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P-Test
Motivation: Einsatz des Tests auf p im KrankenhausmanagementTheorie zum Test auf p
Test A: Beispiel zur Erfolgsmessung von TherapienTest B: Beispiel zur Überwachung des Patientenanteils mit zu hohem Blutdruck
Test C: Beispiel zur Überprüfung der EuromünzeÜbungen zum p-Test
Motivation: Durchführung des Tests auf p beim Einsatz im KrankenhausmanagementAnimation zum Test auf p
Motivation: Einsatz des Tests auf p im Krankenhausmanagement
In einer Klinik fallen täglich große Mengen an verschmutztem Geschirr an. Der fürdiesen Bereich zuständige Qualitätsbeauftragte der Klinik möchte wissen, ob das in derKlinik installierte Reinigungssystem optimal arbeitet. Nach Befragung von Fachleutenstellt er fest, dass ein solches System unter optimalen Bedingungen mit einerAusschussquote von 3% bei der Geschirreinigung arbeitet. Er möchte nun das in seinerKlinik vorhandene System untersuchen und eventuell vorhandene Mängel aufdecken.Hierzu lässt er bei einer Stichprobe von 1000 gereinigten Gegenständen eineSichtprüfung vornehmen. Es stellt sich heraus, das bei 35 gereinigten GegenständenBeanstandungen auftraten. Für den Qualitätsbeauftragten stellt sich nun die Frage, obdieses Ergebnis Anlass zu Verbesserungsmaßnahmen gibt, oder ob die gefundenenBeanstandungen zufallsbedingt sind.
Theorie zum Test auf p
Wie das Schätzen eines Anteilswertes p ) so gibt es auch für einen Test auf p eine Füllevon Anwendungen. Ein Beispiel haben wir oben im Fall des Krankenhausmanagementsmit dem Test auf eine Ausschussquote von (höchstens) p=0.03 kennen gelernt.Weitere Beispiele sind:
-Test auf den Anteil p abgegebener Stimmen für eine bestimmte Partei-Test auf den Anteil p von Patienten mit einer erfolgreichen Therapie-Test auf den Anteil p von Mädchengeburten in einem bestimmten Land-Test auf den Anteil p von Rauchern unter den Studierenden.Siehe dazu auch die Beispiele 5,6 und 7 aus dem Abschnitt .
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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Annahmen
Dem Test auf einen Anteilswert p liegt das folgende so genannte Bernoulli-Experimentmit zwei möglichen Ereignissen zu Grunde, dem Ereignis und dem
Komplementärereignis ; die unbekannten Eintrittswahrscheinlichkeiten seien mit
bzw. bezeichnet. Um das statistische Testproblem zu
formalisieren, führen wir folgende Bezeichnungen ein: Es seien
Bernoulli-Variablen mit d.h.
und
Hypothesen
Die im obigen und in den noch folgenden Beispielen betrachteten Testprobleme könnenallgemein mit einem in der konkreten Anwendung noch zu spezifizierenden Anteilswert
wie folgt formuliert werden:
Test Hypothesen
Test Agegen .
Test Bgegen .
Test Cgegen .
Exakte Tests
Prüfgröße
Als Prüfgröße (Teststatistik) für die obigen Hypothesenprobleme wählen wir die
Summe der Bernoulli-Variablen: .
Da keinen Beitrag zur Summe liefert, gibt also die Anzahl der "Zahl 1"
unter den Beobachtungen und damit die absolute Häufigkeit des Auftretens von
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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, d.h. die relative Häufigkeit des Auftretens von wählen.
Wir entscheiden uns für die Prüfgröße , weil eine uns schon bekannte
Verteilung, nämlich die Binomialverteilung mit den Parametern und hat, denn
wir wissen, das eine Summe Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen binomialverteilt ist.Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für lautet also:
Unter den Nullhypothesen in
Test A, Bund C ist dann binomialverteilt (s.
Applet Binomialverteilung (ace.jar)) mit Parametern und .
Testentscheidung
Als Entscheidungsregeln für die obigen drei Testprobleme ergeben sich damit:
Test Testentscheidung
Test Aablehnen, falls
Test Bablehnen, falls
Test C
ablehnen, falls oder
Die kritischen Werte (Quantile) werden durch
Eingabe von und am Rechner bestimmt. Dabei wird deutlich, dass eine
diskrete Prüfgröße ist und somit das Testniveau i.d.R. nicht exakt eingehalten wird.
Statt der Bestimmung eines kritischen Wertes kann auch der -Wert nach Berechnung
des Wertes der Prüfgröße angegeben werden. Das heißt z.B. für Test A, falls
beobachtet wurde: .
Für den Fall können in dem folgenden Applet für verschiedene
Stichprobengrößen in einem Zufallsexperiment die kritischen Werte veranschaulicht
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werden.Applet exakter Test auf p (b59.jar)
Nach diesem exakten Test auf p soll nun der approximative Test auf p behandeltwerden. Dazu wird daran erinnert, dass für die binomialverteilte Prüfgröße gilt:
und . Das kann noch einmal über die Summe
Bernoulli-verteilter Variablen verdeutlicht werden.
Prüfgröße
Dann ist für beliebiges die Prüfgröße approximativ
-verteilt d.h. unter ist approximativ
-verteilt.
Hinweis:Die Güte der Approximation hängt von und ab. Faustregel:
und . Beispiel: . Sie kann mit
dem folgenden Applet veranschaulicht werden.Applet Normalverteilungs-Approximation (bbc.jar)
Testentscheidung
Das bedeutet für die Entscheidungsregeln bei den drei Testproblemen, zum einenformuliert über die standardisierte Prüfgröße Z und zum anderen über die Prüfgröße T;für die Tests B und C dann analog:
Test Testentscheidung
Test A:
ablehnen, falls oder
Test B:ablehnen, falls
Test C:
ablehnen, falls oder
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Die kritischen Werte und können der Tabelle der
Standardnormal-verteilung entnommen werden.Statt über die diskrete Binomialverteilung von werden hier also die kritischen Werte
approximativ über die stetige Standardnormalverteilung von bestimmt.
Das folgende Applet kann am Beispiel eines fairen Münzwerf die Funktion des Testsverdeutlichen.Applet approximativer Test auf p (c2e.jar)
Test A: Beispiel zur Erfolgsmessung von Therapien
Im Folgenden wird der Test A an einem Beispiel erläutert.
Beispiel: Test A: Beispiel zur Erfolgsmessung von Therapien
MedikamentQuelle: Microsoft
Hier wird ein Beispiel aufgegriffen, in dem der Anteil von Patienten mit einererfolgreichen Therapie zu testen ist. So könnte die Hypothese eines Krankenhauseslauten, dass die Wahrscheinlichkeit für den Erfolg einer bestimmten Therapie(Operation, Medikament) mindestens 90% beträgt, d.h. zu testen ist
gegen .
Es stellte sich heraus, dass bei 86 Patienten unter zufällig ausgewählten
Patienten die Therapie erfolgreich war. Ist dieser Beobachtungsbefund mit derNullhypothese verträglich?
Hypothesen
Wir wollen nun zunächst den Test auf den Parameter mit den im obigen Beispiel
angegebenen einseitigen Hypothesen beschreiben:
Test A
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gegen
Im obigen Beispiel ist .
Prüfgröße
Als Prüfgröße (Teststatistik) für das obige Hypothesenproblem wählen wir die
Summe der Bernoulli-Variablen: . Da keinen Beitrag zur
Summe liefert, gibt also die Anzahl der "Zahl 1" unter den Beobachtungen und
damit die absolute Häufigkeit des Auftretens von an. Da unter der
Nullhypothese binomialverteilt mit Parametern und ist, lautet die
Wahrscheinlichkeitsfunktion für :
Im obigen Beispiel gibt
die Anzahl der Patienten unter den ausgewählten Patienten an, bei
denen die Therapie erfolgreich war.
Testentscheidung (exakter Test)
Die Testentscheidung lautet:
Test A
ablehnen, falls
Es ist unmittelbar einleuchtend, dass man an der Nullhypothese festhielte, wenn alle100 Patienten oder auch 90 der 100 Patenten erfolgreich behandelt wurden. Dann ist derAnteil der Patienten mit einer erfolgreichen Therapie 100% bzw. 90%. Was ist jedochwenn- wie im Beispiel 1- nur 86 erfolgreich behandelt wurden oder wenn es nur 80 odergar nur 75 Patienten gewesen wären? Sind solche Beobachtungsbefunde noch mit derHypothese verträglich?
Hierzu betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
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WahrscheinlichkeitsfunktionQuelle: eigene Gestaltung
Sie zeigt, dass für Werte von 75 oder 80 nur sehr kleine Auftretenswahrscheinlichkeitenexistieren. Um eine genaue Aussage über einen kritischen Wert von zu machen,
betrachten wir die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten.
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VerteilungsfunktionQuelle: eigene Gestaltung
Für ergibt sich und damit eine
Irrtumswahrscheinlichkeit von 4% und für ist und
damit die Irrtumswahrscheinlichkeit 7%. Da unsere Irrtumswahrscheinlichkeit 5% nichtüberschreiten soll, wird 84 als kritischer Wert gewählt. Somit kann die Nullhypothesenicht abgelehnt werden. Damit wird allerdings unterschritten.
Exkurs: Testentscheidung (approximativer Test)
Die Testentscheidung im Falle des approximativen Tests lautet:
Test A
ablehnen, falls
Für ergibt sich für das Beispiel . Da dieser
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Wert größer als ist, wird die Nullhypothese beibehalten.
Für die Werbung betreibende Industrie ist die Fernsehquote ein entscheidendesKriterium der Preisgestaltung. Für eine große Krimiserie wird von der Sendeanstaltbehauptet, dass ihre Einschaltquote bei mindestens 25% liegt. Eine Beobachtung von1000 Zuschauern zeigt, dass die letzte ausgestrahlte Sendung nur von 210 Zuschauerngesehen wurde. Ist es aufgrund dieses Ergebnisses für die Werbung betreibendeIndustrie sinnvoll, neue Preisverhandlungen zu führen?
Test B: Beispiel zur Überwachung des Patientenanteils mit zu hohem Blutdruck
Im folgenden wird der Test B mit einem Beispiel erläutert.
Beispiel: Test B: Beispiel zur Überwachung des Patientenanteils mit zu hohem
Blutdruck
MessgerätQuelle: Microsoft
Der Anteil von Patienten in einem Krankenhaus, die an zu hohem Blutdruck leiden(Ereignis ), ist höchstens 20 %, d.h. zu testen ist
gegen .
Hypothesen
Wir wollen nun zunächst einen Test auf den Parameter mit den im obigen Beispiel
angegebenen einseitigen Hypothesen beschreiben:
Test B
gegen .
Im obigen Beispiel ist .
Prüfgröße
Die Teststatistik hat eine Binomialverteilung mit den Parametern und , denn
wir wissen, das eine Summe Bernoulli-verteilter Zufallsvariablen binomialverteilt ist.
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. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für lautet also:
Im obigen Beispiel wurde unter zufällig ausgewählten Patienten bei 17
Patienten ein zu hoher Blutdruck diagnostiziert. Somit gilt .
Testentscheidung (exakter Test)
Die Testentscheidung lautet:
Test B
ablehnen, falls
Ist der obige Beobachtungsbefund mit der Nullhypothese verträglich?Hierzu betrachten wir zunächst die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Es zeigt sich, dass für
und kleine Wahrscheinlichkeitswerte vorliegen.
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WahrscheinlichkeitsfunktionQuelle: eigene Gestaltung
Da uns aber die Wahrscheinlichkeit interessiert, schauen wir uns die
aufsummierten Wahrscheinlichkeiten an.
VerteilungsfunktionQuelle: eigene Gestaltung
Für ergibt sich und für ist
. Da die Nullhypothese bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit
von abgelehnt werden soll, wählen wir als kritischen Wert
können die Nullhypothese ablehnen.
Exkurs: Testentscheidung (approximativer Test)Die Testentscheidung im Falle des approximativen Tests lautet:
Test B
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Im Blutdruckbeispiel ist Da dieser Wert größer
ist als , wird die Nullhypothese abgelehnt.
In einer Stichprobe bei 50 Studenten der Wirtschaftswissenschaft zeigt sich, dass 15Studenten die Abschlussnoten 1 oder 2 erreicht hatten. Für die gesamte Universität lagdieser Anteil bei 25%. Kann behauptet werden, dass Studenten derWirtschaftswissenschaft bessere Noten erlangen?
Test C: Beispiel zur Überprüfung der Euromünze
Im Folgenden wird der Test C mit einem Beispiel erklärt.
Beispiel: Test C: Beispiel zur Überprüfung der Euromünze
MünzwurfQuelle: Microsoft
Eine 2-Euro-Münze werde mal geworfen. Wir wollen testen, ob die Münze
fair in dem Sinne ist, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Kopf (Ereignis) gleich der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Zahl ( ) ist, d.h. zu testen ist
:gegen .
Bei Würfen trat 61mal "Kopf” auf. Ist dieser Beobachtungsbefund mit der
Nullhypothese verträglich?
Prüfgröße
Als Prüfgröße für das obige Hypothesenproblem wählen wir die Summe der
Bernoulli-Variablen: . Da keinen Beitrag zur Summe liefert,
gibt also die Anzahl der "Zahl 1" unter den Beobachtungen und damit die
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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an.
Im obigen Beispiel gibt die Anzahl der Ereignisse "Kopf" unter den
durchgeführten Würfen an.
Hypothesen
Wir wollen nun zunächst einen Test auf den Parameter mit den im obigen Beispiel
angegebenen zweiseitigen Hypothesen beschreiben:
Test C
gegen .
Im Beispiel ist .
Testentscheidung (exakter Test)
Die Testentscheidung lautet:
Test C
ablehnen, falls oder .
Unter der Nullhypothese wäre bei n=100 Münzwürfen mal "Kopf”
zu erwarten, d.h. es sprechen zu kleine Werte oder zu große Werte von gegen die
Nullhypothese. Es stellt sich also die Frage, ab welchen (zu kleinen oder zu großen)Werten von die Nullhypothese bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von
abgelehnt werden muss. Hier wird nun die Hälfte der
Irrtumswahrscheinlichkeit auf beide Ränder verteilt, d.h. für den unteren
kritischen Wert und für den oberen kritischen Wert. Um die Entscheidung zu
treffen, ist es nötig die kritischen Werte zu bestimmen. Hierzu betrachten wir zuerst dieWahrscheinlichkeitsfunktion.
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WahrscheinlichkeitsfunktionQuelle: eigene Gestaltung
Für die Testentscheidung benötigen wir die kumulierten Wahrscheinlichkeiten.
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VerteilungsfunktionQuelle: eigene Gestaltung
Bei der Ermittlung des oberen kritischen Wertes ergibt sich für der Wert
, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von finden
sich Werte von T, die gleich 61 oder größer sind. Für ergibt sich der Wert
. Somit sind mit einer Wahrscheinlichkeit von
Werte von T größer oder gleich 60. Da wir den Wert für suchen, für den
ist, müssen wir als kritischen Wert wählen.
Bei der Bestimmung des unteren kritischen Wertes ergibt sich für k=40 der Wertund für k=39 der Wert . Da wir den
Wert für suchen, für den ist, setzen wir als kritischen Wert
k=39 fest.
Wir schöpfen mit diesen kritischen Werten 39 und 61 allerdings das -Fehlerniveau
nicht voll aus.
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Da in unserem Experiment 61mal "Kopf” aufgetreten ist, lehnen wir die Nullhypothese(gerade noch) ab.
Exkurs: Testentscheidung (approximativer Test)
Die Testentscheidung im Falle des approximativen Tests lautet:
Test C
ablehnen, falls oder .
Im Münzwurfbeispiel ergibt sich . Da dieser
Wert größer ist als , wird die Nullhypothese abgelehnt.
Ein Produzent von Verpackungsmaschinen behauptet, dass der Anteil p vonAusschusstücken (zu große oder zu kleine verpackte Menge) höchstens 4% beträgt.Eine Stichprobe von n=500 überprüften Mengen ergab 30 falsche Füllungen. Ist demHersteller noch zu trauen?
Um einen Vergleich zwischen beiden Tests darzustellen, werden zuerst für das BeispielTest B die Wahrscheinlichkeiten exakt über die Binomialverteilung und
approximativ über die Normalverteilung für n=20 dargestellt.
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Vergleich exakt/approximativQuelle: eigene Gestaltung
Es zeigt sich, dass die Werte der approximativen Verteilung teilweise erheblich unterden exakten Werten liegen. Bei einer Erhöhung von auf zeigt sich,
dass die approximativen Werte die exakten Werte geringer unterschätzen.
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Vergleich exakt/approximativQuelle: eigene Gestaltung
Jetzt wird variiert. Wir verlassen das Beispiel und nehmen an. Unter
diesen Bedingungen arbeitet die Approximation besser, weil dann T wie Z symmetrischverteilt ist.
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Vergleich exakt/approximativQuelle: eigene Gestaltung
Als weitere Parametervariation wird der Stichprobenumfang erhöht. Bei
zeigt sich, dass die Werte der approximativen Verteilung sehr nah an den Werte derexakten Verteilung liegen.
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Vergleich exakt/approximativQuelle: eigene Gestaltung
Übungen zum p-Test
Im Folgenden werden Übungen und Lösungen zum Test auf p gezeigt
Die Aufgaben 1 bis 6 sind Multiple Aufgaben.
Aufgabe1:
Es seien Bernoulli-Variablen mit und
, i=1,...,n.
Dann ist:(a) Bernoulli-verteilt mit Parametern und
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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(b) Bernoulli-verteilt
(c) binomialverteilt mit Parametern und
(d) binomialverteilt mit Parametern und .
Lösungen ( : f46.doc )
Aufgabe 2:
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit Parametern und gilt:
(a)
(b)
(c) ,
(d) .
Lösungen ( : f69.doc )
Aufgabe 3:
Es sei , dann ist der kritische Wert der
Prüfgröße :
(a)
(b)
(c)
(d) .
Lösungen ( : f8c.doc )
Aufgabe 4:
Beim Test auf gegen führen zur Ablehnung von
(a) zu große Werte der Prüfgröße
(b) zu kleine Werte der Prüfgröße
(c) zu kleine und zu große Werte der Prüfgröße
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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.
Lösungen ( : faf.doc )
Aufgabe 5:
Bei einem festen Stichprobenumfang sei zu testen: gegen
. Dann werden mit wachsendem
(a) die kritischen Werte und kleiner
(b) die kritischen Werte und größer
(c) der kritische Wert größer und der kritische Wert kleiner
(d) der kritische Wert kleiner und der kritische Wert größer.
Lösungen ( : fe6.doc )
Aufgabe 6:
Die Güte der Approximation der Binomialverteilung mit Parametern und durch
die Normalverteilung steigt
(a) mit wachsendem bei festem
(b) mit wachsendem bei wachsendem
(c) mit wachsendem bei festem
(d) ist unabhängig von und .
Lösungen ( : I1015.doc )
Aufgabe 7:
Ein Dozent der Statistik behauptet, dass die Durchfallquote bei seinenStatistik-Klausuren generell höchstens 20% beträgt. An einer Klausur im SS 2002nahmen 120 Studierende teil, von denen 30 die Klausur nicht bestanden.(a) Testen Sie gegen , und zwar
(i) exakt über die Binomialverteilung(ii) approximativ über die Normalverteilung ( )
(b) Vergleichen Sie die kritischen Werte in (i) und (ii).(c) Führen Sie die Tests in (i) und (ii) auch für und durch.
Lösungen ( : I1030.doc )
Aufgabe 8:
Ein Student der Statistik hält den Dozenten in Aufgabe 7 für einen "harten" Prüfer und
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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behauptet daher, dass die Durchfallquote bei besagtem Dozenten generell mindestens30% beträgt. An der Klausur im SS 2002 nahmen - wie in Aufgabe 7 angegeben- 120Studierende teil, von denen 30 die Klausur nicht bestanden.(a) Testen Sie gegen , und zwar
(i) exakt über die Binomialverteilung(ii) approximativ über die Normalverteilung ( )
(b) Vergleichen Sie die kritischen Werte in (i) und (ii).(c) Führen Sie die Tests in (i) und (ii) auch für und durch.
Lösungen ( : I104b.doc )
Aufgabe 9:
Ein Würfel wird n=10 mal geworfen. Dabei ergab sich mal eine gerade Zahl
und mal eine ungerade Zahl.
Es soll untersucht werden , ob der Würfel "fair" im Sinne gleicher Wahrscheinlichkeitenfür "gerade Zahl" und "ungerade Zahl" ist.
(a) Wie lautet das Hypothesen-Problem?(b) Führen Sie den Test für obige Daten durch, und zwar(i) exakt über die Binomialverteilung und(ii) approximativ über die Normalverteilung (
(c)Der Würfel werde nun n=100 mal mit den Ergebnissen und
sowie n=1000 mal geworfen mit den Ergebnissen und
.
Führen Sie die Tests für obige Daten durch, und zwar wieder(i) exakt über die Binomialverteilung und(ii) approximativ über die Normalverteilung ( )
(d) Führen Sie die Tests in (b) und (c) auch für und durch.
Lösungen ( : I107a.doc )
Laboraufgabe:
Labordatei öffnen ( I107f.zmpf )
Motivation: Durchführung des Tests auf p beim Einsatz im
Krankenhausmanagement
Überprüfung der Leistung einer Geschirrspülanlage
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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gegen getestet werden. Der Qualitätsbeauftragte
möchte durch den Test wissen, ob die festgestellte Anzahl von 35 Beanstandungen unterden 1000 Sichtprüfungen gegen seine Hypothese spricht. Diese
Entscheidung möchte er mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% treffen.
Würde die maximale Quote von 0.03 unter der Nullhypothese auch in der
Stichprobe gelten, würden wir höchstens 30 Beanstandungen erwarten. Es befinden sichin der Stichprobe jedoch 35 Fälle von mangelhaft gereinigtem Geschirr.
AnzahlQuelle: eigene Gestaltung
Der Qualitätsbeauftragte muss nun herausfinden, ob die 35 Mängel in der StichprobeAnlass dazu geben, Gegenmaßnahmen einzuleiten oder die 35 unzureichendenSpülergebnisse noch mit der Hypothese verträglich sind.
Hierzu führt er den Einstichprobentest auf durch. Um den Test anzuwenden,
benötigt man die Parameter und , wobei der Umfang der Stichprobe, in
unserem Fall gleich 1000 ist. Die zu kontrollierende Ausschussquote ist maximal auffestgelegt.
Werden die Größen und in die Formel für die Verteilungsfunktion einer
binomialverteilten Zufallsgröße eingesetzt, kann der kritische Wert für diese
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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Testentscheidung ermittelt werden. Für das Entscheidungs- oder Testproblem war eineIrrtumswahrscheinlichkeit von gefordert. Nach der Entscheidungsregel:
mit ,
muss also der Wert gesucht werden. Da es sich bei der Binomialverteilung um
keine stetige Verteilung handelt, kann der kritische Wert nur näherungsweise bestimmtwerden. Für ergibt sich
und somit , d.h. eine deutlich größere
Wahrscheinlichkeit als die geforderten 5%, falls gewählt wird.
Beim nächstgrößeren Wert für
ergibt sich
,
und somit ist , d.h. für erhalten wir eine kleinere
Wahrscheinlichkeit als die geforderten 5%.Um dieses Vorgehen nochmals zu verdeutlichen, sind im Folgenden die zu jedem
passenden Wahrscheinlichkeiten dargestellt. Daraus ergeben sich die
Wahrscheinlichkeiten für , da gilt: . Hier
zeigt sich wieder, dass das gesuchte zwischen 39 und 40 liegen muss. Da aber T
nur ganze Zahlen annehmen kann, wird k=40 als kritischer Wert gewählt.
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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VerteilungsfunktionQuelle: eigene Gestaltung
Ein Vergleich mit der Stichprobe zeigt hier, dass die Anzahl der Beanstandungen in derStichprobe mit kleiner ist als der kritische Wert. Für ergibt sich
und damit .
Die Nullhypothese wird daher beibehalten, es besteht kein Grund zu einem
Eingriff.
Der Test kann auch über die Normalverteilungsapproximation durchgeführt werden.Wird die oben genannte Entscheidungsregel zugrunde gelegt, abzulehnen, falls
ist, muss zuerst ermittelt werden. Hierzu werden in die obige Formel
die Werte für und eingesetzt. Damit ergibt sich
Der kritische Wert bezieht sich
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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auf die Standardnormalverteilung und beträgt 1.645. Auch hier zeigt ein Vergleichzwischen kritischem Wert (1.645) und Stichprobenwert (0.927), dass die Nullhypothesebeibehalten wird.
Animation zum Test auf p
In der folgenden Animation wird die Durchführung des Test auf p in einer Animationdemonstriert.
: Flashanimation ' Animation Test auf p ' siehe Online-Version
Bernoulli-VariablenErklärungBinomialverteilungErklärungTest auf pErklärung
(c) Projekt Neue Statistik 2003, Freie Universität Berlin, Center für Digitale SystemeKontakt: http://www.neuestatistik.de
(c) Projekt Neue Statistik 2003 - Lernmodul: P-Test
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