PACFP_117

CONTINUIDADDE FUNCIONESBloque III * Tema 117

Matemticas Acceso a CFGS

CONTINUIDAD GRFICAUna funcin se dice que es continua en todo su dominio cuando podamos ser capaces de dibujarla de un solo trazo continuo, sin levantar el lpiz del papel.

Ejemplo 0

Sea la funcin troceada: x+1 , si x 1f(x) = 1 , si x > 1

A la izquierda de x=1 la funcin (en rojo) se puede dibujar de un solo trazo. Es continua.A la derecha de x=1 la funcin (en verde) se puede dibujar de un solo trazo. Es continua.Para x = 1 y = 2 (Punto negro).En x=1 la funcin rompe su continuidad, bajando bruscamente de y=2 a y=1. Decimos entonces que en x=1 presenta una discontinuidad.1- 1 0 1y=x+1y=1



Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 31- 1 0y=x+1Funcin continua en R1- 1 0y=exFuncin continua en R- 1 0 1y=x x3Funcin continua en R



Ejemplo 4Ejemplo 5 Ejemplo 61- 1 0y=2 x2Funcin continua en R0 1y=log xFuncin continua en R+ -3 -2 -1 0 1y=(1 x)F. continua en (-oo, 1]


CONTINUIDAD GRFICAEjemplo 7

Funcin continua en R, excepto en x=2En x=2 hay una discontinuidad, pues la funcin no existe en dicho punto.x=2 no forma parte del dominio de la funcin.12 x2 3.x + 2y = --------------- x 2 Ejemplo 8

Funcin continua en R, excepto en x=1En x=1 hay una discontinuidad, pues en ese punto su valor es 0.x=1 forma parte del dominio de la funcin.4-2 -1 0 1 2 4 x2 , si x1y = 0 , si x=1


CONTINUIDAD GRFICAEjemplo 9

Funcin continua en R, excepto en x=0En x=0 la funcin existe y vale 1.Pero a la izquierda de 0 la funcin vale 1 (y=1) y a la derecha del 0 la funcin vale 0 (y=0).Hay una discontinuidad en x=0, un salto finito.10 x + 1 , si x0y = x , si x>0 Ejemplo 10

Funcin continua en R, excepto en x=0En x=0 hay una discontinuidad, pues en ese punto no existe la funcin y a la izquierda del 0 su valor baja hasta oo.x=0 no forma parte del dominio.-2 -1 0 1 2 x2 2 , si x0


CONTINUIDAD DE FUNCIONESUna funcin y=f(x) se dice que es continua en un punto x=a, cuando se cumplen tres condiciones:

1) Existe la funcin en ese punto, existe f(a). Es decir, a forma parte del dominio de la funcin. 2) Existe el lmite de la funcin en dicho punto, lm f(x) xa Si la funcin en dicho punto est troceada, el lmite por la derecha debe coincidir con el lmite por la izquierda para que exista dicho lmite. 3) El valor de la funcin en dicho punto coincide con el lmite: f(a) = lm f(x) xa

Como aun no se ha dado el concepto y el clculo de lmites, ms adelante se volver a este esquema para estudiar la continuidad de una funcin en un punto.


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