P08_GMK zadaci

Geometrijsko mesto korena - zadaci

K Primer. Funkcija povratnog prenos sistema je W(s) = s(s+2)(s+3). Skicirati GMK sistema. Reenje: 1. Broj grana GMK je jednak redu sistema, n=3. 2. Polovi sistema su: p1=0; p2= -2; p3= -3. 3. Konanih nula nema, m=0. 4. GMK je simetrino u odnosu na Re-osu. 5. Asimptote GMK. n n pi - zj i=1 j=1 0-2-3 5 Taka preseka asimptota: a = n - m = 3 - 0 = -3. (2k+1) (20+1) (21+1) Uglovi asimptota: k = n - m , k=0,1,2. 0 = = 3 = 60o; 1 = = = 180o; 3 3 (22+1) 5 = 3 = 300o = -60o 2 = 3 6. Ugao polaska grana iz polova. Za pol p1=0 ugao polaska grane GMK je (p1). Pol p1 se iz polova p2=-2 i p3=-3 vidi pod uglom 0o, tako da je: (p1) = -180o - (0 o + 0 o) = -180 o. Za pol p2=-2 ugao polaska grane GMK je (p2). Pol p2 se iz pola p1=0 vidi pod uglom 180o i iz pola p3=-3 vidi pod uglom 0o, tako da je: (p2) = -180o - (180 o + 0 o) = -360 o = 0 o. Za pol p3=-3 ugao polaska grane GMK je (p3). Pol p3 se iz polova p2=-2 i p3=-3 vidi pod uglom 180o, tako da je: (p3) = -180o - (180 o + 180 o) = -180 o. 7. Nema konanih nula sistema, sve grane zavravaju u beskonanosti. 8. Intervali preklapanja grana GMK i Re ose su [0,-2] [-3,). 9. Take spajanja i razdvajanja grana GMK i Re ose. n m 1 1 1 2 1 1 = + + = 0 30 + 100 + 6 = 0 01=-0.785 i 0-pj 0-zj 0 0 + 2 0 + 3

j=1 i=1 02=-2.55. Taka 02=-2.55 ne pripada geometrijskom korenu sistema, tako da je taka razdvajanja grana GMK i Re ose 0=-0.785. 10. Nema viestrukih polova i nula. 11. Presek grana GMK i Im ose. Karakteristini polinom sistema je f(s) = s3 + 5s2 + 6s +K. Rausova ema koeficijenata je: R1 s3 1 6 5 K R2 s2 30-K R3 s1 5 K R s04

Napomena. Kada se Rausov kriterijum primenjuje u okviru metode GMK, ne vri se mnoenje cele kolone nekim pozitivnim brojem!!! Na osnovu elemenata Rausove kolone, sistem je granino stabilan kada je Kgr=0 i Kgr=30. Kgr=0 odgovara graninom, poetnom stanju, odnosno polu P1=0, tako da se ova vrednost ne razmatra. Granino pojaanja je Kgr=30. Dalje je a0= Kgr=30, Rn-1=R2=5, pa je a0 30 = gr = 5 2.46rad/sec. Rn-1

str. 1 od 12


Skica GMK je:

Im{s}

gr = 6

4

a =

5 3-1

2

-3

-2

0 -2

1

Re{s}

0 = - 0.785

-4

s+2 Primer. Funkcija povratnog prenos sistema je W(s) = K (s+1)(s2+6s+10). Skicirati GMK sistema. Reenje: 1. Broj grana GMK je jednak redu sistema, n=3. 2. Polovi sistema su: p1= -1; p2,3= -3j1. 3. Broj konanih nula je m=1; z1= -2. 4. GMK je simetrino u odnosu na Re-osu. 5. Asimptote GMK. n n pi - zj i=1 j=1 -1 - 3 + j1 - 3 - j1 - (-2) 5 Taka preseka asimptota: a = n - m = = -2 = -2.5. 3-1 (2k+1) Uglovi asimptota: k = n - m , k=0,1. (20+1) (21+1) 3 = 2 = 90o; 1 = = 2 = 270o = -90o. 0 = 2 2 6. Ugao polaska grana iz polova. Za pol p1= -1 ugao polaska grane GMK je (p1). Pol p1 se iz pola p2= -3+j1 vidi pod uglom -26.56o i iz pola p3= -3-j1 pod uglom 26.56o. Pol p1 se iz nule z1 = -2 vidi pod uglom 0o. Sada je: (p1) = -180o - (-26.56o + 26.56o) + 0o = -180 o. Za pol p2= -3+j1 ugao polaska grane GMK je (p2). Pol p2 se iz pola p1= -1 vidi pod uglom 153.44o i iz pola p3= -3-j1 vidi pod uglom 90o. Pol p2 se iz nule z1 = -2 vidi pod uglom 135o. Sada je: (p2) = -180o - (153.44o + 90o) + 135o = -288.44 o = 71.56o.str. 2 od 12


Za pol p3=-3 ugao polaska grane GMK je (p3). Zbog simetrije je: (p3) = -(p2) = -71.56o. 7. Postoji jedna konana nula sistema, u njoj se zavrava jedna grana GMK, dok preostale dve grane zavravaju u beskonanosti. Za nulu z1 = -2, ugao ulaska grane GMK je (z1). Nula z1 se iz pola p1= -1 vidi pod uglom 180o, iz pola p2= -3+j1 vidi pod uglom -45o i iz pola p3= -3-j1 pod uglom 45o. Sada je (z1) = 180o + (0o -45o + 45o) = 180o. 8. Interval preklapanja grana GMK i Re ose je [-1,-2]. 9. Take spajanja i razdvajanja grana GMK i Re ose ne moraju da se odreuju poto na intervalu preklapanja grana GMK i Re ose postoji samo jedna grana, i ona mora ostati na Re osi. 10. Nema viestrukih polova. 11. Presek grana GMK i Im ose. Karakteristini polinom sistema je f(s) = s3 + 7s2 + (16+K)s + 10 + 2K. Rausova ema koeficijenata je: R1 s3 1 16+K 7 10+2K R2 s2 102+5K R3 s1 7 10+2K R s04

Na osnovu elemenata Rausove kolone vidi se da je K>0 sistem stabilan, tako da preseka grana GMK i Re ose nema. Skica GMK je:

Im{s} 4 3 (p2) = 71.56o 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 Re{s}

a = - 2.5

str. 3 od 12


. Metodom GMK odrediti s(s+11)2 pojaanje K za koje je odskoni odziv sistema kritino (granino) aperiodian. Reenje: 1. Broj grana GMK je jednak redu sistema, n=3. 2. Polovi sistema su: p1= 0; p2 = p3= -11. 3. Broj konanih nula je m=1; z1= -32. 4. GMK je simetrino u odnosu na Re-osu. 5. Asimptote GMK. 0 - 11 - 11 - (-32) Taka preseka asimptota: a = = 5. 3-1 Uglovi asimptota:0,1 = 90o. 6. Ugao polaska grana iz polova. (p1) = -180o. 7. Ugao ulaska grana u konane nule. (z1) = 180o. 8. Interval preklapanja grana GMK i Re ose je [0,-32]. 9. Take spajanja i razdvajanja grana GMK i Re ose. 1 2 1 2 + = 0 0 + 480 + 176 = 0 01= -4 i 02= -44. Taka 02= -44 ne 0 0 + 11 0 + 32 pripada geometrijskom korenu sistema, tako da je taka razdvajanja grana GMK i Re ose 0= -4. 10. Uglovi izlaska grana GMK iz dvostrukog pola p2,3 = -11. 2k k = r ; k = 0,1; r = 2. 1(p2) = 0o, 2(p3) = 180o. 11. Presek grana GMK i Im ose. Karakteristini polinom sistema je f(s) = s3 + 22s2 + (121+K)s + 32K. Rausova ema koeficijenata je: R1 s3 1 121+K 22 32K R2 s2 2662-10K R3 s1 22 32K R s04

Primer. Funkcija povratnog prenos sistema je W(s) = K

s+32

Na osnovu elemenata Rausove kolone, sistem je granino stabilan kada je Kgr=0 i Kgr=266.2. Kgr=0 odgovara graninom, poetnom stanju, odnosno polu P1=0, tako da se ova vrednost ne razmatra. Granino pojaanja je Kgr=266.2. Dalje je a0= 32Kgr=8518.4, Rn-1=R2=22, pa a0 8518.4 = je gr = 22 19.7rad/sec. Rn-1 Skica GMK je:

str. 4 od 12


Im{s}

gr = 387 .2 = 19.7rad / s

80 60 40 20

a = 5

-30

-25

-20

-15

-10

-5 0 = - 4

0 -20 -40 -60 -80

5

Re{s}

Odskoni odziv sistema je aperiodian ako su svi polovi realni. Oscilatoran odziv nastaje ako postoje i konjugovano kompleksni polovi. Kritino (granino) aperiodian odziv predstavlja granicu izmeu aperiodinog i oscilatornog odziva i nastaje ako sistem poseduje polove koji su na granici izmeu realnih i konjugovano kompleksnih vrednosti. Na skici GMK ta situacija odgovara taki razdvajanja (spajanja) grana GMK i Re ose. Ovde je to taka 0 = -4. Pojaanje K0 koje odgovara toj taki predstavlja traeno pojaanje za koje sistem ima kritino aperiodian odziv. Pojaanje K0 se odreuje primenom izraza za odreivanje pojaanja u proizvoljnoj taki GMK |p1-0||p2-0||p3-0| |0-(-4)||-11-(-4)||-11-(-4)| K= = =7 |-32-(-4)| |z1-0| . Metodom GMK s(s2 + 4s + 8) odrediti pojaanje K za koje svi polovi spregnutog prenosa imaju realni deo manji ili jednak sa -1. Reenje: 1. Broj grana GMK je jednak redu sistema, n=3. 2. Polovi sistema su: p1= 0; p2 = -2+j2, p3= -2-j2. 3. Broj konanih nula je m=0, sve grane GMK zavravaju u beskonanosti. 4. GMK je simetrino u odnosu na Re-osu. 5. Asimptote GMK. 4 Taka preseka asimptota: a = - 3. Uglovi asimptota:0 = 60o, 1 = 180o, 2 = -60o. 6. Ugao polaska grana iz polova. (p1) = -180o, (p2) = -45o, (p3) = 45o. 7. Nema konanih nula. 8. Interval preklapanja grana GMK i Re ose je [0,-).str. 5 od 12

Primer. Funkcija povratnog prenos sistema je W(s) =

K


9. Take spajanja i razdvajanja grana GMK i Re ose ne moraju se odreivati poto na Re osi postoji samo jedna grana. Ipak, moe se proveriti 2 1 -4 j2 2 1 2 + = 0 30 + 80 + 8 = 0 01,2 = . Take 01,2 3 0 0 + 2 +j2 0 + 2 - j2 su konjugovano kompleksne i ne predstavljaju take razdvajanja. U nekim sluajevima je mogue da kompleksna reenja 01,2 pripadaju GMK i tada mogu da postoje kompleksne take spajanja i razdvajanja grana GMK u kompleksnoj s-ravni. 10. Viestruki polovi i nule ne postoje. 11. Presek grana GMK i Im ose. Karakteristini polinom sistema je f(s) = s3 + 4s2 + 8s + K. Rausova ema koeficijenata je: R1 s 3 1 8 4 K R2 s 2 32-K R3 s 1 4 K R s04

Na osnovu elemenata Rausove kolone, sistem je granino stabilan kada je Kgr=0 i Kgr=32. Kgr=0 odgovara graninom, poetnom stanju, odnosno polu P1=0, tako da se ova vrednost ne razmatra. Granino pojaanja je Kgr=32. Dalje je a0=Kgr=32, Rn-1=R2=4, pa je a0 32 gr = 4 2.83rad/sec. Rn-1 = Skica GMK je:

gr = 8 = 2.8rad / sIm{s} K2 a = 4 3 4 3 2 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -1 -2 -3 -4 Re{s} = -1Posmatra se grana koja polazi iz pola p1=0. Sa slike se vidi da e za vrednosti pojaanja K manju od K1 pol koji se kree po toj grani imati realni deo vei od -1. Na osnovu toga se zakljuuje da pojaanje mora biti vee ili jednako sa K1. Ako se posmatraju grane GMKstr. 6 od 12

1

1.5

Re{s}

K1


koje izlaze iz kompleksnih polova p2,3=-2j2, vidi sa da e za vrednosti pojaanja manje od K2, realni deo tih polova biti manji od -1. To znai da pojaanja mora biti manje od K2. Objedinjavanjem prethodna dva uslova dobija se konani uslov koji pojaanje mora da ispuni a to je K1KK2. Sada samo jo treba odrediti K1 i K2. Naravno, uoava se da e problem imati reenje jedino u sluaju kada je K1K2. Pojaanje K1 odgovara taki s1=(-1,0) koja pripada GMK. Pojaanje u toj taki se odreuje |s1- p1||s1- p2||s1-p2| |-1-0||-1-(-2-j2)||-1-(-2+j2)| = =5 prema izrazu K1 = 1 1 Pojaanje K2 odgovara nekoj taki s2, za koju je poznat samo realni deo -1, dok je imaginarni deo nepoznat. Sada se moe pisati s2=-1+jx, gde je x nepoznati imaginarni deo koji treba odrediti. Poto taka s2, pripada GMK ona je pol sistema a samim tim i nula karakteristinog polinoma. Taka s3=-1-jx je takoe pol sistema, tako da karakteristini polinom mora biti deljiv polinomom A(s)=(s-s2)(s-s3)=(s+1-jx)(s+1+jx)=s2+2s+1+x2. Karakteristini polinom je f(s) = s3 + 4s2 + 8s + K. (3-x2)s + (K-2-2x2) 3 2 2 2 f(s):A(s) = (s +4s +8s+K):(s +2s+1+x ) = s+2+ s2+2s+1+x2 Da bi bio f(s) deljiv sa A(s), ostatak deljenja mora biti jednak nuli, to se svodi na uslov: 3-x2=0 K-2-2x2=0, odakle je: x= 3 i K=8. Sada je s3=-1+j 3. Pojaanje K=8, odgovara reenju s3=-1+j 3, tako da je upravo to pojaanje K2=8. Objedinjavanjem prethodnih reenja se dobija konano reenje zadatka. Da bi sistem imao sve polove sa realnim delovima manjim ili jednakim sa -1 potrebno je da pojaanje K zadovolji uslov 6K8. Zadatak se moe reiti na drugi nain. Mogue je izvriti transformaciju koordinata uvoenjem smene s=t-1. Sada se formira nova funkcija povratnog prenosa K K W(s) = = , za koju se skicira GMK. Pojaanja K1 i 2 + 4(t-1) + 8) (t-1)(t2 - 2t + 5) (t-1)((t-1) K2 su pojaanja koja odgovaraju takama preseka grana GMK i Im ose kao to je prikazano na slici, i odreuju se prilikom skiciranja GMK.

str. 7 od 12


Im{t} K2 4 3 2 1 -1.5 -1 -0.5 0 -1 -2 -3 -4 0.5 1 1.5 Re{t} K1

K Primer. Funkcija povratnog prenos sistema je W(s) = s(s+5)(s+17). a) Skicirati GMK sistema; b) Analitiki odrediti vrednost pojaanja K za koju je relativni koeficijent priguenja sistema sa zatvorenom povratnom spregom = 0.2. Reenje: a) 1. Broj grana GMK je jednak redu sistema, n=3. 2. Polovi sistema su: p1= 0; p2 = -5, p3= -17. 3. Broj konanih nula je m=0, sve grane GMK zavravaju u beskonanosti. 4. GMK je simetrino u odnosu na Re-osu. 5. Asimptote GMK. 22 Taka preseka asimptota: a = - 3 . Uglovi asimptota:0 = 60o, 1 = 180o, 2 = -60o. 6. Ugao polaska grana iz polova. (p1) = -180o, (p2) = 0, (p3) = -180o. 7. Nema konanih nula. 8. Interval preklapanja grana GMK i Re ose je [0,-5] [-17,-). 9. Take spajanja i razdvajanja grana GMK i Re ose. 2 1 1 2 + = 0 30 + 440 + 85 = 0 01= -2.29 i 02= -12.38. Taka 02 0 0 + 5 0 + 17 ne pripada geometrijskom korenu sistema, tako da je taka razdvajanja grana GMK i Re ose 0= -2.29. 10. Viestruki polovi i nule ne postoje. 11. Presek grana GMK i Im ose. Karakteristini polinom sistema je f(s) = s3 + 22s2 + 85s + K. Rausova ema koeficijenata je:str. 8 od 12


R1 s 3 R2 s 2 R3 s 1 R4 s 0

22 1870-K 22 K1

85 K

Na osnovu elemenata Rausove kolone, sistem je granino stabilan kada je Kgr=0 i Kgr=1870. Kgr=0 odgovara graninom, poetnom stanju, odnosno polu p1=0, tako da se ova vrednost ne razmatra. Granino pojaanja je Kgr=1870. Dalje je a0=Kgr=1870, a0 1870 Rn-1=R2=22, pa je gr = 22 9.22rad/sec. Rn-1 = Skica GMK je:

Im{s}

a =

22 3

gr = 85 = 9.22rad / s 15

5 -20 -15 -10 -5 0 -5 Re{s}

0 = - 2.29 -15

b) Realni koeficijent priguenja je karakteristika sistema i zavisi od poloaja njegovih polova. Traeni relativni koeficijent priguenja e sistem posedovati za dominantni par polova s1,2=-ajb, gde su a i b nepoznate veliine koje treba odrediti. Poloaj take s2 u kompleksnoj s-ravni je prikazan na slici.

-poluprava s1 jb

-a-polupravoj, povuenoj iz koordinatnog poetka odgovara vrednost = 0.2, pa je prema definiciji relativnog koeficijenta priguenja =arccos(-)=116.6o. Tada je =180o-=63.4o.str. 9 od 12


b Sa slike se vidi da je tg = a = 2, odnosno b=2a. Sada je s1,2=-aj2a. Pored uslova da lei na -polupravoj taka s1 mora da pripada i geometrijskom mestu korena, poto je ona pol sistema. Poto su take s1,2 polovi sistema, one su i nule karakteristinog polinoma, tako da karakteristini polinom mora biti deljiv polinomom A(s)=(s-s1)(s-s2)=(s+aj2a)(s+a+j2a)=s2+2as+5a2. Karakteristini polinom je f(s) = s3 + 22s2 + 85s + K. (85-44a-a2)s + (K+10a3-110a2) 3 2 2 2 f(s):A(s) = (s +22s +85s+K):(s +2as+5a ) = s+22-2a + s2+2as+5a2 Da bi bio f(s) deljiv sa A(s), ostatak deljenja mora biti jednak nuli, to se svodi na uslov: 85-44a-a2=0 K+10a3-110a2=0. Iz prve jednaine se dobijaju reenja a1=1.85 i a2=-45.85, od kojih se usvaja prvo (drugo reenje se odbacuje na osnovu skice GMK, jer taka sa realnim delom -45.85 ne moe da pripada geometrijskom korenu sistema). Sada se na osnovu druge jednaine odreuje traeno pojaanje K=313.16.

Primer. Funkcija povratnog prenosa sistema je 10(s+12) W(s) = s4+20s3+(5p+116)s2+50(p+3)s+120(p-1) a) Skicirati GMK sistema kada se parametar p menja u intervalu od 0 do +. b) Odrediti vrednost parametra p za koju je dominantna vremenska konstanta Td najmanja mogua, a pri tome relativni koeficijent priguenja maksimalan. Napomena: Polinom s3+20s2+116s+160 ima jedan koren s=-2.a) Da bi se primenila metoda GMK potrebno je formirati novu funkciju povratnog prenosa u M(s) obliku W1(s) = p N(s) , gde su M(s) i N(s) polinomi koji ne zavise od p. Takoe, potrebno je da karakteristini polinomi sistema opisanih sa W(s) i W1(s) nakon zatvaranja povratne sprege budu jednaki. Karakteristini polinom polaznog sistema je f(s) = s4+20s3+(5p+116)s2+(50p+160)s+120p. Sada se mogu grupisati svi lanovi koji u sebi sadre p, i p se moe izvui ispred zagrade f(s) = 5p(s2+10s+24)+s4+20s3+116s2+160s. s2+10s+24 Sada je nova funkcija povratnog prenosa W1(s) = 5p s(s3+20s2+116s+160). GMK sistema je prikazan na slici. b) Na skici GMK se uoava da se poetnim poveanjem p, dominantan pol sistema pomera ulevo, pa vremenska konstanta Td opada. Od momenta kada se sva etiri pola nau na pravoj Re{s}=-5, daljim poveanjem p se dominantna vremenska konstanta ne menja, pa reenja lei na navedenoj pravoj. Dalje, poveanjem p jedan par polova se udaljava od Re ose a drugi joj se pribliava. Dominantan par polova je onaj koji ima manje priguenje , a to je par polova koji se udaljava od Re ose. Znai daljim poveanjem p, relativni koeficijent priguenja se smanjuje. Na osnovu navedenog, moe se zakljuiti da je situacija kada je u sistemu Tdmax i min nastala i trenutku kada se grane susreu u kompleksnoj ravni, u takama s1,2 i s3,4. Zbog simetrije GMK u odnosu na Re osu, u navedenoj situaciji sistem poseduje dvostruki par konjugovano kompleksnih polova s1,2=s3,4=-njn 1-2. Karakteristini polinom sistema mora biti deljiv polinomom A(s) = (s2+2ns+n2)2=s4+4ns3+(42n2+2n2)s2+4n3s+n4. Poto su polinomi f(s) i A(s) istog reda, uslov deljivosti se svodi na uslov jednakosti koeficijenata, odakle sledi sistem jednaina: 20 = 4n 5p+116 = 42n2+2n2 50p+160 = 4n3str. 10 od 12


120p = n4 Reavanjem navedenog sistema dobijaju se sledea reenja p1=0.86 i p2=11.94. Na osnovu skice GMK usvaja se reenja p=11.94.

s1,2

Im{s} 4

2

-10

-8

-6

-4

-2

0 -2

Re{s}

s3,4

-4

s2-4s+20 Primer. Funkcija povratnog prenosa sistema je W(s) = s(s+8)(s2+6s+34). a) Skicirati GMK sistema. b) Odrediti pojaanje K tako da je Td=1sec i da je signal greke za jedinini nagibni ulazni signal u stacionarnom stanju minimalan. Reenje. Skica GMK je prikazana na slici. Pri skiciranju GMK se mogu pojaviti odreeni problemi. Prvi je odreivanje take razdvajanja grana GMK i Re ose. Na osnovu lokacije polova sistema moe se zakljuiti da na intervalu [0,-8] postoji taka razdvajanja. Klasian pristup analitikog odreivanja je ovde ne primeren jer se dobija algebarska jednaina visokog reda (6.). Ovde je pogodno primeniti priblinu metodu. Prethodno je navedeno da se 0 trai na intervalu [0,-8]. Poto su te take polovi sistema 0 je taka razdvajanja, a prema osobinama GMK u taki razdvajanja pojaanje K ima maksimalnu vrednost na posmatranom intervalu. Drugim reima 0 e biti taka sa intervala [0,-8] u kojoj je pojaanje maksimalno. Za poetak, srauna se pojaanje u nekoliko taaka datog intervala, kako je prikazano u narednoj tabeli: s -1 -2 -4 -6 K 8.12 9.75 8 5.1 U prethodnoj tabeli je maksimalno pojaanja K=9.75 za s= -2. Sada se izraunava pojaanje za nekoliko taaka u okolini take s= -2, kako je to prikazano u sledeoj tabeli s -1.6 -1.8 -2.1 -2.2 K 9.53 9.69 9.74 9.73

str. 11 od 12


Iz prethodne tabele se vidi da pomeranjem levo ili desno iz take s= -2 pojaanje opada, pa se za taku razdvajanja moe usvojiti 0= -2 (tana vrednost je 0= -2.031 i K=9.751).

Im{s}8

4

-8

-6

-4

-2

0

2

Re{s}

-4

-8

Re{s} = -1 = 1 Td = 1Drugi problem jeste koji par grana odlazi u , a koji zavrava u konanim nulama. To se moe odrediti na osnovu ugla izlaska grana GMK iz polova. Iz polova -3j5 grane izlaze pod uglom 225o, to se moe okarakterisati kao izlazak "na levo", odnosno izlazak na intervalu uglova (90o,270o). Takoe, na osnovu take preseka asimptota (a= - 9) i uglova asimptota (90o) moe se zakljuiti da grane koje polaze iz polova -3j5 zavravaju u beskonanosti, dok grane koje polaze iz polova 0 i -8 zavravaju u konanim nulama. b) Sa grafika se vidi da postoje dva pojaanja za koje je Td= -1. Prvo pojaanje K1, odgovara taki s1= -1. K1= 8.12, to je izraunato u jednoj od prethodnih tabela. Pojaanje K2 odgovara takama s2,3= -1ja. Karakteristini polinom sistema f(s) = s4+14s3+(82+K)s2+(272-4K)s+20K, mora biti deljiv polinomom A(s) = s2+2s+1+a2, bez ostatka. Izjednaavanjem ostatka sa nulom formira se sistem jednaina, ija su reenja a1=9.6 i a2=2.04. Na osnovu skice GMK usvaja se a=2.04, pa je traeno pojaanje K217. Minimalna greka rada sistema u stacionarnom stanju essmin znai da sistem mora imati maksimalnu brzinsku konstantu Kvmax za zadate uslove (Td= -1). Maksimalna brzinska konstanta se ostvaruje usvajanjem maksimalnog pojaanja, odnosno K=max(K1,K2)=17. 1720 = 1.25. Greka rada sistema u stacionarnom Brzinska konstanta sistema je Kv = 834 1 1 stanju je ess = K = 1.25 = 0.8. v

str. 12 od 12

Documents

P08_GMK zadaci