GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Paralelismo entre Rectas

© antónio de campos, 2009

No espaço, duas rectas são paralelas se são complanares (estritamente paralelas) e não têm nenhum ponto em comum, ou se são rectas coincidentes.

O presente estudo debruça-se sobre todas as situações de paralelismo estrito entre rectas.

As rectas a e b são paralelas entre si no espaço.

As suas projecções horizontais a1 e b1 são paralelas entre si.

As suas projecções frontais a2 e b2 são paralelas entre si.

Em geral é assim.

Com as rectas de perfil, não basta verificar se as projecções frontais e horizontais são paralelas, é necessário confirmar, por exemplo, com rectas auxiliares. Em baixo, duas rectas de perfil que não são paralelas, apesar das suas projecções frontais e horizontais serem paralelas.

Neste exemplo, duas rectas auxiliares r e s são paralelas, pelo que são complanares.

Assim sendo, as rectas p e p’ são complanares, e como não são concorrentes, são paralelas.

Neste exemplo, duas rectas auxiliares r e s não são paralelas, mas são complanares com as rectas p e p’. Assim sendo, as rectas p e p’ são complanares, e como não são concorrentes, são paralelas.

A recta de perfil p está definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). A recta de perfil p’ está definida pelos pontos C (-3; 4; 3) e D (1; 4). Averigúa a posição relativa das duas rectas.

x

y ≡ zp1 ≡ p2

A1

A2

B1

B2

p’1 ≡p’2

C1

C2

D1

D2

r2

s2

s1

r1

x

y ≡ z

p1 ≡ p2p’1 ≡ p’2

A1

A2

B1

B2

C1

C2

D1

D2

r2

s2

s1

r1

Sobre a posição relativa das duas rectas, sabe-se imediatamente que não são concorrentes – podem ser paralelas ou enviesadas.

Se forem paralelas, então são complanares, pelo que quaisquer duas rectas concorrentes com p e p’ serão, também elas, complanares.

Recorreu-se a duas rectas auxiliares, as rectas r e s. A recta r é concorrente com p em A e com p' em D (está definida por dois pontos). A recta s é concorrente com p em B e com p' em C (está definida por dois pontos). As rectas r e s não são complanares (não são paralelas nem concorrentes), pelo que p e p' não são complanares – logo, não são paralelas.

A mesma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M (-2; 3; 4).

x

y ≡ z

N2

r2

s2

s1

r1

M1

M2

N1

A recta auxiliar s paralela à recta r (derivada dos pontos A e M conhecidos e concorrentes com p e p’) localiza o ponto N, definindo a recta de perfil p’ paralela à recta de perfil p.

A1

A2

B1

B2

p1 ≡ p2p’1 ≡ p’2

Averigúa se as rectas de perfil p e p’ são ou não paralelas. Ambas as rectas estão contidas no plano de perfil π. A recta p está definida pelos pontos E (3; 1) e F (1; 2). A recta p’ está definida pelos pontos M (6; 2) e N (4; 3).

(e1)

Fr

Utilizou-se o rebatimento para o Plano Frontal de Projecção, obtendo-se a recta pr e p’r, que são paralelas, e por tanto as rectas p e p’ são também necessariamente paralelas.

x

p1 ≡ p2 ≡ p’1 ≡ p’2

E1

E2

F1

F2 ≡ M2

N1

M1

N2

≡ fπ ≡ hπ ≡ e2 ≡ fπr

≡ hπr

Er

Nr

Mr

pr

p’r