PID制御について

2007年8月30日三好 修平

PID制御の特徴

1. 機能の完備性P: 現在の偏差に比例した修正動作I: 過去の偏差を積算保持しオフセットを取り除く動作D:未来の動きを予測する動作

2. 簡易性PIDパラメータの影響が定性的に理解し易い

3. 理論解析性PIDパラメータの影響の解析などが理論的に行える

4. 現場性システム設置後にPIDパラメータを調整する事が容易

PID制御の基本形

kP 設定値 + 偏差e(t)-測定値

1τ I∫e t dt

τ Ddet dt

++ 制御出力c(t)

+

c t =k Pe t 1τ I∫e t dtτ D det dt

C s =k P 11τ I s

τD sE s

ラプラス変換すると F s=∫0∞f t e−st dt

伝達関数

ここで

ラプラス変換の最終値定理

G(s) ±

H(s)

R(s) + C(s)

R(s) C(s)G s 1∓G s H s

等価

limt∞

f t = lims0s･ F s

比例動作とP動作のみによる制御比例動作は偏差に比例した出力を出す。

P動作のみのフィードバックを考えると、伝達関数は

大きさ1のステップを入力する(目標値を0→1にする)と、

最終値定理より

で偏差が残る。この偏差を定常偏差と呼ぶ。

比例動作のみの制御では定常偏差が出る。

k P1k P

C s =k P1k P

1s

limt∞c t = lim

s0s･C s =

k P1k P

積分動作

一定の偏差が入って来た時、積分動作は

と表せる。

t = τIの時、出力と偏差が等しくなる。

積分動作の出力が偏差に等しくなるまでかかる時間がτI

τIが小さい程、積分動作は強くはたらく。

c t = 1τ I∫ edt= t

τ Ie

0.1 0.2 0.5 1 2 5 100

2

積分動作の周波数特性伝達関数においてs=iωとおくことで、伝達関数の周波数特性が分かる。

積分動作　　　　　　　　の場合、出力は1/τIω倍され、

入力に対して出力の位相はπ/2遅れる。

I s = 1τ I s

∣I iω∣ arctan ℑ I iωℜ I iω

τI=1sec

ω ω

位相差

ゲイン

PI動作による制御

PI動作の伝達関数は

P動作と同様にステップ応答を考えると

目標値=1I動作は偏差を0にするはたらきを持つ。

k P11τ I s

1k P11τ I s

C s =k P1

1τ I s

1k P11τ I s

1s

limt∞c t = lim

s0s･C s =

k P/τ Ik P/τ I

=1

微分動作

一定速度で変化する偏差が入って来た時、微分動作は

と表せる。

t = τDの時、入力と出力が等しくなる。

一定速度で変化する偏差が微分動作の出力に等しくなるまでの時間がτD

τDが大きい程、微分動作は強くはたらく。

c t =τDddtet=τDe

微分動作の周波数特性微分動作伝達関数　　　　　　　は実現できない。

変わりに実用微分を用いる。

実用微分動作　　　　　　　　　の場合、1/τDよりωが大きくなる程ゲインが1に近付き、

位相差が0に近付く。

D s=τ D s1τD s

∣D iω∣ arctan ℑDiωℜD iω

D s=τD s

位相差

ゲイン

ω ω

τD=1sec

PI動作による制御

kP=0.7 kP=1

Pのゲインを上げると不安定になる。

目標値1 k P11τ I s

PID動作による制御

目標値を超えそうな時にD動作がブレーキをかけるので、比例・積分ゲインを上げ易くなり、応答速度を速くする事が出来る。

目標値1

k P11τ I s

−τ D s1τ D s

使っているFB系を簡単に描くと

kinput 設定値 +

- ++

+kI

kD

kP

ピエゾHV

共振器長

位相差透過光強度

使われている積分回路と微分回路

voutput t =−1τ I∫v input t dt

V output s =−1τ I sV input s

v input t =QCRI

V output s =τD s1τ D s

V input s

voutput t =RI

積分回路 微分回路

τ=RC

PID部分だけなら伝達関数はこのようになる。

この式を逆ラプラス変換すればスマートにフィードバックのシミュレーションが出来るかと

考えましたが、結局以前の数値計算による

シミュレーションの方が良いと考えました。

V output s =k inputk P−1τ I s

τ D s1τ D s

V input s