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Parábola• Last update on mayo 12, 2013• under Cónicas , Curvas , Geometria plana , Parábola

ParábolaDefinición y propiedades.Es una curva cónica, abierta, plana y de una sola rama.Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno fjodenominado oco y de una recta denominada directriz.

Elementos de la parábola

Elementos.• Además del foco F y la directriz , cuenta con un eje de

simetría , normal a la directriz y que contiene al oco !• "e denomina vértice #, al punto de intersección de la curva con el eje ,

la tangente en V a la curva es paralela a la directri$! Por ser V un punto de lacurva, equidista del oco y la directriz.

• "e denomina Parámetro P a la longitud de la cuerda que pasa por eloco y es paralela a la directriz ! lsemiparámetro mide lo mismo que longitud

hay de a la directriz.• Las circunferencias focal y principal tienen radio infnito por lo que

se convierten en rectas , la circunferencia focal coincide con la directriz yla circunferencia principal coincide con la recta tangente en V a laparábola !

• l centro de curvatura en el vértice %Cv&es el centro de lacircun erencia osculatriz que pasa por V , Cv est! a igual distancia de que de V ! 'omando varios puntos muy pró(imos de la curva, se denomina

circun)erencia osculatri$ a la *ue pasa por ellos!Trazado de parábolas

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A. Conociendo la directriz y el foco.

En cualquiera de los dos métodos descritos se verifica que cualquier punto de la curva

equidista del foco y del e e.

1. Primer método. Por puntos.

Dada la directriz D y el foco ! di"ujamos el eje "perpendicular a D por #$y determinamos V # vértice y punto de la curva$ en el punto medio del segmento

$ "% es el punto de intersección entre el e e y la directriz$. %raduamos el eje a partir de y en sentido opuesto a V en cualquier n&mero de partes i&uales ono! por donde trazamos normales al eje . Con centro en # y radio '% trazamos unacircunferencia que corta en '( y ')! puntos de la parábola! la normal correspondiente a'. Procedemos de i&ual modo para los puntos restantes incluido el propio # y unimos lospuntos as* obtenidos a mano alzada.

2. Segundo método.

'eterminamos V y por V trazamos la tangente a la curva "+circunferenciaprincipal),paralela a la directriz$! llevando so"re ella el semiparámetro en

( . )razamos la mediatriz del segmento ( y o"tenemos el punto * so"re la prolongación del eje . Trazamos! con centro en * una circun erencia de radio *que corta al eje y determina el punto C . %raduamos el eje en partesiguales #+, , - /, por donde trazamos normales al eje .Dibu amos circun erencias de diámetros C1, C2, C3 , estas, cortan a latangente trazada por - a la curva! en los puntos 'a! a! /a0. desde donde trazamos

paralelas al eje hasta cortar a las rectas normales al eje correspondientes en '( y')! ( y ) etc.. puntos de la parábola. Trazamos a mano alzada o con plantilla de curvas.

%. Conociendo el vértice! el e e y un punto de la curva. Por 1acesproyectivos.

Conocido el e e E! el vértice - y un punto P de la curva! trazamos por P y V perpendiculares al eje y por P una paralela ! obtenemos de este modoel paralelogramo -AP%! trazamos otro paralelogramo simétrico de este respecto

al e e! C2-A. 'ividimos en partes iguales los segmentos paralelos al eje y en eldo"le n&mero de partes, tam"ién iguales, el segmento $0 ! las primerasdivisiones las unimos con V y por el resto trazamos paralelas al eje . Donde secortan las correspondientes "ver el dibu o$ obtenemos puntos de la curva.

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Trazado de parábolas Conociendo la directriz y el foco, 2 métodos, y conociendo el vértice, el eje y

un punto de la curva.

Trazado de rectas tan&entes a la parábola.

Por un punto A de la curva.

1niendo el punto ( dado con el oco y trazando desde él a la directriz una perpendicular, o"tenemos el !ngulo (P, su bisectriz es la recta tangente"uscada en (.

2l punto P perteneciente a la directriz "circunferencia focal en la parábola! de

radio infinito$ es siempre simétrico de respecto de la tangente

trazada ! como suced*a en la elipse "la circunferencia focal es el lu&ar &eométricode los puntos simétricos del foco respecto de las rectas tan&entes trazadas a la

curva$. Conociendo el foco #! el punto de tan&encia A y la directriz D podemos

trazar la tan&ente! pues P está en el pié de la normal trazada a la directriz desde A

"en la elipse P está en la intersección de la circunferencia focal con la

prolon&ación del radio vector que contiene al punto A y al propio centro de la

circunferencia focal$.

Desde un punto e3terior.

Como en la elipse! trazamos una circun erencia de centro en el punto e3terior (dado y radio ( que determina 4 e 5 so"re la circunferencia focal "directriz enla parábola$! Por 4 e 5 trazamos perpendiculares a la directriz "buscando lo que ser*ael centro de la circunferencia focal! en el infinito en el caso de la parábola y normal a ladirectriz$! y obtenemos en su intersección con la curva "o con las propias tan&entes a6nno dibu adas$ los puntos T' y T de tan&encia. !as mediatrices de " e # sonlas tangentes buscadas y 4 e 5 son puntos simétricos del foco # respecto de lastan&entes trazadas.

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Trazado de rectas tangentes a la parábola. Por un punto de la curva. esde un punto e!terior.

Paralelas a una direcci"n dada.

Paralelas a una dirección dada.

Dada la dirección r! trazamos por el oco una recta perpendicular a dicha recta r que corta en 4 a la directriz ' "circunferencia focal$. 1nimos el punto 4 con el6centro de la circun erencia ocal7 "en el infinito! lue&o trazamos por 4 unaperpendicular a la directriz$ que corta en T! punto de tan&encia! a la curva. )razamosla mediatriz del segmento 4 que será la tan&ente a la curva! paralela a la direccióndada! en el punto T obtenido.