Pengujian Vektor Rata Rata

Pengujian Hipotesis p variabel secara multivariat ? ?Alasan :

1, Uji Univariat akan meningkatkan kekeliruan Tipe I, Uji multivariat kekeliruan tipe I tetap.

Misal p=10 , taraf sign 0,05 variabel saling bebas.Uji Univariat :P(menolak Ho)= 1- P(menerina Ho) =

2. Uji Univariat mengabaikan korelasi antar variabelUji Multivariat korelasi

3. Uji Multivariat kuasa uji Peluang menolak Ho yang seharusnyaditerima.Kasus Univariat seringkali gagal mencapai tingkat signifikansiKasus Multivariat signifikansi disebabkan efek yang kecil terjadipenolakan Ho.

101 (0,95) 0,40

Pengujian Rata Rata , Varians Populasi Diketahui :a. Kasus Univariat :

b. Kasus Multivariat : beberapa variabel diukur

2

1

/2

( , )::

,/

| |

o o

o

o

o

y NHH

Ystatistik uji zn

H ditolak z z

�

01 011 1

2 02 2 021

0

2 10 0

2 2,

, :. .. .

:( ) ' ( )

, ,

o

p pp op

o p

H dan H

StatistikUjiZ n Y Y

H ditolak Z

• Pengujian Rata Rata untuk Varians Tidak Diketahui : Kasus Univariat :

Kasus Multivariat :

1

0 /2, 1

::

, :/

| |

o o

o

o

n

HH

YStatistik Uji ts n

H ditolak t t

1 2

0 12 1

0 02 2

0 , ,( 1)

, ,... ( , )

: :

, ( ) '( ) ( )

n p

o o

p n

y y y NH Hstatistik uji T n Y S Y

H ditolak T T Hotelling

�

• Jika Ho ditolak variabel mana yang berpengaruh pada penolakan Ho? selang kepercayaan simultan (simultaneous confidence Interval) Statistik Hotelling T2 sampel acak y1,y2,…yn :

sii : unsur diagonal ke I dari matriks kovarians Sp : banyak variabel

111 1 ,

,

( 1): ( )( )

.

.

( 1): ( )( )

p n p

ppp p p n p

sp nY Fn p n

sp nY Fn p n

• Perbandingan Dua Vektor Rata Rata• Kasus Univariat :

sampel acak 1 sampel acak 2

1

2

1

2

211 1 1 1

221 2 2 2

2 2 2 21 2

2 21 1 1 1 1

1

2 22 2 2 2 2

1

2 22 1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

0

,... ( , )

,... ( , )

,

( ) ( 1)

( ) ( 1)

( 1) ( 1)2

,1 1

n

n

n

iin

ii

gab

gab

y y N

y y N

tidak diketahui

SS y Y n S

SS y Y n S

n S n SSn n

Y Ystatistik uji tS

n nH ditola

1 2/2, 2| | n nk t t

• Kasus Multivariat :• p variabel diukur pada setiap unit sampling dalam dua sampel.•

1

2

1

1 2

1 1 2

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

2 11 21 2 1 2

1 2

1 21 2

1 1 2 21 2

2 2, ,

::, , ..., ( , )

, , ..., ( , )

..

( ) '( ) ( )

1 ( )2

1 [( 1) ( 1) ]2

o

n p

n p

gab

gab

gab

o p n

HHy y y N

y y y N

tidak diketahuin nT Y Y S Y Y

n n

S W Wn n

S n S n Sn n

H ditolak T T

�

�

2 2n Hotelling

• Selang kepercayaan simultan vektordata berasal dari populasi berdistribusi normal multivariatmatriks kovarians sama .

selang kepercayaan

secara khusus untuk

1 2

100(1 )%

1 2

21 2 1 2 , , 1

1 21 2

[( 2) / ( 1)]

1 1'( ) '

p n n p

gab

c n n p n n p F

a y y c a S an n

11 21

1 21 2

1 1( ) ( )iigabi iy y c S

n n

• Selang kepercayaan Bonferroni untuk selisihrata rata

100(1 )%

1 21 2 21 21 2

1 1( )2 iii i n n gabi iy y t S

p n n

• Pengujian pada variabel individu jika Ho ditolak :

discriminant function

0 1 2:H ditolak

1 2

1

2 2

1 2 1 22

1 2 1 21 2

11 2

2 2

/2 , 2

'

'

' '( )[( ) / ] '(1 / 1/ )

( )

'( )

i

gabz

gab

p n n

z a y

z a y

a y a yz zt an n n n a S an n S

a S y yz a yt a T HotelingHo ditolak t t

• Contoh :• 1. Data berat badan (kg) dan tinggi badan (cm) dari 20 mahasiswa :

Mhswa Berat (Y1) Tinggi( Y2) Mhswa Berat(Y1) Tinggi(Y2)

1 69 153 11 72 140

2 74 175 12 79 265

3 68 155 13 74 185

4 70 135 14 67 112

5 72 172 15 66 140

6 67 150 16 71 150

7 66 115 17 74 165

8 70 137 18 75 185

9 76 200 19 75 210

10 68 130 20 76 220

• Sampel Normal multivariat

1 2

1

2

11

2

2 1

20,05,2

0

20 100100 1000

71, 45 164,770

:170

70:

170

( ) ' ( ) 8,4026

0,05 5,99

o

o o

Y Y

H

H

Z n Y Y

H ditolak

2. Tiga variabel diukur (dalam miliekivalen 100 gr) pada 10 lokasi berbeda diAmerika Selatan .y1 ; ketersediaan kalsium tanahy2 : perubahan kalsium tanahy3 : kalsium pada tanaman tertentu

No. lokasi y1 y2 y3

1 35 3,5 2,8

2 35 4,9 2,7

3 40 30 4,38

4 10 2,8 3,21

5 6 2,7 2,73

6 20 2,8 2,81

7 35 4,6 2,88

8 35 10,9 2,9

9 35 8,0 3,28

10 30 1,5 3,20

0

1

2 10 0

20,05,3,9

15,0: 6,0

2,85

15,0: 6,0

2,85

28,1 140,54 49,68 1,947,18 49,68 72, 25 3,683,09 1,94 3,68 0, 25

( ) ' ( ) 24,559

16,766.

H

H

Y S

T n Y S YTHo ditolak

• Perbandingan Data Berpasangan**Kasus Univariat **

X dan Y berdistribusi normal Bivariat.

No.Pasangan Perlakuan 1Y

Perlakuan 2X

SelisihDi=yi-xi

1 y1 Xi D1=y1-x1

2 y2 x2 D2=y2-x2

.

n yn xn Dn=yn-xn

2 2

2 2

2

2 2 2

/2, 1

( , )

2

: , : 0

,/

, | |

X y yx

y yx x

i i i y x d

d y yx x

y x d

d

n

d y x N

Ho atauHo

dstatistik uji ts n

Ho ditolak t t

�

**Kasus Multivariat **

2 1 1

2 2, . 1

: 01: 0

: '( ) '

,

d

d

dd

p n

HoH

SStatistikUji T d d nd S dn

Tolak Ho T T

No.Pasangan Perlakuan 1Yi

Perlakuan 2Xi

Selisihdi=yi-xi

1 y1 x1 d1

2 y2 x2 d2

. .

n yn xn dn

2 1 1

2 2, , 1

'( ) 'dd

p n

ST d d nd S dn

TolakHo T T

1

: 0: 0

d

d

HoH

1

1

12 1

( )

1

1 ( )( ) '1

' '

d y x

n

ii

n

d i ii

dd

E Y X

d dn

S d d d dn

ST d d nd S dn

• Data Multivariat Berpasanganp respon , 2 treatment , n unit eksperimenX11j : variabel 1 dibawah treatment 1X12j : variabel 2 treatment 1..X1pj : variabel p treatment 1X21j : variabel 1 treatment 2X22j : variabel 2 treatment 2..X2pj : variabel p treatment 2

D1j = X11j - X21jD2j = X12j - X22j.

Dpj = X1pj - X2pj

Dj’ = [ D1j , D2j , …, Dpj ] untuk j = 1,2,…n

1

2

1 2

2 1, ,

2

,

( ) ( ).

, , , , ( , )

,: 0

1 : 0( 1), '( )

100(1 )%

( 1): ( )( )

i

j j d

p

n p d

d p n p

di i p n p

E D Cov D

D D D N

VektorAcak independenHoH

n pHoDitolak JikaT nd S d Fn n p

ConfidenceInterval

Sn pd Fn p n

n p

�

2,

2

1

[( 1) / ( )] ( ) ( )

100(1 )%

: ( )2

i

p n p p

di i n

besar n p n p F

Bonferroni

Sd t

p n

�

Lokasi Pelapisan 1Y1 Y2

Pelapisan 2X1 X2

1 73 31 51 35

2 43 19 41 14

3 47 22 43 19

4 53 26 41 29

5 58 36 47 34

6 47 30 30 32

7 52 29 24 19

8 38 36 43 37

9 61 34 53 24

10 56 33 52 27

11 56 19 57 14

12 34 19 44 19

13 55 26 57 30

14 65 15 40 7

15 75 18 68 13

• Untuk membandingkan dua jenis daya tahan lapisan terhadap korosin, 15 batang pipa dilapisi oleh dua jenis pelapisan .Dua pipa kemudian ditanam dalam tanah pada 15 lokasi berbeda untukjangka waktu tertentu.Korosin untuk jenis pipa pertama pelapisan diukuroleh dua variabel yaitu Y1 :maksimum kedalaman (dlm inchi) dan Y2 : banyak lubang . Jenis pelapisan ke dua variabelnya X1 , dan X2 .Data hasil pengamatan disajikan dalam Tabel di atas .a. Lakukan pengujian hipotesis apakah kedua jenis pelapisan memberi

efek yang berbeda terhadap korosin ?b. Hitung Interval kepercayaan simultan Bonferonni .