BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ ÁI

PHƯƠNG PHÁP LAGRANGE CHO BÀI TOÁN

CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS. Lê Hoàng Trí

Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12

tháng 12 năm 2015.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

1

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Trong lý thuyết và ứng dụng ta thƣờng gặp các bài toán cực trị

có điều kiện (tìm cực đại và cực tiểu). Khi giải một bài toán cực trị

ngƣời ta thƣờng tìm cách đƣa nó về các bài toán đơn giản hơn: với số

biến hoặc số ràng buộc ít hơn, thậm chí không có ràng buộc. Ý tƣởng

này đƣợc thể hiện rõ nét trong phƣơng pháp nhân tử Lagrange và

trong một số phƣơng pháp tối ƣu khác.

Phƣơng pháp nhân tử Lagrange là một phƣơng pháp tìm cực

trị của hàm số với các ràng buộc cho bởi phƣơng trình. Phƣơng pháp

tƣơng đối hiệu quả, dễ áp dụng. Trong chƣơng trình toán đại học,

phƣơng pháp này cũng đã đƣợc giới thiệu và áp dụng để giải một số

bài toán cực trị có điều kiện. Tuy nhiên, hầu hết các giáo trình tiếng

việt, chƣa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phƣơng

pháp nhân tử Lagrange. Trong chƣơng trình toán phổ thông, bài toán

cực trị có điều kiện cũng xuất hiện dƣới dạng tìm giá trị lớn nhất

hoặc nhỏ nhất của một biểu thức với các điều kiện nào đó cho các ẩn

số. Các bài toán dạng này thƣờng xuất hiện trong các tài liệu, trong

các kỳ thi dành cho học sinh giỏi.

Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều

kiện và các phƣơng pháp giải là cần thiết cho giáo viên và có thể đƣa

vào giảng dạy bồi dƣỡng học sinh giỏi và học sinh trƣờng chuyên,

giúp học sinh có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề

cực trị của hàm nhiều biến. Góc nhìn này sẽ giúp các học sinh THPT

giải các bài cực trị trong các kì thi học sinh giỏi và các đề thi Đại

học. Việc nắm chắc cơ sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và

các phƣơng pháp giải cũng giúp cho giáo viên có khả năng giải và

sáng tạo ra các bài toán mới, điều này đặc biệt quan trọng khi ra đề

thi học sinh giỏi.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều

2

kiện, các phƣơng pháp giải cũng nhƣ cách sáng tạo ra các bài toán

mới, tôi chọn đề tài “ Phƣơng pháp Lagrange cho bài toán cực trị

có điều kiện và ứng dụng” để làm đề tài cho luận văn cao học của

mình.

2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

- Nắm đƣợc bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều

kiện cần và đủ của cực trị.

- Phƣơng pháp nhân tử Lagrange và ứng dụng để giải bài toán

cực trị của hàm nhiều biến.

- Sáng tạo đƣợc bài toán mới vận dụng phƣơng pháp này.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Sử dụng Phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán cực

trị trong hình học và đại số trong chƣơng trình toán ở cấp phổ thông

và ở cấp đại học.

- Sáng tạo ra một số bài toán mới.

4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu trong nƣớc và ngoài nƣớc để

tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề tài.

- Hệ thống hóa lý thuyết đã thu thập.

- Thảo luận, trao đổi.

- Dựa trên các kết quả đã đạt đƣợc để sáng tạo và giải một số

bài toán mới.

5. Cấu trúc luận văn:

Phần mở đầu.

Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.

Chƣơng 2. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC

PHƢƠNG PHÁP GIẢI.

Chƣơng 3. ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN

3

CHƢƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. KHÔNG GIAN n VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

Một số khái niệm và tính chất cơ bản:

- Với mỗi số nguyên không âm n, tập n là tập tất cả các

bộ n số thực có thứ tự. Một phần tử của n đƣợc viết là:

1 2( , ,... ), , 1,n ix x x x x i n .

- Trên n ta định nghĩa phép cộng và phép nhân nhƣ sau: với

mọi và với mọi 1 2 1 2( , , , ), ( , , , ) nn nx x x x y y y y ,

1 1 2 2( , ,..., )n nx y x y x y x y , 1 2( , ,..., )nx x x x .

- Tập n cùng với hai phép toán cộng và nhân vô hƣớng ở

trên tạo thành một không gian vectơ n chiều trên và thƣờng đƣợc

gọi là không gian vectơ n hoặc không gian n cho ngắn gọn.

- Không gian vectơ n có một cơ sở chính tắc:

1 1;0;0;...;0 ,e 2 0;1;0;...;0 , ..., 0;0;...;0;1ne e . Khi

đó, một vectơ trong n có thể đƣợc viết dƣới dạng: 1

n

i i

i

x x e

.

- Tích vô hƣớng trên n là ánh xạ: , : n n xác

định bởi 1 1 2 2

1

, ...n

i i n n

i

x y x y x y x y x y

.

- Độ dài (hay gọi là chuẩn) của vectơ x đƣợc định nghĩa bởi:

2

1

,n

i

i

x x x x

.

- Không gian n cùng với tính vô hƣớng .,. tạo thành một

không gian Hilbert.

4

Định nghĩa 1.1.1. (Hình cầu mở và hình cầu đóng)

- Hình cầu mở tâm tại điểm 0nx và bán kính 0 là tập

các điểm trong nR định nghĩa bởi

0 0( , ) nB x x x x .

- Hình cầu đóng tâm tại điểm 0nx và bán kính 0 là

tập các điểm trong n định nghĩa bởi

0 0[ , ] nB x x R x x .

Định nghĩa 1.1.2. (Tập mở trong n ) Tập nS là mở nếu

với mỗi x S tồn tại 0 sao cho hình cầu mở 0( , )B x S .

Định lý 1.1.3. (Định lý về các tập mở trong n )

1. Tập rỗng là một tập mở.

2. n là một tập mở.

3. Hợp các tập mở là một tập mở.

4. Giao hữu hạn các tập mở là một tập mở.

Định lý 1.1.4. (Mọi tập mở là họ của các hình cầu mở) Giả sử

nS là một tập mở. Với mỗi x S chọn 0x sao cho

( , )xB x S . Khi đó ( , )x

x S

S B x

.

Định nghĩa 1.1.5. (Tập đóng trong n ) nS là đóng khi

và chỉ khi phần bù của S trong n : ( \ )n S là tập mở.

Định lý 1.1.6. Ta có một số tính chất sau của các tập đóng:

1. Tập rỗng là một tập đóng.

2. Toàn không gian n là một tập đóng.

3. Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng.

4. Giao các tập đóng là một tập đóng.

Định lí 1.1.7. (Các tập đóng trong và các khoảng đóng)

Giả sử S là một tập đóng bất kì trong . Khi đó:

5

(( , ] [ , ))i i

i I

S a b

, với các số thực i ia b và tập chỉ số I

nào đó.

Định nghĩa 1.1.8. (Tập bị chặn trong n ) Tập nS đƣợc

gọi là bị chặn nếu nó chứa đƣợc trong một hình cầu (mở hay đóng)

bán kính nào đó.

Định lý 1.1.9. (Cận trên và cận dưới của một tập trong )

1. Giả sử S là một tập mở bị chặn và giả sử a là một cận

dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó, a S

và b S .

2. Giả sử S là một tập đóng bị chặn và giả sử a là một

cận dưới lớn nhất của S và b là cận trên nhỏ nhất của S . Khi đó,

a S và b S .

Định nghĩa 1.1.10. (Heine – Tập Compact trong n ) Tập

nS đƣợc gọi là Compact khi và chỉ khi S đóng và bị chặn.

1.2. HÀM NHIỀU BIẾN

Định nghĩa 1.2.11. Cho nA . Khi đó, ánh xạ

: pf A xác định bởi

1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) pn nx x x x A f x x x .

- Khi 1p , f đƣợc gọi là hàm thực nhiều biến.

- Khi 1p , f đƣợc gọi là hàm vectơ nhiều biến.

Tập A đƣợc gọi là miền xác định của hàm số, các số

1 2, ,..., nx x x đƣợc gọi biến số của hàm f.

Định nghĩa 1.2.12. (Giới hạn của hàm vectơ n biến) Cho hàm

vectơ : n pf A và điểm a A .

Ta nói rằng hàm f tiến đến giới hạn pb khi x tiến đến

a , hay b là giới hạn của hàm f tại a , nếu với mọi 0 cho trƣớc

tồn tại 0 ( phụ thuộc vào ) sao cho với mọi x A thỏa mãn

6

0 x a ta có ( )f x b . Khi đó ta viết lim ( )x a

f x b

hay

( )f x b khi x a .

Vì sự hội tụ trong không gian n là sự hội tụ theo tọa độ nên

với 1 1( ,..., ), ( ,..., )n nx x x a a a ta còn dùng kí hiệu

1 1

1

...

lim ( ,..., )

n n

nx a

x a

f x x b

.

Định nghĩa 1.2.13. (Hàm liên tục nhiều biến)

a. Hàm : n pf A đƣợc gọi là liên tục tại một điểm 0x

trên A nếu 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

.

b. Hàm : n pf A đƣợc gọi là liên tục trên A nếu f

liên tục tại mọi điểm a A .

c.Hàm f đƣợc gọi là liên tục đều trên A nếu với mọi 0

tồn tại ( ) 0 (chỉ phụ thuộc vào ) sao cho với mọi ',x x A

thỏa mãn 'x x ta đều có '( ) ( )f x f x .

d. Hàm 1( ,..., ) : n ppf f f A liên tục tại a A khi

và chỉ khi các hàm thành phần của nó liên tục tại a .

Định nghĩa 1.2.14. (Hàm liên tục theo từng biến) Hàm

: n pf A đƣợc gọi là liên tục theo biến ix tại điểm

1( ,..., )na a a nếu với mọi 0 tồn tại 0 sao cho với mọi

1 1 1( ,..., , , ,... )i i i i i i nx A x a a x a a A thỏa mãn i ix a

ta đều có 1 1 1 1( ,..., , , ,..., ) ( ,..., )i i i n nf a a x a a f a a .

Định lí 1.2.15. Cho hàm : n pf A là hàm liên tục

trên A . Nếu A là tập Compact trong n thì ( )f A là tập Compact

trong p .

7

Định lí 1.2.16. Nếu : nf A là hàm liên tục trên A và

A là tập Compact trong n thì hàm f đạt được cận trên đúng và

cận dưới đúng trên A .

Định nghĩa 1.2.17. (Hàm bị chặn) Hàm : n pf A

đƣợc gọi là bị chặn trên A nếu ( )f A là tập bị chặn trong p , tức là

nếu tồn tại số 0M sao cho ( )f x M với mọi x A .

1.3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO

1.3.1. Đạo hàm riêng

Giả sử 1 2, ,..., ne e e là cơ sở chính tắc trong không gian n , U

là một tập hợp mở trong n và :f U là một hàm số của n biến

số, 1( ,..., )nx x x U .

Định nghĩa 1.3.18. Đạo hàm riêng cấp một: Xét giới hạn

0

( ) ( )lim i

t

f x te f x

t

,

Nếu nó tồn tại thì đƣợc gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f

tại x hay đạo hàm riêng theo biến ix của hàm f tại x và kí hiệu là

( )iD f x hay ( )i

fx

x

hoặc ' ( )

ixf x .

Định nghĩa 1.3.19. Đạo hàm riêng cấp cao: Cho tập hợp mở

nU và điểm a U . Giả sử :f U là hàm số sao cho

( )iD f x tồn tại với mọi x U . Nhƣ thế ta có ánh xạ

: , ( )i iD f U x D f x .

Nếu hàm số iD f có đạo hàm theo biến thứ j tại a tức là nếu

tồn tại ( )( )j iD D a thì đạo hàm này đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp hai

của f tại a theo các biến thứ các biến thứ i và thứ j hay theo các

biến ix và jx và đƣợc kí hiệu là , ( )i jD f a hay

8

2 2

( ), ( ) ( )i j i j j i

f fa a f a

x x x x x x

.

Định nghĩa 1.3.20. (Gradien của f ): là hàm vectơ mà thành

phần là các đạo hàm riêng theo từng biến của f . Kí hiệu grad f

hoặc f xác định bởi 1 2

( , ,..., )n

f f ff

x x x

.

1.3.2. Đạo hàm của hàm hợp

* Công thức tính đạo hàm riêng của hàm hợp

Cho hàm , : n pf g A :

1

( )( ) ( ) ( ),( 1,..., )m

i

j i ji

fgg f a b a j n

x y x

.

* Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến

Giả sử U là tập mở trong n , a U và :f U . Ta kí

hiệu toán tử

1 1 2 2

1 2

( ) ( ) ( ) ... ( )a n n

n

T x a x a x ax x x

,

xác định nhƣ sau 1 1

1

( ) ( ) ( )n

a

ii

fT f x a a

x

, ở đây 1( ,..., )na a a ,

Và ( )kaT là luỹ thừa hình thức

1 1 2 2

1 2

( ) ( ) ( ) ... ( )

k

ka n n

n

T x a x a x ax x x

.

Định lí 1.3.21. (Công thức Taylor) Giả sử U là một tập mở

trong n , a U và 0r sao cho ( , )B a r U . Cho ( )kf C U ,

khi đó với mọi ( , )x B a r tồn tại ,a x sao cho

9

2 11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

1! 2! ( 1)! !

k ka a af x f a T f T f T f T f

k k

.

1.3.3. Vi phân hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.3.22. (Vi phân cấp một)

Giả sử U là tập mở trong n , : nf U là hàm vectơ xác

định trên U sao cho với mọi x U

1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( )) .nmf x f x f x f x

Trong đó, : ( 1,2,..., )if U i m là các hàm thành phần của

hàm vectơ f , xác định trên U .

Định nghĩa 1.3.23. (Vi phân cấp cao)

Cho tập hợp mở nU , :f U , a U . Giả sử

2 ( )f C U . Nhƣ ta đã biết hàm f khả vi tại a và với

1 2( , ,... )nh h h h ta có 1

( ) ( ) .n

i

ii

fDf a h a h

x

Mỗi đạo hàm riêng i

f

x

là một ánh xạ từ U vào . Vì

i

f

x

có các đạo hàm riêng liên tục nên nó là hàm khả vi tại a và với

1 2( , ..., )nk k k k ta có 2

1

( )( )n

j

i i jj

f fD a k k

x x x

.

Biểu thức 2

1 1 1

( ) )n n n

i i j

i i jj i j

f fD a h k h k

x x x

Là một dạng song tuyến tính trên n n , ma trận của dạng

song tuyến tính là ma trận vuông 2

1 ,

( )

i ji j n

f a

x x

. Ánh xạ song

10

tuyến tính từ n n xác định bởi ma trận này đƣợc gọi là đạo

hàm cấp hai của f tại a , kí hiệu là 2 ( )D f a hay ''( )f a .

Nếu lấy k h thì biểu thức 2

2

, 1

( )( , ) ( )n

i j

i ji j

fD f a h h a h h

x x

Đƣợc gọi là vi phân cấp hai của f tại a , kí hiệu là 2 ( )d f a .

Thông thƣờng ta kí hiệu i ih dx , khi đó vi phân cấp hai đƣợc viết

dƣới dạng 2

2

, 1

( )( )

n

i j

i ji j

f ad f a dx dx

x x

.

Tƣơng tự nhƣ trên thì ta sẽ định nghĩa đƣợc các vi phân cấp

cao hơn của f .

1.4. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM

Định nghĩa 1.4.24. (Hàm lồi) Cho là một tập con lồi của

n . Một hàm f xác định trên một tập lồi đƣợc gọi là lồi nếu với

mỗi 1 2,x x và mỗi ,0 1 , ta có:

1 2 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( )f ax x af x f x .

Hơn nữa, nếu với mỗi ,0 1 và 1 2x x , ta có:

1 2 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( ),f ax x af x f x thì f đƣợc gọi là

lồi chặt.

Định nghĩa 1.4.25. (Hàm lõm) Một hàm g xác định trên một

tập lồi đƣợc gọi là lõm nếu hàm f g là lồi. Hàm g là lõm

chặt nếu g là lồi chặt.

Định nghĩa 1.4.26. (Ma trận xác định)

Ma trận A n n đƣợc gọi là xác định dƣơng (tƣơng ứng xác

định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ , 0nx x dạng

toàn phƣơng xác định bởi ( ) .TQ x x A x

11

chỉ nhận các giá trị dƣơng (tƣơng ứng chỉ nhận các giá trị âm;

nhận cả giá trị âm và giá trị dƣơng), tức là 0, , 0T nx Ax x x .

Nếu dạng toàn phƣơng chỉ nhận giá trị không âm (tƣơng ứng

chỉ nhận giá trị không dƣơng), ma trận đƣợc gọi là nửa xác định

dƣơng (tƣơng ứng nửa xác định âm) và ma trận không xác định chính

xác khi nó không là ma trận nửa xác định dƣơng hoặc ma trận nửa

xác định âm.

Mệnh đề 1.4.27. Cho 1f và 2f là những hàm lồi trên tập lồi

. Khi đó hàm 1 2f f là lồi trên .

Mệnh đề 1.4.28. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi . Khi

đó af là hàm lồi với bất kì 0a .

Từ hai mệnh đề trên chúng ta có thể nhận thấy rằng tổ hợp

1 1 2 2 ... m ma f a f a f của các hàm lồi cũng lồi.

Cuối cùng, chúng ta xét các tập xác định bởi các bất đẳng thức

ràng buộc cho hàm lồi.

Mệnh đề 1.4.29. Cho f là một hàm lồi trên tập lồi . Tập

, ( )c x x f x c là lồi với mỗi số thực c . Ta thấy rằng, vì

giao của các tập lồi cũng là tập lồi nên tập các điểm đồng thời thỏa

mãn 1 1 2 2( ) , ( ) ,..., m mf x c f x c f c , Sao cho với mỗi if là một

hàm lồi, xác định một tập lồi. Điều này rất quan trọng trong toán

học, bởi vì tập ràng buộc thường được định nghĩa bằng cách này.

Mệnh đề 1.4.30. (Tính chất của hàm lồi khả vi) Cho 1f C .

Khi đó f là lồi trên một tập lồi nếu và chỉ nếu

( ) ( ) ( )( )f y f x f x y x , với mọi ,x y .

Đối với hàm khả vi cấp hai liên tục thì có một đặc tính khác

trong tính lồi.

Mệnh đề 1.4.31. Cho 2f C . Khi đó f là lồi trên tập lồi

12

chứa một điểm trong nếu và chỉ nếu ma trận Hessian F (ma trận của

đạo hàm riêng cấp hai) là nửa xác định dương trong .

1.5. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

1.5.1. Cực trị tự do

Cho hàm : nf . Bài toán cực trị tự do là bài toán: tìm

0nx sao cho

0( ) inf ( )x D

f x f x

hoặc 0( ) sup ( ).x D

f x f x

Nhƣ vậy, bài toán cực trị tự do là bài toán tìm 0x để hàm f đạt

giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên n . Những giá trị đó chúng

ta gọi là cực trị toàn cục (xem định nghĩa ở bên dƣới).

Định nghĩa 1.5.32. (Cực trị địa phƣơng)

1. Một điểm * nx đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa

phƣơng của f nếu tồn tại 0 sao cho ( ) ( *)f x f x với mọi

( *, )x B x .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x , *x x thì *x đƣợc

gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của f trên ( *, )B x .

2. Một điểm * nx đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng

của f nếu tồn tại 0 sao cho ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x , *x x thì *x đƣợc

gọi là điểm cực tiểu địa phƣơng thực sự của f trên ( *, )B x .

Định nghĩa 1.5.33. (Cực trị toàn cục)

1. Một điểm * nx đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục

của : nf nếu ( ) ( *)f x f x với mọi nx .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi , *nx x x thì *x đƣợc gọi là

một điểm cực tiểu toàn cục thực sự của f trên n .

2. Một điểm * nx đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục

13

của : nf nếu ( ) ( *)f x f x với mọi nx .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi , *nx x x thì *x đƣợc gọi là

một điểm cực đại toàn cục thực sự của f trên n .

i. Điều kiện cần cấp một

Định lý 1.5.34. (Định lý Fermat) Cho hàm 1f C xác định

trên n . Nếu *x là một điểm cực trị địa phương của f trên n thì

( *) 0f x .

Định nghĩa 1.5.35. Điểm mà tại đó các đạo hàm riêng của f

đều bằng 0 đƣợc gọi là điểm dừng của hàm. Hàm f chỉ có thể đạt

cực trị tại các điểm dừng. Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để có

cực trị, nên điểm dừng chƣa chắc là điểm cực trị.

Điều kiện cần cho điểm cực trị địa phƣơng dẫn đến n phƣơng

trình (mỗi một phƣơng trình cho mỗi thành phần của f ) với n ẩn

(các thành phần của *x ), trong nhiều trƣờng hợp có thể giải để xác

định nghiệm. Chúng ta minh họa bằng ví dụ sau:

ii. Điều kiện cần cấp hai

Mệnh đề 1.5.36. Giả sử *x là một điểm cực tiểu địa phương

trên n của hàm 2f C : n . Khi đó,

i. ( *) 0f x ,

ii. 2 ( *) 0Td f x d , với mọi d. (1.5.2)

Để đơn giản chúng ta thường kí hiệu 2 ( )f x , ma trận n n

của đạo hàm riêng cấp hai của f , ma trận Hessian của f kí hiệu là

( )F x . Điều kiện (1.5.2) là tương đương với ma trận ( *)F x là nửa

xác định dương.

iii. Điều kiện đủ cấp hai

Mệnh đề 1.5.37. Cho 2f C là một hàm xác định trong n .

14

Giả sử điểm *x thỏa mãn các điều kiện

1. ( *) 0f x ,

2. ( *)F x xác định dấu.

Khi đó *x là một điểm cực tiểu địa phương thực sự của f

nếu ( *)F x xác định dương và *x là một điểm cực đại địa phương

thực sự của f nếu ( *)F x xác định âm. Nếu ( *)F x không xác định

thì *x không phải là cực trị của f.

Nhận xét 1.5.38. Chúng ta có thể dùng tiêu chuẩn sau để

nhận biết ma trận ( *)F x là xác định dương hay xác định âm:

1. Nếu tất cả các định thức con chính của ( *)F x đều dương

thì điểm dừng *x là điểm cực tiểu của nó.

2. Nếu ( *)F x có các định thức con chính cấp lẻ âm và tất cả

các định thức con chính cấp chẵn dương thì điểm dừng *x là điểm

cực đại của nó.

Nhận xét 1.5.39. Đối với trường hợp hàm hai biến, chúng ta

có tiêu chuẩn chi tiết hơn như sau: Giả sử hàm 2f C đi từ

2 có điểm dừng 0 0( , )x y . Gọi là định thức của ma trận

0 0( , )F x y , tức là 2

'' '' ''0 0 0 0 0 0( , ) ( , ) . ( , )xy xx yyf x y f x y f x y .

1. Nếu 0 thì điểm dừng 0 0( , )x y là điểm cực trị của hàm

số:

0 0( , )x y là điểm cực đại nếu '' 0xxf ,

0 0( , )x y là điểm cực tiểu nếu '' 0xxf .

2. Nếu 0 thì 0 0( , )x y không phải cực trị của hàm f .

3. Nếu 0 ta không kết luận gì về cực trị tại 0 0( , )x y .

(Muốn có được kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác).

1.5.2. Cực trị có điều kiện

15

Cho tập nD , hàm :f D . Bài toán cực trị có

điều kiện là bài toán: tìm 0x D sao cho

0( ) inf ( )x D

f x f x

hoặc 0( ) sup ( )x D

f x f x

.

Nhƣ vậy, bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm 0x để

hàm f đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất trên tập D. Những giá

trị đó chúng ta gọi là cực trị toàn cục có điều kiện (xem định nghĩa ở

bên dƣới).

Định nghĩa 1.5.40. (Cực trị địa phƣơng có điều kiện)

Cho f liên tục trên một tập Compact D . Lúc đó, bài toán có

ít nhất một nghiệm.

1. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có

điều kiện của :f D nếu có tồn tại 0 sao cho ( ) ( *)f x f x

với mọi ( *, )x B x D .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi ( *, )x B x D , *x x thì *x

đƣợc gọi là một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của

f trên ( *, )B x D .

2. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực đại địa phƣơng có

điều kiện của :f D R nếu có tồn tại 0 sao cho ( ) ( *)f x f x

với mọi ( *, )x B x D .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi .., *x x thì *x đƣợc gọi là

một điểm cực tiểu địa phƣơng có điều kiện thực sự của f trên

( *, )B x D .

Định nghĩa 1.5.41. (Cực trị toàn cục có điều kiện)

1. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực tiểu toàn cục có

điều kiện của :f D nếu có tồn tại 0 sao cho

( ) ( *)f x f x với mọi x D .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi x D , *x x thì *x đƣợc

16

gọi là một điểm cực tiểu toàn cục thực sự có điều kiện của f trên

D .

2. Một điểm *x đƣợc gọi là một điểm cực đại toàn cục có điều

kiện của :f D nếu ( ) ( *)f x f x với mọi x D .

Nếu ( ) ( *)f x f x với mọi , *x D x x thì *x đƣợc gọi

là một điểm cục đại toàn cục thực sự có điều kiện của f trên D .

* Sự tồn tại nghiệm

Định lý 1.5.42. Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm (tối ưu) của

(P) là tồn tại t sao cho tập ( ) : ( ) ,F D x f x t x D

khác , đóng và bị chặn dưới.

Định lý 1.5.43. Cho f là một hàm lồi xác định trên tập lồi

D . Ký hiệu là tập tất cả các điểm cực tiểu của hàm f . Khi đó

là tập lồi, và bất kì điểm cực tiểu địa phương nào của f cũng là

cực tiểu toàn cục.

Định lý 1.5.44. Cho 1f C là hàm lồi trên tập lồi D . Nếu

có một điểm *x D sao cho, với mọi y D , ( *)( *) 0f x y x ,

thì *x là một điểm cực tiểu toàn cục có điều kiện của f trên D .

Định nghĩa 1.5.45. (Hƣớng chấp nhận đƣợc)

Cho x D ( D là một tập lồi), một vectơ d là một hƣớng

chấp nhận đƣợc tại x nếu có một 0 thỏa mãn x d D với

mọi , 0 .

Mệnh đề 1.5.46. (Điều kiện cần cấp một ) Cho D là tập hợp

con của nR và cho

1f C là một hàm trên D . Nếu *x là một

điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với bất

kì nd mà d là một hướng chấp nhận được tại *x , ta có

( *) 0.f x d

17

Mệnh đề 1.5.47. (Điều kiện cần cấp 2) Cho D là một

tập con lồi của n

và cho 2f C là một hàm trên D . Nếu *x là

một điểm cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D , khi đó với

bất kì nd mà d là một hướng chấp nhận được tại *x . Ta có:

i. ( *) 0f x d (1.5.4)

ii. Nếu *( ) 0f x d thì khi đó

2 *( ) 0.Td f x d (1.5.5)

Mệnh đề 1.5.48. (Điều kiện đủ) Cho D là một tập con

lồi của n

và cho 2f C là một hàm trên D . Nếu 0x D thỏa

mãn:

i. ( *) 0f x d ;

ii. T ( *) 0,d f x d d thỏa mãn ( *)d 0f x .

thì x* là cực tiểu địa phương có điều kiện của f trên D.

CHƢƠNG 2

BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CÁC PHƢƠNG

PHÁP GIẢI

2.1. BÀI TOÁN CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN

Chúng ta xem xét Bài toán phi tuyến dạng:

1

2

min ( )

( ) 0,

( ) 0,

( ) 0,

,

m

n

f x

h x

h x

h x

x D

(2.2.1)

trong đó m n và các hàm , , ( 1,2,..., )if h i m liên tục, và có các

18

đạo hàm riêng cấp hai liên tục. Để kí hiệu đơn giản, chúng ta giới

thiệu hàm giá trị vectơ 1 2( , ,..., )mh h h h và (2.2.1) đƣợc viết lại

min ( )

( ) 0

n

f x

h x

x D

(2.2.2)

Với ( ) 0h x đƣợc xem nhƣ là hàm điều kiện, trong khi đó

điều kiện nx D là một điều kiện cố định. Bỏ qua điều kiện cố

định, trong chƣơng này, chúng ta giả sử rằng D là cả không gian

n hoặc nghiệm của (2.2.2) nằm ở phần trong của D . Một điểm

x D mà thỏa mãn tất cả các hàm điều kiện thì đƣợc gọi là điểm

chấp nhận đƣợc. Tập tất cả các điểm chấp nhận đƣợc gọi là tập điểm

chấp nhận đƣợc.

Bài toán (2.2.2) là một trƣờng hợp đặc biệt của bài toán tìm

cực trị tổng quát ở mục 1.5.2. Vì : ( ) 0,nx h x x D ,

ta có bài toán (2.2.2) tƣơng đƣơng với bài toán tìm min ( )x

f x

.

Định nghĩa 2.1.1. (Điểm chính quy) Một điểm *x thỏa mãn

điều kiện ( *) 0h x đƣợc gọi là điểm chính quy của điều kiện nếu

các vectơ gradient 1 2( *), ( *),..., ( *)mh x h x h x là độc lập tuyến

tính.

Chú ý rằng nếu h là affine, ( ) Ah x x b thì sự chính quy

tƣơng đƣơng với A có hạng là m . Tại một điểm chính quy *x của

mặt S định nghĩa bởi ( ) 0h x thì không gian tiếp xúc là mặt

: ( *) 0M y h x y .

2.1.1. Điều kiện cần cấp một

Định lý 2.1.2. Cho *x là một điểm chính quy của các điều

19

kiện ( ) 0h x và là một điểm cực trị địa phương có điều kiện (một

điểm cực tiểu hoặc cực đại) của f thỏa mãn các điều kiện này. Khi

đó tất cả ny thỏa mãn

( *) 0h x y , (2.2.3)

cũng phải thỏa mãn ( *) 0f x y (2.2.4)

Định lý 2.1.3. Cho *x là một điểm cực trị địa phương có điều

kiện của f với các điều kiện ( ) 0h x và *x là một điểm chính quy

của điều kiện này. Khi đó, có một m sao cho

( *) ( *) 0Tf x h x .

(2.2.5)

Từ Định lý 2.1.2 trước nếu *x là nghiệm của bài toán (2.2.2)

thì có một m thỏa mãn ( *) ( *) 0Tf x h x và cùng với

điều kiện ( *) 0h x cho ta một hệ gồm n m phương trình với

n m ẩn gồm *,x .

Từ đó, rất thuận lợi để giới thiệu hàm Lagrange kết hợp với

bài toán có điều kiện. Định nghĩa hàm Lagrange như sau

( , ) ( ) ( )Tx f x h x . (2.2.6)

Khi đó, các điều kiện cần có thể được biểu diển dưới dạng

( , ) 0x x , (2.2.7)

( , ) 0x . (2.2.8)

Cách biểu diễn này là một sự trình bày đơn giản của các điều

kiện cần.

2.1.2. Điều kiện cần cấp hai

Trong suốt phần này, chúng ta giả sử 2,f h C .

Định lí 2.1.4. Giả sử *x là một cực tiểu địa phương có điều

kiện của f với ( ) 0h x và *x là một điểm chính quy của các điều

20

kiện này. Khi đó, tồn tại một m sao cho

( *) ( *) 0Tf x h x . (2.2.9)

Nếu M là không gian tiếp xúc : ( *) 0M y h x y , thì

khi đó ma trận

( *) ( *) ( *)TL x F x H x (2.2.10)

(ở đây F, H lần lượt là ma trận Hessian của f, h) là nửa xác

định dương trên M , tức là ( *) 0Ty L x y với mọi y M .

2.1.3. Điều kiện đủ cấp hai

Định lý 2.1.5. Giả sử có một điểm *x thỏa mãn ( *) 0h x ,

và một mR sao cho

( *) ( *) 0Tf x h x . (2.2.14)

Cũng giả sử rằng ma trận ( *) ( *) ( *)TL x F x H x xác

định dương trên : ( *) 0nM y h x y , nghĩa là với

, 0y M y thì ta luôn có ( *) 0Ty L x y . Khi đó, *x là một cực

tiểu địa phương có điều kiện thực sự của f với ( ) 0h x .

2.2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI

2.2.1. Chuyển về bài toán không dùng phƣơng pháp nhân

tử Lagrange

Với công cụ cấp trung học phổ thông, một trong những

phƣơng pháp giải bài toán nhiều biến số là làm giảm dần các biến số

bằng cách tìm cực trị theo từng phƣơng.

Nếu trong (2.2.1), từ các điều kiện ràng buộc ta biểu diễn lần

lƣợt biến , 1,ix i n dƣới dạng hàm ẩn 1 2 1 1( , ,..., , ,..., )i i i i nx x x x x x

thay vào (2.2.1) ta đƣợc bài toán mới chỉ có 1n biến,… lần lƣợt

nhƣ vậy cho đến khi hết các điều kiện ràng buộc, thì bài toán cực tiểu

có điều kiện nêu trên quy về bài toán cực trị tự do n m biến.

21

2.2.2. Phƣơng pháp nhân tử Lagrange

Trƣớc tiên ta nhắc lại Bài toán (P): min ( )f x

(2.3.1)

Với ( ) 0, 1, ,

.

i

n

h x i m

x D

(2.3.2)

, ; 1,if h i n là các hàm có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục.

Hàm Lagrange là hàm n m biến số với nhân tử Lagrange

, 1,n

i R i m :

( , ) ( ) ( ), 1,i iL x f x h x i m

Theo điều kiện cần đã nhắc ở phần trƣớc. Nếu bài toán đạt cực

trị tại 1 2* , ,..., nx x x x thì tồn tại các số 1 2, ,..., m sao cho bộ

m n số 1 2 1 2, ,..., , , ,...,n mx x x là nghiệm của hệ phƣơng

trình:

1 21 2 ... 0, 1,

0, 1, .

mm

i i i i i

j

hh hL fi n

x x x x x

h j m

Nói cách khác điều kiện cần để bài toán đạt cực trị tại

1 2* , ,..., nx x x x là tồn tại các số 1 2, ,..., m sao cho

1 2 1 2, ,..., , , ,...,n mx x x là điểm dừng của hàm Lagrange.

Dùng điều kiện đủ cấp hai để kiểm tra xem các điểm dừng

1 2 1 2, ,..., , , ,...,n mx x x có là điểm cực trị hay không.

Từ đó ta có phương pháp nhân tử Lagrange tổng quát như

sau:

Bƣớc 1: Xây dựng hàm Lagrange

( , ) ( ) . ( ), nL x f x h x x .

22

Bƣớc 2: Tính ' ' '

i i ix x xL f h .

Và giải hệ phƣơng trình sau đây để tìm các điểm dừng 1( )n

i ix

cùng với giá trị i tƣơng ứng.

' 0,1, ; 1, .

( ) 0,

ix

j

Li n j m

h x

Bƣớc 3: Xác định vi phân cấp 2 của ( )L x .

2 "

, 1

,i j

n

x x i j

i j

d L L dx dx

và tính ràng buộc: '

1

( ) 0, 1, .i

n

j j ixi

dh x h dx j m

Với mỗi điểm dừng *x và 0 tìm đƣợc trong Bƣớc 2, xét

2 ( *)A d L x (phụ thuộc , 1,idx i n ).

Nếu 0A với mọi , 1,idx i n không đồng thời bằng 0

thỏa ( *) 0jdh x thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại *x .

Nếu 0A với mọi , 1,idx i n không đồng thời bằng 0

thỏa ( *) 0jdh x thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại *x .

Nếu dấu của A không xác định xét theo các , 1,idx i n

không đồng thời bằng 0 thỏa ( *) 0jdh x thì hàm f không đạt cực

trị tại *x .

23

CHƢƠNG 3

ỨNG DỤNG VÀ SÁNG TẠO BÀI TOÁN

3.1. GIẢI TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG

3.1.1. Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

Ý tưởng chung là:

Bước 1: Chuyển bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về bài

toán cực trị có điều kiện.

Bước 2: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài

toán cực trị có điều kiện.

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có thể giải bằng

nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây với mục đích của luận văn là

trình bày một số ứng dụng của phương pháp nhân tử Lagrange nên

chỉ trình bày phương pháp này đưa về bài toán cực trị có điều kiện.

3.1.2. Các bài toán bất đẳng thức

Ý tưởng chung:

Bước 1: Từ bất đẳng thức ta đưa về dạng

( ) , ,nf x x . (với " " là dấu bất đẳng thức bất kỳ

nào đó).

Bước 2: Chuyển về bài toán cực trị có điều kiện cho hàm f .

Bước 3: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài

toán cực trị có điều kiện sao cho giá trị nhỏ nhất tìm được phải lớn

hơn hoặc bằng , còn giá trị lớn nhất tìm được phải nhỏ hơn hoặc

bằng .

3.2. SÁNG TẠO BÀI TOÁN

Ý tưởng để sáng tạo ra bài toán như sau:

Bước 1: Chọn một hàm f và các hàm ràng buộc cụ thể.

Bước 2: Giải bài toán cực trị có điều kiện tương ứng.

Bước 3: Trên cơ sở bước 1 và 2, chúng ta đặt ra các bài toán

mới về tìm Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức,….

24

KẾT LUẬN

Luận văn “Phương pháp Lagrange cho bài toán cực trị có

điều kiện và ứng dụng” đã thực hiện đƣợc các vấn đề sau:

1. Hệ thống, phân loại các kiến thức liên quan để trình bày

khái niệm cực trị, điều kiện để tồn tại cực trị.

2. Trình bày bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phƣơng trình

và xây dựng giải thuật: phƣơng pháp Nhân tử Lagrange với nhiều ví

dụ minh họa.

3. Tìm hiểu ứng dụng của phƣơng pháp Nhân tử Lagrange đối

với những bài toán đại số và hình học từ đó góp phần sáng tạo một số

bài toán khác.

Hy vọng trong thời gian tới, nội dụng của luận văn đƣợc bổ

sung và hoàn thiện hơn nhằm chứng tỏ sự ứng dụng đa dạng và hiệu

quả của Phƣơng pháp Nhân tử Lagrange.