PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR

AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU

WAKTU SEBELUMNYA

SRI RAMADANIATY

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pemodelan Nilai Tukar

Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu

Sebelumnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan

belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber

informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak

diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam

Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015

Sri Ramadaniaty

NIM G54100097

ABSTRAK

SRI RAMADANIATY. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika

Menggunakan Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya. Dibimbing oleh

BERLIAN SETIAWATY dan RUHIYAT.

Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika telah menjadi salah satu acuan

penting dalam pergerakan perekonomian Indonesia. Perubahan nilai tukar Rupiah

merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi kapan saja dalam jangka waktu yang

panjang dan perubahan yang terjadi mungkin terjadi kembali di masa mendatang.

Jika penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung dan membentuk

rantai Markov, maka pasangan penyebab kejadian dan data nilai tukar Rupiah dapat

dimodelkan oleh model hidden Markov. Dalam tugas akhir ini digunakan model

hidden Markov satu waktu sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung

pada nilai Rupiah satu waktu sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan

satu waktu sebelumnya. Parameter model diduga dengan menggunakan Maximum

Likelihood dan perhitungannya menggunakan algoritme iteratif Expectation

Maximization (EM). Proses komputasi numerik dilakukan dengan menggunakan

software Mathematica 10. Setelah penduga parameter didapatkan maka nilai tukar

Rupiah terhadap Dolar Amerika dapat diduga. Akurasi model diukur menggunakan

mean absolute percentage error (MAPE). Diperoleh MAPE 4.48% dengan satu kali

iterasi.

Kata kunci: algoritme EM, MAPE, model hidden Markov, nilai tukar Rupiah

ABSTRACT

SRI RAMADANIATY. Modeling the Exchange Rate of Rupiah to American

Dollar using Previous Time Hidden Markov. Supervised by BERLIAN

SETIAWATY and RUHIYAT.

An exchange rate of Rupiah to American Dollar has become one of important

reference for Indonesian economic movement. The movement of the exchange rate

of Rupiah is an event that can occur anytime in a long period and possible to reoccur

in the future. If the cause of event is not observed directly and forms a Markov

chain, so the pair of the cause and an exchange rate of Rupiah can be modeled by

hidden Markov. In this thesis the previous time hidden Markov model is used. This

model assumes that the present exchange rate of Rupiah depends on the previous

exchange rate of Rupiah and the present and previous cause. Model parameter is

estimated by using maximum likelihood method and the calculation uses iterative

algorithm expectation maximization (EM). Numerical computation is done by

using Mathematica 10. After the parameter model is obtained, then the exchange

rate of Rupiah to American Dollar can be estimated. Model accuracy is measured

by using mean absolute percentage error (MAPE). Resulted MAPE is 4.48% with

one iteration.

Keywords: EM algorithm, MAPE, hidden Markov model, the exchange rate of

Rupiah

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR

AMERIKA MENGGUNAKAN HIDDEN MARKOV SATU

WAKTU SEBELUMNYA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

PRAKATA

Puji dan syukur ke Hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan

hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

Pemodelan Nilai Tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika Menggunakan Hidden

Markov Satu Waktu Sebelumnya.

Penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Dr Berlian Setiawaty, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing yang

telah memberikan ilmu, bimbingan, saran, arahan dan motivasi bagi penulis

selama skripsi, dan kepada Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc selaku

dosen penguji.

2. Papa (Prof Dr Ahmad Husein Ritonga, MAg), Mama (Dra Mariatul Hasanah

Harahap), kak Fatimah Raihani (Ayu) & kak Soleh, kak Lainatussifa (Dede),

Naila Hidayati dan M. Farhan Akhwan atas segala doa, nasehat, dukungan, dan

kasih sayangnya.

3. Staf Departemen Matematika: Ibu Susi, Bapak Yono, Ibu Ade, dan Bapak Deni

atas kesabaran dan bantuannya selama ini.

4. Kak Tyas, kak Juni, kak Hendra, Nisa, Putri Putu, Eka, Betry, mbak Peni,

Ando, Murzani, Agung, Marin, Okta, Susi, Shovi, Pupu, serta teman-teman

Matematika 47 lainnya, Wisma Pelangi, Lordu dan teman seperjuangan atas

doa dan semangatnya selama ini.

Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi berbagai pihak.

Bogor, Mei 2015

Sri Ramadaniaty

http://math.ipb.ac.id/index.php?Itemid=216&option=com_mathipb&act=Dosen&task=view&NIP=131842412&Inisial=NKK

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 2

LANDASAN TEORI 2

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2

Peubah Acak dan Sebarannya 3

Nilai Harapan 4

Rantai Markov 5

Algoritme Expectation Maximization (EM) 8

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) 9

MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU SEBELUMNYA 9

Model Hidden Markov 9

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 10

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA 18

Data Input Nilai Tukar Rupiah 18

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya 19

Penentuan Nilai Awal Parameter 19

Hasil Program 20

SIMPULAN 21

DAFTAR PUSTAKA 21

LAMPIRAN 22

RIWAYAT HIDUP 44

DAFTAR GAMBAR

1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan 18 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya 19 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan

nilai dugaan yang didapatkan 20

DAFTAR LAMPIRAN

1 Bukti Lema 1 22

2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32) 23 3 Program untuk mencari nilai dugaan menggunakan software

Mathematica 10 35

4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan nilai dugaannya 41

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Rupiah termasuk soft currency, yaitu mata uang yang mudah berfluktuasi

ataupun terdepresiasi, karena perekonomian negara asalnya relatif kurang mapan,

sedangkan mata uang negara Amerika Serikat disebut hard currency, karena

kemampuannya untuk memengaruhi nilai mata uang yang lebih rendah.

Nilai tukar Rupiah menjadi acuan penting dalam pergerakan naik-turunnya

grafik perekonomian Indonesia. Indikasi dari pergerakan ekonomi bisa dilihat dari

pergerakan nilai tukar Rupiah itu sendiri. Nilai tukar Rupiah sejatinya terus

bergerak setiap hari seperti mata uang lainnya di dunia.

Modal yang beredar di Indonesia, terutama di pasar finansial, sebagian besar

adalah modal asing. Ini membuat nilai Rupiah sedikit banyak bergantung pada

kepercayaan investor asing terhadap prospek bisnis di Indonesia. Semakin baik

iklim bisnis di Indonesia, maka akan semakin banyak investor asing di Indonesia,

dan dengan demikian nilai Rupiah akan semakin kuat. Sebaliknya, semakin negatif

pandangan investor terhadap Indonesia, Rupiah akan kian melemah.

Faktor yang memengaruhi Rupiah salah satunya adalah kondisi politik-

ekonomi. Melemahnya nilai tukar Rupiah berdampak pada harga komoditi impor,

baik yang menjadi objek konsumsi maupun alat produksi, serta kenaikan nilai

Rupiah dari hutang luar negeri.

Perubahan nilai tukar mata uang merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi

kapan saja dalam periode waktu yang panjang. Ramalan nilai tukar Rupiah terhadap

Dolar Amerika merupakan informasi penting yang dapat digunakan pemerintah

untuk menentukan kebijakan di bidang ekonomi, perdagangan, dan pariwisata.

Model hidden Markov (Hidden Markov Model, HMM) adalah sebuah model

stokastik yang tersusun dari dua buah proses stokastik, yaitu rantai Markov untuk

menampung penyebab proses yang diamati serta proses yang diamati itu sendiri.

Perubahan nilai tukar Rupiah merupakan suatu kejadian yang bisa terjadi

kapan saja dan dalam jangka waktu yang panjang. Dengan asumsi perubahan yang

terjadi pada waktu yang lalu mungkin terjadi kembali di masa mendatang, sehingga

hal ini merupakan suatu proses stokastik. Faktor penyebab kejadian (state) tersebut

dapat berkembang menurut model rantai Markov di mana state yang akan datang

hanya dipengaruhi oleh state sekarang dan bebas terhadap state yang lalu. Jika

penyebab kejadian diasumsikan tidak diamati secara langsung (hidden) dan

membentuk rantai Markov, maka pasangan kejadian dan penyebabnya dapat

dimodelkan dengan model hidden Markov.

Permasalahan yang dibahas dalam karya ilmiah ini adalah penggunaan model

deret waktu hidden Markov dalam menggambarkan perilaku nilai tukar Rupiah

terhadap Dolar Amerika. Dalam deret waktu hidden Markov, kejadian yang diamati

selain diamati oleh faktor penyebab kejadian, juga dipengaruhi oleh kejadian

sebelumnya.

Dalam tugas akhir ini digunakan model hidden Markov satu waktu

sebelumnya, di mana nilai Rupiah saat ini bergantung pada nilai Rupiah satu waktu

sebelumnya dan penyebabnya di waktu sekarang dan satu waktu sebelumnya.

2

Dalam model ini akan dicari penduga parameter yang memaksimumkan

peluang terjadinya suatu kejadian. Metode Maximum Likelihood dan algoritme

Expectation Maximum (EM algorithm) Baum dan Petrie (1966) adalah metode

yang digunakan untuk pendugaan parameter tersebut.

Setelah pendugaan parameter yang memaksimumkan peluang terjadinya

suatu kejadian didapatkan, maka diharapkan dapat dilakukan suatu penarikan

kesimpulan yang optimal dan peramalan state.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:

1. Mengkaji deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya beserta

pendugaan parameternya.

2. Memodelkan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika menggunakan deret

waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

Definisi 1 (Percobaan Acak)

Suatu percobaan yang dapat diulang dalam keadaan yang sama di mana hasil dari

percobaan ini tidak dapat ditebak dengan tepat namun dapat diketahui semua

kemungkinan hasilnya disebut percobaan acak (Ross 1996).

Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian) Himpunan dari semua kemungkinan hasil yang muncul dari suatu percobaan acak

disebut ruang contoh, dinotasikan Ω. Suatu kejadian 𝐴 adalah himpunan bagian

dari Ω (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 3 (Medan-𝝈)

Medan-𝜎 adalah suatu himpunan ℱ yang anggotanya adalah himpunan bagian dari

ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

a. 𝜙 ∈ ℱ. b. Jika 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ maka⋃ 𝐴𝑖 ∈ ℱ.∞

𝑖=1

c. Jika 𝐴 ∈ ℱ maka 𝐴𝑐 ∈ ℱ

(Ross 1996).

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Ukuran peluang 𝑃 pada (Ω , ℱ) adalah fungsi 𝑃: ℱ → [0,1] yang memenuhi:

a. 𝑃(∅) = 0 dan 𝑃(Ω) = 1.

3

b. Jika 𝐴1, 𝐴2, … ∈ ℱ adalah himpunan yang saling lepas, yaitu 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑗 = ∅

untuk setiap pasangan 𝑖, 𝑗 di mana 𝑖 ≠ 𝑗, maka 𝑃(⋃ 𝐴𝑖∞𝑖=1 ) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖).

∞𝑖=1

Pasangan (Ω , ℱ, 𝑃) disebut ruang peluang (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 5 (Kontinu Absolut)

Jika 𝑣 dan 𝜇 merupakan dua peluang pada (Ω , ℱ). Ukuran peluang 𝑣 dikatakan

kontinu absolut terhadap ukuran peluang 𝜇 jika 𝜇(𝐴) = 0 berimplikasi 𝑣(𝐴) = 0,

untuk setiap 𝐴 ∈ ℱ. Dinotasikan 𝑣 ≪ 𝜇 (Royden 1963).

Definisi 6 (Peluang Bersyarat)

Jika 𝑃(𝐵) > 0 maka peluang bersyarat dari kejadian 𝐴 setelah diketahui kejadian

𝐵 ialah

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

(Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 7 (Kejadian Saling Bebas)

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵). Misal 𝐼

adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian {𝐴𝑖: 𝑖 ∈ 𝐼} disebut saling bebas jika

𝑃(⋂ 𝐴𝑖𝑖∈𝐽 ) = ∏ 𝑃(𝐴𝑖)𝑖∈𝐽 untuk setiap himpunan bagian berhingga 𝐽 dari 𝐼

(Grimmet dan Stirzaker 1992).

Peubah Acak dan Sebarannya

Definisi 8 (Peubah Acak)

Misalkan ℱ adalah medan-𝜎 dari Ω. Peubah acak 𝑋 merupakan fungsi 𝑋: Ω → ℝ

di mana {𝜔 𝜖 Ω: 𝑋(𝜔) ≤ 𝑥} ∈ ℱ untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ (Grimmet dan Stizaker 1992).

Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar, sedangkan nilai dari peubah

acak tersebut dinotasikan dengan huruf kecil.

Definisi 9 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran dari peubah acak 𝑋 adalah suatu fungsi 𝐹𝑋: ℝ → [0,1] di mana

𝐹𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 10 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak 𝑋 dikatakan peubah acak diskret jika nilainya hanya pada himpunan

bagian yang berhingga atau himpunan terhitung dari ℝ (Ross 1996).

Definisi 11 (Fungsi Massa Peluang)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret 𝑋 adalah fungsi 𝑝𝑋: ℝ → [0,1] di

mana 𝑝𝑋(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥), ∀𝑥 ∈ ℝ (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 12 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak 𝑋 disebut peubah acak kontinu jika fungsi sebarannya dapat

dinyatakan sebagai 𝐹𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢𝑥

−∞ untuk suatu fungsi 𝑓𝑋: ℝ → (0,∞) yang

4

terintegralkan. Selanjutnya fungsi 𝑓𝑋 disebut fungsi kepekatan peluang (probability

density function) bagi 𝑋 (Ross 1996).

Definisi 13 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Fungsi sebaran bersama dua peubah acak 𝑋 dan 𝑌 merupakan suatu fungsi

𝐹:ℝ2 → [0,1] yang didefinisikan oleh 𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦) (Grimmet

dan Stirzaker 1992).

Definisi 14 (Fungsi Sebaran dan Kepekatan Peluang Bersama Dua Peubah

Acak Kontinu)

Peubah acak 𝑋 dan 𝑌 disebut peubah acak kontinu yang menyebar bersama jika

𝑥, 𝑦 ∈ ℝ fungsi sebaran bersamanya dapat diekspresikan sebagai berikut

𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) = ∫ ∫ 𝑓𝑋𝑌(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢 𝑑𝑣𝑥

−∞

𝑦

−∞ untuk suatu fungsi 𝑓𝑋𝑌: ℝ2 → [0,1] yang

terintegralkan. Fungsi 𝑓𝑋𝑌 di atas disebut fungsi kerapatan peluang bersama peubah

acak kontinu 𝑋 dan 𝑌, 𝑓𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) =𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦 𝐹𝑋𝑌(𝑥, 𝑦) (Ross 1996).

Definisi 15 (Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan

fungsi sebaran 𝐹(𝑥, 𝑦) dan fungsi kepekatan bersama 𝑓(𝑥, 𝑦). Fungsi kepekatan

peluang marjinal dari peubah acak 𝑋 dan 𝑌 adalah berturut-turut

𝑓𝑋(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦∞

−∞

dan 𝑓𝑌(𝑦) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥∞

−∞

(Ross 1996).

Definisi 16 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

marjinal 𝑓𝑌(𝑦) > 0, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari 𝑋 dengan syarat

𝑌 = 𝑦 adalah 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) =𝑓𝑋𝑌(𝑥,𝑦)

𝑓𝑌(𝑦) (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Nilai Harapan

Definisi 17 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang 𝑝𝑋(𝑥) =𝑃(𝑋 = 𝑥) maka nilai harapan dari 𝑋 adalah 𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥𝑝𝑋(𝑥)𝑥 , asalkan jumlah

tersebut konvergen mutlak (Hogg dan Craig 1995).

Definisi 18 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang 𝑓𝑋(𝑥)

maka nilai harapan 𝑋 adalah 𝐸[𝑋] = ∫ 𝑥𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞, asalkan integralnya ada (Hogg

dan Craig 1995).

Definisi 19 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misalkan 𝑋 dan 𝑌 adalah peubah acak kontinu dan 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦) adalah fungsi

kerapatan peluang bersyarat dari 𝑋 dengan syarat 𝑌 = 𝑦, maka nilai harapan dari 𝑋

5

dengan syarat 𝑌 = 𝑦 adalah 𝐸[𝑋|𝑌 = 𝑦] = ∫ 𝑥𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)𝑑𝑥∞

−∞ (Hogg dan Craig

1995).

Teorema 1 (Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1)

Jika 𝑓 kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka fungsi 𝑔 yang didefinisikan oleh

𝑔(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥

𝑎

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

adalah kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan pada (𝑎, 𝑏) dan 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Bukti dapat dilihat pada Stewart (1998).

Definisi 20 (Himpunan dan Fungsi Konveks)

Misalkan S ⊂ ℝ𝑁 adalah himpunan vektor. Maka S disebut sebagai himpunan

konveks jika untuk semua 𝐱, 𝐱′ ∈ S dan 𝜆 ∈ [0,1] maka (1 − 𝜆)𝐱 + 𝜆𝐱′ ∈ S. Misalkan 𝑓 merupakan fungsi dengan peubah 𝐱 yang terdefinisi pada himpunan

konveks S, maka 𝑓 disebut sebagai fungsi konveks jika 𝑓 memenuhi persamaan

𝑓((1 − 𝜆)𝐱 + 𝜆𝐱′) ≤ (1 − 𝜆)𝑓(𝐱) + 𝜆𝑓(𝐱′) (Osborne 1997).

Teorema 2 (Fungsi Konveks)

Misalkan 𝑓 fungsi yang memiliki turunan kedua. 𝑓 adalah fungsi konveks jika dan

hanya jika ∇2𝑓(𝐱) ≥ 0, ∀𝐱 ∈ S dan merupakan fungsi strictly convex jika

∇2𝑓(𝐱) > 0, ∀𝐱 ∈ S. Bukti dapat dilihat pada Osborne (1997).

Teorema 3 (Ketaksamaan Jensen)

Misalkan 𝑋 adalah peubah acak dengan 𝐸[𝑋] berhingga dan 𝑔(𝑥) adalah fungsi

konveks, maka 𝐸[𝑔(𝑋)] ≥ 𝑔(𝐸[𝑋]). Bukti dapat dilihat pada Krantz (1999).

Rantai Markov

Definisi 21 (Ruang State)

Misalkan 𝐾 ⊂ ℝ merupakan nilai dari barisan peubah acak, maka 𝐾 disebut ruang

state (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 22 (Proses Stokastik)

Proses stokastik 𝑆 = {𝑆𝑡, 𝑡 ∈ 𝑇} adalah suatu koleksi dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state 𝐾 (Ross 1996).

Dalam hal ini 𝑡 dianggap sebagai waktu dan nilai dari peubah acak 𝑆𝑡 sebagai

state (keadaan) dari proses pada waktu 𝑡.

Definisi 23 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)

Proses stokastik {𝑆𝑡, 𝑡 = 0,1,2, … }, dengan ruang state {1,2,3, … ,𝑁}, disebut rantai

Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap 𝑡 = 1,2,3, … berlaku

𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖, 𝑆𝑡−2 = 𝑖𝑡−2, … , 𝑆0 = 𝑖0) = 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖) = 𝑝𝑖𝑗

untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑖0, 𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑡−2, 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … ,𝑁} (Ross

1996).

6

Jadi untuk suatu rantai Markov, sebaran bersyarat dari sebarang state saat ini

𝑆𝑡 dengan syarat state yang lalu 𝑆0, 𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝑡−2 dan state satu waktu sebelumnya

𝑆𝑡−1 adalah bebas terhadap semua state yang lalu, dan hanya bergantung pada state

satu waktu sebelumnya. Hal ini disebut sebagai sifat Markov (Markovian Property).

Proses di atas dapat digambarkan sebagai 𝑁 -state rantai Markov dengan

peluang transisi {𝑝𝑖𝑗} dengan 𝑖, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁. Nilai dari 𝑝𝑖𝑗 menyatakan

peluang bahwa jika proses tersebut berada pada state 𝑖 , maka berikutnya akan

beralih ke state 𝑗 . Karena 𝑝𝑖𝑗 adalah nilai peluang dan proses tersebut harus

bertransisi, maka

i. 0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1, untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2,3, … ,𝑁}.

ii. ∑ 𝑝𝑖𝑗 = 1,𝑁𝑗=1 untuk 𝑖 ∈ {1,2,3, … ,𝑁}.

Peluang transisi ini dapat ditulis dalam matriks 𝐏 yang disebut sebagai matriks

transisi. 𝐏 = (𝑝𝑖𝑗)𝑁×𝑁= [

𝑝11 𝑝21

𝑝12 𝑝22

… 𝑝𝑁1

… 𝑝𝑁2

⋮ ⋮𝑝1𝑁 𝑝2𝑁

⋮ ⋮… 𝑝𝑁𝑁

] dengan 𝑗 menyatakan baris dan 𝑖

menyatakan kolom dari matriks 𝐏.

Definisi 24 (Matriks Transisi)

Misalkan {𝑆𝑡, 𝑡 = 0,1,2, … } adalah rantai Markov dengan ruang state

{1,2,3, … ,𝑁}. Matriks transisi 𝐏 = (𝑝𝑖𝑗)𝑁×𝑁 adalah matriks dari peluang transisi

𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖) untuk 𝑖, 𝑗 ∈ {1,2, … ,𝑁} (Grimmet dan Stirzaker 1992).

Definisi 25 (Terakses)

Peluang bahwa pada waktu ke-𝑘 proses berada pada state 𝑗 dengan syarat state awal

adalah 𝑖 dinotasikan 𝑝𝑖𝑗(𝑘)

. Suatu state 𝑗 disebut terakses dari state 𝑖 (notasi: 𝑖 → 𝑗),

jika ada sebuah bilangan bulat 𝑘 ≥ 0 sehingga 𝑝𝑖𝑗(𝑘)

> 0 di mana 𝑝𝑖𝑗(𝑘)

adalah

peluang bahwa pada waktu ke-𝑘 proses berada pada state 𝑗 dengan syarat state awal

adalah 𝑖 (Ross 1996).

Definisi 26 (Berkomunikasi)

Dua state 𝑖 dan 𝑗 dikatakan berkomunikasi (notasi: 𝑖 ↔ 𝑗), jika state 𝑖 dapat diakses

dari state 𝑗 dan state 𝑗 dapat diakses dari state 𝑖 (Ross 1996).

Definisi 27 (Kelas State)

Suatu kelas dari state adalah suatu himpunan takkosong 𝐶 sehingga semua

pasangan state yang merupakan anggota dari 𝐶 berkomunikasi satu dengan yang

lainnya, serta tak ada state yang merupakan anggota 𝐶 yang berkomunikasi dengan

suatu state yang bukan anggota dari 𝐶 (Ross 1996).

Definisi 28 (Rantai Markov Tak Tereduksi) Rantai Markov disebut tak tereduksi jika hanya terdapat satu kelas state, yaitu jika

semua state berkomunikasi satu dengan yang lainnya (Ross 1996).

7

Definisi 29 (First-Passage Time Probability)

𝑓𝑖𝑗(𝑛)

menyatakan peluang bahwa mulai dari state 𝑖, proses bertransisi untuk pertama

kali ke state 𝑗 , terjadi pada waktu 𝑛 . Peluang ini disebut first-passage time

probability. Jadi untuk setiap 𝑛 = 1,2,3, …

𝑓𝑖𝑗(𝑛)

= 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑗, 𝑋𝑘 ≠ 𝑗, untuk setiap 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1|𝑋0 = 1)

𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }, dan 𝑓𝑖𝑗(0)

= 0 untuk semua 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }. Selanjutnya, untuk

setiap 𝑖, 𝑗 ∈ {0,1,2, … }, definisikan 𝑓𝑖𝑗 = ∑ 𝑓𝑖𝑗(𝑛)∞

𝑛=1 (Ross 1996).

Definisi 30 (Recurrent dan Transient)

State 𝑖 disebut recurrent jika 𝑓𝑖𝑖 = 1 dan disebut transient jika 𝑓𝑖𝑖 < 1 (Ross 1996).

Teorema 4 (Recurrent dan Transient)

State 𝑖 adalah recurrent jika ∑ 𝑝𝑖𝑗(𝑛)

= ∞∞𝑛=0 dan transient jika ∑ 𝑝𝑖𝑗

(𝑛)< ∞∞

𝑛=0 .

Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).

Definisi 31 (Periode, Periodik, dan Aperiodik)

1. Suatu state 𝑖 disebut memiliki periode 𝑑 jika 𝑝𝑖𝑖(𝑛)

= 0 untuk semua 𝑛 yang

tidak habis dibagi 𝑑, dan 𝑑 adalah bilangan bulat terbesar yang memenuhi sifat

ini. Dengan kata lain, suatu state 𝑖 disebut memiliki periode 𝑑 jika 𝑑 adalah

persekutuan pembagi terbesar (the greatest common divisor) bagi 𝑛 sehingga

𝑝𝑖𝑖(𝑛)

> 0. 2. Suatu state dengan periode sama dengan satu disebut aperiodik, sedangkan

state dengan periode ≥ 2 disebut periodik

(Ross 1996).

Definisi 32 (Positive Recurrent dan Null Recurrent)

Suatu state disebut berulang positif (positive recurrent) jika state tersebut adalah

berulang (recurrent) serta berlaku: jika proses dimulai dari state 𝑖 maka nilai

harapan dari waktu sampai proses tersebut kembali ke state 𝑖 adalah bilangan

terhingga (finite). State recurrent yang tidak positive recurrent disebut null

recurrent (Ross 1996).

Definisi 33 (Ergodic) Rantai Markov dengan positive recurrent dan aperiodik disebut ergodic (Ross

1996).

Teorema 5 (Rantai Markov Ergodic Tak Tereduksi)

Untuk rantai Markov ergodic tak tereduksi lim𝑛→∞

𝑝𝑖𝑗(𝑛)

ada dan nilainya tak tergantung

dari 𝑖. 𝜋𝑗 = lim𝑛→∞

𝑝𝑖𝑗(𝑛)

, 𝑗 ≥ 1 adalah solusi unik tak negatif dari

𝜋𝑗 = ∑𝜋𝑗𝑝𝑖𝑗

𝑁

𝑖=1

, 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

dan

8

∑𝜋𝑗 = 1

𝑁

𝑗=1

.

Bukti dapat dilihat pada Ross (1996).

Definisi 34 (Vektor Peluang Steady State)

Vektor peluang 𝛑 = (𝜋1, 𝜋2, 𝜋3, … , 𝜋𝑁), yang setiap komponennya menyatakan

bahwa proses akan berturut-turut berada pada state 1,2,3, … ,𝑁, untuk 𝑛 → ∞ di

mana

𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗) = ∑𝑃(𝑆𝑡 = 𝑗|𝑆𝑡−1 = 𝑖)𝑃(𝑆𝑡−1 = 𝑖)

𝑁

𝑖=1

= ∑𝑝𝑖𝑗𝑃(𝑆𝑡−1 = 𝑖) = 𝜋𝑗

𝑁

𝑖=1

disebut vektor peluang steady state atau sebaran steady state. Karena 𝛑 adalah

vektor peluang, maka harus memenuhi syarat bahwa semua unsurnya adalah

bilangan taknegatif serta jumlahnya adalah sama dengan satu. Sebaran steady state

sering juga disebut sebaran stasioner atau sebaran setimbang (equilibrium

distribution) dari rantai Markov yang bersangkutan (Ross 1996).

Algoritme Expectation Maximization (EM)

Misalkan {𝑃𝜃, 𝜃 ∈ Θ} adalah himpunan ukuran peluang yang terdefinisi pada (Ω, ℱ) dan kontinu absolut terhadap 𝑃0. Misalkan 𝒴 ⊂ ℱ. Fungsi Likelihood yang

digunakan untuk menghitung penduga parameter 𝜃 berdasarkan informasi 𝒴 yaitu

medan-𝜎 yang dibangun oleh 𝑌 adalah

𝐿(𝜃) = 𝐸0 [𝑑𝑃𝜃

𝑑𝑃0| 𝒴].

Maximum Likelihood Estimator (MLE) didefinisikan oleh 𝜃 ∈ argmax𝜃𝜖Θ

𝐿(𝜃).

Umumnya MLE sulit dihitung secara langsung oleh karena itu algoritme

Expectation Maximization (EM) memberikan suatu metode aproksimasi berulang

(iteratif). Langkah-langkah dalam metode tersebut adalah:

1. Atur nilai awal parameter 𝜃𝑘 dengan 𝑘 = 0.

2. Atur 𝜃∗ = 𝜃𝑘 dan hitung Φ(𝜃, 𝜃∗) dengan Φ(𝜃, 𝜃∗) = 𝐸𝜃∗ [𝑙𝑜𝑔𝑑𝑃𝜃

𝑑𝑃𝜃∗| 𝒴].

3. Cari 𝜃𝑘+1 argmax𝜃𝜖Θ

Φ(𝜃, 𝜃∗).

4. Ganti 𝑘 dengan 𝑘 + 1 dan ulangi langkah 2 sampai 4 hingga kriteria hentinya

tercapai, yaitu ketika selisih 𝜃𝑘+1 dan 𝜃𝑘 kurang dari suatu bilangan yang

sangat kecil. Bilangan tersebut dapat ditentukan sesuai dengan seberapa besar

ketelitian yang diinginkan.

Misalkan 𝑔(𝑥) = log (1

𝑥), karena turunan kedua dari 𝑔(𝑥) selalu positif

∇2𝑔(𝑥) = ∇2 log 𝑔(𝑥) = 1

𝑥2> 0, ∀𝑥 > 0,

9

maka 𝑔(𝑥) merupakan fungsi konveks. Karena log1

𝑥 merupakan fungsi konveks,

maka berdasarkan ketaksamaan Jensen dapat dihasilkan barisan {𝜃𝑘 , 𝑘 > 0} yang

merupakan fungsi likelihood yang takturun, yaitu

log 𝐿(𝜃𝑘+1) − log 𝐿(𝜃𝑘) ≥ Φ(𝜃𝑘+1, 𝜃𝑘) .

Bentuk Φ(𝜃, 𝜃∗) disebut Pseudo Likelihood bersyarat (Elliot 1995).

Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah rataan persentase kesalahan

absolut pada tiap periode dibagi dengan nilai observasi yang nyata untuk periode

tersebut. Rumus MAPE adalah sebagai berikut

𝑀𝐴𝑃𝐸 =100%

𝑛∑|

𝐴𝑡 − 𝐹𝑡

𝐴𝑡|

𝑛

𝑡=1

dengan n menyatakan banyaknya data yang digunakan, 𝐴𝑡 menyatakan nilai yang

sebenarnya, dan 𝐹𝑡 menyatakan nilai dugaan. (Mynsbrugge 2010)

MODEL HIDDEN MARKOV SATU WAKTU

SEBELUMNYA

Model Hidden Markov

Model hidden Markov terdiri atas sepasang proses stokastik {𝑋𝑡, 𝑌𝑡}. {𝑋𝑡}

dengan state {1,2, … ,𝑁} adalah proses penyebab kejadian yang tidak diamati

secara langsung dan membentuk rantai Markov, sedangkan {𝑌𝑡} adalah proses

observasinya.

Pada saat 𝑋𝑡 berada pada state 𝑗 (𝑋𝑡 = 𝑗), maka proses yang diamati 𝑌𝑡

menyebar normal dengan nilai harapan 𝜇𝑗 dan ragam 𝜎𝑗2. Fungsi kepekatan peluang

bersyarat dari 𝑌𝑡 dengan syarat 𝑋𝑡 = 𝑗 adalah

𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗) =1

√2𝜋𝜎𝑗

exp (−(𝑦𝑡 − 𝜇𝑗)

2

2𝜎𝑗2 )

dengan 𝑗 = 1,2, … ,𝑁. Peluang tak bersyarat proses yang tidak diamati 𝑋𝑡 berada

pada state 𝑗 adalah

𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗) = 𝜋𝑗

dengan 𝑗 ∈ {1,2, … ,𝑁}. Karena {𝑋𝑡} rantai Markov maka matriks peluang

transisinya 𝑃 = (𝑝𝑖𝑗)𝑁×𝑁

𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝑋𝑡−1 = 𝑖)

dengan 𝑗 ∈ {1,2, … ,𝑁}. Dari persamaan (1) dan (2) serta definisi fungsi kerapatan

peluang bersyarat, maka didapatkan fungsi kerapatan peluang bersama 𝑦𝑡 dan 𝑋𝑡 =𝑗, yaitu

(2)

(1)

(3)

10

𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗) = 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗) ∙ 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗)

=𝜋𝑗

𝜎𝑗√2𝜋exp (

−(𝑦𝑡 − 𝜇𝑗)2

2𝜎𝑗2 )

sehingga

𝑃(𝑌𝑡 ≤ 𝑦𝑡; 𝑋𝑡 = 𝑗) = ∫𝜋𝑗

𝜎𝑗√2𝜋exp(

−(𝑌𝑡 − 𝜇𝑗)2

2𝜎𝑗2 )𝑑𝑌𝑡

𝑦𝑡

−∞

.

Berdasarkan Teorema Dasar Kalkulus bagian pertama didapatkan

𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗) =𝑑

𝑑𝑦𝑡∫

𝜋𝑗


−(𝑌𝑡 − 𝜇𝑗)2

2𝜎𝑗2 )𝑑𝑌𝑡

𝑦𝑡

−∞

=𝜋𝑗


−(𝑦𝑡 − 𝜇𝑗)2

2𝜎𝑗2 ).

Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑌𝑡 diperoleh dengan

menjumlahkan 𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗) untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑗, yaitu:

𝑓(𝑦𝑡) = ∑ 𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗)𝑁𝑗=1 .

Dari persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh

𝑓(𝑦1, … , 𝑦𝑇) = ∑ …𝑁𝑖1=1 ∑ 𝜋𝑖𝑝𝑖1𝑖2 …𝑝𝑖𝑇−1𝑖𝑇𝑓(𝑦1, 𝑆1 = 𝑖)…𝑁

𝑖𝑇=1 𝑓(𝑦𝑇 , 𝑆𝑇 = 𝑖).

Jadi karakteristik model hidden Markov dicirikan oleh parameter-parameternya

yaitu: 𝜃 = {𝜇, 𝜎, 𝜋, 𝐏}, dengan 𝜇 = (𝜇1, 𝜇2, … , 𝜇𝑁), 𝜎2 = (𝜎12, 𝜎2

2, … , 𝜎𝑁2), 𝜋 =

(𝜋1, 𝜋2, … , 𝜋𝑁) dan 𝐏 = (𝑝𝑖𝑗)𝑁×𝑁.

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

Karakteristik Model

Pada subbab ini akan dibahas model deret waktu hidden Markov satu waktu

sebelumnya yang didefinisikan pada ruang state ( Ω,ℱ, 𝑃 ) berupa persamaan

berikut:

𝑌𝑡 = 𝑐(𝑋𝑡∗) + 𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )𝑌𝑡−1 + 𝜀𝑡 dengan:

𝜀𝑡~𝑁(0, 𝜎2) bebas stokastik identik.

{𝑌𝑡} proses yang diamati dan bernilai skalar dengan ruang state 𝑆𝑌.

{𝑋𝑡∗} rantai Markov dengan ruang state 𝑆𝑋∗ = {1,2} dan matriks transisi.

𝑨∗ = [𝑝11

∗ 𝑝21∗

𝑝12∗ 𝑝22

∗ ] dengan 𝑝𝑖𝑗∗ = 𝑃(𝑋𝑡

∗ = 𝑗|𝑋𝑡−1∗ = 𝑖) dan ∑ 𝑝𝑖𝑗

2𝑗=1 = 1, ∀𝑖 =

1,2, 𝑝𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑖, 𝑗 = 1,2.

c = (𝑐1, 𝑐2) dan 𝜙 = (𝜙1, 𝜙2) ∈ ℝ2 , dengan 𝑐1, 𝑐2, dan 𝜙1, 𝜙2 merupakan

konstanta real.

𝑐(𝑋𝑡∗) = 𝑐𝑋𝑡

∗ dan 𝜙 (𝑋𝑡−1∗ )=𝜙𝑋𝑡−1

∗ .

𝜃 = {𝑐, 𝑨∗, 𝜙, 𝜎2}.

Karena 𝑌𝑡 tidak hanya bergantung pada 𝑋𝑡∗ tetapi juga pada 𝑋𝑡−1

∗ , maka agar

tetap memenuhi sifat Markov perlu didefinisikan peubah baru 𝑋𝑡 di mana:

(7)

(4)

(5)

(6)

11

𝑋𝑡 = 1, jika 𝑋𝑡∗ = 1 dan 𝑋𝑡−1

∗ = 1


∗ = 1


∗ = 2


∗ = 2

Lema 1

{𝑋𝑡} adalah rantai Markov dengan ruang state {1,2,3,4} dan matriks transisi:

𝐏 = [

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

].

Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1.

Selanjutnya, karena 𝜀𝑡~𝑁(0, 𝜎2) bebas stokastik identik maka dapat

diperoleh fungsi sebaran bagi 𝜀𝑡:

𝐹𝜀𝑡(𝑦𝑡) = 𝑃(𝜀𝑡 ≤ 𝑦𝑡) = ∫

1

√2𝜋𝜎exp (

−(𝜀𝑡−0)2

2𝜎2 )𝑑𝜀𝑡𝑦𝑡

0

= ∫1

√2𝜋𝜎exp (

−(𝜀𝑡)2

2𝜎2 )𝑑𝜀𝑡𝑦𝑡

0.

Berdasarkan persamaan (7) dan (9) diperoleh fungsi sebaran bagi 𝑌𝑡:

𝐹𝑌𝑡(𝑦𝑡) = 𝑃(𝑌𝑡 ≤ 𝑦𝑡) = 𝑃(𝑐(𝑋𝑡

∗) + 𝜙(𝑋𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1 + 𝜀𝑡 ≤ 𝑦𝑡)

= 𝑃(𝜀𝑡 ≤ 𝑦𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡∗) − 𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )𝑌𝑡−1)

= ∫1

√2𝜋𝜎exp (

−(𝜀𝑡)2

2𝜎2 )𝑑𝜀𝑡𝑦𝑡−𝑐(𝑋𝑡

∗)−𝜙(𝑋𝑡−1∗ )𝑌𝑡−1

0.

Misalkan

𝑣 = 𝑦𝑡 − 𝑐(𝑋𝑡∗) − 𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )𝑌𝑡−1 maka

𝐹𝑌𝑡(𝑦𝑡) = ∫

1

√2𝜋𝜎exp (

−(𝜀𝑡)2

2𝜎2 ) 𝑑𝜀𝑡𝑣

0

dan

𝑓𝑌𝑡(𝑦𝑡) =

𝜕

𝜕𝑦𝑡𝐹𝑌𝑡

(𝑦𝑡) =𝜕

𝜕𝑣𝐹𝑌𝑡

(𝑦𝑡)𝜕𝑣

𝜕𝑦𝑡

=1

√2𝜋𝜎exp (

−(𝑣)2

2𝜎2)

𝜕𝑣

𝜕𝑦𝑡.

=1

√2𝜋𝜎exp (

−(𝑦𝑡−𝑐(𝑋𝑡∗)−𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) × 1

=1

√2𝜋𝜎exp (

−(𝑦𝑡−𝑐(𝑋𝑡∗)−𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 ).

Misalkan 𝒴𝑡 adalah medan-𝜎 yang dibangun oleh 𝑌1, 𝑌2, 𝑌3, … , 𝑌𝑡. Karena

𝑋𝑡 merupakan rantai Markov 4 state maka terdapat 4 fungsi kepekatan peluang bagi

𝑌𝑡 . Kumpulan fungsi kerapatan peluang tersebut dalam vektor (4 × 1)

dilambangkan dengan 𝜂𝑡, sehingga diperoleh:

𝜂𝑡 =

[ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)


𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)]

(8)

(10)

(9)

12

=

[

1

√2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 (

−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )

1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )

1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )

1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )]

.

Misalkan 𝜉𝑡|𝑡−1 = (𝜉𝑡|𝑡−1(1)

𝜉𝑡|𝑡−1(2)

𝜉𝑡|𝑡−1(3)

𝜉𝑡|𝑡−1(4)

)𝑇

melambangkan vektor (4 × 1)

di mana 𝜉𝑡|𝑡−1(𝑗)

pada vektor mempresentasikan 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) dan ⊗

melambangkan perkalian dalam elemen per elemen, maka

𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡 =

[ 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃)]

⊗

[ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)



𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)]

=

[ 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ⋅ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)]

.

Berdasarkan persamaan (12) maka dapat ditulis:

𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃) sehingga diperoleh:

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃) = ∑ 𝑃4𝑗=1 (𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃)

= ∑ 𝑃4𝑗=1 (𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃)

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)

+𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)

+𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)

+𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃).

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃) = ∑ 𝑃4𝑗=1 (𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃) = 𝟏′(𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡)

di mana 𝟏′ = [1 1 1 1]. Berdasarkan persamaan (13) dan (14) maka dapat diperoleh

𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃)=

𝑃(𝑦𝑡,𝑋𝑡=𝑗,𝒴𝑡−1;𝜃)

𝑃(𝒴𝑡−1;𝜃)

𝑃(𝑦𝑡,𝒴𝑡−1;𝜃)

𝑃(𝒴𝑡−1;𝜃)

=𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝒴𝑡−1; 𝜃)∙

𝑃(𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑃(𝑦𝑡, 𝒴𝑡−1; 𝜃)

=𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃)


=𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗, 𝑦𝑡, 𝒴𝑡−1; 𝜃)


= 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝑦𝑡, 𝒴𝑡−1; 𝜃)

= 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃).

(11)

(14)

(15)

(16)

(13)

(12)

13

sehingga berdasarkan persamaan (13), (14), dan (15) diperoleh

𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃) =𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃).

𝜉𝑡|𝑡 =𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡

𝟏′(𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡).

𝜉𝑡+1|𝑡(𝑗)

= 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝒴𝑡; 𝜃)

= ∑𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃)

4

𝑗=1

= ∑𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡; 𝜃)

𝑁

𝑗=1

𝜉𝑡|𝑡(𝑗)

= ∑𝑝𝑗𝑖

4

𝑗=1

𝜉𝑡|𝑡(𝑗)

. 𝑖 = 1,2,3,4.

𝜉𝑡+1|𝑡 =

[ 𝑝11

∗ 𝜉𝑡|𝑡(1)

+ 𝑝11∗ 𝜉𝑡|𝑡

(3)

𝑝12∗ 𝜉𝑡|𝑡

(1)+ 𝑝12

∗ 𝜉𝑡|𝑡(3)


(2)+ 𝑝21

∗ 𝜉𝑡|𝑡(4)


(2)+ 𝑝22

∗ 𝜉𝑡|𝑡(4)

]

= [

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

]

[ 𝜉𝑡|𝑡

(1)

𝜉𝑡|𝑡(2)

𝜉𝑡|𝑡(3)

𝜉𝑡|𝑡(4)

]

= 𝐏 ∙ 𝜉𝑡|𝑡.

𝜉𝑡+𝑚|𝑡 = 𝐏𝒎 ∙ 𝜉𝑡|𝑡.

Salah satu pendekatan yang dapat digunakan untuk memilih nilai awal bagi

𝜉𝑡|𝑡−1 adalah dengan membuat 𝜉1|0 sama dengan vektor dari peluang tak bersyarat

𝜋 = [𝜋1 𝜋2 𝜋3 𝜋4] yang memenuhi sifat ergodic, yaitu:

𝐏𝜋 = 𝜋

𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 + 𝜋4 = 1.

Pendugaan Parameter

Fungsi kepekatan peluang marjinal tak bersyarat dari 𝑌𝑡 diperoleh dengan

menjumlahkan 𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗; 𝜃) untuk semua kemungkinan nilai dari 𝑗, yaitu:

𝑓(𝑦𝑡; 𝜃) = ∑ 𝑓(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗;𝒴𝑡−1)𝑁𝑗=1 .

𝑓(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑡; 𝜃) = ∏ 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1)𝑇𝑡=1

sehingga fungsi log likehood untuk menduga parameter populasi 𝜃 adalah

𝐿(𝜃) = ∑log 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1)

𝑇

𝑡=1

Penduga kemungkinan maksimum likelihood 𝜃 diperoleh dengan

memaksimumkan persamaan (22) dengan kendala 𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 + 𝜋4 = 1 dan

𝜋𝑗 ≥ 0 untuk 𝑗 = 1,2,3,4. Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka digunakan

metode Lagrange, yaitu

𝐽(𝜃) = 𝐿(𝜃) + 𝜆(1 − 𝜋1 − 𝜋2 − 𝜋3 − 𝜋4) lalu persamaan (23) diturunkan masing-masing terhadap 𝜋𝑗 , 𝜇𝑗 , dan 𝜎𝑗

2.

(17)

(19)

(22)

(21)

(18)

(20)

(23)

14

Berdasarkan persamaan (20), (22), dan (23) diperoleh 𝜕𝐽(𝜃)

𝜕𝜆= 0 ⟺ 1 − 𝜋1 − 𝜋2 − 𝜋3 − 𝜋4 = 0

⟺ 𝜋1 + 𝜋2 + 𝜋3 + 𝜋4 = 1.

𝜕𝐽(𝜃)

𝜕𝜋𝑗= 0 ⟺

𝜕𝐿(𝜃)

𝜕𝜋𝑗= 0

⟺𝜕

𝜕𝜋𝑗(∑ log 𝑓(𝑦𝑡; 𝜃)𝑇

𝑡=1 ) = ∑1

𝑓(𝑦𝑡;𝜃)∙𝑇

𝑡=1 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗; 𝜃) = 0.

𝜕𝐽(𝜃)

𝜕𝜇𝑗= 0 ⟺

𝜕𝐿(𝜃)

𝜕𝜇𝑗= 0

⟺𝜕

𝜕𝜇𝑗(∑ log 𝑓(𝑦𝑡; 𝜃)𝑇

𝑡=1 ) = ∑1

𝑓(𝑦𝑡;𝜃)∙(𝑦𝑡−𝜇𝑗)

𝜎𝑗2 ∙𝑇

𝑡=1 𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗; 𝜃) = 0.

𝜕𝐽(𝜃)

𝜕𝜎𝑗2 = 0 ⟺

𝜕𝐿(𝜃)

𝜕𝜎𝑗2 = 0

⟺𝜕

𝜕𝜎𝑗2 (∑ log 𝑓(𝑦𝑡; 𝜃)𝑇

𝑡=1 ) = ∑𝑃(𝑦𝑡,𝑋𝑡=𝑗;𝜃)

𝑓(𝑦𝑡;𝜃)∙ (−

1

2𝜎𝑗2 +

(𝑦𝑡−𝜇𝑗)2

2𝜎𝑗4 )𝑇

𝑡=1 = 0.

Penduga kemungkinan maksimum bagi 𝜃 diperoleh dengan

memaksimumkan: 𝐿(𝜃) = ∑ log 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑇𝑡=1 dengan membuat turunan

pertama dari log likehood terhadap parameter 𝜃 sama dengan nol, maka diperoleh

𝑐1 =∑ [𝐵(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑦𝑡−1) + 𝐷(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑦𝑡−1)]

𝑇𝑡=1

∑ 𝐵 + 𝐷𝑇𝑡=1

.

𝑐2 =∑ [𝐶(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑌𝑡−1)]

𝑇𝑡=1

∑ [𝐶 + 𝐸]𝑇𝑡=1

.

𝜙1 =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2)]

𝑇𝑡=1

∑ (𝑦𝑡−1)2[𝐵 + 𝐶]𝑇𝑡=1

.

𝜙2 =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2)]

𝑇𝑡=1

∑ (𝑦𝑡−1)2[𝐷 + 𝐸]𝑇𝑡=1

.

�̂�2 =1

∑ [𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸]𝑇𝑡=1

∙ ∑ [𝐵 ((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑌𝑡−1)2+ 𝐶 ((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙1𝑌𝑡−1)

2+𝑇

𝑡=1

𝐷 ((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙2𝑌𝑡−1)2+ 𝐸 ((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙2𝑌𝑡−1)

2]

di mana:

𝐵 =1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝐶 =1


(31)

(32)

(24)

(29)

(28)

(30)

(25)

(26)

(27)

15

𝐷 =1


𝐸 =1


Bukti dapat dilihat pada Lampiran 2.

Karena persamaan (28) sampai (32) taklinear, maka untuk mencapai penduga

kemungkinan maksimum bagi 𝜃 digunakan algoritme iteratif yang merupakan

kasus khusus dari prinsip EM.

Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:

1. Tentukan banyaknya data (T) yang akan diamati serta tentukan juga nilai

(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦𝑇) dan matriks transisi

𝐏 = [

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

].

2. Beri nilai awal bagi 𝜃 yang dilambangkan dengan 𝜃 = (�̂�1, �̂�2, �̂�1, �̂�2, �̂�2).

3. Cari fungsi kepekatan bersyarat bagi 𝑦𝑇 untuk setiap 𝑡 = 1,2, … , 𝑇 dengan

cara

𝜂𝑡 =

[ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)



𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)]

=

[ 1

√2𝜋�̂�exp(

−(𝑦𝑡 − �̂�1 − �̂�1𝑌𝑡−1)2

2�̂�2)

1


−(𝑦𝑡 − �̂�2 − �̂�1𝑌𝑡−1)2

2�̂�2)

1


−(𝑦𝑡 − �̂�1 − �̂�2𝑌𝑡−1)2

2�̂�2)

1

√2𝜋�̂�exp (

−(𝑦𝑡 − �̂�2 − �̂�2𝑌𝑡−1)2

2�̂�2)]

.

4. Penarikan kesimpulan optimal dan peramalan untuk setiap waktu 𝑡 pada

contoh dapat diperoleh melalui iterasi:

4.1 Tentukan nilai awal bagi 𝜉𝑡|𝑡−1 yang dilambangkan dengan 𝜉1|0

4.2 Beri nilai awal 𝑖 = 1

4.3 Untuk 𝑡 = 𝑖, cari nilai dari

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃) = 𝟏′(𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡).

16

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1

√2𝜋�̂�exp (

−(𝑦𝑡−𝑐1̂−�̂�1𝑌𝑡−1)2

2�̂�2 ) +

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1

√2𝜋�̂�exp (

−(𝑦𝑡−𝑐2̂−�̂�1𝑌𝑡−1)2

2�̂�2 ) +

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1

√2𝜋�̂�exp (

−(𝑦𝑡−𝑐1̂−�̂�2𝑌𝑡−1)2

2�̂�2) +

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1

√2𝜋�̂�exp (

−(𝑦𝑡−𝑐2̂−�̂�2𝑌𝑡−1)2

2�̂�2 ) .

𝜉𝑡|𝑡 =

[ 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡; 𝜃)]

=𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡

𝟏′(𝜉𝑡|𝑡−1 ⊗ 𝜂𝑡)

𝜉𝑡+1|𝑡 =

[ 𝑃(𝑋𝑡+1 = 1|𝒴𝑡; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡+1 = 2|𝒴𝑡; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡+1 = 3|𝒴𝑡; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡+1 = 4|𝒴𝑡; 𝜃)]

= 𝐏 ∙ 𝜉𝑡|𝑡

𝑖 = 𝑖 + 1. 4.4 Ulangi mulai dari langkah 4.3. Hentikan jika 𝑡 = 𝑇.

Lanjutkan ke langkah 5.

5. Misalkan

𝐵 =1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃(𝑚))

𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃(𝑚)) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃

(𝑚))

𝐶 =1



(𝑚))

𝐷 =1



(𝑚))

𝐸 =1



(𝑚))

cari nilai dari:

𝑐1 =∑ [𝐵(𝑦

𝑡− �̂�1𝑦𝑡−1

) + 𝐷(𝑦𝑡− �̂�2𝑦𝑡−1

)]𝑇𝑡=1

∑ 𝐵 + 𝐷𝑇𝑡=1

.

𝑐2 =∑ [𝐶(𝑦𝑡 − �̂�1𝑌𝑡−1) + 𝐸(𝑦𝑡 − �̂�2𝑌𝑡−1)]

𝑇𝑡=1

∑ [𝐶 + 𝐸]𝑇𝑡=1

.

𝜙1 =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐵(𝑦𝑡 − �̂�1) + 𝐶(𝑦𝑡 − �̂�2)]

𝑇𝑡=1

∑ (𝑦𝑡−1)2[𝐵 + 𝐶]𝑇𝑡=1

.

𝜙2 =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐷(𝑦𝑡 − �̂�1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2)]

𝑇𝑡=1

∑ (𝑦𝑡−1)2[𝐷 + 𝐸]𝑇𝑡=1

.

17

𝜎2 =1

∑ [𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸]𝑇𝑡=1

∙ ∑ [𝐵 ((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑌𝑡−1)2+ 𝐶 ((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙1𝑌𝑡−1)

2+𝑇

𝑡=1

𝐷 ((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙2𝑌𝑡−1)2+ 𝐸 ((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙2𝑌𝑡−1)

2].

6. Beri nama parameter yang dihasilkan pada langkah 4 dengan 𝜃(𝑚+1) =

(�̂�1, �̂�2, �̂�1, �̂�2, �̂�2) dan 𝑚 = 0,1,2, … , 𝑇 − 1.

7. Cari P yang baru, yaitu:

𝜉𝑡|𝑇(𝑗)

= 𝜉𝑡|𝑡(𝑗)

⨀{𝐏′ ⋅ [𝜉𝑡+1|𝑇(𝑗) (÷)𝜉𝑡+1|𝑡

(𝑗)]}

�̂�𝑖𝑗 =∑ 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗, 𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝒴𝑡; 𝜃)𝑇

𝑡=2

∑ 𝑃(𝑋𝑡+1 = 𝑖|𝒴𝑡; 𝜃)𝑇𝑡=2

𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑇; 𝜃) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑇; 𝜃)

≈ 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡; 𝜃)

=𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃)

=𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑇; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝒴𝑡; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝑋𝑡−1 = 𝑖; 𝜃)

𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡; 𝜃)

=𝜉𝑡|𝑇

(𝑗)× 𝜉𝑡−1|𝑡−1

(𝑖)× 𝑝𝑖𝑗

𝜉𝑡|𝑡(𝑗)

𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖|𝒴𝑇; 𝜃) = ∑𝑃(𝑋𝑡−1 = 𝑖, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑇; 𝜃)

𝑁

𝑗=1

(Kim 1994)

�̂�𝑖𝑗 =

∑�̂�𝑡|𝑇

(𝑗)×�̂�𝑡−1|𝑡−1

(𝑖)×𝑝𝑖𝑗

�̂�𝑡|𝑡(𝑗)

𝑇𝑡=2

∑ ∑�̂�𝑡|𝑇

(𝑗)×�̂�𝑡−1|𝑡−1

(𝑖)×𝑝𝑖𝑗

�̂�𝑡|𝑡(𝑗)

𝑁𝑗=1

𝑇𝑡=2

Bukti dapat dilihat pada Hamilton (1990).

8. Ulangi mulai dari langkah 2. Hentikan jika 𝑚 = 𝑇. Gunakan parameter yang

sudah dihasilkan untuk mencari nilai harapan bagi nilai tukar Rupiah yang

akan datang.

𝐸[𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃] = 𝐸[𝑐(𝑋𝑡∗) + 𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )𝑦𝑡−1 + 𝜀𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃]

= 𝑐(𝑋𝑡∗) + 𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )∫𝑦𝑡−1𝑓(𝑦𝑡−1|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃) 𝑑𝑦𝑡

�̂�𝑡 = E[𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃(𝑇)] = ∫𝑦𝑡𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃

(𝑇))𝑑𝑦𝑡

18

= ∫𝑦𝑡 ∑𝑃(X𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃(𝑇))𝑓(𝑦𝑡|X𝑡 = 𝑗, 𝒴𝑡−1; 𝜃

(𝑇))𝑑𝑦𝑡

𝑁

𝑗=1

= ∑𝜉𝑡|𝑡−1(𝑗)

⋅ E[𝑦𝑡|X𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃(𝑇)]

𝑁

𝑗=1

.

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP

DOLAR AMERIKA

Pada bab ini akan dibahas pemodelan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar

Amerika. Namun terlebih dahulu akan dibahas mengenai data input yang digunakan

sebagai data observasi pada model. Kemudian dilanjutkan dengan pemodelan

masalah nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika.

Data Input Nilai Tukar Rupiah

Dalam karya ilmiah ini, data input yang digunakan adalah data rata-rata nilai

tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan yang diambil dari laman

www.rba.gov.au (12 Oktober 2014). Data diambil pada selang waktu antara bulan

Juni 1997 hingga Juni 2013 yang berarti terdapat 193 data observasi (𝑦𝑡). Data yang

akan diduga sebanyak 192 data, dari Juli 1997 hingga Juni 2013. Data nilai tukar

pada Juni 1997 akan digunakan sebagai nilai awal (𝑦0). Grafik data disajikan pada

Gambar 1.

Gambar 1 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

Jun

-19

97

Feb

-19

98

Oct

-19

98

Jun

-19

99

Feb

-20

00

Oct

-20

00

Jun

-20

01

Feb

-20

02

Oct

-20

02

Jun

-20

03

Feb

-20

04

Oct

-20

04

Jun

-20

05

Feb

-20

06

Oct

-20

06

Jun

-20

07

Feb

-20

08

Oct

-20

08

Jun

-20

09

Feb

-20

10

Oct

-20

10

Jun

-20

11

Feb

-20

12

Oct

-20

12

Jun

-20

13

http://www.rba.gov.au/

19

Model Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

Perilaku nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika sudah pernah

dimodelkan menggunakan model hidden Markov satu waktu sebelumnya oleh

Setiawaty dan Ardana (2013), Santoso (2008), dan Retnoningtyas (2014).

Setiawaty dan Ardana (2013) menggunakan persamaan: 𝑌𝑡 = 𝑐(𝑋𝑡∗) +

𝜙(𝑋𝑡∗)𝑌𝑡−1 + 𝜀𝑡, sedangkan Santoso (2008) dan Retnoningtyas (2014)

menggunakan persamaan: 𝑌𝑡 − 𝜇𝑋𝑡∗ = 𝜙(𝑌𝑡−1 − 𝜇𝑋𝑡

∗) + 𝜀𝑡 , di mana {𝑋𝑡∗} adalah

rantai Markov, {𝑌𝑡 } adalah penyebab nilai tukar Rupiah dan 𝜀𝑡 menyebar normal.

Pada Setiawaty dan Ardana (2013) diperoleh MAPE 4.31%, pada Retnoningtyas

(2014) digunakan nilai awal 𝜇 = [9124.899198.76

] , 𝜙 = 3.94, 𝑃 = [0.870.75

], dan 𝜎 =

1454, dengan MAPE 4.14%.

Model hidden Markov yang akan digunakan pada tugas akhir ini adalah:

𝑌𝑡 = 𝑐(𝑋𝑡∗) + 𝜙(𝑋𝑡−1

∗ )𝑌𝑡−1 + 𝜀𝑡

seperti pada bab sebelumnya. Berdasarkan model di atas nilai tukar Rupiah saat ini

diasumsikan tidak hanya bergantung pada faktor penyebab saat ini dan satu waktu

sebelumnya, tetapi juga bergantung pada nilai tukar Rupiah satu waktu sebelumnya.

Pada model hidden Markov di atas akan di cari nilai duga parameternya agar hasil

yang didapat mendekati nilai yang sebenarnya. Pada tugas akhir ini akan

dibangkitkan nilai awal yang tepat agar keakuratan model meningkat. Keakuratan

dianggap baik bila MAPE < 5%.

Penentuan Nilai Awal Parameter

Data dibagi menjadi dua bagian, bagian pertama data dari Juni 1997 hingga

Mei 2013 dan bagian kedua data dari Juli 1997 hingga Juni 2013 (𝑦𝑡), kedua data

kemudian diplot. Nilai yang akan diplot adalah 𝑦 = 𝑦𝑡 terhadap 𝑥 = 𝑦𝑡−1 .

Persamaan baru yang didapatkan yaitu

𝑌 = 1917.57 + 0.792906 𝑥

Gambar 2 Plot persamaan baru dari data yang akan dikurangi rataannya

Dari hasil persamaan yang didapatkan, bentuk persamaannya mirip dengan model

yang digunakan sehingga dapat digunakan dalam acuan pembangkitan nilai awal 𝑐

dan 𝜙 . Nilai awal 𝑐 yang digunakan dibangkitkan dari interval [1000, 2500] ,

(33)

20

dengan nilai awal (2184.29, 1282.7). Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝑐

yang digunakan adalah (1932.95, 1932.95) . Nilai awal 𝜙 yang digunakan

dibangkitkan dari interval [0.5, 1], dengan nilai awal (0.62068, 0.532869). Hasil

dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝜙 yang digunakan adalah (0.7824, 0.7824).

Penentuan Nilai Awal P

Sedangkan nilai awal P dibangkitkan secara acak dari interval peluang [0,1],

karena 0 ≤ 𝑝𝑖𝑗 ≤ 1. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan yang digunakan

untuk 𝐏 adalah [

0.5 00.5 0

0.5 00.5 0

0 0.50 0.5

0 0.50 0.5

].

Penentuan Nilai Awal 𝝈

Nilai awal untuk parameter 𝜎 yang digunakan dibangkitkan dari interval nilai

[100,2000] yang merupakan selang dari standar deviasanya. Nilai awal yang 𝜎

dibangkitkan sebesar 1130.27. Hasil dari satu kali iterasi nilai pendugaan 𝜎 yang

digunakan adalah 1.03636 × 107.

Hasil Program

Dari bagian sebelumnya nilai dugaan parameter yang digunakan untuk

membangkitkan dugaan nilai tukar Rupiah adalah 𝑐1 = 1932.95, 𝑐2 =1932.95, 𝜙1 = 0.7824, 𝜙2 = 0.7824, 𝜎 = 1.03636 × 107. Galat nilai dugaan

yang ditunjukkan oleh MAPE sebesar 4.48037 % diperoleh melalui satu kali iterasi

seperti yang tertera pada Lampiran 3. Hal ini terjadi karena pada karya ilmiah ini

model dianggap baik apabila nilai dari MAPE < 5%. Nilai tukar Rupiah dan nilai

dugannya tertera pada Lampiran 4. Hasil pendugaan model dapat dilihat pada

Gambar 3.

Nilai Sebenarnya Nilai Dugaan

Gambar 3 Perubahan nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika per bulan dan nilai

dugaan yang didapatkan

21

SIMPULAN

Model deret waktu hidden Markov satu waktu sebelumnya pada tugas akhir

ini dapat memodelkan dengan cukup baik perubahan nilai tukar Rupiah terhadap

Dolar Amerika. Hal ini terlihat dari nilai dugaan yang mendekati nilai sebenarnya,

dengan MAPE yang dihasilkan sebesar 4.48%.

DAFTAR PUSTAKA

Baum LE, Petrie T. 1966. Statistical inference for probabilistic functions of finite

Markov chain. Annal of Mathematical Statistics. 37(6):1554-

1563.doi:10.1214/aoms/1177699147.

Elliot RJ, Anggoun L, Moore JB. 1995. Hidden Markov Models Estimation and

Control. New York (US): Springer Verlag.

Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed ke-2.

Oxford (GB): Clarendon Press.

Hamilton JD. 1990. Analysis of time series subject to changes in regime. Journal

of Econometrics. 45(2):39-70.doi:10.1016/0304-4076(90)90093-9.

Hogg RV, Craig AT. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. New

Jersey (US): Prentice Hall, Englewood Cliffs.

Kim CJ. 1994. Dynamic linear models with Markov-switching. Journal of

Econometrics. 60(2):1-22.doi:10.1016/0304-4076(94)90036-1.

Krantz SG. 1999. Handbook of Complex Variables. Boston (US): Birkhauser.

Mynsbrugge JV. 2010. Bidding strategies using price based unit commitment in a

deregulated power market [tesis]. Leuven (BE): Katholieke Universiteit

Leuven.

Osborne MJ. 1997. Concave and Convex Function of Many Variable. Canada (CA):

University of Toronto.

Ross SM. 1996. Stochastic Process. Ed ke-2. New York (US): John Wiley & Sons.

Royden HL. 1963. Real Analysis. New York (US): The Macmilan Company.

Retnoningtyas A. 2014. Kajian Numerik Model Hidden Markov Satu Waktu

Sebelumnya Untuk Nilai Tukar Rupiah Terhadap Dolar Amerika [skripsi].

Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Santoso DH. 2008. Pemodelan Nilai Tukar Rupiah Terhadap US Dollar

Menggunakan Deret Waktu Hidden Markov Satu Waktu Sebelumnya

[skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Setiawaty B, Ardana NKK. 2013. Modeling the exchange of Rupiah to American

Dollar using hidden Markov. Presentation paper of IICMA 2013; 2013 Nov

6-8; Yogyakarta, Indonesia.

Stewart J. 1998. Kalkulus Jilid 1. Ed ke-4. Jakarta (ID): Erlangga.

22

Lampiran 1 Bukti Lema 1

Karena {𝑋𝑡∗} rantai Markov, maka {𝑋𝑡} rantai Markov dengan matriks transisi

𝑃 = [

𝑝11 𝑝21

𝑝12 𝑝22

𝑝31 𝑝41

𝑝32 𝑝42𝑝13

𝑝14

𝑝23

𝑝24

𝑝33 𝑝43

𝑝34 𝑝44

].

Misalkan 𝑝𝑖𝑗∗ melambangkan 𝑃(𝑋𝑡

∗ = 𝑗|𝑋𝑡−1∗ = 𝑖) maka

𝑝11 = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝑋𝑡−1 = 1) = 𝑃(𝑋𝑡∗ = 1, 𝑋𝑡−1

∗ = 1|𝑋𝑡−1∗ = 1, 𝑋𝑡−2

∗ = 1)

=𝑃(𝑋𝑡

∗ = 1, 𝑋𝑡−1∗ = 1, 𝑋𝑡−2

∗ = 1)

𝑃(𝑋𝑡−1∗ = 1, 𝑋𝑡−2

∗ = 1)

= 𝑃(𝑋𝑡∗ = 1|𝑋𝑡−1

∗ = 1, 𝑋𝑡−2∗ = 1) = 𝑃(𝑋𝑡

∗ = 1|𝑋𝑡−1∗ = 1) = 𝑝11

∗ .

𝑝21 = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝑋𝑡−1 = 2) = 𝑃(𝑋𝑡∗ = 1, 𝑋𝑡−1

∗ = 1|𝑋𝑡−1∗ = 2, 𝑋𝑡−2

∗ = 1)

=𝑃(𝑋𝑡

∗ = 1, 𝑋𝑡−1∗ = 1, 𝑋𝑡−1

∗ = 2, 𝑋𝑡−2∗ = 1)

𝑃(𝑋𝑡−1∗ = 2, 𝑋𝑡−2

∗ = 1)

= 0.

Dengan cara perhitungan yang sama akan didapatkan

𝑝31 = 𝑝11∗

𝑝41 = 0

𝑝21 = 𝑝12∗

𝑝22 = 0

𝑝32 = 𝑝12∗

𝑝42 = 0

𝑝13 = 0

𝑝23 = 𝑝21∗

𝑝33 = 0

𝑝43 = 𝑝21∗

𝑝14 = 0

𝑝24 = 𝑝22∗

𝑝34 = 0

𝑝44 = 𝑝22∗

maka diperoleh matriks transisi

𝐏 = [

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

𝑝11∗ 0

𝑝12∗ 0

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

0 𝑝21∗

0 𝑝22∗

].

23

Lampiran 2 Bukti persamaan (28) sampai dengan (32)

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃) = ∑ 𝑃(𝑦𝑡, 𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃)4𝑗=1

= ∑ 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑗|𝒴𝑡−1; 𝜃)4𝑗=1 ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 𝑗,𝒴𝑡−1; 𝜃)

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) + 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙

1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2)

+𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙

1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2).

Berdasarkan persamaan (14), diperoleh 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)

𝜕𝑐1= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙

1

√2𝜋𝜎𝑒𝑥𝑝 {

−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙1𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

(−2)((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1)(−1)

2𝜎2

+𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙2𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

(−2)((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1)(−1)

2𝜎2.

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1)

𝜎2 +𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1; 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1)

𝜎2.

Jika diketahui fungsi log-likelihood sebagai berikut

ℒ(𝜃) = ∑log 𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃)

𝑇

𝑡=1

,

Untuk memperoleh nilai 𝑐1, 𝑐2, 𝜙1, 𝜙2, 𝜎2 yang memaksimumkan fungsi log-likehood, maka turunan pertama dari ℒ(𝜃) harus sama

dengan nol. 𝜕ℒ(𝜃)

𝜕𝑐1= ∑

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)∙𝜕𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)

𝜕𝑐1

𝑇𝑡=1

⇔ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1)

𝜎2 +𝑇𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1)

𝜎2 ]

= 0

(14)

23

24

⟺1

𝜎2∑ [

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙2𝑦𝑡−1)]

= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 − 𝜙1𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 − 𝜙2𝑦𝑡−1)]

= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑦𝑡−1)]

= ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑐1) +

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑐1)]

𝑇𝑡=1

= 𝑐1 ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃) +

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃)]𝑇

𝑡=1 .

Misalkan

𝐵 =1


𝐷 =1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃).

maka dapat dituliskan

∑[𝐵(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑦𝑡−1) + 𝐷(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑦𝑡−1)] = 𝑐1 ∑𝐵 + 𝐷

𝑇

𝑡=1

𝑇

𝑡=1

24

25

⇔ 𝑐1 =∑ [𝐵(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑦𝑡−1) + 𝐷(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑦𝑡−1)]

𝑇𝑡=1

∑ 𝐵 + 𝐷𝑇𝑡=1

seperti yang telah diklaim pada persamaan (28).

Berdasarkan persamaan (14) diperoleh

𝜕𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)

𝜕𝑐2= 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙

1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2)

(−2)((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)(−1)

2𝜎2+

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2)

(−2)((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)(−1)

2𝜎2

= 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)

𝜎2+ 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)

𝜎2

𝜕ℒ(𝜃)

𝜕𝑐2= ∑

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)∙𝜕𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)

𝜕𝑐2= 0𝑇

𝑡=1

⇔ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)

𝜎2 +𝑇𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1; 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)

𝜎2]

= 0

⇔1

𝜎2∑ [

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙1𝑌𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙2𝑌𝑡−1)]

= 0

25

26

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙1𝑌𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙2𝑌𝑡−1)]

= 0

⇔ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑌𝑡−1)]

= ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑐2) +

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4, 𝒴𝑡−1; 𝜃)(𝑐2)]

𝑇𝑡=1

= 𝑐2 ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2, 𝒴𝑡−1; 𝜃) +

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;�̂�)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)]𝑇

𝑡=1 .

Misalkan

𝐶 =1


𝐸 =1



∑[𝐶(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑌𝑡−1)]

𝑇

𝑡=1

= 𝑐2 ∑[𝐶 + 𝐸]

𝑇

𝑡=1

⟺ 𝑐2 = −∑ [𝐶(𝑦𝑡 − 𝜙1𝑌𝑡−1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝜙2𝑌𝑡−1)]

𝑇𝑡=1

∑ [𝐶 + 𝐸]𝑇𝑡=1

seperti yang diklaim pada persamaan (29).

26

27

Berdasarkan persamaan (14) diperoleh

𝜕𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)

𝜕𝜙1= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙

1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙1𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

(−2)((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1)(−𝑦𝑡−1)

2𝜎2

+𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙1𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

(−2)((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑦𝑡−1)(−𝑦𝑡−1)

2𝜎2

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙1𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2

+𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙1𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2.

𝜕ℒ(𝜃)

𝜕𝜙1= ∑

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)∙𝑇

𝑡=1𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,�̂�)

𝜕𝜙1= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1, 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2+𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1, 𝜃)

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2]

= 0

⟺1

𝜎2∑ [

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1, 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1, 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)]

= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1, 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1, 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)]

= 0

27

28

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1 − 𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2 − 𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)]

= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1)(𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2)(𝑦𝑡−1)]

= ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝜙1𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)]

= 𝜙1 ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡−1)

2 +𝑇𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡−1)

2].

Misalkan

𝐵 =1


𝐶 =1


sehingga diperoleh

∑ [𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1)(𝑦𝑡−1) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2)(𝑦𝑡−1)]𝑇𝑡=1 = 𝜙1 ∑ [𝐵(𝑦𝑡−1)

2 + 𝐶(𝑦𝑡−1)2]𝑇

𝑡=1

⟺ 𝜙1 =∑ [𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1)(𝑦𝑡−1) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2)(𝑦𝑡−1)]

𝑇𝑡=1

∑ [𝐵(𝑦𝑡−1)2 + 𝐶(𝑦𝑡−1)2]𝑇𝑡=1

28

29

⟺ 𝜙1 =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐵(𝑦𝑡 − 𝑐1) + 𝐶(𝑦𝑡 − 𝑐2)]

𝑇𝑡=1

∑ (𝑦𝑡−1)2[𝐵 + 𝐶]𝑇𝑡=1

seperti yang diklaim pada persamaan (30).

Berdasarkan persamaan (14) diperoleh 𝜕𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)

𝜕𝜙2= 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙

1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙2𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

(−2)((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1)(−𝑦𝑡−1)

2𝜎2

+𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙2𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

(−2)((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑦𝑡−1)(−𝑦𝑡−1)

2𝜎2

= 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐1−𝜙2𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2

+𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙1


−(𝑦𝑡−𝑐2−𝜙2𝑦𝑡−1)2

2𝜎2}

((𝑦𝑡−𝑐2𝑐2)−𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2 .

𝜕ℒ(𝜃)

𝜕𝜙2= ∑

1


𝑡=1𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)

𝜕𝜙2= 0

⟺ ∑ [1


((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2+𝑇

𝑡=1

1


((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2]

= 0

⟺ ∑ [1


(𝑦𝑡−𝑐1)(𝑦𝑡−1)−(𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2 +𝑇𝑡=1

1


(𝑦𝑡−𝑐2)(𝑦𝑡−1)−(𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)

𝜎2 ]

= 0

29

30

⟺1

𝜎2∑ [

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1)(𝑦𝑡−1) − (𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2)(𝑦𝑡−1) − (𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)]

= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1)(𝑦𝑡−1) − (𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2)(𝑦𝑡−1) − (𝜙2𝑦𝑡−1)(𝑦𝑡−1)]

= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1)(𝑦𝑡−1) − 𝜙2(𝑦𝑡−1)

2 +𝑇𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2)(𝑦𝑡−1) − 𝜙2(𝑦𝑡−1)

2]

= 0

⟺ ∑ (𝑦𝑡−1) [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐1) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡 − 𝑐2)]

= ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝜙2(𝑦𝑡−1)

2) +𝑇𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝜙2(𝑦𝑡−1)

2)]

= 𝜙2 ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃) 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3, 𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡−1)

2 +𝑇𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) ∙ 𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1, 𝜃)(𝑦𝑡−1)

2].

30

31

Misalkan

𝐷 =1


𝐸 =1



∑ (𝑦𝑡−1)[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2)]𝑇𝑡=1 = 𝜙2 ∑ [𝐷(𝑦𝑡−1)

2 + 𝐸(𝑦𝑡−1)2]𝑇

𝑡=1

⟹ 𝜙2 =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2)]

𝑇𝑡=1

∑ [𝐷(𝑦𝑡−1)2 + 𝐸(𝑦𝑡−1)2]𝑇𝑡=1

⟹ 𝜙2 =∑ (𝑦𝑡−1)[𝐷(𝑦𝑡 − 𝑐1) + 𝐸(𝑦𝑡 − 𝑐2)]

𝑇𝑡=1

∑ (𝑦𝑡−1)2[𝐷 + 𝐸]𝑇𝑡=1

Seperti yang telah diklaim pada persamaan (31).

𝜕𝑓(𝑦𝑡|𝑌𝑡−1;𝜃)

𝜕𝜎2 = 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) (−2𝜋

2) (2𝜋𝜎2)−

3

2𝑒𝑥𝑝 (−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)

2

2𝜎2 ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4

+𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) (−2𝜋

2) (2𝜋𝜎2)−

3

2𝑒𝑥𝑝 (−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)

2

2𝜎2 ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4

+𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) (−2𝜋

2) (2𝜋𝜎2)−

3

2𝑒𝑥𝑝 (−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)

2

2𝜎2 ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4

+𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) (−2𝜋

2) (2𝜋𝜎2)−

3

2𝑒𝑥𝑝 (−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)

2

2𝜎2 ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4 .

𝜕𝑓(𝑦𝑡|𝑌𝑡−1;𝜃)

𝜕𝜎2 = −𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃) (2𝜋

2(2𝜋𝜎2)√2𝜋𝜎2) 𝑒𝑥𝑝 (

−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 ) + 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 )((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4

31

32

−𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃) (2𝜋

2(2𝜋𝜎2)√2𝜋𝜎2) 𝑒𝑥𝑝 (

−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) + 𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃)

1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2)

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎4

−𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃) (2𝜋

2(2𝜋𝜎2)√2𝜋𝜎2) 𝑒𝑥𝑝 (

−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) + 𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃)

1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2)

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎4

−𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃) (2𝜋

2(2𝜋𝜎2)√2𝜋𝜎2) 𝑒𝑥𝑝 (

−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) + 𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃)

1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2)

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎4

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) (

−1

2𝜎2+

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎4) +

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) (

−1

2𝜎2+

((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎4) +

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) (

−1

2𝜎2+

((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎4) +

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 ) (−1

2𝜎2 +((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4 )

= 𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2) (

−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎4) +

𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 ) (−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4 ) +

𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 ) (−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4 ) +

𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃)1


−((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎2 ) (−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)

2

2𝜎4 ) +.

32

33

𝜕ℒ(𝜃)

𝜕𝜎2= ∑

1


𝑡=1𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1;𝜃)

𝜕𝜎2= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃) (

−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎4) +𝑇

𝑡=1

1


−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙1𝑌𝑡−1)2

2𝜎4) +

1


−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐1)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎4) +

1


−𝜎2+((𝑦𝑡−𝑐2)−𝜙2𝑌𝑡−1)2

2𝜎4)]

= 0

⟺ ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1, 𝒴𝑡−1; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑌𝑡−1)

2+𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃)((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙1𝑌𝑡−1)

2+

1


2+

1


2]

= 𝜎2 ∑ [1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 1|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 1,𝒴𝑡−1; 𝜃) +

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 2|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 2,𝒴𝑡−1; 𝜃) +𝑇

𝑡=1

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 3|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 3,𝒴𝑡−1; 𝜃) +

1

𝑓(𝑦𝑡|𝒴𝑡−1,𝜃)𝑃(𝑋𝑡 = 4|𝒴𝑡−1; 𝜃)𝑓(𝑦𝑡|𝑋𝑡 = 4,𝒴𝑡−1; 𝜃)] .

Misalkan

𝐵 =1


33

34

𝐶 =1


𝐷 =1


𝐸 =1



∑ [𝐵((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑌𝑡−1)2+ 𝐶((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙1𝑌𝑡−1)

2+ 𝐷((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙2𝑌𝑡−1)

2+ 𝐸((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙2𝑌𝑡−1)

2]𝑇

𝑡=1 = 𝜎2 ∑ [𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸]𝑇𝑡=1

𝜎2 =∑ [𝐵((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙1𝑌𝑡−1)

2+ 𝐶((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙1𝑌𝑡−1)

2+ 𝐷((𝑦𝑡 − 𝑐1) − 𝜙2𝑌𝑡−1)

2+ 𝐸((𝑦𝑡 − 𝑐2) − 𝜙2𝑌𝑡−1)

2]𝑇

𝑡=1

∑ [𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝐸]𝑇𝑡=1

.

Seperti yang diklaim pada persamaan (32).

34

35

Lampiran 3 Program untuk mencari nilai dugaan parameter menggunakan

software Mathematica 10

36

37

38

39

40

41

Lampiran 4 Nilai tukar Rupiah terhadap Dolar Amerika dan nilai dugaannya

t Nilai Rupiah Nilai Dugaan t Nilai Rupiah Nilai Dugaan

1 2604.67 3834.63 45 10415.10 9630.26

2 2990.20 3970.84 46 11820.00 10081.70

3 3278.69 4272.48 47 11154.90 11180.90

4 3665.43 4498.19 48 11410.80 10660.50

5 3649.86 4800.78 49 9365.21 10860.80

6 5350.08 4788.59 50 8921.75 9260.27

7 12499.60 6118.84 51 9685.15 8913.31

8 8800.59 11712.6 52 10455.20 9510.59

9 8549.89 8818.51 53 10459.60 10133.10

10 8050.47 8622.36 54 10399.50 10116.50

11 11175.40 8231,62 55 10328.90 10069.50

12 14875.30 10676.60 56 10189.80 10014.20

13 13199.70 13571.40 57 9655.76 9905.41

14 10999.80 12260.40 58 9319.99 9487.59

15 10788.90 10539.20 59 8789.21 9224.89

16 7625.74 10374.20 60 8730.52 8809.61

17 7474.30 7899.31 61 9079.96 8763.69

18 7929.63 7780.83 62 8866.59 9037.09

19 8900.73 8137.07 63 9011.96 8870.15

20 8763.05 8896.86 64 9237.44 8983.89

21 8725.57 8789.14 65 8976.46 9160.30

22 8275.23 8759.82 66 8949.13 8956.11

23 8129.72 8407.47 67 8874.92 8934.73

24 6729.84 8293.62 68 8901.55 8876.67

25 6875.77 7198.36 69 8903.25 8897.50

26 7609.34 7312.54 70 8675.76 8898.83

27 8324.66 7886.48 71 8319.53 8720.84

28 6875.58 8446.14 72 8279.89 8442.13

29 7500.00 7312.39 73 8505.13 8411.12

30 7012.85 7800.93 74 8559.38 8587.34

31 7433.41 7419.79 75 8400.24 8629.79

32 7483.31 7748.83 76 8495.60 8505.28

33 7615.19 7787.87 77 8505.41 8579.89

34 7950.58 7891.06 78 8470.67 8587.56

35 8620.75 8153.47 79 8452.38 8560.38

36 8735.38 8677.80 80 8462.64 8546.07

37 8979.73 8767.49 81 8583.48 8554.10

38 8364.65 8958.67 82 8689.75 8648.64

39 8790.72 8477.43 83 9263.61 8731.79

40 9415.31 8810.79 84 9412.11 9180.78

41 9527.45 9299.47 85 9182.65 9296.96

42 9615.52 9387.20 86 9333.90 9117.43

43 9445.66 9456.11 87 9175.88 9235.77

44 9838.10 9323.21 88 9088.59 9112.14

42

t Nilai Rupiah Nilai Dugaan t Nilai Rupiah Nilai Dugaan

89 9017.36 9043.84 134 9152.68 9060.28

90 9309.37 8988.11 135 9429.71 9093.99

91 9160.64 9216.58 136 10875.80 9310.73

92 9265.02 9100.21 137 12174.40 10442.10

93 9489.57 9181.88 138 10949.80 11458.20

94 9574.96 9357.57 139 11354.50 10500.00

95 9506.42 9424.38 140 11989.50 10826.70

96 9718.48 9370.75 141 11615.00 11313.50

97 9819.62 9536.67 142 10682.70 11020.50

98 10475.20 9615.80 143 10314.70 10291.10

100 10215.40 1-128.70 144 10223.10 10003.20

101 10049.40 9925.42 145 9915.47 9931.46

102 10024.40 9795.59 146 10079.80 9690.79

103 9825.54 9775.99 147 9670.49 9819.38

104 9387.48 9620.43 148 9540.44 9499.12

105 9227.85 9277.69 149 9455.22 9397.37

106 9160.50 9152.80 150 9397.93 9330.69

107 8800.05 9100.10 151 9364.69 9285.87

108 9194.60 8818.09 152 9334.76 9259.86

109 9280.24 9126.78 153 9114.53 9236.44

110 9070.25 9193.79 154 9011.83 9064.14

111 9097.94 9029.49 155 9162.54 8983.78

112 9229.95 9051.16 156 9075.44 9101.70

113 9114.66 9154.44 157 8951.70 9033.55

114 9165.61 9064.24 158 9044.63 8936.74

115 9005.43 9104.10 159 8922.11 9009.45

116 9093.26 8978.78 160 8927.36 8913.59

117 9176.40 9047.50 161 9035.14 8917.70

118 9130.11 9112.54 162 8995.38 9002.02

119 9083.21 9076.33 163 9057.84 8970.91

120 8829.45 9039.63 164 8811.37 9019.78

120 9034.99 8841.09 165 8709.12 8826.95

121 9185.72 9001.90 166 8573.39 8746.95

122 9409.54 9119.84 167 8535.81 8640.75

123 9143.54 9294.95 168 8594.84 8611.35

124 9098.31 9086.83 169 8504.66 8657.53

125 9372.81 9051.45 170 8567.95 8586.98

126 9394.28 9266.21 171 8809.94 8636.49

127 9296.49 9283.01 172 8835.28 8825.83

128 9065.08 9206.50 173 9169.74 9107.33

129 9220.04 9025.45 174 9150.26 8845.65

130 9235.30 9146.69 175 9005.36 9092.09

131 9309.55 9158.63 176 9094.86 8978.72

132 9225.02 9216.72 177 9184.77 9048.75

133 9109.60 9150.58 178 9191.62 9119.09

43

t Nilai Rupiah Nilai Dugaan

179 9563.07 9124.45

180 9477.97 9415.07

181 9484.13 9348.49

182 9565.09 9353.31

183 9587.16 9416.65

184 9631.91 9433.92

185 9605.02 9468.93

186 9637.90 9447.89

187 9760.44 9473.62

188 9668.13 9569.49

189 9710.34 9497.27

190 9723.19 9530.30

191 9803.09 9540.35

192 9927.76 9602.86

MAPE 4.48037%

44

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 13 Maret 1993 dari pasangan

Bapak Prof. Dr. Ahmad Husein Ritonga, M.Ag dan Ibu Dra. Mariatul Hasanah

Harahap. Penulis merupakan anak ketiga dari lima bersaudara. Penulis menempuh

pendidikan di MAN Cendekia Jambi. Penulis diterima sebagai mahasiswa IPB

melalui jalur UTM (Ujian Talenta Masuk) IPB pada tahun 2010. Penulis memilih

Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

(FMIPA).

Documents

PEMODELAN NILAI TUKAR RUPIAH TERHADAP DOLAR AMERIKA