Upload
ognjen-gvozdenovic
View
1.682
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
� Realne funkcije više promjenljivih
� Zadatak optimizacije
� 16 časova
� Literatura:
Primjenjena matematikaPrimjenjena matematikaPrimjenjena matematikaPrimjenjena matematika: Barnet, Ziegler,Byleen
Osnovne metode matematičke ekonomijeOsnovne metode matematičke ekonomijeOsnovne metode matematičke ekonomijeOsnovne metode matematičke ekonomije, Alpha Chiang
� Površina pravougaonika P(a,b)=ab
� Iznos na računu A(P,r,t,n)=P(1+r/n)nt
� Srednja brzina v(s,t)=s/t
� Zapremina valjka V(r,h)=r2hπ
Cobb-Douglas funkcija proizvodnje za opis � Cobb-Douglas funkcija proizvodnje za opis količine proizvoda f(x,y)=kxmyn
k,n,m pozitivne konstante, m+n=1, x –utrošene jedinice rada, y-utrošene jedinice kapitala
� ….
� Naći funkciju mjesečnog prihoda R(x,y) ako su date jednačine zavisnosti cijene i potražnje za dvije vrste proizvoda
p=200-5x+2yq=100+x-2y
gdje su p, q cijene prvog i drugog proizvoda (redom) u zavisnosti od x-tražnje prvog, gdje su p, q cijene prvog i drugog proizvoda (redom) u zavisnosti od x-tražnje prvog, odnosno y-tražnje drugog proizvoda.� Ako je funkcija mjesečnog troška
C(x,y)=500+3x+4y naći funkciju profita P(x,y) i vrijednost profita za nivo tražnje x=10, y=5.
� Posmatramo funkciju y=f(x1, x2,…, xn-1, xn)
� Ako promjenljiva xi pretrpi promjenu ∆xi, a ostale promjenljive ostaju nepromjenjene,tada y trpi promjenu. Količnik
� predatvlja srednju promjenu( ) ( )1 1,..., ,.., ,..., ,..,i i n i n
i i
f x x x x f x x xy
x x
+ ∆ −∆=
∆ ∆
� Granična vrijednost
je parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj xi
( ) ( )1 1
0
,..., ,.., ,..., ,..,lim
i
i i n i n
xi
f x x x x f x x x
x∆ →
+ ∆ −
∆
� Oznake, ,
i ix
i
ff f
x
∂
∂
� Naći parcijalne izvode funkcije
( )
3
3 4
( , ) 4 ln
ln( , , ) z x y
f x y x y y x
x yz zy xf x y z e − −
= +
+=( )ln
( , , )2
z x yx yz zy x
f x y z ez xy
− −+
=−
Parcijalni izvod
predstavlja koeficijent pravca tangente krive dobijene kao presjek ravni y=b i površi (grafik funkcije z=f(x,y)) u tački M(a,b,z(a,b))
( , )z
a bx
∂
∂
funkcije z=f(x,y)) u tački M(a,b,z(a,b))
� Produktivnost proizvoñača data je funnkcijom proizvodnje
gdje je x utrošak rada, a y utrošak kapitala.
Odrediti graničnu produktivnost po osnovu rada
0 . 2 0 . 8( , ) 2 5f x y x y=
� Odrediti graničnu produktivnost po osnovu rada
� Odrediti graničnu produktivnost po osnovu kapitala
� Odrediti granične produktivnosti, ako preduzeće trenutno koristi 1000 jedinica rada i 2000 jedinica kapitala.
� Qd- potrožnja
� Qs –ponuda
� P- cijena
� Model Qd=QsQd=Qs
Qd=a-bP
Qs=-c+dP
Koliko će se promjeniti endogena varijabla kad se promjeni neki od parametaraa, b, c, d?
� Posljednja dva parcijalna izvoda drugog reda nazivaju se mješovitim parcijalnim izvodima drugog redadrugog reda
� Ako je funkcija f neprekidna tada važi:
� Za funkcije
3( , ) 4 lnf x y x y y x= +
naći parcijalne izvode drugog reda
3( , ) 4 lnf x y x y y x= +
� Za koliko će se promjeniti dijagonala pravougaonika sa stranicama x=6m, y=8m, ako se prva stranica poveća za 2mm, a druga smanji za 5mm.
� Jednačina tangentne ravni površi z=f(x,y) u tački M(x0,y0,z0) (z0=f(x0,y0) )
gdje su gdje su
� Jednačina prave koja je normalna na tangentnu ravan u tački M zove se normala površi.
� Njena jednačina je:
� Naći tangentnu ravan površi
u tački M(2,1,z(2,1))
( ){ }3 3, , ( , ) | ( , ) 3x y z x y z x y x y= −
u tački M(2,1,z(2,1))