PENERAPAN_KONSEP_VEKTOR

Media Presentasi Pembelajaran | © Teopilus Malatuni

Lanjut KeluarAkhir

Matematika Kelas XIIMatematika Kelas XII( Semester Genap )( Semester Genap )

Program StudiProgram StudiIlmu AlamIlmu Alam

Standar Standar KompetensiKompetensi

Uraian MateriUraian Materi

PendahuluanPendahuluan

Nomor Topik Bahasan

5.3

“Penerapan Konsep Vektor

untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

Media Presentasi Media Presentasi PembelajaranPembelajaran

O l e h :O l e h :Teopilus MalatuniTeopilus Malatuni

( SMA Negeri 1 Kaimana )( SMA Negeri 1 Kaimana )

Contoh SoalContoh Soal

UjiUjiKompetensiKompetensi

mailto:[email protected]



Balik Lanjut Awal KeluarAkhir

Petunjuk BelajarPetunjuk Belajar

Media Presentasi Pembelajaran ini dibuat dengan menggunakan Media Presentasi Pembelajaran ini dibuat dengan menggunakan salah satu aplikasi dari keluarga Microsoft Office yaitu Microsoft salah satu aplikasi dari keluarga Microsoft Office yaitu Microsoft Office PowerPoint 2003. Dalam pengoperasiannya dilengkapi Office PowerPoint 2003. Dalam pengoperasiannya dilengkapi dengan tombol-tombol navigasi yang sangat simpel yang berada di dengan tombol-tombol navigasi yang sangat simpel yang berada di panel sebelah kiri (Menu) dan di bar bagian bawah; sehingga panel sebelah kiri (Menu) dan di bar bagian bawah; sehingga memudahkan pemakai untuk menggunakannya, karena semua memudahkan pemakai untuk menggunakannya, karena semua kendali pengoperasian dilakukan melalui tombol-tombol navigasi kendali pengoperasian dilakukan melalui tombol-tombol navigasi tersebut. Misalnya untuk melihat contoh soal lakukan klik pada tersebut. Misalnya untuk melihat contoh soal lakukan klik pada tombol Contoh Soal. Begitu juga dengan pilihan topik lainnya, tombol Contoh Soal. Begitu juga dengan pilihan topik lainnya, Anda hanya melakukan klik pada judul topik sesuai pilihan dalam Anda hanya melakukan klik pada judul topik sesuai pilihan dalam setiap tombol. Untuk menampilkan slide berikutnya klik pada setiap tombol. Untuk menampilkan slide berikutnya klik pada tombol Lanjut atau untuk kembali ke slide di depannya pilih tombol tombol Lanjut atau untuk kembali ke slide di depannya pilih tombol Balik. Jika Anda telah menampilkan suatu topik maka animasi dari Balik. Jika Anda telah menampilkan suatu topik maka animasi dari topik dalam tombol di sebelah kiri akan muncul yang mengindikasi-topik dalam tombol di sebelah kiri akan muncul yang mengindikasi-kan bahwa topik tersebut sedang aktif. Dalam uraian materi kan bahwa topik tersebut sedang aktif. Dalam uraian materi terdapat gambar-gambar animasi sebagai visualisasi dari konsep terdapat gambar-gambar animasi sebagai visualisasi dari konsep yang disampaikan. Untuk melihat animasi tersebut klik pada yang disampaikan. Untuk melihat animasi tersebut klik pada sembarang tempat dalam slide. Kata (kalimat) berwarna dan sembarang tempat dalam slide. Kata (kalimat) berwarna dan bergaris bawah merupakan link silahkan klik pada kata atau bergaris bawah merupakan link silahkan klik pada kata atau kalimat tersebut untuk melihat isinya.kalimat tersebut untuk melihat isinya.

Semoga media ini bermanfaat bagi mereka yang menggunakan-Semoga media ini bermanfaat bagi mereka yang menggunakan-nya. Salam hangat!nya. Salam hangat!

Teopilus MalatuniTeopilus Malatuni





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

MATEMATIKAMATEMATIKAKELAS XIIKELAS XII






Standar KompetensiStandar Kompetensi

Ю Merancang dan menggunakan model matematika program Merancang dan menggunakan model matematika program linear serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan linear serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.

Kompetensi DasarKompetensi Dasar

Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah;pemecahan masalah;

Ю Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.vektor dalam pemecahan masalah.

Standar Kompetensi dan Kompetensi DasarStandar Kompetensi dan Kompetensi Dasar

Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar minimal yang harus Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar minimal yang harus dicapai setelah menyelesaikan topik ini adalah:dicapai setelah menyelesaikan topik ini adalah:





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk








Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran ini adalah:





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


Skalar : Besaran yang hanya mempunyai nilai saja (menunjukkan suatu bilangan real tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya.

Vektor : Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Biasanya digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya.











untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


A. Notasi Vektor

B. Aljabar Vektor

C. Vektor Basis

D. Vektor Posisi

E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

F. Perkalian Silang Vektor

G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R3)

H. Contoh SoalContoh SoalContoh Soal


Silahkan pilih Materi yang ingin disampaikan Silahkan pilih Materi yang ingin disampaikan (dipelajari):(dipelajari):




A. Notasi VektorA. Notasi Vektor

Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu.

A

B

u

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real.

• Untuk vektor di bidang (R2) : u = (x, y) atau u =xy

xyz

• Untuk vektor di ruang (R3) : u = (x, y, z) atau u =





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


Vektor sering dinotasikan dengan huruf latin kecil. Misalnya: u, atau u. Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor.

u = AB ; A = titik pangkal dan B = titik ujungArah anak panah = arah vektorPanjang ruas garis = panjang/besar/nilai vektor

u,

gambar 1






B. Aljabar VektorB. Aljabar Vektor

Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami beberapa ketentuan berikut.

u


untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu


• Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. (Lihat gambar 2). v=

• Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v = 0; 0 adalah vektor nol. Jadi dua vektor saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah. (Lihat gambar 3).

u v = -u

Ю Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga dan aturan jajargenjang. Untuk memperoleh hasil jumlah (resultante) dari vektor u dan v, perhatikan ilustrasi dalam gambar 4 dan 5.

gambar 2

gambar 3

Dua vektor yang sama

Dua vektor yang saling invers (berlawanan)




ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk






u

v

u+v

u

v

u+v

Dengan aturan segitiga:

• Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung vektor u;

• Vektor (u + v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung vektor v.

Dengan aturan jajargenjang:

• Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik pangkal vektor u;

• Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan u dan v;

• Vektor (u + v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


gambar 4 gambar 5










untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

MATEMATIKAMATEMATIKAKELAS XIIKELAS XII Ю Pengurangan Vektor

Pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v.

uu-v

v

-v-v u

v-uv

-u

gambar 6 gambar 7 v - u = v + (-u)u - v = u + (-v)

Ю Hasil Kali Vektor dengan Skalar

Misalkan vektor u dan sebuah bilangan real (skalar) m. Hasil kali m dengan vektor u (mu) adalah penggandaan vektor u sebanyak m dan arah mu sama dengan arah vektor u.

u

gambar 8

u

v

-u

3u-2u2u






C. Vektor BasisC. Vektor Basis






untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk



Vektor basis : Vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

Vektor Basis dalam Bidang (R2) Vektor Basis dalam Ruang (R3)

X

Y

Z

X

Y

O

O i(1,0)

j(0,1)i(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam R2.

i : vektor satuan searah sumbu X+

j : vektor satuan searah sumbu Y+

Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam R3.

i : vektor satuan searah sumbu X+

j : vektor satuan searah sumbu Y+

k : vektor satuan searah sumbu Z+

gambar 9 gambar 10




D. Vektor PosisiD. Vektor Posisi





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


Vektor Posisi : Vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor satuan.

222 zyx || r

Vektor Posisi dalam Bidang (R2)

R(x,y)

Titik R(x,y) adalah vektor posisi OR dalam R2 yaitu:

R(x,y,z)

Vektor Posisi dalam Ruang (R3)

X

Y

Z

X

Y

OO

Titik R(x,y,z) adalah vektor posisi OR dalam R3 yaitu:

gambar 11 gambar 12

xi

yj

rr

yjxi

zk

r = (x,y) = xi + yj

r = (x,y,z) = xi + yj + zk

Panjang dari r :

22 yx || rPanjang dari r :

||rr

Vektor satuan dari r : e =










untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


U(u1,u2, u3)

OU = u dan OV = v adalah vektor-vektor posisi.

Y

Z

O

gambar 13

v



u

V(v1,v2, v3)

UV = UO + OV

= -u + v

= v – u

=

Jarak atau panjang vektor UV adalah:

Jika dinyatakan dengan kombinasi linear maka:

X

v1 – u1

v2 – u2

v3 – u3

UV = v – u = (v1 – u1)i + (v2 – u2)j + (v3 – u3)k

23322

211 )u(v)uvu(v UV ()||




E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)E. Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


Hasil kali titik (dot product) dua vektor adalah sebuah skalar.Didefinisikan:

u.v = |u||v| Cos

= sudut antara u dan v

v

u

gambar 14

Jika : 0o 90o maka u.v > 0

= 90o maka u.v = 0

90o 180o maka u.v < 0

X

Y

Z

Oi(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 15

i.i = | i || i | Cos 0o = 1 analog, maka:

i.i = j.j = k.k = 1

i.j = | i || j | Cos 90o = 0 (i j ) analog, maka i.j = j.k = k.i = 0

u.v = (u1i + u2j + u3k).(v1i + v2j + v3k)

= u1v1 + u2v2 + u3v3

atau secara geometris:

u.v = |u||v| Cos

Misalkan vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k). Perkalian titik kedua vektor adalah:










untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


Didefinisikan:

u x v = |u||v| Sin

= sudut terkecil antara u dan v

Arah u x v ditentukan berdasarkan arah putaran tangan kanan.

v

u

gambar 16

X

Y

Z

Oi(1,0,0) j(0,1,0)

k(0,0,1)

gambar 17 i x i = |i||i| Sin 0o = 0 analog, maka:

i x i = j x j = k x k = 0

i x j = |i||j| Sin 90o = 1 ( i j )

Berdasarkan definisi maka:

i x j = k j x k = i k x i = j

j x i = -k k x j = -i i x k = -j

Hasil kali silang (cross product) dua vektor adalah sebuah vektor.

u x v

v

u

v x u

F. Perkalian Silang VektorF. Perkalian Silang Vektor










untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

MATEMATIKAMATEMATIKAKELAS XIIKELAS XII Hasil dari perkalian silang dua vektor sama dengan menentukan nilai

determinan matriks ordo 3. Salah satu cara yang mudah dipakai adalah cara Sarrus.

Vektor u = (u1i + u2j + u3k) dan vektor v = (v1i + v2j + v3k).

u x v =

21

21

321

321

321

321

vv

uu

vvv

uuu

vvv

uuu

jikjikji

u x v =

1221

3113

2332

vuvu

vuvu

vuvu

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

( u2v3i + u3v1j + u1v2k ) – ( u2v1k + u3v2i + u1v3j )

u x v =






G. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (RG. Sudut antara Dua Vektor di Ruang (R33))





untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk


X

YO

gambar 18Z

u

sudut antara vektor satuan i dengan vektor u.

sudut antara vektor satuan j dengan vektor u.

sudut antara vektor satuan k dengan vektor u.

Jika u = u1i + u2j + u3k maka :

X

YO

gambar 19

Z

a

b Vektor a = a1i + a2j + a3k dan vektor b = b1i + b2j + b3k maka sudut antara kedua vektor:

||||

. Cos

ba

ba

23

22

21

23

22

21

332211

bbb.aaa

bababa Cos

A(a1,a2,a3)

B(b1,b2,b3)



uiui.u 1u

Cos uju

j.u 2u Cos

ukuk.u 3u

Cos








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

MATEMATIKAMATEMATIKAKELAS XIIKELAS XII Contoh SoalContoh Soal



1. Diketahui koordinat P(2, 3, 5) dan Q(1, 5, 2)a) Nyatakan komponen dari PQb) Nyatakan PQ sebagai kombinasi linear vektor basisb) Hitung panjang PQ

Penyelesaian:

X

YO

Z

q

pQ(1,5,2)

P(2,3,5)

a) PQ = PO + OQ = -p + q = q - p

3

2

1

5

3

2

2

5

1

PQ

b) Bila dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor basis, maka:

PQ = -i + 2j – 3k

222 )3(2)1(

|PQ|c)222 )52()35()21(

14

|PQ|

|PQ|








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk




2. Tentukan besar sudut antara vektor u = 3i – 2j + k dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:

Misalkan: sudut antara vektor u dengan sumbu X sudut antara vektor u dengan sumbu Y sudut antara vektor u dengan sumbu Z

141)2(3|| 222 u

o1 7,3614143

cosarc14143

14

3||

Cos

uu

o2 3,12214142

cosarc14142

14

2||

Cos

uu

o3 5,741414

cosarc1414

14

1||

Cos

uu








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk




3. Diketahui vektor a = (–1, 0, 2) dan b = (–3, 0, 1). Tentukan besar sudut antara vektor a dan b.

Penyelesaian:

Misalkan: adalah sudut antara vektor a dan b.

o45221

cosarc

222222 10)3(.20)1(

)1(2)0(0)3(1Cos

221

25

5

10.5

5Cos

Jadi besar sudut antara vektor a dan b = o45

||||

. Cos

ba

ba








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk




4. Ditentukan vektor a = –3i + 2j – 2k dan b = i – 4j + 3k. Hitunglah a x b.

Penyelesaian:

a x b =4123

341223

341223

jikjikji

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

a x b = ( 2(3)i + (-2)1j +(-3)(-4)k ) – ( 2(1)k + (-2)(-4)i + (-3)3j )

= ( 6i – 2j + 12k ) – ( 2k + 8i – 9j )

= – 2i + 7j + 10k

= (6 – 8)i + (– 2 + 9)j + (12 – 2)k








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

MATEMATIKAMATEMATIKAKELAS XIIKELAS XII Uji KompetensiUji Kompetensi



1. Vektor a mempunyai titik pangkal (3, -2, 4). Jika komponen vektor a adalah (5, 7, -2) maka titik ujung vektor a adalah ....a. ( 8, 5, -2 ) b. ( 8, 5, 2 ) c. ( 7, 5, 2 )d. ( 2, 9, -6 ) e. ( -2, -9, 6 )








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk





Lihat jawabanLihat jawabanCoba lagi?Coba lagi?

Jawaban Anda salah








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk





Lihat jawaban?Lihat jawaban?

Jawaban Anda benar








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk





Penyelesaian:

Misalkan titik ujung vektor a adalah (a1, a2, a3) maka:

2a24a5a72a8a53a

4a)2(a

3a

275

33

22

11

3

2

1

Jadi titik ujung vektor a adalah (8, 5, 2)








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk




2. Diketahui vektor u = – 2i + 4j – 6k. Tentukan besar sudut antara vektor u dengan sumbu-sumbu koordinat.

Penyelesaian:

Misalkan: sudut antara vektor u dengan sumbu X sudut antara vektor u dengan sumbu Y sudut antara vektor u dengan sumbu Z

14256)6(4)2(|| 222 u

o1 5,1051414

cosarc1414

142

2||

Cos

uu

o2 7,57714

cosarc714

142

4||

Cos

uu

o3 3,14314143

cosarc14143

142

6||

Cos

uu

Uji KompetensiUji Kompetensi


Jadi jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B adalah satuan panjang.







untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk




3. Posisi sebuah pesawat pada waktu t jika disimulasikan dalam ruang ditentukan oleh vektor (t, 2t, –t). Pada waktu t = 1 pesawat berada di posisi A dan akan berada di posisi B setelah t = 2. Hitung jarak tempuh pesawat dari posisi A ke B.

Penyelesaian:

Posisi pesawat di A (t = 1) yaitu pada koordinat (1, 2, –1)Posisi pesawat di B (t = 2) yaitu pada koordinat (2, 4, –2)

6))1(2()24()12(|AB| 222

6


Jarak A dan B:








untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk





4. Ditentukan vektor a = (4, – 2, 1), b = (–2, 3, –2), dan c = (–1, 4, 3) . Hitunglah a x (b + c).

Penyelesaian:

a x (b+c) =7324

173124

173124

jikk jiji

(–) (+)(–)(–) (+) (+)

( (-2)1i + 1(-3)j + 4(7)k ) – ( (-2)(-3)k + 1(7)i + 4(1)j )

= ( – 2i – 3j + 28k ) – ( 6k + 7i + 4j )

= ( – 2 – 7)i + ( – 3 – 4)j + (28 – 6)k

b + c =

173

341

232

= – 9i – 7j + 24k

a x (b+c) =

= ( – 9, – 7, 24 )







untuk Menyelesaikan

Masalah”

MenuMenu

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

MATEMATIKAMATEMATIKAKELAS XIIKELAS XII ReferensiReferensi

Ю Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2, Erlangga, Jakarta, 1999.

Ю Suryadi D., H.S., Teori dan Soal Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, Jakarta, 1999.

Ю Noormandiri B.K., Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 3A, Erlangga, Jakarta, 2004.








untuk Menyelesaikan

Masalah”

ReferensiReferensi

PetunjukPetunjuk

MATEMATIKAMATEMATIKAKELAS XIIKELAS XII Biodata TimBiodata Tim



MenuMenu



Nama : Teopilus Malatuni, S.Pd.N I P : 132 225 903Pekerjaan : Guru SMA Negeri 1 Kaimana,

Provinsi Irian Jaya BaratTugas : Mengajar Mata Pelajaran Matematika,

Teknologi Informasi & Komunikasi

Alamat : Jalan Veteran, Kompleks SMAN 1 Kaimana 98654Telp/Fax: Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21312; HP 081344039940E-mail : [email protected]

Nama : Ani JuniatiN I P : Pekerjaan : Staf Administrasi SMA Negeri 1 Kaimana,

Provinsi Irian Jaya BaratTugas : Menangani dan mengoperasikan komputer pada bagian Tata UsahaAlamat : Jalan Pedesaan Kaimana

Telp/Fax: Kantor (0957) 21016; Rumah (0957) 21740; HP 081344043041E-mail : [email protected]


Documents

PENERAPAN_KONSEP_VEKTOR