACD) b. Gọi P là trung điểm AD. Tìm giao điểm của AD với (MNP) Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD. M là điểm trên cạnh SC

nhưng không trùng với S và C a. Tìm giao điểm của AM với (SBD) b. Gọi N là điểm trên cạnh BC. Tìm giao điểm của SD và

(AMN) Bài 22: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Gọi I là điểm đối xứng của B qua D a. Tìm giao điểm P của CD với mặt phẳng (IMN). Tính tỉ số

PC/PD b. Tìm giao điểm Q của AD với mặt phẳng (IMN). Tính tỉ số

QA/QD Bài 23: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho BK=2KD a. Tìm giao điểm E của CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh

rằng DE=DC b. Tìm giao điểm F của AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh

rằng FA=2FD c. Gọi M và N là hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai cạnh AB

và CD. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với (IJK) Bài 24: Cho tứ diện ABCD. Gọi O là điểm tùy ý nằm bên trong tâm giác BCD, I là trung điểm OA a. Tìm giao điểm J của BI với (ACD)


8

b. Gọi H là giao điểm của ID với (ABC). Chứng minh rằng ba đường thẳng AH, BC, OD đồng quy

Bài 25: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. H là trung điểm của trung tuyến BI của tam giác BCD, K là trung điểm của trung tuyến AJ của tam giác ABC. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với (GHK) Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành có tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD, OC a. Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) và giao điểm của

(MNP) với SA b. Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với các mặt phẳng

(MNP) Bài 27: Cho tứ diện ABCD. Gọi N, M lần lượt là trung điểm AC, BC. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP=2PD a. Tìm giao điểm Q của (MNP) với đường thẳng AD b. Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tìm giao điểm của BG với

(MNP) Bài 28: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Kéo dài BC (về phía C) một đoạn CE=a, kéo dài BD (về phía D) một đoạn DF=a. Gọi M là trung điểm của AB. a. Xác định thiết diện tạo bởi tứ diện với mặt phẳng (MEF) b. Tính diện tích thiết diện III. Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng 1. Phương pháp:


9

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta cần chứng minh ba điểm ấy cùng thuộc một đường thẳng Ta tìm 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua 3 điểm phân biệt ấy. Khi đó 3 điểm phân biệt sẽ thuộc giao tuyến chung của (P) và (Q)

d

Q

PA C

B

, , , ,

, ,

P Q d

A B C P A B C d

A B C Q

A, B, C thẳng hàng

2. Bài tập: Bài 29: Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượt lấy các điểm D, E và F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt CA tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài 30: Cho hai mặt phẳng và cắt nhau theo giao tuyến d. Trong lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài và sao cho OA và OB lần lượt cắt tại A’ và B’

a. Chứng minh ba điểm I, A’ và B’ thẳng hàng


10

b. Trong lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng. Giả sử OC cắt tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Bài 31: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượt là trung điểm AC, BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N. Một mặt phẳng qua BC cắt SD và SA lần lượt tại P và Q a. Gọi ,I AM DN J BP EQ . Chứng minh bốn điểm S, I,

J, G thẳng hàng b. Giả sử ,AN DM K BQ EP L . Chứng minh ba điểm S,

K, L thẳng hàng Bài 32: Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đường thẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng Bài 33: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC và ngoài (P) cho điểm S. Giả sử A’, B’, C’ là các điểm nằm tương ứng trên các đường thẳng SA, SB, SC (khác A, B, C, S) sao cho A’B’ cắt AB tại M, A’C’ cắt AC tại N và B’C’ cắt BC tại E. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, E thẳng hàng Bài 34: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm S. Gọi O là giao điểm hai đường chéo tứ giác ABCD. Trên đoạn thẳng SO ta lấy điểm I. Một đường thẳng qua I cắt các cạnh SA, SC của tam giác SAC tại A’ và C’. Một đường thẳng khác đi qua I cắt các cạnh SB, SD của tam giác SBD tại các


11

điểm B’, D’. Giả sử các đường thẳng A’B’ cắt AB tại M, C’D’cắt CD tại N, A’C’ cắt AC tại K và B’D’ cắt BD tại H. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, K, H thẳng hàng Bài 35: Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm S. Giả sử C’, D’ là các điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng SC, SD sao cho hai đường thẳng AD’ và BC’ cắt nhau tại M. Giả sử A’, B’ là hai điểm lần lượt trên các đoạn thẳng SA, SB sao cho hai đường thẳng DA’ và CB’ cắt nhau tại N. Chứng minh rằng 3 điểm M, N, S thẳng hàng Bài 36: Cho hình bình hành ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD ta lấy các điểm tương ứng A’, B’, C’, D’. Gọi I là giao điểm các đường thẳng AC’ và CA’, K là giao điểm của đường thẳng BD’ và DB’. Chứng minh rằng 3 điểm I, K, M thẳng hàng IV. Dạng 4: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy 1. Phương Pháp: - Cách 1: Hãy chứng tỏ rằng ba đường thẳng đó đôi một cắt

nhau và chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng

d''

d'

d

M


12

- Cách 2: Chỉ ra rằng 2 trong 3 đường thẳng đó cắt nhau tại M. Hãy chứng minh M nằm trên đường thẳng còn lại, nghĩa là đường thẳng còn lại là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng đi qua M

' ''

' ''

d d MM P

M d d d d MM Q

P Q d

2. Bài tập: Bài 37: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, E lần lượt là trung điểm các cạnh CA, CB. Trên các cạnh DB, Dacuar tam giác ABD ta lấy các điểm tương ứng N, F sao cho hai đường thẳng MN và EF cắt nhau. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh rằng MN, EF, DG đồng quy Bài 38: Cho tứ giác lồi ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các cạnh MA, MB của tam giác MAB ta lấy các điểm tương ứng A’, B’ sao cho các đường thẳng CA’ và DB’ cắt nhau. Gọi H là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng các đường thẳng MH, CA’, DB’ đồng quy

d

d'd''

Q

PM


13

Bài 39: Cho hai hinh bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên đoạn EC lấy điểm M, trên đoạn DF lấy điểm N sao cho các đường thẳng AM và BN cắt nhau. Gọi I, K là giao điểm các đường chéo của hai hình bình hành. Chứng minh rằng các đường thẳng IK, AM, BN đồng quy


14

LỜI GIẢI: Bài 1:

O

C

A D

B

S

Ta có điểm O, S vừa thuộc mặt phẳng (SAC) vừa thuộc mặt phẳng (SBD) nên SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD). Hay SAC SBD SO Bài 2:

d

DC

A B

S

Hai mặt phẳng (SCD) và (SAB) có CD || AB và có chung điểm S nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng (d) đi qua S và song song với CD và AB Bài 14:


15

I

O

D C

A

B

S

M

Tìm giao điểm của AM với mặt phẳng (SBD) Ta có SAC SBD SO Trong mặt phăng (SAC), có AM SO I Mà SO SBD nên I là giao điểm của AM với (SBD) Bài 3:

I

PD

C

A

B

S

M

a. (SBM) và (SCD)

,

,

S SBM SCDSBM SCD SM

M SBM SCD


16

b. (ABM) và (SCD) Ta có ,M ABM SCD (1)

Trong mặt phẳng (ABCD) có hai cạnh AB và CD không song

song với nhau nên chúng sẽ cắt nhau tai điểm P (kéo dài)

2P AB P MAB

P CD P SCD

Từ (1), (2) ta có M, P đều thuộc (ABM) và (SCD) nên

AMB SCD MP

Vậy MP là giao tuyến

c. (ABM) và (SAC)

Trong mặt phẳng (SPC), kéo dài PM cắt SC tại I.

I SAC

Ta có

PM ABMI ABM

I PM

I SAC

I ABM

(1)


17

Lại có

A ABM

A SAC

(2)

Từ (1) và (2), suy ra SAC ABM AI

Vậy AI là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SAC)

Bài 4:

J

I O

D

C

AB

S

a) (SAC) và (SBD)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O AC BD

Điểm O AC mà AC SAC nên O SAC

Điểm O BD mà DB SBD nên O SBD

,

,

S SAC SBDSO SAC SBD

O SAC SBD

Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)


18

b. (SAB) và (SCD)

Ta có AB và CD không song song với nhau nên AB và CD cắt

nhau tại I (đường kéo dài)

I AB CD

Điểm I AB mà AB SAB nên I SAB

Điểm I CD mà CD SCD nên I SCD

,

,

S SAC SBDSI SAB SCD

I SAB SCD

Vậy SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)

c. (SAD) và (SBC)

Tương tự câu b, Gọi J BC AD

SJ là giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Bài 5:

J

I

A C

B

D

a. Điểm J BC mà BC IBC nên J IBC . Lại có

J JAD


19

Điểm I AD mà AD JAD nên I JAD . Lại có I IBC

,

IJ=,

J IBC JBDIBC JAD

I IBC JBD

Vậy IJ là giao tuyến của (IBC) và (JAD).

b. (IBC) và (DMN).

,

,

P IB DM P IBC DMN

Q DN IC Q IBC DMN

PQ IBC DMN

PQ là giao tuyến của (IBC) và (DMN)

Bài 6:

a) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAC).

Q

P

I

D

B

CA

M

N


20

J

DC

A B

S

M

I

N

DC

A B

S

M

Trong mặt phẳng (ABCD), AC BD N Trong mặt phẳng (SBD), BM SN I Điểm I SN mà SN SAC nên I SAC Điểm I BM mà BM MBC nên I MBC

,I SAC MBC (1) Lại có ,C SAC MBC (2) Từ (1), (2) SAC MBC CI Vậy CI là giao tuyến của (SAC) và (MBC)

b) Tìm giao tuyến của (MBC) và (SAD).


21

Trong mặt phẳng (ABCD), vì AC và BD không song song nhau nên kéo dài AC và BD sẽ cắt nhau tại J AD BC J

Điểm J AD mà AD SAD nên J SAD Điểm I BC mà BC MBC nên J MBC

,J SCD MBC (1) Lại có Điểm M SD mà SD SAD nên M SAD Điểm M MBC

,M MBC SAD (2) Từ (1), (2) MJ là giao tuyến của (MBC) và (SAD).

Bài 7:

a. Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC)

IN

M

O

C

A D

B

S

P

Trong mặt phẳng (ABCD), AC DB O

Trong mặt phẳng (SBD), MN SO I


22

, (1)

I MNI MNP

MN MNP

I SOI SAC

SO SAC

I MNP SAC

Lại có, ,P SAC MNP (2)

Từ (1), (2) ta có IP là giao tuyến của (MNP) và (SAC)

b. (MNP) và (SAB)

R

IN

M

O

C

A D

B

S

P

Trong mặt phẳng (SAC), IP SA R

, (1)

R IPR MNP

IP MNP

R SAR SAB

SA SAB

R MNP SAB


23

Lại có ,M SAB MNP (2)

Từ (1), (2) RM là giao tuyến của (MNP) và (SAB)

c. (MNP) và (SAD). Tương tự câu b, RN là giao tuyến

d. (MNP) và (ABCD)

X

Y

N

M

C

A D

B

S

P

Trong mặt phẳng (SBC), MP cắt BC tại Y

, ,Y MP BC Y MNP ABCD (1)

Trong mặt phẳng (SCD), NP cắt CD tại X

, ,X NP CD X MNP ABCD (2)

Từ (1), (2) XY là giao tuyến của (MNP) và (ABCD)

Bài 8:

a. (MAC) và (MBD)


24

O

C

A D

B

M

Dễ dàng chứng minh được MO là giao tuyến

b. (AMN) và (ACD)

I

N C

A D

B

M

Trong mặt phẳng (ABCD), AN cắt CD tại I

, ,I AN CD I ANM ACD (1)

Lại có, ,A ANM ACD (2)

Từ (1), (2) AI là giao tuyến cuat (ANM) và (ACD)


25

Bài 9:

a. (MNE) và (SAD)

I

E

M

N C

A D

B

S

Trong mặt phẳng (ABCD), MN cắt AD tại I

, ,I MN AD I MNE SAD (1)

,E MNE SAD (2)

Từ (1), (2) IE là giao tuyến của (MNE) và (SAD)

b. (MNE) và (SCD)


26

J

E

M

N C

A D

B

S

Tương tự câu a, ta có EJ là giao tuyến của (MNE) và (SCD)

c. * (MNE) và (SAB)

R

Q

P

OI

E

M

N C

AD

B

S


27

Trong mặt phẳng (ABCD), MN BD I và AC BD O

Trong mặt phẳng (SBD), IE SO P

P IE

P MNEIE MNE

Trong mặt phẳng (SAC), từ P kẻ QR song song với AC trong đó

,Q SA R SC , mà AM cũng song song với AC (do MN là

đường trung bình của tam giác ABC), do đó MN cũng song song

với QR (ba đường thẳng đôi một song song)

Suy ra QR MNE

,Q MNE SAB (1)

Lại có, ,M SAB MNE (2)

Từ (1), (2) QM là giao tuyến của (MNE) và (SAB)

d.* (MNE) và (SBC)

Tương tự câu c, NR là giao tuyến cần tìm

Bài 10:

a. (MNE) và (SCD)


28

I

N

E

M

C

AD

B

S

Trong mặt phẳng (ABCD), MN cắt CD tại I

,

,

I SCD MNEIE SCD MNE

E MNE SCD

IE là giao tuyến cần tìm

b. (MNE) và (SBD)

P

N

E

M

C

AD

B

S


29

Trong mặt phẳng (ABCD), MN cắt BD tại P

,

,

P SBD MNEPE SBD MNE

E MNE SBD

PE là giao tuyến cần tìm

c. (MNE) và (SAD)

K

N

E

M

C

AD

B

S

Trong mặt phẳng (ABCD), MN cắt AD tại K

,

,

K MNE SADKE MNE SAD

E MNE SAD

Vậy KE là giao tuyến cần tìm

d. (MNE) và (SAB)


30

H

K

N

E

M

C

AD

B

S

Trong mặt phẳng (SAD), SA cắt KE tại H

H KE mà KE MNE H MNE

H SA mà SA SAB H SAB

,H MNE SAB (1)

Lại có, ,M MNE SAB (2)

Từ (1), (2) HM là giao tuyến cần tìm

Bài 11:

a. (MAB) và (MCD)


31

P D C

A

B

M

Trong mặt phẳng (ABCD), AB cắt CD tại P

, ,P M MAB MCD

Vậy MP là giao tuyến cần tìm

b. (MAD) và (MBC)

Q

D C

A

B

M

Tương tự câu a, QM là giao tuyến cần tìm


32

Bài 13: a.

P

O

G

N

M IC

BA

S

SI là đường trung tuyến của tam giác SBC Ta có SAI SBM SO

;SO SAI SO SBM Trong mặt phẳng (SAI)

Do đó

NG SAING SO P

SO SAI

P NG

NG SBM PP SO SBM

b.


33

Q

P

O

G

N

M IC

BA

S

Trong mặt phẳng (SAI), AI NG Q

Q AI ABC

NG ABC QQ NG

Bài 14 a.

E

O

B

D C

A

S

M

Trong mặt phẳng (ABCD), AC BD O

SAC SBD SO


34

Trong mặt phẳng (SAC), AM SO E

E SO SBDAM SBD E

E AM

b. * MG ABCD P

P

G

H

M

B

D C

A

S

Trong mặt phẳng (SHC), GM HC P

P HC ABCD

GM ABCD PP GM

* GM SAB

P

G

H

M

B

D C

A

S

Rõ ràng ta có AB HC P


35

Vì ta có 3 mặt phẳng (SHC), (ABCD), (SAB) cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt và 3 giao tuyến ấy không song song nhau nên 3 giao tuyến ấy sẽ đồng quy tại 1 điểm P SHC ABCD HC

ABCD SAB AB

HC AB P

P AB SAB

GM SAB PP GM

Bài 15: a.

E

I

D

CA

B

S

M

Trong (ABCD), AB CD I


36

SAB SCD SI Trong mặt phẳng (SBI), MB SI E

E MB

MB SCD EE SI SCD

b.

K

J

G

H

D

C

A

B

S

N

* NG SCD Trong mặt phẳng (ABCD), HN CD J

SHN SCD SJ Trong mặt phẳng (SHN), GN SJ K

K GN

GN SCD KK SJ SCD

* NG SBD


37

E

L

G

H

D

CA

B

S

N

Trong mặt phẳng (ABCD), HN BD L

SBD SHN SL Trong mặt phẳng (SHN), SL HN E

E NG

NG SBD EE SL SBD

* NG SAB

Q

P

G

H

D

CA

B

S

N


38

Trong mặt phẳng (ABCD), HN AB P SHN SAB SP

Trong mặt phẳng (SHN), NG SP Q

Q NG

NG SAB QQ SP SAB

Bài 16:

E

N

B

DC

A

M

K

;

MNK ABD K

NM MNK AB ABDNM AB

giao tuyến của (MNK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K và song song với AB, MN đồng thời cắt AD tại E

NMK ABD KE

E MNKAD MNK E

E AD


39

Bài 17:

L

H

E

B

DC

A

J

I

M

K

Gọi M AK CD Trong mặt phẳng (IBM), IK BM E

IJE IK K Trong mặt phẳng (BCD), JE BC H

IJ

IJIJ

H JE K

H BC ABCK ABC IH

I K

I AB ABC

Trong mặt phẳng (IJK) HI JK L


40

L JK

JK ABC LL HI ABC

Bài 18:

K

Q

H

J

I

B

D C

A

S

M

N

P

MNP SA M

MNP AB N

MNP BC P

Trong mặt phẳng (SAB), MN SB I MNP SB I

Trong mặt phẳng (ABCD), NP AD H và NP CD J


41

NMP AD H

MNP CD J

Trong mặt phẳng (SBC), PI SC Q MNP SC Q

Trong mặt phẳng (SCD), JQ SD K MNP SD K

Bài 19:

K

H

EO

B

D C

A

S

N

M

Trong mặt phẳng (ABCD), AN BD E và AC BD O

SAC SBD SO Trong mặt phẳng (SAC), SO AM H Trong mặt phẳng (SBD), EH SD K

K EH AMN

SD AMN KK SD

Bài 20:


42

P

I

M

C

BA

D

N

a. Trong mặt phẳng (BCD), MN CD I

I MN

MN ACD II CD ACD

b.

P MNPAD MNP P

P AD

Bài 21 a.

H

K

I

O

B

D C

A

S

M

N


43

Trong mặt phẳng (ABCD), AC BD O SBD SAC SO

Trong mặt phẳng (SAC), SO AM I

I AM

AM SBD II SO SBD

b. Trong mặt phẳng (ABCD), AN BD K Trong mặt phẳng (SBD), KI SD H

H KI AMN

SD AMN HH SD

Bài 22: a.

Q

P

I

N

M

C

B

A

D

Trong mặt phẳng (BCD), NI CD P

P NI IMN

CD IMN PP CD

b.


44

Ta có

;

IMN ACD P

AC ACD MN IMNAC MN

Giao tuyến của (ACD) với (IMN) là đường thẳng đi qua P dồng thời song song với AC, MN và cắt AD tại Q

ACD IMN PQ

Q PQ IMNAD IMN Q

Q AD

Bài 23:

F

E

JI

C

BA

D

K

a. IJCD K E


45

Trong mặt phẳng (BCD), JK CD E

IJIJ

E CDCD K E

E JK K

b. IJK AD F

Ta có

IJ

IJ IJ ,IJ

K ABD K

K AB ABDAB

giao tuyến của (IJK) với (ABD) là đường thẳng đi qua K đồng thời song song với AB, IJ và cắt AD tại F

IJABD K KF

IJIJ

F ADAD K F

F KF K

c.

Q

E

P JIC

BA

D

K

M

N


46

Trong mặt phẳng (ABC), IJCM P Trong mặt phẳng (BCD), CD JK E

IJCDM K EP Trong mặt phẳng (CDM), MN EP Q

IJIJ

Q MNMN K Q

Q EP K

Bài 24:

J

E

I

CB

A

D

O

Trong mặt phẳng (BCD), BO CD E Ta có ABE ACD EA Trong mặt phẳng (AEB), BI AE J

J BI

BI ACD JJ AE ACD


47

Bài 25

R

Q

PE

K

J

H

I

G

C

BA

D

Trong mặt phẳng (AIB), GH AB E Trong mặt phẳng (ABC), KE BC P Trong mặt phẳng (BCD), PH CD Q

KGH BCD PQ (1) Trong mặt phẳng (ACD), QG AC R

KGH ACD QR (2) Và KGH ABC RP (3) Từ (1), (2), (3), suy ra thiết diện là tam giác PQR Bài 26: a.


48

K

H

P

N M

O

B

D C

A

S

* MNP SAC Trong mặt phẳng (SBD), MN SO H

H MN MNP

MNP SAC HH SO SAC

Lại có MNP SAC P MNP SAC PH

* Tìm MNP SA Trong mặt phẳng (SAC), PH SA K

K SA

SA MNP KK PH MNP

b.


49

ER

I

K

H

P

N M

O

B

DC

A

S

Trong mặt phẳng (SAD), KN AD I

MNP SAD KI (1) Trong mặt phẳng (ABCD), IP CD R và IP BC E

MNP ABCD RE (2) MNP SBC ME (3) MNP SCD RN (4) MNP SAB KM (5) Vậy thiết diện là hình ngũ giác EMKNR Bài 27:


50

Q

MN

C

BA

D

P

a.

,

MNP ABD P

MN MNP AB ABDMN AB

Giao tuyến của (MNP) với (ABD) là đường thẳng đi qua P đồng thời song song với MN, AB và cắt AD tại Q

MNP ABD PQ

Q AD

AD MNP QQ PQ MNP


51

b.

E

G

MN

C

BA

D

P

Ta có BDN MNP NP Trong mặt phẳng (BDN), BG NP E

E BG

BG MNP EE NP MNP

Bài 28:

H

P

IM

CB

A

D

E

F

Trong mặt phẳng (ABC), AC EM I


52

Trong mặt phẳng (BCD), EF CD P Trong mặt phẳng (ACD), PI AD H

H AD ACD

ACD PEM HH PI PEM

(1)

I AC ACD

ACD EPM II EM PEM

(2)

Từ (1) và (2) suy ra ACD EPM HI EPM ABD HM EFEPM BCD EPM ABC MI Thiết diện là tam giác HIM


53

Documents

ập Đường Thẳng Và Mặt Phẳng Trong Không Gian GV: Đỗ Văn ... · Trong lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một điểm nằm ngoài và sao