Persamaan Garis LurusPersamaan garis lurusadalah suatu garis lurus yang posisinya ditentukan dengan suatu persamaan. Misalnya persamaanjika kita gambar padakoordinat Cartesius, maka gambarnya akan berbentuk garis lurus.Cara menggambarnya adalah:Tentukantitik potong garis tersebut terhadap sumbu, dengan membuat nilai. Pada contoh di atas, maka, sehingga, atau.Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu, dengan membuat nilai. Pada contoh di atas, maka, sehingga, atauTerakhir, hubungkan kedua titik tersebut menjadi sebuahgaris lurus. Maka, garis tersebut merupakan garis dengan persamaan.Gradien Persamaan Garis LurusGradien adalah besar kemiringan suatu garis terhadap sumbu.Bentuk umum persamaan garis lurus adalah, dengan m merupakan gradien, sedangkansuatu konstanta.Jadi,persamaanyang berbentukmempunyai gradien sebesar 2.Untuk persamaan yang bentuknya, maka gradiennya adalah.Sedangkan gradien suatu garis yang melalui dua titikdan, gradiennya didapat dengan menggunakan rumus:

Contoh: Tentukangradien suatu garisyang melalui titikdan.Jawab:

Hubungan antar gradien pada persamaan garis lurusJika suatu garis sejajar dengan sumbu, maka gradiennya adalah 0.Jika terdapat dua garis yangsejajar, maka gradien kedua garis tersebut sama, atau.Jika terdapat dua garis yang salingtegak lurus, maka hasil kali kedua gradien tersebut adalah, atauContoh: Garis dengan persamaantegak lurus dengan suatu garis yang mempunyai gradien. Tentukanlah nilai.Jawaban:Gradien garis dengan persamaanadalah.Karena kedua garis tersebut tegak lurus, makaatau, sehinggaDengan demikian, nilaiSoal latihan:1. Gambarlah suatu garis dengan persamaanpada koordinat Cartesius, lalu tentukan gradiennya.2. Tentukan nilaijika suatu garis yang melewati titikdansejajar dengan garis yang mempunyai persamaan3. Suatu garis melewati titikdanserta tegak lurus dengan suatu garis dengan persamaan. Tentukan nilai

1. Definisi GradienGradien suatugaris lurusadalah : Perbandingan antara komponeny(ordinat) dankomponenx(absis) antara dua titik pada garis itu.Gradien suatu garis biasanya dinotasikan dengan huruf kecilm.Perhatikan gambar di bawah ini !komponen y dari garis AB = y2- y1; komponen x dari garis AB = x2- x1,maka :

Catatan : gradien sebuah garis sering disebut kecondongan sebuah garis atau koefisien arahsebuah garis.1.1. Macam-macam gradiena. Gradien bernilai positif

Garis l condong ke kanan , makamlbernilai positifb. Gradien bernilai negatif

Garis k condong ke kiri , makamkbernilai negatifGradien dari sebuah persamaan garisJika sebuah garis mempunyai persamaanax + by = c, maka gradien persamaan garis itu ialah :c. Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) makad. Gradien dua garis yang sejajar

Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama, garis l dan garis k sejajar, maka ml= mke. Gradien dua garis yang saling tegak lurus

Dua garis yang saling tegak lurus perkalian gradiennyaadalah -1.Garis l dan garis k saling tegak lurus, maka mlx mk= -1.

1.2. Contoh-Contoh SoalContoh 1 :Tentukanlah gradien garis :1. melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3)2. melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8)Penyelesaian :a. Melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3)P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5Q(-9,3) berarti x2 = -9 , y2 = 3

Jadi gradient melalui titik P(2,-5) dan titik Q(-9,3) adalahb. Melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8)A(-2,-8) berarti x = -2 , y1= -8

Jadi gradient melalui pangkal koordinat dan titik A(-2,-8) adalah 4Contoh 2 :Tentukanlah gradient sebuah garis :1. yang sejajar dengan garis 4x + 2y = 62. yang tegak lurus dengan garis x - 4y = 10

Penyelesaian :1. Persamaan garis 4x + 2y = 6, maka a = 4, b = 2

Dua garis yang sejajar :m1=m2, makam2= - 22. Persamaan garis x - 4y = 10, maka a = 1, b = -4

Dua garis yang tegak lurus : m1 x m2 = -1 , maka

Persamaan Garis Lurus Melalui 1 Titik2. Garis dengan gradien m dan melalui 1 titikPerhatikan gambar dibawah ini !

Pada garis l terdapat titik A dengan koordinat (x1, y1) dan titik B dengan koordinat bebas, yaitu (x , y), bila gradien garis l dinyatakan dengan m, maka AB terdiri atas semua titik (x,y) dengan hubungan berikut ini :

y - y1= m (x - x1)Kesimpulan :Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1, y1), adalah :y - y1= m (x - x1)Contoh 1 :Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

Penyelesaian :Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 ,y1= 4 dan bergradien -2, berarti m = -2Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :y - y1= m ( x - x1)y - 4 = -2 {x - (-3)}y - 4 = -2 (x + 3 )y - 4 = -2 x - 6y = -2x - 6 + 4y = -2x - 2Jadi persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2 adalahy = -2x - 2

Contoh 2 :Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)Penyelesaian :Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)P(2,-5) berarti x1= 2 , y1= -5Q(-6,3) berarti x2= -6 , y2= 3Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah mPQ

Misal mPQ= m1, maka m1= m2= -1 ( dua garis sejajar )Titik B(6, 2), berarti x1 = 6 , y1= 2Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :y - y1= m ( x - x1)y - 2 = -1 (x - 6)y - 2 = -x + 6y = -x + 6 + 2y = -x + 8Jadi persamaan garis melalui titik B(6,2) dan bergradien -1 adalahy = -x + 83. Persamaan garis yang melalui dua titikGradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaituseperti pada gambar di bawah ini,Selanjutnya dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1, y1), yaitu y - y1= m ( x - x1) dapat diperoleh rumus berikut :

y - y1= m ( x - x1)y - y1y - y1= y2- y1

Kesimpulan :Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

3. Persamaan garis yang melalui dua titikGradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaituseperti pada gambar di bawah ini,Selanjutnya dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1, y1), yaitu y - y1= m ( x - x1) dapat diperoleh rumus berikut :

y - y1= m ( x - x1)y - y1y - y1= y2- y1

Kesimpulan :Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

Contoh 1Perhatikan gambar di bawah ini !

Tentukanlah persamaan garisl!Penyelesaian :Garislmelalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).P(3,4) berarti x1= 3 , y1= 4Q(5,8) berarti x2= 5 , y2= 8Persamaan garislyang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :

2(y - 4) = 4(x - 3)2y - 8 = 4x - 122y - 4x = 8 - 122y - 4x = -4y - 2x = -2Jadi persamaan garislyang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalahy - 2x = -2.

1. Gradien- Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.- Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)- Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :by = -ax cy = -a/bx c/bm(gradient) = -a/bcontoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 04y = -2-5y = -2/4 x 5/4maka m = -2/4 = -1/2cara cepat = -a/b = -2/4Macam-macam gradien :a) Gradien bernilai positifBila m (+) contoh : 6x 2 y 9 = 0m = (6/-2) = 3 (positif)b) Gradien bernilai negativeBila m (-) Contoh : 6x + 3y 9 = 0m = (6/3) = -2 (negative)c) Gradien garis melalui pangkal koordinatGaris l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/xcontoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :m = y/x = -3/2d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1)contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3Hubungan 2 garis lurus :Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis lcontoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8a = 3 , b = 6m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/22) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurusgaris l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 22. Persamaan Garis Lurusa) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titikPersamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :y y1 = m (x x1)Contoh 1 :Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.jawab :Titik A(-3,4), berarti x1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :y y1 = m ( x x1 )y 4 = -2 {x (-3)}y 4 = -2 (x + 3 )y 4 = -2 x 6y = -2x 6 + 4y = -2x 2Contoh 2 :Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)jawab :Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalahm (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )Titik B(6, 2), berarti x1 = 6 , y1 = 2Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :y y1 = m ( x x1 )y 2 = -1 (x 6)y 2 = -x + 6y = -x + 6 + 2y = -x + 8b) Persamaan garis yang melalui dua titikGradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),yaitu y y1 = m ( x x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :y y1 = m ( x x1 )y y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x x1)(y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)Kesimpulan :Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)contoh :Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :(y y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)(y-4) / 4 = (x-3) / 22(y 4) = 4(x 3)2y 8 = 4x 122y 4x = 8 122y 4x = -4y 2x = -2>> Hubungan 2 garis lurus1) Persamaan garis yang saling sejajar1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x 5jawab : y = 2x 5 maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)maka :y y1 = m (x-x1)y 3 = 2 (x-2)y = 2-4+3y = 2x -12) Persamaan garis yang tegak lurus1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x 5jawab : y = 2x 5 maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2maka persamaan garisnya :y y1 = m (x-x1)y 3 = -1/2 (x-2)y = -1/2 x + 1 + 3y = -1/2 x + 4kali 22y = -x + 42y + x 4 = 03) Persamaan garis yang berhimpitgaris-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing merupakan kelipatan dari a, b, c..>> Buktikan ! garis 2x+4y+3 = 0 berhimpit dg garis 6x+12y+9 = 04) Persamaan garis yang berpotongandua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

Persamaan Garis LurusRingkasan MateriI. Gradien Garisa. Gradien dari ruas garis yang melalui dua titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) ditulis mAB:

b. Gradien pada persamaan garis lurus1) Pada bentuk umum : y = mx + cGradien = m = koefisien x2) Pada bentuk baku : ax + by + c = 0gradien = -a/bII. Membuat persamaan garisa. Diketahui gradien m dan melalui titik (x1, y1)Rumus persamaan garisnya : y y1= m(x x1)b. Diketahui garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2, y2)Rumus persamaan garisnya

III. Sifat garis y = mx + ca. Garis tersebut memiliki gradien mJika m > 0 (positif) maka garis condonmg kekanan (naik).Jika m < 0 (negative) maka garis condong ke kiri (turun)b. Garis tersebut memotong sumbu y di titik (0, c)Jika c > 0 maka garis memotong sumbu y di atas sumbu x.Jika c < 0 maka garis memotong sumbu y di bawah sumbu x.IV. Hubungan dua garisMisalkan ada dua garis, masing masing garis g1dengan pesramaan y = m1x + c1dan garis g2denganpersamaan y = m2x + c2. Hubungan keduanya dapat ditentukan oleh gradiennya.Jika dua garis sejajar, maka :m1= m2 Jika dua garis saling tegak lurus, maka :m1. m2= -1