Pablo de Olavide University - Mecánica Cuántica Tema 14 · 2015. 11. 12. · de la ecuación de Schrodinger para el átomo de H proporcionan las funciones de onda para el e-en el

24/02/2004 Bases Físicas y Químicas del Medio Ambiente. Tema 14

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Tema 14

Mecánica Cuántica


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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica

14.2 La ecuación de Schrödinger

14.3 Significado físico de la función de onda

14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger

para el átomo de hidrógeno

14.5 Números cuánticos

14.6 Orbitales atómicos


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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica

Nacimiento de la mecánica cuántica

Planck, Einstein, Bohr, De Broglie, Schrödinger,

Heisenberg ...

A finales del siglo XIX se habían acumulado una serie

de resultados experimentales que no era posible explicar

con la teoría existente (Mecánica clásica)


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Se sabe que los objetos calientes emiten luz de diferentes

colores, por ej.

Rojo oscuro: Elemento calefactor de un horno eléctrico. Blanco: Filamento de una bombilla eléctrica.

La luz emitida por un objeto radiante caliente puede ser

dispersada por un prisma produciendo un ESPECTRO DE

COLOR CONTINUO.


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Longitud de onda

Inte

nsid

ad

7000 K

5000 KComo puede verse en la Figura,

la intensidad de la luz varía

ligeramente con la longitud de

onda, con un máximo a una cierta

λ determinada por la temperatura

de la fuente.

Espectro de la radiación emitida por un cuerpo caliente

Cuanto mayor es T, menor

es λλλλmáxima.

Resultado experimental:


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La RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO es la que emite un cuerpo cuando se calienta.

Como en el caso de los espectros atómicos, la física

clásica no podía proporcionar una completa explicación

de la emisión de la luz por los sólidos calientes, conocida

como la radiación del cuerpo negro.

El Sol se comporta muy aproximadamente como un

cuerpo negro


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Longitud de onda

Inte

nsid

ad 7000 K

5000 K

Predicciones de la

mecánica clásica

La teoría clásica predice que la intensidad de la radiación emitida

debería aumentar indefinidamente (ver líneas discontinuas en la figura).


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En 1900, Planck, para explicar que la intensidad no aumenta

indefinidamente al disminuir la frecuencia, hizo una propuesta revolucionaria:

la energía como la materia, es discontinua.

Esta es la diferencia esencial entre la FÍSICA CLÁSICA

y la nueva TEORÍA CUÁNTICA.

La física clásica no limita la cantidad de energía que un

sistema puede tener, mientras que la teoría cuántica

limita esta energía a un conjunto discreto de valores

específicos.


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El postulado de Planck puede resumirse por la ecuación:

E = h ννννE =energía de un cuanto de radiación electromagnética

h= constante de Planck

νννν = frecuencia

La diferencia entre dos de las energías permitidas de un

sistema también tiene un valor específico llamado CUANTO

de energía.


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•Los espectros de emisión de los elementos (H, He ...)

•El efecto fotoeléctrico

•La radiación de cuerpo negro

Ni la materia ni la radiación son continuas, están

divididas en “partículas” de materia (partículas

subatómicas) o de energía (fotones).

Esta hipótesis explica:

En resumen:


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Principio de Incertidumbre (Heisenberg, 1927)

La mecánica cuántica establece límites a la información

que podemos tener de un sistema.

∆∆∆∆x ∆∆∆∆p ≥≥≥≥ h/ 4ππππ

Error en la medida

de la posición

Error en la medida

del momento

Es una limitación

de la naturaleza


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14.2 La ecuación de Schrödinger

Sabemos que la radiación se puede comportar como

partículas o como ondas, y lo mismo ocurre con la

materia (difracción de electrones)

Las ondas de materia son ONDAS ESTACIONARIAS

La ecuación de propagación de las

ondas de la materia es la

ecuación de Schrödinger


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Un e- o cualquier otra partícula que posea propiedades

de onda podría ser descrita mediante una función

matemática denominada FUNCIÓN DE ONDAFUNCIÓN DE ONDA ψψψψψψψψ. .

Las funciones de onda son las soluciones de la Las funciones de onda son las soluciones de la

ecuaciecuacióón de n de SchrSchröödingerdinger


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)()()( xExxH Ψ=ΨOperador hamiltoniano (equivalente cuántico a la suma

de las energías cinética y potencial clásicas).

La ecuación de Schrödinger es el equivalente

a la conservación de la energía en la mecánica clásica

Función de onda Energía total del sistema

E es lo que hay que comparar con la energía

experimental del sistema. En Mecánica Cuántica

a las magnitudes mensurables experimentalmente

se les llama OBSERVABLES


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)()()()(2 2

22

xExxVxd

xdm

Ψ=Ψ+Ψ− �

= π2

h�

Energía cinética Energía potencial

2

22

2)(

xdd

mxT �−=

Operador energía

cinética

V(x) Operador energía potencial

En una dimensión (x) la ec Schrödinger se escribe

)()()( xExxH Ψ=Ψ


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En principio nosotros sabemos (o suponemos) como son los

operadores energía cinética y energía potencial

(interacciones eléctricas entre las partículas,

ley de Coulomb) y RESOLVIENDO la ecuación de Schrödingerse obtienen E y ψψψψ.

La ec de Schrödinger es una ecuación diferencial que se puede resolver en algunos casos aplicando métodos matemáticos.

Solo algunas de esas soluciones tienen sentido físico


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14.3 Significado físico de la función de onda

En una onda convencional el cuadrado de la función

de onda es proporcional a la intensidad de la

radiación.

En una onda de materia el cuadrado de la función

de onda da la probabilidad de encontrar materia

en ese determinado punto.


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y

z

x

r

=Ψ Vdr 2)( �Probabilidad de encontrar la partícula en un pequeño volumen dV


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14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno

+M

m

p

e-

xy

z

(x, y ,z)

El átomo de hidrógeno

consta de un protón en el

centro y un electrón girando

a su alrededor

Las funciones de onda se

analizan en función de las

3 coordenadas (x, y, z)

necesarias para definir

un punto con respecto

al núcleo.


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Las soluciones de la ecuación de Schrodinger para el

átomo de H proporcionan las funciones de onda para

el e- en el átomo de H. Estas funciones de onda se

llaman ORBITALESORBITALES. Es decir, un orbital es la función

de ondas de un solo electrón.

El átomo de H es uno de los pocos sistemas para el cual se puede resolver la ec. de Schrödinger EXACTAMENTE

(…pero podemos resolverla para otros muchos átomos de

una manera aproximada).


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Ψ=Ψ+

∂Ψ∂+

∂Ψ∂+

∂Ψ∂− ErV

zyxm)(

2 2

2

2

2

2

22�

),,()( zyxΨ=Ψ=Ψ r

reZrV0

2

4)( πε

−=

Depende de r(x,y,z)

Función de onda para el átomo de hidrógeno

Interacción Coulombica

electrón-núcleo

masa del electrón


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14.5 Números cuánticos

Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger para el

átomo de H vemos que solo tiene solución para posibles

valores de energía.

E = -R

n2

Constante de

Rydberg

n es un número entero (1,2,3 ...) que llamamos

número cuántico.


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Cada valor de n caracteriza un nivel de energía

del átomo de hidrógeno. n se denomina número

cuántico principal

EN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO la energía depende

SOLAMENTE de n

En los demás átomos la energía depende de otros

números cuánticos


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El valor de la energía para n = 1 es el estado

fundamental del sistema

El resto de los estados (n ≠≠≠≠ 1) se llaman estados

excitados

Se puede pasar de un estado excitado a otro o

al estado fundamental liberando energía


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n2

n1

∆∆∆∆ E ∆∆∆∆ E = R 1 1

n12 n2

2

La fórmula que explica qué líneas aparecen en

los espectros de emisión es una consecuencia

de cómo son las soluciones de la ecuación de

Schrödinger


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Al resolver la ec de Schrödinger no solo obtenemos

las energías sino las funciones de onda ψψψψ.

Esas ψψψψ son los ORBITALES ATÓMICOS que

están definidos por TRES números cuánticos.

•n (número cuántico principal) n = 1,2,3 ...

•l (número cuántico secundario) l = 0,1,2 ... n-1Determina las regiones de máxima probabilidad

de encontrar al electrón y está relacionado con el momento angular

•ml (número cuántico magnético) ml = -l,...0...,+lDetermina la orientación en el espacio de un orbital.


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14.6 Orbitales atómicos

Todos los orbitales con el mismo valor de n se

encuentran en la MISMA CAPA

Todos los orbitales con los mismos valores de n y

l pertenecen a la MISMA SUBCAPA

Las capas se numeran de acuerdo a n

Las subcapas se definen mediante letras


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Orbitales atómicos

CAPA SUBCAPA ORBITAL


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CAPA n = 4


30

Nº cuánticos posibles para n =4Nº cuánticos posibles para n =4

n = 4 l = 0l = 1

l = 2

l = 3

ml = 0ml = 1ml = 0ml = -1ml = 2ml = 1ml = 0ml = -1ml = -2

n l =n-1 ml = -l ...+l Tipo de orbital

ml = 3ml = 2ml = 1ml = 0ml = -1ml = -2ml = -3

4 s4 px4 py4 pz4 dxy4 dxz4 dyz4 dx2-y24 dz24 f4 f4 f4 f4 f4 f4 f

2 e-

6 e-

10 e-

14 e-


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Orbitales s

ProbabilidadNube

electrónicaPoseen simetría

esférica


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Orbitales p


33

Orbitales d


34

Para definir EL ELECTRÓN DENTRO DE LOS

ORBITALES se necesita un cuarto número cuántico

s =ms= +1/2

ms = -1/2

Está relacionado con las propiedades magnéticas

intrínsecas del electrón

Número cuántico de espín


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El experimento de Stern-Gerlach

Sirvió para detectar el espín del electrón

N

S

ms = +1/2

ms = -1/2

Haz de átomos de Ag

IMÁN

rendija

El haz se desdobla en 2


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Número cuántico de spin

El experimento de Stern y Gerlach en

1920 reveló la necesidad de un cuarto

número cuántico, asociado a un momento

Angular intrínseco al electrón

S=1/2Dos estados posibles

ms=+1/2 ms=-1/2


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Spin del electrón

• Las funciones de onda de un solo electrón al considerar el spin se llaman spin orbitales.

• Podemos relacionar el spin con un momento angular intrínseco del electrón


38

2s2p

1s

PRO

BAB

ILID

AD

Distancia a0

Funciones de distribución radial

Proporcionan la probabilidad de encontrar al electrón en función de la distancia electrón-núcleo:

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