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Physik IV: QuantenmechanikHistorische Höhepunkte:
1900 Planck Einführung der „Hilfsgröße“ h (Wirkungsquantum)Erklärung des Spektrums der Wärmestrahlung
1905 Einstein Einführung des Lichtquants (Photon), E h Erklärung des Photoeffekts
1907 Einstein Gitterschwingungsquanten (Phononen), Evib h Erklärung der spezifischen Wärme der Festkörper
1913 Bohr Einführung des Drehimpulsquants, ħ h Erklärung des Wasserstoffspektrums
1924 de Broglie Postulat der Welle-Teilchen-Dualität, p ħ kVorhersage von Materiewellen
1925 Schrödinger Wellen-Quantenmechanik
Heisenberg Matrizen-Quantenmechanik
Geburt der modernen Quanten(feld)theorie
VL Phänomenologie (mit Experimenten) Anwendungen & Computer-Simulationen zur abstrakten Theorie
1. Die Plancksche Quantenhypothese
1.1. Wärmestrahlung
Wärmestrahlung Temperatur-abhängige e.m. Strahlung von Körpern
Beispiel: Wärmestrahlung unserer Sonne
Beispiel: Kosmische Infrarot-Hintergrundstrahlung vom Universum Licht von der Materie/Antimaterie-Vernichtung wurde 3…4105 Jahre nach dem Urknall freigesetzt als Kerne und Elektronen neutrale Atome bildeten
Folgerung: Auch durch Vakuum getrennte Körper können sich mittels Austausch von Wärmestrahlung im thermischen Gleichgewicht befinden
1.1.1. Erzeugung und Absorption von Strahlung
Beobachtung: Es gibt zwei Strahlungsklassen
Typ 1: Diskrete Frequenzspektren (Linienspektren)• bei atomaren molekularen Gasen nicht zu großen Drucks
unabhängige Partikel• T-unabhängig; Eigenschaft der Atomhüllen-Struktur
Bohrsches Atommodell
Typ 2: Kontinuierliche Frequenzspektren• bei festen flüssigen Strahlern, Gasen großen Drucks, dichten Plasmen• in charakteristischer Weise T-abhängig
Beispiele: Glühlampe, Bogenlampe, Metallschmelze, Sonnenplasma
Emissionsvermögen:
Oberflächenelement des Strahlers ( Projektion
Strahlungsrichtung )
dF
d
td
WddPE
von dF in d emittierte Strahlungsleistung
d,Fd
Beobachtung: E hängt von der Oberflächenbeschaffenheit abschwarze Oberfläche E großspiegelnde weiße Oberfläche E klein
Definition:
dFd
PdE EEmissionsvermögen:
PE Geometriefaktor E
Strahlungsleistung pro Fläche und Raumwinkel
TEE
Kirchhoffscher Strahlungssatz: TATKTE TATKTE
Integrales Absorptionsvermögen:
TAA d
dA
absorbierte Strahlungsleistung
auftreffende Strahlungsleistung
Gedankenexperiment:
unterschiedl. Oberflächen ①, ② 2
.a.i
1 PP TT
① ②
idealer Spiegel
Vakuum
P1 P2
thermisches Gleichgewicht
2. Hauptsatz (Thermodynamik) 122211 PA1PPA1P
unabhängig von Oberfläche TPTATPTA 1221 Geometriefaktor
, EkP 2geom2 1geom1 EkP
TKTA
TE
TA
TE
2
2
1
1
Defintion: Ein Körper heißt ideal schwarz, wenn seine Oberfläche alle elektromagnetische Strahlung vollkommen absorbiert, d.h. A 1.
Folgerung: Ein ideal schwarzer Körper besitzt das größtmögliche Emissionvermögen für thermische Strahlung.
Kirchhoffscher Strahlungssatz: TATKTE TATKTE
Technische Realisierungen von schwarzen Körpern:
a) schwarze Oberfläche großer Rauhigkeit Vielfachstreuung, allmähliche Absorption, kaum Reflexion
b) Hohlraum mit geschwärzten Innenwänden
Schwarzkörperstrahlung Hohlraumstrahlung universelles Emissionsspektrum für gegebene Temperatur
Praktische Realisierung:
Heizung
Thermoelement
Wandtemperatur T
V
kleines Loch
E*
Prinzip:
1.1.2. Charakteristische Größen thermischer Strahlung
Strahlungsfeld Überlagerung ebener Wellen
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
a) Energiedichte eines Strahlungsfeldes
3mJ2
00 wΩdωdEεw
Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00
ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 200
π4
w
Ωd
wd
π4
w
Ωd
wd
θcos
cosθsinsinθsin
c
ωk
θcosddd
Spektrale Energiedichten eines Strahlungsfeldes
Hzm
Jνν
200π2
ω200ν 3wΩdEεπ2ΩdωdνEεw
42 mJ
λλ
200λ
cπ2ω
cπ2200λ wΩdEεΩdωdλEεw
www νcν
νλc
νcλλ
2
2
λdwνdw w λν
Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00
π4
w
Ωd
wd νν
π4
w
Ωd
wd νν
π4
w
Ωd
wd λλ
π4
w
Ωd
wd λλ
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
b) Intensität bzw. Energieflussdichte eines Strahlungsfeldes
ωdEcε
IωdHEωdSI
200
mW
00 2
n
dFnk
Ωdωdeθ,ω,EE rktωi0
ωdEεπ4w 200 ωdEεπ4w 200 wcIπ4 wcIπ4
Spezialfall: Isotropes Feld ωEE 00
c) Messgröße: Strahlungs- bzw. Leuchtdichte einer Quellfläche
Spezialfall: S* ist richtungsunabhängig Quellfläche heißt Lambert-strahler. Hohlraumöffnungen sind Lambertstrahler!
Die Strahlungsdichte S* ist die pro Raumwinkel und projizierter Emissionsfläche in einem weit entfernten Detektor registrierte Leistung
td
Wdd
dF
Steradm
WS
θcosFdΩdtd
WdS
2
dF
dFcos
Analog: Spektrale Strahlungsdichten S νdSd
ν
S λdSd
λ
td
Wdd
dF
Zusammenhang mit der Energiedichte des Quellfeldes:
Ωd
wdc
ΩdVd
Wdc
θcosFdΩdtd
WdS
dF
c dtθcosFdtdcVd
Analog: Ωd
wdcS ν
ν Ωd
wdcS λ
λ
Isotropes Quellfeld:
π4
w
Ωd
wd λν,λν, cwSπ4 λν,λν,
cwSπ4 λν,λν,
Strahlungsleistung auf infinitesimaler Empfängerfläche:
Ωd 222
r
θcosFd
td
Wd 1
dF1
1
.
dF2
2
r
QuelleDetektor
r
θcosFdFdθcosSΩdFdθcosS
td
Wd
22
21111111
Bestrahlungsstärke (Intensität) am Detektor:
FdθcosStdFd
Wd
1
22
F
1r
θcos11
2
1 FdθcosStdFd
Wd
1
22
F
1r
θcos11
2
1
Strahlungsleistung auf ausgedehnter Empfängerfläche:
φdθcosdθcosSFd
FdθcosSFdtd
Wd
2
2
22
F
11
F
2r
θcos11
1
Lambertstrahler .constS1
dF1
r r ( , )
2
dF2θcosdφdrθcosFd 2
22
φdθcosdSFdtd
Wd
2F
2112
11 Fdθcos1Sπtd
Wd 1m
21
1 Fdθcos1Sπtd
Wd 1m
21
1 π0,2φ
mθ0,θ
Emission in gesamten Halbraum:
( m ) FdSπ
td
Wd 11
Halbraum
1 FdSπtd
Wd 11
Halbraum
1
1.1.3. Hohlraumstrahlung
Definition: Der ideale Hohlraum hat das Volumen V. Die Wände befinden sich im thermischen Gleichgewicht (Temeratur T).
Folgerung 1:
Leistungsbilanz der Wände an jeder Stelle:
td
νWd
td
νWd EA
td
νWd
td
νWd EA
absorbiert emittiertFolgerung 2: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist isotrop.Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht Temperatur T.
Angenommen, am Ort der Testscheibe wäre die Strahlung anisotrop:
TdF
Intensität groß Intensität
klein
Drehung
Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
Intensität klein
T T dF
Intensität groß
Folgerung 3: Das Strahlungsfeld (Hohraumstrahlung) ist auch homogen.
Beweis: Betrachte Testscheibe. Therm. Gleichgewicht Temperatur T.Angenommen, es gäbe 2 Orte mit unterschiedlicher Strahlungsintensität:
TdF
Intensität groß
Intensität klein
Verschiebung
Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik.
TdF
Intensität groß
Intensität klein
T T
Folgerung 4:
Leistungsbilanz der Testscheibe an jedem Ort in jeder Orientierung
T dF
d
td
Wd A
td
Wd E
νdΩdFdSA ννtdWd A
νdΩdFdE νtdWd E
Thermische Emission und Absorption eines Körpers der Temperatur T sind über die Strahlungsdichte der zugehörigen Hohlraumstrahlung verknüpft: STK νν
STK νν
ASE ννν
td
dW
td
dW EAKirchhoffsches Strahlungsgesetz
Folgerung 5: Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung
Wandgeometrie und Beschaffenheit beliebig (V )
verwende o.B.d.A. ideal leitenden Würfel, Kantenlänge a
a
aa
Beachte: Es gibt 2 Polarisationen pro Mode
Physik III Eigenfrequenzen der stehenden Wellen (Moden)
0,0,0\l,m,n,jmnν 30
222a2
cnmj ℕ
Kubischer Hohlraumresonator
νν3a
nmj
jdmdnda
1lim2
ννj,m,n
3a
nmj
1a
1lim2νN
# Polarisationen j,m,nr
8
π4
νN 3
cν
3π8 νN 3
cν
3π8
ννn 2
c
π8νdNd
3Spektrale Modendichte
Modendichte N() Zahl der Moden in [ 0 , ] pro Volumen
Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung
a
aa
0,0,0\l,m,n,jmnν 30
222a2
cnmj ℕ
ν
0
2
0j,m,n3a
ca2
rdrΩda
1lim2
3ν
c
a2
3
1
1.1.4. Das Plancksche Strahlungsgesetz
ννn 2
c
π83Spektrale Modendichte der Hohlraumstrahlung:
Mittlere Energie der Moden: TWν
TkTw 3
2
c
νπ8ν TkTw 3
2
c
νπ8ν TkS 2
2ν
c
ν2π4cw
ν TkS 2
2ν
c
ν2π4cw
ν
Rayleigh-Jeansches Strahlungsgesetz
Klassisches Modell: Jede Mode ist an harmonische Schwingungen der Atome in den Wänden gekoppelt. Im thermische Gleichgewicht folgt (Äquipartitionstheorem): TkTkTkTkTW BB2
1B2
1ν
Ekin Epot
Spektrale Energiedichte der Hohlraumstrahlung:
TWνnTw νν TWνnTw νν
Experiment nur OK für 0 (z.B. Infrarot, T 5000 K)
Ultraviolett-Katastrophe:
νdTwTwνTw ν2
ν
Plancksche Hypothese: Jede Mode ist an quantisierte harmonische Schwingungen der Wandatome gekoppelt: νhnW ν νhnW ν n ℕ
,,Hilfsgröße” h: Plancksches Wirkungsquantum: sJ10626,6h 34
Das Energiequantum h wird von dem Feldquant des elektromagneti-schen Feldes, dem Photon, getragen. Die Energie W n h entspricht der Energie von n Photonen der Frequenz im Hohlraum.
Postulat: ,,Besetzungszahlen” n() folgen aus der klassischen Statistik
Boltzmannsches Verteilungsgesetz Tkνh
TkW
νν nexpexpWp ν
Normierte Wahrscheinlichkeitsverteilung für n:
0j
βνhj
βνhn
ν
e
enp
Tk
1β
Tk
1β mit
0j
βνhj
βνhn
ν
e
enp
Tk
1β
Tk
1β νhnTWν
Also:
0j
βνhj
0n
βνhn
ν0n
νν
e
eνhnTWnpTW
2βνh
βνh
βνh0n
βνhn
0n
βνhn
e1
eνh
e1
1
βe
βeνhn
geometrische Reihe
βνhe1
1
1e
νh
e1
eνhTW
βνhβνh
βνh
ν
1e
νhTW
Tkνhν
1e
νhTW
Tkνhν
ννn 2
c
π8νdNd
3 ννn 2
c
π8νdNd
3 TWνnTw νν TWνnTw νν
Plancksches Strahlungsgesetz
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νh2w
π4
cS
Tkνh2
3
νν
1e
1
c
νh2w
π4
cS
Tkνh2
3
νν
1e
1
c
νh2S
c
νS
Tkνh3
5
ν
2
λ
1e
1
c
νh2S
c
νS
Tkνh3
5
ν
2
λ
Tkνh1e Tk
νh
Infrarot-Grenze: h ≪ k T (klassischer Grenzfall ,,h 0”)
TkνTw 2
c
π8ν 3 TkνTw 2
c
π8ν 3
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Ultraviolett-Grenze: h ≫ k T Tkνh
Tkνh
e1e eνTw Tkνh
3
3
c
hπ8ν
eνTw Tk
νh
3
3
c
hπ8ν
Wiensches Strahlungsgesetz
Vorhersage von Form und Normierung des thermischen Spektrums
1
10
100
0,1
0,01
1000
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
Tkchλ
34
5
ch
Tk2λS
Rayleigh-Jeans
Planck
Wien
MaxSlnMaxS λλ
0
5
10
15
20
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tkchλ
34
5
ch
Tk2λS
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
Position des Maximums:
Tkνhx Abkürzung:
1elnxln5.constSln xλ
9651,4xe15xSln0 xλdxd
1ee
x5
λλdd
x
x
!
KTGHz1039651,4ν hTk
max KTGHz1039651,4ν hTk
max 2014,0λ KT
mm898,2Tkch
max 2014,0λ KT
mm898,2Tkch
max
.constKmm898,2λT max Wiensches Verschiebungsgesetz
x0
0.4
0.8
1.2
1.6
0 2 4 6 8 10
32
3
ch
Tkπ8νw
Gesamte Energiedichte:
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
1e
1
c
νhπ8Tw
Tkνh3
3
ν
xdxνdw hTk
1e133
hTk
c
hπ8ν x3
4
ch15
π8
01e
xch
Tkπ8 Tkxdw 33
5
x
3
3
4
4
ch15
π2π4
c TkwS 23
4
4151 π
Leistungsabgabe von Lambertstrahler (Fläche F) in Halbraum: S F
428
ch15
kπ24td
Wd KmW1067,5σ,TFσ 23
45 Stefan-Boltzmann-Gesetz
Stefan-Boltzmann-Konstante
Tkνhx Abkürzung:
Quantenmechanik
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
1e
1
c
νh2S
Tkνh3
5
λ
Anmerkungen:
• Experimentelle Messung des Hohlraumspektrums– Bestätigung der Planckschen Theorie– Messung von h durch Anpassung der Planck-Formel an
gemessene Spektren
• Vorgriff: De Broglies Geniestreich Gilt das vielleicht auch für Korpuskeln (Elektronen, Protonen, Viren, Katzen, ... ), die dann auch Wellennatur haben?
Postulat: ωE ωE kp
kp
• Interpretation der Photonen als Korpuskeln mit Wellennatur (?)
– Energie:
– Impuls: π2
h π2h ωνhE γ
|k||k|νhE|p| π2h
λh
c1
c1
γ
0m,cv γγ
1.2. Spezifische Wärme von Festkörpern
1.2.1. Klassische Theorie
Erinnerung:Innere Energie eines Mols (NA Teilchen) einer Substanz: U
Molare spezifische Wärme C const.VT
UV
C const.VT
UV
Avogadrokonstante
1-atomige Gase f 3 (Translation: 3, Rotation: 0)
2-atomige Gase f 5 (Translation: 3, Rotation: 2)
mehratomige Gase f 6 (Translation: 3, Rotation: 3)
Festkörper f 6 (Ekin: 3, Epot: 3)
(Schwingungen der Gitteratome)
RC 23
V RC 2
5V
R3CV
R3CV
Äquipartitionstheorem: Jeder Freiheitsgrad trägt den gleichen Anteil ½ RT der inneren Energie U.
kNR AGaskonstante
# Freiheitsgrade
RCTRU 2f
V2f
Experimenteller Befund:
0 1000 T [K]
3R
CVklassische Theorie
PbC
Wärmestrahlung: Elektronen schwingen um Atomkerne Photonen
Innere Energie: Atome schwingen um Gitterplätze Phononen
Klassische Theorie versagt, besonders drastisch bei• kleinen Temperaturen• Festkörpergitter aus leichteren Atomen• stark gebundenen Festkörpergittern
hohe SchwingungsfrequenzenDéjà-vu: Ultraviolettkatastrophe !! ??
1.2.2. Das Einstein-ModellPostulat ( Verallgemeinerung der Planckschen Hypothese ):
• Die Schwingungsenergie harmonischer Oszillatoren (Eigenkreis-frequenz ) ist stets quantisiert und ist ein ganzzahliges Vielfaches des Grundquants .
• Bei Festkörpern ergibt sich aus der ,,Federkonstante” der Atombindung an den Gitterplatz und das Grundquant der Energie heißt Phonon. Ein Schwingungs-Zustand eines Gitteratoms besteht aus n Phononen:
ω
ωnE vib ωnE vib
Vorgriff: Quantenmechanisch korrekt für harmonische Oszillatoren:
macht hier keinen Unterschied (Glück gehabt)
ωnE 21
n ωnE 21
n
ωNA23
quantenmechanische Grundzustandsenergie
ω21
Mittlere Schwingungsenergie: Wie bei Hohlraumstrahlung TWν
1e
ω
1e
νhE
TEθ
Tkνhvib
k
ωE ωθ
Einstein-Temperatur
NA schwingende Atome, 3 räumliche Freiheitsgrade der Schwingung
1e
θR3
1e
θkN3
1e
ωN3EN3U
TθE
TθE
ATθAvibA EEE
2
2
Tθ
V
V
1e
eR3
T
UC
TEθ
TEθ
E
Klassischer Grenzfall: T ≫ E
0 R3CV 0eR3C Tθ2
Tθ
VEE Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ E
Experiment 0TC 3V
1.2.3. Das Debye-ModellEinstein: Atome an imaginäre Gitterpunkte gekoppelt 1 FrequenzDebye: Atome an alle Nachbaratome gekoppelt Frequenz-Spektrum
2 transversale Schwingungen pro Raumrichtung:
a a
a2vT
minmaxTνa2λ T
maxν
1 longitudinale Schwingung pro Raumrichtung:
a2vL
minmaxLνa2λ L
maxν
Effektive Grenzfreq.
Modellparametergν
1.1.3. Spektrale Modendichte pro Polarisationstyp: ν 2
c
π43
(c Phasengeschwindigkeit) νπ4νπ4νn 33L
3T v
32
v1
v22 νπ4νπ4νn 33
L3T v
32
v1
v22
a ≫ Atomabstand (wie bei Hohlraumstrahl.) 0νν Lmin
Tmin 0νν L
minTmin
Kontinuumsgrenzfall
a
aa
V
3g3
1v
π12 νV 3
Debye-Grenzfrequenz:
Debye-Temperatur:
31
A31
A
VN2
gVN
π43
g π6vωvν
gkh
gkD νωθ
νννn 0 νννn 0 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3c22 νπ4νn 3v
32 νπ4νn 3v32
Planck Debye Einstein
0g
Normierung von n() im Debye-Modell:
A
ν
0
N3νdνnVg
# Schwingungsmoden
1e
νhTW
Tkνhν
1e
νhTW
Tkνhν
v
νπ12νn
3
2
v
νπ12νn
3
2
νdTWνnVU gν
0
ν νdTWνnVU gν
0
ν
g
Tkνh
3
3g
A
g
Tkνh
3
3
ν
01exp
ννπ4
N3
ν
01exp
νv
hπ12 νdhπ12 νdVU
31
A
VN
π43
g vν
xdT UTθ
01e
x4
θ
R9D
x
3
3D
xdT UTθ
01e
x4
θ
R9D
x
3
3D
kNRθ
A
k
νh
Dg
Spezifische Wärme:
D
2
Tθ
2T
θTθ3
3D
D
Tθ
3
3D
θ
01exp
expθ
θ
R9θ
01exp
θθ
R9xTθ
V
V θd θdTT
UC
)(
)(
)(
xd1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
xd
1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
Tkνh xSubst.
Tk
νh
x
3
3g
A
g
01e
x4
hTk
ν
Nh9 xd
xd1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
xd
1e
ex
θ
TR9C
Tθ
02x
x43
DV
D
Klassischer Grenzfall: T ≫ D
0
3R
T
θ
3
1
θ
TR9xdx
θ
TR9xd
1x1
1x
θ
TR9C
3
D
3
D
Tθ
0
2
3
D
Tθ
02
43
DV
DD
Quantenmechanischer Grenzfall: T ≪ D
Tθ
TRπ
5
12xd
1e
ex
θ
TR9C 3
3
D
4
02x
x43
DV
4154 π
Erweiterungen:
• Mehrere Grenzfrequenzen (z.B. für anisotrope Kristalle)
• Beachte Phonon-Dispersion in spektraler Dichte kωω
Rätsel: Freies Elektronengas in Metallen trägt nicht spürbar zu CV bei.
Klassische Erwartung: TkC 23
ElektronenV
Quantenmechanik: Elektronen besitzen den Spin ( Drall) 21
Pauli-Verbot: Zwei identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) können sich nicht im gleichen Quantenzustand befinden.
Theorie des Fermigases (VL Festkörperphysik, VL Quantenstatistik) Die Dichte n() der Energiezustände wächst mit ½ an.
n()
F
T 0 K
voll besetzt
Fermi-Kante
Fermi-Energie
angeregtn()
F
kTkTnicht
anregbar
T 0
F ≫ kBZimmertemperatur nur winzige Energieaufnahme durch thermische Anregung an der Fermikante
1.3. PhotonenNewton, Descartes: Korpuskeltheorie des Lichtes nicht erfolgreichHuygens, Fresnel, Hertz, Maxwell: Wellentheorie erfolgreich
Moderne Beobachtung: Das UV-Licht eines Lichbogens führt zur sofortigen Zündung einer anderen Funkenstrecke; ,,Photonen” (Licht-Korpuskel) schlagen Elektronen aus Elektrode 1.3.1. Der Photoeffekt
Experiment von Hallwachs (1887):
UV-LichtMetallplatte
Elektrometer
Plattenladung
negativ
positiv
neutral
Beobachtung
Entladung
keine Entladung
positive Aufladung bis zum ,,Haltepotential”
Die Photozelle (Lenard, 1902)
Iph
Photo-strom
U
R
Strahlungsdichte S*
Photokathode
ElektronenVakuumröhre
Iph
UU0
Sättigung
Kompensations-Spannung
Befunde:
a) S* ↗ Iph↗
Wellenbild Korpuskelbild
✔ ✔ b) Sättigungsstrom unabhängig von U
sobald Raumladungseffekte klein✔ ✔
c) eU0 max. kinetische Energie ausgelöster Elektronen abhängig von , nicht aber von S* ↯ ✔
Iph
UU0
Iph
U
S*
Wellenbild Korpuskelbild d) Photostrom setzt bei Grenzfrequenz g
ein. g hängt vom Kathodenmaterial ab.↯ ✔
Iph
Mat
eria
l 1M
ater
ial
2
g1 g2
S*
↯ ✔
Iph
UU0
Iph
U
S*
e) Die Gegenspannung hängt charakteristisch von der Frequenz ab.
e U0
g0
hαtan hαtan
Austrittsarbeit
Iph
UU0
Iph
U
S*
Wellenbild Korpuskelbild
↯ ✔
↯ ✔
f) Zwischen Lichteinfall und Photostrom gibt es keine messbare Verzögerung
Beispiel: Austrittsarbeit aus Kathode
Hohe Bestrahlungsintensität
Elektronendichte
Zeitverzögerung (Wellenbild)
Ws103eV2 192cmmW1I
215 cm10n sm100t
Iph
UU0
Iph
U
S*
Wellenbild Korpuskelbild
↯ ✔
Hypothese (Einstein, 1905; Nobelpreis 1912): Licht ist in Photonen der Energie h quantisiert. Diese Quantisierung ist fundamental und hängt nicht mit der Quantisierung harmonischer Oszillatoren zusammen, wie bei der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.
νhEγ
Vakuum-Potential
E
0
Fermi-Kante
Leitungselektronen
EF
kinE νhE kin Einstein-Gleichung
Grenzfrequenz: Grenzwellenlänge: h
ν g
hν g
chλ g
ch
λ g
Iph
UU0
Iph
U
S*
Messung von U0 als Funktion von h, νhEUe kin0 νhEUe kin0
e U0
g0
ν hg ν hg
Austrittsarbeit
hαtan hαtan
λ ]eV[nm1240ch
g λ ]eV[nm1240ch
g
Oberfläche eV g nm
Au 5,3 234 UV
Nb 4,3 288 UV
Cs 2,14 579 Visible
Ta / Cs 1,3 954 Near IR
Anwendung: Cs-aktivierte Photokathoden Quanteneffizienz typisch 25
Anwendung: Photomultiplier
Experiment: Korpuskelnatur des Lichts
Punktquelle (Spalt)
PM 0PM 1
PM 1
PM 2
PM 2
Hohe Intensität kontinuierlicher Photostrom in allen PMs
Kleine Intensität statistisch verteilte, kurze Stromstöße in einzelnen PMs
Moderner Detektor für Korpuskelstrahlung ( Teilchen):
LEP-Speicherring, CERN, Genf (1989-2000)
e e
GeV10050E GeV10050E
e e Ionisationsspur des positiven Myons
Ionisationsspur des positiven Myons
Ionisationsspur des negativen Myons
Ionisationsspur des negativen Myons
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines sehr harten Photons, abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines weniger harten Photons,
abgestrahlt vom
Absorptionssignal eines weniger harten Photons,
abgestrahlt vom
1.3.2. Der Comptoneffekt (Experiment: 1922, Nobelpreis: 1927)
Blende
Photon-Detektor
Bragg-Kristall
(Monochromator)
Röntgen-Quelle
Blende Blende
Target-Material (Substanz mit schwach gebundenen
Elektronen in Atomhüllen)
0λ Ungestreute Strahlung
drehbarer Monochromator- /
Detektor-Arm
αλλ SS
Messprogramm: Für jeden fest eingestell-ten Streuwinkel drehe
Monochromator- / Detektor-Arm (), bis das Detektor-Signal
maximal ist.
Klassische Theorie:
E
0quasi-freies
Elektron in Atom
Schwingung des Elektrons Hertzscher Dipol
ebene Welle
S
Streuwellenlänge: S 0
Beobachtung: Neben der klassischen Streuung gibt es eine gestreute Komponente mit S > 0. Diese nicht-klassische Komponente wird umso stärker, je härter (je kleiner ) die einfallende Strahlung ist.
Sk
pcE
kp
ωE
SS
SS
SS
pcE
kp
ωE
SS
SS
SS
Sωcπ2
Sλ
e
e
E
p
Streuung im quantenmechanischen Photonen-Bild:
schwach gebunden: EB ≪ E
quasi-frei, in Ruhe
0k
0ωcπ2
0λ
e
me
pcE
kp
ωE
γγ
0γ
γ
pcE
kp
ωE
γγ
0γ
γ
Physik 3 sinλ2λλ 2φ2
C0S sinλ2λλ 2φ2
C0S
m102,426λ 12cm
hC e
m102,426λ 12cm
hC e
Compton-Wellenlänge des Elektrons
λ,sinλ2λλΔλ cmh
C2φ2
C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm
hC2
φ2C0S e
Bemerkungen:
a) Stets 0 und S gemischt. Grund: Kollektive Streuung am Atom, MAtom ≫ me.
b) Compton-Formel experimentell bestätigt noch eine unabhängige Messung von h.
c) nur groß falls 0 ≲ OC
X- und -Strahlung:
2φ2
λλ
λΔλ sin2
0
C
0
keV511cmωE0
C
0
C
0 λλ2
eλλ
λch
0γ
d) Ein Photon mit 0 C hat relativistische Masse me. Beim klassischen zentralen elastischen Stoß würde das Photon stehenbleiben, S . Hier:
CSC21802
C λ3λλ2sinλ2Δλ
e) Inverser Compton-Effekt: Streuung ultrarelativistischer Elektronen / Positronen (z. B. von Pulsaren, schwarzen Löchern in aktiven galaktischen Kernen) an weichen Photonen (z.B. thermischen Photonen der kosmischen 2,7K-Hintergrundstrahlung).
AGN Cas ASchwarzes Loch mit Akkretionsscheibe
relativistischerJet
Zurückführung auf Compton-Streuung durch Lorentztransformation ins Ruhesystem des e.
λ,sinλ2λλΔλ cmh
C2φ2
C0S e λ,sinλ2λλΔλ cm
hC2
φ2C0S e
1.3.3. Photonen im Gravitationsfeld Turm
Detektor
Quelle
H
1
2
R.V. Pound and G.A. Rebka: Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337
21 ννν
Relativistische Photonmasse: 22 c
νh
c
Em
E im Gravitationsfeld:
νΔhνhνh
HgmΔmEΔ
21
G
2G
22 c
Δ
c
Hg
ν
νΔ
c
Hgν
h
HgmνΔ
Bestätigt mittels Mößbauer-Spektroskopie
Bemerkungen:• Rotverschiebung bei
Abstrahlung von Sonne:
2 0 unendliche Rotverschiebung Schwarzschildradius RS G M c2 Schwarze Löcher• Wellenbild: gleiches Resultat (Zeitdilatation im Gravitationsfeld)
( Physik III)
2cR
MG
ν
νΔ
1.3.4. Der Mößbauer-Effekt (Doktorarbeit: 1958, Nobelpreis: 1961)
Atomhülle/-kerne quantisierte Energieniveaus (Linienspektren)Beispiel: Fixiertes Atom
01 EEEΔνh
E
E0
E1 Lebensdauer T1
E1 e
Emission
EΔνh
E
E0
E1 Lebensdauer T1
E1
e
Resonanzabsorption
, 2 , E1 h Natürliche Linienbreite
T
1ω
1
T
1ω
1
ωe
EδT 11 EδT 11 ωI
T
1ω
1
T
1ω
1
ωa
ωI
Beispiel: Atomhülle Emission / Absorption im sichtbaren Bereich
eV1E γ Ο eV1E γ Ο 10ν
νΔ 10 10
ν
νΔ 10
Na-D-Linie:
Hz105ν
nm589λ14
8
ννΔ
7
102
Hz101νΔ
Beispiel: Atomkern Emission / Absorption im X / -Bereich
eVM1eVk10E γ ΟΟ eVM1eVk10E γ ΟΟ
57Fe-Linie:
13ννΔ 103
eVk14,4γFeFe
νFeCo5726Abregung
5726
e5726Einfang-K
5727
vM
eω
aω aω
Rückstoßeffekt bei freien Atomen: E
E0
E1
e
k,ωAbsorption:
MvM
kMkMk cv
21
cv
21
cω
cω
a
22a vMk
vMωω
a
221
a
M2
kωω
2a
a
M2
kωω
2
a
M2
kωω
2
a
E
E0
E1
e
k,ωEmission:
M
vMkk
vMωω
e
221
e
M2
kωω
2
e
M2
kωω
2
a
M2
kωω
2
a
M2
kωω
2
e
M2
kωω
2
e
2
22
ea cM
ω
M
kωωωΔ
cM
ω
ω
ωΔ
2
cM
ω
ω
ωΔ
2
Rückstoßeffekt:
Atomhülle: Na-D-Linie
ωe
ωI
a
.natωωΔ810
ωωΔ 10210
Emission / Reabsorption möglich
Co5727Atomkern:
.natωωΔ137
ωωΔ 103107,2
Reabsorption nicht möglich
ωe a
ωI
Rückstoßfreie Emission / Absorption (Mößbauer-Effekt):
Atom im Kristallgitter M MKristall 0ω
ωΔ
a) keine Phonon-Anregung (überwiegt bei T ≪ D)
b) Phonon-Anregung EG ea ωω
Gea EΔωω Messvorrichtung:
v ≲ O (1
ms) Emitter e
Absorber a
Detektor
ecv ν1ν
Dopplereffekt
Zählrate
v
e
ea
ννν
R cv
Anwendungen: • Kernniveaus in e.m.-Feldern des Gitters• Kernstruktur (Quadrupolmoment)• Gitterdynamik (Phonon-Anregung)• Gravitationsrotverschiebung
1.3.5. Röntgenbeugung ( Max von Laue: Experiment 1912, Nobelpreis: 1914 )
• 1912 bekannt: Harte e.m. Strahlung (X, ) hat Teilchencharakter• Offene Frage: Hat harte e.m. Strahlung auch Wellencharakter?• Problem: Wellenlängen harter Strahlung im Å-Bereich. Wie stellt man
Beugungsgitter her?• Max von Laue Verwende Kristallgitter zur Röntgenbeugung!
Vakuumröhree
Röntgen-Strahlen
Kristall
Fotoplatte
Beugungsbild
v. Laue, Friedrich, Knipping (1912)
Resultat: a) Welle / Teilchen Dualität der e.m. Strahlung
b) Kristalle haben periodische Raumgitterstruktur
Unendliche Folge von Einheitszellen
Translationsgitter: 321321mmm m,m,mcmbmamT321
ℤ
a) Kristalle und Netzebenen:
• Einheitszelle:
b
a
caufgespannt durch Gittervektoren c,b,a
Gitterkonstanten cc,bb,aa
Einheitsvolumen bacVE
• Netzebenen:Durch beliebige drei nicht-kollinieare Gitterpunkte wird eine Netzebene aufge-spannt, die unendlich viele Gitterpunkte ent-hält. Beliebige Gittertranslationen verschieben die Netzebene in parallele Netzebenen. So entsteht die zugehörige Netzebenenschar. Beispiel: 2-D Gitter
b
a
c
• Flächennormalen:
bac,acb,cba EEE Vπ2
Vπ2
Vπ2
bac,acb,cba
EEE Vπ2
Vπ2
Vπ2
Eigenschaften:
0bcaccbabcaba
π2ccbbaa
0bcaccbabcaba
π2ccbbaa
E
3
V
π2bac
E
3
V
π2bac
Reziproke Gittervektoren:
Reziprokes Gitter: 321321nnn n,n,ncnbnanG
321
ℤ
• Reziprokes Gitter: ( Handout) c,b,a
Das reziproke Gitter zum reziproken Gitter ist das Ursprungsgitter
ccbbaa
Reziprokes Gitter: 321321nnn n,n,ncnbnanG
321
ℤ
• Anschauliche Bedeutung des reziproken Gitters:
Vektoren stehen senkrecht auf Flächen der Einheitszelle
Vektoren stehen senkrecht auf Netzebenenscharen
c,b,a
0G321 nnn
Unschön: Zuordnung zwischen Netzebenenschar und reziproken Gittervektoren ist uneindeutig.
321321321 nnnnnnnknknk GGkG
• Millersche Indizes einer Netzebenenschar: h, k, l
Wähle: (Vorzeichen von q identisch mit dem des ersten nicht-verschwindenden Index n1, n2, n3)
321 n,n,nGGT|q| Wähle beliebigen Vektor Netzebenenschar. 0G
321 nnn
Millersche Indizes: teilerfremd kh qn
qn
qn 321 kh q
nq
nqn 321
Richtung senkrecht zur Netzebene: h, k, l 1-deutig kh kh
kh
G
G
kh kh
kh
G
G
a
Ebene: n3 0
b
• Eigenschaften der Millerschen Indizes
Achsabschnitte der ersten Netzebene vom Ursprung aus:
c
,k
b,
h
a
ah1
bk1
Abstand benachbarter Netzebenen: G
π2d
kh
kh
G
π2d
kh
kh
dh k l
a
Ebene: n3 0
b
• Konstruktion der Millerschen Indizes
Suche Achsgitterpunkte auf einer Netzebene: cm,bm,am 321
a
b2
Suche kleinstes p mit pℕ m1,2,3 ℤ 321 m
pmp
mp ,k,h
Hier: m1 1, m2 2, m3 p 2 h 2, k 1, l 0
Schreibweise: 012
3
2
1
m2m
1m
2p
01k
2h
Netzebenenschar h k l
dhkl
Glanzwinkel
Gitterpunkte punktförmige Streuer
konstruktive Interferenz einer Netzebene
dhkl
Konstruktive Interferenz aller Netzebenen: Bragg-Bedingungλmθsind2 hk
,2,1m
, Messung von dhkl
dhkl , fest Monochromator für
b) Monochromatische Röntgenbeugung: Bragg-Reflexion
nnTsΔ 2
k
n
0k
0n
c) Spektral kontinuierliche Röntgenbeugung: Laue-Beugung
Bremsstrahlung in Röntgenröhre oder Synchrotronstrahlung Bei der Laue-Beugung überlagern sich die Bragg-Reflexe aller
Netzebenen für die jeweils passenden Wellenlängen.
321 mmmTT
001 nnTsΔ
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk λπ2
1n
nk λπ2
c,nγb,nβa,n
c,nγb,nβa,nα 000000
Laue-Bedingung: Für alle m1, m2, m3 ist der Gangunterschied der Streuwellen ein Vielfaches der Wellenlänge des betrachteten Laue-Reflexes. mλmnTnTΔs 0
ℤ
mλmnTnTΔs 0
ℤ
nnTsΔ 2
k
n
0k
0n
321 mmmTT
001 nnTsΔ
mπ2kΔcmkΔbmkΔammπ2kTkTkΔT 3210
m1, m2, m3 beliebig es gibt h, k, l ℤ mit
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk
0
0λπ2
0
1n
nk λπ2
1n
nk λπ2
c,nγb,nβa,n
c,nγb,nβa,nα 000000
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
Formulierung 1:
γcosγcoscncnckckckΔcπ2
βcosβcosbnbnbkbkbkΔbkπ2
αcosαcosananakakakΔahπ2
0λπ2
0λπ2
0
0λπ2
0λπ2
0
0λπ2
0λπ2
0
Laue-Gleichungen:
cλ
0
bλ
0
aλ
0
γcosγcos
k βcosβcos
h αcosαcos
Für feste Einfallsrichtung ( 0, 0, 0) und jede feste Wahl von h, k, l:• 4 Unbekannte: , , , • 3 Laue-Gleichungen• Normierung: 1γcos,βcos,αcosnn
Für jede Wahl von h, k, l existiert genau ein Laue-Reflex bei einer spezifischen Wellenlänge
c,nγb,nβa,n
c,nγb,nβa,nα 000000
Laue-Reflexe treten genau dann auf, wenn ein Gittervektor des reziproken Gitters ist.
kΔ
Formulierung 2:
Darstellung von in BasiskΔ c,b,a
cawbavaaukΔahπ2
cwbvaukΔ
uπ22 0 0
hu
cbwbbvabukΔbkπ2
vπ20 2 0
kv
ccwbcvacukΔcπ2
wπ20 0 2
w
GkΔ kh
GkΔ kh
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
π2kΔc
kπ2kΔb
h π2kΔa
Beziehung zur Bragg-Bedingung:
(Millersche Indizes)~,k
~,h
~
0k
k
k
kΔθsin2kΔ λ
π2
khGkΔ
~,k
~,h
~m,k,h,,khGGTm
~
k~
h~d
π2~
k~
h~khλ
π2 mGmGθsin2
λmθsind2 ~k~
h~
Bragg-Bedingung
Folgerung: Für existieren keine Bragg-Reflexe mehr.
Das Medium wird optisch homogen.
~k~
h~
~,k
~,h
~dsup2λ
Typischer Wert: dmax 51010 m Vergleich: vis 5107 m
d) Analyseverfahren:
Laueverfahren ( Punktreflexe)
kontinuierliche Röntgenstrahlung
Kristall (fest orientiert)
Drehkristall-Verfahren ( Punktreflexe)
monochromatische Röntgenstrahlung
Kristall
feste Drehachse
Debye-Scherrer-Verfahren ( Linienreflexe)
monochrmatische
Röntgenstrahlung
Kristallpulver (orientierungslos)
Film
ωE γ ωE γ kp γ
kp γ
e) Fazit: Röntgenstrahlung hat sowohl Wellencharakter (Kristall-beugung...) als auch Teilchencharakter (Comptoneffekt,...). Das gilt auch generell für elektromagnetische Strahlung.
|p| λh
λπ2
γ |p| λ
hλπ2
γ
Kernreaktor
Neutronen-Absorber
Moderator Neutronen-Abbremsung
(Thermalisierung)
Kollimator
thermische Neutronen
Kristall
Detektor
T 300 K En 25 meV
ckeV7Em2p nnn m108,1 10
phn
Knüller: Laue-Reflexe wie bei Röntgenstrahlung mit 1,81010
m
Neutronen sind auch Teilchen mit Wellencharakter!
... und Elektronen ? Dito !
Hypothese: Alle ,,Teilchen” (Neutrinos, Kerne, Moleküle, Kristalle, Katzen, Planeten, ...) haben Wellencharakter und alle ,,Kraftfeld-wellen” (elektromagnetisch, Gravitation, …) haben Teilchencharakter.
Quantentheorie Teilchen sind WellenQuantenfeldtheorie Kraftfeldwellen sind Teilchen