Penentuan Luas Bulatan Archimedes

Disediakan oleh:Ahmad Ilmi Abu BakarMohammad Firdaus AbuNoor Asikin Md DesaNur Hazirah A GafaNurul Aina Ab HalimSiti Nur Aliaa Mohd Razali

8 Pismp Mt

Penentuan Luas BulatanArchimedes1

Pengenalan Archimedes (287-212 B.C.E) dalam risalah bertajuk Measurement of a Circle, telah membuktikan bahawa luas bagi bulatan yang mempunyai jejari r, sama dengan luas dengan segi tiga bersudut tegak yag mempunyai tapak C dan tinggi r, di mana C ialah lilitan bagi bulatan.

Luas segitiga = rCBeliau telah membuktikan kenyataannya dengan menentukan rumus bagi luas poligon sekata. Beliau kemudiannya menunjukkan bahawa poligon sekata boleh dilukis di dalam dan di luar bulatan tersebut.Selepas itu beliau menggunakan bukti melalui percanggahan (proof by contradiction) untuk membuktikan pernyataan beliau

Prinsip Asas

Poligon di dalam bulatan

Poligon di luar bulatan

-Prinsip yang sama seperti poligon di dalam bulatan

-Keseluruhan proses yang dilakukan oleh Archimedes dipanggil "exhaustion", di mana beliau menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan had kepada luas poligon di dalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidakterhinggaan (infinity).

Penentuan Luas PoligonTeorem: Luas suatu poligon sekata adalah di mana h ialah jarak berserenjang dari titik tengah ke sisi dan Q ialah perimeter poligon.

Contoh poligon : Oktagon

A

Bukti: Luas bagi segi tiga ialah: Poligon sekata dengan n-gon mempunyai n-sisi.Jadi, n ialah bilangan segi tiga.

Oleh itu,

Di mana Q ialah perimeter bagi bagi poligon sekata n-gon.Rumus bagi luas poligon sekata n-gon ialah

Bukti Melalui PercanggahanProof by contradiction merupakan pembuktian kesahihan cadangan yang diberikan adalah salah atau palsu dan ini menunjukkan percanggahan

juga dikenali dengan pembuktian secara tidak langsung(indirect proof), pembuktian dengan anggapan yang bertentangan (proof by assuming the opposite) dan reductio ad absurdum (Latin untuk pengurangan kepada kemustahilan reduction to absurdity)

Penentuan Luas BulatanMenggunakan LogikPembuktian bahawa luas bulatan (A) adalah sama dengan luas segi tiga (T)Untuk membuktikan bahawa A = T, Archimedes perlu menolak dua syarat bagi Law of Trichotomy iaitu:Kes 1 : A > T.Kes 2 : A < T.

# Law of Trichotomy : For arbitrary real numbers a and b , exactly one of the relationsab holds.

Kes 1 : A > TApabila sesuatu poligon dilakar dengan setiap bucu menyentuh lilitan bulatan (inscribed) ke dalam satu bulatan ,maka:Semakin bertambah sisi poligon, luas poligon (G) semakin menghampiri luas bulatan (tetapi G sentiasa kurang daripada A) A > G > T

Oleh sebab G di inscribed ke dalam bulatan, maka perimeter poligon (Q) adalah kurang daripada lilitan bulatan (C). h juga adalah kurang daripada r. Maka, (Luas poligon, G) hQ < rC (Luas segitiga, T)

# Tapi ini adalah bertentangan (contradicts)dengan dakwaan bahawa G > T.

rCLuas poligon, G= hQ

di mana, Q = perimeter poligonG < TKes 2 : A < TApabila sesuatu poligon dilakar dengan setiap sisi poligon menyentuh (circumscribed) sebuah bulatan:Luas poligon (G) lebih besar daripada luas bulatan (A) A < G < TNamun, apothem (h) poligon tetap sama dengan r.Dan perimeter poligon (Q) melebihi lilitan bulatan (C) Maka, (G) hQ > rC (T)

G > T# Ini adalah bertentangan dengan dakwaan bahawa G < T.

Oleh itu, sudah terbukti bahawa A = T (luas bulatan adalah sama dengan luas segitiga bersudut tegak) - seperti yang dinyatakan pada awal pembentangan:Untuk membuktikan bahawa A = T, Archimedes perlu menolak dua syarat bagi Law of Trichotomy iaitu:Kes 1 : A > T.Kes 2 : A < T.

Kesimpulan ArchimedesPernyataan:- Luas bulatan dengan jejari r adalah r.

CLuas segi tiga, T = r C = r (2r) = r Lilitan bulatan, C = 2r

Penentuan Luas BulatanMenggunakan Pengiraan

Oleh kerana ABC merupakan segi tiga sama kaki, maka panjang AB adalah sama dengan BCDengan menggunakan AC sebagai hipotenus (2r), panjang AB dan BC dapat ditentukan.Percubaan Pertama

Percubaan Kedua

Percubaan Ketiga

Archimedes menggunakan poligon untuk menentukan luas bulatanPoligon sekata dilukis di dalam dan di luar bulatanArchimedes mengatakan bahawa semakin besar sisi poligon, semakin hampir poligon tersebut kepada bulatanRumus luas poligon ialah

Prinsip asas:A < Ac