MA34B-Estadstica - Pauta Control 2Profesora: N. Lacourly, R.
Abt
Duracin: 2:30 horas Fecha: 18/08/08Sin calculadora
Problema 1
1. Verdadero: En efecto, sea V1 y V2 son las varianzas de la
media muestral con y sin reemplazorespectivamente con un tamao de
poblacin igual a N y 2 la varianza de la poblacin.V1 =
2
n y V2 =NnN1
2
n .
2. Verdadero. Alternativa 1 (por convergencia): La media
muestral converge casi seguramente almomento terico de orden 1, que
en este caso corresponde a , y por lo tanto converge enprobabilidad
tambin, con lo cual se prueba lo pedido. Alternativa 2: Se tiene
que E(X) =E(X) = y V ar(X) = 2/n 0 cuando n, por lo tanto converge
en media cuadrticaa 0, y por lo tanto es consistente por
construccin.
3. En efecto, se tiene que
f(x|) ={
1 si x + 10 si no fn(x|) =
{1 si x1, x2, . . . , xn + 10 si no
Luego se tiene que la funcin de verosimilitud es mxima, es decir
1, cuando Max{Xi} 1 Min{Xi}, y por ende no es nico.
4. Si yi = axi + b, Gn(x) =#{yiy}
n =#{axi+by}
n
Gn(x) =
#{xi yba }
n si a>0#{xi yba }
n si a01 Fn(yba ) si a01 F (yba ) si a
6. x N(, 2/n). Cuando 2 = 9, = 2 y n = 100, x N(2, 9/100).Si z
N(0, 1), P(1,95 x 1,96) = 0,95. Luego, como z = x2
9/100= 103 (x 2), P(1,96
103 (x 2) 1,96) = 0,95. Se deduce que u = 3101,96 = 0,588.
Problema 2
1. E(X) = , luego 1 = x. E(x) = E(X) = y var(x) = n . El
estimador es consistente.
2. La funcin de verosimilitud es:
fn =Pxien
x1!...xn!
Se calcula log(fn) y deriva. Se obtiene: 2 = x.
3. Bajo prdida cuadrtica, el estimador de Bayes corresponde a la
esperanza de |X, obtenida atravs de la distribucin a posteriori, la
cual cumple que:
(|x) fn(x|)pi() = Pxien1e
|X Gamma(, ), de donde
E(|X) =xi + n+
=xi + 1n+ 2
4. 3 = nn+1 x. E(3) =nn+1. Es sesgado, pero asintticamente
insesgado.
V ar(3) =n2
(n+ 1)2V ar(x) =
n
(n+ 1)2 0
El estimador es consistente.
ECM(3) = V ar(3) + (E(3) )2 = n(n+ 1)2 + (n
n+ 1 1)22 =
2
n+ 1=(n+ )(n+ 1)2
ECM(2) = V ar(2) =
n
ECM(3) ECM(2) = (n 2n 1)n(n+ 1)2
Si n < 12 , 3 tendr un ECM menor que 2, lo que es bastante
improbable.
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