Pozos y Barreras en Mecánica Cuántica: Retraso …homepage.cem.itesm.mx/fdelgado/ciencia/cadi/D0103.pdf · potencial de corto alcance. Para esto usamos la ecuacion de Schrodinger,

Pozos y Barreras en Mecanica Cuantica: Retraso

Temporal

Alfonso Isaac Jaimes Najera

Cinvestav

10 de diciembre de 2012

Alfonso Isaac Jaimes Najera (Cinvestav) Pozos y Barreras: Retraso Temporal 10 de diciembre de 2012 1 / 39

Introduccion

Estudiaremos la dinamica de una partıcula en un proceso de

dispersion unidimensional en Mecanica Cuantica.

Un proceso de dispersion es aquel en el cual una partıcula incide con

una cierta energıa sobre un dispersor que se modela como un

potencial de corto alcance.

Para esto usamos la ecuacion de Schrodinger, la cual gobierna la

dinamica de las partıculas.

´

Esta dicta la evolucion temporal del estado | i de un sistema fısico.


Introduccion

Analizaremos la dinamica de una partıcula por medio de la funcion de

onda hx | i = (x , t),

Ecuacion de Schrodinger ! (x , t) (1)

Condiciones de frontera: continuidad de la funcion de onda y de su

derivada. Que sea acotada.


La ecuacion de Schrodinger para este caso esta dada por

� ~22m

@2

@x2 (x , t) + V (x) (x , t) = i~ @

@t (x , t) (2)

Proponemos llevar a cabo la separacion de variables en la sig. forma

(x , t) = (x)f (t) (3)

y sustituyendo en la ec. (2) obtenemos para f

i~@f (t)@t

= E f (t), (4)

cuya solucion es

f (t) = e

�iEt/~. (5)


Mientras que para obtenemos la siguiente ecuacion

� ~22m

@2

@x2 (x) + V (x) (x) = E (x), (6)

que se conoce como la ecuacion estacionaria de Schrodinger. Si el estado

de un sistema esta descrito por la funcion de onda

(x , t) = (x)e�iEt/~, (7)

el estado es estacionario. En Mecanica Cuantica se deriva una ecuacion de

continuidad

@⇢(x , t)

@t+

@j(x , t)

@x= 0, (8)

donde

⇢(x , t) = | (x , t)|2, j(x , t) =i~2m

✓

@ ⇤

@x� ⇤@

@x

◆(9)


Estudiaremos la dispersion de partıculas con potenciales rectangulares

Se siguen exigiendo las condiciones a la frontera


El potencial escalon

Consideremos una partıcula incidiendo por la izquierda. Debemos resolver

� ~22m

d

2

dx

2

(x) + V (x) (x) = E (x) (10)

Notemos que existen dos casos: E < V

0

, E � V

0

.


Caso E < V

0

:

Dividimos el espacio en dos regiones

00+ k

2 = 0 para x 0, (11)

00 � q

2 = 0 para x > 0, (12)

donde

k

2

=

2mE

~2 , q

2

=

2m

~2 (V0

� E ), (13)

cuyas soluciones son

(x) =

8<

:

Ae

ikx

+ Be

�ikx , x 0

Ce

�qx

+ De

qx , x > 0

(14)

donde D = 0, la condicion de frontera impide su existencia.


Analicemos las soluciones un momento.

j

e

ikx

=

~km

|A|2, j

e

�ikx

= �~km

|B |2, j

e

�qx = 0. (15)

e

ikx ! E (16)

e

�ikx E (17)


Apliquemos las condiciones de frontera

(x)|x=0

� = (x)|x=0

+

) A+ B = C , (18)

d (x)

dx

��x=0

�=

d (x)

dx

��x=0

+

) ikA� ikB = �qC . (19)

obtenemos

= A(e

ikx

+

ik + q

ik � q

e

�ikx

), x 0, (20)

= A

2ik

ik � q

e

�qx , x > 0, (21)


El flujo de partıculas resulta nulo, tanto en x 0 como en x > 0. Por

tanto todas las partıculas son reflejadas.

-10 -5 5

1

2

3

4

Figura: La funcion | |2 para A = 1, V

0

= 1 y E = 0,75.


Caso E > V

0

:

Las soluciones a la ecuacion estacionaria son

= Ae

ikx

+ Be

�ikx , x 0, (22)

= Ce

ik

1

x

+ De

�ik

1

x , x > 0, (23)

donde k

2

=

2mE

~2 , k

2

1

=

2m

~2 (E � V

0

),

donde tomamos D = 0. Aplicando las condiciones de continuidad

obtenemos

= A

✓e

ikx

+

k � k

1

k + k

1

e

�ikx

◆, x 0, (24)

= A

2k

k + k

1

e

ik

1

x , x > 0. (25)


El flujo para x < 0 esta dado por

j< =

~km

(|A|2 � |B |2). (26)

Asımismo para x > 0

j> =

~k1

m

|C |2 (27)

Las condiciones de frontera garantizan que el flujo es continuo, entonces

j< = j>, obteniendo

k |A|2 = k |B |2 + k |C |2 (28)

k |A|2 es proporcional al flujo incidente j

inc

,

k |B |2 es proporcional al flujo reflejado j

r

, (29)

k

1

|C |2 es proporcional al flujo transmitido j

t

.

La reflexion es parcial.


Introducimos el coeficiente de reflexion R y el de transmision T , como

sigue

R :=

|jr

||jinc

| =k |B |2

k |A|2 =

✓k � k

1

k + k

1

◆2

, (30)

T :=

|jt

||jinc

| =k

1

|C |2

k |A|2 =

4kk

1

(k + k

1

)

2

. (31)

De (28) se sigue que estos coeficientes cumplen la relacion

R + T = 1. (32)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 k2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0R

Figura: Coeficiente de reflexion como funcion de E/V0

.


Pozo rectangular

Analizamos la dispersion de partıculas debida a un pozo.

Figura: El pozo cuadrado de ancho 2a y profundidad V

0

.

Primeramente analizamos los estados con E � 0.


Dividimos el espacio en tres regiones.

En este caso las soluciones son

I

= A

1

e

ikx

+ B

1

e

�ikx , x < �a, (33)

II

= A

2

e

iq

1

x

+ B

2

e

�iq

1

x , �a x a, (34)

III

= A

3

e

ikx

+ B

3

e

�ikx , x > a, (35)

con

k

2

=

2mE

~2 q

2

1

=

2m

~2 (E + V

0

). (36)

Donde tomamos B

3

= 0, y aplicando las condiciones a la frontera se

obtiene el valor de B

1

(reflejadas) y A

3

(transmitidas).


Con esto obtenemos los coeficientes de reflexion y transmision

T =

��A

3

A

1

��2

=

"1 +

1

4

✓q

1

k

� k

q

1

◆2

sen

2

(2q

1

a)

#�1

(37)

R =

��B1

A

1

��2

= 1� T . Cuando E !1, q

1

/k ! 1 y T ! 1.

Cuando sen 2q

1

a = 0 tenemos T = 1.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 k2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5T

Figura: Coeficiente de transmision para a =2.8, V

0

= 1.


Caso �V0

E < 0.

Las soluciones son

I

= A

1

e

x , x < �a, (38)

II

= A

2

e

iqx

+ B

2

e

�iqx , �a x a, (39)

III

= B

3

e

�x , x > a. (40)

donde

2 =�2mE

~2 =

2m|E |~2 (41)

q

2

=

2m(E + V

0

)

~2 (42)


Aplicando las condiciones de frontera obtenemos la siguiente ecuacion

trascendental. ✓� iq

+ iq

◆2

= e

4iqa

(43)

Solo ciertos valores de E satisfacen esta ecuacion: Discretizacion de

energıas.

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 k2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5T

Figura: Coeficiente de transmision para a =2.8, V

0

= 1.


Barrera rectangular

Analizamos la dispersion de partıculas debida a una barrera cuadrada.

Figura: Barrera de potencial de ancho a y altura V

0

.

Casos: E < V

0

, E � V

0


Caso E < V

0

Las soluciones son

I

= A

1

e

ikx

+ B

1

e

�ikx , x < 0, (44)

II

= A

2

e

qx

+ B

2

e

�qx , 0 x a, (45)

III

= A

3

e

ikx , x > a. (46)

donde

k

2

=

2mE

~2 , (47)

q

2

=

2m(V

0

� E )

~2 (48)


Aplicando las condiciones de continuidad obtenemos el coeficiente de

transmision y el de reflexion

T = 1� R =

"1 +

1

4

✓k

q

� q

k

◆2

senh

2

qa

#�1

k

2 < V

0

, (49)

Caso E � V

0

Las soluciones son las del caso anterior con el cambio

q ! iq (50)

y obtenemos

T = 1� R =

"1� 1

4

✓k

q

� q

k

◆2

sen

2

qa

#�1

k

2 � V

0

, (51)


Con estas funciones tenemos el coeficiente de transmision para k

2 � 0

1 2 3 4 k2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

T

Figura: Coeficiente de transmision para a = 5, V

0

= 1, como funcion de k

2

.

Tunelamiento Cuantico: en la mecanica clasica esperamos reflexion total.


Corrimiento de fase

Analicemos la onda transmitida. Escribiendo

A

1

= |A1

|e i�1 , A

3

= |A3

|e i�3

(52)

vemos que

A

3

A

1

=

|A3

||A

1

|e�i(�

1

��3

)

=

pTe

�i�(53)

Notamos un corrimiento de fase respecto de la onda incidente.

III

= A

1

pTe

i(kx��)(54)

Reduccion de la amplitud de la onda

Corrimiento de fase


Asımismo podemos calcularlo para la onda reflejada. Escribiendo

A

1

= |A1

|e i�1 , B

1

= |B1

|e i�2

(55)

vemos que

B

1

A

1

=

|B1

||A

1

|e�i(�

1

��2

)

=

pRe

�i⇣(56)

Notamos un corrimiento de fase respecto de la onda incidente.

ref

= A

1

pRe

�i(kx+⇣)(57)


Paquetes de ondas

Los estados que hemos estudiado son estacionarios y no son de cuadrado

integrable.

Analicemos una situacion distinta para la partıcula libre: superposicion.

La ecuacion de Schrodinger admite soluciones como

(x , t) =

Z 1

�1dk ⇤(k)e

�i(kx+!(k)t), (58)

donde |⇤(k)|2 es la distribucion de energıa.

A una solucion de este tipo se le llama paquete de onda


Supongamos a ⇤(k) muy localizada en un intervalo (k

0

� b, k0

+ b).

Ası,

(x , t) =

Z 1

�1dk ⇤(k)e

�i(k(x�x

0

)+!t), (59)

sera un paquete de ondas localizado con energıa E

0

= ~2k20

/2m.

El centro del paquete se desplaza con una velocidad de grupo

v

g

(k

0

) =

d!

dk

��k=k

0

= 2k

0

. (60)


Buscaremos los valores de x y t para los cuales las ondas esten en fase,

para tener interferencia constructiva.

Reescribimos el paquete en la forma

inc

(x , t) =

Z 1

�1dk ⇤(k)e

i�(k), (61)

donde

�(k) = �k(x � x

0

)� !(k)t. (62)

Nos fijamos en aquellas ondas con k ⇡ k

0

.

Queremos que la fase varıe poco alrededor de k

0

.


Esto lo pedimos mediante la condicion de fase estacionaria:

d

dk

�(k)

��k=k

0

= 0 (63)

Con lo que obtenemos la ecuacion que determina el centro del paquete

d

dk

(k(x � x

0

) + !t)

��k=k

0

= 0 (64)

x = x

0

� v

g

t. (65)

Para tener mayor claridad, tomemos una distribucion de energıa en

especial.


Paquete Gaussiano

Tomemos una distribucion Gaussiana

⇤(k) =

1pp⇡b

e

�(k�k

0

)

2/(2b2)(66)

Con esta distribucion obtenemos el modulo cuadrado de la funcion de onda

| (x , t)|2 = b/~p⇡(1 + b

4

t

2/m2~2)exp

�(b/~)2(x � x

0

+ 2k

0

t)

2

1 + b

4

t

2/m2~2

�. (67)


Dispersion de un paquete de ondas

Consideremos un paquete de ondas localizado con energıa E

0

= ~2k20

/2m,

incidente por la derecha de la barrera desde x = x

0

en t = 0

inc

(x , t) =

Z 1

�1dk ⇤(k)e

�i(k(x�x

0

)+!t), (68)

donde E = ~! = ~k2/2m, y ⇤(k) es el coeficiente de Fourier.

Las ondas transmitidas se escriben

trans

=

pTe

�i(kx+�), (69)

entonces escribimos al paquete transmitido como

trans

(x , t) =

Z 1

�1dk ⇤(k)

pT (k , a)e�i(k(x�x

0

)+!t+�). (70)


Aplicamos la condicion de fase estacionaria al paquete transmitido

d

dk

(k(x � x

0

) + !t + �)

��k=k

0

= 0. (71)

Con esto obtenemos

x = x

0

� v

g

t +

@�

@k

��k=k

0

!, (72)

mientras que para el paquete libre tenemos

x = x

0

� v

g

t. (73)

Si

@�

@k

��k=k

0

> 0 ! Adelanto (74)

Si

@�

@k

��k=k

0

< 0 ! Retraso (75)


Para el paquete reflejado

ref

(x , t) =

Z 1

�1dk ⇤(k)

pR(k , a)e i(k(x+x

0

)�!t�⇣), (76)

aplicamos la condicion de fase estacionaria

d

dk

(k(x + x

0

)� !t � �)��k=k

0

= 0. (77)

Con esto obtenemos

x = �x0

+ v

g

t +

@�

@k

��k=k

0

!. (78)


Derivada del corrimiento de fase

0 1 2 3 4

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V

0

= 1.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

0

1

2

3

Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a = 8 y V

0

= 1.


Proceso de dispersion completo

Analicemos la dispersion de un paquete de ondas en todo el eje real

Las soluciones a la ecuacion estacionaria para la barrera estan dadas por

(x) =

8>>>><

>>>>:

e

ikx

+

pRe

�i(kx+⇣), x < a

A

2

e

qx

+ B

2

e

�qx , �a x a

pTe

i(kx��)x > a

(79)

La funcion de onda en todo el eje real esta dada por

(x , t) =

Z 1

0

dk ⇤(k) (x)e i(kx0+!t). (80)


Muchas Gracias


Derivada del corrimiento de fase

0 1 2 3 40.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Figura: Retraso temporal debido a un pozo cuadrado con a = 6, y V

0

= 1 (rojo).

Coeficiente de transmision para los mismos parametros (azul).


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-2

-1

0

1

2

3

Figura: Retraso temporal debido a una barrera cuadrada con a = 8 y V

0

= 1

(rojo). Coeficiente de transmision para los mismos parametros (azul).


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