Xuctu.com Phuong Trinh Duong Thang Trong Mat Phang

8/17/2019 Xuctu.com Phuong Trinh Duong Thang Trong Mat Phang

1/76

Người dạy: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề: H ình học giải tích trong mặt phẳng

TP- Sơn La- 2014 016498029231

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

§ 2: ĐƯỜNG THẲNG

A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa về vecto chỉ phương (vtcp) và vecto pháp tuyến (vtpt) Vectơ chỉ phương của đường thẳng Vectơ 0u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặctrùng với . – Nếu u là một VTCP của thì ku (k 0) cũng là một VTCP của (nói cách khác mộtđường thẳng có vô số vtcp, các vecto này sai khác nhau bởi một hằng số 0k ) – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Vectơ 0n

được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu giá của nó vuông góc với. – Nếu n là một VTPT của thì kn (k 0) cũng là một VTPT của .

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT. – Nếu u là một VTCP và n là một VTPT của thì u n .2. Phương tr ình đường thẳnga. Phương tr ình tham số của đường thẳng Cho đườ ng thẳng đi qua 0 0 0( ; ) M x y và có vtcp 1 2( ; )u u u

có phương tr ình là

0 1

0 2

x x tu

y y tu

(1) (t là tham số thực).

Điểm M(x;y) t R: 0 10 2

x x tu

y y tu

.

Gọi k là hệ số góc của : k = tan, với =

xAv , 0

90 Với k = 2

1

u

u, với 1 0u .

b. Phương tr ình chính tắc của đường thẳng Cho đườ ng thẳng đi qua 0 0 0( ; ) M x y và có VTCP 1 2( ; )u u u


0 0

1 2

x x y y

u u

(2)

(u1 0, u2 0).Trong trường hợp u1 = 0 hoặc u2 = 0 thì đường thẳng không có phương tr ình chính tắc. c. Phương tr ình tổng quát của đường thẳng 0ax by c với 2 2 0a b – Nếu có phương tr ình 0ax by c thì có vtpt là ( ; )n a b và vtcp ( ; )u b a hoặc

( ; )u b a .

– Nếu đi qua 0 0 0( ; ) M x y và có vtpt ( ; )n a b thì phương tr ình của là: 0 0( ) ( ) 0a x x b y y


2/76


TP- Sơn La- 2014 016498029232

Trường hợp đặc biệt

Hệ số Phương tr ình đườ ng thẳng Tính chất đườ ngthẳng

c = 0 0ax by đi qua gốc toạ độ O

a = 00by c

// Ox hoặc Ox b = 0 0ax c // Oy hoặc Oy

- Nếu qua hai điểm A(a;0), B(0;b) (a, b 0) thì phương tr ình của : 1 x ya b

(gọi là

phương tr ình đường thẳng theo đoạn chắn) .- Nếu qua điểm 0 0 0( ; ) M x y và có hệ số góc k thì phương tr ình của : 0 0( ) y y k x x (gọilà phương tr ình đường thẳng theo hệ số góc) 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Hai đường thẳng 1: 1 1 1 0a x b y c và 2: 2 2 2 0a x b y c . Toạ độ giao điểm của 1 và

2 là nghiệm của hệ phương tr ình: 1 1 12 2 2

0

0

a x b y c

a x b y c

(1)

1 cắt 2 Hệ (1) có một nghiệm 1 12 2

a b

a b

(nếu 2 2 2, , 0a b c )

1 // 2 Hệ (1) vô nghiệm 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c

(nếu 2 2 2, , 0a b c )

1 2 Hệ (1) có vô số nghiệm 1 1 12 2 2

a b c

a b c

(nếu 2 2 2, , 0a b c )4. Góc giữa hai đườ ng thẳngCho hai đường thẳng 1: 1 1 1 0a x b y c có vtpt 1 1 1( ; )n a b

và

2: 2 2 2 0a x b y c có vtpt 2 2 2( ; )n a b

0

1 2 1 21 2

0 01 2 1 2

( , ) ( , ) 90( , )

180 ( , ) ( , ) 90

n n khi n n

n n khi n n

1 2 1 1 2 21 2 1 2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 2

.cos( , ) cos( , )

. .

n n a b a bn n

n n a b a b

Đặc biệt: 1 2 1 2 1 2 0a a b b .

Cho hai đường thẳng 1: 1 1 y k x m , 2: 2 2 y k x m :+ Nếu 1 // 2 k 1 = k 2


3/76


TP- Sơn La- 2014 016498029233

+ Nếu 1 2 k 1. k 2 = –1.5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đườ ng thẳng : 0ax by c và một điểm 0 0 0( ; ) M x y thì khoảng cách từ 0 M đến là

0 00 2 2

( , ) ax by c

d M a b

6. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : 0ax by c và hai điểm ( ; ), ( ; ) M M N N M x y N x y – Hai điểm M, N nằm cùng phía đối với ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by c – Hai điểm M, N nằm khác phía đối với ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by c .7. Phương tr ình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: 1 1 1 0a x b y c và 2: 2 2 2 0a x b y c Phương tr ình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 cắt nhau là:

1 1 1 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

a x b y c a x b y c

a b a b

Tìm điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng : 0d Ax By C

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng theo hai phương pháp

Phương pháp 1

Bướ c 1. Viết phương tr ình đườ ng thẳng qua M và vuông góc vớ i d.

Bướ c 2. Xác định H d (H là hình chiếu của M trên d).

Bướ c 3. Xác định ' M sao cho H là trung điểm của ' MM .

Phương pháp 2

Bướ c 1. Gọi H là trung điểm của ' MM .

Bướ c 2. M đối xứng của M qua'

d MM ud H d

(sử dụng tọa độ).

Lập phương tr ình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng

Để giải bài toán này, tr ướ c tiên ta nên xem xét chúng cắt nhau hay song song.

Nếu d // Δ

Bướ c 1. Lấy A d. Xác định A đối xứng vớ i A qua .

Bướ c 2. Viết phương tr ình đườ ng thẳng d qua A và song song vớ i d.

Nếu d

I

Bướ c 1. Lấy A d (A I). Xác định A đối xứng vớ i A qua .

Bướ c 2. Viết phương tr ình đườ ng thẳng d qua A và I.

GV: Cho HS làm hết tất cả các bài tập sgk hoặc làm các bài dưới đây để HS làm quenvới các công thức.


4/76


TP- Sơn La- 2014 016498029234

Bài 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u

:a) M(–2; 3) , (5; 1)u

b) M(–1; 2), ( 2;3)u

c) M(3; –1), ( 2; 5)u

d) M(1; 2), (5;0)u

e) M(7; –3), (0;3)u

f) M O(0; 0), (2;5)u

Bài 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n

:

a) M(–2; 3) , (5; 1)n

b) M(–1; 2), ( 2;3)n

c) M(3; –1), ( 2; 5)n

d) M(1; 2), (5;0)n

e) M(7; –3), (0;3)n

f) M O(0; 0), (2;5)n

Bài 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góck :

a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M O(0; 0), k = 4

Bài 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2)g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)

Bài 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song songvới đường thẳng d :

a) M(2; 3), d : 4 10 1 0 x y b) M(–1; 2), d Ox c) M(4; 3), d Oy

d) M(2; –3), d:1 2

3 4

x t

y t

e) M(0; 3), d:

1 4

3 2 x y

Bài 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông gócvới đường thẳng d :

a) M(2; 3), d : 4 10 1 0 x y b) M(–1; 2), d Ox c) M(4; 3), d Oy

d) M(2; –3), d:1 2

3 4

x t

y t

e) M(0; 3), d:

1 43 2

x y

Bài 7. Cho tam giác ABC. Viết phương tr ình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường caocủa tam giác với:

a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)

Bài 8. Cho tam giác ABC, biết phương tr ình ba cạnh của tam giác. Viết phương tr ình cácđường cao của tam giác, với:

a) : 2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0 AB x y BC x y CA x y b) : 2 2 0, : 4 5 8 0, : 4 8 0 AB x y BC x y CA x y

Bài 9. Viết phương tr ình các cạnh và các trung tr ực của tam giác ABC biết trung điểm củacác cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:

a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) 3 5 5 7; , ; , (2; 4)2 2 2 2 M N P

c)3 1

2; , 1; , (1; 2)2 2

M N P

d)3 7

;2 , ;3 , (1;4)2 2

M N P

Bài 10. Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm M và chắn tr ên hai tr ục toạ độ 2đoạn bằng nhau, với:

a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1)Bài 11. Viết phương tr ình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo

thành một tam giác có diện tích S, với:


5/76


TP- Sơn La- 2014 016498029235

a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4Bài 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua

đường thẳng d với: a) M(2; 1), : 2 3 0d x y b) M(3; – 1), : 2 5 30 0d x y c) M(4; 1), : 2 4 0d x y d) M(– 5; 13), : 2 3 3 0d x y

Bài 13. Lập phương tr ình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng

, với: a) : 2 1 0, : 3 4 2 0d x y x y b) : 2 4 0, : 2 2 0d x y x y c) : 1 0, : 3 3 0d x y x y d) : 2 3 1 0, : 2 3 1 0d x y x y

Bài 14. Lập phương tr ình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với: a) : 2 1 0, (2;1)d x y I b) : 2 4 0, ( 3;0)d x y I c) : 1 0, (0;3)d x y I d) : 2 3 1 0, (0;0)d x y I O

B. Bài tập theo dạng,

Vấn đề 1: Lập phương tr ình đường thẳng

Một số lưu ý:

Đườ ng thẳng qua điểm ;0 , 0; , 0 A a B b a b : 1 x y

a b .

Đườ ng thẳng qua ;o o o M x y và có hệ số góc k : o o y k x x y .

Đườ ng thẳng // : 0d Ax By C có phương trình: : 0 Ax B D y .

Đườ ng thẳng : 0d Ax By C có phương trình: : 0 Bx A D y .

Trong nhiều tr ườ ng hợp đặc thù, để xác định phương trình đườ ng thẳng chúng ta cònsử dụng:+ Phương trình chùm đườ ng thẳng.+ Phương trình quỹ tích.

Ta có thể chuyển đổi giữa các phương tr ình tham số, chính tắc, tổng quát của 1 đườ ngthẳng.

Để : 0 Bx Ay D là một phương trình đườ ng thẳng thì 2 2 0 A B .


6/76


TP- Sơn La- 2014 016498029236

Dạng 1: Viết phương tr ình đường thẳng khi biết VTCP ;u a b

và một điểm đi qua

;o o M x y .

Ví dụ 1: Lập phương tr ình các cạnh của ABC nếu cho 2; 1 A và 2 đường cao xuất phát từ

B và C có phương tr ình lần lượt là 2 1 0 x y và 3 2 0 x y

Giải:

Vì BH AC nên cạnh AC có phương tr ình 2 0 x y m , AC qua A nên

2 2 0 0m m . Phương tr ình cạnh AC là: 2 0 x y

Vì CK AB nên cạnh AB có phương tr ình 3 0 x y n , AB qua A nên

2 3 0 5n n . Phương tr ình cạnh AB là: 3 5 0 x y

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ42 0 4 25 ;

3 2 0 2 5 55

x x y

C x y

y

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ

83 5 0 8 115 ;

2 1 0 11 5 55

x x y

B x y

y

Khi đó 4 13 1; 4;135 5 5

BC

nên vectơ pháp tuyến của BC là 13; 4 BC n . Phương tr ình

cạnh BC có dạng:8 11

13 4 0 13 4 12 05 5

x y x y

Ví dụ 2: Tam giác ABC có 1;2 A và phương tr ình hai đường cao lần lượt là

BH: 1 0 x y và CK: 2 2 0 x y . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC

Giải

Cạnh AB đi qua 1;2 A và vuông góc với CK: 2 2 0 x y nên AB có phương tr ình:

1 1 2 2 0 2 3 0 x y x y

Tương tự cạnh AC đi qua 1;2 A và vuông góc với BH: 1 0 x y nên AC có phương tr ình:

1 1 1 2 0 1 0 x y x y


7/76


TP- Sơn La- 2014 016498029237

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:

52 3 0 5 23 ;

1 0 2 3 33

x x y

B x y

y

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:

11 0

1 43 ;2 2 0 4 3 33

x x y

C x y

y

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng vớ i hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) là trung điểmcủa cạnh AB. Đườ ng trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương tr ình là7x – 2y – 3 0 và 6x – y – 4 0 .Viết phương tr ình đườ ng thẳng AC.

Giải Gọi đườ ng cao AH : 6x – y – 4 = 0 và đườ ng trung tuyến AD : 7x – 2y – 3 = 0Ta có 1;2 A AH AD A

M là trung điểm AB B 3; 2 BC qua B và vuông góc vớ i AH BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0 x + 6y + 9 = 0

30;

2 D BC AD D

D là trung điểm BC C (- 3; - 1)AC qua A (1; 2) có VTCP 4; 3 AC

nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = 0 3x – 4y + 5 = 0

Ví dụ 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng d1: 1 0 x y và d2: 2 1 0 x y vàđiểm P(2;1). Viết phương tr ình đường thẳng qua P và cắt d1, d2 tương ứng tại A và B sao choP là trung điểm của AB.

Giải Vì A thuộc d1 nên 1 1; 1 A x x

Vì B thuộc d2 nên 2 2; 2 1 B x x

Ta có 1 12;PA x x

; 2 22; 2PB x x

Vì P là trung điểm AB nên2

1 2

1 21

42 2 3

2 83

x x x

PA PB x x

x

Do đó8 11 4 5

; ;3 3 3 3

A B

Vậy phương tr ình đường AB là 4 7 0 x y Ví dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đỉnh A(4;-1), phương tr ình một đường cao, mộtđường trung tuyến vẽ từ cùng một đỉnh lần lượt là 2 3 12 0 x y và 2 3 0 x y . Viết phương tr ình các cạnh của tam giác

Giải Ta thấy đỉnh A không thuộc 2 đường thẳng 2 3 12 0 x y và 2 3 0 x y nên các đườngcao và đường trung tuyến ấy không đi qua A.


8/76


TP- Sơn La- 2014 016498029238

Giả sử 2 đường cao và đường trung tuyến ấy vẽ từ B.

Tọa độ B là nghiệm hệ 2 3 12 0 3

3;22 3 0 2

x y x B

x y y

Cạnh AB đi qua A và B nên phương tr ình canh AB là 3 7 5 0 x y Do AC vuông góc BH nên cạnh AC có phương tr ình 3 2 0 x y m Do A thuộc AC nên 3.4 2( 1) 0 10m m

Vậy phương tr ình cạnh Ac là 3 2 10 0 x y

Tọa độ M là nghiệm hệ 3 2 10 0 6

6; 42 3 0 4

x y x M

x y y

Vì M là trung điểm AC nên 8; 7C

Đường thẳng BC qua B và C nen có phương tr ình là 9 11 5 0 x y Ví dụ 6: (A- 2009) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) làgiao điểm của 2 đường chéo Ac và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểmE của canh CD thuộc đường thẳng : x + y – 5 = 0. Viết phương tr ình đường thẳng AB.

Giải Ta có I (6; 2); M (1; 5) E : x + y – 5 = 0 E(m; 5 – m);Gọi N là trung điểm của đoạn AB. Khi đó I là trung điểm của NE

2

2 I N E

I N E

x x x

y y y

N (12 – m; m – 1)

11 – m; m – 6 MN

m – 6; 5 – m – 2 m – 6; 3 – m IE

Ta có MN vuông góc với IE nên . 0 MN IE

(11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0 6 14 2 0m m

m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 m = 6 hay m = 7* Với m = 6 5;0 MN

nên pt AB là y = 5

*m = 7 4;1 MN

nên pt AB x – 1 – 4(y – 5) = 0 x – 4y + 19 = 0.Vậy đường thẳng AB có 2 phương tr ình là y = 5 và x – 4y + 19 = 0.Ví dụ 7: (DB A-2009) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;2), đườngtrung tuyến BM và đường phân giác trong CD có phương tr ình tương ứng là2 1 0; 1 0 x y x y . Viết phương tr ình đường thẳng BC

Giải Qua A k ẻ đường vuông góc với CD cắt BC tại E. Giả sử đường vuông góc này cắt CD tại I. Vì CD là phân giác của góc C nên IA IE Do CD có phương tr ình 1 0 x y nên đường AE có phương tr ình 0 x y m Mà AE lại qua A(1;2) nen ta có 1 2 0 1m m

Vậy AE có phương tr ình 1 0 x y


9/76


TP- Sơn La- 2014 016498029239

Tọa độ điểm I là nghiệm hệ 1 0 0

0;11 0 1

x y x I

x y y

Từ đó suy ra 2 1

1;02 0

E I A E

E I A E

x x x x E

y y y y

Vì C nằm trên đường phân giác 1 0 x y nên ta có ;1o oC x x .

Từ đó M là trung điểm của AC nên 1 1 2 1 3; ;2 2 2 2o o o o x x x x M

Điểm M nằm tr ên trung tuyến BM 2 1 0 x y nên ta có

1 3

2 1 0 7 7;82 2

o oo

x x x C

Đường thẳng BC qua 1;0 E và 7;8C nên có phương tr ình 4 3 4 0 x y Ví dụ 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(1;3) và 2 đường trung tuyếnxuất phát từ B và C là 2 1 0 x y và 1 0 y . Lập phương tr ình các cạnh của tam giác

Giải

Gọi G là tr ọng tâm của tam giác. Tọa độ G là nghiệm hệ

2 1 0 11;1

1 0 1

x y xG

y y

Vẽ hình bình hành BGCE.Theo tính chất của các đường trung tuyến trong tam giác ta cóGE=GATừ đó suy ra 1; 1 E

Do EC//BG nen EC có dạng 2 0 x y m E thuộc nên ta có 1 2 0 3m m Phương tr ình của EC là 2 3 0 x y

Tọa độ C là nghiệm hệ 2 3 0 5 5;11 0 1 x y x C

y y

Tương tự ta có 3; 1 B

Biết tọa độ 3 đỉnh A, B, C ta có phương tr ình các cạnh AB, Ac, BC lần lượt là 2 0 x y ;4 1 0 x y ; 2 7 0 x y

Dạng 2: Viết phương tr ình đường liên quan dến khoảng cách Chú ý:- Đường thẳng đi qua ;o o M x y có 2 dạng o x x và 0 o y y k x x . Khi làm bài, tr ừ

trường hợp có sẵn dạng 0 o y y k x x nếu không phải xét đủ 2 trường hợp nói tr ên.(

Đúng cả trong trường hợp liên quan đến góc ở dạng 3): - Khi sử dụng phương tr ình dưới dạng TQ bài toán quy về tìm A,B,C. Thông thường từ cácdữ kiện ban đầu ta sẽ có một hoặc hai phương tr ình để tìm A,B,C. Vì thế ta phải sử dụngđiều kiện 2 2 0 A B để từ hệ thức giữa A, B sẽ cho A hoặc B là một giá trị cụ thể, từ đó sẽtìm được B hoặc A. Lưu ý r ằng đó chính là quy tắc chung để giải hệ phương tr ình mà số phương tr ình ít hơn số ẩn. Sử dụng phương pháp này sẽ thích hợp cho bài toán loại 2, màkhông cần xét trường hợp

o x x và 0 o y y k x x .


10/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292310

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương tr ình đườngthẳng qua M sao cho khoảng cách từ N tới nó bằng 5.

Giải Cách 1: Sử dụng hệ số góc Đường thẳng qua M (1;4) nên có 2 dạng là 1 x khi đó ; 5d N . Vậy : 1 x là đường thẳng cần tìm.

có dạng 1 4 4 0 y k x kx y k Khi đó

2 2

2

6 2 4 21; 5 5 5 2 25 1

201

k k d N k k k

k

có phương tr ình là 21 20 59 0 x y Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là 1 x và 21 20 59 0 x y Cách 2: Sử dụng phương tr ình tổng quát Gọi đường thẳng cần tìm là 0 Ax By C với 2 2 0 A B Do qua M nen ta có 4 0 4 A B C C A B Suy ra có dạng 4 0 Ax By A B

Ta có

2 2

2 2 2 2

6 2 4; 5 5

05 2 25 21 20 0 20

21

A B A Bd N

A B

B

A B A B B AB B A

Thay B=0 vào phương tr ình ta được 1 x

Thay20

21 B A

vào phương tr ình ta được 21 20 59 0 x y

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là 1 x và 21 20 59 0 x y

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 2 điểm A(1;2) và B(5;-1). Viết phương tr ình đườngthẳng qua M(3;5) và cách đều A,B.

Giải Cách 1: Sử dụng hệ số góc

Đường thẳng đi qua M(3;5) có hai dạng 3 x khi đó ; 2; ; 2d A d B . Vậy : 3 x là đường thẳng cần tìm

có dạng 3 5 5 3 0 y k x kx y k .

Khi đó ta có 2 22 5 3 5 1 5 3

; ; 1 1

k k k k d A d B

k k

33 2 6 2

4k k k

có phương tr ình là 3 4 29 0 x y Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là 3 x và 3 4 29 0 x y

Nhận xét: Qua các ví dụ tr ên ta thấy r õ nếu không xét trường hợpo

x x thì có thể dẫn đếntrường hợp mất nghiệm của bài toán.Cách 2: Sử dụng phương tr ình tổng quát


11/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292311

Gọi đường thẳng cần tìm là 0 Ax By C với 2 2 0 A B Do qua M(3;5) nen ta có 3 5 0 3 5 A B C C A B Suy ra có dạng 3 5 0 Ax By A B

Ta có 2 2 2 2

2 3 5 5 3 5; ;

A B A B A B A Bd A d B

A B A B

2 20

2 3 2 6 3 4 0 43

B

A B A B B B A B A

Thay B=0 vào phương tr ình ta được 3 x

Thay43

B A vào phương tr ình ta được 3 4 29 0 x y

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm là 3 x và 3 4 29 0 x y Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm M(1;4) và N(6;2). Lập phương tr ình đường thẳngqua N sao cho khoảng cách từ M tới đó bằng 2.

Giải

Xét trường hợp đường thẳng cần tìm song song với trục tung là: : 6 0 , 5 2 x d M (loại)

Gọi phương tr ình đường thẳng cần tìm có dạng: ' : ( 6) 2 y k x

2

2 62 6 0 ' 2

1

02

' :2020 21 162 0

21

kx y k kx y k d M

k

k y

x yk

Ví dụ 4: (khối A 2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:

d1 : x y 3 0, d2 : x y 4 0, d3 : x 2y 0.T.m tọa độ điểm M nằmtrên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảngcách từ M đến đường thẳng d2

Giải T.m điểm M thuộc d3 sao cho d (M,d1 ) = 2d (M,d2 ) Vì M thuộc d3 nên M(2y; y).

Ta có: 1 2 22 3 3 3

;21 1

y y yd M d

2 2 22 4 4

;21 ( 1)

y y yd M d

1 2113 3 4

; ; 212 2

y y yd M d d M d

y

Với y = -11 được điểm M1 (-22;-11).Với y =1 được điểm M2 (2; 1).

Ví dụ 5: Viết phương tr ình hai dường chéo của hình vuông, biết tâm I(-2,0) phương tr ìnhmột cạnh của hình vuông d: 3 3 0 x y


12/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292312

Ví dụ 6: (ĐH – D 2010) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;2) và là đườ ng thẳng

đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên . Viết phương trình đườ ng thẳng , biếtkhoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.Giải:

Cách 1:Xét các trường hợp TH 1: Oy H A : không thoả AH = d(H, Ox)TH 2: Ox H O : không thoả AH = d(H, Ox)Phương tr ình đường thẳng : ( 0) y kx k

Đường thẳng AH và đi qua A có phương tr ình 1 2 y xk

Toạ độ H = AH là nghiệm của hệ 22

2 22

2

22 21

;12 1 12

1

k x y kx

k k k H

y x k k k yk

k

Ta có22 2 2

4 22 2 2

2 2 2( ; ) 2 1 0

1 1 1

k k k AH d H Ox k k

k k k

2

2

1 52 2 52

21 5 0 ( )2

k

k

k loai

Vậy : 2 2 52

y x

Cách 2:Gọi 0 0; H x y là hình chiếu của A xuống

Ta có: 0 0 0 0( ; 2), ( ; ) AH x y OH x y


13/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292313

Do giả thiết:2 2 20 0 0 0 0 0

22 20 00 0 0

( 2) 0 2 0. 0

( , ) 4 4 0( 2)

x y y x y y AH OH

AH d H Ox x y x y y

0

2200 0 0

2 20 0 0 0 0

20

1 5

8 4 52 4 0 1 5

4 4 0 4 4 1 5

8 4 5 0 ( )

y

x y y y

x y x y y

x loai

00

4 5 84 5 8; 1 5

1 5

x H

y

. Phương trình: ( 5 1) 4 5 8 0 x y

Dạng 3: Viết phương trình đường liên quan dến góc Ví dụ 1: Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bênAB nằm trên đường thẳng : 12x – y – 23 = 0 . Viết phương tr ình đường thẳng AC biết rằngnó đi qua điểm (3;1)

Giải

- (AB) có hệ số góc k=12, đường thẳng (BC) có hệ số góc k'=25

, do đó ta có :

212

5tan 22

1 12.5

B

.

Gọi PT đường AC đi qua điểm (3;1) có hệ số góc m nên có dạng y=m(x-3)+1 ta có2

2 55tan

2 5 21 5

mm

C m

m

.

Vì tam giác ABC cân tại A cho nên tanB=tanC, hay ta có :8

2 5 4 102 52 2 5 2 2 5 9

2 5 4 105 212

m m mmm m

m mmm

- Trường hợp : 9 9

: 3 1 9 8 35 08 8

m AC y x x y

- Trường hợp : m=12 suy ra (AC): y=12(x-3)+1 hay (AC): 12x-y-25=0 ( loại vì nó //AB ).- Vậy (AC) : 9x+8y-35=0 .

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, biết phương tr ình đường thẳng AB, BC lần lượt là:x + 2y – 5 = 0 và 3x – y + 7 = 0. Viết phương tr ình đường thẳng AC, biết rằng AC đi quađiểmF(1; - 3).

Giải

Phương tr ình đường thẳng AC đi qua F(1;-3) hệ số góck nên có dạng: AC: y=k(x-1)-3

Ta có hẹ số góc của AB là12 AB

k .

A

B C

x+2y-5=0

3x-y+7=0

F(1;-3)


14/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292314

Ta có hẹ số góc của BC là 3 BC k .Vì tam giác cân tại A nên tan tan B C

113 3 82

1 41 31 .3

2 7

k k

k k

- Với k=- 1 1

: 1 3 8 23 08 8

AC y x x y

- Với k= 4 4

: 1 3 4 7 25 07 7

AC y x x y

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương tr ìnhcạnh BC là : 7 31 0d x y , điểm 7;7 N thuộc đường thẳng AC, điểm 2; 3 M thuộc AB

và nằm ngoài đoạn AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Giải:

Đường thẳng AB đi qua M nên có phương tr ình 2 3 0a x b y 2 2 0a b

0; 45 AB BC nên 02 2

3 47cos45

4 350

a ba b

a ba b

.

Nếu3 4a b , chọn a = 4, b = 3 ta được : 4 3 1 0 AB x y . :3 4 7 0 AC x y .

Từ đó 1;1 A và 4;5 . B Kiểm tra 2 MB MA

nên M nằm ngoài đoạn AB (thỏa mãn)

Từ đó tìm được C(3; 4) Nếu 4 3a b , chọn 3, 4a b được :3 4 18 0 AB x y , : 4 3 49 0 AC x y Từ đó A(10;3) và B(10;3) (loại)

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tr òn (C ) có phương tr ình:2 2 2 2 8 0 x y x y và đường thẳng : 4 2 11 0 x y . Lập phương tr ình tiếp tuyến của(C ), biết tiếp tuyến tạo với một góc bằng 45o .

Giải: Theo bài (C ) có tâm 1; 1 I , bán kính R 10 .

Giả sử tiếp tuyến có phương tr ình 2 2' : 0, ( 0)ax by c a b

Theo bài ta có: 02 2

| 4 2 | 2cos45

220( )

a b

a b

2 2

33 3 8 0

3

a ba b ab

b a

TH1. 3a b . Ta có ' : 3 0. x y c

Ta có 14( , ') 10 .6cd I c

' : 3 6 0 x y và ' : 3 14 0 x y

TH2. 3b a . Ta có ' : 3 0. x y c

Ta có12

( , ') 10 .8

cd I

c

' : 3 12 0 x y và ' : 3 8 0 x y

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: 3 6 0; x y 3 14 0 x y ; 3 12 0 x y ; 3 8 0 x y


15/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292315

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, phương tr ình đườngthẳng AB, BC lần lượt là: 2 5 0 x y và 3 7 0 x y . Viết phương tr ình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua F(1;3).

Giải :Gọi BC: 2 5 0 x y và AB: 3 7 0 x y VTPT của AB là 1 (1; 2)n

, của BC là 2 (3; 1)n ,

Gọi VTPT của AC là 3 ( ; )n a b

với 2 2 0a b .Do ABC cân tại A nên các góc B và C đều nhọn và bằng nhau.

Suy ra: cos cos B C 3 21 21 2 3 2

..

. .

n nn n

n n n n

2 2

1 3a

5

b

a b

2 222a 2 15a 0b b 2a

11a 2

b

b

Với 2a = b, ta có thể chọn 1, 2a b 3 (1;2)n AC // AB không thoả mãn.

Với 11a = 2b, ta có thể chọn 2, 11a b 3 (2;11)n

Khi đó phương tr ình AC là: 2( 1) 11( 3) 0 x y 2x 11 31 0 y .Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương tr ình cácđường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giáctrong của góc A nằm trên đường thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giácABC.

Giải:

Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương tr ình: 4 3 4 0 2

2;42 6 0 4

x y x A

x y y

Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương tr ình 4 3 4 0 1

1;01 0 0

x y x B

x y y

Đườ ng thẳng AC đi qua điểm 2;4 A nên phương tr ình có dạng: 2 4 0 2 4 0a x b y ax by a b

Gọi 1 2 3: 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0 x y x y ax by a b

Từ giả thiết suy ra 2 3 1 2; ; . Do đó

2 3 1 2 2 2

2 2

| 1. 2. | | 4.1 2.3 |cos ; cos ;

25. 55.

0| 2 | 2 3 4 0

3 4 0

a b

a b

aa b a b a a b

a b

+ Với a = 0 0b . Do đó3

: 4 0 y + Với 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra 3 : 4 3 4 0 x y (trùng với 1 ).Do vậy, phương tr ình của đường thẳng AC là y - 4 = 0.

Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương tr ình: 4 0 5

5;41 0 4

y xC

x y y

Cách khác:Sau khi tìm được tọa độ điểm A và B. Tìm tọa điểm B’ đối xứng với B qua đường thẳng AD.Đường thẳng AC là đường thẳng đi qua A và B’Tọa độ điểm C AC BC Tọa độ điểm C


16/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292316

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng 1 : 2 5 0d x y .

2- : 3 6 – 7 0d x y . Lập phương tr ình đường thẳng đi qua điểm 2; 1P sao cho đường thẳng

đó cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đườngthẳng d 1, d 2.

Giải: Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương 1 (2; 1)a

; d2 có vectơ chỉ phương 2 (3;6)a

Ta có: 1 2. 2.3 1.6 0a a

nên 1 2d d và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P.Gọi d là đường thẳng đi qua 2; 1P có phương tr ình:

: ( 2) ( 1) 0 2 0d A x B y Ax By A B d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d1 (hoặc d2) một góc450

0 2 2

2 2 2 2

2 3cos 45 3 8 3 0

32 ( 1)

A B A B A AB B

B A A B

+ Nếu 3 A B ta có đường thẳng : 3 5 0d x y

+ Nếu 3 B A ta có đường thẳng : 3 5 0d x y Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. : 3 5 0d x y hoặc

: 3 5 0d x y Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài củađỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho.Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương tr ình

1

2 2 2 22

3 9 22 02 5 3 6 73 2 5 3 6 7

9 3 8 02 ( 1) 3 6

x y x y x y x y x y

x y

+ Nếu d // 1 thì d có phương tr ình3 9 0 x y c .

Do Pd nên 6 9 0 15 : 3 5 0c c d x y + Nếu d // 2 thì d có phương tr ình9 3 0 x y c .Do Pd nên 18 3 0 15 : 3 5 0c c d x y Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. : 3 5 0d x y hoặc

: 3 5 0d x y Ví dụ 8: Cho ABC đều, biết điểm 2;6 A và đường thẳng : 3 3 6 0 BC x y . Viết phươngtrình các cạnh còn lại.

Giải: Giả sử AB qua 2;6 A và có véc tơ pháp tuyến là: ;n a b

với 2 2 0a b (*).

Khi đó phương tr ình : 2 6 0 2 6 0 AB a x b y ax by a b Giả sử AC qua A (2;6) và có véc tơ pháp tuyến là: ;n c d

với 2 2 0c d (**).

Phương tr ình : 2 6 0 AC cx dy c b

0 02 22 2 2 2

3 3 3 31, 60 cos 60

2 . 12. ( 3) ( 3)

a b a b AB BC

a ba b

2 212( ) 2. 3 3a b a b (1)


17/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292317

0 02 22 2 2 2

3 3 3 31, 60 cos60

2 . 12. ( 3) ( 3)

c d c d AC BC

c d c d

2 212( ) 2. 3 3c d c d (2)

0 2 2 2 22 2 2 2

1. 60 . 2.

2 .

ac bd AB AC a b c d ac bd

a b c d

(3)

Từ (1), (2) và (3) có hệ phương tr ình:2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12( ) 4.( 3 3 ) ( 3 ) 0;(1')

12( ) 4.( 3 3 ) ( 3 ) 0; (2 ')

( ).( ) 4( ) ( ).( ) 4( 2 ); (3')

a b a b b b a

c d c d d d c

a b c d ac bd a b c d a c abcd b d

Từ hệ tr ên, ta tìm a, b thoả mãn (*). Tìm c, d thoả mãn (**).Từ phương tr ình (1’) chọn b = 0 suy ra a = 1.Thế vào phương tr ình (3’) ta được 2 23 0c d . Từ phương tr ình này chọn 23 1d c Thế d vào phương tr ình (2’) suy ra c = 1Vậy có a = 1, b = 0, c = 1, d = 3 Vậy : 2 0 AB x và : 3 2 6 3 0 AC x y Ví dụ 9: Cho ABC cân đỉnh A . Biết đường thẳng : 1 0; AB x y đường thẳng

: 2 3 5 0 BC x y . Viết phương tr ình cạnh AC biết nó đi qua 1;1 M .

Giải: Giả sử AC qua 1;1 M và có véc tơ pháp tuyến là: ;n a b

với 2 2 0a b (*).

Khi đó phương tr ình : 1 1 0 0 AC a x b y ax by a b

Theo bài, tam giác ABC cân đỉnh A nên ta có góc B = C hay:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1.2 1.( 3) 2. ( 3). 2 31( , ) ( , )

2. 131 1 . 2 ( 3) . 2 ( 3) . 13

a b a b AB BC AC BC

a b a b

2 2 2 2 2 2 2 2 22. 2 3 2.(2 3 ) 8 24 18a b a b a b a b a b a ab b

2 27 24 17 0a ab b chọn a = 1 suy ra1

717

b

b

Với a = 1, b = 1 ta có : 2 0 AC x y (loại vì AC //AB)

Với 71,17

a b ta có: 7 24: 017 17

AC x y thoả mãn.

Dạng 4: Phương tr ình đường thẳng theo đoạn chắn 1 x y

a b

Người ta sử dụng cách viết phương tr ình theo đoạn chắn trong những bài toán mà yêu cầuđầu bài đòi hỏi tính toán các giao điểm (a;0) và (0;b) của đường thẳng với trục hoành tr ụctung.Chỉ cần lưu ý r ằng ( ;0), (0; ) A a B b thì ,OA a OB b

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(1;2). Viết phương tr ình đường thẳng quaM sao cho OAB là tam giác vuông cân, ở đây A, B là giao điểm của đường thẳng đó với trụchoành, tr ục tung.

Giải


18/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292318

Giả sử d là đường thẳng cần tìm qua M.Gọi A(a;0), B(0;b) lần lượt là giao điểm của d với trục hoành, tr ục tung

Khi đó theo phương tr ình đoạn chắn , d có dạng 1 x y

a b

Vì M thuộc d nên ta có 1 2

1 1a b

Do tam giác OAB vuông cân đỉnh O nên ta có 2a b

Ta có hệ1 2

1 3

1; 1

a ba b

a ba b

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm 13 3 x y

và 11 1

x y

Ví dụ 2: Cho điểm M(4;3) . Viết phương tr ình đường thẳng d qua M sao cho nó tạo với 2tr ục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 3.

Giải Giả sử

Ox ;0 , Oy 0;d A a d B b

Khi đó theo phương tr ình đoạn chắn , d có dạng 1 x y

a b

Vì M thuộc d nên ta có 4 3

1 1a b

Ta có.1

3 . 3 3 . 6 (2)2 2OAB

a bS OA OB a b

Giải hệ (1) và (2) ta được2; 3

34;

2

a b

a b

Vậy có 2 đường thẳng cần tìm 12 3 x y

và2

14 3 x y

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Lập phương tr ình đường thẳng qua 2;1 M và tạo với

các tr ục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 .Giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm và ;0 , 0; A a B b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra:

: 1 x y

d a b

.

Theo giả thiết, ta có: 2 1 1, 8aba b

.

Khi 8ab thì 2 8b a . Nên: 12; 4 : 2 4 0b a d x y .

Khi 8ab thì 2 8b a . Ta có: 2 4 4 0 2 2 2b b b .Với 22 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y Với 32 2 2 : 1 2 2 1 2 4 0b d x y .Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm 3;1 M và 2; 2 . I Viết phương trìnhđường thẳng d đi qua M và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác IAB cân tại I .


19/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292319

Giải: Giả sử đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0), B(0;b), ( , 0)a b

Phương tr ình đường thẳng d có dạng: 1 x ya b

Do d qua M (3;1) nên 3 1 1 (1)a b

Đồng thời, IAB cân tại I nên2 2 2 2( 2) (0 2) (0 2) ( 2) 2 2

4

a b IA IB a b a b

a b

Với a b , thay vào (1) ta được 2; 2a b nên phương tr ình đường thẳng d là 2 0 x y Với 4,a b thay vào (1) ta được ; (6;2)a b hoặc ( ; ) (2; 2)a b

Từ đó, phương tr ình đường thằng d là 3 6 0 x y hoặc 2 0 x y Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là : 3 6 0d x y hoặc : 2 0d x y Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ O xy, cho điểm A(3;1). Lập phương tr ình đường thẳng dqua A và cắt chiều dương các tr ục tọa độ O x, O y thứ tự tại P, Q sao cho diện tích tam giácOPQ nhỏ nhất.

Giải: Từ giả thiết ta có ( ;0); (0; ), 0, 0.P a Q b a b

Đường thẳng d có phương tr ình: 1 x ya b

Đường thẳng d qua A(3; 1) nên 3 1 31 1 2. 2. 3aba b ab

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi63 12

a

ba b

.

Ta có 1 . . 3

2

OPQS a b . Nên OPQS nhỏ nhất ( 3 ) khi và chỉ khi

6

2

a

b

Vậy đường thẳng d có phương tr ình: 16 2 x y

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương tr ình đườngthẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho 3OA OB nhỏ nhất.

Giải:

PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b): : 1 , 0 x y

d a ba b

Điểm M(3;1) d nênô3 1 3 1

1 2 . 12C si

aba b a b

.

Mà min3 6

3 3 2 3 12 ( 3 ) 12 3 1 12

2

a b aOA OB a b ab OA OB

ba b

Phương tr ình đường thẳng d là: 1 3 6 06 2 x y

x y

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3;1). Viết phương tr ình đường thẳng qua M vàcắt 2 trục tọa độ Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA OB đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải:


20/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292320

Gọi phương tr ình đường thẳng cần tìm là: 1. x ya b

Với ;0 à 0; A a v B b

2

2 22

3 11

3 1( 3 1)

( ) ( 3 1) 3 1 3 3 330

a b

OA OB a b a b a ba b

a b Min OA OB a b b a

ab

Phương tr ình 13 3 1 3

x y

Ví dụ 8: Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho hai đường thẳng: 1 : 2 2 0;d x y

2 : 2 3 17 0d x y . Đường thẳng d đi qua giao điểm của 1d và 2d cắt hai tia Ox, Oy lần lượt

tại A và B. Viết phương tr ình đường thẳng d sao cho:2 2

1 1

OA OB nhỏ nhất.

Giải:Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng 1 2,d d thì (4;3) M .

Xét tam giác OAB vuông tại O ta có:2 2 2

1 1 1

OA OB OH (trong đó H là chân đường cao hạ từ

O xuống AB của tam giác OAB).

Để2 2

1 1

OA OB nhỏ nhất thì

2

1

OH nhỏ nhất OH lớn nhất H M .

Khi đó d nhận véc tơ OM

làm véc tơ pháp tuyến (4;3)OM

.Phương tr ình đường thẳng : 4 3 25 0d x y

Vấn đề 2: Sử dụng phương tr ình đường thẳng để t ìm điểm Dạng 1: T ìm điểm trong tam giác: Ví dụ 1: (CĐ – 2009) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh

1; 2C , đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương tr ình là

5 9 0 x y và 3 5 0 x y . Tìm tọa độ các đỉnh A và BGiải: Giả sử : 5 – 9 0, : 3 – 5 0. AM x y BH x y - Đường thẳng AC đi qua C và vuông góc với BH nên AC đi qua C và nhận 3; 1 BH u

làm

vtpt có phương tr ình : 3 1 –1 2 0 3 – 1 0. AC x y x y

- Tọa độ điểm A = AC AM là nghiệm của hê

3 – 1 0 11;4

5 – 9 0 4

x y x A

x y y

- Tọa độ điểm B BH 5 – 3 ; B m m

M là trung điểm BC 4 3 2;2 2

m m M

.

Mặt khác điểm M AM 4 3 2

5. 9 0 0 5;02 2

m mm B

.


21/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292321

Vậy tọa độ hai điểm cần tìm là 1;4 A và 5;0 B

Ví dụ 2: (Khối B- năm 2004) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểmC thuộc đường thẳng d: x - 2y -1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6

Giải Phương tr ình đường thẳng AB là 4 3 7 0 (1) x y Giả sử C(x,y). Ta có C thuộc đường thẳng d nên x - 2y -1 = 0

Mà 2 2

4 3 37 0 (2)4 3 7; 6 64 3 23 0 (2 ')4 3 x y x yd C AB x y

Giải hệ (1) và (2) ta được 7;3C

Giải hệ (1) và (2’) ta được43 27

;11 11̀

C

Ví dụ 3: (Khối B -2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đườngthẳng:d1: x + y – 2 = 0, d2: x + y – 8 = 0.T.m tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d1 và d2sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Giải

Ta có B thuộc d1, C thuộc d2 nên B(b;2 − b), C(c;8 − c). Từ giả thiết ta có hệ:

2 22 2

1 4 2 bc - 4b - c + 2 = 0. 02 8 18 1 4 3

b c AB AC

b b c c AB AC b c

Đặt x = b −1, y = c − 4 ta có hệ 2 22

3

xy

x y

Giải hệ trên ta đượ c x = −2, y = −1 hoặc x = 2, y =1.Suy ra: B(−1;3),C(3;5) hoặc B(3;−1),C(5;3) .

Ví dụ 4: (ĐHDB 1 – A 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại

đỉnh A có trọng tâm 4 1;3 3

G

, phương tr ình đường thẳng BC là 2 4 0 x y và phương tr ình

đường thẳng BG là 7 4 8 0 x y . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. Giải:

Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ 2 4 0 0

0; 27 4 8 0 2

x y x B

x y y

Vì ABC cân tại A nên AG là đường cao của ABC Vì GA BC Phương tr ình đườ ng thẳng

GA: 4 12 1 0 2 3 0 2 3 03 3

x y x y x y

GA BC = H là nghiệm của hệ 2 3 0 2

2; 12 4 0 1

x y x H

x y y

Ta có 2 AG GH

với ; A x y

4 1 4 1; ; 2 ; 1

3 3 3 3 AG x y GH

00;31 8

3 3

x

A y


22/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292322

Ta có: 3 4;0

3

A B C

G

A B C

G

x x x x

C y y y

y

Vậy tọa độ các đỉnh cần tìm là 0;3 , 4;0 , 0; 2 A C B

Ví dụ 5: (ĐHDB 2 – A 2007) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm

G(2,0) biết phương tr ình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4 14 0 x y ; 2 5 2 0 x y . Tìmtọa độ các đỉnh A, B, C.

Giải:

Tọa độ A là nghiệm của hệ 4 14 0 4

4;22 5 2 0 2

x y x A

x y y

Vì G(–2, 0) là tr ọng tâm của ABC nên3 2

3 2G A B C B C

G A B C B C

x x x x x x

y y y y y y

(1)

Vì , –4 –14 B B B B B x y AB y x (2)

Điểm 2 2 , 5 5C

C C C xC x y AC y ( 3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta có2

3 22 2

1 04 14 25 5

B C B B

C C C B

x x x y

x x y x

Vậy –4, 2 , –3, –2 , 1,0 A B C

Ví dụ 6: (ĐHDB 1 – B 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với5 AB ; C(–1;– 1), đường thẳng AB có phương tr ình 2 – 3 0 x y và tr ọng tâm tam giác

ABC thuộc đường thẳng – 2 0 x y . Hãy tìm tọa độ các đỉnh A và B.Giải:

Gọi trung điểm I của AB có tọa độ ; I a b

Ta có 2 – 3 0 1a b

2 13( 1) 2( 1) 2 1 2 133 2 ;3( 1) 2( 1) 2 1 3 3

3

GG

GG

a x

x a a bCG CI G

y b b y

Điểm 2 1 2 12 0 2 0 4 0 (2)3 3

a bG x y a b

Từ (1) và (2) 5 (5; 1)1

a I b

A, B thuộc đường tr òn (C) tâm I bán kính 52

nên (C) có phương tr ình :

2 2 5( ) : ( 5) ( 1)4

C x y

Tọa độ A và B là nghiệm của hệ phương tr ình


23/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292323

2 2 2 2 2

12 3 0 3 2 3 2 4;

25 5 1

3( 5) ( 1) ( 2 2 ) ( 1) ( 1)6;4 4 4

2

x y x y x y x y

x y y y y x y

Vậy 1 34; ; 6;2 2

A B

hoặc 3 16; ; 4;2 2

A B

Ví dụ 7: (Khối D 2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểmM(2;0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương tr ình 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0 .Viết phương tr ình cạnh AC

Giải:

Điểm A có tọa độ là nghiệm của hệ7 2 3 0 1

(1,2)6 4 0 2

x y x A

x y y

Điểm M(2,0) là trung điểm của AB, vậy suy ra 3; 2 B Phương tr ình đường thẳng BC có dạng x + 6y + m = 0 vì BC đi qua B và vuông góc vớiđường thẳng 6x – y – 4 = 0 suy ra m = 9.

Suy ra phương tr ình BC có dạng: x + 6y +9 = 0 Gọi trung điểm của BC là N, suy ra tọa độ N là nghiệm của hệ PT:

7 2 3 0 30,

6 9 0 2

x y N

x y

Suy ra tọa độ điểm 3; 1C

Vậy phương tr ình : 3 4 – 5 0 AC x y Ví dụ 8: (Khối B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, cóđỉnh 4;1 ,C phân giác trong góc A có phương tr ình x + y – 5 = 0. Viết phương tr ình đường

thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương.

Giải: Cách 1:Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua đường phân giác trong góc A nên ' 4;9C (bạn đọc tự

tìm)Đường tr òn (T) có tâm 0;5 I và bán kính 32 R IC nên có phương tr ình

22: 5 32T x y

- Vì ABC vuông tại A nên tọa độ điểm A T d là nghiệm của hệ

224

5 321 4;1 8

5 0 0

x x y

y A AC

x y x

- Đường thẳng AB là đường thẳng đi qua A và C’ nên có phương tr ình 4 0 x . Điểm 4; B AB B b

ABC vuông tại A nên

21

. 24 6 1 6 7 4;72 ABC

S AB AC AB b b B

Vậy phương tr ình của BC là: 3 4 –16 0 x y Cách 2:


24/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292324

Vì 4;1C , A vuông và phân giác trong góc A là : 5 0d x y song song với đường phân

giác cua góc phần tư thứ II và thứ IV nên / / 1 4 A C a

AC Ox y y x vì A d và 0 A

x nên 4; 1 A

8 AC Mặt khác, AB vuông góc với trục hoành nên 4; , 1 B b b

ABC vuông tại A nên

21. 24 6 1 6 7 4;7

2 ABC S AB AC AB b b B

Vậy phương tr ình của BC là: 3 4 –16 0 x y

Vậy điểm và đường thẳng cần tìm là: 4;7 B và : 3 4 16 0 BC x y

Ví dụ 9: (Khối B 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C củatam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm 1; 1 , H

đường phân giác trong của góc A có phương tr ình 2 0 x y và đường cao kẻ từ B có phương tr ình 4 3 1 0. x y

Giải: Phương tr ình d qua H(1; 1) và vuông góc với : x – y + 2 = 0 có phương tr ình

1 1 1 1 0 2 0 x y x y

Giao điểm I của d và là nghiệm hệ phương tr ình: 2 0

2;02 0

x y I

x y

Gọi K là điểm đối xứng của H qua thì I là trung điểm của H và K nên ( 3;1)K - Đường thẳng AC qua K và vuông góc đường cao: 4 3 –1 0 x y nên có phương tr ình

: 3 3 – 4 –1 0 3 – 4 13 0 AC x y x y

Tọa độ A AD là nghiệm hệ: 3 4 13 0 5

5;72 0 7

x y x

A x y y

- Đường thẳng CH qua H và vuông góc với HA nên có vtpt 2 3;4 HA

Phương tr ình : 3 1 4 1 0CH x y

Tọa độ C CH AC là nghiệm hệ:3 4 7 0 10 3

,3 4 13 0 3 4

x yC

x y

Hoặc giải hệ:. 0

C AC

AH CH

Ví dụ 10: (ĐHDB 1 – A 2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với

đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác trong của góc A lần lượt có phương tr ình là : 3x+ 4y + 10 = 0 và x – y + 1 = 0 , điểm 0;2 M thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một

khoảng bằng 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Giải:

Đặt d1 : 3x + 4y +10 = 0 ; d2 : x – y + 1 = 0Gọi là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với d2 , cắt d2 tại I và cắt AC tại N có phương tr ình : 2 0 x y Điểm I = d2 . Tọa độ I là nghiệm của hệ phương tr ình :

A

B

C

(d)


25/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292325

12 0 1 32 ;1 0 3 2 2

2

x x y

I x y

y

Tam giác AMN có d2 vừa là đường cao , vừa là phân giác nên là tam giác cân tại I là trung điểm

của MN N(1;1)AC là đường thẳng đi qua điểm N(1;1) và vuônggóc với d1 nên AC: 4(x –1) – 3(y –1) = 0 hay AC:4x – 3y –1 = 0Điểm A = AC d2 . Tọa độ A là nghiệm của hệ phương tr ình :

4 3 1 0 4(4;5)

1 0 5

x y x A

x y y

AB là đường thẳng đi qua điểm M(0;2) nhận (4;3) MA

làm vec tơ chỉ phương

AB: 2 3 4 8 04 3

x y x y

Điểm B = AB d1 . Tọa độ B là nghiệm của hệ phương tr ình3

3 4 8 0 13;1

3 4 10 0 44

x x y

B x y y

C cách M một khoảng bằng 2 nên C thuộc đường tr òn (S) có tâm M bán kính bằng 2 2 2: ( 2) 2S x y

Điểm C = AC (S) . Tọa độ C là nghiệm hệ phương tr ình :

22 2 22

4 14 1 1 14 3 1 0 3

3 31 334 7( 2) 2 25 56 31 02 25 253

x y x x y

x y y

x y x x y x x x

C(1;1) hoặc 31 33;25 25

C

Vì d2 là phân giác trong của góc A nên B và C nằm khác phía bờ là d2

7

– 1 . – 1 0 .( 1) 04 B B C C C C

x y x y x y

Cả hai điểm C trên đều thỏa mãn

Vậy 1(4;5); 3; ; (1;1)4

A B C

hoặc 31 33;25 25

C

Ví dụ 11: Cho tam giác ABC , biết hình chiếu vuông góc của C lên Ab là H(-1;-1). Đường phân giác trong của A có phương tr ình x y 2 0 , đường cao kẻ từ B có phương tr ình4x+3y-1=0. Tìm tọa độ đỉnh C.

Giải Giả sử 1d : x y 2 0 và 2d : 4x 3y 1 0 Gọi H'(a;b) là điểm đối xứng của H qua d1. Khi đó H’ thuộc đường thẳng AC.

1;1u

là VTCP của d1.


26/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292326

' 1; 1 HH a b

vuông góc với u

và trung điểm1 1

;2 2

a b I

của HH’ thuộc d1

Do đó tọa độ của H' là nghiệm của hệ phương tr.nh

1. 1 1 1 0

' 3;11 12 0

2 2

a b

H a b

Đường thẳng AC đi qua H’ vuông góc d2 nên có vectơ pháp tuyến là 3; 4v

và có phương

tr.nh 3 3 4 1 0 3 4 13 0 x y x y

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương tr.nh 3 4 13 0

5;72 0

x y A

x y

Đường thẳng CH đi qua 1; 1 H với vectơ pháp tuyến 1

3;42 HA

nên có phương tr.nh

3 1 4 1 0 3 4 7 0 x y x y

Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương tr.nh3 4 7 0 10 3

;

3 4 13 0 3 4

x yC

x y

Ví dụ 12: Trong mặt phẳng vớ i hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có C(-1;-2) đườ ng trungtuyến k ẻ từ A và đườ ng cao k ẻ từ B lần lượt có phương tr .nh là 5 9 0 x y và

3 5 0 x y Tim toạ độ các đỉnh A và B.Giải

Giả sử : 5 9 0 AM x y , : 3 5 0 BH x y Ac vuông góc : 3 5 0 BH x y nên Ac có phương tr ình dạng 3 0 x y m Vì C thuộc AC nên 3( 1) ( 2) 0 1m m Phương tr ình AC là 3 1 0 x y

A là giao điểm của AC và AM nên tọa độ A là nghiệm hệ 3 1 0 1;45 9 0 x y A x y

B thuộc : 3 5 0 BH x y nên 5 3 ; B m m

M là trung điểm BC nên4 3 2

;2 2

m m M

M thuộc AC4 3 2

5. 9 0 02 2

m mm

Vậy B(5;0) Ví dụ 13: ( Khối A – 2004)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(0;2) và 3; 1 B . Tìm tọa

độ trực tâm và tâm đường tr òn ngoại tiếp tam giác OABGiải

Đường thẳng qua O và vuông góc với 3;3 BA

có phương tr ình 3 x + 3y = 0

Đường thẳng qua B và vuông góc với 0;2OA

có phương tr ình 1 y

(Đường thẳng qua A và vuông góc với 3;1 BO

có phương tr ình 3 2 0 x y )

Giải hệ hai trong ba phương tr ình trên ta được trực tâm ( 3; 1) H Đường trung trực cạnh OA có phương tr ình 1 y


27/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292327

Đường trung trực cạnh OB có phương tr ình 3 2 0 x y

(Đường trung trực cạnh AB có phương tr ình 3 x + 3y = 0)Giải hệ hai trong ba phương tr ình trên ta được tâm của đường tr òn ngoại tiếp tam giác OABlà ( 3;1) I .Ví dụ 16: (DB-A – 2005)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A(1;0), B(-2;4), C(-1;4)và D(3;5). Giả sử d là đường thẳng có phương tr ình 3x-y-5=0. Tìm điểm M thuộc d sao cho

tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau. Giải

Ta có AB 5; 17CD . Gọi 0 0; M x y là tọa độ của điểm M

Do M thuộc d nên ta có 0 03 5 1 x y

Đường thẳng AB đi qua A, B có phương tr ình 4 3 4 0 x y Đường thẳng CD qua C và D có phương tr ình 4 17 0 x y Ta có

MAB MCDS S

0 0 0 0

0 0 0 0

4 3 4 4 171 1

.5. . 17. 4 3 4 4 17 (2)2 5 2 17

x y x y

x y x y

Từ (1) và(2) suy ra 0 0

0 0

7; 2

39; 32

x y

x y

Vậy có 2 điểm M cần tìm 7 ;23

M

và 9; 32 M

Ví dụ 17: (DB 1-A – 2004) Cho tam giác ABC có diện tích bằng32

và hai điểm A(2;-3),

B(3;-2). Tr ọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0. Tìm tọa độ đỉnh C của

tam giác.Giải

Gọi M là trung điểm của AB .5 5

;2 2

M

Phương tr ình của đường thẳng AB là 5 0 (1) x y

Vì G là tr ọng tâm của tam giác ABC nên1 1

3 2 ABG ABC S S

Giả sử 0 0;G x y . Tr ọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x-y-8=0 nên ta có

0 03 8 0 x y

Ta có 2 AB nên khoảng cách từ G đến AB 2 2;2

ABGS d G AB AB

0 00 0

5 25 1 (2)

22

x y x y

Giải hệ (1) và (2) ta được 0 0

0 0

1; 5 1;5

2; 2 (2; 2)

x y G

x y G

Do G là tr ọng tâm tam giác nên ta có 2; 2C hoặc 1; 1C


28/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292328

Ví dụ 18: (DB 2-A – 2004) Cho hình tam giác ABC có diện tích bằng 2. Biết A(1;0), B(0;2)và trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng y = x. Tìm toạ độ đỉnh C

Giải

- Nếu C nằm tr ên d : y=x thì A(a;a) do đó suy ra C(2a-1;2a).

- Ta có : 0 2

, 2

2

d B d

.

- Theo giả thiết : 2 21 4

. , 2 2 2 2 02 2

S AC d B d AC a a

2 2

1 328 8 8 4 2 2 1 0

1 3

2

a

a a a a

a

- Vậy ta có 2 điểm C : 1 21 3 1 3 1 3 1 3

; , ;2 2 2 2

C C

Ví dụ 19: (Khối D 2011) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh 4;1 , B tr ọng tâm 1;1G và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương tr ình

1 0. x y Tìm tọa độ các đỉnh A và C.Giải:

Gọi M là trung điểm của AC, ta có 3 7 ;12 2

BM BG M

Gọi N là điểm đối xứng của B qua phân giác trong của góc A và H là giao điểm của vớiđường thẳng BN. Đường thẳng BN có phương tr ình : x + y + 3 = 0

Tọa độ H là nghiệm của hệ phương tr ình : 3 0 ( 1; 2)1 0

x y H x y

H là trung điểm của BN2 2

(2; 5)2 5

N H B

N H B

x x x N

y y y

Đường thẳng AC qua 2 điểm M, N nên có phương tr ình: 4x – y – 13 = 0Điểm A là giao điểm của đường thẳng và đường thẳng AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ :

4 13 0(4;3)

1 0

x y A

x y

Điểm M là trung điểm của AC 2 3

2 1

C M A

C M A

x x x

y y y

(3; 1)C

Dạng 2: Tìm điểm trong tứ giác:Ví dụ 1: (khối A – 2005)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 2 đường thẳng 1 : 0d x y và

2 : 2 1 0d x y .Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết A thuộc d1; C thuộc d2;còn B và D thuộc trục hoành

Giải Vì A thuộc 1 : 0d x y nên A(t;t).Vì B, D nằm tr ên tr ục hoành nên A và C đối xứng với nhau qua BD nên ;C t t


29/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292329

Mà C thuộc 2 : 2 1 0d x y nên 2 1 0 1t t t Vậy điểm (1;1), (1; 1) A C

Trung điểm AC là I(1;0). Vì I là tâm của hình vuông nên1

1

IB IA

ID IA

Ta có

0

21 1Ox ( ;0) 1 1Ox ( ;0) 0

2

b

bb B B bd D D d d

d

Suy ra (0;0) B hoặc (2;0) B , (0;0) D hoặc (2;0) D Vậy tọa độ các đỉnh của hình vuông là (1;1), (1; 1) A C , (0;0) B , (2;0) D Hoặc (1;1), (1; 1) A C , (2;0) B , (0;0) D .

Ví dụ 2: (ĐH – A 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M

là trung điểm của cạnh BC, N là điểm tr ên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử 11 1;2 2 M và

đường thẳng AN có phương tr ình 2 – – 3 0. x y Tìm tọa độ điểm A. Giải:

Cách 1:Gọi cạnh hình vuông là a tức là AB BC CD DA a Trong tam giác vuông ADN

Ta có :2 2

101 1 1 1 32 3 3 3

AN AD DN a

AN DN CN DC AD a

Trong tam giác vuông ABM

Ta có :2 2

51 1 22 2

AM AB BM a

AM BM BC a

Tương tự trong tam giác vuông CMN ta tính được 56

a MN

Theo định lý hàm số cosin trong tam giác MAN ta có

cosA =2 2 2

2 . AM AN MN

AM AN

= 12

45o MAN

Phương tr ình đường thẳng AM : 11 1 0 ( ; )2 2 AM ax by a b n a b

2

2 2

32 1

cos 3 – 8 – 3 0 125( )

3

t a b

MAN t t t a b

(với at b

)

+ Với 3t tọa độ A là nghiệm của hệ : 2 3 0

4;53 17 0

x y A

x y

BA

CD N

M


30/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292330

+ Với 13

t tọa độ A là nghiệm của hệ : 2 3 0

1; 13 4 0

x y A

x y

Vậy có hai điểm A thỏa mãn là 4;5 A hoặc 1; 1 A

Chú ý: Để tính góc 45o MAN ta còn có thể làm như sau Nhận xét:

0

1tan cot( )

2 tan( )1 1

11 tan . tan 2 3 1 45

1 1tan tan2 3

BAM DAN NAM NAM BAM DAN BAM DAN

BAM DAN NAM

BAM DAN

Với 1 1tan ; tan2 3

BM DN BAM DAN

BA DA

Hoặc: 1

23tan tan( ) 11

1 2.3

MAN DAM DAN

Cách 2:Sau khi tính được 45o MAN Giả sử điểm ;2 – 3 A a a AN

22

111 3

15 3 52( , )

22 52 1d M AN

Trong tam giác vuông AHM ta có0

3 10. 2

2sin45 MH

MA MH

2 2 2 2 1; 1111 7 452 5 25 20 0 5 4 042 2 2 4;5 .

Aaa a a a a aa A

Ví dụ 3: (ĐH – D 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Cácđường thẳng AC và AD lần lượt có phương tr ình là 3 0 x y và – 4 0 x y ; đường thẳng

BD đi qua điểm 1 ;13

M

. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.

Giải: Cách 1:Nhận xét: , M AC M AD

AC cắt AD tại là nghiệm của hệ 3 0 – 4 0

x y

x y

3;1 A

Vẽ MN // AD (N AC)Đường thẳng MN đi qua M và song song với AN có phươngtrìnhlà : 3 – 3 4 0 MN x y

Trung điểm của MN : 4 4;6 6

K

A B

C D

N

M

I

K


31/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292331

Vẽ KE AD (E AD) KE : 4 4 06 6

x y

2;2 E

E là trung điểm AD 1; 3 . D Giao điểm của AC và EK : 0;0 I

I là trung điểm BD 1; 3 . B I là trung điểm AC 3; 1C

Cách 2:Đường thẳng BD đi qua điểm M và có vtpt ( ; )n a b


1

1 0 3 3 3 03

a x b y ax by a b

Do DAC 2 2 2 2 2 2 2 2

1.1 3.( 1) 3 3cos cos

1 1 . 1 ( 1) 1 ( 1) . (3 ) (3 )

a b BDA DAC BDA

a b

2 32 10 3 03

a ba ab b

b a

Đến đây chia làm hai trường hợp tìm được đường thẳng BD, ta sẽ tìm được tọa độ điểm D AD BD và tìm tọa độ điểm C. Loại trường hợp 3b a vì : 3 8 0 / / BD x y AC

Ví dụ 4: (ĐH – B 2002) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có

tâm 1 ;02

I

, phương tr ình đường thẳng AB là 2 2 0 x y và 2 AB AD . Tìm toạ độ các đỉnh

A, B, C, D biết rằng A có hoành độ âm Giải:

5( , ) 5 2 5 5

2d I AB AD AB BD .

Phương tr ình đường tròn đường kính BD:2

21 252 4

x y

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ: 2

2

21 25 2

( 2;0), (2; 2)2 42

2 2 00

x

y x y A B

x x y

y

vì 0 A

x

(3;0), ( 1; 2)C D Vậy bốn đỉnh của hình chữ nhật là 2;0 , 2; 2 , 3;0 , 1; 2 A B C D

Cách 2:Phương tr ình đường thẳng qua I vuông góc với AB là : 2 1 0d x y

Tọa độ giao điểm M của d và B là nghiệm của hệ: 2 1 0 5(0;1) 2 5

2 2 0 2

x y M MI AD MI AM

x y

Gọi ; A a b với 0a ta có: 2 2( 1) 5 AM a b

Do A thuộc AB nên 2 2 0 2 1a b a b


32/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292332

2 0 2

5 1 5 ( 2;2)2 2 ( )

(2;2)

(3;0)

( 1; 2)

b ab A

b a loai

B

C

D

Chú ý:Có thể tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của I trên đường thẳng AB, sau đó tìm A, B là giaođiểm của đường tr òn tâm H bán kính HA với đường thẳng AB Ví dụ 5: Trong mặt phẳng toạ độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương tr ình cạnh AB :

2 1 0 x y , đường chéo BD : 7 14 0 x y và đường chéo AC đi qua điểm 2;1 E . Tìm tọa

độ các đỉnh của hình chữ nhật. Giải:

Cách 1:

Điểm B AB BD toạ độ điểm B là nghiệm của hệ: 2 1 0 7

7; 37 14 0 3

x y x B

x y y

Giả sử: 2 1; : 2 2 1 0; 7 14; : 7 14 0 A a a AB y D d d BD x y 6 2 ; 3 , 7 21; 3 ; 7 2 15; AB a a BD d d AD d a d a

Vì . 0 3 15 5 30 0 3 AB AD AB AD a d a a

( không thỏa ) hoặc 3 6 0d a

3 6 3;6 2a d AD d d

. Hơn nữa: 7; 3C C BC x y

ABCD là hình chữ nhật nên 3 7 4

4; 9 26 2 3 9 2

C C

C C

d x x d AD BC C d d

d y y d

6 13; 3 7 , 2; 8 2 EA d d EC d d

và 3d

Lại có: 2;1 , E AC EA EC

cùng phương

2

6 13 8 2 2 3 7 5 6 0d d d d d d 2 0 1; 0 , 7; 3 , 6; 5 , 0; 0d a A B C D

Vậy, 1;0 , 7;3 , 6;5 , 0;0 A B C D là các đỉnh của hình chữ nhật cần tìm.

Cách 2:Ta có (7;3) BD AB B , phương tr ình đường thẳng BC: 2x + y – 17 = 0Điểm (2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7 A AB A a a C BC C c c a c ,

2 1 2 17;

2 2a c a c

I

là trung điểm của AC, BD.

Điểm 3 18 0 3 18 (6 35;3 18) I BD c a a c A c c

Ba điểm E, A, C thẳng hàng , EA EC cùng phương 2 7 ( ) –13 42 06

c loaic cc

Với c = 6 A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết phương tr ình của mộtđường chéo là: 3 7 0 x y , điểm 0; 3 , B diện tích hình thoi bằng 20. Tìm tọa độ các đỉnh

còn lại của hình thoi.Giải:

Vì 0; 3 B không thuộc đường thẳng 3 7 0 x y nên


33/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292333

B

A

C

D

I

Phương tr ình AC: 3 7 0 x y , 0; 3 B

Phương tr ình BD 3 9 0 x y Tọa độ I AC BD (3; 2) I Do I là trung điểm BD nên (6; 1) D Gọi ( ;7 3 ) A a a AC ta có 2 10 BD

2 2

3(7 3 ) 91.2 10 102 1 32.

ABCD ABD

a a

S S

2

4

a

a

do vậy 1 12 2

(2;1); (4; 5)

(4; 5); (2;1)

A C

A C

Cách khác:Sau khi tìm được tọa độ điểm D. Ta có ( ;7 3 ) A a a AC , vì C đối xứng với A qua I nên

6 ; 11 3C a a 1

. 102 ABCD

S AD BD một phương tr ình theo a, từ đó ta được tọa độ điểm A và C

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD với A(1;1) ; B(4;5) .Tâm I

của hình bình hành thuộc đường thẳng d : 03 y x . Tìm toạ độ các đỉnh C , D biết rằngdiện tích hình bình hành ABCD bằng 9 .

Giải:

Giả sử C(a;b) 1 1;2 2

a b I

. Do 08 bad I (1)

Phương tr ình đường thẳng AB 01344

1

31

y x y x

Lại có5

134);(

bah ABC d

Theo giả thiết4 3 11 1 9

. .5 4 3 1 9 4 3 1 92 2 5 2 ABC a b

S AB h a b a b

(2)

Từ (1) và (2) ta được2

6

a

b

hoặc

327

24

7

a

b

Do đó1 1

2 2

( 2; 6) ( 5; 10)

32 24 53 52; ;

7 7 7 7

C D

C D

Ví dụ 8: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD

có phương tr ình 3x – y = 0, đường thẳng BD có phương tr ình x – 2y = 0, góc tạo bởi haiđường thẳng BC và AB bằng 450. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hìnhthang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.

Giải:

Tọa độ điểm D là:3 0 0

2 0 0

x y x

x y y

D(0;0)O

Vecto pháp tuyến của đường thẳng AD và BD lần lượt là 1 23; 1 , 1; 2n n


34/76


TP- Sơn La- 2014 0164980292334

cos ADB =2

1 ADB = 450 AD = AB (1)

Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng 450 BCD = 450 BCD vuông cân tại B

DC = 2AB. Theo bài ra ta có: 21 3.

242 2 ABCD

ABS AB CD AD

4 4 2 AB BD

Gọi tọa độ điểm ; 2 B

B x B x , điều kiện 0 B x

2

2 8 104 22 5 B

B B

x BD x x

hoặc 8 10

5 B x

8 10 4 10;

5 5 B

Vectơ pháp tuyến của BC là 2;1 BC n

Vậy phương tr ình đường thẳng BC là: 2 4 10 0 x y Ví dụ 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ABCD là h�

Documents

Xuctu.com Phuong Trinh Duong Thang Trong Mat Phang