Phuong Phap Toan Do Trong Mat Phang 10

TrÞnh ThÞ Hång H¹nh

Líp 10: H×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ngPhÇn 1: §êng th¼ngI. KiÕn thøc c¬ b¶n:1. Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ® êng th¼ng :- §êng th¼ng ®i qua M(x0;y0) vµ nhËn lµm vect¬ ph¸p tuyÕn cã ph¬ng tr×nh lµ: a(x-x0) + b(y-y0)=0- §êng th¼ng c¾t trôc 0x t¹i A(a;0) vµ 0y t¹i B(0;b) (a vµ b kh¸c 0) cã ph¬ng tr×nh theo ®o¹n ch¾n:

- §êng th¼ng qua M(x0;y0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k cã ph¬ng tr×nh lµ: y-y0=k(x-x0)2. Ph ¬ng tr×nh tham sè cña ® êng th¼ng: - §êng th¼ng ®i qua M(x0;y0) vµ nhËn lµm vect¬ ran chØ ph¬ng cã ph¬ng tr×nh tham sè lµ:

ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:

- §êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M(x1;y1) vµ N(x2;y2) cã d¹ng:

Chó ý: - NÕu ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ th× sÏ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ vµ ngîc l¹i.- Cho hai ®êng th¼ng d1 vµ d2:+, d1 song song víi d2 th× chóng cã cïng vect¬ ph¸p tuyÕn vµ vect¬ chØ ph¬ng.+, d1 vu«ng gãc víi d2 th× ph¸p tuyÕn cña d1 lµ chØ ph¬ng cña d2 vµ ngîc l¹i.3. VÞ trÝ t ¬ng ®èi gi÷a hai ® êng th¼ng : Trong mÆt ph¼ng täa ®é, cho hai ®êng th¼ng 1 vµ 2 cã ph¬ng tr×nh:

1: a1x+b1y+c1=02: a2x+b2y+c2=0

c¾t nhau

Häc ®Ó ngµy mai lËp nghiÖp !

https://goo.gl/Qj7aBE


4. Kho¶ng çch vµ gãc:- Kho¶ng çch tõ ®iÓm M(x0;y0) ®Õn ®êng th¼ng : ax+by+c=0 ®îc tÝnh theo c«ng thøc:

- Cho hai ®êng th¼ng 1: a1x+b1y+c1=0 vµ 2: a2x+b2y+c2=0. Gãc gi÷a 1 vµ 2 ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc:

II. Çc d¹ng to¸n, vÝ dô vµ bµi tËp ¸p dông: D¹ng 1 : ¸p dông c«ng thøc s¸ch gi¸o khoa.VÝ dô 1: ViÕt ph¬ng tr×nh cña ®êng th¼ng d trong çc trêng hîp sau ®©y: a, §i qua M(3;2) vµ nhËn lµm vect¬ ph¸p tuyÕn. b, C¾t trôc 0x t¹i A(-1;0) vµ 0y t¹i B(0;5). c, §i qua M(1;1) vµ cã hÖ sè gãc lµ k=2.VÝ dô 2: ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng th¼ng trong çc trêng hîp sau: a, §i qua M(-1;4) vµ nhËn lµm vect¬ chØ ph¬ng. b, §i qua M(3;2) vµ nhËn lµm vect¬ ph¸p tuyÕn. c, §i qua hai ®iÓm M(-1;-5) vµ N(3;2).VÝ dô 3: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña çc cÆp ®êng th¼ng sau vµ t×m giao ®iÓm (nÕu cã) cña chóng: a, 1: 2x-5y+3=0 vµ 2: 5x+2y-3=0 b, 1: x-3y+4=0 vµ 2: 0,5x-1,5y+4=0 c, 1: 10x+2y-3=0 vµ 2: 5x+y-1,5=0VÝ dô 4: T×m kho¶ng çch tõ mét ®iÓm ®Õn ®êng th¼ng trong çc trêng hîp sau: a, A(3;5) vµ d: 4x+3y+1=0 b, B(1;-2) vµ n: 3x-4y-26=0 c, C(1;2) vµ m: 3x+4y-11=0VÝ dô 5: T×m sè ®o cña gãc gi÷a hai ®êng th¼ng d1: 4x-2y+6=0 vµ ®êng th¼ng d2: x-3y+1=0.VÝ dô 6: (Dùa vµo chó ý) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d biÕt r»ng: a, §i qua A(-1;2) vµ song song víi ®êng th¼ng : 5x+1=0. b, §i qua B(7;-5) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng: x+3y-6=0.VÝ dô 7: Cho tam gi¸c ABC cã: A(-1;2), B(2;-4), C(1;0).



a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng cao cña tam gi¸c ABC øng víi ®Ønh A. b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c øng víi ®Ønh A. c, TÝnh çc ®êng cao cña tam gi¸c ABC. d, TÝnh çc gãc cña tam gi¸c ABC. e, TÝnh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC. f, TÝnh S cña tam gi¸c ABC theo c«ng thøc:

Bµi tËp: C©u 1: Cho tam gi¸c ABC cã: A(3;-4), B(-2;5), C(1;6). a, ViÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC. b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng cao cña tam gi¸c ABC øng víi ®Ønh A. c, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c øng víi ®Ønh A. d, TÝnh çc ®êng cao cña tam gi¸c ABC. e, TÝnh çc gãc cña tam gi¸c ABC. f, TÝnh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC. g, TÝnh S cña tam gi¸c ABC theo c«ng thøc:

C©u 2: Cho tam gi¸c ABC cã ph¬ng tr×nh çc ®êng th¼ng AB, BC, CA lµ:

AB: 2x-3y-1=0BC: x+3y+7=0CA: 5x-2y+1=0

ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng cao kÎ tõ ®Ønh B.

C©u 3: Cho ®iÓm A(-5;2) vµ ®êng th¼ng d: . H·y viÕt

ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng: a, §i qua A vµ song song víi d. b, §i qua A vµ vu«ng gãc víi d.C©u 4: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cña çc cÆp ®êng th¼ng sau vµ t×m giao ®iÓm (nÕu cã) cña chóng: a, 1: x-3y+2=0 vµ 2: -x+2y-5=0 b, 1: vµ 2:

c, 1: vµ 2:

d, 1: vµ 2: x + y- 4=0C©u 5: TÝnh gãc gi÷a hai ®êng th¼ng 1 vµ 2 trong çc trêng hîp sau: a, 1: x=5 vµ 2: 2x+y-14=0Häc ®Ó ngµy mai lËp nghiÖp !


b, 1: vµ 2: c, 1: vµ 2: 2x+3y-1=0C©u 6: ViÕt ph¬ng tr×nh çc ®êng trung trùc cña tam gi¸c ABC biÕt M(-1;1), N(1;9), P(9;1) lµ çc trung ®iÓm 3 c¹nh cña tam gi¸c.C©u 7: a, Cho ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d cã d¹ng tham sè:

ChuyÓn d vÒ d¹ng chÝnh t¾c, tham sè.b, Cho ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d cã d¹ng tæng qu¸t :

x+y-2=0ChuyÓn d vÒ d¹ng chÝnh t¾c, tham sè.

D¹ng 2 : LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c. 1. Çc d¹ng c¬ b¶n: 1.1. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt täa ®é 3 ®Ønh.

Ph ¬ng ph¸p : ViÕt díi d¹ng tham sè hoÆc chÝnh t¾cPh¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB: , BC vµ CA t¬ng tù.

NÕu viÕt díi d¹ng chÝnh t¾c th× sö dông c«ng thøc ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm ph©n biÖt ë môc 2 phÇn lÝ thuyÕt. 1.2. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt täa ®é trung ®iÓm çc c¹nh AB, BC, CA lÇn lît lµ M, N, P.

Ph ¬ng ph¸p : ViÕt díi d¹ng tham sè. Ph¬ng tr×nh AB: , BC vµ CA t¬ng tù. 1.3. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt ®Ønh B vµ hai ®êng cao xuÊt ph¸t tõ hai ®Ønh A vµ C lÇn lît cã ph¬ng tr×nh lµ:

d1: a1x+b1y+c1=0 vµ d2: a2x+b2y+c2=0Ph ¬ng ph¸p:

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BC: T×m ®iÓm A=d1AB, ®iÓm C=d2BC, viÕt ph¬ng tr×nh ®-êng th¼ng AC ®i qua hai ®iÓm A vµ C võa t×m ®îc. 1.4. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt ®Ønh B, ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh A cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:


Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BC:


A

B

C

PN

M

B

A C

d2 d1

A

B

C

d1

d2


T×m ®iÓm A=d1d2 suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB ®i qua hai ®iÓm A vµ B. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC th× M=BCd2, tõ ®ã suy ra täa ®é ®iÓm C vµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AC ®i qua hai ®iÓm A vµ C. 1.5. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt ®Ønh B vµ hai trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:


Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC th× G=d1d2. Gäi B’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña B qua G suy ra täa ®é ®Ønh B’. Ta cã: nªn suy ra: Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng B’C: vµ C=d2B’C T¬ng tù lËp ®îc ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB’ vµ A=d1AB’. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB, BC, CA khi biÕt A, B, C. 1.6. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt ®Ønh B vµ ®êng ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:


Gäi B’ vµ B’’ lÇn lît lµ ®iÓm ®èi xøng cña B qua d2 vµ d1. Suy ra B’ vµ B’’ ®Òu thuéc AC hay ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AC qua hai ®iÓm B’ vµ B’’. 1.7. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt ®Ønh B, ®êng cao vµ ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: a1x+b1y+c1=0 vµ d2: a2x+b2y+c2=0Ph ¬ng ph¸p :

Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BC: T×m ®iÓm C=d2AB. Gäi B’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña B qua d2. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AC chÝnh lµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm B’ vµ C. T×m ®iÓm A=d1AC. Tõ ®ã suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB ®i qua A vµ B. 2. Çc vÝ dô: VÝ dô : ViÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC biÕt: a, Täa ®é 3 ®Ønh lÇn lît lµ A(2;3), B(-4;5), C(-1;-6). b, Täa ®é trung ®iÓm 3 c¹nh AB, BC, CA lÇn lît lµ M(-1;-1), N(1;9), P(9;1). c, §Ønh B(-4;-5) vµ hai ®êng cao xuÊt ph¸t tõ hai ®Ønh A vµ C lÇn lît cã ph¬ng tr×nh lµ: d1: 5x+3y-4=0 vµ d2: 3x+8y+13=0


B

CA

d1d2

G

B’

B

A C

d1

d2


d, §Ønh B(4;-1), ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh A cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: 2x-3y+12=0 vµ d2: 2x+3y=0 e, §Ønh B(1;3) vµ hai trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph-¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: x-2y+1=0 vµ d2: y-1=0 f, §Ønh B(2;-1) vµ ®êng ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: 2x-y+1=0 vµ d2: x+y+3=0 g, §Ønh B(1;-3), ®êng cao vµ ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: 3x-4y+27=0 vµ d2: x+2y-5=0 3. Bµi tËp: C©u 1: Cho tam gi¸c ABC víi A(-3;4), B(2;-5), C(1;7) a, ViÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC. b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng cao, ®êng trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A. c, ViÕt ph¬ng tr×nh çc ®êng trung trùc cña tam gi¸c ABC. C©u 2: ViÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt täa ®é trung ®iÓm 3 c¹nh AB, BC, CA lÇn lît lµ M(2;-3), N(4;1, P(-3;5). C©u 3 : LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt ®Ønh B(2;2) vµ hai ®êng cao xuÊt ph¸t tõ hai ®Ønh A vµ C lÇn lît cã ph¬ng tr×nh lµ: d1: x+y-2=0 vµ d2: 9x-3y+4=0 C©u 4 : LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt ®Ønh B(3;-5), ®êng cao vµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh A cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: 5x+4y-1=0 vµ d2: 8x+y-7=0 C©u 5 : LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt ®Ønh B(3;1) vµ hai trung tuyÕn xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: 2x-y-1=0 vµ d2: x-1=0 C©u 6: LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt ®Ønh B(3;2) vµ ®êng ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: 4x-2y+3=0 vµ d2: 5x-y+1=0 C©u 7: LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC nÕu biÕt ®Ønh ®Ønh B(-4;5), ®êng cao vµ ph©n gi¸c trong xuÊt ph¸t tõ A vµ C cã ph¬ng tr×nh t¬ng øng lµ:

d1: 2x+3y-2=0 vµ d2: 3x-2y+15=0 C©u 8: Cho tam gi¸c ABC cã ph¬ng tr×nh c¹nh AB lµ: x+y-9=0, çc ®êng cao qua ®Ønh A vµ B lÇn lît lµ:



d1: x+2y-13=0 vµ d2: 7x+5y-49=0LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh cßn l¹i vµ ®êng cao thø 3. C©u 9: Ph¬ng tr×nh hai c¹nh cña mét tam gi¸c lµ: 3x-y+24=0 vµ 3x+4y-96=0. ViÕt ph¬ng tr×nh c¹nh thø ba cña tam gi¸c biÕt trùc t©m H(0;32/3). C©u 10: Cho ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh: 3x+4y-12=0. a, X¸c ®Þnh to¹ ®é çc giao ®iÓm A, B cña d lÇn lît víi trôc 0x, 0y. b, TÝnh to¹ ®é h×nh chiÕu H cña gèc 0 trªn ®êng th¼ng d. c, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d1 ®èi xøng víi d qua 0. C©u 11: Cho ®êng th¼ng d: 2x-3y+3=0 vµ ®iÓm M(4;-11). a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M vµ song song víi d. b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng gãc víi d. Gäi h×nh chiÕu cña M trªn d lµ H, h·y tÝnh to¹ ®é ®iÓm H. c, X¸c ®Þnh to¹ ®é cña ®iÓm M1 ®èi xøng víi M qua d. C©u 12: Cho tam gi¸c ABC cã M(-2;2) lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC. C¹nh AB, AC cã ph¬ng tr×nh: x-2y-2=0 vµ 2x+5y+3=0. H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é çc ®Ønh cña tam gi¸c ABC. C©u 13: Cho tam gi¸c ABC cã ph¬ng tr×nh c¹nh BC lµ:

, ph¬ng tr×nh çc ®êng trung tuyÕn BM, CN lÇn lît lµ:

3x+y-7=0 vµ x+y-5=0. ViÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh AB, AC. C©u 14: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é 0xy cho tam gi¸c ABC, Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa c¹nh AB lµ:y=2x, ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa c¹nh AC lµ: y=-0,25x+2,25, träng t©m G cña tam gi¸c cã to¹ ®é G(8/3;7/3). TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC. C©u 15: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é 0xy cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. BiÕt A(-2;0), B(2;0) vµ kho¶ng çch tõ träng t©m G cña tam gi¸c ABC ®Õn trôc hoµnh b»ng 1/3. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. D¹ng 3: T×m ®iÓm liªn quan ®Õn ®êng th¼ng 1. Çc d¹ng c¬ b¶n: 1.1. X¸c ®Þnh h×nh chiÕu vu«ng gãc I cña ®iÓm M trªn ®êng th¼ng d.

Ph ¬ng ph¸p: +, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M vµ vu«ng

gãc víi d:

+, Gäi I lµ h×nh chiÕu cña M trªn d th× I=d 1.2. X¸c ®Þnh ®iÓm M’ ®èi xøng víi ®iÓm M qua d.

Ph ¬ng ph¸p :



+, X¸c ®Þnh h×nh chiÕu vu«ng gãc I cña M trªn ®êng th¼ng d. +, Gäi M’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm M qua d th× I lµ trung ®iÓm cña MM’ Tõ ®ã suy ra täa ®é ®iÓm M’. 1.3. Cho hai ®iÓm A, B cho tríc. X¸c ®Þnh ®iÓm C thuéc ®êng th¼ng d

d: ax+by+c=0 sao cho: ABC lµ tam gi¸c c©n, tam gi¸c ®Òu, tam gi¸c vu«ng.

Ph ¬ng ph¸p : §èi víi d¹ng bµi to¸n nµy chóng ta ph¶i biÓu diÔn ®iÓm C thuéc d theo Èn t (cã thÓ ®Æt x=t hoÆc y=t cho phï hîp), sau ®ã sö dông çc tÝnh chÊt cña tam gi¸c theo yªu cÇu cña ®Ò bµi ®Ó t×m t råi suy ra täa ®é ®iÓm C. Cô thÓ lµ:

+, Tam gi¸c ABC c©n:

+, Tam gi¸c ABC ®Òu: +, Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C:

1.4. T×m ®iÓm thuéc ®êng th¼ng tháa m·n çc ®iÒu kiÖn liªn quan ®Õn träng t©m vµ diÖn tÝch tam gi¸c.

Ph ¬ng ph¸p: Tríc hÕt ta ph¶i biÓu diÔn täa ®é cña ®iÓm cÇn t×m theo 1 Èn t (cã thÓ ®Æt x=t hoÆc y=t cho phï hîp). Sau ®ã sö dông çc c«ng thøc cã liªn quan ®Õn trong t©m vµ diÖn tÝch tam gi¸c sau ®©y ®Ó suy luËn bµi to¸n.

+, Gäi G(xG;yG) lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC, ta cã:

+, C«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC thêng sö dông lµ:

1.5. T×m trªn ®êng th¼ng d: ax+by+c=0 ®iÓm M sao cho tæng çc kho¶ng çch tõ M ®Õn çc ®iÓm A(xA;yA), B(xB;yB) kh«ng thuéc d lµ nhá nhÊt.

Ph ¬ng ph¸p: Tríc hÕt tÝnh tÝch sau: tA.tB=(axA+byA+c).(axB+byB+c)+, Trêng hîp 1: NÕu tA.tB<0, tøc lµ A, B ngîc híng so víi d.

ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. Gäi M’=ABd, suy ra täa ®é M’. MA+MB≥AB MA+MB min A, M, B th¼ng

hµngMM’.+, Trêng hîp 2: NÕu tA.tB>0, tøc lµ A, B ngîc híng so víi d.



Gäi A’ lµ ®iÓm ®èi xøng víi A qua d, suy ra täa ®é A’.

ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng A’B. Gäi M’=A1Bd, suy ra täa ®é M’. NhËn xÐt: MA+MB=MA’+MB≥AB MA+MB min A’, M, B th¼ng hµng MM’.

1.6. T×m trªn ®êng th¼ng d: ax+by+c=0 ®iÓm M sao cho: /MA-MB/ lín nhÊt biÕt A(xA;yA), B(xB;yB) kh«ng thuéc d.

Ph ¬ng ph¸p : V× Md nªn M biÓu diÔn theo d víi Èn t TÝnh ®é dµi: Trong mçi c¨n thøc, ghÐp Èn t l¹i thµnh h»ng ®¼ng thøc, cßn l¹i lµ sè h¹ng tù do, cô thÓ lµ: XÐt çc ®iÓm: A1(a1;b1), B1(a2;b2), M1(t;0). Khi ®ã:

V× M1 n»m trªn trôc hoµnh vµ A1, B1 n»m vÒ cïng mét phÝa cña 0x nªn max max M1=A1B10x M1 M. 2. Çc vÝ dô: VÝ dô1 : Cho hai ®êng th¼ng d: vµ d’: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®èi xøng víi d’ qua d. VÝ dô 2: Cho hai ®iÓm A(-1;2), B(3;1) vµ ®êng th¼ng d:

. T×m täa ®é ®iÓm C trªn d sao cho:a, Tam gi¸c ABC c©n.

b, Tam gi¸c ABC ®Òu.c, Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C.

VÝ dô 3: DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ S=3/2. Hai ®Ønh A(2;-3), B(3;-2) vµ träng t©m G cña tam gi¸c thuéc ®êng th¼ng d: 3x-y-8=0. T×m to¹ ®é ®Ønh C. VÝ dô 4: Cho A(1;0), B(-2;4), C(-1;4), D(3;5) vµ ®êng th¼ng d: 3x-y-5=0. T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn d sao cho SMAB=SMCD. VÝ dô 5: Cho hai ®iÓm P(1;6), Q(-3;-4) vµ ®êng th¼ng d: 2x-y-1=0

a, T×m to¹ ®é ®iÓm M trªn d sao cho MP+MQ nhá nhÊt.b, T×m to¹ ®é ®iÓm N trªn d sao cho lín nhÊt.

3. Bµi tËp: C©u 1: Cho hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh d1: x-3y+6=0 vµ d2: 2x-y-3=0. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®èi xøng víi d2 qua d1. C©u 2 : Cho ®iÓm A(8;6). ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A vµ t¹o víi trôc to¹ ®é tam gi¸c cã diÖn tÝch S=12.



C©u 3: Cho tam gi¸c ABC cã B(2;-1), C(1;2), G lµ träng t©m cña tam gi¸c. G n»m trªn ®êng th¼ng d: x+y-2=0 vµ SABC=1/2. T×m A. C©u 4 : Cho tam gi¸c ABC víi A(-1;0), B(4;0), C(0;m), m≠0. T×m G theo m, x¸c ®Þnh m ®Ó tam gi¸c GAB vu«ng t¹i G. C©u 5: Trong tam gi¸c c©n ABC, c¹nh ®¸y BC cã ph¬ng tr×nh: x+3y+1=0. C¹nh bªn AB cã ph¬ng tr×nh: x-y+5=0, ®êng th¼ng chøa c¹nh AB ®i qua ®iÓm M(4;-1). T×m ®Ønh C. C©u 6: Trong mÆt ph¼ng 0xy cho tam gi¸c ABC víi A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm D thuéc BC sao cho: SABD=1/3SABC. C©u 7: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn 0xy cho hai ®iÓm A(-1;3), B(1;1) vµ ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh: y=2x.

a, X¸c ®Þnh ®iÓm C trªn d sao cho tam gi¸c ABC ®Òu.b, X¸c ®Þnh ®iÓm C trªn d sao cho tam gi¸c ABC c©n.c, X¸c ®Þnh ®iÓm C trªn d sao cho tam gi¸c ABC vu«ng

tai C. C©u 8: T×m trªn trôc tung ®iÓm P sao cho tæng çc kho¶ng çch tõ P tíi çc ®iÓm A vµ B lµ nhá nhÊt trong çc trêng hîp sau:

a, A(1;1) vµ B(-2;-4).b, A(1;1) vµ B(3;-3).

C©u 9: T×m trªn ®êng th¼ng d: x+y=0 ®iÓm P sao cho tæng çc kho¶ng çch tõ P tíi çc ®iÓm A vµ B lµ nhá nhÊt trong çc trêng hîp sau:

a, A(1;1) vµ B(-2;-4).b, A(1;1) vµ B(3;-2).

C©u 10: Cho tam gi¸c ABC cã M(-2;2) lµ trung ®iÓm c¹nh BC, c¹nh AB, AC cã ph¬ng tr×nh lÇn lît lµ: x-2y-2=0 vµ 2x+5y+3=0. H·y x¸c ®Þnh to¹ ®é çc ®Ønh cña tam gi¸c ABC. C©u 11: Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täc ®é trùc chuÈn 0xy cho hai ®iÓm A(3;1) vµ B(-1;2) vµ ®êng th¼ng d cã ph¬ng tr×nh lµ: x-2y+1=0.

a, H·y t×m ®iÓm C trªn d sao cho tam gi¸c ABC c©n.b, H·y t×m ®iÓm C trªn d sao cho tam gi¸c ABC ®Òu.c, H·y t×m ®iÓm C trªn d sao cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i

C. C©u 12: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é 0xy cho ®iÓm A(3;1). a, T×m to¹ ®é ®iÓm B vµ C sao cho OABC lµ h×nh vu«ng vµ ®iÓm B n»m trong gãc phÇn t thø nhÊt. b, ViÕt ph¬ng tr×nh hai ®êng chÐo vµ t©m cña h×nh vu«ng. C©u 13: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(2;-1) vµ hîp víi ®êng th¼ng d: 5x-2y+3=0 mét gãc b»ng 450.



C©u 14: Cho 3 ®iÓm A(1;-2), B(5;4), C(2;0). ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c trong gãc A. C©u 15: Cho hai ®êng th¼ng d: x-3y+10=0 vµ d’: 2x+y-8=0 vµ ®iÓm Q(0;1). ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua Q vµ c¾t d, d’ t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B nhËn Q lµm trung ®iÓm. C©u 16: Cho 3 ®êng th¼ng d1, d2, d3 cã ph¬ng tr×nh lµ:

d1: 2x+y+3=0 d2: 3x-2y-1=0 d3: 7x-y+8=0 T×m Pd1; Qd2 sao cho d3 lµ ®êng trung trùc cña PQ. D¹ng 4: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng liªn quan ®Õn kho¶ng çch vµ gãc.1. Çc d¹ng c¬ b¶n: 1.1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm A(xA;yA) vµ hîp víi ®êng th¼ng d: ax+by+c=0 cho tríc mét gãc b»ng 0.

Ph ¬ng ph¸p: Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc k cã d¹ng: y-yA=k(x-xA) y=k(x-xA)+yA

Do ®êng th¼ng nµy t¹o víi ®êng th¼ng d mét gãc b»ng 0 nªn theo c«ng thøc tÝnh gãc ta cã:

Tõ ®ã tÝnh ra k vµ suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m.1.2. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm A(xA;yA) vµ cã kho¶ng çch ®Õn mét ®iÓm B(xB;yB) cho tríc mét kho¶ng b»ng m.

Ph ¬ng ph¸p: Gäi ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(xA;yA) vµ cã hÖ sè gãc k cã d¹ng: y-yA=k(x-xA) y=k(x-xA)+yA

Do ®êng th¼ng nµy cã kho¶ng çch ®Õn ®êng th¼ng d cho tríc lµ m nªn theo c«ng thøc tÝnh kho¶ng çch ta cã:

Tõ ®ã tÝnh ra k vµ suy ra ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cÇn t×m.1.3. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c trong gãc A cña tam gi¸c ABC biÕt to¹ ®é çc ®Ønh A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC).

Ph ¬ng ph¸p : Bµi to¸n viÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c trong cña mét tam gi¸c lµ bµi to¸n thêng gÆp bëi nã liªn quan



®Õn viÖc t×m t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c. Cã hai çch lµm nh sau: Çch 1:

Gäi D lµ ch©n ®êng ph©n gi¸c gãc A trªn c¹nh ®èi diÖn BC.

Theo ®Þnh lý vÒ tÝnh chÊt tia ph©n gi¸c (h×nh häc 8), ta cã:

Nh vËy ®iÓm D lµ ®iÓm chia trong ®o¹n BC theo tØ sè

¸p dông c«ng thøc:

Suy ra to¹ ®é D.Ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c gãc A ®i qua hai ®iÓm A vµ D. Çch 2:

+, ViÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB vµ AC.+, ViÕt ph¬ng tr×nh hai ®êng ph©n gi¸c cña çc gãc t¹o

bëi hai ®êng th¼ng AB, AC (§· cã ë chó ý phÝa sau)+, ThÕ çc to¹ ®é cña B, C vµo trong çc ph¬ng tr×nh cña

çc ®êng ph©n gi¸c nãi trªn.+, Ph©n gi¸c trong cã ph¬ng tr×nh mµ khi thÕ çc to¹ ®é

cña B, C vµo ta ®îc kÕt qu¶ lµ hai sè tr¸i dÊu nhau.Chó ý: Cho hai ®êng th¼ng c¾t nhau vµ cã ph¬ng

tr×nh: a1x+b1y+c1=0 vµ a2x+b2y+c2=0.Ph¬ng tr×nh cña 2 ®êng ph©n gi¸c cña çc gãc hîp bëi vµ lµ:

2. Çc vÝ dô: VÝ dô 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;1) vµ t¹o víi ®êng th¼ng d: 2x+2y+1=0 mét gãc b»ng 450. VÝ dô 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm P(1;-

2) vµ çch ®iÓm Q(-1;1) mét ®o¹n b»ng .

VÝ dô 3: Cho tam gi¸c ABC, 3 c¹nh n»m trªn 3 ®êng th¼ng: AB: 2x-y+9=0; BC: 2x+y-5=0; CA: x+2y+2=0 a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc A. b, T×m t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c. VÝ dô 4: Cho h×nh vu«ng cã ®Ønh A(-4;5) vµ mét ®êng chÐo n»m trªn ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh: 7x-y+8=0. LËp ph¬ng tr×nh çc c¹nh vµ ®êng chÐo thø hai cña h×nh vu«ng.



VÝ dô 5: Trong hÖ trôc to¹ ®é 0xy cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, t©m I(4;5), ®êng th¼ng chøa c¹nh AD ®i qua 0, c¹nh AB cã ph¬ng tr×nh: 2x-y-5=0. ViÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh cßn l¹i cña h×nh ch÷ nhËt. VÝ dô 6: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã diÖn tÝch b»ng 4. BiÕt to¹ ®é A(1;0), B(2;0) vµ giao ®iÓm I cña hai ®êng chÐo AC vµ BD n»m trªn ®êng th¼ng y=x. H·y t×m to¹ ®é çc ®Ønh C vµ D. 3. Bµi tËp: C©u 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm M(2;-1) vµ t¹o víi ®êng th¼ng d: 5x-2y+3=0 mét gãc b»ng 450. C©u 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm P(2;5) vµ çch ®iÓm Q(5;1) mét ®o¹n b»ng 3. C©u 3: Cho tam gi¸c ABC biÕt:

- Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa c¹nh AB: x-2y+4=0.- Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa ®êng cao AH: 4x-3y-

4=0- Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa trung tuyÕn BN: x-

7y+1=0 a, X¸c ®Þnh h×nh d¹ng cña tam gi¸c. b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc C. c, T×m t©m ®êng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c. C©u 4: Cho tam gi¸c ABC, biÕt ®Ønh A(-1;3). C¹nh BC n»m trªn ®êng th¼ng: 4x+7y-1=0. §êng cao BK n»m trªn ®êng th¼ng: 3x-4y+27=0. a, ViÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña tam gi¸c. b, ViÕt ph¬ng tr×nh ph©n gi¸c trong cña gãc A. C©u 5: Cho d1: 2x+y-1=0 vµ d2: x-y=0. T×m to¹ ®é çc ®Ønh h×nh vu«ng ABCD, biÕt Ad2, Cd1 vµ B, D trªn 0x. C©u 6: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã c¹nh AB: x-2y-1=0, ®êng chÐo BD: x-7y+14=0 vµ ®êng chÐo AC ®i qua ®iÓm M(2;1). T×m täa ®é çc ®Ønh cña h×nh ch÷ nhËt. PhÇn II: §êng trßnI. KiÕn thøc c¬ b¶n:1. Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ® êng trßn: Ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng trßn t©m I(a;b), b¸n kÝnh R lµ:

(C): (1) BiÕn ®æi tõ d¹ng (1) ta cã ph¬ng tr×nh:

(C): (2) víi a2+b2- c >0 Trong d¹ng (2), b¸n kÝnh R cña ®êng trßn lµ:



Khi ®ã, d¹ng (2) còng ®îc gäi lµ ph¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®êng trßn.2. VÞ trÝ t ¬ng ®èi: a, VÞ trÝ t¬ng ®èi cña mét ®iÓm ®èi víi mét ®êng trßn: Cho ®êng trßn (C): vµ ®iÓm M0 (x0;y0)

- NÕu th× M0 n»m trªn ®êng trßn.- NÕu th× M0 n»m trong ®êng trßn.- NÕu th× M0 n»m ngoµi ®êng trßn.

b, VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng víi ®êng trßn: Cho ®êng trßn (C): vµ ®iÓm mét ®êng th¼ng .

- NÕu d(I; )>R th× ®êng th¼ng kh«ng c¾t ®êng trßn.- NÕu d(I; )=R th× ®êng th¼ng tiÕp xóc víi ®êng trßn.- NÕu d(I; )<R th× ®êng th¼ng c¾t ®êng trßn t¹i hai

®iÓm.3. TiÕp tuyÕn cña ® êng trßn t¹i mét ®iÓm thuéc ® êng trßn: - Cho ®êng trßn (C): vµ ®iÓm M0(x0;y0) thuéc (C) th× ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M0(x0;y0) cña (C) lµ:

(x0- a)(x-x0)+(y0- b)(y-y0)=0- Khi (C) ®îc cho díi d¹ng: th× ph¬ng

tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M0(x0;y0) thuéc (C) lµ: x0x+y0y-a(x0+x)-b(y0+y)+c=0

4. §iÒu kiÖn tiÕp xóc: §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ®êng th¼ng : Ax+By+C=0 tiÕp xóc víi ®êng trßn t©m I(a;b), b¸n kÝnh R lµ:

5. Ph ¬ng tÝch cña mét ®iÓm ®èi víi mét ® êng trßn: Ph¬ng tÝch cña mét ®iÓm ®èi víi mét ®êng trßn: Cho ®êng trßn (C):

vµ ®iÓm M0(x0;y0) th× ph¬ng tÝch cña ®iÓm M0 ®èi víi ®êng trßn ®îc kÝ hiÖu lµ p tÝnh bëi cång thøc:

P =

II. Çc d¹ng to¸n, vÝ dô vµ bµi tËp ¸p dông: D¹ng 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn theo çc ®iÒu kiÖn §Ó viÕt ®îc ph¬ng tr×nh ®êng trßn th× ta cÇn x¸c ®Þnh ®îc t©m vµ b¸n kÝnh cña nã. Ta thêng sö dông çc kiÕn thøc sau ®©y:



- T©m cña ®êng trßn ®i qua 2 ®iÓm A, B lµ n»m trªn ®êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AB.- T©m cña ®êng trßn ®i qua 3 ®iÓm A, B, C (hay ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC) lµ giao ®iÓm çc ®êng trung trùc cña çc ®o¹n th¼ng AB, BC, CA.- T©m cña ®êng trßn tiÕp xóc víi ®êng th¼ng t¹i ®iÓm M thuéc lµ n»m trªn ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi t¹i M.- T©m cña ®êng trßn tiÕp xóc víi 2 c¹nh cña 1 gãc lµ n»m trªn tia ph©n gi¸c cña gãc Êy.- T©m cña ®êng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña çc tia ph©n gi¸c trong tam gi¸c.

VÝ dô 1: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC víi A(2;0); B(0;1); C(-1;2). VÝ dô 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c ABC biÕt ba c¹nh n»m trªn 3 ®êng th¼ng:

AB: x-4=0; BC: 3x-4y+36=0; CA: 4x+3y+23=0 VÝ dô 3: Cho hai ®iÓm A(2;1); B(0;2). ViÕt ph¬ng tr×nh ®-êng trßn nhËn ®o¹n th¼ng AB lµm ®êng kÝnh. VÝ dô 4: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn trong çc trêng hîp sau: a, §i qua hai ®iÓm A(2;0); B(0;1) vµ cã t©m n»m trªn ®êng th¼ng : x+2y-2=0. b, Cã t©m I(5;5) vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng : 3x+4y-5=0. c, TiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng 1: 3x+4y-1=0; 2: 4x+3y-8=0 vµ cã t©m n»m trªn ®êng th¼ng 3: 2x+y+1=0. d, §i qua ®iÓm A(1;2) vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng : 3x-4y+2=0 t¹i ®iÓm B(-2;-1). Bµi tËp:C©u 1: Cho 2 ®iÓm A(8;0); B(0;6).a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn nhËn AB lµm ®êng kÝnh.b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OAB.c, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c OAB. C©u 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn (C) cã t©m I(2;1) vµ tiÕp xóc víi ®êng th¼ng : 5x-12y+15=0.C©u 3: Cho ®êng th¼ng : x-7y+10=0 vµ ®êng trßn (C): x2+y2-2x+4y-20=0.a, Chøng tá vµ (C) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm A vµ B.b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua hai ®iÓm A, B nãi trªn vµ cã t©m n»m trªn ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh 8x-6y+5=0.C©u 4: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn:a, §i qua ®iÓm M(2;3) vµ tiÕp xóc víi hai ®t 1: 3x-4y+1=0; 2: 4x+3y-7=0



b, TiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng: 1: x+y+4=0; 2: 7x-y+4=0 vµ cã t©m n»m trªn ®êng th¼ng 3: 4x+3y-2=0. D¹ng 2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn2.1. Ph ¬ng ph¸p: - ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i mét ®iÓm thuéc ®êng trßn: Dùa vµo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn: TiÕp tuyÕn víi ®êng trßn t¹i mét ®iÓm thuéc ®êng trßn th× vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn ®i qua tiÕp ®iÓm.- TiÕp tuyÕn víi ®êng trßn xuÊt ph¸t tõ mét ®iÓm M n»m ngoµi ®êng trßn: Dùa vµo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña ®êng th¼ng víi ®-êng trßn.- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn: Cho hai ®êng trßn (C1) vµ (C2) cã ph¬ng tr×nh: (C1): (C2): §Ó t×m tiÕp tuyÕn chung (nÕu cã) cña hai ®êng trßn trªn ta xÐt hai trêng hîp:Tr êng hîp 1 : XÐt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi Ox, cã d¹ng: x=a1+R1. KiÓm nghiÖm l¹i tiÕp tuyÕn tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi.Tr êng hîp 2 : XÐt tiÕp tuyÕn kh«ng vu«ng gãc víi Ox, cã d¹ng: y=kx+m§Ó t×m ®îc tiÕp tuyÕn d¹ng trªn ta cÇn lËp hÖ ph¬ng tr×nh theo hai Èn k, m.+, Ph¬ng tr×nh thø nhÊt ®îc suy ra tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña d vµ (C1).+, Ph¬ng tr×nh thø hai ®îc suy ra tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña d vµ (C2).Chó ý: §Ó kiÓm tra l¹i kÕt qu¶, ta nhí r»ng:. NÕu (C1) vµ (C2) ë ngoµi nhau: Cã bèn tiÕp tuyÕn chung.. NÕu (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi: Cã ba tiÕp tuyÕn chung.. NÕu (C1) vµ (C2) c¾t nhau: Cã hai tiÕp tuyÕn chung.. NÕu (C1) vµ (C2) tiÕp xóc trong: Cã mét tiÕp tuyÕn chung.. NÕu (C1) vµ (C2) n»m trong nhau: Kh«ng cã tiÕp tuyÕn chung.* VÞ trÝ t ¬ng ®èi gi÷a hai ® êng trßn :Cho hai ®êng trßn kh«ng ®ång t©m (C1) vµ (C2) cã ph¬ng tr×nh:

(C1): , t©m I1(a1;b1), b¸n kÝnh R1. (C2): , t©m I2(a2;b2), b¸n kÝnh R2.. NÕu I1I2>R1+R2 (C1) vµ (C2) kh«ng c¾t nhau vµ ë ngoµi nhau.Häc ®Ó ngµy mai lËp nghiÖp !


. NÕu I1I2<|R1-R2| (C1) vµ (C2) kh«ng c¾t nhau vµ lång nhau.

. NÕu I1I2=R1+R2 (C1) vµ (C2) tiÕp xóc ngoµi víi nhau.

. NÕu I1I2=|R1-R2| (C1) vµ (C2) tiÕp xóc trong víi nhau.

. NÕu |R1-R2|< I1I2<R1+R2 (C1) vµ (C2) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt.2.2. Çc vÝ dô:VÝ dô 1: Cho ®êng trßn (C): . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C), biÕt:a, TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M(4,0).b, TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(-4,-6).VÝ dô 2: Cho ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh: . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C) trong çc trêng hîp sau:a, TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng: x-y=0.b, TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng: 3x-4y=0.VÝ dô 3: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C), biÕt tiÕp t¹o víi ®êng th¼ng: 2x-y=0 mét gãc b»ng 450.VÝ dô 4: Cho hai ®êng trßn:

X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn trªn.VÝ dô 5: Cho hai ®êng trßn:

X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng trßn trªn.2.3. Bµi tËp:C©u 1: Cho ®êng trßn (C): . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C), biÕt:a, TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M(1,-1).b, TiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(4,-1).C©u 2: Cho ®êng trßn (C) cã ph¬ng tr×nh: . ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C) trong çc trêng hîp sau:a, TiÕp tuyÕn song song víi ®êng th¼ng: x+y=0.b, TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®êng th¼ng: x+y=0.C©u 3: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C), biÕt tiÕp t¹o víi ®êng th¼ng: x+y=0 mét gãc b»ng 600.C©u 4: Cho hai ®êng trßn:



X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn trªnC©u 5: Cho hai ®êng trßn:

X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai ®êng trßn trªn.C©u 6: Cho ®êng trßn (C): vµ ®iÓm A(-4,2). H·y t×m ph¬ng tr×nh çc tiÕp tuyÕn kÎ tõ A ®Õn (C). Gi¶ sö çc tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (C) t¹i M, N. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMN.C©u 7: Cho ®êng trßn (C): . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M(2,1) vµ c¾t ®êng trßn (C) t¹i hai ®iÓm E vµ F sao cho M lµ trung ®iÓm cña EF.

PhÇn III: Ba ®êng c«nÝcI. KiÕn thøc c¬ b¶n:1. ElÝp:

Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp: ,

trong ®ã:- a2=b2+c2; 0 lµ t©m ®èi xøng; 0x, 0y lµ çc trôc ®èi

xøng.- Trôc lín: A1A2=2a n»m trªn 0x.- Trôc bÐ: B1B2=2b n»m trªn 0y.- Çc ®Ønh: A1(-a;0); A2(a;0); B1(0;-b); B2(0;b).- Hai tiªu ®iÓm: F1(-c;0); F2(c;0).

- T©m sai: .

- Ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së: x=a; y=b.

- B¸n kÝnh qua tiªu cña ®iÓm M(xM;yM) thuéc elÝp:MF1=a + e.xM=a + c/a.xM

MF2=a - e.xM=a – c/a.xM


A1(-a;0)

A2(a;0)

B2(0;-b)

B1(0;b)

0

F1(-c;0)

F2(c;0)


- Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M0(x0;y0) thuéc elÝp:

2. Hypebol:

Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp: , trong ®ã:

- c2=a2+b2; 0 lµ t©m ®èi xøng; 0x, 0y lµ çc trôc ®èi xøng.

- Trôc thùc: A1A2=2a n»m trªn 0x.- Trôc ¶o: B1B2=2b n»m trªn 0y.- Çc ®Ønh: A1(-a;0); B1(a;0).- Hai tiªu ®iÓm: F1(-c;0); F2(c;0).

- T©m sai: .

- Ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ së: x=a; y=b.

- Ph¬ng tr×nh hai ®êng tiÖm cËn: y=b/ax- B¸n kÝnh qua tiªu cña ®iÓm M(xM;yM) thuéc elÝp:

MF1=|a + e.xM|=|a + c/a.xM|MF2=|a - e.xM|=|a – c/a.xM|

- Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M0(x0;y0) thuéc elÝp:

3. Parabol:Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol: y2=2px (p>0). - §Ønh O(0;0). Tham sè tiªu p. - Trôc ®èi xøng Ox.Tiªu ®iÓm F=(p/2; 0). - §êng chuÈn : x=- p/2.- Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M0(x0;y0) thuéc

parabol: y0y=p(x0+x)II. Çc d¹ng to¸n c¬ b¶n:D¹ng 1: ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña 3 ®êng conÝc theo çc ®iÒu kiÖn.

Chó ý:+, Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp cã d¹ng:

nªn ®Ó viÕt ®îc ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c

cña elÝp ta ph¶i x¸c ®Þnh ®îc a vµ b. §èi víi elÝp thêng cã 4 yÕu tè liªn quan: Tiªu cù, ®é dµi trôc lín, ®é dµi trôc nhá. Tam

sai. Gi÷a 4 yÕu tè nµy cã hai liªn hÖ: a2=b2+c2 vµ . Nh vËy


A1 A1(-a;0)

B1

F1(-c;0)

F2(c;0)

F(p/2;0)


chØ cÇn biÕt hai trong 4 yÕu tè: a, b, c, e lµ viÕt ®îc ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c.

+, Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol cã d¹ng: .

§Ó viÕt ®îc ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol ta ph¶i x¸c ®Þnh ®îc a vµ b. §èi víi hypebol thêng cã 4 yÕu tè liªn quan: §é dµi trôc thùc, trôc ¶o, tiªu cù, t©m sai lµ cã thÓ viÕt ®îc ph¬ng tr×nh cña nã.

+, Muèn viÕt ®îc ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol ta chØ cÇn x¸c ®Þnh ®îc tham sè tiªu p.Çc vÝ dô: VÝ dô 1 : ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elÝp (E) trong çc tr-êng hîp: a, A(0; 2) lµ mét ®Ønh vµ F(1;0) lµ mét tiªu ®iÓm cña elÝp. b, Cã tiªu cù lµ 8 vµ t©m sai e=1/2. c, §i qua ®iÓm M(1;1) vµ cã t©m sai e=3/5. d, NhËn hai ®iÓm F1(-3; 0); F2(3; 0) lµm tiªu ®iÓm vµ ®i qua ®iÓm M(3; 2). e, §i qua hai ®iÓm M(4; ) vµ N( ). VÝ dô 2: LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña hypebol (H) trong çc trêng hîp sau: a, §i qua ®iÓm M(5; 3) vµ cã t©m sai . b, Ph¬ng tr×nh çc c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt c¬ sá lµ: x=1/2; y=1. c, Mét tiªu ®iÓm lµ F(-10; 0) vµ ph¬ng tr×nh çc ®êng tiÖm cËn lµ: y=4/3. d, Mét ®Ønh lµ A(3; 0) vµ ph¬ng tr×nh ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt c¬ së lµ: . e, §i qua N(6; 3) vµ gãc gi÷a hai ®êng tiÖm cËn b»ng 600. VÝ dô 3: LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña parabol trong çc tr-êng hîp sau: a, NhËn ®êng th¼ng x+16=0 lµm ®êng chuÈn. b, NhËn ®iÓm F(2; 0) lµm tiªu ®iÓm vµ cã ®Ønh lµ gèc täa ®é. c, NhËn Oy lµm trôc ®èi xøng vµ ®i qua ®iÓm M(5; 1).Bµi tËp: C©u 1: Cho 3 ®iÓm F1(-2; 0); F2(2; 0) vµ M(2; 3)a, ViÕt ph¬ng tr×nh elÝp (E) ®i qua M vµ nhËn F1; F2 lµm tiªu ®iÓm.b, TÝnh ®é dµi trôc lín, trôc nhá, tiªu cù, t©m sai cña (E).C©u 2: Cho elÝp (E) cã ph¬ng tr×nh:



a, TÝnh ®é dµi trôc lín, trôc nhá, tiªu cù, t©m sai vµ t×m çc tiªu ®iÓm cña elÝp.b, ViÕt ph¬ng tr×nh cña Hypebol (H) ®i qua ®iÓm M( ) vµ cã çc tiªu ®iÓm trïng víi çc tiªu ®iÓm cña elÝp.C©u 3: Cho hai ®iÓm A( ) ; B(45; 41).a, ViÕt ph¬ng tr×nh cña hypebol ®i qua hai ®iÓm A vµ B.b, T×m ®é dµi trôc thùc , trôc ¶o, tiªu cù, t©m sai, ph¬ng tr×nh çc ®êng tiÖm cËn cña Hypebol.C©u 4: Cho hypebol (H), biÕt:

- (H) ®i qua ®iÓm P( )

- Hai b¸n kÝnh qua tiªu ®iÓm MF1; MF2 vu«ng gãc víi nhau.

a, T×m tiªu cù, tiªu ®iÓm cña hypebol.b, ViÕt ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (H) trong hÖ täa ®é Oxy.



D¹ng 2: Bµi to¸n liªn quan ®Õn tiÕp tuyÕn cña 3 ®êng c«nÝc.

Cho ElÝp (E):

vµ ®êng th¼ng d: Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) T×m mét liªn hÖ gi÷a A, B, a, b ®Ó d tiÕp xóc víi (E). Ta cã: Täa ®é giao ®iÓm d vµ (E) lµ nghiÖm cña hÖ:

Rót y theo x tõ ph¬ng tr×nh trªn thay vµo ph¬ng tr×nh díi sÏ ra ®îc ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x. T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc gai ®ã cã nghiÖm kÐp.Hoµn toµn t¬ng tù, ta cã thÓ x©y dùng ®îc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét ®êng th¼ng tiÕp xóc víi mét hypebol, mét parabol. KÕt qu¶ ®îc tãm t¾t nh sau:

ElÝp: ®iÒu kiÖn tiÕp xóc:

Hypebol: ®iÒu kiÖn tiÕp xóc:

Parabol: ®iÒu kiÖn tiÕp xóc:

VÝ dô 1: Cho elÝp (E) cã ph¬ng tr×nh:

vµ ®êng th¼ng : 3x+2y-12=0a, Chøng tá vµ (E) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm.b, ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña elÝp t¹i çc giao ®iÓm víi .

VÝ dô 2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi elÝp (E): ,

biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M(3;-4).

VÝ dô 3: Cho hypebol (H): .

a, ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (H) t¹i ®iÓm P( ).b, ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (H) song song víi ®êng th¼ng: 3x+4y-17=0.VÝ dô 4: Cho parabpol: y2=16x.a, LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña parabol, biÕt tiÕp tuyÕn nµy vu«ng gãc víi ®êng th¼ng : 2x-y+5=0.b, LËp ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi parabol, biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm M(1; -1).c, ViÕt çc ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi parabol xuÊt ph¸t tõ ®iÓm A(1;5).



VÝ dô 5: Cho hai elÝp (E1): vµ (E2):

a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua çc giao ®iÓm cña hai elÝp.b, ViÕt ph¬ng tr×nh çc tiÕp tuyÕn chung cña hia elÝp.VÝ dô 6: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn chung cña hai hypebol sau:

(H1): vµ (H2):



Bµi tËp tÕtC©u 1: ChoABC víi A (2,2), B (-1,6),C (-5,3).

a, viÕt ph¬ng tr×nh çc c¹nh ABC.b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa ®êng cao AH cña ABC.c, CMR: ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n .

C©u 2: ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ()®i qua giao ®iÓm cña 2 ®êng th¼ng (d1): 2x-y+1=0 vµ (d2): x-2y-3=0 ®ång thêi ch¾n trªn hai trôc to¹ ®é nh÷ng ®o¹n b»ng nhau.C©u 3: LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua ®iÓm P(2,-1) sao cho ®êng th¼ng ®ã cïng víi hai ®êng th¼ng (d1): 2x- y+5=0 vµ (d2): 3x+6y-1=0 t¹o ra mét tam gi¸c c©n cã ®Ønh lµ giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng (d1) vµ (d2).C©u 4: Cho hai ®êng th¼ng (d1) vµ ( d2) cã ph¬ng tr×nh : d1: 2x-y+1=0, (d2): x+2y-7=0. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua gèc to¹ ®é sao cho ®êng th¼ng (d) t¹o víi (d1) vµ (d2) mét tam gi¸c c©n cã ®Ønh lµ giao ®iÓm cña (d1) vµ (d2) . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c c©n ®ã.C©u 5: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ba ®iÓm A(1;-1), B(-2;1), C (3;5).

a, TÝnh diÖn tÝch ABC.b, H·y t×m tÊt c¶ çc ®iÓm M trªn trôc Ox sao cho gãc AMB b»ng 600. c, H·y t×m tÊt c¶ çc ®iÓm P trªn trôc Oy sao cho gãc APC b»ng 450.

C©u 6: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy , cho ba ®êng th¼ng (d1) : 3x+4y-6=0, (d2): 4x+3y-1=0, (d3): y=0 . Gäi A=(d1)(d2) , B=(d2)(d3), C=(d1)(d3). a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc A cña ABC. b, TÝnh S tam gi¸c, x¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp ABC.C©u 7: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho tam gi¸c ABC cã trùc t©m H(13/5;13/5) ph¬ng tr×nh çc ®êng th¼ng AB vµ AC lÇn lît lµ : 4x-y-3=0, x+y-7=0. viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng chøa c¹nh BC.C©u 8: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho çc ®êng th¼ng d1: x+y+3=0, d2: x-y-4=0, d3 : x-2y=0. T×m to¹ ®é ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng d3 sao cho kho¶ng çch tï M ®Õn d1 gÊp ®«i kho¶ng çch tõ M ®Õn d2.



C©u 9: Trong mp víi hÖ to¹ ®é Oxy cho hai ®iÓm A(1;0), B(3;-1) vµ ®êng th¼ng (d) : x-2y-1=0. t×m ®iÓm C ran ho mang thuéc (d) sao cho diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 6.C©u 10: Trong mp Oxy cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G(-2;-1) vµ çc c¹nh AB: 4x+y+15=0, AC : 2x+5y+3=0. T×m trªn ®êng cao kÎ tõ ®Ønh A cña tam gi¸c ®iÓm M sao cho tam gi¸c BMC vu«ng t¹i M.C©u 11: Trªn mp víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai ®iÓm A(2;-1),B(1;-2) vµ träng t©m G cña tam gi¸c ABC n»m trªn ®êng th¼ng x+y-2=0. H·y t×m to¹ ®é ®iÓm C biÕt r»ng diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC b»ng 2/3.C©u 12: Cho tam gi¸c ABC víi A(1;5), B(-4-5), C(4;-1). T×m to¹ ®é trùc t©m vµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC.C©u 13: Trong mp víi to¹ ®é Oxy cho ®êng th¼ng (d): 3x-4y+1=0. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng song song víi (d) vµ çch (d) mét kho¶ng b»ng 1.C©u 14: Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy , cho hai ®êng th¼ng d1: 2x-3y+1=0, d2:4x+y-5=0. Gäi A lµ giao ®iÓm cña d1 vµ d2 . t×m ®iÓm B trªn d1 vµ ®iÓm C trªn d2 sao cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G(3;5).

Líp 10: H×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ngPhÇn 1: §êng th¼ngI. KiÕn thøc c¬ b¶n:1. Ph ¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ® êng th¼ng :- §êng th¼ng ®i qua M(x0;y0) vµ nhËn lµm vect¬ ph¸p tuyÕn cã ph¬ng tr×nh lµ: a(x-x0) + b(y-y0)=0- §êng th¼ng c¾t trôc 0x t¹i A(a;0) vµ 0y t¹i B(0;b) (a vµ b kh¸c 0) cã ph¬ng tr×nh theo ®o¹n ch¾n:

- §êng th¼ng qua M(x0;y0) vµ cã hÖ sè gãc lµ k cã ph¬ng tr×nh lµ: y-y0=k(x-x0)2. Ph ¬ng tr×nh tham sè cña ® êng th¼ng: - §êng th¼ng ®i qua M(x0;y0) vµ nhËn lµm vect¬ chØ ph-¬ng cã ph¬ng tr×nh tham sè lµ:

ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c:

- §êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm M(x1;y1) vµ N(x2;y2) cã d¹ng:

Chó ý: Häc ®Ó ngµy mai lËp nghiÖp !

https://goo.gl/QdePIy


- NÕu ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ th× sÏ cã vect¬ chØ ph¬ng lµ vµ ngîc l¹i.- Cho hai ®êng th¼ng d1 vµ d2:+, d1 song song víi d2 th× chóng cã cïng vect¬ ph¸p tuyÕn vµ vect¬ chØ ph¬ng.+, d1 vu«ng gãc víi d2 th× ph¸p tuyÕn cña d1 lµ chØ ph¬ng cña d2 vµ ngîc l¹i.3. VÞ trÝ t ¬ng ®èi gi÷a hai ® êng th¼ng : Trong mÆt ph¼ng täa ®é, cho hai ®êng th¼ng 1 vµ 2 cã ph¬ng tr×nh:

1: a1x+b1y+c1=02: a2x+b2y+c2=0

c¾t nhau

4. Kho¶ng çch vµ gãc:- Kho¶ng çch tõ ®iÓm M(x0;y0) ®Õn ®êng th¼ng : ax+by+c=0 ®îc tÝnh theo c«ng thøc:

- Cho hai ®êng th¼ng 1: a1x+b1y+c1=0 vµ 2: a2x+b2y+c2=0. Gãc gi÷a 1 vµ 2 ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc:

VÝ dô : Cho tam gi¸c ABC cã: A(-1;2), B(2;-4), C(1;0). a, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng cao cña tam gi¸c ABC øng víi ®Ønh A. b, ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c øng víi ®Ønh A. c, TÝnh çc ®êng cao cña tam gi¸c ABC. d, TÝnh çc gãc cña tam gi¸c ABC. e, TÝnh çc c¹nh cña tam gi¸c ABC. f, TÝnh S cña tam gi¸c ABC theo c«ng thøc:









a.


Documents

Phuong Phap Toan Do Trong Mat Phang 10