Physique - excerpts.numilog.comexcerpts.numilog.com/books/9782100762675.pdf · † Le théorème de Millman ou la loi des nœuds en termes de potentiels à tous les nœuds sauf àlamasseetàlasortie

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Physiqueexercices incontournables

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PSI PSI*JEAN-NOËLBEURY

Physiqueexercices incontournables

2e ÉDITION

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Avec la collaboration scientifique de SÉBASTIEN FAYOLLE

Conception et création de couverture : Atelier3+

© Dunod, 2014, 2017

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoffwww.dunod.com

ISBN 978-2-10-076267-5

76267 - (I) - OSB 80° - LUM - NRI

Imprimé en France

JOUVE1, rue du Docteur Sauvé, 53100 MAYENNE

Dépôt légal : juillet 2017

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Table des matières

Partie 1Électronique

1. ALI-Oscillateurs 32. Électronique numérique 183. Modulation – Démodulation 25

Partie 2Phénomènes de transport

4. Transport de charge 335. Transfert thermique par conduction 376. Diffusion de particules 597. Fluides en écoulement 64

Partie 3Bilans macroscopiques

8. Bilans d’énergie 759. Relation de Bernoulli 9110. Bilans dynamiques et thermodynamiques 95

Partie 4Électromagnétisme

11. Champ électrique en régime stationnaire 12112. Condensateur 14113. Champ magnétique en régime stationnaire 145

14. Électromagnétisme dans l’ARQS 15115. Milieux ferromagnétiques 180©D

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Table des matières

Partie 5Conversion de puissance

16. Puissance électrique en régime sinusoïdal 18917. Transformateur 19718. Conversion électro-magnéto-mécanique 20119. Machine synchrone 20520. Machine à courant continu 22021. Conversion électronique statique 228

Partie 6Ondes

22. Phénomènes de propagation non dispersifs 24323. Ondes sonores dans les fluides 25424. Ondes électromagnétiques dans le vide 26925. Absorption et dispersion 28926. Interfaces entre deux milieux 308

Index 313

Les énoncés dans lesquels apparaît un astérisqueannoncent des exercices plus difficiles.

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Partie 1

Électronique

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1. ALI-Oscillateurs 31.1 : Montages fondamentaux avec des amplificateurs linéaires

intégrés ALI 31.2 : Oscillateur de relaxation 81.3 : Oscillateur à pont de Wien* 111.4 : Oscillateur à résistance négative 14

2. Électronique numérique 182.1 : Théorème de Shannon 182.2 : Filtrage numérique avec Python 21

3. Modulation – Démodulation 253.1 : Modulation d’amplitude 253.2 : Démodulation d’amplitude 28

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1ALI-OscillateursExercice 1.1 : Montages fondamentaux avec des amplificateurs

linéaires intégrés ALI

On considère quatre montages avec des amplificateurs linéaires intégrés idéaux.

On pose β = R3R3 + R4 .

1. Déterminer la fonction de transfert pour les figures 1 et 2.2. Déterminer la relation entre vE(t) et vS(t) par deux méthodes pour la figure 3.À t = 0, on applique une tension continue vE = −V0 < 0 au dispositif et lecondensateur est déchargé. Déterminer la tension de sortie vS(t) pour t > 0.3. Pour quelle valeur de vE la tension de sortie de la figure 4 passe-t-elle de lavaleur vS = Vsat à vS = −Vsat ? Tracer le graphe représentant vS en fonction devE. Comment appelle-t-on ce montage ?

+A

++

A

A

+A

figure 1 figure 2

figure 3 figure 4

vE

vEvE

vE vS

vSvS

vS

R1R1

R2R2

R3R4

R

C

Analyse du problèmeCet exercice reprend quelques montages fondamentaux avec des amplificateurs li-néaires intégrés en régime linéaire ou en régime de saturation. On va voir plusieursméthodes permettant d’obtenir l’équation différentielle.©

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3

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Partie 1 . Électronique

Cours : La méthode générale pour la mise en équation dans les montages avec desamplificateurs linéaires intégrés est d’écrire :

• Le théorème de Millman ou la loi des nœuds en termes de potentiels à tous les nœuds saufà la masse et à la sortie.

• L’équation de fonctionnement de l’amplificateur linéaire intégré : saturation positive ousaturation négative ou régime linéaire (ε = 0 pour un amplificateur linéaire intégré idéal).

Figure 1 : On suppose l’amplificateur linéaire intégré idéal en régime linéairepuisqu’on a une rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse. Aucun courantne rentre dans les entrées (+) et (−) et ε = 0 − vA = 0.On a deux inconnues : vA et vS. Il faut deux équations :

• Théorème de Millman en A :

vA

(1

R1+ 1

R2

)= vS

R2

• Amplificateur linéaire intégré idéal en régime linéaire :

ε = vE − vA = 0Comme vA = vE, on a :

vS

vE= 1 + R2

R1

C’est un montage non-inverseur.

Figure 2 : On suppose l’amplificateur linéaire intégré idéal en régime linéairepuisqu’on a une rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse. Aucun courantne rentre dans les entrées (+) et (−) et ε = 0 − vA = 0.On a deux inconnues : vA et vS. Il faut deux équations :


vA

(1

R1+ 1

R2

)= vE

R1+ vS

R2


ε = 0 − vA = 0Comme vA = 0, on a :

vS

vE= −R2

R1C’est un montage inverseur.

Figure 3 :Première méthodeOn cherche à obtenir directement l’équation différentielle.

4

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Chapitre 1 . ALI-Oscillateurs

On suppose l’amplificateur linéaire intégré idéal en régime linéaire puisqu’ona une rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse. Aucun courant ne rentredans les entrées (+) et (−) et ε = 0 − vA = 0.

On a deux inconnues : vA et vS. Il faut donc deux équations :

• Loi des nœuds en termes de potentiels en A :ve

R− i = 0

Il faut relier l’intensité i à la tension de sortie vS. Soit q la charge du

condensateur. On a i = dqdt

et q = C(vA − vS).• Amplificateur linéaire intégré idéal en régime linéaire :

ε = 0 = 0 − vASoit :

ve

R+ C dvS

dt= 0

On obtient finalement :

vS(t) − vS(0) = − 1RC

tˆ

0

ve(t)dt

On a donc un montage intégrateur. L’amplificateur linéaire intégré doit resteren régime linéaire pour fonctionner en intégrateur.Deuxième méthodeOn se place en régime sinusoïdal forcé pour calculer la fonction de transfert.On pourra en déduire directement l’équation différentielle.Les deux équations sont :


VA

(1

R+ jCω

)= VE

R+ VS jCω


ε = 0 = 0 − VA©Dun

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5

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On a alors :

VS = −VE

jRCω

Soit :

jωVS = −VERC

On en déduit l’équation différentielle :dvSdt

= − veRC

On retrouve bien le même résultat qu’avec la méthode 1.À t = 0, vS = 0 et vE = −V0. On intègre de 0 à t :

vS(t) − 0 = V0RC

t

Ce résultat est valable uniquement jusqu’à 15 V où on a une saturation del’amplificateur linéaire intégré.

t0

vS(t)

Vsat

Figure 4 :On n’a pas de rétroaction de la sortie sur l’entrée inverseuse. Le régime li-néaire ne peut pas être stable. On a donc uniquement un régime de saturationpositive ou négative. On définit :

ε = vA − veCours :On a plusieurs modes de fonctionnement possibles de l’amplificateur linéaire intégré.Pour analyser un tel montage, on fait des hypothèses de fonctionnement et on vérifie leshypothèses à la fin des calculs.

1re hypothèse :Supposons l’amplificateur linéaire intégré en régime de saturation positive.Les deux équations sont :


vA

(1

R3+ 1

R4

)= vS

R46

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Soit :

vA = R3R3 + R4 vS = βvs

• Amplificateur linéaire intégré en régime de saturation positive :

vS = +VsatRemarque : On aurait pu appliquer la formule du diviseur de tension pour calculerVA puisque i+ = 0.

Vérification des hypothèses : Il faut que ε > 0. Comme vA = βVsat, on doitavoir :

vE < βVsat

2e hypothèse :Supposons l’amplificateur linéaire intégré en régime de saturation négative.Les deux équations sont :

• Théorème de Millman en A : C’est la même équation qu’avec la premièrehypothèse. On a :

vA = βvs• Amplificateur linéaire intégré en régime de saturation négative :

vS = −VsatVérification des hypothèses : Il faut que ε < 0. Comme vA = −βVsat, ondoit avoir :

vE > −βVsatConclusion : On a la caractéristique suivante :

vE

vS

—βVsat βVsat

Vsat

—Vsat

Explication du sens de parcours du cycle :

• On augmente la tension vE à partir d’une valeur inférieure à −βVsat. Latension de sortie vaut Vsat. vS vaut Vsat tant que vE est inférieure à βVsat.©

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On a un basculement de la tension de sortie de Vsat à −Vsat quand vE vautβVsat. Au-delà, vS vaut −Vsat puisque vE est comparée à −βVsat.

• On diminue la tension vE à partir d’une valeur supérieure à βVsat. Latension de sortie vaut −Vsat. vS vaut −Vsat tant que vE est supérieure à−βVsat. On a un basculement de la tension de sortie de −Vsat à Vsat quandvE vaut −βVsat. Au-delà, vS vaut Vsat puisque vE est comparée à βVsat.

Une fois le basculement effectué, le seuil de comparaison change. Ce mon-tage permet d’éviter des rebonds successifs. Le cycle est appelé cycle àhystérésis.

Exercice 1.2 : Oscillateur de relaxationOn considère le montage suivant reprenant les figures décrites dans l’exerciceprécédent. À l’instant t = 0, la tension de sortie vS est égale à vS = Vsat =14,7 V et le condensateur est déchargé. On donne : R1 = 10 k� ; R2 = 4,7 k� ;R = 10 k� ; C = 10 nF ; R3 = 4,7 k� ; R4 = 10 k�.1. Étudier l’évolution ultérieure des tensions vS(t), v1(t) et v2(t).2. Tracer les graphes de ces trois tensions et calculer la fréquence des signauxobtenus.

+ + +

v1 v2 vS

R1

R2

R3R4

R

C

Analyse du problèmeDans l’exercice précédent, on a analysé en détail le fonctionnement de chaque mon-tage à amplificateur linéaire intégré. On travaille en régime transitoire. Il faut doncétudier le montage en partant de t = 0 avec une saturation positive d’après l’énoncé.On reste en saturation positive tant que v2 est inférieure à βVsat. On calcule letemps t1 correspondant au premier basculement puis le temps t2 correspondant audeuxième basculement.Il ne faut pas utiliser les notations complexes pour analyser le montage globale-ment car le circuit n’est pas linéaire. Par contre, on peut utiliser les complexes pourdéterminer l’équation différentielle reliant v1 et v2.

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1. Régime de saturation positive entre t = 0 et t = t1 :La tension de sortie vaut : vS = 14,7 V.On en déduit que : v1 = −R2

R1Vsat = −6,9 V.

On a vu quedv2dt

= −v1RC

= 1RC

R2R1

Vsat.

On a donc :

v2(t) − v2(0) = 1RC

R2R1

Vsatt = 69000 t

La tension aux bornes d’un condensateur ne peut pas varier de façondiscontinue. Le condensateur est déchargé à t = 0, donc :

v2(t) = 69000 t

Vérification des hypothèses : Il faut que v2 < βVsat.Pour t = t1, v2 atteint βVsat = 4,7 V. Il y a basculement de la tension desortie de Vsat à −Vsat.Pour t = t1, on a : 69000t1 = βVsat. D’où :

t1 = 6,81 × 10−5 s

Régime de saturation négative entre t = t1 et t = t2 :La tension de sortie vaut : vS = −14,7 V.On en déduit que : v1 = R2

R1Vsat = 6,9 V.

On a vu quedv2dt

= −v1RC

= − 1RC

R2R1

Vsat.

On a donc :

v2 (t)− v2 (t1) = − 1RC

R2R1

Vsat (t − t1) = −69000 (t − t1)

La tension aux bornes d’un condensateur ne peut pas varier de façon dis-continue. La tension aux bornes du condensateur vaut 4,7 V à t = t1,donc :

v2 (t) = 4,7 − 69000 (t − t1)Vérification des hypothèses : Il faut que v2 > −βVsat.Pour t = t2, v2 atteint −βVsat = −4,7 V. Il y a basculement de la tensionde sortie de −Vsat à Vsat.Pour t = t2, on a : v2(t2) = −4,7 = 4,7 − 69000(t2 − t1). D’où :

t2 − t1 = 1,36 × 10−4 s

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Attention au montage intégrateur avec les conditions initiales. Il est inutile de rem-placer t1 par une expression qui peut être compliquée. Il est préférable de garderdes termes en t − t1.

2. Régime de saturation positive entre t = t2 et t = t3 :La tension de sortie vaut : vS = 14,7 V.On en déduit que : v1 = −R2

R1Vsat = −6,9 V.

On a vu quedv2dt

= −v1RC

= 1RC

R2R1

Vsat.

On a donc :

v2 (t)− v2 (t2) = 1RC

R2R1

Vsat t = 69000 t

La tension aux bornes d’un condensateur ne peut pas varier de façon dis-continue. La tension aux bornes du condensateur vaut −4,7 V à t = t2,donc :

v2(t) = −4,7 + 69000(t − t2)Vérification des hypothèses : Il faut que v2 < βVsat.Pour t = t3, v2 atteint βVsat = 4,7 V. Il y a basculement de la tension desortie de Vsat à −Vsat.

-4,7

4,7

-6,9

6,9

0t

14,7

-14,7

t1 t2 t3

vS

vS vS

v1v1

v1

v2

Oscillations périodiques :On a des signaux périodiques de période T = t3 − t1.D’après l’étude précédente, on a t3 − t2 = t2 − t1. La période des oscillationsest :

T = 2(t2 − t1)

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La fréquence des signaux est donc :

f = 1T

= 3670 Hz

Exercice 1.3 : Oscillateur à pont de Wien*L’amplificateur linéaire intégré est idéal et fonctionne en régime linéaire. La ten-

sion vE est une tension sinusoïdale, de pulsation ω. On pose ω0 = 1RC

, x = ωω0

et X = x − 1x

.

1. Déterminer K = VSU

. Exprimer U en fonction de VE et VS. Montrer que l’on

peut écrire : U = TVE + 13 + jX VS.

2. Exprimer VS en fonction de K, X et VE.3. Déterminer la valeur du couple (K,ω) pour laquelle on a des oscillationssinusoïdales avec une tension d’entrée nulle.

+

vE

u vSR1

R2

R

R C

C

A

I

B

Analyse du problèmeAprès avoir déterminé la fonction de transfert, on va en déduire la condition pouravoir des oscillations sinusoïdales avec une tension d’entrée nulle.

1. On applique le théorème de Millman en A et comme l’amplificateur linéaireintégré est idéal en régime linéaire : ε = 0. On a donc :∣∣∣∣∣∣

VA

(1

R1+ 1

R2

)= VS

R2VA = U

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D’où U

(1

R1+ 1

R2

)= VS

R2, soit : U = R1

R1 + R2 VS.

On en déduit :

K = VSU

= R1 + R2R1

On applique le théorème de Millman en B :

VB

(1

R+ jCω + 1

R + 1jCω

)= VS

R + 1jCω+ VE

(1

R+ jCω

)

Pour bien mener à terme les calculs, il ne faut pas multiplier par l’expressionconjuguée. Il est préférable de faire intervenir le plus vite possible des termes enjx = j RCω.

D’où :

VB

(1 + j RCω + 1

1 + 1j RCω

)= VS

1 + 1j RCω+ VE (1 + j RCω)

Comme VB = U, on a :

U

(1 + jx + 1

1 + 1jx

)= VS

1 + 1jx+ VE (1 + jx)

On multiplie par 1 + 1jx

:

U

((1 + jx)

(1 + 1

jx

)+ 1

)= VS + VE (1 + jx)

(1 + 1

jx

)D’où :

U

(3 + j

(x − 1

x

))= VS + VE

(2 + j

(x − 1

x

))On obtient finalement :

U = VE2 + j

(x − 1

x

)

3 + j(

x − 1x

) + VS3 + j

(x − 1

x

)

12

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Soit :

U = TVE + 13 + jX VS avec T =

2 + jX3 + jX

2. D’après la question 1 : U = VSK

. On a donc :

VSK

= 2 + jX3 + jX VE +

1

3 + jX VS

Soit : VS

(1

K− 1

3 + jX)

= 2 + jX3 + jX VE. On obtient finalement :

VS = K (2 + jX)3 − K + jX VE

3. Obtention de l’équation différentielleOn fait le produit en croix :

VS

(3 − K + j

(x − 1

x

))= K

(2 + j

(x − 1

x

))VE

On multiplie par jx :

VS ((3 − K) jx + (jx)2 + 1) = K(2jx + (jx)2 + 1) VEPour en déduire l’équation différentielle reliant vS(t) et vE(t), il faut

remplacer formellement jx = jωω0

par1

ω0

d

dt, VE par vE(t) et VS par vS(t).

On en déduit directement l’équation différentielle reliant vS(t) et vE(t) :

(3 − K) 1ω0

dvSdt

+ 1ω20

d2vSdt2

+ vS = K(

21

ω0

dvEdt

+ 1ω20

d2vEdt2

+ vE)

Pour vE = 0, on a l’équation d’un oscillateur harmonique si K = 3. On aalors :

d2vSdt2

+ ω20vS = 0

On a donc des oscillations sinusoïdales de pulsation ω = ω0.

RemarqueOn va étudier dans l’exercice suivant la naissance des oscillations. Le terme (3 − K)ne peut pas être rigoureusement nul en pratique. Il doit être négatif pour observer lanaissance des oscillations.©

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Exercice 1.4 : Oscillateur à résistance négativeL’amplificateur linéaire intégré est idéal. On note Vsat et −Vsat les tensions desaturation positive et négative.

1. On considère le montage de la figure 1. Donner la relation entre v et i enrégime linéaire et en régime de saturation. Quelle est la condition sur i pour êtreen régime linéaire ? Construire le graphe v = f (i). Dans quelle partie le montageest-il équivalent à une résistance négative ? Donner une interprétation physique.

+ +

S

v

ii A

B

R

R

R

R

R

R

L, r

Cq

figure 1 figure 2

2. Pour le montage de la figure 2, établir l’équation différentielle régissantl’évolution de i(t) en régime linéaire et en régime de saturation.3. Quelle est la condition sur R pour avoir des oscillations sinusoïdales ?4. Interpréter l’enregistrement suivant avec des conditions initiales quasi nulles.Pourquoi doit-on avoir r < R pour avoir des oscillations quasi sinusoïdales ?

i(t)

t

Analyse du problèmeLa connaissance de la caractéristique du dipôle de la figure 1 permet de simplifierl’étude du montage de la figure 2.

14

TP17-0059-Frontmatter.pdfTP17-0059-Chapter01.pdfTP17-0059-Chapter02.pdfTP17-0059-Chapter03.pdfTP17-0059-Chapter04.pdfTP17-0059-Chapter05.pdfTP17-0059-Chapter06.pdfTP17-0059-Chapter07.pdfTP17-0059-Chapter08.pdfTP17-0059-Chapter09.pdfTP17-0059-Chapter10.pdfTP17-0059-Chapter11.pdfTP17-0059-Chapter12.pdfTP17-0059-Chapter13.pdfTP17-0059-Chapter14.pdfTP17-0059-Chapter15.pdfTP17-0059-Chapter16.pdfTP17-0059-Chapter17.pdfTP17-0059-Chapter18.pdfTP17-0059-Chapter19.pdfTP17-0059-Chapter20.pdfTP17-0059-Chapter21.pdfTP17-0059-Chapter22.pdfTP17-0059-Chapter23.pdfTP17-0059-Chapter24.pdfTP17-0059-Chapter25.pdfTP17-0059-Chapter26.pdfTP17-0059-Index.pdf

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