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Bien préparer sa rentrée en PCSI

1 Introduction

Félicitations pour votre admission en PCSI au Lycée Hoche ! Voici quelques conseils pour vous p réparer pendant lesvacances et réussir au mieux votre entrée en classe préparatoire PCSI.

La première année ne se redouble pas, aussi est-il essentiel de mettre tous les atouts de votre côté et de faire un

minimum de préparation pendant les vacances. Toutefois, rassurez-vous, les jours de pluie ou les deux dernières semaines

de vacances su¢ront amplement. Les seules connaissances de terminale s ont nécessaires (il est donc inutile de faire un

stage de préparation) et rien ne vaut un travail personnel.

2 Conseils généraux

L’emploi du temps en PCSI est chargé (heures de cours, interrogations orales, devoirs surveillés, travail personnel) et

nécessite une bonne organisation. Voici donc quelques conseils pour améliorer celle-ci :

² Essayez de résoudre tous vos problèmes matériels avant la rentrée. Véri…ez votre temps de trajet et si celui-ci est

trop important, trouvez u n logement proche du lycée. N’oubliez pas que vous p ouvez p rendre tous vos repas au

lycée (du p etit déjeuner au dîner).

² Réglez tous vos problèmes administratifs et matériels (par exemple, prévoyez votre passage du permis de conduire

en dehors de l’année scolaire).

² Prévoyez, de préférence pendant le week-end, une activité de loisir de 2 à 3 heures hebdomadaires maximum.

² Arrivez à la rentrée :* Très motivé pour beaucoup travailler,

* Reposé pour fournir un e¤ort soutenu toute l’année,

* Con…ant en vous et en nous,

* Curieux et intéressé par tous les domaines.

² Pour d’éventuelles questions pédagogiques (mais pas po ur des questions administratives), n’hésitez pas à nous

contacter à l’adresse "[email protected]", nous nous e¤orcerons de répondre à vos questions.

Bonnes vacances !

3 Matières littéraires

Français/ Philosophie

Le thème est : « La justice ».

Les oeuvres au programme sont:

* Eschyle, Les Choéphores, les E uménides. Editions G .F (n±1473). Une édition spéciale prépas 2012 est sortie avec ces

deux oeuvres et un dossier. Les étudiants peuvent aussi se procurer toujours en GF (n±1125), l’ensemble de la trilogie :

Agamemnon, Les Choéphores, les Euménides. Le traducteur est le même. Bien sûr une seule des éditions su¢t.

* Pascal : Pensées, "Pensées sur la justice" suivie de "Trois Discours sur la condition des G rands". Edition spéciale G F

Maths Sup PCSI : 2011 - 2012 PCSI A / Lycée Hoche

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(1474) pour les prépas scienti…ques.

* Steinbeck, Les Raisins de la colère, Folio.

Il est obligatoire pendant les vacances d’acheter et de lire entièrement et précisément les trois oeuvres au

programme des CPGE scienti…ques. Prenez des notes, repérez l eurs di¤érents intérêts en rapport avec le thème d’étude.

Langues étrangères

Travaillez la grammaire et lisez régulièrement des journaux, un ou des romans en langue étrangère, regardez des …lms en

version originale.

Pour l’anglais, procurez-vous les livres :

Grammaire Pratique de l’Anglais par M.Berland-Delépine chez Ophrys et le manuel de vocabulaire : Vocabulaire théma-

tique anglais-français par Daniel GANDRILLON chez Ellipses.

- aller sur le site de THE INDEPENDENT/columnists/ lire les articles (2 ou 3 par semaine, pas plus), excellents, de

Johann Hari et de Yasmin Ali hai-Brown.

- lire des nouvelles en anglais (des recueils avec notes de vocabulaire sont publiés chez Presses-Pocket ou dans une collec-

tion du Livre de Poche) ;

- écouter des bulletins d’information à la radio ou, à défaut, à la télévision (BBC GO 198 KHZ, ou 648 KHZ PO). Podcasts

(BBC News / BBC World)

4 Matières scienti…ques

Une parfaite maîtrise de l’alphabet grec, des formules trigonométriques, des fonctions usuelles, de la dérivation et de

l’intégration est indispensable pour toutes les matières scienti…ques.

Le mieux est de n’acheter aucun livre avant les vacances de la Toussaint, quand vous aurez une meilleure idée du

déroulement de l’année et de vos éventuels besoins.

Aucune calculatrice n’est recommandée plus particulièrement, le mieux est de conserver celle de TS dont vous avez

l’habitude. En ce qui concerne les DS et certaines épreuves d e Maths d es concours, la calculatrice n’est pas forcément

autorisée. Il peut quand même être utile de savoir au minimum tracer la courbe représentative d’une fonction et rédiger

les programmes que vous avez rencontrés au lycée...

Mathématiques

Le début d’année de PCSI est constitué essentiellement des notions de base nécessaires dans toutes les disciplines

scienti…ques (Chimie, Physique, S.I., et même Mathématiques...) :

- Nombres complexes, géométrie élémentaire du plan et de l’espace.

- Fonctions usuelles et équations di¤érentielles.

² Apprenez le formulaire joint par coeur . Il faudra de toute façon connaître ces formules pour les écrits (qui n’autorisent

pas la calculatrice !) et les oraux, alors vous savez ce qui vous reste à faire.

² Relisez attentivement votre cours de TS et particulièrement les parties de cours de TS qui vous ont semblé le plus

compliquées . Les chapitres Suites, Limites et continuité, Dérivation, vous serviront le plus en d ébut de l’année en

Maths, le chapitre Intégration sera abordé au deuxième trimestre en Maths, mais servira par contre dès le début de

l’année en Physique, Chimie et SI.

Adopter une lecture attentive, apprendre les résultats par coeur, et contrôler ensuite mentalement les dé…nitions et

les théorèmes.

En règle générale, essayez de dissocier qualité et quantité :

Qualité : travaillez de façon approfondie, les notions étudiées doivent être comprises et mémorisées à long terme.

Quantité : donnez-vous des plages horaires de travail précises, et imposez-vous un objectif bien dé…ni.


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En…n, n’oubliez pas d e tester régulièrement vos connaissances, une b onne mémorisation allant de pair avec une

bonne compréhension.

5 Exercices de préparation

Ne pas trouver ces exercices n’a aucune importance sur la réussite de votre année, mais ne pas les chercher montrerait

déjà un manque de motivation et de travail plus inquiétant...

Les exercices sont divisés en deux catégories, les exercices d’application, et les exercices demandant plus de ré‡exion

(*) que vous ne trouverez peut-être pas tous, mais que vous serez tous capables de résoudre après quelques semaines de

cours. Il est donc inutile de chercher une aide extérieure pour les résoudre.

Il est donc anormal de venir le jour de la rentrée sans avoir cherché un minimum le maximum d’exercices, mais tout à

fait normal de ne pas les avoir trouvés tous.

Entiers, récurrence, réels

Exercice 1: Soit q 2 Rn f1g : Démontrer que pour tout n 2 N; 1 + q + ::: + q n = 1¡

q n+1

1 ¡ q :

Exercice 2: Démontrer que pour tout n 2 N;nP

k=1

k2 = n (n + 1)(2n + 1)

6 :

Exercice 3: Démontrer l’inégalité 1

2:3

4:::

9 9

100 <

1

10 en élevant au carré cette inégalité, et en majorant

1

2 par

2

3; etc.

Exercice 4*: Démontrer par récurrence que pour tout n 2 N;nP

k=1

k2k = (n ¡ 1) 2n+1 + 2:

Exercice 5*: Montrer que pour tout x 2·

¼

6; 5¼

12

¸ ;

4 ¡p 3

2 · 2 (1 + cotan x)p

2(cos x + sin x)· 4p

3en encadrant le numérateur et le

dénominateur.

Nombres complexes

Exercice 1: Déterminer le module et un argument du complexe : z = (x¡ 2) ei¼4 , x 2 R:

Exercice 2: Déterminer le module et l’argument du nombre complexe : eiµ + e2iµ ; µ 2 R:

Exercice 3: Du calcul de (1 + i)(p

3 + i), déduire cos ¼

12 et sin

¼

12.

Exercice 4*: On considère le polynôme P (z) = z4 ¡ z3 + z2 + 2: On note Z p l’ensemble des racines de P dans C:

a. Montrer que si ® appartient à Z p; alors ® appartient aussi à Z p:

b. Calculer P (1 + i) et donner deux éléments de Z p:

c. Trouver trois réels a; b et c tels que, pour tout z dans C; on ait: P (z) = (z ¡ 1¡ i) (z ¡ 1 + i)¡

az2 + bz + x¢

:

d. Déterminer deux autres éléments de Z p:

Exercice 5*: Soit x un r éel, et A (x) = 1 + eix + e2ix + e3ix; C (x) = 1 + cos x + cos (2x) + cos (3x) et S (x) =

sin x + sin (2x) + sin(3x) :

a. Véri…er que si x n’est pas un multiple de 2n; A (x) = 1 ¡ e4ix

1 ¡ eix :

b. Ecrire sous forme trigonométrique 1 ¡ 4e4ix et 1 ¡ eix :

c. En déduire la forme trigonométrique de C (x) :

d. En déduire une autre expression algébrique de C (x) et de S (x) :

e. Résoudre s in x + sin(2x) + sin (3x) = 0:

f. Résoudre 1 + cos x + cos(2x) + cos(3x) = 0:

Exercice 6*: Soient a; b; c; d des réels tels que ad ¡ bc = 1, et z 2 Cnf¡d=cg. Montrer que Im³az+bcz+d

´ =

Im(z)jcz+dj2 .

Fonctions


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Exercice 1: Pour chacune des fonctions suivantes, donner l’ensemble de dé…nition Df de la fonction, préciser sur quel

ensemble elle est dérivable, et en…n déterminer sa fonction dérivée.

a. f 1 : x 7! (8x ¡ 2)2 b. f 2 : x 7! 1 ¡ x2

1 + x2 c. f 3 : x 7! ln

µ1 + x

x ¡ 1

¶: d. f 4 : x 7! p

2x + 1: e. f 5 : x 7! cos x

sin x:

Exercice 2: On considère la fonction f : x 7! 2x ¡ ln (ex ¡ 1) dé…nie sur R¤+:

a. Déterminer limx!0

f ( x) : b. Determiner limx!+1

f (x) : c. Etudier les variations de f:

Exercice 3: Calculer les intégrales suivantes:

a. I 1 =R 14

¡2x3 ¡ 4x + 1

¢ dx = ¡201

2 : b. I 2 =

R 41

dx

x2 c. I 3 =

R 32

dx

(x ¡ 1)2 :

Réponses: I 1 = ¡201

2 ; I 2 =

3

4; I 3 =

1

2:

Exercice 4: On pose I n =R ¼=20

sinn (x) dx; avec n dans N: Calculer I 1; I 2 et I 3:

(on pourra utiliser une intégration par parties pour trouver une relation entre I 2 et ¡I 2; et entre I 3 et I 1:).

Exercice 5: Résoudre l’équation di¤érentielle (E ) : y 0 = 3y + 2:

Exercice 6*: On considère les équations di¤érentielles (E 0) : y 0 = 3y + 2 et (E ) : 2y0 + 3y = x2 + 1:

On note S 0 l’ensemble des fonctions y (de variable réelle x ) solutions de (E 0) et (S ) celles des solutions de (E ) :

a. Déterminer S 0:b. Véri…er que y p : x 7! 1

3x2 ¡ 4

9x +

17

27 appartient à S:

c. Montrer que y 2 S si et seulement si, y ¡ y p 2 S 0:

d. Conclure.

Géométrie

Exercice 1: Le plan euclidien est muni d’un repère orthonormé³

O;¡!i ;¡! j´

: Soient A (1; 2) ; B (¡2; 1) et C (¡3; 4) :

a. Les points A; B ; C sont-ils alignés ?

b. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) ; et un vecteur directeur de cette droite.

c. Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [BC ] :

Exercice 2*: Le plan euclidien est muni d’un repère orthonormé³

O;¡!i ;¡! j´

: Soient A, B et M trois points distincts

d’a¢xes respectives a, b et z.

a. Interpréter géométriquement les quantités jz ¡ aj et arg (z ¡ a). Interpréter géométriquement le module et un argument

de z ¡ a

z ¡ b.

b. Déterminer l’ensemble des points du plan d’a¢xe z = x + iy tels que :

1)

¯¯z ¡ 2

z + i

¯¯ = 1 2)

¯¯z ¡ 2

z + i

¯¯ = 2 3) arg

µz ¡ 2

z + i

¶ = 0 [¼] 4) arg

µz ¡ 1

z + i

¶ =

¼

4 [¼ ] :


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D i v er s e s

f or m ul e s à c onn aî t r e….

c o s

2 x + s i n2 x =1

a 2

t a n

1

a 2

c o s 1

+

=

ei ( a + b ) = e

i a e

i b

s oi t c o s ( a + b ) + i s i n

( a + b ) = ( c o s a + i s i n a ) ( c o s b + i s i n b )

d ’ o ù

c o s ( a + b ) = c o s

a c o s b - s i n a s i n b

c o s ( a- b ) = c o s a c o s b + s i n a s i n b

2 c o s a c o s b =

c o s ( a + b ) + c o s ( a- b )

2 s i n a s i n b = c o s ( a- b ) - c o s ( a + b )

s i n ( a + b ) = s i n a

c o s b + c o s a s i n b

s i n ( a- b ) = s i n a

c o s b - c o s a s i n b

2 s i n b c o s a= s

i n ( a + b ) - s i n ( a- b )

2 s i n a c o s b = s i n ( a + b ) + s i n ( a- b )

−

+

=

+

2 q

p

c o s

2 q

p

s i n

2

q

s i n

p

s i n

+

−

=

−

2 q

p

c o s

2 q

p

s i n

2

q

s i n

p

s i n

−

+

=

+

2 q

p

c o s

2 q

p

c o s

2

q

c o s

p

c o s

−

+

−=

−

2 q

p

s i n

2 q

p

s i n

2

q

c o s

p

c o s

M o y e nmn é m o t e c h ni q u e

S i C o C o S i C o C o S i S i p o ur l e s

s e c on d s m e m b r e s e n

c h a n g e a n t l e s i gn e à l a d e r ni è r

e .

b

t a n

a

t a n

1

b

t a n

a

t a n

) b

a (

t a n

−

+

=

+

b

t a n

a

t a n

1

b

t a n

a

t a n

) b

a (

t a n

+

−

=

−

c o s 2 a= c o s

2 a- s i n2 a

c o s 2 a=2 c o s

2 a-1

c o s 2 a=1 -2 s i n2 a

2

a 2

c o s

1

a 2

c o s

+

=

2

a 2

c o s

1

a 2

s i n

−

=

s i n2 a=2 c o s a s i n a

E n p o s an t

2

t a n x

t =

,

2

1

2

1

c o s

t t

x

+ −

=

2 t

1

t 2

x

s i n

+

=

2 t

1

t 2

x

t a n

−

=

a c o s x + b s i nx = c c o s ( x - ϕ )

s i

2 b

2 a

c

+

=

e t

a b

t a n

= ϕ

D an s

un t r i an gl e q u el c on q u e ,

c C

s i n

b B

s i n

a A

s i n

=

=

e t

b 2 = c

2 + a

2 -2 a c c o s B

L ' al ph a b e t gr e c en s ci en c e s

N o

m

Mi n u s c ul e

M a j u s c ul e

al p

h a

α

b e

t a

β

g am

m a

γ

Γ

d e

l t a

δ

∆

e p s

i l on

ε

z e t a ( d z e t a )

ζ

e t a

η

t h e t a

θ

i o

t a

ι

k a p p a

κ

l am

b d a

λ

Λ

m

u

µ

n

u

ν

x i ( k s i )

ξ

Ξ

omi c r on

ο

p

i

π

Π

r h

o

ρ

s i g

m a

σ

Σ

t a

u

τ

u p s

i l on

υ

ϒ

ph i

ϕ

φ

c h i ( k h i )

χ

p

s i

ψ

om e g a

ω

Ω

♦ S e ul e s l e s m a j u s c ul e s d i f f é r en t e s d e s l e t t

r e s

m a j u s c ul e s d el ' al ph a b e t f r an ç ai s s on t i n d i q u é e s

d an s c

e t a b l e a u.

♦ L e s

l e t t r e s eni t al i q u e s on t p e u u t i l i s é e s en

s c i en c e s c ar el l e s s on t t r o p s em b l a b l e s à d e

s l e t t r e s

d el ' al p

h a b e t f r an ç ai s .

C B

A

c b

a

0

x

r a y on=1

a

Sina

c o s a

tana

y

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