Upload
k
View
710
Download
10
Embed Size (px)
Citation preview
1
Uvod: Prednosti Mathcad-a
Mathcad je jedinstveni i vrlo jak inženjerski programski alat za rad s jednadžbama, tekstom i
grafovima. Za razliku od drugih matemati�kih programskih paketa, Mathcad izvodi matemati�ke
prora�une na isti na�in kao i korisnik, ra�un izgleda i organiziran je kao da je ru�no napisan na papiru.
Mathcad-ovo korisni�ko su�elje je prazan radni list (worksheet) u kome korisnik upisuje svoje
jednadžbe, crta podatkovne grafove ili funkcije, ispisuje tekst uz prora�un bilo gdje na radnom listu.
Umjesto da prisiljava korisnika u korištenju i u�enju programerskih sintaksi, Mathcad koristi
pristupa�ni i intuitivni matemati�ki jezik.
U uobi�ajenom programskom jeziku, na primjer, kvadratna jednadžba ima sljede�u formu:
x=(-B+SQRT(B**2-4*A*C))/(2*A)
U tabli�nom kalkulatoru, kvadratna jednadžba se izvodi nad �elijama i poprima sljede�i oblik:
+(-B1+SQRT(B1*B1-4*A1*C1))/(2*A1)
U Mathcad-u, ista kvadratna jednadžba je oblika kao da je preuzeta iz udžbenika ili ru�no pisanog
prora�una:
x b b2 4 a� c�
2 a�
Velika prednost Mathcad-ovih jednadžbi i grafova je da su isti “živi”, konstantno se obanvljaju.
Promjenom bilo kog podatka, varijable ili jednadžbe, Mathcad �e trenuta�no iznova izra�unati sve
matemati�ke izraze, trenuta�no obnoviti sve grafove. Korištenjem Mathcad-a mogu se riješiti razli�iti
tehni�ki problemi – od vrlo jednostavnih, do vrlo složenih, i to numeri�ki ili simboli�ki. Vizualizacija
jednadžbi i podataka je vrlo jednostavna koristenjem 2D i 3D grafova. Mathcad sadrži sve potrebne
2
programske alate za cjelovito rješavanje inženjersih problema, od po�etka do kraja, daje korisniku
mogu�nost analize problema, razrade ideja, analize podataka, ..., te prezentaciju rješenja i razmjenu
podataka. Sve je to zbog bogatog i ve� spomenutog pristupa�nog matemati�kog jezika.
A Kratki pregled mogu�nosti Mathcad-a
U Mathcad-u je mogu�e:
1. Izvoditi matemati�ke operacije sa ugra�enim funkcijama i matemati�kim
operatorima
Matemati�ki operatori dostupni su preko posebnih matemati�kih alatnih traka do kojih se može lako
pristupiti na vrhu stranice preko Math alatne trake. Za unos izraza, prvo je potrebni kliknuti na radnom
listu na željeno mjesto i tu �e se pojaviti crveni kurzor, nakon toga se klikne na željeni matemati�ki
operator iz bilo koje od posebnih matemati�kih alatnih traka. Pregled svih ugra�enih matemati�kih
funkcija može se preko izbornika Insert, te odabirom Function ili klikom na gumb Insert Function
(umetni funkciju):
Crveni kurzor
Math alatna traka
Insert Function gumb
Evo nekoliko primjera. Ovi su primjeri u programu izra�unati na 15 decimala, ali se rezultat obi�no
prikazuje s mnogo manje decimala – potrebno je kliknuti na broj�ani rezultat i odabrati u izborniku
3
Format opciju Result, nakon toga promijeniti broj decimala kroz polje Number of decimal places u
komunikacijskom prozoru. Isti komunikacijski prozor se otvara i duplim klikom na broj�ani rezultat
kome se mijenja broj prikazanih decimala.
Za donji izraz iskoristite funkcije drugi korjen i potenciranje iz Calculator matemati�ke alatne trake
. Tako�er utipkajte znak = za dobivanje rezultata. Za osnovne ra�unske operacije koristite znakove
+ , - , * i / na tipkovnici.
1.837 103�
100 352.3142353232�
Brojne standardne inženjerske i matemati�ke funkcije ve� su ugra�ene u Mathcad.
log 1347.2( ) sin 35��� 2.976�
Funkcije i operatori u Mathcad-u mogu ra�unati i s kompleksnim brojevima ...
2.3 4.7i( ) 3 e3 2i 148.613 47.498i�
... i mjernim jedinicama. Pregled svih ugra�enih mjernih jedinica mogu� je odabirom opcije Unit u
Insert izborniku ili klikom na Insert Unit gumb.
Insert Unit gumb
2350 km�
1 hr� 652.78 m sec 1�
4
2. Definirati vlastite varijable i funkcije
Definicijski simbol := nalazi se na Evaluation alatnoj traci , ili se može unijeti preko tipkovnice sa
znakom dvoto�ke (:).
a 4
a a 6�
Kad se promijeni definicija varijable, Mathcad trenuta�no izra�unava i obnavlja sve rezultate koji ovise
o promijenjenoj veli�ini.
f x( ) sin x( )xa
f 10( ) 0.218�
Provjera: Kliknite desno od brojke 4 u definiciji za a i pojaviti �e se okvir za promjenu (editiranje)
vrijednosti:
Nakon toga pritisnite [Backspace] jednom da se pojavi ku�ica za unos veli�ine:
Sada utipkajte 3. Kliknite mišem bilo gdje na ekranu i prethodni numeri�ki rezultati �e se promijeniti
3. Izra�unavati funkcije i izraze za nizove brojeva
5
Operator za niz brojeva .. nalazi se na Matrix numeri�koj alatnoj traci ili se može unijeti preko
tipkovnice sa znakom to�ka-zarez (;). Definiraj niz z kako slijedi:
z 0 .5� 2��
Za ispis gornjeg niza brojeva potrebno je ukucati z=. Za ispis vrijednosti funkcije f ovog niza brojeva
potrebno je samo ukucati f(z)=, za izra�un donjeg eksponencijalnog izraza ...
z0
0.51
1.52
f z( )0
3.8353.3662.66
1.819
exp f z( )( ) z�
023.15628.95921.44412.326
Promjenom 2 u definiciji za z na 4, Mathcad �e za gornje rezultate automatski ispisati ve�e tabele s
rezultatima.
4. Crtati grafove funkcija
Koristite X-Y Plot gumb koji se nalazi na Graph numeri�koj alatnoj traci ili se može unijeti
preko tipkovnice sa znakom (@). Nakon toga unesite izraze koje želite grafi�ki prikazati tako da
popunite ku�ice za unos veli�ine po sredini x i y osi. Izraze je mogu�e unijeti samo na y-osi, a Mathad
�e odabrati osnovni niz brojeva na x-osi. Mogu�e je unijeti i nekoliko izraza za simultano iscrtavanje
grafova, oni tada unose sa znakom zarez (,), nakon �ega se pojavljuje nova ku�ica za unos veli�ine.
6
f x( )
sin x( )
x x�10 0 10
2
0
2
4
5. Ra�unati sume (redove) i integrale
Operatori za sumiranje i integriranje nalaze se na Calculus numeri�koj alatnoj traci . Za unos
izraza, kliknite na radni list da se pojavi crveni kurzor, nakon toga odaberite željeni operator iz alatne
trake i popunite sve ku�ice za unos veli�ine.
0
10
n
1n�
=
2.7182818�
0
1x1
1 x2d 0.785�
7
6. Izvoditi matri�ni ra�un
Za unos matrice pritisnite Matrix or Vector operator koji se nalazi na Matrix numeri�koj
alatnoj traci ili koristite pre�ac istovremenim pristiskom tipki Ctrl M. U otvorenom prozoru Insert
Matrix unosi se broj redova i stupaca željene matrice. Nakan toga potrebno je popuniti broj�ane
vrijednosti u ku�ice za unos podataka unutar matrice. Potrebno je definirati matricu A kao 3x3 matricu
sa sljede�im vrijednostima:
A
4
5
7
5
0
2
1
12
8
Za izra�un inverzne matrice potrebno je utipkati A^-1=.
A 10.074
0.135
0.031
0.117
0.12
0.132
0.184
0.163
0.077
�
Za izra�un determinante zadane matrice koristite Determinant operator koji se nalazi na Matrix
numeri�koj alatnoj traci:
A 326�
7. Rješavati nulto�ke jednadžbe
Mathcad-ova funkcija za pronalaženje nulto�aka funkcije je root. Prije pozivanja funkcije root
potrebno je definirati probližnu vrijednost za traženu nulto�ku pošto neke funkcije posjeduju više od
jedne nulto�ke, root funkcija �e prona�i nulto�ku koja je najbliža zadanoj po�etnoj vrijednosti. Za
zadanu kvadratnu funkciju f(x) potrebno je izra�unati obje nulto�ke:
f x( )x2
3x� 7��
8
Gornju funkciju mogu�e je vizualuzirati na X-Y grafikonu iz Graph numeri�ke alatne trake .
10� 5� 0 5 1010�
0
10
20
30
40
0
f x( )
0
x Iz grafa je vidljivo da postoje dvije nulto�ke, jedna pozitivna na poziciji oko +3, te jedna negativna na
poziciji oko -6. Za pronalazak pozitivne nulto�ke definirati �emo po�etnu to�ku za pronalazak
nulto�ke:
x 3�
root f x( ) x�( ) 3.3218253805150195�
Za pronalazak negativne nulto�ke, mogu� je i slijedi ra�un:
x 6��
x2 root f x( ) x�( )� x2 6.321825380514135��
Indeks 2 u varijabli x2 upisuje se na na�in x.2. Za razliku od pozitivne nulto�ke, negativna nulto�ka
je na ovaj na�in trajno pohranjena u varijabli x2 .
Provjera:
f x2� � 5.676 10 11� �
Kako se radi o numeri�koj, a ne analiti�koj (simboli�koj) analizi, gornje nulto�ke su odre�ene na visok
stupanj to�nosti, ali nisu egzaktne. To�ne vrijednosti gornjih nulto�ki su:
932
�32
�
932
32
�
������
������
6.3218253804964775�
3.3218253804964775���
���
�
9
8. Izra�unavati sisteme jednadžbi
Mathcad omogu�ava jednostavno rješavanje sistema jednadžbi i nepoznanica korištenjem Given-Find
blok funkcije. U sklopu ove blok funkcije potrebno je popisati se sve jednadžbe koje vežu nepoznate
varijable. Kod linearnih sistema postoji jedinstveno rješenje sistema jednadžbi (npr. presjek 2 pravca),
no kod nelinearnih sistema rješenje ne mora biti jedinstveno (npr. presjek pravca i parabole). Iz tog
razloga, prije Given-Find bloka potrebno je definirati po�etne vrijednosti za svaku nepoznatu varijablu
kao po�etne vrijednosti za pronalazak rješenja. Znak jednakosti u izrazima unutar Given-Find bloka je
“logi�ki” jednako iz Boolean numeri�ke alatne trake , ili pritisak na tipke Ctrl +
x0 0� y0 0�
Given
5 x0� y0� 2
2 x0� y0� 10�
Find x0 y0�� � 4
18���
���
�
Gornji sistem predstavlja presjek 2 pravca, a traženo rješenje je to�ka presjaka x0 y0�� � :
f1 x( ) 5 x� 2�� f2 x( ) 2 x� 10��
10� 5� 0 5 1060�
40�
20�
0
20
40
60
0
f1 x( )
f2 x( )
0
x
Ovaj sistem mogu�e je riješiti i matri�nim ra�unom na na�in :
5
2
1�
1����
���
1� 2
10����
���
�4
18���
���
�
9. Linearna interpolacija
U inženjerskoj praksi koriste se razne iskustvene tablice za odre�ivanje vrijednosti koje
su potrebne za daljnji prora�un. Tablice su nastale prikupljanjem rezultata eksperimenata i
predstavljaju diskretni skup podataka, tj. u tablicama se nalaze samo one vrijednosti
podataka koje su eksperimentalno odre�ene. Za odre�ivanje me�uvrijednosti koristi se
interpolacija.
Naj�eš�e se upotrebljava linearna interpolacija. Linearna interpolacija može se objasniti
na sljede�i na�in:
� Uzimu se dvije susjedne to�ke podataka i ,
� ovisnost izme�u dviju to�aka aproksimira se linearnom funkcijom.
� Pomo�u funkcije interpolacije odre�uje se vrijednost funkcije za poznati
:
Primjer:
Iz tablice su o�itani toplinski kapaciteti vode i . Treba izra�unati .
Rješenje:
Mathcad sadrži ugra�enu funkciju za linearnu interpolaciju: linterp( , , ). Funkcija se
može aktivirati preko gumba Insert Function na alatnoj traci Standard toolbar, a
nalazi se u skupini naredbi Interpolation and prediction.
Funkcija linterp ( , , ) daje vrijednost linearne interpolacije za poznati , ako su
zadani vektori i .
Pri tome:
� je vektor realnih podataka, poredanih po rastu�em redosljedu
� je vektor realnih podataka, koji sadrži jednaki broj podataka kao
� je vrijednost nezavisne varijable za koju trebamo interpolirati rezultat
Preporuka je da vrijednost zadovoljava uvjet .
Slijedi rješenje primjera u Mathcad-u
Primjer:
Iz tablice su o�itani toplinski kapaciteti vode i . Treba izra�unati .
Rješenje u Mathcad-u:
Cp 29.228 29.383( )T�
t 200 300( )T�
linterp t Cp� 265�� � 29.329�
VELV Proizvodno strojarstvo PA1 vježba 3 10. ožujak 2011.
1.zad. α 56.45 deg�� β 24.33 deg��
x25.472 sin α( )2
� tan 2.718 π�( )�
cos 3 α� 2 β��( ) 1.348�� x 22.5836865�
2.zad. α 35.7 deg�� β 22.15 deg��
xsin α( ) tan α β�( )�( )3 cos β2
α2
�� ��
tan 2 α�( )2� x 0.1735340�
3.zad. x 0.6� y 2.5�
f74
y�3 x�
1x
1y
�
� cosπ
18���
���
log 18y 2�
x 1����
����
��� f 3.344271�
4.zad. a 15.6� b 18.2� c 12.3�
x0.123 b� 7.59 0.354 b� c�( )��
log a( )0.113 a� 13 0.354 b� c�( )��
ln b( )�� x 61.0200076��
5.zad. a 37.03� b 26.87�
x
3
0.269 a� a b� 2.03� b
2
3�
���
����
ln b( ) log a( ) 0.85� a b�( )
2
5��
log a b� a
1
3�
���
����� x 1.49356��
6.zad. α0 2 deg�� Mt1 5.12 kN� m�� Mt2 2.1 kN� m�� G 37 GPa��
IP 66 cm4�� a 300 mm��
α α0Mt1
G IP�3� a�
Mt2
G IP�a� 0.19781 rad���
7.zad. Q0 19 kW�� ρ 0.984gm
cm3�� cw 4187
Jkg K�
�� ΔT 17 K��
QVQ0
ρ cw� ΔT�976.5829
Lhr
���
8.zad. dm 0.1m�
Wa 151990N� Wb 0.063MN� xa 102cm� xb 0.0022km�
q 39kN� H 6325 mm�� b 53.7 dm��
Pq 42136N� F 1.54�
Pa
Wa xa� Wb xb�� q b�� F Pq�H2
��
H3
F��
Pa 91734.6 N�
9.zad. m0 928 gm�� v0 12.9kmhr
�� g 9.81m
s2�� R 50 cm�� c 0.75
Nmm
�� δ 10 mm��
Given
m0 v02
�
2m0 g� R�
c δ2
�
2
���
���
�=
δ Find δ( ) 61.233 mm���
VELV Proizvodno strojarstvo PA1 vježba 4 10. ožujak 2011.
1.zad. a 48.87� b 22.42� vc 17.85�
α asinvc
b������
52.765 deg��� β asinvc
a������
21.423 deg���
c b cos α( )� a cos β( )�� 59.059��
O a b� c� 130.3494��
2.zad.
1
2
3
1
1
3
1�
2
1
1�
4
2
1
3�
4
1�
������
������
1� 5
21�
33
7�
������
������
�
2
3�
1
5
������
������
�
3.zad.
Zadatak 5.5: Odredi grani�ni iznos težine utega Q kod koje �e sustav utega zadan na slici biti još uravnotežnom položaju?
Zadano:
α 15 deg�� μ0 0.25� G1 200 N�� G2 350 N�� φ atan μ0� � 14.036 deg���
Nakon mehani�ke analize, gornji problem prelazi u sistem 4 jednadžbe s 4 nepoznanice F1,F2,S2, i F12.
Matri�na metoda:
A
cos φ( )
sin φ( )�
0
0
sin φ( )
cos φ( )
sin φ( )
cos φ( )
1�
0
1�
0
0
0
sin α φ�( )
cos α φ�( )�
������
������
� b
0
G1 G2�
0
G2
������
������
�
x A 1� b�� xT 132.887 600.149 274.477 265.614( ) m kg s 2����
4.zad. l 24.23 m�� α 11.62 deg�� β 46.23 deg��
γ 90deg β� 43.77 deg���
ϕ 90deg α� 101.62 deg���
δ 180deg ϕ� γ� 34.61 deg���
cl
sin δ( )sin ϕ( )� 41.79 m��
xc
sin 90deg( )sin β( )� 30.17396 m��
ltan β( )
tan β( ) tan α( )�� 30.17396 m�
5.zad.
Zadatak 5.3: Kolika treba biti težina valjka G za jednoliko spuštanje utega Q, ako je faktor trenja � na svimdodirnim površinama jednak?
Zadano:
Q 150 N�� μ 0.3� φ atan μ( ) 16.699 deg���
S2 Q eμ�π
2�
� 93.634 m kg s 2�����
Nakon mehani�ke analize, gornji problem prelazi u sistem 3 jednadžbe s 3 nepoznanice FAN,FBN, i G.
2. Matri�na metoda:
A
μ
1
μ
1�
μ
μ
0
1�
0
����
����
� b
S2�
0
S2
�����
�����
�
x A 1� b�� xT 168.062 144.053 211.277( ) m kg s 2����
VELV Proizvodno strojarstvo PA1 vježba 5 10. ožujak 2011.
1.zad.x 100� 200���XY
57�
43�
28�
4���
���
T�
xC 168� f x( ) linterp XY 0� � XY 1� �� x�� ��
yC f xC� � 321.6552��
100� 0 100 200200�
100�
0
100
200
300
400
0
XY 1� �
f x( )
yC
0
XY 0� � x� xC�
2.zad.t0_σ0
0
0%
1
25%
3
50%
7
70%
28
90%
90
98%���
���
T� x 0% 1%� 100%���
f x( ) linterp t0_σ0 1� � t0_σ0 0� �� x�� ��
0 20 40 60 800
0.2
0.4
0.6
0.8
t0_σ0 1� �
x
t0_σ0 0� � f x( )�
3.zad.n
14
� Fmax 150� ΔLmax 100� aFmax
ΔLmaxn
� f1_F x( ) a xn��
ΔL_F0
0
2
56.41
8.5
80.99
26
107.11
41
120.03
63
133.64
95
148.09���
���
T�
c 2.5� f2_F x( ) c x��
f x( ) linterp ΔL_F 0� �ΔL_F 1� �� x�� �� x 0 5� 100���
0 20 40 60 80 1000
50
100
150
ΔL_F 1� �
f2_F x( )
ΔL_F 0� � x�
5.zad.
Zadatak 5.3: Kolika treba biti težina valjka G za jednoliko spuštanje utega Q, ako je faktor trenja � na svimdodirnim površinama jednak?
Zadano:
Q 150 N�� μ 0.3� φ atan μ( ) 16.699 deg���
S2 Q eμ�π
2�
� 93.634 m kg s 2�����
Nakon mehani�ke analize, gornji problem prelazi u sistem 3 jednadžbe s 3 nepoznanice FAN,FBN, i G.
1. Rješenje pomo�u "Given - Find" blok funkcije:
FAN 0 N�� FBN 0 N�� G 0 N�� r 1 m��
Given
μ FAN� FBN� S2� 0=
FAN μ FBN�� G� 0=
μ FAN� r� μ FBN� r�� S2 r�� 0=
FAN FBN G� � Find FAN FBN� G�� �T 168.062 144.053 211.277( ) m kg s 2�����
6.zad.
OPRUGA SIGURNOSNOG VENTILA
Potrebno je konstruirati cilindri�nu zavojnu tla�nu oprugu iz patentirane žice C klase za sigurnosni ventil20 bar i nazivnog otvora NO 6 mm. Maksimalna dužina podizanja pladnja je 4 mm pri sili F2=1.25*F1.Prora�un za M9x1.
pa 1 bar�� p 20 bar�� dv 6 mm�� Adv
2π�
428.274 mm2
��� Δf 4 mm��
G 81.4 GPa��
p A� pa A� F1�=
F1 p pa�� � A� 53.72 N��
F2 1.25 F1� 67.15 N�� Fmax F2�
�dop karakteristika opruge:
opr0.5
5
1200
800���
���
�
f_τdop d( ) linterp opr 0� � mm� opr 1� � MPa�� d�� ��
Pretpostavljene vrijednosti za oprugu:
d 1.5 mm��
Dsr 6 mm��
τdop f_τdop d( ) 1111.11 MPa���
d 23 Fmax Dsr�
π τdop�� 0.974 mm��� d 1 mm�� τdop f_τdop d( ) 1155.56 MPa���
τ18 F1� Dsr�
d3π�
820.8 MPa���
τmax8 Fmax� Dsr�
d3π�
1026.0 MPa���
Karakteristika opruge:
cΔFΔf
= cF2 F1�
Δf3.36
Nmm
���
Broj radnih navoja:
nrd4 G�
8 Dsr3
� c�14.03��
Ukupan broj navoja:
nuk nr 1.5 2��( )�= nuk 15.5�
Dužina blokiranja opruge:
LB nuk d� 15.5 mm���
cΔFΔf
= f1F1
c16 mm��� f2
F2
c20 mm���
Dužina neoptere�ene opruge:
L0 LB f2� 35.5 mm���
7.zad.
Za koliko kg je teži 1 m3 vode pri temperaturi od 50°C u odnosu na 70°C?
V 1 m3��
Gusto�a vode (temperaturna funkcija):
gustoca0
62.42
4
62.42
20
62.28
40
61.92
60
61.39
80
60.65���
���
T�
f_ρ T( ) linterp gustoca 0� � °C gustoca 1� � lb
ft3�� T��
��
���
�
T2 50 °C� m2 f_ρ T2� � V� 987.618 kg��
T1 70 °C� m1 f_ρ T1� � V� 977.447 kg��
Δm m2 m1� 10.172 kg��
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 6
1.zad.XY
1.80
3.80�
13.80
6.22
23.10
14.69
37.90
24.47
48.20
33.99
56.90
35.01���
���
T� N 2�
k slope XY 0� � XY 1� ��� � 0.732383�� l intercept XY 0� � XY 1� ��� � 3.748984���
α atan k( )�
α 36.218 deg�� sin α( ) 0.590865�
f x( ) k x� l�� x0 XYN 0�� y0 XYN 1�� y0 f x0� �� 1.5209�
0 20 40 6010�
0
10
20
30
40
XY 1� �
f x( )
y0
XY 0� � x� x0�
2.zad.XY
39�
29.60�
155.3
108.88���
���
T�
xC 65.6��
k slope XY 0� � XY 1� ��� � 0.7127�� l intercept XY 0� � XY 1� ��� � 1.8042���
f x( ) k x� l��
yC f xC� � 48.558���
100� 0 100 200100�
0
100
200
0
XY 1� �
f x( )
yC
0
XY 0� � x� xC�
3.zad.XY
7.59
14.44�
11.77
54.01�
27.88
118.05�
35.71
171.26�
45.94
209.3�
52.00
250.7����
���
T�
k slope XY 0� � XY 1� ��� � 5.063253��� l intercept XY 0� � XY 1� ��� � 16.355305��
f x( ) k x� l�� y0 f 0( ) 16.3553��
f1 y( )y l�
k� xx0 f1 0( ) 3.2302��
aa y0� bb xx0�
Paa bb�
226.4154��
0 10 20 30 40 50 60300�
200�
100�
0
XY 1� �
f x( )
XY 0� � x�
4.zad.t0_ρ0
4
999.972
10
999.7026
15
999.13
20
998.2071
30
995.6502
40
992.2
60
983.2���
���
T� dm 10cm�
t0 30 °C� masa 1kg�
f x( ) linterp t0_ρ0 0� � °C t0_ρ0 1� � kg
m3�� x��
��
���
� ρ0 f t0� � 995.6502kg
m3���
Vmasaρ0
1.004369 dm3��� x 4 4.1� 6���
0 20 40 60980
985
990
995
t0_ρ0 1� �
linterp t0_ρ0 0� � t0_ρ0 1� �� x�� �
t0_ρ0 x�
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 7
Funkcija root, tri glavna slu�aja u kojima koristimo funkciju root:
odre�ivanje nulto�aka�odre�ivanje ekstrema funkcije (nulto�ka derivacije)�odre�ivanje vrijednosti apscise sjecišta funkcija (nulto�ka razlike funkcija)�
Zadane su funkcije
f x( ) 7x2 5x� 2��
g x( ) 12x2 7x� 13��
Nulto�ke funkcije g(x):
x1 1.5� x1 root g x1� � x1�� � 1.373��
x2 1�� x2 root g x2� � x2�� � 0.789���
Minimum funkcije f(x)
x3 1�� x3 rootx3
f x3� �dd
x3����
���
0.357���
Sjecište funkcija f(x) i g(x):
x4 1�� x4 root g x4� � f x4� �� x4�� � 0.907���
x5 3� x5 root g x5� � f x5� �� x5�� � 3.307��
x 5� 4.99�� 5���
1
6� 4� 2� 0 2 4 6
100�
100
200
300
400
f x( )
g x( )
g x1� �g x2� �f x3� �f x4� �f x5� �
x x� x1� x2� x3� x4� x5�
2
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 7
Hidrauli�ki sustav za navodnjavanje zelene površine usisava vodu gusto�e �=1000 kg/m3 s podzemnog bunaradubine h0=4 m. Pumpa je tipa GRUNDFOS UP 25-80, a koeficijenti svih lokalnih (�1,�2,...) i ukupnog linijskoggubitka (�L) specificirani su na slici. Karakteristika pumpe H(Q) dana je tabelarno, gdje je H visina dobave
pumpe [m], a Q protok vode kroz pumpu [m3/h]. Strujni presjek cijevi instalacije je du=27.2 mm. Potrebno jeodrediti satnu potrošnju vode za navodnjavanje Q0? Kolika je satna potrosnja vode u slu�aju priklju�enjadodatne pumpe priklju�ene serijski iza postoje�e, Qs?
ρ 1000 kg� m 3��� h0 4 m�� du 27.2 mm�� g 10 m� s 2�
��
ζ1 3� ζ2 2� ζ3 5� ζ4 1� ζL 10�
************************************************************************************************************************
f_v Q d�( )4 Q�
d2π�
�
f_Hg Q d�( ) h0 ζ1 2 ζ2�� ζ3� ζL�� � f_v Q d�( )2
2 g����
data0
8.4
1
7.8
2
7.3
3
6.6
4
5.9
5
5.0
6
4.0
7
2.8
8
1.6���
���
T� f_Hp Q( ) linterp data 0� � m3
hr� data 1� � m�� Q�
���
���
�
Q 0 0.1m3
hr�� 10
m3
hr����
Q0 0m3
hr�� Q0 root f_Hp Q0� � f_Hg Q0 du�� �� Q0�� � 3.150
m3
hr���
f_Hp Q0� � 6.495 m� f_Hg Q0 du�� � 6.495 m�
Qs Q0� Qs root 2 f_Hp Qs� � f_Hg Qs du�� �� Qs�� � 4.934m3
hr���
2 f_Hp Qs� � 10.119 m� f_Hg Qs du�� � 10.119 m�
0 2 4 6 8 100
5
10
15
20
f_Hp Q( )
f_Hg Q du�� �2 f_Hp Q( )
Qs
m3 hr 1��
Q0
m3 hr 1��
Q
m3 hr 1��
1
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 7
U hidrauli�ki sustav iz prethodnog primjera ugra�ena je nakon rekonstrukcije sustava nova pumpa tipaGRUNDFOS UP 32-80. Odredite novu satnu potrošnju vode Q0? Koliko iznosi mehani�ka (P0=�gHQ) ielektri�na snaga pumpe (iz priloženog dijagrama)? Koliki je u tom slu�aju stupanj djelovanja pumpe?
ρ 1000 kg� m 3��� h0 4 m�� du 27.2 mm�� g 10 m� s 2�
��
ζ1 3� ζ2 2� ζ3 5� ζ4 1� ζL 10�
************************************************************************************************************************f_v Q d�( )
4 Q�
d2π�
�
f_Hg Q d�( ) h0 ζ1 2 ζ2�� ζ3� ζL�� � f_v Q d�( )2
2 g����
data
0
7.9
145
1
7.6
170
2
7.2
190
3
6.8
220
4
6.3
235
5
5.8
250
6
5.3
255
7
4.8
260
8
4.2
265
9
3.6
266
10
3.0
265
11
2.4
265
����
����
T
�
f_Hp Q( ) linterp data 0� � m3
hr� data 1� � m�� Q�
���
���
�
f_Pp Q( ) linterp data 0� � m3
hr� data 2� � W�� Q�
���
���
�
Q 0 0.1m3
hr�� 11
m3
hr����
Q0 0m3
hr�� Q0 root f_Hp Q0� � f_Hg Q0 du�� �� Q0�� � 3.259
m3
hr���
f_Hp Q0� � 6.67 m� f_Hg Q0 du�� � 6.67 m�
P0 ρ g� f_Hp Q0� �� Q0� 60.39 W��
f_Pp Q0� � 223.889 W�
ηPP0
f_Pp Q0� �26.973 %���
0 5 100
2
4
6
8
10
f_Hp Q( )
f_Hg Q du�� �
Q0
m3 hr 1��
Q
m3 hr 1��
1
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 8
A B C( ) 5� 40 67( )�
f x( ) A x2� B x�� C��
x1
x2
x3
�����
�����
4�
1�
7
����
����
�
y1
y2
y3
�����
�����
f x1� �f x2� �f x3� �
�����
�����
173�
22
102
����
����
�� X
x1
x2
x3
�����
�����
� Y
y1
y2
y3
�����
�����
�
Poznate su tri to�ke na paraboli drugog reda: P1, P2 i P3. Odredite koordinate tjemena ove parabole?
x1 y1� � 4� 173�( )�
x2 y2� � 1� 22( )�
x3 y3� � 7 102( )�
************************************************************************************************************************
x0 0� x0 rootx0
f x0� �dd
x0����
���
� x0 4.000000� f x0� � 147�
0 5200�
100�
0
100
200
0
f x0� �
f x( )
Y
0 x0
x X�
1
Poznate su tri to�ke na paraboli drugog reda, P1, P2 i P3. Odredite koordinate maksimuma ove parabole?Zadano: P1=(-4, -173), P2=(-1, 22) i P3=(7, 102)
- jednadžba parabole drugog reda je oblika: y=A*x2+B*x+C,- A, B i C su nepoznati koeficijenti zadane parabole (mogu se odrediti Given-Find meodom ili matri�nim ra�unom)- definirati funkciju f(x) za opis gornje parabole,- za tjeme parabole iskoristiti uvijet f'(x0) (prva derivacija funkcije =0)- tražen maksimum funkcije y0=f(x0)
x1 y1� � 4� 173�( )�
x2 y2� � 1� 22( )�
x3 y3� � 7 102( )�
X
x1
x2
x3
�����
�����
� Y
y1
y2
y3
�����
�����
�
y A x2� B x�� C�=
A x12
� B x1�� C� y1=
A x22
� B x2�� C� y2=
A x32
� B x3�� C� y3=
M
x12
x22
x32
x1
x2
x3
1
1
1
�������
�������
� b
y1
y2
y3
�����
�����
� x M 1� b�
5�
40
67
����
����
��
A
B
C
����
����
x
5�
40
67
����
����
��
AA 0� BB 0� CC 0�
Given
AA x12
� BB x1�� CC� y1=
AA x22
� BB x2�� CC� y2=
AA x32
� BB x3�� CC� y3=
AA BB CC( ) Find AA BB� CC�( )T 5� 40 67( )��
f x( ) A x2� B x�� C�� x 5� 4.99�� 10���
g x( )x
f x( )dd
�
x0 0� x0 root g x0� � x0�� � 4��
y0 f x0� � 147��
2
5� 0 5 10300�
200�
100�
0
100
200
y0
Y
f x( )
g x( )
2xf x( )d
d
2
x0
X x� x�
3
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 8
A 6� 12� 0( )T� B 1 5 0( )T� C 7 4� 0( )T�
ABC augment A B� C� A�( )T�
Poznate su tri to�ke u ravnini (x,y): A, B i C. Odredite površinu trokuta ome�enog zadanim to�kamakorištenjem Heronove formule. Tako�er odredite parametre oružnice koja opisuje ovaj trokut.
xA yA� � AT 6� 12� 0( )��
xB yB� � BT 1 5 0( )��
xC yC� � CT 7 4� 0( )��
************************************************************************************************************************
10� 5� 0 5 1015�
10�
5�
0
5
0
ABC 1� �
0
ABC 0� �
f_L A B�( ) B0 A0�� �2 B1 A1�� �2��
a f_L A B�( ) 18.385��
b f_L B C�( ) 10.817��
c f_L C A�( ) 15.264��
f_s a b� c�( )a b� c�
2� f_s a b� c�( ) 22.233�
f_P a b� c�( ) f_s a b� c�( ) f_s a b� c�( ) a�( )� f_s a b� c�( ) b�( )� f_s a b� c�( ) c�( )��
f_P a b� c�( ) 82.5� B A�( ) C A�( ) [ ] B A�( ) C A�( ) [ ]�
282.5�
1
X0 Y0 R� � 0 0 10( )�
Given
xA X0�� �2 yA Y0�� �2� R2=
xB X0�� �2 yB Y0�� �2� R2=
xC X0�� �2 yC Y0�� �2� R2=
X0 Y0 R� � Find X0 Y0� R�� �T 2.191� 3.627� 9.198( )��
A 6� 12�( )� B 1 5( )� C 7 4�( )�
XY stack A B� C� A�( )
6�
1
7
6�
12�
5
4�
12�
������
������
��
2
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 8
VIJCI
1
1.19
1.59
1.99
10
1.19
1.59
1.99
11
1.09
1.49
1.75
50
1.09
1.49
1.75
51
1.05
1.45
1.69
100
1.05
1.45
1.69
101
0.99
1.35
1.65
500
0.99
1.35
1.65
501
0.95
1.29
1.59
1000
0.95
1.29
1.59
������
������
T
�
f_M6 N( ) linterp VIJCI 0� � VIJCI 1� �� N�� ��
f_IM N( ) linterp VIJCI 0� � VIJCI 2� �� N�� ��
f_KR N( ) linterp VIJCI 0� � VIJCI 3� �� N�� ��
f_UK N1 N2� N3�� � N1 f_M6 N1� �� N2 f_IM N2� ��� N3 f_KR N3� ����
U veleprodaji vij�ane robe poznate su cijene za tri proizvoda, cijene su ovisne o naru�enoj koli�ini prema tablici:.........
************************************************************************************************************************
a) f_UK 47 157� 89�( ) 413.59�
b) f_UK 189 36� 22�( ) 279.25�
c) f_UK 600 249� 137�( ) 1132.20�
d) N 100� N root f_UK N N� N�( ) 2500� N�( ) 652.74��
N 652� f_UK N N� N�( ) 2497.16�
N N 1�� f_UK N N� N�( ) 2500.99�
1
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 9
Numeri�ki odredite i prikažite na grafu kubnu aproksimaciju funkcije koja prolazi kroz to�ke �ije su koordinate zadaneu matrici XY. Na grafu prikažite rezultate dobivene interpolacijskim funkcijama lspline, pspline i cspline
XY0
5
1
4�
2
5
3
2
4
2�
5
4
6
7
9
1
10
3���
���
T�
fl_XY x( ) interp lspline XY 0� � XY 1� ��� � XY 0� �� XY 1� �� x�� ��
fp_XY x( ) interp pspline XY 0� � XY 1� ��� � XY 0� �� XY 1� �� x�� ��
fc_XY x( ) interp cspline XY 0� � XY 1� ��� � XY 0� �� XY 1� �� x�� ��
df_XY x( )x
fc_XY x( )dd
� ddf_XY x( )x
df_XY x( )dd
�z 0 0.1� 10���
0 2 4 6 8 1010�
5�
0
5
10
XY 1� �
fl_XY z( )
fp_XY z( )
fc_XY z( )
XY 0� � z�
Poznate su tri to�ke na paraboli drugog reda, P1, P2 i P3. Odredite koordinate maksimuma ove parabole iprikažite najbolju kubnu aproksimaciju ove funkcije.Zadano: P1=(-4, -173), P2=(-1, 22) i P3=(7, 102).
x1 y1� � 4� 173�( )� x2 y2� � 1� 22( )� x3 y3� � 7 102( )�
X
x1
x2
x3
�����
�����
� Y
y1
y2
y3
�����
�����
�
y A x2� B x�� C�=
A 0� B 0� C 0�
Given
A x12
� B x1�� C� y1=
A x22
� B x2�� C� y2=
A x32
� B x3�� C� y3=
A B C( ) Find A B� C�( )T 5� 40 67( )��
f x( ) A x2� B x�� C�� x 5� 4.99�� 10���
g x( )x
f x( )dd
�
x0 0� x0 root g x0� � x0�� � 4��
y0 f x0� � 147��
5� 0 5 10300�
200�
100�
0
100
200
y0
Y
f x( )
g x( )
2xf x( )d
d
2
x0
X x� x�
x1 y1� � 4� 173�( )�
x2 y2� � 1� 22( )�
x3 y3� � 7 102( )�
A x1 y1� �� B x2 y2� �� C x3 y3� ��
XY augment AT BT� CT�� �T4�
1�
7
173�
22
102
����
����
��
pl_XY x( ) interp lspline XY 0� � XY 1� ��� � XY 0� �� XY 1� �� x�� ��
pp_XY x( ) interp pspline XY 0� � XY 1� ��� � XY 0� �� XY 1� �� x�� ��
pc_XY x( ) interp cspline XY 0� � XY 1� ��� � XY 0� �� XY 1� �� x�� ��
dp_XY x( )x
pc_XY x( )dd
� ddp_XY x( )x
dp_XY x( )dd
�x 5� 4.9�� 10���
5� 0 5 10300�
200�
100�
0
100
200
XY 1� �
pl_XY x( )
pp_XY x( )
pc_XY x( )
f x( )
XY 0� � x�
VELV Proizvodno strojarstvo ''PA1'' vježba 10
1. zadatak - simboli�ko ra�unanje
f x( )
0
3
k
3�k� 3 k�( )��
xk� 23 k����
�����
�
x3 6 x2�� 12 x�� 8���
f 2( ) 64�
f 5�( ) 27��
f x( ) x3 6 x2�� 12 x�� 8��
fd x( )x
f x( )dd
3 x2� 12 x�� 12���
ff x( ) xf x( ) !"
dx4
42 x3�� 6 x2
�� 8 x����
2. zadatak - proširivanje izraza
x y�( )3 expand x3 3 x2� y�� 3 x� y2
�� y3��
xx y�( )3d
d3 x y�( )2��
xx y�( )3d
dexpand 3 x2
� 6 x� y�� 3 y2���
3. zadatak - skra�ivanje izraza
x2 3x� 4�
x 4�2x� 5� simplify 3 x� 6��
e2 ln a( ) simplify a2�
4. zadatak - limesi
∞x
x2 2�
3x 6�lim�
13
�
ax
3x b�
a2lim
��
3 a� b�
a2�
0x
sin x( )x
lim��
1�
1
5. zadatak - rastavljanje na faktore
x4 4x3� 7x2
� 22x� 24� factor x 3�( ) x 4�( )� x 2�( )� x 1�( )��
6. zadatak - sustavi s jednom jednadžbom
12
x x� 2�= solve x�43
��
x 0�
Given
12
x x� 2=
Find x( )43
�
x x�
x3 5x2� 4x� 20� 0# solve x� 5 x$ 2� x$ 2$%�
7. zadatak - rješavanje sustava jednadžbi
x 2 π� y�� a=4 x� y� b=
���
���
solvex
y������
�a 2 π� b��
8 π� 1��
b 4 a��
8 π� 1����
����
�
Given
x 2 π� y�� a=4 x� y� b=
Find x y�( )
a 2 π� b��
8 π� 1��
b 4 a��
8 π� 1��
�����
�����
�
7. zadatak - spremanje rješenja sustava
Given
x 2 π� y�� a=4 x� y� b=
H a b�( ) Find x y�( )
a 2 π� b��
8 π� 1��
b 4 a��
8 π� 1��
�����
�����
��
H 8 5�( )0.97
1.119���
���
�
2
H 8 5�( )1 1.119�
H a b�( )
a 2 π� b��
8 π� 1��
b 4 a��
8 π� 1��
�����
�����
�
Given
x 2 π� y�� a=4 x� y� b=
M Find x y�( )
a 2 π� b��
8 π� 1��
b 4 a��
8 π� 1��
�����
�����
��M
M
a 2 π� b��
8 π� 1��
b 4 a��
8 π� 1��
�����
�����
�
a 1� b 10� c 12�
8. zadatak - korištenje nekoliko simboli�kih naredbi uzastopce ili istovremeno
a x2� b x�� c� 0= solve x�
13 5�
13� 5�
���
���
� float1.3944487245360107069�
8.6055512754639892931����
���
�
solution a x2� b x�� c�
solve x�
float1.3944487245360107069�
8.6055512754639892931����
���
��
solution1 8.606��
sol a x2� b x�� c�
solve x�
float1.3944487245360107069�
8.6055512754639892931����
���
��
a a� b b� c c�
9. zadatak - riješenje jednadžbe za razli�ite varijable
a x2� b x�� c� solve a�
c b x��
x2��
a x2� b x�� c� solve b�
a x2� c�
x��
3
a x2� b x�� c� solve c� a x2
�� b x���
sol a x2� b x�� c� solve x�
b2
b2 4 a� c��
2�
a�
b2
b2 4 a� c��
2�
a�
���������
���������
��
sol1
b2
b2 4 a� c��
2�
a��
sol1 8.606��
Zadatak 10
X
0
1
2
3
4
5
��������
��������
� Y
0.008923
0.532
0.602
0.166
0.451
0.057
��������
��������
�
fl x( ) interp lspline X Y�( ) X� Y� x�( )�
fc x( ) interp cspline X Y�( ) X� Y� x�( )� x 0 0.1� 5���
fp x( ) interp pspline X Y�( ) X� Y� x�( )�
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
Y
fl x( )
fp x( )
fc x( )
X x�
4