“Modelos de flujo de redes”

Unidad 4Modelos de Optimización de Recursos

Catedrático. Arq. Marín Priego Luis Alfonso

Integrantes:

Couoh Pool Saúl Costa Castillo Osman Guillermo Dzul Baeza José Gregorio Ek Aldana Marco Emiliano Gamboa Angelito Lizzeth

Ingeniería Civil 3ª

4.1. El modelo del camino más corto

Se trata de un modelo de red (debido a la forma de diagrama de red usado para su representación), donde cada arco o rama que une dos nodos (elementos) que forman dicha red, viene caracterizado por un valor que representa la distancia (costo o tiempo) desde el nodo origen hasta el nodo destino. Si denominamos ruta o camino, a cualquier secuencia de arcos que conecte el nodo origen con el destino, la resolución consiste en encontrar la más corta posible. Usualmente los arcos no están orientados, es decir, se permite el tráfico en ambos sentidos, salvo que se indique lo contrario (por ejemplo en una calle de dirección.

Los problemas conocidos como problemas del camino mínimo o camino más

corto, tratan como su nombre indica de hallar la ruta mínima o más corta entre dos

puntos. Este mínimo puede ser la distancia entre los puntos origen y destino o

bien el tiempo transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. Se aplica

mucho para problemas de redes de comunicaciones.

Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el método del Simplex, sin

embargo existen otros métodos más eficientes como por ejemplo el algoritmo de

Hijastra o el de Bilman-Ford.

Ejemplo

Una persona tiene que desplazarse a diario de un pueblo 1 a otro 7. Está

estudiando cual es el trayecto más corto usando un mapa de carreteras. Las

carreteras y sus distancias están representadas en la figura siguiente:

Se determinan las variables de decisión, en este caso: Sij: acción de desplazarse del pueblo i al j (0 indica que no hay desplazamiento y 1

que sí hay desplazamiento)

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones

de las variables de decisión. Dichas restricciones se deducen del balance entre los

posibles caminos que parten desde cada pueblo y los que llegan hasta él

(obviando los caminos que nos devuelvan al punto de partida y los que provengan

del punto de destino): Balance de caminos del pueblo 1: X12 + X13 = 1 Balance de caminos del pueblo 2: X24 + X25 – X12 – X42 – X52 = 0 Balance de caminos del pueblo 3: X34 + X36 – X13 – X43 – X63 = 0 Balance de caminos del pueblo 4: X42 + X43 + X45 – X24 – X34 – X54 = 0 Balance de caminos del pueblo 5: X52 + X54 + X57 – X25 – X45 =

Balance de caminos del pueblo 6: X63 + X67 – X36 = 0 Balance de caminos del pueblo 7: – X57 – X67 = -1

Se expresan todas las condiciones implícitamente establecidas por la naturaleza

de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan

tomar determinados valores,… En este caso las restricciones son que las

variables deben ser booleanas (0 no se toma el camino, 1 se toma), y por lo tanto

no pueden ser negativas: Sij ≥ 0 Sij es booleano

Se determina la función objetivo:

Minimizar Z = 12·X12 + 4·X13 + 5·X24 + 3·X25 + 2·X34 + 10·X36 + 5·X42 + 2·X43 + 10·X45 + 3·X52 + 10·X54 + 2·X57 + 10·X63 + 4·X67

4.2. El modelo de flujo máximo

En teoría de grafos, un grafo dirigido con pesos es también conocido como una red.En los problemas de flujo en redes, las aristas representan canales por los que puede circular cierta cosa: datos, agua, coches, corriente eléctrica, etc. Los pesos de las aristas representan la capacidad máxima de un canal: velocidad de una conexión, volumen máximo de agua, cantidad máxima de tráfico, voltaje de una línea eléctrica, etc.; aunque es posible que la cantidad real de flujo sea menor.El problema del flujo máximo consiste en lo siguiente: dado un grafo dirigido con pesos, G = (V, A, W), que representa las capacidades máximas de los canales, un nodo de inicio s y otro de fin t en V, encontrar la cantidad máxima de flujo que puede circular desde s hasta t. En la figura 5.33 se muestra un ejemplo de problema y la solución. El grafo de la izquierda, G, pintado con líneas continuas, representa las capacidades máximas; sería la entrada del problema. El grafo de la derecha, F, representado con líneas discontinuas, indica los flujos reales; es una posible solución para el problema.

La solución del problema debe cumplir las siguientes propiedades:La suma de los pesos de las aristas que salen de s debe ser igual a la suma de lasAristas que llegan a t. Esta cantidad es el flujo total entre s y para cualquier nodo distinto de s y de t, la suma de las aristas que llegan al nodo

Debe ser igual a la suma de las aristas que salen al mismo.Los pesos de las aristas en F no pueden superar los pesos máximos indicados en G. Es decir, si CG(a, b) es el peso de la arista <x, y> de G y CF (a, b) es el peso de la misma arista en F, entonces CF (a, b) ≤ CG(a, b).Una vez planteado el problema, vamos a estudiar la forma de resolverlo. En primer lugar propondremos un algoritmo intuitivo, y a continuación analizaremos si garantiza la solución ´optima o no. Un posible algoritmo para calcular el flujo máximo La idea de los flujos, que van desde s hasta t, es muy próxima a la de un camino por el que circula cierto fluido. Cada unidad de flujo que llega hasta un nodo, debe salir por a una de sus aristas. Por lo tanto, un posible algoritmo podría basarse en encontrar caminos (s, v1, v2,..., Vm, t) en G. Por ese camino podemos mandar cierta cantidad de flujo. ¿Cuanto? Pues todo lo que quepa. Por ejemplo, si en el grafo G de la figura 5.33 tomamos el camino (s, a, b, t), vemos que las aristas por las que pasa tienen pesos: 5, 2, 4. El máximo flujo que podemos mandar por ese camino está limitado por el mínimo de las capacidades por las que pasa el camino; en este caso 2. De esta forma, el algoritmo iría encontrando caminos en G, añadiendo los flujos correspondientes al grafo F y quitándolos de G. YAsí seguiría hasta que no queden más caminos para enviar flujo.

La estructura del algoritmo que lleva a cabo esta idea sería la siguiente:1. Sea G = (V, A, CG) el grafo de capacidades máximas. Inicializar el grafo de flujosReales, F, con los mismos nodos y aristas de G, pero con pesos 0. Es decir, CF (v, w) = 0; ∀ <Vw> ∈ A. Este grafo guardar ‘a el resultado del algoritmo.2. Buscar un camino en G, desde s hasta t, pasando por aristas cuyo peso sea mayor que 0. Este camino es denominado camino creciente. Supongamos que el camino es (s, v1, v2,..., Vm, t). Tomamos m = min {CG(s, v1), CG (v1, v2),..., CG (Vm, t)}. Es decir, por este camino pueden fluir hasta m unidades de flujo, como máximo.3. Para cada arista <Vw> del camino anterior, añadir m al coste de la arista correspondiente en F y quitarlo en G. Es decir, CF (v, w) = CF (v, w) + m; CG (v, w) = CG (v, w) − m; para todo <Vw> del camino del paso 2.

4. Volver al paso 2 mientras siga existiendo algún camino creciente entre s y t en G. Todavía nos queda por determinar la forma de encontrar el camino creciente delPaso 2. Una vez más, la búsqueda primero en profundidad puede sernos de utilidad. Para encontrar un camino creciente, podríamos iniciar una búsqueda en profundidad en G a partir del nodo s. Cuando la búsqueda llegue a t ya tenemos un camino de s a t 12. Además, el procedimiento bps debería ser modificado para tener en cuenta solo las aristas con pesoMayor que cero. Por otro lado, está claro que entre s y t puede haber más de un camino creciente. Esta primera versión del algoritmo indica que se encuentre un camino cualquiera. El algoritmo ser ‘a ´optimo si, independientemente de los caminos elegidos en el paso 2, siempre encuentra el flujo máximo. Vamos a ver que no siempre ocurre así. Ejemplo 5.6 Vamos a aplicar la primera versión del algoritmo del flujo máximo sobre el grafo G de la figura 5.33a). En la figura 5.34 se muestra una ejecución posible del algoritmo, donde no se alcanza la solución ´optima.

En la primera ejecución del paso 2, se encuentra el camino (s, c, b, t). Los costes de las aristas son: 4, 4, 4; así que m = 4. Esta cantidad se añade en F (figura 5.34d) y se quita de G (figura 5.34c). Si intentamos buscar otro camino entre s y t, en el grafo de la figura 5.34c), que pase por aristas con peso mayor que cero, vemos que no existe ninguno. Por 12El camino estaría en la pila de llamadas recursivas. Lo más adecuado sería ir almacenando en un arraya los nodos que están en la rama actual de la llamada a bpp.246 Capitulo 5. Grafos lo tanto, el algoritmo acabaría. El resultado del algoritmo es que el flujo total encontrado es 4.

En consecuencia, el algoritmo no encuentra el ´optimo, que como vimos en la figura5.33 es 6 unidades de flujo. No obstante, si los caminos hubieran sido elegidos en otro orden sí que se habría obtenido el ´optimo. En concreto, se puede comprobar que el resultado de la figura 5.33 se alcanzaría si seleccionamos los siguientes caminos, por orden: (s, a, b, t)Con peso 2; (s, c, d, t) con peso 2; (s, c, d, b, t) con peso 1; (s, c, b, t) con peso 1.Algoritmo de flujo máximo deshaciendo caminosLa primera versión del algoritmo es no determinista: en el paso 2 se pueden elegirVarios caminos y, dependiendo de cuál se coja, el algoritmo alcanza la solución ´optima o no. Para solucionar el problema podemos hacer una pequeña modificación en el algoritmo. El sentido de esta modificación es que si se coge un camino, pero que luego resulta ser una mala decisión, se pueda deshacer el flujo enviado por ese camino.En particular, la modificación afecta a la forma de actualizar CG dentro del paso 3.Cada vez que encontramos un camino creciente, quitamos m unidades de flujo de G y las ponemos en F. Ahora, además, vamos a indicar en G que se pueden deshacer m unidades de flujo a través de las aristas del camino. El flujo que se deshace tendrá el sentido opuesto al de añadir; es decir, si se añade m unidades en <Vw> en F, entonces se quitan m de <Vw> en G y se añaden m unidades de deshacer para la arista <x, y> en G.En definitiva, este cambio solo implica modificaciones dentro del paso 3 del algoritmo, que ahora debería decir:3 Para cada arista <Vw> del camino anterior, añadir m al coste de la arista correspondiente en F, quitarlo en G y ponerlo en G en sentido contrario. Es decir,CF (v, w) = CF (v, w) + m; CG (v, w) = CG (v, w) − m; CG (w, v) = CG (w, v) + mPara todo <Vw> del camino del paso 2.Hay que tener en cuenta que aquí estamos suponiendo que el peso de una aristaInexistente es 0. De esta forma, cuando sumamos m a CG (w, v), pero <Vw> no está en G, sería equivalente a crear una nueva arista con peso m.Esta nueva versión del algoritmo no deja de ser no determinista, pero garantiza siempre la solución ´optima. Aunque no lo vamos a demostrar, vamos a ver que se resuelve correctamente el problema que vimos en el ejemplo 5.6.Ejemplo 5.7 Vamos a aplicar la segunda versión del algoritmo del flujo máximo –la que permite deshacer caminos– sobre el grafo G de la figura 5.33a). Un posible resultado del algoritmo se muestra en la figura 5.35.Igual que en el ejemplo 5.6, consideramos que en la primera ejecución del paso 2 se encuentra el camino (s, c, b, t), con m = 4. Esta cantidad se añade en F (figura 5.35d). Ahora, en G se quita esa cantidad en sentido directo y se añade en sentido contrario (figura 5.35c).A continuación podemos encontrar un nuevo camino, que pasa por la arista de“deshacer” <x, y>. El camino es (s, a, b, c, d, t), con pesos: 5, 2, 4, 3, 2. Por lo tanto,

m = 2. Se añade a F13 (figura 5.35f) y se actualiza G (figura 5.35e). En el siguiente paso, ya no existe ningún camino creciente, luego acaba el algoritmo.Si comparamos la solución obtenida con la mostrada en la figura 5.33, vemos que no coinciden. No obstante, ambas tienen el mismo valor de flujo total, 6, y ambas son óptimas. En perfectamente posible, como en este ejemplo, que la solución óptima no sea única.

4.3. El modelo del árbol de expansión mínima

El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de

redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o

indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea mínima

(entiéndase por longitud del arco una cantidad variable según el contexto

operacional de minimización, y que puede bien representar una distancia o unidad

de medida).

 

Sean 

N = {1, 2,3,..., n} el conjunto de nodos de la red.

Cok= Conjunto de nodos que se han enlazado de forma permanente en la

iteración k

Cok= Conjunto de nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente.PASO CERO (0): CONCEPTUALIZACIÓN DEL ALGORITMO

Definir los conjuntos C0 = {ø} y Č0 = {N}, es decir que antes del paso 1 no se han

enlazado de forma permanente nodo alguno, y por ende el conjunto que

representa a los nodos que hacen falta por enlazarse de forma permanente es

igual a la cantidad de nodos que existen en la red.

PASO 1:

Se debe de escoger de manera arbitraria un nodo en el conjunto Č0 llamado i el

cual será el primer nodo permanente, a continuación se debe de actualizar el

conjunto C1 = {i}, que significa que al tiempo en que el conjunto C1 gana el

elemento i el conjunto Č0 pierde el elemento i por ende ahora será igual a Č1 = N -

{i}, además se debe actualizar el subíndice de los conjuntos k, el cual ahora será

igual a 2.

PASO 2: PASO GENERAL "K"

Se debe de seleccionar un nodo j del conjunto ČK-1 ("k-1" es el subíndice que

indica que se está haciendo referencia al conjunto de la iteración inmediatamente

anterior) el cual tenga el arco o ramal con menor longitud con uno de los nodos

que se encuentran en el conjunto de nodos de enlace permanente CK-1. Una vez

seleccionado se debe de enlazar de forma permanente lo cual representa que

pasa a formar parte del conjunto de enlaces permanentes y deja de formar parte

del conjunto que todavía se debe conectar para lograr la expansión. Al actualizar

el algoritmo en este paso los conjuntos deben de quedar de la siguiente forma.

 

CK = CK-1 + {j} mientras que ČK = ČK-1 - {j}

El paso general que define k que al mismo tiempo representa a las iteraciones

debe de ejecutarse toda vez que el conjunto ČK no sea vacío, cuando este

conjunto sea igual a vacío se tendrá el árbol de expansión mínima.

 

El entendimiento del algoritmo desde el punto de vista algebraico no es quizá el

más simple, sin embargo mediante el ejemplo gráfico se verá que es un algoritmo

muy sencillo de elaborar.

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

EL PROBLEMA

 

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con

la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las

afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba

hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal

no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de

servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de

vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con

las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que

cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del

acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver

la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la

instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo

Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al

plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de

los ductos implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos

mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las

distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles

capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuación.

Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para

satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.

El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos

en teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total

de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.

PASO 0:

Se definen los conjuntos iniciales C0 = {ø} que corresponde al conjunto de nodos

enlazados de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č0 = {N

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por

enlazar de manera permanente en la iteración indicada en el subíndice.

 

PASO 1:

Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č0,

en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que

algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos

iniciales, por ende C1 = {i} = {1} y Č0 = {N - i} = {2, 3, 4, 5, 6, 7,8},

actualizamos k por ende ahora será igual a 2.

 

PASO 2:

Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del

paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre

enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual

ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que

tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan

el conjunto ČK-1(es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso

es igual a 2, por ende ČK-1= Č1) con los nodos de enlace permanente del conjunto

Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta

escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que

enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.

 

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C2 = {1,2} y Č2 = {3, 4, 5, 6, 7,8}

 

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente

iteración. Ahora se seleccionará un nuevo nodo j del conjunto Č2que presente el

enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que se encuentran en el

conjunto C2.

Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe

empate entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso

se representa nuestra elección con un arco de color verde, enlazando de forma

permanente ahora el nodo 4.

 

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C3 = {1, 2,4} y Č3 = {3, 5, 6, 7,8}

 

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente

iteración.

Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la línea azul

interrumpida irá trazando nuestro árbol de expansión final. Dado a que el arco

menor es el de longitud 3, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 5.

 

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C4 = {1, 2, 4,5} y Č4 = {3, 6, 7,8}

 

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente

iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 7.

 

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C5 = {1, 2, 4, 5,7} y Č5 = {3, 6,8}

 

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente

iteración.

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Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 6.

 

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C6 = {1, 2, 4, 5, 7,6} y Č6 = {3,8}

 

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente

iteración.

www.ingenieriaindustrialonline.com

Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazará de manera

permanente el nodo 3.

 

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C7 = {1, 2, 4, 5, 7, 6,3} y Č7 = {8}

 

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la última iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 8.

 

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C8 = {1, 2, 4, 5, 7, 6, 3,8} = {N} y Č8 = {ø}

Por ende se ha llegado al árbol de expansión mínima

Árbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilómetros de ductos.RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANSIÓN MÍNIMA MEDIANTE

4.4. Uso de software

WINQSB

Como hemos mencionado en módulos anteriores la existencia de herramientas de

resolución de problemas de programación matemática como Wons dejan que el

aprendizaje de la resolución manual de los algoritmos de redes se justifique solo

para fines académicos o de profundización. Por ende una vez vista la metodología

manual de resolución del algoritmo atinente al árbol de expansión mínima se hace

necesario en aras de eficiencia mostrar la resolución de este tipo de problemas

mediante Wons.

 

El primer paso para resolver un problema de transporte mediante Wons es

ingresar al módulo Network Modelan.

 

EL PROBLEMA

 

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con

la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las

afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba

hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal

no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de

servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de

vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con

las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que

cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del

acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver

la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la

instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo

Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al

plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de

los ductos implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos

mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las

distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles

capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuación.

Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para

satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.

INGRESANDO A WINQSB

 

El primer paso para resolver un problema de transporte mediante Wons es

ingresar al módulo Network Modelan.

Luego debemos seleccionar la opción Mínima Spinning Trae (Árbol de Expansión

Mínima). Además en este submenú debemos de especificar el nombre del

problema y el número de nodos. En nuestro caso el número de nodos es igual a 8,

luego clic en OK.

 

Una vez se realiza el paso anterior se  abrirá una ventana en la cual aparecerá la

siguiente matriz:

En esta matriz se deben de consignar los valores de los ramales que unen las

conexiones entre los nodos correspondientes, según el contexto de nuestro

problema se deben de consignar las distancias entre los nodos si es que dichas

conexiones existen de lo contrario en caso que la conexión no exista se debe dejar

la celda en blanco. Hay que tener en cuenta que las distancias entre los nodos en

este caso son exactamente conmutativas, es decir que si el nodo fuente es 2 y el

destino es 4 la distancia existente entre estos es exactamente igual a la distancia

existente entre un nodo fuente 4 y un nodo destino 2, sin embargo esta propiedad

debe de especificarse en la matriz consignando los valores correspondientes a

una conexión dos veces, es decir en la celda [Fromm 1 - To 4] se debe de

consignar la distancia 6, además debe de consignarse la misma distancia en la

celda [Fromm 4 - To 1].

Luego damos clic en Salve and Analice y tendremos la siguiente ventana solución

inmediatamente.

Podemos cotejar los resultados con los obtenidos de manera manual, 21

kilómetros de ductos es la distancia total una vez ejecutado el algoritmo del Árbol

de Expansión Mínima.

ALGORITMO DE LA RUTA MÁS CORTA

El nombre que distingue este conjunto de problemas de por sí es bastante

sugestivo, existen de forma manual algoritmos capaces de resolver tanto

problemas de redes que presentan ciclos como de redes que no, entre los más

conocidos se encuentran los algoritmos de Hijastra y Floyd siendo el segundo más

general que el primero. Sin embargo la complejidad de los algoritmos, en la

práctica la complejidad que alcanzan las redes a ser resueltas mediante el

algoritmo de la ruta más corta, y las herramientas de resolución de problemas de

programación matemática hacen que la enseñanza de dichos algoritmos manuales

sea muy ineficiente.

 

Ya en un módulo anterior Problema de Transbordo se ha planteado la resolución

del algoritmo de la ruta más corta mediante programación lineal, por esta razón en

este espacio nos enfocaremos en efectuar la solución mediante Wons con la

facilidad que caracteriza al software.RESOLUCIÓN DEL ALGORITMO DE LA RUTA MÁS CORTA MEDIANTE WINQSB

El módulo del Wons que permite la resolución del algoritmo de la ruta más corta es

el Network Modelan, el cual utiliza una interfaz muy sencilla en forma de matriz en

la cual hay que ingresar el valor de los ramales (dependiendo del contexto este

valor puede representar distancias, tiempo, costos etc...) correspondiente a cada

relación de un nodo con otro.

EL PROBLEMA

 

Un minero ha quedado atrapado en una mina, la entrada a la mina se encuentra

ubicada en el nodo 1, se conoce de antemano que el minero permanece atrapado

en el nodo 9, para llegar a dicho nodo hay que atravesar una red de túneles que

van conectados entre sí. El tiempo de vida que le queda al minero sin recibir

auxilio es cada vez menor y se hace indispensable hallar la ruta de acceso al nodo

9 más corta. Las distancias entre nodos de la mina se encuentran en la siguiente

gráfica dadas en cientos de metros. Resuelva mediante cualquier paquete de

herramientas de investigación operativa que permita establecer la ruta más corta

para poder así auxiliar al minero.

PASO A PASO

Primero se debe ingresar al módulo Network Modelan del paquete Wons, una vez

nos encontremos en este aparecerá el menú que se muestra en la siguiente

gráfica, menú en el cual tendremos que seleccionar la opción Shorts Pat

Problema (Problema de la ruta más corta).

Además en este menú emergente debemos de ingresar la cantidad de nodos que

conforman la red del problema y tenemos la posibilidad de asignarle un nombre al

mismo, en nuestro caso la cantidad de nodos de la red es igual a 9; clic en OK y

aparecerá la siguiente ventana.

En esta ventana se debe ingresar la magnitud de cada ramal correspondiente a

cada relación entre los nodos, tal como veremos a continuación.

Damos clic en Salve and Analice y tendremos un menú emergente en el cual

tendremos que seleccionar el nodo fuente y el nodo destino, tal como se muestra

en la siguiente gráfica.

Una vez efectuada la selección tendremos la opción de ver el tabulado final y la

opción de ver un paso a paso gráfico; para el tabulado final clic en SOLVE y para

el paso a paso clic en SOLVE AND DISPLAY STEPS.

Podemos cotejar la solución que obtuvimos al plantear este problema como un

modelo de transbordo con esta solución. La eficiencia se encuentra determinada

en escoger la herramienta adecuada para resolver el problema planteado.