Parametrizacije skupa kvadratnih funkcija1

Poučak 79

4

Parametrizacije skupa kvadratnih funkcija1

Maja Starčević2

U nastavi matematike spominju se dvije vrste parametrizacije skupa kvadratnih funkcija. U ovom ćemo radu opisati njihove karakteristike, odnos njihovih parame-tara te kako promjena pojedinog parametra utječe na graf funkcije. Navest ćemo još neke načine na koje možemo parametrizirati skup kvadratnih funkcija.

Kvadratna funkcija je funkcija koja se u općenitom obliku uobičajeno zadaje s 2( ) , , , , 0.f x ax bx c a b c a (1)

Iz tog oblika lako prepoznajemo da je kvadratna funkcija zapravo polinom dru-gog stupnja, a parametri u definiciji funkcije predstavljaju koeficijente uz pojedine potencije polinoma. Graf kvadratne funkcije je parabola. Za svaki izbor parametara dobivamo parabolu koja je simetrična s obzirom na neki pravac koji je paralelan s y-osi koordinatnog sustava.

Ako želimo opisati izgled i položaj parabole, potrebno je opisati položaj njezinog tjemena, njezinu usmjerenost (je li otvorom okrenuta prema gore ili prema dolje) i širinu otvora. Parabolu u ovisnosti o parametrima možemo lako promatrati u Geo-Gebri. Parametre a, b i c mijenjamo pomoću postavljenih klizača. U traku za unos unesemo definiciju funkcije, a pomoću alata za određivanje ekstrema lako je ucrtati tjeme. Položaj tjemena pri promjeni nekog od parametara možemo postupno prou-čavati tako da tjemenu uključimo trag. Nakon toga možemo pomicati odabrani kli-zač ili ga animirati. Ako želimo taj rezultat dobiti brže, i da bude potpuniji, odabere-mo alat za crtanje lokusa te zatim odaberemo tjeme i klizač promatranog parametra. Nacrtat će se putanja tjemena pri promjeni tog parametra. Promjenu širine otvora parabole promatramo na analogan način, tako da čitavoj paraboli uključimo trag.

Kvadratna funkcija općenito se može zadati i u drugačijem obliku od (1). Naj-poznatiji oblik je

2( ) ( ) , , , , 0.f x A x B C A B C A (2)

1Predavanje održano na 8. kongresu nastavnika matematike RH, 2018. godine u Zagrebu2Maja Starčević, Prirodoslovno-matematički fakultet, Sveučilište u Zagrebu

Poucak 79.indd 4 26.9.2019. 17:24:59

5

Parametrizacije skupa...

Taj oblik često se proučava u nastavi. Kod takvog parametarskog zapisa kvadrat-ne funkcije lako je komentirati utjecaj promjene parametara na izgled grafa funkci-je. Vidimo da koeficijent A utječe na usmjerenost parabole i širinu otvora parabole (Slika 1.). Konkretno, ako je A > 0, parabola je okrenuta prema gore, a inače prema dolje. Otvor je širi što broj |A| ima manju vrijednost. Tjeme parabole je u točki (B, C). Promjenom parametra B parabolu pomičemo ulijevo (kad smanjujemo B), odnosno udesno (kad povećavamo B). Pritom se tjeme giba po pravcu y = C (Slika 2.). Nada-lje, promjenom parametra C pomičemo parabolu gore (ako povećavamo C) ili dolje (ako smanjujemo C). Tjeme se pritom giba po pravcu x = B (Slika 3.). Pri promjeni parametara B i C ne mijenjamo ni širinu ni usmjerenost parabole.

Slika 1.

Slika 2. Slika 3.

Ako je kvadratna funkcija zadana u obliku (2), lako dolazimo i do njezinih nultočaka. Pritom nije potrebno poznavati neku formulu ili raditi rastav trinoma.

Poucak 79.indd 5 26.9.2019. 17:24:59

Poučak 79

6

Naime, iz f(x) = 0 lako slijedi 2 ,

Cx B

A

odnosno, nultočke x1,2 jednake su

1,2C

x BA

(3)

pa za 0CA imamo dva različita realna rješenja

1,2 ,C

x BA

a za 0CA dobivamo kompleksno konjugirana rješenja

1,2 .C

x B iA

Kad je C = 0, imamo dvostruko realno rješenje x1,2 = B.

Neka je sada zadana kvadratna funkcija 2( )f x ax bx c , gdje je a ¹ 0. Zapi-šimo tu kvadratnu funkciju pomoću parametrizacije (2):

22 .f x ax bx c A x B C

Izjednačavajući koeficijente uz iste potencije dobivamo

2, 2 , ,a A b AB c AB C (4)

iz čega, zbog a ¹ 0, slijedi

2

, , .2 4b b

A a B C ca a

(5)

Dakle, svaka kvadratna funkcija na jedinstven se način može zapisati u obliku (2), a s (4) i (5) dane su redom formule za prijelaz iz parametrizacije (2) u parametri-zaciju (1) i obratno. Nadalje, uvrštavanjem (5) u (3) dobivamo

2 2

1,21 4

,2 4 2b b b b ac

x ca a a a

(6)

odnosno poznatu formulu za kvadratnu jednadžbu f(x) = 0 koja se koristi kad je funkcija f zadana u obliku (1). Vrstu nultočaka opet određujemo u ovisnosti o pred-

znaku izraza 2

2

44

C ac bA a

. U slučaju 2 4 0b ac imamo realna rješenja

21,2

14 ,

2 2b

x b aca a

a u slučaju 2 4 0b ac kompleksna rješenja

21,2 4 .

2 2b i

x ac ba a

Poucak 79.indd 6 26.9.2019. 17:24:59

7

Konačno, za 2 4 0b ac imamo dvostruko realno rješenje 1,2 2b

xa

.

Zapis kvadratne funkcije oblika 2f x ax bx c osnovni je zapis kvadratne funkcije i formula za rješenja pripadne kvadratne jednadžbe koju pamtimo, stoga odgovara tome obliku. Pitamo se je li i kod takve parametrizacije kvadratne funkcije moguće odrediti kako promjena nekog parametra utječe na graf funkcije. Odgovor na to pitanje možemo za početak naslutiti promatranjem parabole u GeoGebri. Zapi-šimo i koordinate tjemena parabole:

24

, , .2 4T Tb ac b

T x ya a

(7)

Vidimo da se promjenom parametra c parabola pomiče gore ili dolje (Slika 4.),

odnosno po pravcu 2b

xa

. Promjenom parametra a parabola se širi sa smanje-

njem vrijednosti |a| te je okrenuta prema gore ako i samo ako je a > 0 (Slika 5.). Pro-

mjenom tog parametra i tjeme parabole pomiče se po nekom pravcu (Slika 6.). Odre-

dimo jednadžbu toga pravca. Neka je prvo b ¹ 0. Tada je i xT ¹ 0 pa iz (7) imamo da

je 2 T

ba

x . Uvrštavanjem u izraz za yT dobivamo

2T Tb

y x c . Dakle, tjeme se

promjenom parametra a giba po pravcu .2b

y x c S obzirom da je xT ¹ 0, tjeme

prolazi kroz sve točke toga pravca osim kroz točku (0, c). Također primjećujemo da nagib toga pravca ovisi o parametru b, a odsječak na y-osi o parametru c. Specijalan slučaj je kad imamo b = 0. Tada je tjeme T = (0, c) pa promjenom parametra a samo utječemo na širinu otvora parabole i njezinu usmjerenost, na isti način kao i u slučaju kad je b ¹ 0, odnosno ne mijenjamo položaj tjemena.

Slika 4.


Poucak 79.indd 7 27.9.2019. 9:16:16

Poučak 79

8

Slika 5.

Slično, pomoću traga možemo primijetiti da promjenom parametra b parabo-la funkcije f ne mijenja širinu otvora ni usmjerenost, ali se njezino tjeme giba po nekoj drugoj paraboli (Slika 7.). Da bismo izveli jednadžbu te parabole, iz (7) izra-zimo 2 Tb ax pa uvrštavanjem u izraz za yT dobivamo 2

T Ty c ax . Dakle, pa-rabola po kojoj se giba tjeme ima jednadžbu 2y ax c , iste je širine otvora kao i parabola zadane funkcije f, ali je suprotno usmjerena i tjeme joj se nalazi u točki (0, c). Točka tjemena parabole funkcije f se promjenom parametra b može naći u bilo kojoj točki parabole 2y ax c .

Slika 6. Slika 7.

Pogledajmo i neke drugačije parametrizacije skupa kvadratnih funkcija. Uzmi-mo npr. parametrizaciju

21 1 1 1 1 1 11 , , , , 0.f x a x x b x c a b c a (8)

Provjerimo jesmo li na taj način opisali sve kvadratne funkcije. Za sve , , , 0a b c a tražimo 1 1 1 1, , , 0a b c a takve da je

2 21 1 11 .f x a x x b x c ax bx c

Poucak 79.indd 8 27.9.2019. 9:16:43

9

Izjednačavajući koeficijente uz iste potencije dobivamo

1 1 1 1 1, , ,a a a b b b c c (9)odnosno

1 1 1, ,a a b b a c a b c

pa se svaka kvadratna funkcija može zapisati i u obliku (8).

Zbog (6) i (9) kvadratna jednadžba f(x) = 0 ima rješenje

2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1,21 1

4 4.

2 2

a b a b a b c a b a b a cx

a a

Odredimo i kako promjena parametara a1, b1, c1 utječe na graf ovako zapisane kvadratne funkcije. Za početak iz (7) i (9) vidimo da su koordinate tjemena dane s

21 1 1 1 11 1

1 1

4, , .

2 4T T

a b c a ba bT x y

a a

Prvo gledamo kako promjena parametra a1 utječe na tjeme parabole funkcije f.

Neka je za početak b1 ¹ 0. Tada je 1

.2Tx Nadalje vrijedi

11 ,

2 1T

ba

x

iz čega dobivamo 21

1 1 .2 1

TT

T

b xy b c

x

Zaključujemo da se u slučaju b1 ¹ 0 tjeme giba po grafu funkcije

2

11 1

1, \ .

2 1 2b x

g x b c xx

Proučit ćemo svojstva te krivulje na dva načina, pomoću diferencijalnog računa te svođenjem njezine jednadžbe na jednadžbu u kojoj prepoznajemo krivulju drugog reda.

Za početak odredimo neka svojstva funkcije g koristeći njezine derivacije. Prva derivacija iznosi

1

2

2 1' .

2 1

b x xg x

x

Stacionarne točke funkcije g su prema tome x = 0 i x = –1. Za 1 0b je

' 0g x za , 1 0,x te je ' 0g x za 1

1, 0 \2

x

.

S druge strane, za 1 0b je ' 0g x za , 1 0,x te je ' 0g x za 1

1, 0 \2

x

.


Poucak 79.indd 9 26.9.2019. 17:25:00

Poučak 79

10

Dakle, za 1 0b funkcija g je rastuća na intervalima , 1 i 0, te

padajuća na intervalima 1

1,2

i 1

, 02

(Slika 8.). Za 1 0b funkcija g je pa-

dajuća na intervalima , 1 i 0, te rastuća na intervalima 1

1,2

i 1

, 02

(Slika 9.).

Slika 8. Slika 9.

Druga derivacija funkcije g je

13

2'' .

2 1

bg x

x

Neka je 1 0b . Tada je '' 0 0g i '' 1 0g pa funkcija g u točki x = 0 ima lokalni minimum, a u točki 1x lokalni maksimum.

Za 1 0b je '' 0 0g i '' 1 0g , odnosno funkcija g u točki x = 0 ima lokalni maksimum, a u točki x = –1 lokalni minimum.

U 12

x funkcija g nije definirana. Proučimo ponašanje funkcije g u okolini

te točke. Za 1 0b je

1 12 2

lim , lim .x x

g x g x

Za 1 0b je

1 12 2

lim , lim .x x

g x g x

Prema tome pravac 12

x vertikalna je asimptota funkcije g, a način približavanja

grafa funkcije g toj asimptoti ovisi o parametru b1.

Poucak 79.indd 10 26.9.2019. 17:25:01

11

Proučimo i ponašanje funkcije g u beskonačnosti. Kako za 1

0,2

x možemo pisati

11 1 ,

12

b xg x b c

x

za 1 0b vrijedi lim , lim ,

x xg x g x

a za 1 0b je lim , lim .

x xg x g x

Sa Slika 8. i 9. naslućujemo da bi funkcija g mogla imati i kosu asimptotu. Da bi postojala kosa asimptota y kx kad x , moraju postojati limesi

lim , lim .

x x

g xk g x kx

x

Računamo 1 1 1 1lim lim .

1 22x x

g x b c b bk

x xx

Nadalje, imamo i

1 1

1 1 13

lim lim .41

2 2x x

b bg x kx b c c

x

Dakle, funkcija g ima kosu asimptotu 1 11

32 4b b

y x c za x , a analo-

gno se dokazuje da je to kosa asimptota za x .

Time smo utvrdili osnovna svojstva funkcije g.

Primijetimo dodatno da je graf funkcije g krivulja koja ima jednadžbu

21 1 1 1 12 2 0.b x xy b c x y b c

Ovakav tip jednadžbe predstavlja krivulju drugog reda, ali s obzirom da sadrži član xy, osi simetrije krivulje nisu paralelne s nekom od koordinatnih osi. Potražit ćemo stoga koordinatni sustav u kojemu će zadana krivulja imati to svojstvo.

Dobit ćemo ga rotacijom postojećeg koordinatnog sustava za kut j (koji ćemo naknadno odrediti) oko ishodišta.

Označimo koordinate u novom koordinatnom sustavu s ', 'x y . Imamo vezu između koordinata cos ' sin ',

sin ' cos ' .x x yy x y j j

j j


Poucak 79.indd 11 27.9.2019. 9:17:06

Poučak 79

12

Tada jednadžba krivulje u novim koordinatama glasi

221 1

221

1 1 1 1 1 1

cos sin 2 ' sin 2 2 cos 2 ' '

sin sin 2 '

2 cos sin ' 2 sin cos ' 0.

b x b x y

b y

b c x b c y b c

j j j j

j j

j j j j

Da bismo poništili član koji sadrži ' 'x y , odaberimo rotaciju za kut j takav da je

1 sin 2 2 cos 2 0b j j , odnosno 1

22tg

bj .

Dakle, dobivamo jednadžbu

221 1' ' ' ' 0,m x n y px qy b c (10)

gdje je

2 21 1

1 1 1 1

cos sin 2 , sin sin 2

2 cos sin , 2 sin cos .

m b n b

p b c q b c

j j j j

j j j j

Nadopunjavanjem do kvadrata iz (10) dobivamo

22' ' ,m x u n y v d pri čemu je 2 2

1 1, , .2 2 4 4p q p q

u v d b cm n m n

Konačno, dobivamo jednadžbu

22

1 1

''1,

y vx um n

(11)

gdje je 1d

mm

i 1d

nn

.

Da bismo odredili o kojoj se krivulji drugog reda radi, potrebno je utvrditi odnos predznaka koeficijenata uz kvadratne članove u toj jednadžbi. Zapišimo prvo

1 1

1 1

cos 2 sin 2 ,2 2

cos 2 sin 2 .2 2

b bm

b bn

j j

j j

Dakle, imamo

221 1

2 21 1 2 2

1

2 21 1 2 2 2

1

cos 2 sin 24 2

cos 2 cos 2 sin 2 sin 24 4

cos 2 cos 2 2 sin 2 .4 4

b bmn

b bb

b bb tg

j j

j j j j

j j j j

tg

Poucak 79.indd 12 26.9.2019. 17:25:01

13

Sada koristimo formule

22

2

22

2sin 2 ,

1 21

cos 21 2

tgtg

tg

i uvrštavanjem

1

22tg

b dobivamo mn = –1. Dakle, u jednadžbi (11) brojevi m1

i n1 različitih su predznaka pa u njoj prepoznajemo jednadžbu hiperbole.

Na kraju proučimo i slučaj kad je b1 = 0. Tada je tjeme parabole funkcije f u točki 1

11

,2 4

aT c

te se promjenom parametra a1 tjeme giba po pravcu 12

x .

Kako je a1 ¹ 0, jedina točka tog pravca u kojoj se tjeme ne može naći je točka

11

,2

c

.

Sada pogledajmo kako promjena parametra b1 utječe na položaj grafa funkcije f. Imamo da je 1 1 12 Tb a x a , pa je

21 1 1 12 .T T Ty a x a x a c

Dakle, tjeme parabole funkcije f giba se po paraboli s jednadžbom

221 1 1 1 1 12 1y a x a x a c a x c

i prolazi kroz sve njezine točke (Slika 10.). Ta parabola ima otvor iste širine kao i parabola funkcije f, ali je suprotno usmjerena. Tjeme joj se nalazi u točki 11, c .

Konačno, kad mijenjamo parametar c1, tjeme parabole funkcije f pomiče se po

pravcu 1

1

12 2

bx

a (Slika 11.).

Slika 10. Slika 11.


tg

tgtg

tg

Poucak 79.indd 13 27.9.2019. 9:17:31

Poučak 79

14

Pogledat ćemo i jednu općenitu klasu parametrizacija. Želimo napraviti parame-trizaciju skupa kvadratnih funkcija oblika

2 2 211 21 31 12 22 32 13 23 33 ,f x d x d x d d x d x d d x d x da b g (12)

gdje su dij, i, j = 1,..., 3 neki odabrani realni brojevi , a a, b i g parametri takvi da je

11 12 13 0.d d da b g Brojevi dij dobro su odabrani ako sustav

11 12 13

21 22 23

31 32 33

d d d ad d d bd d d c

a b g

a b g

a b g ima rješenje za sve a, b, c Î , a ¹ 0.

Dakle, kod parametrizacije tipa (12) sve kvadratne funkcije mogu se zapisati kao linearna kombinacija prethodno odabranih triju polinoma stupnja najviše dva.

Primijetimo da prethodno spomenute parametrizacije 2f x ax bx c i 2

1 1 11f x a x x b x c pripadaju klasi parametrizacija (12), dok para-metrizacija 2f x A x B C ne pripada toj klasi.

Primjer 1.

Zadana je parametrizacija

2 2 21 1 1 1 1 13 2 2 3 3 , 0f x x x x x x xa b g a b g .

Pokažimo da su njome opisane sve kvadratne funkcije.

Rješenje.

Neka je 2 , 0.f x ax bx c a Iz

2 2 2 21 1 13 2 2 3 3f x x x x x x x ax bx ca b g

dobivamo1 1 1

1 1 1

1 1 1

3 22 3 3 .

ab

c

a b g

a b g

a b g Pomnožimo prvu jednadžbu s –3 i dodamo je drugoj te pomnožimo prvu jednadžbu s –2 i dodamo je trećoj. Dobivamo ekvivalentan sustav

1 1 1

1 1

1 1

2 32 .

aa b

a c

a b g

b g

b g Dodamo drugu jednadžbu trećoj i dobivamo ekvivalentan trokutasti sustav

Poucak 79.indd 14 27.9.2019. 9:17:56

15

1 1 1

1 1

1

2 35 .

aa b

a b c

a b g

b g

g Tada vidimo da je 1 5a b cg . Iz druge jednadžbe dobivamo 1 7 2a b cb , a iz prve jednadžbe onda imamo a1 = 3a – c. S obzirom da smo dobili rješenje sustava za sve moguće parametre a, b, c, parametrizacija je dobro postavljena.

Primjer 2.

Sada ispitujemo je li dobro zadana parametrizacija

2 2 22 2 2 2 2 23 2 2 3 4 , 0.f x x x x x x xa b g a b g

Rješenje.

Zadatak rješavamo analogno prethodnom. Ovaj put pripadni sustav izgleda

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 22 3 4 .

ab

c

a b g

a b g

a b g Analogno prethodnom primjeru prvo svodimo sustav na

2 2 2

2 2

2 2

2 32 2 ,

aa b

a c

a b g

b g

b g a zatim na

2 2 2

2 22 30 5 .

aa b

a b c

a b g

b g

Da bi sustav imao rješenje, treba vrijediti 5 0a b c . Dakle, pomoću zadane pa-rametrizacije ne možemo npr. prikazati kvadratnu funkciju 2 1f x x x pa pa-rametrizacija nije dobro zadana.

Za kraj napomenimo da je pomoću determinante lako vidjeti je li parametrizacija tipa (12) ispravna. Naime, ako je determinanta sustava

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12

31 32 33

d d dd d d d d d d d d d d d d d d d d d d d dd d d

različita od nule, parametrizacija je dobro zadana. U suprotnom će uvijek postojati neke kvadratne funkcije za koje ne postoje pripadni parametri. U primjeru 1 pripad-na determinanta ima vrijednost 1, dok je u primjeru 2 analogna vrijednost jednaka 0.


Poucak 79.indd 15 26.9.2019. 17:25:02

Poučak 79

16

Promotrimo i nekoliko parametrizacija skupa kvadratnih funkcija koje nisu tipa (12).

Primjer 3.

Zadane su parametrizacije

a) 22 2 2 2 2 2 2, 0;f x a x a b x a b c a

b) 23 3 3 3 3 3, 0;f x a x a b x a c a

c) 2 24 4 4 4 4, 0;f x a x a b x c a

d) 25 5 5 5 5 5 5 5, , 0;f x a b x a c x b c a b

e) 26 6 6 6 6 6, 0.f x a b x b c a b

Odredit ćemo koje parametrizacije opisuju čitav skup kvadratnih funkcija te ćemo za njih komentirati kako promjena parametara utječe na graf funkcije.

Rješenje.

a) Uzmimo kvadratnu funkciju oblika 2f x ax bx c za koju je a ¹ 0, b = 0 i c ¹ 0. Ako je možemo zapisati u zadanoj parametrizaciji, tada je 2 2 0a b b . Kako je a2 = a ¹ 0, imamo b2 = 0 pa je 2 2 2 0c a b c i dobivamo kontradikciju. Dakle, funkcije ovog oblika ne mogu se dobiti zadanom parametrizacijom pa ova parametrizacija nije korektna.

b) Neka je dana proizvoljna kvadratna funkcija oblika 2f x ax bx c , a ¹ 0. Ako ju je moguće zapisati u zadanoj parametrizaciji, onda je a = a3, b = a3 b3 i

c = a3 c3. Tada zbog a ¹ 0 vrijedi a3 = a, 3b

ba

, 3c

ca

. Prema tome, zapis je uvi-

jek moguć te imamo dobru parametrizaciju skupa kvadratnih funkcija.

Pogledajmo kako promjena parametara utječe na graf funkcije f. Iz (7) dobivamo koordinate tjemena

2

3 3 3 3 34, , .

2 4T Tb a c a b

T x y

Promotrimo što se događa kad mijenjamo parametar b3. Kako je 3 2 Tb x , ima-mo 2

3 3 3T Ty a c a x . Prema tome, ako mijenjamo parametar b3, tjeme parabole pomiče se po paraboli s jednadžbom 2

3 3 3y a x a c koja ima otvor iste širine kao i parabola funkcije f, suprotno je usmjerena od parabole funkcije f, a tjeme joj je u točki 3 30, .a c S druge strane, ako mijenjamo parametar c3, tjeme parabole

funkcije f giba se po pravcu 3

2b

x . Konačno, ako mijenjamo parametar a3 i

Poucak 79.indd 16 26.9.2019. 17:25:02

17

ako je 23 34 0c b , tjeme se također giba po pravcu 3

2b

x , ali ne prolazi kroz

točku 3 , 02b

, dok se u slučaju 23 34 0c b tjeme nalazi u točki 3 , 0 .

2b

Promjenom parametra a3 mijenjaju se i usmjerenost i širina parabole. Parabola se širi kad 3a postaje manji i okrenuta je prema gore ako i samo ako je 3 0.a

c) Neka je zadana funkcija 2f x ax bx c takva da je a > 0 i b < 0. Ako je možemo zapisati u zadanoj parametrizaciji, onda je 4a a i 2

4 4a b b pa zaklju-čujemo da je 0b i dobivamo kontradikciju. Dakle, funkcije zadanog oblika nije moguće zapisati na taj način, stoga ova parametrizacija nije dobra.

d) Neka je dana funkcija 2f x ax bx c takva da je abc < 0. Pretpostavimo da je možemo zapisati u zadanoj parametrizaciji. Imamo a = a5 b5, b = a5 c5, c = b5 c5. Množenjem ovih jednakosti dobivamo 25 5 5 0a b c abc , što je očito kontra-dikcija. Dakle, ni ova parametrizacija nije dobra.

e) Neka je 2f x ax bx c , a ¹ 0 proizvoljna kvadratna funkcija. Ako je za-

pisana u zadanoj parametrizaciji, onda vrijedi 6 6a b a , 6 6 62b a b b ,

26 6 6 6 .b a b c c Tada je 6 2

bb

a , 6 2

ba a

a ,

2

6 4b

c ca

. Dakle, zapis

je uvijek moguć pa je parametrizacija dobro zadana. Tjeme parabole funkcije f je

u točki 6 6,b c . Promjenom parametra a6 tjeme parabole ne mijenja položaj, ali parabola mijenja širinu i/ili usmjerenost. Parabola je usmjerena prema gore ako i samo ako je 6 6 .a b Parabola se sužava ako se vrijednost 6 6a b povećava. Preciznije, ako je 6 6a b i parametar a6 se povećava, otvor parabole se sužava. Također, ako je 6 6a b i koeficijent a6 se smanjuje, otvor parabole opet se suža-va. Promjenom parametra b6 tjeme parabole kreće se po pravcu y = c6 te se pritom ne može naći jedino u točki 6 6,a c . Ujedno se mijenja i širina i/ili usmjerenost parabole. Parabola je okrenuta prema gore ako i samo ako je 6 6b a i sužava se ako se vrijednost 6 6a b povećava. Konkretno, ako je 6 6b a i parametar b6 se povećava, otvor parabole se sužava. Također, ako je 6 6b a i koeficijent b6 se smanjuje, otvor parabole se opet sužava. Promjenom parametra c6 tjeme parabo-le kreće se po pravcu x = b6 te taj parametar ne utječe ni na njezinu širinu ni na usmjerenost.


Poucak 79.indd 17 26.9.2019. 17:25:03

Documents

Parametrizacije skupa kvadratnih funkcija1