persamaan_difusi

7/29/2019 persamaan_difusi

1/29

Persamaan DifusiPenurunan, Solusi Analitik, Solusi Numerik (Beda Hingga, RBF)

M. Jamhuri

UIN Malang

April 7, 2013

M. Jamhuri Persamaan Difusi
http://find/


2/29

Penurunan Persamaan Difusi

Misalkan u(x, t) menyatakan konsentrasi dari zat pada posisi x dan pada waktu t.

Pada selang [x0, x1] , massa zat

M = x1

x0

u(x, t) dx

dan perubahan massadM

dt=

x1x0

ut (x, t) dx (1)

Massa pada selang tersebut akan berubah bila ada zat yang masuk atau keluarselang tersebut.

Hukum Fick mengatakan rata-rata penyebaran sebanding dengan gradienkonsentrasi

dM

dt= zat masuk zat keluar= kux (x1, t) kux (x0, t) (2)

dimana k adalah konstanta pembanding.

dengan menyamakan dMdt

pada persamaan (1) dan (2) diperolehx1x0

ut (x, t) dx = kux (x1, t) kux (x0, t)

atau

x1

x0

ut (x, t) dx = kx1

x0

uxx (x, t) dx (3)

http://find/


3/29

Jika integral kedua ruas dari (3) dihilangkan diperoleh

ut = kuxx (4)

yang biasa disebut sebagai persamaan difusi atau persamaan panas.

http://find/


4/29

Solusi Analitik

Sebelum menentukan solusi persamaan difusi (4) pada daerah < x < dant > 0, kita tinjau lebih dahulu solusi persamaan difusi dalam bentuk khusus

Q(x, t) = g (p)

denganp =

x4kt

.

Permasalahan disini adalah bagaimana bentuk dari g, untuk itu akan kita lakukanlangkah-langkah sebagai berikut:substitusikan Q pada (4), dengan

Q

t =dg

dp

p

t

= 12t

pg (p) (5)

Q

x=

dg

dp

p

x

= 14kt

g (p) (6)

2Q

x2=

14kt

xg (p)

=1

4ktg (p) (7)

http://find/


5/29

sehingga diperoleh

Qt = kQxx

12t

pg (p) = k

1

4ktg (p)

pg

(p) = 1

2 g

(p)

g (p) + 2pg (p) = 0 (8)

Solusi dari (8) dapat diperoleh sebagai berikut

d2

dp2g (p) + 2p

d

dpg (p) = 0

d

dp+ 2p

dg

dp= 0

misalkandg

dp= v (9)

dan d

dp+ 2p

v = 0 (10)

Solusi dari ODE (10) adalah

dv

dp= 2pv

v = C1ep2

http://find/


6/29

selanjutnya substitusikan v pada (9), sehingga diperoleh

dg

dp = C1ep

2

dg = C1

ep

2dp

g = C1

ep

2dp + C2

dan

Q(x, t) = C1

x4kt

0

ep2

dp + C2

Konstanta C1 dan C2 diperoleh dengan menggunakan syarat awal khusus, yangdiberikan dalam bentuk

Q(x, 0) =

1, untuk x > 00, untuk x < 0

http://find/


7/29

Hitung limit t 0+Kasus x> 0

limt0+

Q(x, t) = C1

0

ep2

dp+ C2 = C1

2+ C2 = 1

Dalam menghitung integral tak wajar, kita gunakan distribusi normal berbentuk

1

ep2

dp = 1

Kasus x< 0

lim

t0Q(x, t) = C1

0

ep2

dp+C2 =C1

0

e

p2dp+C2 =

C1

2

+C2 = 0

Dari dua limit diatas diperoleh

C1 =1

dan C2 =1

2

sehingga

Q(x, t) = 12

+ 1

x4kt0

ep2

dp

untuk t > 0.

Dari Q yang sudah diperkenalkan di atas, kita akan menentukan solusi u terkaitdengan Q. Tetapi lebih dahulu kita perhatikan sifat-sifat berikut.

http://find/


8/29

Jika u memenuhi ut kuxx = 0 maka v = ux juga memenuhi persamaantersebut. Kita dapat menunjukkan dengan memeriksa apakah v memenuhipersamaan, turunan dari v

vt =

t

u

x

= 2u

tx

vx =

x

u

x

=2u

x2

vxx =

x

2u

x2

=3u

x3

Selanjutnya terapkan vt, dan vxx diatas pada persamaan difusi, yaitu

vt kvxx = 2utx

k3ux3

=

x

u

t k

2u

x2

=

x 0

= 0 memenuhi persamaan difusi.M. Jamhuri Persamaan Difusi
http://find/


9/29

Dengan Q seperti didefinisikan diatas,

S(x, t) =Q

x

juga solusi persamaan panas. Hal ini dapat ditunjukkan, karena Q memenuhipersamaan panas, dan sifat sebelum ini,

Begitu juga S(x, y) memenuhi persamaan panas, dan juga

W (x, t) =

S(x y, t) g (y) dy

untuk sebarang g (y) asalkan integral konvergen.

Dengan sifat-sifat diatas dan pendefinisian S terkait dengan Q, maka u dapat

didefinisikan sebagai

u(x, t) =

S(x y, t) (y) dy

untuk t > 0, yang memenuhi persamaan panas.

Masalah sekarang adalah apakah u tersebut memenuhi kondisi awal

u(x, 0) = (x) . Untuk itu, kita tuliskan u dalam dalam Q

u(x, t) =

Q

x(x y, t) (y) dy

sedangkanQ

x

=Q

y

y

(x y)

(x y)

x

=

Q

y

(x y)

xM. Jamhuri Persamaan Difusi
http://find/


10/29

Selanjutnya gunakan integral parsial, sehingga diperoleh

u(x, t) =

Q|

Q(x y, t) (y) dy

Suku pertama pada ruas kanan bernilai nol dengan menggunakan asumsi 0untuk |y| , sehingga diperoleh

u(x, 0) =

Q(x y, 0) (y) dy

Sekarang kita gunakan

Q(x, 0) = 1 untuk x > 0 Q(x y, 0) = 1 untuk y < x

dan dengan uraian yang sama diperoleh Q(x y, 0) = 0 untuk y > x.Bila hal ini diterapkan pada integral, didapat

u(x, 0) = x

(y) dy = (x)

memenuhi syarat yang ada, dan secara eksplisit solusinya

u(x, t) =1

4kt

e

(xy)24kt (y) dy (11)


Contoh
http://find/


11/29

Contoh

Tentukan solusi ut kuxx = 0 untuk < x < , dengan syarat awalu(x, 0) = ex

Dari persamaan 11 diperoleh

u(x, t) =1

4kt

e

(xy)24kt eydy

=1

4kt

e

(xy)2 +4kty

4kt

dy (12)

(x y)2 + 4kty4kt

=1

4kt

(x y)2 + 4kty

=

1

4kt

x2 xy + y2 + 4kty

=1

4kt (x y 2kt)2 + 4ktx 4k2t2

=

x y 2kt

4kt

2

+ (x kt)

sehingga (12) menjadi

u(x, t) =e(xkt)

4kt

es2

ds = e(xkt)


Metode Pemisahan Variabel
http://find/


12/29

Metode Pemisahan Variabel

Diberikan persamaan difusi

ut = 3uxx pada 0 < x < , t > 0 (13)

dengan kondisi batas

u(0, t) = u(, t) = 0 (14)

u(x, 0) = 4sin (2x) (15)

Misalkan u(x, t) = X (x) T (t) dan substitusikan pemisalan tersebut pada (13),sehingga diperoleh

XT = 3XTT

3T=

X

X(16)

Ruas kiri dari (16) hanya bergantung pada variabel t saja, sedangkan ruas kananhanya bergantung pada variabel x saja, kondisi tersebut hanya mungkin dipenuhi

jika keduanya merupakan konstan yaitu

T

3T =X

X= (17)

Misalkan = 2, maka persamaan (17) dapat dituliskan menjadi dua buah ODEyaitu

X + 2X = 0 (18)

dan

T

+ 3T = 0 (19)M. Jamhuri Persamaan Difusi
http://find/


13/29

Solusi dari (18) adalah

X (x) = C1eix + C2e

ix

atau dalam bentuk sinusoidal

X (x) = A cos (x) + Bsin (x) (20)

Kondisi u(0, t) = 0 memberikan A = 0, sehingga

X (x) = Bsin (x)

selanjutnya kondisi u(, t) = 0 memberikan

sin () = 0 = arcsin 0

= n, {n = 0, 1, 2, . . . } = n

sehingga diperoleh

Xn (x) = sin (nx) (21)

Solusi dari persamaan (19) adalah

T (t) = Ce3t

karena = 2 = n2, maka

Tn (t) = Ce3n2t (22)

http://find/


14/29

Dari persamaan (21) dan (22), maka diperoleh solusi

un (x, t) = Cne3n2t sin (nx)

Karena kombinasi linier dari solusi persamaan difusi adalah solusi, maka

u(x, t) =n=1

Cne3n2t sin (nx) (23)

Selanjutnya gunakan kondisi awal (15)

u(x, 0) = 4sin (2x)

sehingga diperoleh

4sin (2x) =n=1

Cn sin (nx)

dimana

Cn =8

0

sin (2x) sin (nx) dx

=

0, jika n = 24 n lainnya

Substitusikan kembali Cn pada (23) sehingga diperoleh

u(x, t) = 4e12t sin (2x)


Metode Numerik dengan RBF
http://find/


15/29

Metode Numerik dengan RBF

Persamaan difusi (13) yaituut = 3uxx

kita aproksimasi dengan jaringan RBF sebagai

Nj=1

j

t (x, t) = 3

Nj=1

j2

x2 (x, t)

Nj=1

j

t (x, t) 3

2

x2 (x, t)

= 0 (24)

dimana

(x, t) =

(x c)2 + (t d)2 + 2

t (x, t) =

t d

(x c)2 + (t d)2 + 2

2

x2 (x, t) =

(t d)2 + 2(x c)2 + (t d)2 + 2

32

{}Nj=1 adalah koefisien interpolan atau bobot jaringan yang akan ditentukan,sedangkan c dan d adalah center dari jaringan, dan adalah parameter bebasyang harus dipilih.

http://find/


16/29

Berikutnya aproksimasi kondisi batas (14) memberikan

Nj=1

j (0, t) = 0 (25)

danN

j=1

j (, t) = 0 (26)

Dari kondisi batas (15) diperoleh

Nj=1

j (x, 0) = 4sin (2x) (27)

Untuk mendapatkan solusi numerik dari persamaan difusi (13) dengan kondisibatas (14) dan (15), pertama kita harus menentukan koefisien dari sistempersamaan (24), (25), (26), dan (27).

Selanjutnya gunakan yang didapat untuk menentukan solusi u dengan caramengaproksimasi u sebagai

u(x, t) N

j=1

j (x, t) .


Hasil Simulasi
http://find/


17/29

Hasil Simulasi

Hasil simulasi metode RBF diatas diperoleh dengan menggunakan 16 buah titikuntuk 0 < x < dan 21 buah titik untuk 0 < t < 1.

Parameter dipilih sebagai

=var (x) + var (y)

2


Plot error mutlak antara metode RBF vs hasil eksak
http://find/


18/29


Metode Beda Hingga: FTCS
http://find/


19/29

gg

Pada tulisan ini akan dibahas beberapa metode beda hingga untuk persamaandifusi

ut = kuxx (28)

dengan k suatu konsatnta.

Metode FTCS (Forward Time Central Space) biasa disebut sebagai metodeeksplisit untuk persamaan difusi.

Pada metode ini, forward time diterapkan pada ut dengan akurasi O(t) danmetode beda pusat yang diterapkan pada uxx dengan akurasi O

x2

, sehingga

diperoleh persamaan beda sebagai berikut:

un+1j

unjt

= kunj+1 2unj + unj1

x2(29)

Persamaan (29) dapat disederhanakan sebagai

u

n+1

j =

kt

x2

u

n

j+1 2un

j + un

j1

+ un

j

atauun+1j = (1 2S) unj + S

unj+1 + u

nj1

(30)

dengan S = ktx2

.


Stencil untuk metode FTCS pada persamaan difusi dapat dilihat pada gambar
http://find/


20/29

Stencil untuk metode FTCS pada persamaan difusi dapat dilihat pada gambarberikut:

Kestabilan:Substitusikan unj =

neiaj pada persamaan (30), sehingga diperoleh

n+1eiaj = (1 2S) neiaj + S

neia(j+1) + neia(j1)

(31)

Bagi kedua ruas dari persamaan (31) dengan eiaj, sehingga diperoleh

= (1 2S) + S

eia + eia

= (1 2S) + S([cos a + i sin a] + [cos a isin a])= (1 2S) + 2Scos a= 1 + 2S(cos a

1)

Agar skema stabil, maka || 1, yaitu|| = |1 + 2S(cos a 1)| 11 1 + 2S(cos a 1) 12 2S(cos a 1) 01 S(cos a 1) 0

0

(1

cos a) S

1


i (1 ) 0 d (1 ) 2 hi
http://find/


22/29


ut = 3uxx pada 0 < x < , t > 0 (35)


u(0, t) = u(, t) = 0 (36)

u(x, 0) = 4sin (2x) (37)

Persamaan difusi (35) dengan kondisi batas (36), dan (37) diatas akan kitaselesaikan secara numerik menggunakan skema FTCS dengan langkah-langkahsebagai berikut.

Persamaan (35) kita diskritkan dengan menggunakan persamaan beda (30), yaitu

un+1j

= (1 2S) unj + S

unj+1 + unj1

, S =

3t

x2(38)

sedangkan kondisi batas (36) dan (37) sebagai

un1

= 0 dan unMx = 0

u1j = 4sin

2xj

dimana {n = 1, . . . Nt, j = 1, . . . , Mx} dengan Nt =T0

t

dan Mx =

0x

.

Contoh, misalkan untuk j = 2 dan n = 1, maka (38) menjadi

u22

= (1

2S) u1

2+ Su13 + u11


Simulasi metode beda hingga FTCS
http://find/


23/29


Error mutlak: metode beda hingga vs hasil eksak
http://find/


24/29


Metode Implisit BTCS
http://find/


25/29

Metode BTCS memiliki akurasi O

t, x2

, persamaan beda untuk persamaandifusi dengan menggunakan metode BTCS adalah

un+1j

unjt

= kun+1j+1 2un+1j + un+1j1

x2

(39)

un+1j

unj =kt

x2

un+1j+1 2un+1j + un+1j1

Sun+1

j1+ (2S + 1) un+1j Sun+1j+1 = unj (40)

dengan S = ktx2

.

Kestabilan: Substitusikan unj =

n

eiaj

ke dalam (40) sehingga diperoleh

Seia + (2S + 1) Seia = 1S

eia + eia

+ (2S + 1) =

1

2Scos a + 2S + 1

1

= 0

(1 cos a) 2S + 1 1

= 0

(1 cos a) 2S + = 1 =

1

(1

cos a) 2S + 1

http://find/


26/29

Karena untuk setiap S dan a penyebut selalu lebih besar atau sama dengan 1,maka jelas bahwa

|| 1jadi skema stabil untuk setiap S = kt

x2.

Perhtikan persamaan beda (40) diatas, jika diberikan syarat batas bertipe dirichlet

yaitu u(0, t) = f1 dan u(L, t) = f2. Titik-titik yang harus dihitung adalah

un+1j


Contoh penerapan metode BTCS
http://find/


27/29


ut = 3uxx pada 0 < x < , t > 0 (41)


u(0, t) = u(, t) = 0 (42)

u(x, 0) = 4sin (2x) (43)

Persamaan beda skema BTCS untuk persamaan (41) adalah

unj un1jt

= 3unj+1 2unj + unj1

x2

unj un1j =3t

x2

unj+1 2unj + unj1

un

j Sun

j+1

2un

j

+ un

j1 = un1

j

, S =3t

x2Sunj1 + (1 + 2S) unj Sunj+1 = un1j

atauSunj1 (1 + 2S) unj + Sunj+1 = un1j (44)

http://find/


28/29

Kondisi batas (42) kita diskritkan sebagai

un1

= 0, dan unMx = 0 (45)

dan (43) kita diskritkan sebagai

u1j = 4sin

2xj

(46)

dimana {j = 1, . . . , Mx, n = 1, . . . , Nt} dengan Mx =0x

dan Nt =

T0

t

.

Dalam bentuk matrik dapat kita gambarkan persamaan beda (44), (45), dan (46)

sebagai

j \ n 1 2 3 Nt 1 Nt1 0 0 0 0 02 4 sin (2x2) u22 u

3

2 uNt1

2uNt2

3 4 sin (2x3) u2

3u33

uNt13

uNt3

.

.....

.

.....

.. .

.

.....

Mx 1 4 sin (2xMx1) u2Mx1 u3Mx1 uNt1Mx1

uNtMx1

Mx 0 0 0 0 0 0

http://find/


29/29

Sebagai contoh, untuk j = 2, 3, . . . , Mx 1 dan n = 2 akan kita tentukan unj , yaitu

u22 =?

maka dengan menggunakan (44) diperoleh

Sunj1 (1 + 2S) unj + Sunj+1 = un1j

j = 2 Su21

(1 + 2S) u22

+ Su23

= u12

j = 3 Su22

(1 + 2S) u23

+ Su24

= u13

j = 4

Su23

(1 + 2S) u24

+ Su25

=

u14

.

.....

.

.....

.

..j = Mx 1 Su2Mx2 (1 2S) u2Mx1 + Su2Mx = u1Mx1

so we have matrix

(1 + 2S) S 0 0S

(1 + 2S) S

0

0 S (1 + 2S) 0...

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.0 0 0 (1 + 2S)

u22u2

3u24...

u2Mx1

=

u12 Su21

u1

3u14...

u1Mx1 Su2Mx

http://find/

Documents

persamaan_difusi