GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Perpendicularidade entre Rectas e Planos

© antónio de campos, 2009

Perpendicularidade de Recta com PlanoUma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano.

A recta c é perpendicular às rectas a e b, que são concorrentes no ponto C da face [CDEH].

Recta Perpendicular a um Plano - GeralPretendem-se as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto P.

x

fα

p1

P1

P2

p2

Os traços do plano α (fα e hα) são duas rectas concorrentes desse plano. Se a recta p é perpendicular a fα e hα, é portanto perpendicular ao plano α.

hα

Recta Perpendicular a um Plano de TopoPretendem-se as projecções de uma recta, perpendicular ao plano de topo θ e passando pelo ponto P.

x

fθ

hθ

f1P1

f2

P2

Uma recta frontal f permite obter a perpendicularida

de ao plano θ.

Recta Perpendicular a um Plano VerticalPretendem-se as projecções de uma recta perpendicular ao plano vertical δ e passando pelo ponto P.

x

fδ

h1

P1

h2P2

Uma recta horizontal h permite obter a perpendicularidade ao plano δ.

hδ

Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 1 cm de abcissa e fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 60 (a.e.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano α e passando pelo ponto M (-1; 4; 4).

x

y ≡ z

M1

M2

fα

hα

p1

p2

Um plano vertical δ faz um diedro de 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. Determina as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano. De que recta se trata?

x

fδ

p1

p2

hδ Uma recta horizontal p permite obter a perpendicularidade ao plano δ.

Recta Perpendicular a um Plano de RampaPretendem-se as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano de rampa ρ e passando pelo ponto A.

x

fρ

A1

p1 ≡ p2

A2

hρ

Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ.

Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto A.

F2

H2

H1

≡ F1

≡ hπ ≡ fπ

≡ p’1 ≡ p’2

Para poder obter o outro ponto, recorre-se a uma outra recta de perfil p’, contida num plano ρ; e do plano π, que contém a recta p; pelo processo de rebatimento.

≡ e2

≡ (e1)

≡ hπr

≡ fπr

Ar

Hr

≡ Fr

Brpr

B2

B1

p’r

É dado um plano de rampa ρ com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular ao plano ρ e passando pelo ponto R (3; 4).

x

fρ

R1

p1 ≡ p2

R2

hρ

Uma recta de perfil p permite obter a perpendicularidade ao plano ρ.

Depois para definir a recta, é necessário obter outro ponto da recta para além do ponto R.

F2

H2

H1

≡ F1

≡ hπ ≡ fπ

≡ p’1 ≡ p’2

Para poder obter o outro ponto, recorre-se a uma outra recta de perfil p’, contida num plano ρ; e do plano π, que contém a recta p; pelo processo de rebatimento.

≡ e2

≡ (e1)

≡ hπr

≡ fπr

Rr

Hr

≡ Fr

Sr

pr

S2

S1

p’r

Plano Perpendicular a uma Recta - GeralPretendem-se as projecções de um plano α, perpendicular ao uma recta r e passando pelo ponto P.

x

fα

r1

P1

P2

r2

Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal.

Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano α.

hα

h2

h1

F1

F2

Uma recta r é definida pelos pontos M (1; 3; 4) e N (-2; 1; 2). Determina os traços de um plano θ perpendicular à recta r e passando pelo ponto P (1; 2; 3).

fα

r1

P1

P2

r2

Uma recta perpendicular a um plano é a todas as rectas do plano, incluindo uma recta horizontal.

Uma recta horizontal passando pelo ponto P vai auxiliar na obtenção dos traços do plano θ.

hα

h2

h1

F1

F2

x

y ≡ z

M1

M2

N1

N2