Embed Size (px)
Citation preview
ПОБУДОВА ПЕРЕРІЗІВ ПОБУДОВА ПЕРЕРІЗІВ МНОГОГРАНИКІВ МЕТОДОМ МНОГОГРАНИКІВ МЕТОДОМ
ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРОЕКЦІЙПАРАЛЕЛЬНИХ ПРОЕКЦІЙ
Згадаємо, що при паралельному проектуванні в просторі Згадаємо, що при паралельному проектуванні в просторі використовують такі поняття як: площина проекційвикористовують такі поняття як: площина проекцій ( (люба площина люба площина αα ), ), напрямок паралельного проектування (люба пряма напрямок паралельного проектування (люба пряма mm))..
m
α
Розглядаючи любу геометричну фігуру як множину точок, можноа побудувати в Розглядаючи любу геометричну фігуру як множину точок, можноа побудувати в заданій площині проекцію даної фігури. Для цього вибирають любу точку заданій площині проекцію даної фігури. Для цього вибирають любу точку фігурифігури AA ( (прообразпрообраз) і будують її паралельну проекцію на площину ) і будують її паралельну проекцію на площину A’A’ ((образобраз).).
А
А’
m
α
Таким чином можна отримати зображення Таким чином можна отримати зображення ((або «проекцію») любої або «проекцію») любої плоскої або просторової фігури. (див.рис.)плоскої або просторової фігури. (див.рис.)
m
α
Приклад 1Приклад 1 . Побудуйте переріз трикутної призми . Побудуйте переріз трикутної призми ABCA’B’C’ABCA’B’C’ , , який який проходить через точки проходить через точки MM, , NN і і KK , які лежать в бічних гранях, які лежать в бічних гранях
A
B
C
C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
Розвязок.
1) Побудуємо проекції даних трьох точок M, N і K на площину основи в напрямку, паралельному бічному ребру.
2) Сполучимо дві любі дані точки (наприклад, M і K).
3) Побудуємо образ одержаного в п.2) відрізка MK.
A’
A
B
C
A’
B’M
N
K
M’
K’
N’
4) Сполучимо відрізком точки N’ і C, позначивши буквою F’ точку перетину з відрізком M’K’ .
5) Так як F’∈M’K’ , то прообраз цієї точки F∈MK. Побудуємо її.
6) Прямі NN’ і CC’ лежать в одній площині (подумайте чому?). Побудуємо в цій площині точку R=CC’∩NF .
7) В бічних гранях ACC’ і BCC’ у нас зявилися по дві точки, які належать перерізу, тому закінчити побудову перерізу RST не важко.
F’
F
R
S
T
C’
Основною метою використання методу паралельних проекцій являється одержання Основною метою використання методу паралельних проекцій являється одержання додаткової додаткової точки точки перерізу (звичайно на одномуиз бічних ребер). Для цього можна використати слідуючу схему;перерізу (звичайно на одномуиз бічних ребер). Для цього можна використати слідуючу схему;
1) потрібно вибрати любу пару з даних точок перерізу; (1) потрібно вибрати любу пару з даних точок перерізу; (MM і і KK))
A C
A’ C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
F’
R
S
T
2) побудувати їх проекції на основу призми; (M’ і K’)
3) напрямок паралельного проектування вибирають паралельно бічним ребрам; (AA’)
4) спочатку отримати образ допоміжної точки в площині проекцій (для цього використовують образи даних точок перерізу і одну з вершин основи призми); (точка F’ , вершина – С)
5) знайти прообраз додаткової точки; (точка F)
6) отримати додаткову точку перерізу; (точка R).
F
Запишіть схему в зошит!
Зауваження.Зауваження. Ще раз зверніть увагу на термін «Ще раз зверніть увагу на термін «любілюбі» в п.2) прикладу 1. » в п.2) прикладу 1. Спробуйте самостійно, по схемі, в зошиті побудувати переріз з прикладу 1, Спробуйте самостійно, по схемі, в зошиті побудувати переріз з прикладу 1, сполучаючи дві другі пари точок: сполучаючи дві другі пари точок: MM і і NN або або NN і і KK . Переконайтесь в . Переконайтесь в однозначності отриманого результату (переріз получається таким же). однозначності отриманого результату (переріз получається таким же).
A’
A
B
C
C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
F’
F
R
S
T
A
B
C
A’ C’
B’M
N
K
M’
K’
N’
F’
F
R
S
T
Додаткова точка T Додаткова точка S
Приклад 2. Побудувати переріз чотирикутної призми ABCDA’B’C’D’ , який проходить через точки M∈AA’ , N ∈(BCC’) і K∈(CDD’) .
A
A’
B
B’
C
C’
D
D’
M
N
K
P
Q
R
Спостерігаючи за ходом побудови перерізу, складіть алгоритм по запропонованій вище схемі.
N’
K’
F
F’Чотирикутник MPQR – шуканий переріз
MK
M’
K’
Приклад 3. Побудувати переріз трикутної призми ABCA’B’C’ , який заданий трьома точками М∈ABB’, N∈ACC’ і K∈BCC’ .
Розвязок. Як ми бачимо, ніякі з трьох точок перерізу не лежать в одній грані призми. Значить, метод «сліду» нам не підходить. Прослідкуємо поетапне використання методу паралельних проекцій для побудови перерізу в даному випадку.
1) Побудуємо образи M’ , N’ і K’ даних точок при паралельному проектуванні в напрямку, паралельному бічному ребру призми на її нижню основу.
A
B
C
A’
B’
C’
N
N’
M
N
K’
P’
L
2) Зобразимо відрізок N’K’ як образ відрізка NK.
3) Знайдемо точку P’ перетину відрізків M’C і N’K’.
4) Так як P’∈N’K’ , то прообраз цієї точки P∈NK. Побудуємо її.
5) Тепер зобразимо прообраз відрізка M’C − відрізок ML, де L=MP∩CC’ .
6) Точка L належить площині перерізу (MNK), значить, далі можна використати метод «слідів».
A
A’
B’
C
B
P
M’
C’
KN’
M
L
E
D
K’
A
B
C
P
P’N’
F
G
A’
B’
В підсумку одержали шуканий переріз – пятикутник FELDG !
Отже, наша мета в побудові перерізу була досягнута дякуючи появі додаткової точки L .
K
M’
C’
N
При використанні методу «слідів» одержимо точку U. Після чого закінчити побудову перерізу не важко.
U
M
N
K
можна вибирати любу основу призми.
Використовуючи вищеописаний алгоритм неодноразово можна обійтись без методу «слідів».
Приклад 4.
Площина перерізу може задаватися:
1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;
2) прямою і точкою,яка не лежить на ній;
3) двома прямими, які перетинаються;
4) двома паралельними прямими.
Всі ці випадки можна звести до першого, вибираючи на прямих зручні для нас точки.
A
A’
B
B’
C
C’
D
K
D’
Приклад 5. Побудуйте переріз 4-кутної призми, в основі якої довільний 4-кутник, який проходить через діагональ і точку в протилежних бічних гранях.
Розвязок. Виберемо на діагоналі дві точки B і A’ . Побудуємо переріз, який проходить через три точки K , B і A’ . При паралельній проекції на нижню основу призми образами цих точок будуть точки K’ , B і A .
A
A’
B
B’
C
C’
D
M
N
K
K’
F
F’
Проведемо відрізок A’K і побудуємо його образ – відрізок AK’ .
Сполучимо точки B і D , відмічаючи точку F’ перетину його з AK’ .
Знайдемо прообраз точки F’ .
Відмітимо додаткову точку M=BF∩ DD’ .
Одержимо переріз призм A’MNB , послідовно сполучаючи одержані точки.
D’
