CHƯƠNG 5

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Đặt vấn đề Trong toán học, đã có phương pháp tính đạo hàm và

tính phân xác định Thực tế, thường gặp các trường hợp :

Hàm y=f(x) chỉ được cho ở dạng bảng, công thức tường minh của y là chưa biết.

Hàm f(x) đã biết, nhưng phức tạp Hoặc viết chương trình máy tính để tính tích phân

xác định. Chọn giải pháp: “Tính gần đúng”

Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng công thức Taylor:

20

''

000 )(2

)())((')()( xx

fxxxfxfxf

Đặt h = x-x0 x=x0+h:2

''

000 2

)()(')()( h

fhxfxfhxf

h

xfhxfxf

)()()( 00

0'

Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h2. Khi đó

(5.1)

Có thể lấy công thức (5.1) để tính gần đúng f’(x0) khi |h| khá bé

Tính gần đúng đạo hàmSai số:

hM

hf

xR22

)()(

''

0

Với |f’’(x)|<=M, x[x0,x0+h]

Ví dụ: Cho f(x)=2x4+x-1. Tính f’(1)?

Giải: Chọn h=0.001, ta có:

01,9001,0

2009,2

001,0

)1()001,01()1('

fff

Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05 x[1;1,001]

012,0001,0.2

05,24|)1(| R

Tính gần đúng đạo hàm Áp dụng đa thức nội suy

Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc a=x0<x1<x2<…<xn=b

f’(x) Pn’(x) với x[a,b] Sai số:

'

0

)1(

)()!1(

)()('

n

ii

n

xxn

cfxR

)(')()(' ' xRxPxf n

)( )()( xRxPxf n

Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Lagrange với 2 mốc nội suy:

; .)(01

01

10

10 xx

xxy

xx

xxyxP

))((!2

)('')( 10 xxxx

cfxR

)(!2

)('')(R' ; )( 010

01

010

' xxcf

xxx

yyxP

)(''2

)R(

)(

0

01

01

010

'

cfh

x

h

yy

xx

yyxf

)(''2

)R(

)(

11

011

'

cfh

x

h

yyxf

Tính gần đúng đạo hàm Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều: xi+1-xi = h

002

00 !

)1)...(1(...

!2

)1(

!1)()(

0y

n

nttty

tty

tyxPxf n

thxxn

n

i

nn

ithn

cfxR

0

1)1(

)()!1(

)()(

dt

dP

hdx

dt

dt

dP

dx

dP 1.

Với

)(')(')(' xRxPxf Lưu ý

Tính gần đúng đạo hàmTrường hợp 3 mốc: x0, x1, x2 với x1-x0=x2-x1 = h

)('''3

)34(2

1)('

)(''6

)(2

1)('

)('''3

)43(2

1)('

2

2

2102

1

2

201

0

2

2100

cfh

yyyh

xf

cfh

yyh

xf

cfh

yyyh

xf

Tính gần đúng tích phân Cần tính

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), công thức Newton – Lepnit:

Trường hợp:- f(x) chỉ được cho ở dạng bảng hoặc f(x)- Hoặc f(x) đã biết nhưng tính toán phức tạp

Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn

b

adxxfI )(

)()()( aFbFdxxfIb

a

Công thức hình thang

Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau: x0=a<x1<…<xn=b

n

n

x

x

b

a

x

x

x

x

dxxfdxxfdxxfdxxfI1

2

1

1

0

)(...)()()(

x0=a b=xn

f(x)

x1x2 xi Xi+1

h=xi+1-xi=1/n

Công thức hình thang

Trên đoạn [xi, xi+1], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P1(x)

1 1 1

]),[)(()()( 11

i

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x iiiii dxxxfxxyxPdxxfI

)(2

1

)2

1.().()(

1

1

0

21

0

1

ii

iiii

x

x

yyh

tytyhdtytyhdxxfi

i

Đặt x = xi+th dx = hdt. Với x [xi, xi+1] t [0,1]

sai số: Với c[xi, xi+h])(12

)( 23

cfh

hri

Công thức hình thang

Ii gần bằng diện tích hình thang xiABxi+1

xi xi+1

f(x)

h

yi+1

yi

ri(h)A

B)(

2

1)( 1

1

ii

x

xi yyhdxxfIi

i

Công thức hình thang Công thức hình thang tổng quát:

)...2

()(2

)(...)()()(

1210

1

1

0

1

0

2

1 1

nn

i

n

ii

x

x

x

x

x

x

b

a

yyyyy

hyyh

dxxfdxxfdxxfdxxfIn

n

Sai số toàn phần:

Với M = sup|f’’(x)| , x[a,b]

12|)(|

3hnMhr

Công thức hình thang Ví dụ: Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang

1

02

5

1 1 )

1 )

x

dxIbdx

xIa

Với phân hoạch [1,5] thành 4 phần bằng nhau. Đánh giá sai số

Công thức Simpson Phân hoạch [a,b] thành 2n đọan con bằng nhau: a=x0<x1<……<x2n=b

n

abxxh ii 2

)(1

x0=a b=x2n

f(x)

x1x2

niihxxi 2,...,1,0 ,0

b

a

x

x

x

x

x

x

n

n

dxxfdxxfdxxfdxxfI2

0

4

2

2

22

)(...)()()(

Công thức Simpson Xét đoạn kép [xi, xi+2]. Xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2 P2(x):

i

i

i

i

x

x x

x

xi dxxPdxxfI2

22

2

22

)()(

xi Xi+1 Xi+2

f(x)

P2(x)

Công thức Simpson

],[c );(90

)( 2i)4(

5

iiii xxcfh

hr

0

2])

23(

2

1

2[ 2

232

t

ty

tty

ttyh iii

Sai số:

Nếu |f(4)(x)|≤ M, x [xi, xi+2] thì:90

)(5Mh

hri

Đặt x = xi + th, dx = hdt; x =xi t=0; x = xi+2 t=2

2

0

2 ]2

)1([ dty

ttytyhI iiii

= )4(3 21 iii yyyh

Công thức Simpson toàn phần

)]..(2)...(4)[(3

)4(3

...)4(3

)4(3

)(...)()()(

242123120

21222432210

2

22

4

2

2

0

nnn

nnn

x

x

x

x

x

x

b

a

yyyyyyyyh

yyyh

yyyh

yyyh

dxxfdxxfdxxfdxxfIn

n

Sai số tòan phần:

90)( ;)()(

5

1

nMhhrhrhr i

n

ii

Với M thỏa: |f(4)(x)| ≤ M x[a,b]

Ví dụ và bài tập Dạng 1: Cho trước phân hoạch đoạn [a,b]. Tính gần

đúng tích phân và đánh giá sai số Dạng 2:

Bằng cách phân hoạch đoạn [0,1] thành 4 đoạn bằng nhau, tính gần đúng tích phân trên theo công thức Simpson

Ví dụ và bài tập

1

021 x

dxI1. Cho tích phân:

2. Cho tích phân: 1

0

sindx

x

xI

a) Bằng cách phân hoạch [0,1] thành 6 đoạn bằng nhau. Tính gần đúng tích phân đã cho bằng công thức hình thang và công thức

Simpson Đánh giá sai số?b) Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang với sai

số không quá 3.10-4