PIPP2-05

MATEMATICĂ

CURS

PEDAGOGIA ÎNVĂŢĂMÂNTULUI PRIMAR ŞI

PREŞCOLAR

CUPRINS

1. ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ 1.1. Propoziţii logice ……………………………………………….………………... 5

1.2. Operatori logici ……………………………………………….………………… 5

1.3. Predicate logice ……………………………………………….….……………... 9

1.4. Teoreme în matematică …………………………………………………..……. 11

1.5. Probleme propuse ………………………………………………...………….… 12

1.6. Fişa de autoevaluare ………………………………………………………….... 13

1.7. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ……………………………………………... 14

1.8. Bibliografie capitolul 1 …………………………………….………………...… 14

2. MULŢIMI ŞI FUNCŢII 2.1. Mulţimi. Operaţii cu mulţimi ………………………………………………..… 15

2.2. Relaţii binare ………………………………………………………………..…. 18

2.3. Funcţii ………………………………………………………………....……..… 20

2.4. Probleme propuse ………………………………….………………………...… 23


2.6. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ……………………………..………………. 26

2.7. Bibliografie capitolul 2 …………………………………………………..…….. 26

3. NUMERE NATURALE 3.1. Mulţimea numerelor naturale ………………………………………………..… 27

3.2. Operaţii în mulţimea numerelor naturale ………………………………....…… 28

3.3. Axiomele lui Peano …………………………………………………………..... 29

3.4. Sisteme de numeraţie ……………………………………………………….…. 30

3.5. Probleme propuse …………………………………………………….……...… 35

3.6. Fişa de autoevaluare ……………………………………...………………….… 36

3.7. Răspunsuri – fişa de autoevaluare …………………………………………...… 37

3.8. Bibliografie capitolul 3 ………………………………………………………… 37

4. NUMERE ÎNTREGI 4.1. Numerele întregi şi reprezentanţii lor ………………………………………..… 38

4.2. Operaţii în mulţimea numerelor întregi ……………………………………...… 39

4.3. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor întregi …………………………….… 41

4.4. Fişa de autoevaluare ……………………………………………………..…..… 42

4.5. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ………………………………………..….… 43

4.6. Bibliografie capitolul 4 ……………………………………….…………..….… 43

5. NUMERE RAŢIONALE 5.1. Mulţimea numerelor raţionale ………………………………………….....…… 44

5.2. Operaţii cu numere raţionale ………………………………………………...… 44

5.3. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor raţionale ………………………….… 47

5.4. Reprezentarea numerelor raţionale prin fracţii zecimale ………...………….… 48



2

5.7. Bibliografie capitolul 5 ………………………………………………………… 51

6. DIVIZIBILITATE 6.1. Noţiuni introductive. Definiţii ……………………………………………….… 52

6.2. Teoreme de divizibilitate …………………………………………………….… 54

6.3. Cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun ………..……..… 55

6.4. Criterii de divizibilitate …………………………………………...………...…. 57

6.5. Divizibilitatea în mulţimea numerelor întregi ……………………………….… 59

6.6. Ecuaţii diofantice ……………………………………………………………..... 60

6.7. Probleme propuse …………………………………………………………....… 63

6.8. Fişa de autoevaluare ………………………………………………………....… 64


6.10. Bibliografie capitolul 6 …………………………………………………..…… 65

7. GRUPURI 7.1. Legi de compoziţie................................................................................................66

7.2. Noţiunea de grup. Exemple ..................................................................................68

7.3. Morfisme de grupuri. Izomorfisme ......................................................................71

7.4. Subgrupuri ............................................................................................................74

7.5. Probleme ..............................................................................................................77

7.6. Fişa de autoevaluare .............................................................................................79

7.7. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ........................................................................80

7.8. Bibliografie capitolul 7 .........................................................................................81

8. INELE 8.1. Noţiunea de inel. Exemple ...................................................................................82

8.2. Subinel ..................................................................................................................86

8.3. Morfisme de inele .................................................................................................86

8.4. Probleme ...............................................................................................................88




9. CORPURI 9.1. Noţiunea de corp. Exemple ..................................................................................91

9.2. Subcorp .................................................................................................................92

9.3. Morfisme de corpuri .............................................................................................93

9.4. Probleme ...............................................................................................................94




10. STATISTICĂ MATEMATICĂ ŞI TEORIA PROBABILITĂŢILOR 10.1. Elemente de statistică matematică ......................................................................97

10.2. Elemente de probabilităţi ..................................................................................102

10.3. Fişa de autoevaluare .........................................................................................104

10.4. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ....................................................................105

10.5. Bibliografie capitolul 10 ..................................................................................105

3

11. ELEMENTE DE GEOMETRIE 11.1. Sistemul axiomatic al lui Birkhoff....................................................................106

11.2. Segmente şi unghiuri. Simetria ....................................................................... 111

11.3. Triunghiul ........................................................................................................ 113

11.4. Patrulatere ....................................................................................................... 118

11.5. Cercul .............................................................................................................. 122

11.6. Corpuri geometrice .......................................................................................... 123

11.7. Probleme ......................................................................................................... 128

11.8. Fişa de autoevaluare ........................................................................................ 129

11.9. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ................................................................... 130

11.10. Bibliografie capitolul 11 ............................................................................... 131

12. MĂRIMI; MĂSURARE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ 12.1. Mărimi fundamentale şi mărimi derivate ........................................................ 132

12.2. Lungimea. Unităţi de măsură pentru lungime ................................................. 133

12.3. Masa. Unităţi de măsură pentru masă ............................................................. 134

12.4. Timpul. Unităţi de măsură pentru timp ........................................................... 135

12.5. Aria. Unităţi de măsură pentru arie ................................................................. 136

12.6. Volumul. Unităţi de măsură pentru volum ..................................................... 137

12.7. Viteza. Unităţi de măsură pentru viteză .......................................................... 137

12.8. Probleme .......................................................................................................... 138

12.9. Fişa de autoevaluare ....................................................................................... 139

12.10. Răspunsuri – fişa de autoevaluare ................................................................. 139

12.11. Bibliografie capitolul 12 ................................................................................ 139

4

1. ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ

1.1. PROPOZIŢII LOGICE

În logica matematică, prin propoziţie logică se înţelege un enunţ despre care se poate afirma cu certitudine dacă exprimă un adevăr sau un fals.

Propoziţiile logice se notează cu litere mici ale alfabetului latin.

Exemple: p: q:

r:

“Pământul este o planetă.” - propoziţie adevărată; “3+4=7” – propoziţie adevărată;

“Sibiu este capitala României.” – propoziţie falsă.

Notăm mulţimea propoziţiilor cu P şi definim funcţia v definită pe P cu valori în mulţimea {0, 1}, prin care unei propoziţii adevărate i se atribuie valoarea de adevăr

1, iar unei propoziţii false i se atribuie valoarea de adevăr 0. Astfel: v( p ) = 1; v( q ) =

1; v( r ) = 0.

1.2. OPERATORI LOGICI

1.2.1. Negaţia logică

Negaţia logică este un operator logic care acţionează asupra unei propoziţii logice. Prin negaţie se obţine o altă propoziţie care este falsă dacă propoziţia iniţială a

fost adevărată şi este adevărată dacă propoziţia asupra căreia s-a aplicat este falsă.

Se notează p şi se citeşte “non p”.

Exemple: p: “Pământul este o planetă” ; v(p) = 1

“Pământul nu este o planetă” ; v( p) = 0

“3+4=7”; v(q) = 1

“3+4 7”; v( q) = 0

“Sibiu este capitala României” ; v( r ) = 0

“Sibiu nu este capitala României” ; v( r) = 1

p :

q:

q:

r:

r:

s: “7 – 3

“7 – 3

5” ; v(s) = 0

5” ; v( s) = 1. s:

Negaţia logică se poate defini prin următorul tabel:

O proprietate importantă a acestui operator este faptul că negarea negaţiei (sau dubla negaţie) a propoziţiei p are aceeaşi valoare de adevăr ca şi propoziţia p. Adică,

oricare ar fi propoziţia p:

v( ( p) ) = v ( p ).

5

v( p) v( p)

1 0

0 1

1.2.2. Disjuncţia logică

Disjuncţia logică este un operator logic care compune două propoziţii, obţinându-se o altă propoziţie care este falsă numai în cazul în care ambele propoziţii

sunt false. În toate celelalte cazuri se obţine o propoziţie adevărată.

Se notează: p q şi se citeşte “p sau q”.

Exemple: p: “Culoarea albastru este o culoare rece” ; v(p) = 1 q: “5 este un număr par” ; v(q) = 0

p q: “Culoarea albastru este o culoare rece sau 5 este un număr par” ; v(p q) = 1.

Disjuncţia logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:

Proprietăţi ale disjuncţiei logice:

1. Comutativitatea: Oricare ar fi propoziţiile logice p şi q:

v(p q) = v(q p)

2. Asociativitatea:

Oricare ar fi propoziţiile logice p, q şi r:

v((p q) r) = v(p (q r))

3. Dacă notăm cu 1 o propoziţie adevărată, atunci, oricare ar fi propoziţia p:

v(p 1) = v(1 p) = 1

Proprietăţile se pot demonstra cu ajutorul tabelelor de adevăr, luând în

considerare toate cazurile posibile pentru propoziţiile care intervin în relaţie. Pentru

exemplificare se demonstrează proprietatea de asociativitate:

Se observă că în coloanele marcate s-au obţinut aceleaşi valori, ceea ce

demonstrează proprietatea.

1.2.3. Conjuncţia logică

6

v(p) v(q) v( r) v(p q) v((p q) r) v(q r) v(p (q r))

1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 1 0 1

0 1 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0

v(p) v(q) v(p q)

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Conjuncţia logică este un operator logic care leagă două propoziţii logice,

rezultând o altă propoziţie care este adevărată numai în cazul în care propoziţii care au intervenit sunt adevărate.

Se notează: p q şi se citeşte “p şi q”.

ambele

Exemple: p: “Iepurii au aripi”; v(p) = 0 q: “Oricare număr natural are un succesor” ; v(q) = 1

p q: “Iepurii au aripi şi Oricare număr natural are un succesor”; v(p q) = 0.

r: “România este în Europa” ; v(r) = 1

s: “3 este divizor al lui 12” ; v(s) = 1

r s: “România este în Europa şi 3 este divizor al lui 12” ; v(r s) = 1.

Conjuncţia logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:

Proprietăţi ale conjuncţiei logice:

1. Comutativitatea: Oricare ar fi propoziţiile logice p şi q:

v(p q) = v(q p)

2. Asociativitatea:


v((p q) r) = v(p (q r))

3. Dacă notăm cu 0 o propoziţie falsă, atunci, oricare ar fi propoziţia p:

v(p 0) = v(0 p) = 0.

Proprietăţi care leagă conjuncţia, disjuncţia şi negaţia:

1. Distributivitatea conjuncţiei faţă de disjuncţie: Oricare ar fi propoziţiile logice p, q şi r:

v(p (q r)) = v((p q) (p r))

2. Distributivitatea disjuncţiei faţă de conjuncţie:


v(p (q r)) = v((p q) (p r))

3. Legile lui De Morgan: Oricare ar fi propoziţiile logice p şi q:

v( (p q)) = v( p q)

v( (p q)) = v( p q)

Se va demonstra cu ajutorul tabelului de adevăr ultima proprietate.

7

v(p) v(q) v(p q) v( (p q)) v( p) v( q) v( p q)

1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 1 0 1

v(p) v(q) v(p q)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Comparând coloanele marcate, se observă că s-au obţinut aceleaşi valori.

1.2.4. Implicaţia logică

Implicaţia logică a propoziţiilor p şi q ( în această ordine ) este propoziţia

p q. Această propoziţie este falsă numai în cazul în care p este adevărată şi q este

falsă ( adevărul implică numai adevăr, iar falsul implică orice ).

Se notează: p q şi se citeşte “ p implică q”.

Exemple: p: “2+3 = 7” ; v(p) = 0 q: “42 este multiplu al lui 7” ; v(q) = 1

r: “Triunghiul are 4 laturi” ; v(r) = 0

p

q

r

q: “2+3=7 42 este multiplu al lui 7” ; v(p q) = 1

r: “42 este multiplu al lui 7 Triunghiul are 4 laturi” ; v(q r) = 0

p: “Triunghiul are 4 laturi 2+3=7” ; v(r p) = 1.

Implicaţia logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:

O proprietate importantă a implicaţiei este:

v(p q) = v( q p )

Pe această proprietate se bazează metoda reducerii la absurd folosită în

demonstraţii.

1.2.5. Echivalenţa logică

Echivalenţa logică este operatorul logic prin care se compun două propoziţii, obţinându-se o propoziţie care este adevărată atunci când ambele propoziţii sunt

adevărate, iar în celelalte cazuri este falsă.

Se notează: p q şi se citeşte “p echivalent cu q” sau “p dacă şi numai dacă

q”. Valoarea logică a propoziţiei p q este egală cu a propoziţiei ( p q ) ( q p ).

Exemple: p: “Laleaua este o floare”; v(p) = 1 q: “Numerele se scriu cu ajutorul cifrelor” ; v(q) = 1

r: “Ziua are 25 de ore” ; v( r ) = 0

p

q

q: “Laleaua este o floare Numerele se scriu cu ajutorul cifrelor” ; v(p q) = 1

r: “Numerele se scriu cu ajutorul cifrelor Ziua are 25 de ore”; v(q r) = 0.

Echivalenţa logică se poate defini prin următorul tabel de adevăr:

8

v(p) v(q) v(p q)

1 1 1

1 0 0

v(p) v(q) v(p q)

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

0 0 0 1 1 1 1

Se observă că prin folosirea operatorilor logici, propoziţiile pot fi legate între ele, obţinându-se expresii numite formule de calcul propoziţional. Dacă indiferent de

valoarea de adevăr a propoziţiilor componente, valoarea de adevăr a propoziţiei

obţinute este 1, atunci formula se numeşte tautologie.

Toate proprietăţile operatorilor logici le putem transcrie exemplu,

v(p (q r)) = v((p q) (p r))

se poate transcrie:

ca tautologii. De

(p (q r)) ((p q) (p r)),

ceea ce reprezintă o tautologie, conform următorului tabel:

Expresia din coloana marcată are totdeauna valoarea

tautologie.

1, deci reprezintă o

1.3. PREDICATE LOGICE

1.3.1. Definiţie şi exemple

Se numeşte predicat logic o propoziţie care depinde de variabile şi care devine

adevărată sau falsă în funcţie de valorile date variabilelor.

Exemple:

p( x): “3x + 2 = 14”, x N; pentru x = 4 propoziţia este adevărată, iar pentru x = 2,

propoziţia este falsă. Acest predicat care depinde de o singură variabilă se numeşte

predicat unar.

p(x,y): “x divide pe y”, x şi y N. Propoziţiile p(2,6), p(5,15), p(14,56) sunt

adevărate, dar p(3,7), p(6,8), p(5,12) sunt false, căci 2 divide 6, 5 divide 15, 14 divide 56, dar 3 nu-l divide pe 7 etc. Predicatul care depinde de două variabile se numeşte

binar.

Predicatele logice pot să depindă de mai multe variabile.

Predicatul: p(x,y,z,t): x + y + 2 = z + t depinde de patru variabile. p(2,4,5,3) are

valoarea de adevăr 1, pentru că 2 + 4 + 2 = 5 + 3, iar (p(2,5,4,4))=0 pentru că 2 + 5 +

2 4 + 4.

9

v(p)

v(q)

v(r)

v(q r)

v(p (q r))

v(p q)

v(p r)

v((p q) (p r))

v((p (q r)) ((p q) (p

r)))

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1 1

1 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 1 0

0 0 1

1.3.2. Cuantificatori

Fie E o mulţime şi p(x) un predicat. Enunţul: “oricare ar fi x din mulţimea E

are proprietatea p”, care se scrie ( x) p(x) este o propoziţie care este adevărată dacă

pentru toate elementele x din E, p(x) este adevărată. Acest simbol ( ) se numeşte

cuantificatorul universal.

Exemple:

Fie mulţimea numerelor naturale şi predicatul p(x): “x + 5 2”. Atunci

propoziţia: ( x) p(x) este o propoziţie adevărată pentru că orice număr natural adunat cu 5 dă un rezultat mai mare sau egal decât 2.

Tot pe mulţimea numerelor naturale definim predicatul: p(x): “x este divizibil

cu 4”. Aplicând cuantificatorul universal se obţine: ( x) p(x), care nu este o

propoziţie adevărată, căci nu orice număr natural este divizibil cu 4, de exemplu 15.

Fie E o mulţime şi p(x) un predicat. Enunţul: “există x din mulţimea E care

are proprietatea p”, care se scrie ( x) p(x) este o propoziţie care este adevărată dacă

pentru cel puţin un element x din E, p(x) este adevărată. Acest simbol ( ) se numeşte

cuantificatorul existenţial.

Exemple: Fie mulţimea numerelor naturale şi predicatul p(x): “x + 7 < 12”. Atunci

propoziţia: ( x) p(x) este o propoziţie adevărată pentru există numere naturale, de

exemplu 3, care adunate cu 7 dau un rezultat mai mic decât 12.

Tot pe mulţimea numerelor naturale definim predicatul: p(x): “x2 < 0”.

Aplicând cuantificatorul existenţial se obţine: ( x) p(x), care nu este o propoziţie

adevărată, căci nu există numere naturale care să aibă pătratul negativ.

1.3.3. Reguli de negaţie

În cazul în care se neagă o propoziţie logică formulată cu ajutorul cuantificatorilor, cuatificatorul universal se transformă în cuantificator existenţial şi

invers.

Exemple: Considerăm mulţimea N a numerelor naturale şi predicatul: p(x): “x + 7 < 20”. Fie

propoziţiile:

q: ( x) p(x) , care se citeşte: oricare ar fi un număr natural x, x + 7 < 20, ceea ce este

fals. De exemplu 15 + 7 nu este mai mic decât 20.

(q) = 0.

r: ( x) p(x), care se citeşte: există numere naturale x pentru care x + 7 < 20, ceea ce

este adevărat, de exemplu pentru x = 2, 2 + 7 < 20.

(r) = 1.

s: ( ( x) p(x) ) ( x) p(x), care se citeşte: există numere naturale x astfel încât

x + 7 20 ( care este negaţia lui p(x) ). Aceasta este o propoziţie adevărată pentru că

există astfel de numere, de exemplu pentru x = 15, 15 + 7 20.

( s ) = 1, ceea ce era de aşteptat, având în vedere că s = q.

t: ( ( x) p(x) ) ( x) p(x), care se citeşte: oricare ar fi numărul natural x,

10

x + 7 20. Aceasta este o propoziţie falsă, căci condiţia nu este îndeplinită pentru

orice număr natural, de exemplu pentru x = 2, 2 + 7 nu este mai mare sau egal cu 20.

(t) = 0, pentru că t = r.

Considerăm mulţimea Z a numerelor întregi şi predicatul p(x,y): 2x + y = 15. Cu ajutorul cuantificatorilor se pot forma următoarele propoziţii:

q: ( x) ( y) p(x,y), adică pentru orice numere întregi x şi y, 2x + y = 15, ceea ce nu

este adevărat, de exemplu pentru x = 2 şi y = - 6, 2x + y = - 2. Aşadar, (q) = 0.

r: ( x) ( y) p(x,y) , ceea ce înseamnă: oricare ar fi x, există y astfel încât 2x + y = 15.

Propoziţia este adevărată, căci pentru orice x număr întreg există y = 15 - 2x, tot

număr întreg, pentru care 2x + y = 15. Deci, (r) = 1.

s: ( x) ( y) p(x,y), care se citeşte: există x număr întreg, astfel încât oricare ar fi y

număr întreg, 2x + y = 15. Aceasta este o propoziţie falsă, căci nu există un număr

întreg x astfel încât dublul său (2x) adunat cu orice număr întreg să dea rezultatul 15.

(s) = 0.

t: ( x) ( y) p(x,y), ceea ce înseamnă: există x şi există y astfel încât 2x + y = 15.

Aceasta este o propoziţie adevărată. De exemplu există x = 6 şi y = 3 astfel încât

2x + y = 15. (t) = 1.

Aplicând regulile de negaţie, se vor nega propoziţiile de mai sus. În cazul în

care propoziţia a fost adevărată prin negare se obţine o propoziţie falsă şi invers.

q: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), adică există x şi există y astfel încât

2x + y 15. Aceasta este o propoziţie adevărată, căci există x = 2 şi y = 7, pentru

care 2x + y = 11 15. Deci ( q) = 1.

r: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), ceea ce înseamnă: există x astfel încât

oricare ar fi y, 2x + y 15. Această propoziţie este falsă, căci pentru orice x număr

întreg se poate găsi y tot număr întreg de forma 15 - 2x pentru care 2x +y = 15. În

concluzie, ( r)=0.

s: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), ceea ce se citeşte: oricare ar fi x

număr întreg, există y număr întreg, astfel încât 2x + y

( s) = 1.

15, ceea ce este adevărat.

t: (( x) ( y) p(x,y)) ( x) ( y) p(x,y), ceea ce se citeşte: oricare ar fi x şi

oricare ar fi y numere întregi, 2x + y 15, ceea ce este fals. De exemplu, pentru x = 4

şi y = 7, 2x + y = 15. Deci,

1.

( t) = 0, cum era de aşteptat, având în vedere că (t) =

1.4. TEOREME ÎN MATEMATICĂ

Teoremele în matematică sunt afirmaţii de forma: "dacă p, atunci q", ceea ce înseamnă că dacă propoziţia p este adevărată, atunci aceasta implică faptul că

propoziţia q este şi ea adevărată. Teoremele stabilesc anumite proprietăţi ale unor

concepte matematice. Ele trebuie demonstrate printr-un şir de raţionamente logice

(silogisme) pe baza axiomelor sau a altor teoreme deja demonstrate. Axiomele sunt

propoziţii care nu se demonstrează. Orice teorie matematică are la bază un sistem de

noţiuni primare (care nu se definesc şi pe baza cărora se definesc celelalte noţiuni) şi

un sistem de axiome, pe baza cărora se demonstrează teoremele.

Exemplu: Suma a două numere naturale de aceeaşi paritate este un număr par.

Ipoteza p: a şi b sunt numere naturale de aceeaşi paritate;

11

Concluzia q: a + b este număr par. Demonstraţia teoremei înseamnă că pornind de la faptul că p este adevărată,

adică a şi b sunt numere naturale de aceeaşi paritate trebuie să arătăm că a+b este

număr par. Se disting două cazuri:

1. a şi b numere pare, adică a=2k şi b=2p. Atunci a+b=2k+2p=2(k+p), număr par;

2. a şi b numere impare, adică a=2k+1 şi b=2p+1. Atunci a+b=2k+1+2p+1=2k+2p+2=

=2(k+p+1), număr par.

Reciproca unei teoreme este teorema care se obţine punând ca ipoteză

concluzia teoremei , iar ca şi concluzie ipoteza ei, adică q p.

Reciproca teoremei din exemplul precedent este: Dacă suma a două numere naturale este un număr par, atunci numerele sunt de aceeaşi paritate. În acest caz

reciproca este adevărată. Nu toate teoremele admit reciproce adevărate. Propoziţia

care se obţine din p q se numeşte contrara teoremei, iar

reciprocei.

q p este contrara

Teoremele se pot demonstra prin metoda directă sau prin metoda

contrapoziţiei. Metoda directă cere ca în ipoteza că p este adevărată să se demonstreze

că q este adevărată, iar metoda contrapoziţiei constă în a demonstra că q p, ceea

ce se bazează pe echivalenţa logică: ( q p) (p q).

1.5. PROBLEME PROPUSE

1. Să se determine valoarea de adevăr a următoarelor propoziţii: p: "Pământul este o planetă"

q: "125 este un cub perfect"

r: "48 + 2 50".

2. Folosind tabele de adevăr, să se verifice:

a) proprietăţi care nu au fost demonstrate în text;

b) ((p q) q) (p q);

c) ( p q) p q;

d) ((p q) (q r)) (p r) dacă este tautologie ( propoziţie totdeauna adevărată,

indiferent de valorile de adevăr ale propoziţiilor care o compun ).

3. Fie predicatul unar p(x) : "x2 + 1 > 0", unde x este număr real.

a) Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiilor: p(15); p(-3); p(3,5); p( ).

b) Să se determine valoarea de adevăr a propoziţiilor:

q: ( x) p(x) şi r: ( x) p(x).

c) Să se nege propoziţiile de la punctul b), respectând legile de negaţie şi să se

determine valoarea de adevăr pentru fiecare propoziţie obţinută.

4. Fie predicatul p(x,y) : "x este divizibil cu y", unde x şi y sunt numere naturale. a) Să se determine valorile de adevăr pentru propoziţiile: p(35,7); p(26,13); p(8,3);

p(23,1); p(23,0); p(0,87).

b) Să se determine valorile de adevăr ale propoziţiilor:

q: (

r: (

s: (

t: (

x) (

x) (

x) (

x) (

y) p(x,y)

y) p(x,z)

y) p(x,y)

y) p(x,y)

12

c) Să se nege propoziţiile de la punctul b), respectând legile de negaţie şi să se

determine valoarea de adevăr pentru fiecare propoziţie obţinută.

1.6. FIŞA DE AUTOEVALUARE

1. Care dintre următoarele afirmaţii sunt propoziţii logice: a) 7 + 2 = 9; b) x este număr par; c) Dreptunghiul are 5 laturi; d) produsul a doi

multipli ai unui număr natural este un multiplu al acelui număr natural; e) Mâine va

ploua.

Răspuns: .................................................

2. Care dintre propoziţiile logice următoare sunt adevărate:

a) Un număr prim are doi divizori; b) Diagonalele paralelogramului sunt congruente;

c) Există un cel mai mic număr natural; d) 3 + 7 unghiuri congruente.

Răspuns: ......................................

2; e) Un triunghi isoscel are două

3. Să se nege propoziţiile de la exerciţiul 2 şi să se determine valoarea de adevăr a

negaţiilor.

Răspuns: a) .............................................................................

b) .............................................................................

c) .............................................................................

d) .............................................................................

e) .............................................................................

Valoare adevăr ........................

........................

........................

........................

........................

4. Completaţi tabelul de valori:

5. Care dintre operatorii logici următori au proprietatea de comutativitate: a) negaţia logică; b) conjuncţia logică; c) disjuncţia logică; d) implicaţia logică; e)

echivalenţa logică?

Răspuns: ..............................................

6. Este valabilă distributivitatea în cazul: a) conjuncţiei faţă de disjuncţie; b) negaţiei faţă de conjuncţie; c) implicaţiei faţă de

conjuncţie; d) disjuncţiei faţă de conjuncţie; e) echivalenţei faţă de negaţie?

Răspuns: ..............................................

7. Completaţi tabelul de valori pentru următoarele propoziţii şi deduceţi că

(p q) p q:

13

v(p) v(q) v(p q) v(p q) v( p) v(p q) v( p q)

1 1

1 0

0 1

0 0

8. Se consideră predicatul p(x): "x+2=5", unde x este număr natural. Să se afle

valoarea de adevăr pentru:

a) p(3); b) p(0); c) ( x) p(x); d) ( x) p(x); e)

Răspuns: .......................................

(( x) p(x)).

9. Se consideră predicatul p(x,y): x - y = 4, x şi y sunt numere întregi. Să se afle

valoarea de adevăr a propoziţiilor:

a) ( x) ( y) p(x,y); b) ( x) ( y) p(x,y); c) ( x) ( y) p(x,y); d) (( x) ( y) p(x,y));

e) (( x) ( y) p(x,y)).

Răspuns: ..............................................

1.7. RĂSPUNSURI - fişa de autoevaluare: 1. a), c), d).

2. a), c), d), e).

3. a) Un număr prim nu are doi divizori

b) Diagonalele paralelogramului nu sunt congruente

c) Nu există un cel mai mic număr natural

d) 3 + 7 < 2

e) Un triunghi isoscel nu are două unghiuri congruente

4.

fals adevărat

fals

fals

fals.

5. b), c), e). 6. a),d).

7.

8.a), d), e).

9. b), c).

1.8. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 1:

1. Cîrjan, Florin , Matematică pentru examenele de definitivat şi gradul II, învăţători,

institutori, Ed. Paralela 45, 1998, Cap. I, pag. 9 - 23;

14


1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1 1

v(p) v(q) v(p q) v(p q) v( p) v(p q) v( p q)

1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 0

0 0 0 0 1 1 1


1 1

1 0

0 1

0 0

2. Năstăsescu, C., Brandiburu M., Niţă C., Joiţa D., Exerciţii şi probleme de algebră, E.D.P. Bucureşti, 1981, Cap.I, pag. 3-5;

3. Ion, D. I. ş.a., Manual pentru clasa a IX-a, Ed. Teora, 1999, Cap. III, pag. 87 - 118

2. MULŢIMI ŞI FUNCŢII

2.1. MULŢIMI. OPERAŢII CU MULŢIMI

2.1.1. Mulţimi şi elemente

Noţiunea de mulţime este o noţiune primară în matematică, adică nu are o definiţie riguroasă, bazată pe alte noţiuni. Prin mulţime se înţelege o colecţie de

obiecte considerate împreună după anumite criterii. Mulţimile se notează cu litere

mari ale alfabetului: A, B, C,... .

Obiectele ( concrete sau abstracte ) din care este alcătuită mulţimea se numesc

elemente.

Între mulţimi şi elemente se stabileşte relaţia de apartenenţă. Se spune că

elementul a aparţine mulţimii A şi se scrie a A dacă el este un obiect al acestei

mulţimi. Dacă elementul b nu face parte dintre obiectele mulţimii A, se spune că

elementul b nu aparţine mulţimii A şi se notează b A.

Mulţimea care nu conţine nici un element se numeşte mulţimea vidă şi se

notează .

2.1.2. Reprezentarea mulţimilor

Mulţimile se reprezintă astfel: 1. Prin enumerarea tuturor elementelor, scrise cu virgulă între ele, între acolade:

A = {a,b,c,d,e}, care se citeşte: mulţimea A formată din elementele a,b,c,d,e.

2. Printr-o proprietate comună pe care o au elementele ei. Aceeaşi mulţime se poate

reprezenta în acest mod astfel:

A = {x | x este una dintre primele 5 litere ale alfabetului latin }, care se citeşte:

mulţimea A este mulţimea elementelor x cu proprietatea că x este una dintre primele

5 litere ale alfabetului latin.

3. Prin diagrame Venn - Euler:

A a

b

c

d e

Mulţimea A conţine elementele a, b, c, d, e

2.1.3. Incluziunea mulţimilor

15

Definiţie: Mulţimea A este inclusă în mulţimea B dacă

x A x B.

Se notează: A B.

În acest caz A se numeşte submulţime sau parte a lui B.

Mulţimea tuturor părţilor mulţimii B se notează P(B)

Mulţimea vidă şi mulţimea însăşi se numesc părţi

improprii, iar celelalte submulţimi se numesc părţi proprii.

Exemplu:

Fie mulţimea A = a,b,c,d . Mulţimea submulţimilor ei este:

P(A) = , {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b , {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c},

{a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, A}.

Dacă mulţimea A conţine n elemente, atunci P(A) conţine 2n elemente.

Relaţia de incluziune are următoarele proprietăţi:

Reflexivitatea: Orice mulţime este inclusă în ea însăşi: A A.

Antisimetria: Dacă A B şi B A, atunci A=B.

Tranzitivitatea: Dacă A B şi B C, atunci A C.

2.1.4. Operaţii cu mulţimi

a) Reuniunea mulţimilor ( )

Definiţie: Reuniunea a două mulţimi este mulţimea care conţine toate elementele

celor două mulţimi, adică: A B= x | x A x B .

Exemplu: A={a,b,c,d,e,f}; B={b,d,g,h}. Atunci: A B={a,b,c,d,e,f,g,h}.

Sau, pe desen:

Proprietăţi:

comutativitatea: A B=B A, oricare ar fi mulţimile A

şi B

asociativitatea: (A B)

mulţimile A,B,C.

C=A (B C), oricare ar fi

A = A=A, oricare ar fi mulţimea A.

b) Intersecţia mulţimilor ( )

Definiţie: Intersecţia a două mulţimi este mulţimea care conţine elementele comune

celor două mulţimi, adică: A B= x | x A x B .

Exemplu: A={a,b,c,d,e,f}; B={b,d,g,h}. Atunci:

A B={b,d}.

16

Proprietăţi:

comutativitatea: A B=B A, oricare ar fi mulţimile A şi B.

asociativitatea: (A B) C=A (B C), oricare ar fi mulţimile A,B,C.

A = A= , oricare ar fi mulţimea A.

reuniunea este distributivă faţă de intersecţie: A (B C)=(A B) (A C), oricare ar fi mulţimile A, B, C.

intersecţia este distributivă faţă de reuniune: A (B C)=(A B) (A C), oricare

ar fi mulţimile A, B, C.

c) Diferenţa mulţimilor ( \ ) Definiţie: Diferenţa mulţimilor A şi B este mulţimea care conţine

elementele care sunt în A şi nu sunt în B, adică: A \ B = {x | x A

x B}.

Exemplu: A={a,b,c,d,e,f}; B={b,d,g,h}. Atunci: A \ B={a,c,e,f}, iar B \ A={g,h}.

Diferenţa mulţimilor nu este comutativă, nici asociativă.

A \ =A; \ A= .

d) Complementara unei mulţimi ( CM)

Fie mulţimea A M.

Definiţie: Se numeşte complementara mulţimii A în raport cu mulţimea M, diferenţa

M \ A.

Exemplu: M = { a, b, c, d, e, f, g, h }; A = { a, b, c };

atunci CMA = { d, e, f, g, h }

Proprietăţi:

CM (CMA) = A, oricare ar fi mulţimea A

Legile lui De Morgan:

M.

CM(A B)= CMA CMB, oricare ar fi submulţimile A şi B ale mulţimii M.

CM(A B)= CMA CMB, oricare ar fi submulţimile A şi B

ale mulţimii M.

CMA

e) Produsul cartezian ( x )

Definiţie: Se numeşte produsul cartezian al mulţimilor A şi B mulţimea tuturor

perechilor formate cu primul element din mulţimea A şi al doilea element din

mulţimea B, adică: A x B = { (a,b) | a A şi b B}.

17

Exemplu: A = a, b, c, d ; B = b, e, f ;

A x B = (a,b), (a,e), (a,f), (b,b), (b,e), (b,f), (c,b), (c,e), (c,f), (d,b), (d,e), (d,f) .

Produsul cartezian nu este o operaţie comutativă, nici asociativă.

2.2. RELAŢII BINARE

2.2.1. Relaţii binare. Proprietăţi

Definiţie: Se numeşte relaţie binară pe mulţimea A o submulţime R a produsului

cartezian A x A.

Exemplu: Fie mulţimea A = { 1, 2, 3, 4 }. Atunci A x A = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) }.

R = { (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4) } este o relaţie binară pe mulţimea A.

Se spune că elementele a şi b sunt în relaţie şi se scrie a b dacă perechea (a,b) R.

În exemplul de mai sus, 1 2, 3 4 etc.

O relaţie binară poate avea una sau mai multe dintre următoarele proprietăţi:

a) Reflexivitatea: O relaţie binară este reflexivă dacă oricare ar fi elementul x al

mulţimii A, x x, adică R conţine toate perechile de forma (x,x) ale lui A x A.

b) Simetria: O relaţie binară are proprietatea de simetrie dacă x y implică y

adică împreună cu perechea (x,y), R conţine şi perechea (y,x).

x,

c) Antisimetria: O relaţie binară are proprietatea de antisimetrie dacă x y şi y x

implică x = y, adică dacă R conţine perechile (x,y) şi (y,x), atunci x = y.

Tranzitivitatea: O relaţie binară are proprietatea de tranzitivitate dacă x d) y şi y

z implică x

perechea (x,z).

z, adică dacă R conţine perechile (x,y) şi (y,z), atunci R conţine şi

Relaţia din exemplul anterior are proprietatea de tranzitivitate. În funcţie de aceste proprietăţi există două categorii de relaţii importante în

matematică: relaţiile de ordine şi relaţiile de echivalenţă.

2.2.2. Relaţii de ordine

Definiţie: Se numeşte relaţie de ordine pe mulţimea A o relaţie binară cu următoarele

proprietăţi:

a) b)

c)

reflexivitate antisimetrie

tranzitivitate.

Exemple:

Relaţia “ “ în mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale, reale. Această relaţie

este reflexivă, pentru că orice număr natural este mai mic sau egal cu el însuşi; este

antisimetrică, pentru că din

x y şi y x rezultă x = y; este tranzitivă, pentru că din x y şi y z rezultă x z.

18

Relaţia de incluziune între mulţimi are aceleaşi proprietăţi, deci şi această relaţie este o relaţie de ordine.

Relaţia “a divide b” definită pe mulţimea numerelor naturale nenule este de asemenea

o relaţie de ordine.

2.2.3. Relaţii de echivalenţă

Definiţie: Se numeşte relaţie de echivalenţă pe mulţimea A o relaţie binară cu

următoarele proprietăţi:

d) e)

f)

reflexivitate simetrie

tranzitivitate.

Exemple: Relaţia “ = “ în mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale, reale. Această relaţie

este reflexivă, pentru că orice număr natural este egal cu el însuşi; este simetrică,

pentru că din x = y rezultă y = x; este tranzitivă, pentru că din x = y şi y = z rezultă x

= z.

Relaţia de congruenţă a segmentelor, a unghiurilor, a triunghiurilor din geometrie are

proprietăţile de reflexivitate, simetrie şi tranzitivitate.

Relaţia de congruenţă modulo n definită pe mulţimea numerelor întregi. Două numere

întregi sunt congruente modulo n dacă dau acelaşi rest la împărţirea la n. De exemplu,

7 22 ( mod 5) pentru că 7 şi 22 dau restul 2 la împărţirea la 5. Şi această relaţie este

reflexivă ( orice număr întreg este congruent cu el însuşi modulo n), este simetrică ( dacă a este congruent cu b modulo n, atunci şi b este congruent cu a modulo n ) şi

este tranzitivă ( dacă a este congruent cu b şi b este congruent cu c, rezultă că a este

congruent cu c modulo n ).

Definiţie: Fie o relaţie de echivalenţă R definită pe mulţimea A. Se numeşte clasă de echivalenţă a elementului y mulţimea elementelor din A echivalente cu elementul y.

Se notează: ŷ = x A | (y,x) R .

Proprietăţi: Oricare două clase de echivalenţă sunt disjuncte ( nu au elemente comune ).

Reuniunea tuturor claselor de echivalenţă este mulţimea A.

În acest mod se spune că s-a definit o partiţie a mulţimii A.

Definiţie: Se numeşte partiţie a mulţimii A o familie de submulţimi A1, A2, …, An ale

lui A astfel încât sunt disjuncte două câte două şi reuniunea lor este mulţimea A.

Teoremă: Orice relaţie de echivalenţă determină pe o mulţime o partiţie şi, reciproc,

orice partiţie a unei mulţimi defineşte o relaţie de echivalenţă.

S-a menţionat mai sus că mulţimea claselor de echivalenţă este o partiţie a mulţimii A.

Fiind dată partiţia Ai, i 1, 2,…, n a mulţimii A, relaţia de echivalenţă se defineşte

astfel: x este echivalent cu y dacă există o mulţime Ai astfel încât x şi y aparţin

19

mulţimii Ai. Aceasta este o relaţie de echivalenţă, căci oricare ar fi x A, există o

mulţime Ai astfel încât x Ai deci x este echivalent cu el însuşi, relaţia fiind reflexivă.

Relaţia este şi simetrică pentru că dacă x şi y sunt în relaţie, înseamnă că există o

mulţime Aj din familie astfel încât x şi y aparţin acesteia. Rezultă că şi y este în relaţie

cu x. Relaţia are şi proprietatea de tranzitivitate: dacă x este în relaţie cu y, rezultă că

există o mulţime Aj astfel încât x şi y aparţin acesteia. Dacă y este în relaţie cu z, iar y

aparţine mulţimii Aj şi nici unei alte submulţimi din familie căci submulţimile sunt

disjuncte, rezultă că şi z aparţine aceleiaşi submulţimi Aj, deci x şi z fac parte din Aj,

adică sunt în relaţie.

Exemplu: Pe mulţimea numerelor întregi s-a definit relaţia de congruenţă modulo 5. Clasele de echivalenţă sunt submulţimile de numere întregi care dau acelaşi rest la

împărţirea la 5:

0 {...,

{...,

{...,

{...,

{...,

25,

24,

23,

22,

21,

20,

19,

18,

17,

16,

15,

14,

13,

12,

11,

10, 5,0,5,10,15,20,25,...}

1 9,

8,

7,

6,

4,1,6,11,16,21,26,...}

3,2,7,12,17,22,27,...}

2,3,8,13,18,23,28,...}

1,4,9,14,19,24,29,...}

2

3

4

Submulţimile sunt disjuncte, iar reuniunea lor este mulţimea numerelor întregi.

2.3. FUNCŢII

2.3.1. Noţiunea de funcţie

Definiţie: Se numeşte funcţie un triplet format din două mulţimi A şi B şi o relaţie

între aceste mulţimi astfel încât oricărui element din mulţimea A îi corespunde un

singur element din mulţimea B. Se scrie f : A

pe A cu valori în B.

B, ceea ce se citeşte: funcţia f definită

Mulţimea A se numeşte domeniul de definiţie al funcţiei, iar mulţimea B codomeniul sau mulţimea în care funcţia ia valori.

Elementul x A se numeşte argument, iar valoarea care îi corespunde din mulţimea B

se notează f(x). Se foloseşte notaţia: x f(x), care se citeşte: elementului x îi

corespunde valoarea f(x).

Funcţiile se pot reprezenta cu ajutorul tabelului de valori:

A = { a, b, c, d, e, f }; B = { 1,2,3,4,5,6,7,8 }; f : A B

x | a b c d e f

f(x)| 2 4 3 2 1 7

ceea ce înseamnă că elementului a îi corespunde valoarea 2, elementului b îi corespunde valoarea 4 etc.

Funcţiile numerice se mai pot reprezenta cu ajutorul unei formule de definiţie, de

exemplu:

f : Z Z prin f(x) = 3x+4. Pentru această funcţie f(2) = 3·2+4=10,

f(-5) = 3·(-5)+4 = -11.

Funcţiile se mai pot reprezenta prin diagrame:

20

Definiţie: Se numeşte graficul unei funcţii mulţimea perechilor:

Gf = { (x,f(x)) | x A}.

În cazul funcţiilor numerice se asociază acestor perechi punctele din plan

corespunzătoare şi se obţine reprezentarea geometrică a graficului unei funcţii.

2.3.2. Funcţii injective, surjective, bijective

Definiţie: Funcţia f : A

mulţimea A distincte, f(x1)

Cu alte cuvinte, la valori

mulţimea B.

B este funcţie injectivă dacă oricare ar fi x1 şi x2 din

f(x2).

diferite din mulţimea A corespund valori diferite din

Examinând diagramele de mai sus, se observă că funcţia f este injectivă, dar funcţia g

nu este injectivă pentru că g(n) = g(p).

Definiţie: Funcţia f : A B este funcţie surjectivă dacă oricare ar fi elementul y din

mulţimea B există cel puţin un element x din mulţimea A astfel încât f(x) = y.

Se notează cu f(A) mulţimea valorilor pe care le ia funcţia, adică: f(A)= f(x)

Cu această notaţie, condiţia de surjectivitate este: f(A) = B.

x A .

În exemplul reprezentat

alături, funcţia f surjectivă pentru că

elementele din B sunt

este toate

valori ale funcţiei. Funcţia g nu este

21

surjectivă pentru că nu există nici un element din C a cărui imagine să fie elementul 4

din mulţimea D.

Definiţie: Funcţia f : A

surjectivă.

B este funcţie bijectivă dacă este atât injectivă cât şi

Altfel spus: oricare ar fi elementul y din mulţimea B există un singur element x din mulţimea A astfel încât f(x) = y. O funcţie bijectivă pune cele două mulţimi în

corespondenţă biunivocă, adică "element cu element".

Pentru mulţimile finite o astfel de corespondenţă poate exista numai dacă cele două

mulţimi au tot atâtea elemente.

Exemplu:

2.3.3. Compunerea funcţiilor

Definiţie: Fiind date funcţiile: f : A B şi g : B C se defineşte g f : A C prin (g

f)(x) = g(f(x)). Aceasta este operaţia de compunere a funcţiilor. După cum se observă pe desen,

prin funcţia g f, elementului a

din mulţimea A îi corespunde

elementul m din mulţimea C, căci

(g f)(a) = g(f(a)) = g(1) = m.

La fel,

(g

(g

(g

(g

f)(b) = g(f(b)) = g(2) = n;

f)(c) = g(f(c)) = g(4) = q;

f)(d) = g(f(d)) = g(6) = q;

f)(e) = g(f(e)) = g(4) = q.

Nu oricare două funcţii se pot

compune. După cum se observă, codomeniul lui f trebuie să fie acelaşi cu domeniul

lui g pentru a putea face compunerea g f.

Proprietăţi:

a) Compunerea funcţiilor este asociativă, adică dacă f : A

D, atunci (h g) f = h (g f).

B, g : B C şi h : C

(h

((h

(h

g)

g)

(g

f : A D şi h (g f): A D.

f) (x) = (h g) (f(x)) = h(g(f(x)))

f)) (x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x)))

b) Dacă f : A A, atunci funcţia 1A : A A; 1A (x) = x, numită aplicaţia identică a

mulţimii A este element neutru la compunere, adică f 1A = 1A f = f.

f 1A : A A şi 1A f : A A.

(f 1A )(x) = f(1A (x)) = f(x)

22

(1A f)(x) = 1A (f(x)) = f(x)

B bijectivă, atunci există funcţia f-1 : B c) Dacă f : A A, numită inversa funcţiei

f-1 = 1B şi f = 1A. f-1 f, cu proprietatea: f

Dacă f(x) = y, atunci f-1(y) = x.

Compunerea funcţiilor nu este în general comutativă.


2.4.1. Mulţimi. Operaţii cu mulţimi

1. Fie A = a, b, c, d, e, f şi B = b, d, g, h . Să se calculeze: A

B \ A.

B, A B, A \ B,

2. Fie A = { 1, 2, 3 } şi B = { 2, 4 }. Să se determine A x B şi B x A.

3. Să se determine mulţimile A şi B astfel încât să fie îndeplinite simultan condiţiile:

A

A

B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

B = 7, 8, 9, 10

B \ A = 4, 5, 6, 11 .

4. Să se determine mulţimile A şi B ştiind că A x B =

(b,f) .

(a,a), (a,c), (a,f), (b,a), (b,c),

5. Fie mulţimea A = 1, 2, 3, 4, 5 . Să se determine submulţimile B ale lui A astfel

încât

B 1, 2, 3 = .

2.4.2. Relaţii binare

1. Fie A = 1, 2, 3, 4 . Scrieţi perechile corespunzătoare relaţiei R A x A, unde x şi

y sunt în relaţie dacă x y. Ce proprietăţi are această relaţie?

2. Fie A = 1, 2, 3 şi relaţia R = (1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (1,2), (3,3) . Este această

relaţie reflexivă? Dar simetrică? Dar antisimetrică? Dar tranzitivă?

3. Demonstraţi că incluziunea mulţimilor nu este o relaţie simetrică.

4. Demonstraţi că relaţia a | b ( a divide b ) definită pe mulţimea numerelor naturale

nenule este o relaţie de ordine.

5. Demonstraţi că relaţia de congruenţă modulo 3 definită pe mulţimea numerelor întregi este o relaţie de echivalenţă. Scrieţi clasele de echivalenţă determinate de

această relaţie.

2.4.3. Funcţii

1. Fie A = 1, 2, 3, 4 , B = 1, 3, 5, 7, 9, 11 şi funcţia f : A B, f(x) = 2x + 1.

Enumeraţi elementele mulţimii f(A). Este această funcţie injectivă? Dar surjectivă?

23

2. Fie f : Z Z , f(x) = x2. Este această funcţie injectivă? Dar surjectivă?

3. Fie f : Z

inversa.

Z , f(x) = x - 4. Demonstraţi că funcţia este bijectivă şi determinaţi-i

4. Fie funcţia f : R \ {2} R \ {1}, f(x) = (x + 3 ) / (x - 2 )

Demonstraţi că f este bijectivă şi determinaţi-i inversa.

5. Fie funcţiile f : R

şi g f.

R şi g : R R, f(x) = 2x + 7 şi g(x) = 3x - 2. Determinaţi f g

6. Fie mulţimile A = a, b, c, d , B = 1, 2, 3, 4, 5 , C = m, n, p, q şi

funcţiile: f : A B şi g : B C astfel:

Completaţi tabelul de valori al funcţiei g f:

24


1. Fie A = 1, 2, 3, 4, 5 şi B = 3, 5, 7, 9, 11, 13 . Care dintre propoziţiile de mai

jos este adevărată?

C A a) 7 A B; b) 7 A B; c) 7 A \ B; d) 7 B \ A; e) 7 B A.

2. Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată: a) reuniunea are element neutru;

b) diferenţa este comutativă;

c) intersecţia este distributivă faţă de reuniune;

d) complementara reuniunii a două mulţimi este egală cu intersecţia

complementarelor celor două mulţimi;

e) complementara intersecţiei a două mulţimi este egală cu intersecţia

complementarelor celor două mulţimi.

3. Relaţia " " definită pe mulţimea numerelor întregi este: a) reflexivă;

b) simetrică;

c) tranzitivă;

d) antisimetrică.

4. Congruenţa modulo 7 definită pe Z este: a) o relaţie de ordine;

b) o relaţie de echivalenţă.

5. Fie A = 1, 2, 3, 4, 6, 12 şi relaţia "a divide b" definită pe această mulţime. Care dintre următoarele perechi aparţin relaţiei:

a) (1,3);

b) (2,4);

c) (3,4);

d) (2,3);

e) (6,12)?

6. Fie f : N N, f(x) = 2x2. Funcţia este:

a) injectivă;

b) surjectivă;

c) bijectivă?

Z , f(x) = x + 2. Inversa acestei funcţii este: f-1 : Z 7. Fie f : Z Z, prin: a) f-1(x) = - x - 2

b) f-1(x) = x - 2

c) f-1(x) = 1 / ( x + 2 )

d) f-1(x) = 2 - x

e) f-1(x) = x + 2

8. Fie A = 1, 2, 3, 4 , B = a, b, c, d, e , C = f, g, h, i şi funcţiile: f : A B şi

g : B C astfel:

25

Completaţi tabelul de valori al funcţiei g f:

(g f)(x)

2.6. RĂSPUNSURI - Fişa de autoevaluare

1. a), d), e). 2. a), c), d).

3. a), c), d).

4. b)

5. a), b), e).

6. a)

7. b)

8.

9.

2.7. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 2:

1. Stănescu, I.; Mulţimi de numere, Ed. Albatros, 1975

2. Ganga, M.; Algebră, Ed. Mathpress, 2000

26

x 1 2 3 4

(g f)(x)

i g g f

x 1 2 3 4

x a b c d e

g(x)

i g h g f

x 1 2 3 4

f(x)

a b b e

3. NUMERE NATURALE

3.1. MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE

3.1.1. Mulţimi echipotente. Numărul natural

Definiţie: Două mulţimi A şi B se numesc echipotente dacă există o funcţie bijectivă

f : A B. Se notează A ~ B.

Teoremă: Relaţia de echipotenţă este o relaţie de echivalenţă. Demonstraţie:

a) Reflexivitatea: orice mulţime A este echipotentă cu ea însăşi, A ~ A, pentru că se

defineşte funcţia 1A : A A, 1A(x) = x, care este o funcţie bijectivă.

b) Simetria: dacă A ~ B, atunci şi B ~ A.

B, bijectivă. Inversa ei, f-1 : B Dacă A ~ B, atunci există f : A

bijectivă, aşadar B ~ A.

A este tot o funcţie

c) Tranzitivitatea: dacă A ~ B şi B ~ C, atunci A ~ C.

Dacă A ~ B, atunci există f : A

Dacă B ~ C, atunci există g : B

B, bijectivă.

C, bijectivă.

Funcţia g f : A C este de asemenea o funcţie bijectivă, ca funcţie rezultată din

compunerea a două funcţii bijective. Rezultă că A ~ C. Deci, relaţia de echipotenţă a mulţimilor are toate proprietăţile relaţiei de echivalenţă.

Această relaţie împarte mulţimile în clase de echivalenţă. Toate mulţimile echipotente

între ele fac parte din aceeaşi clasă. O astfel de clasă de echivalenţă se numeşte

cardinal.

Definiţie: Se numeşte mulţime infinită o mulţime echipotentă cu o parte (submulţime)

proprie a ei.

Definiţie: Se numeşte mulţime finită o mulţime care nu este infinită.

Definiţie: Se numeşte număr natural, cardinalul unei mulţimi finite.

De exemplu, numărul natural 0 este card , 1 = card( x ), 2 = card( x,y ), 3 =

card( x,y,z ) etc.

Mulţimea numerelor naturale se notează cu N.

3.1.2. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor naturale.

Definiţie: Se spune că numărul natural n, unde n = cardA, este mai mic sau egal cu

numărul natural m, unde m = cardB, şi se notează n m, dacă există o funcţie

f : A B, injectivă ( A şi B mulţimi finite ).

Se va demonstra că această relaţie este o relaţie de ordine.

a) Reflexivitatea: Trebuie demonstrat că oricare ar fi n număr natural, n n.

Fie n = cardA. Se poate defini 1A: A A, 1A(x) = x, care este o funcţie injectivă, deci

n n.

27

b) Antisimetria: Dacă n m şi m n, trebuie arătat că n = m.

Fie n = cardA, m = cardB, cu A şi B mulţimi finite.

n

m

m implică existenţa unei funcţii injective f : A

n implică existenţa unei funcţii injective g : B

B,

A.

Teorema lui Bernstein afirmă că în acest caz A ~ B, adică n = m.

c) Tranzitivitatea: Dacă n m şi m p, trebuie demonstrat că n p.

Fie n = cardA, m = cardB, p = cardC, cu A, B şi C mulţimi finite.

n

m

În

m implică existenţa unei funcţii injective f : A

p implică existenţa unei funcţii injective g : B

B,

C.

o funcţie injectivă ca rezultat al aceste condiţii, funcţia g f : A C este

compunerii a două funcţii injective. Din existenţa acestei funcţii rezultă că n p.

Relaţia de ordine este peste tot definită în mulţimea numerelor naturale, adică oricare

două numere naturale sunt comparabile prin această relaţie.

3.2. OPERAŢII ÎN MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE

3.2.1. Adunarea

Definiţie: Fiind date numerele naturale n şi m, unde n = cardA şi m = cardB, cu A şi B

disjuncte ( A B = ), se defineşte legea de compoziţie internă numită adunare

B ). prin: n + m = card( A

Proprietăţile adunării:

a) Asociativitatea:

n,m,p N, (n + m) + p = n + (m + p).

Fie n = cardA, m = cardB, p = cardC, cu A, B şi C mulţimi finite şi disjuncte două

câte două. Atunci: (n + m) + p = card(A B) + p = card((A B) C), iar

n + (m + p) = n + card(B C) = card(A (B C)). Dar reuniunea mulţimilor este

asociativă, deci se obţine acelaşi rezultat, oricum s-ar asocia termenii adunării.

b) Elementul neutru 0 = card

n N, n + 0 = 0 + n = n

Fie n = cardA. Atunci n + 0 = card(A cardA = n.

c) Comutativitatea:

n,m N, n + m = m + n

) = cardA = n, iar 0 + n = card( A) =

Fie n = cardA şi m = cardB, unde A şi B disjuncte. Atunci n + m = card(A B) =

card(B A ) = m + n.

3.2.2. Înmulţirea

Definiţie: Fiind date numerele naturale n şi m, unde n = cardA şi m = cardB, se

defineşte legea de compoziţie internă numită înmulţire prin: n · m = card( A x B ).

Proprietăţile înmulţirii:

a) Asociativitatea:

n,m,p N, (n · m) · p = n · (m · p).

Fie n = cardA, m = cardB, p = cardC, cu A, B şi C mulţimi finite.

Atunci: (n · m) · p = card(A x B) · p = card((A x B) x C).

28

n · (m · p) = n · card(B x C) = card(A x (B x C)). Produsul cartezian nu este o operaţie asociativă, astfel încât trebuie să se demonstreze că cele două mulţimi au acelaşi

cardinal, adică (A x B) x C ~ A x (B x C).

Definim funcţia f : (A x B) x C A x (B x C) prin f(((a,b),c)) = (a,(b,c)), oricare ar fi

a A, b B şi c C, care se demonstrează că este bijectivă.

- Injectivitatea: ((a,b),c) şi ((p,q),r) (A x B) x C cu ((a,b),c) ((p,q),r), adică a p

sau b q sau c r, trebuie să arătăm că f(((a,b),c)) f(((p,q),r)). Presupunem că

f(((a,b),c)) = f(((p,q),r)), adică (a,(b,c)) = (p,(q,r)), de unde rezultă că a = p, b = q şi c

= r, contradicţie cu ipoteza, deci presupunerea făcută este falsă, ceea ce înseamnă că

f(((a,b),c)) f(((p,q),r)), adică funcţia este injectivă.

- Surjectivitatea: (p,(q,r)) A x (B x C) trebuie să arătăm că există ((a,b),c) (A x B) x C, astfel încât f(((a,b),c)) = (p,(q,r)). Dar f(((a,b),c)) = (a,(b,c)), deci (a,(b,c)) = (p,

(q,r)), de unde rezultă a = p, b = q şi c = r, deci funcţia este şi surjectivă.

Funcţia f definită mai sus este bijectivă, ceea ce demonstrează că mulţimile au acelaşi

cardinal.

b) Elementul neutru 1 = card e , cardinalul mulţimii cu un element.

n N, n · 1 = 1 · n = n

Fie n = cardA. Atunci n · 1 = card(A x e ), iar 1 · n = card( e x A)

Trebuie să demonstrăm că mulţimile A x e şi e x A sunt echipotente cu A.

Definim funcţiile f : A x e A prin f((a,e)) = a, a A şi g : e x A A prin

g((e,a)) = a, a A, despre care se demonstrează uşor că sunt bijective şi deci card(A

x e ) = card( e x A) = cardA. c) Comutativitatea:

n,m N, n · m = m · n

Fie n = cardA şi m = cardB. Atunci n · m = card(A x B) = card(B x A ) = m · n.

Faptul că card(A x B) = card(B x A) se demonstrează cu ajutorul funcţiei f: A x B

B x A, f((a,b)) = (b,a) bijectivă.

3.3. AXIOMELE LUI PEANO

3.3.1. Definirea axiomatică a mulţimii numerelor naturale

Încă din cele mai vechi timpuri, numărul natural a apărut în mintea omului sub cele două aspecte ale sale:

- aspectul cardinal care provine din necesitatea de a pune mulţimi de obiecte în

corespondenţă pentru a vedea unde sunt mai multe şi

- aspectul ordinal care provine din necesitatea de a pune obiectele într-o anumită

ordine: primul, al doilea, ... .

Numărul natural sub aspect cardinal s-a definit cu ajutorul relaţiei de echipotenţă a

mulţimilor.

Definirea lui sub aspect ordinal implică folosirea noţiunii de succesor ( număr care

urmează celui despre care este vorba ). Definirea riguroasă a mulţimii numerelor

naturale sub acest aspect este dată de cele 5 axiome enunţate de Giuseppe Peano în

anul 1891. Acestea sunt:

1. 0 este număr natural.

2. Orice număr natural n are exact un succesor n'.

3. 0 nu este succesorul nici unui număr natural.

4. Două numere naturale distincte au succesori distincţi.

29

5. Mulţimea numerelor naturale este mulţimea cu cele mai puţine elemente care are proprietăţile:

a) îl conţine pe 0;

b) împreună cu orice număr natural n conţine şi succesorul acestuia n'.

3.3.2. Operaţii cu numere naturale definite axiomatic

Operaţiile cu numere naturale: adunarea şi înmulţirea se definesc de asemenea

axiomatic, pe baza noţiunii de succesor.

Definiţia adunării: 1. m + 0 = 0 + m = m

2. m + n' = (m + n)'

Proprietăţile adunării se demonstrează prin metoda inducţiei matematice complete.

De exemplu, pentru asociativitate:

după c, a,b N.

a,b,c N, (a + b) + c = a + (b + c) se face inducţie

Verificare: pentru c = 0: (a + b) + 0 = a + b ( axioma 1 ) şi a + (b + 0) = a + b pentru că b + 0 = b ( axioma 1 ).

Presupunem proprietatea adevărată pentru c = k, adică:

(a + b) + k = a + (b + k) şi pe baza presupunerii vom demonstra proprietatea pentru c

= k', adică: (a + b) + k' = a + (b + k').

(a + b) + k' = ((a + b) + k)' = (a + (b + k))' = a + (b + k)' = a + (b + k'), ceea ce trebuia

demonstrat ( s-a folosit axioma 2 şi presupunerea inducţiei ).

Rezultă că c N, (a + b) + c = a + (b + c).

Faptul că 0 este element neutru pentru adunare rezultă din axioma 1.

Definiţia înmulţirii: 1. m · 0 = 0 · m = 0

2. m · n' = m · n + m.

3.3.3. Relaţia de ordine în N

Definiţie: Numărul natural n este mai mic sau egal cu numărul natural m dacă există

numărul natural p astfel încât n + p = m. Se notează n m.

Dacă n m şi n m, atunci se notează n m sau m n.

Proprietăţile relaţiei de ordine:

1. Trichotomie: Două numere naturale oarecare n şi m sunt neapărat într-una din

relaţiile: n m, n m sau n = m.

2. Monotonia adunării şi înmulţirii: dacă n m, iar p este un număr natural oarecare,

atunci: n + p m + p şi n · p m · p.

3. Axioma lui Arhimede: Pentru două numere naturale oarecare p şi q, p 0, există un

număr natural n astfel încât p · n q.

3.4. SISTEME DE NUMERAŢIE

Definiţie: Ansamblul regulilor de grupare a elementelor unei mulţimi în scopul numărării lor şi de reprezentare simbolică a numărului obţinut se numeşte sistem de

numeraţie.

30

Pentru scrierea numerelor naturale se folosesc simboluri grafice, numite cifre.

Există două sisteme de numeraţie: sistemul poziţional şi sistemul aditiv.

3.4.1. Sistem de numeraţie poziţional

Sistemul poziţional se numeşte astfel pentru că valoarea pe care o reprezintă cifra în scrierea numărului depinde de poziţia pe care aceasta o ocupă în scrierea

numărului. De exemplu, în numărul 4235 cifra 2 reprezintă 200, iar în numărul 702,

cifra 2 reprezintă 2 unităţi.

În general, un sistem de numeraţie poziţional foloseşte n cifre ( simboluri )

pentru primele n numere naturale.

Definiţie: Se numeşte bază a sistemului de numeraţie numărul care arată câte unităţi

de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat superior.

În acest caz baza de numeraţie este n. În momentul în care se termină cifrele, numărul n se scrie ocupând o nouă poziţie, respectând regula că n unităţi de un

anumit ordin formează o unitate de ordin superior.

Sistemul zecimal foloseşte zece cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Numărarea în

sistem zecimal se bazează pe gruparea obiectelor câte 10. Fiecare poziţie în scrierea

numărului corespunde unui anumit ordin, iar trei ordine formează o clasă, ca în

tabelul următor:

Fiecărui ordin îi corespunde o cifră. De exemplu, numerele scrise în tabel se citesc: 46 053 382, patruzeci şi şase de milioane, şaizeci şi trei de mii, trei sute optzeci şi doi;

23 002 346 104, douăzeci şi trei de miliarde, două milioane, trei sute patruzeci şi şase

de mii, o sută patru; 341 970, trei sute patruzeci şi una de mii, nouă sute şaptezeci.

Dacă lipsesc unităţi de un anumit ordin, pe acele poziţii se aşează cifra 0. Între

clase nu se pun puncte, ci se lasă mici spaţii pentru a citi mai uşor numerele mari.

Fiecare poziţie în scrierea numărului o reprezintă o putere a bazei, în acest caz, a lui

10. Numărul 341 970 = 3·100 000 + 4·10 000 + 1·1 000 + 9·100 + 7·10 + 0 = 3·10 5 +

+ 4·104 + 1·103 + 9·102 + 7·101 + 0·100.

În tehnica de calcul se foloseşte sistemul binar. Acest sistem are baza 2 şi

foloseşte doar cifrele 0 şi 1. Orice număr natural se poate scrie cu aceste cifre. De

exemplu, 0 şi 1 se scriu cu o cifră: 0(2), respectiv 1(2); pentru numărul 2 este nevoie de

o nouă poziţie, el se va scrie 10(2); 3 se scrie 11(2); 4 necesită deja trei poziţii pentru

scriere: 100(2); 5 este 101(2); 6 se scrie 110(2); 7 este cel mai mare număr care se poate

scrie folosind trei poziţii 111(2); 8, ca putere a bazei va fi 1000(2); 9 se reprezintă

1001(2); 10 este 1010(2) şi aşa mai departe. Ca în orice bază, fiecare poziţie reprezintă o

20 21

22 23

24 25

putere a bazei: =

100000(2).

1(2); = 10(2); = 100(2); = 1000(2); = 10000(2); =

31

CLASA

MILIARDELOR

CLASA

MILIOANELOR

CLASA MIILOR

CLASA

UNITĂŢILOR

Sute

de

mili-

arde

Zeci

de

mili-

arde

Mili-

arde

Sute

de

mili-

oane

Zeci

de

mili-

oane

Mili-

oane

Sute

de

mii

Zeci

de

mii

Mii

Sute

Zeci

Uni-

tăţi

sim-

ple 4 6 0 6 3 3 8 2 2 3 0 0 2 3 4 6 1 0 4 3 4 1 9 7 0

De exemplu, numărul 110010011(2) = 1·28 + 1·27 + 0·26 + 0·25 + 1·24 + 0·23 +

0·22 + 1·21 + 1·20 = 256 + 128 + 16 + 2 + 1 = 403(10)

Transformarea unui număr din baza 10 în baza 2 se face prin împărţiri repetate

(gruparea elementelor câte două ) în următorul fel:

În căsuţe se găsesc câturile împărţirilor, iar sub acestea resturile. Prima cifră a numărului este ultimul cât, iar apoi se scriu resturile de jos în sus: 110010011(2).

În baza de numeraţie 5 se folosesc cifrele 0, 1, 2, 3, 4.

Numărul 42331(5) = 4·54 + 2·53 + 3·52 + 3·51 + 1·50 = 4·625 + 2·125 + 3·25 + 3·5 + 1 =

= 2500 + 250 + 75 + 15 + 1 = 2841(10)

Transformarea din baza 10 în baza 5 se face prin împărţire:

Rezultatul este: 42331(5) . Baza de numeraţie 16 ( sistemul hexazecimal ) este de asemenea folosit în

tehnica de calcul. Acest sistem foloseşte 16 cifre: 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, F, unde

A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Numărul A7F(16) = A·162 + 7·161 + F·160 = 10·256 + 7·16 + 15·1 = 2560 + 112 + 15 =

2687(10) . Numerele scrise în baza 16 folosesc mai multe simboluri, dar mai puţine

poziţii.

Transformarea lui 2687 din baza 10 în baza 16:

10 = A, 15 = F, numărul obţinut este: A7F(16).

3.4.2. Operaţii cu numere naturale scrise în diferite baze de numeraţie

Adunarea Pentru a aduna două sau mai multe numere scrise în aceeaşi bază k, se adună

între ele cifrele care reprezintă unităţi de acelaşi ordin. Dacă suma unităţilor de un

anumit ordin este mai mare sau egală cu baza sistemului de numeraţie, atunci ea se

transformă în unităţi de ordin imediat următor, acestea adunându-se la suma unităţilor

de acelaşi ordin, restul de unităţi scriindu-se în coloana respectivă.

Se poate utiliza tabla adunării. Pentru baza de numeraţie 6, aceasta este:

32

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 10

2687 16

15 167 16

7 10

2841 5

1 568 5

3 113 5

3 22 5

2 4

403 2

1 201 2

1 100 2

0 50 2

0 25 2

1 12 2

0 6 2

0 3 2

1 1

Cu ajutorul tablei efectuăm următoarea adunare: 43524+

2345

50313 Calculele s-au efectuat astfel: 4 + 5 = 13, se scrie 3 şi 1 se transportă; 1 + 2 + 4 = 11,

se scrie 1 şi 1 se transportă; 1 + 5 + 3 = 13, se scrie 3 şi 1 se transportă; 1 + 3 + 2 =

10, se scrie 0 şi 1 se transportă; 1 + 4 = 5.

Scăderea Pentru a efectua scăderea, se procedează ca şi la adunare. Dacă unităţile de un

anumit ordin ale descăzutului sunt în număr mai mic decât unităţile de acelaşi ordin

ale scăzătorului, o unitate de ordin imediat superior se transformă în atâtea unităţi de

ordin inferior cât este baza.

De exemplu, dacă se face proba prin scădere a adunării efectate în bază 6 se

procedează astfel:

50313 -

2345

43524 3 - 5 nu se poate efectua. Se împrumută o unitate de la ordinul superior, care se

transformă în 6 unităţi. 6 + 3 - 5 = 4. 0 - 4 nu se poate. Se împrumută de la ordinul

superior şi se obţine 6 - 4 = 2. 2 - 3 nu se poate efectua. La ordinul imediat superior

sunt 0 unităţi, astfel că împrumutul se face de următorul ordin. O astfel de unitate se

transformă în 5 unităţi de ordin imediat inferior şi 6 unităţi de ordinul la care se

ajunsese cu scăderea. Deci, 6 + 2 - 3 = 5; 5 - 2 = 3 şi 4 - 0 = 4.

Înmulţirea La efectuarea înmulţirii se ţine cont de aceeaşi regulă, adică un număr

unităţi egal cu baza formează o unitate de ordin imediat superior.

Este util a se folosi tabla înmulţirii. În bază 6, tabla înmulţirii este următoarea:

de

Se efectuează următoarea înmulţire în baza 6:

4352 x

314

30332

4352

33

x 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 10 12 14

3 0 3 10 13 20 23

4 0 4 12 20 24 32

5 0 5 14 23 32 41

2 2 3 4 5 10 11

3 3 4 5 10 11 12

4 4 5 10 11 12 13

5 5 10 11 12 13 14

21540

2312252

4 x 2 = 12, 2 se scrie, 1 se transportă. 4 x 5 = 32, la care se adună 1, deci 33, se scrie 3, iar 3 se transportă. 4 x 3 = 20 la care se adună 3, deci 23, se scrie 3, se transportă 2.

4 x 4 = 24, la care se adună 2, deci 30. Se scrie 0, iar în faţa lui 3. Următoarele două

produse parţiale se efectuează analog, se scriu cu câte o unitate mai la stânga, iar

rezultatul se obţine prin adunare.

Împărţirea Pentru efectuarea împărţirii se utilizează legătura dintre împărţire şi înmulţire.

Împărţirea este cea mai dificilă operaţie. de exemplu, se va face proba înmulţirii

anterioare prin împărţire:

2312252

21540

4352 se cuprinde în 23122 ca 4 în 23. Analizând tabla înmulţirii, cel mai apropiat rezultat este 4 x 3 = 20.

Aşadar scriem 3 şi facem înmulţirea lui 4352 cu 3.

Se obţine rezultatul 21540. Se efectuează scăderea

şi se coboară cifra 5. 4352 se cuprinde în 11425 ca 4 în

11. Cel mai apropiat rezultat este 4 x 1 = 4. Se scrie 1,

se face înmulţirea 1 x 4352, se scade din 11425, iar

lângă rezultat se coboară cifra 2. 4352 se cuprinde în

30332 ca 4 în 30. Cel mai apropiat rezultat este 4 x 4 =

= 24, deci se scrie 4 şi se înmulţeşte 4 x 4352, obţinând

rezultatul 30332.

=11425

4352

=30332

30332

=====

3.4.3. Sistem de numeraţie aditiv

Cel mai cunoscut exemplu îl reprezintă scrierea numerelor cu ajutorul cifrelor romane. Acest sistem foloseşte şapte simboluri, patru de bază: I = 1, X = 10, C = 100,

M = 1000 şi trei auxiliare: V = 5, L = 50, D = 500.

Scrierea numerelor cu ajutorul acestor simboluri respectă câteva reguli:

- cifrele mai mari se scriu în faţa celor mai mici şi valorile se adună;

- numărul maxim de cifre de acelaşi fel care se repetă una după alta este 3;

- pentru a scrie 4, 40, 400, 9, 90, 900 se pune în faţa cifrei mai mari cifra mai mică,

astfel încât valoarea se obţine prin scădere.

De exemplu, MDCCLXVI reprezintă numărul: 1000 + 500 + 200 + 50 + 10 + 5 + 1,

adică 1766.

MMCDXCIV reprezintă 2000 + ( 500 - 100 ) + ( 100 - 10 ) + ( 5 - 1 ) = 2000 + 400 +

+ 90 + 4 = 2494.

34

4352

314


1. Să se afle numărul abcd ştiind că abcd + bcd + cd + d = 1986

2. Un elev, la înmulţirea a două numere, a scris din greşeală cifrele deînmulţitului cu o unitate mai mică fiecare şi i-a dat la rezultat 82 176 în loc de 110 592. Care sunt cele

două numere?

3. Dacă la un număr de 5 cifre scris în baza 10 punem la stânga cifra 2, obţinem un număr de 2 ori mai mare decât dacă am pune cifra 3 în dreapta numărului. Să se afle

acest număr.

4. Să se determine toate numerele naturale care împărţite la 9 dau câtul c şi restul r şi

care împărţite la 5 dau câtul r şi restul c.

5. Aflaţi numerele naturale care împărţite la 15 dau un rest egal cu pătratul câtului.

6. Un număr de trei cifre împărţit la răsturnatul său dă câtul 3 şi restul 175, iar

diferenţa dintre cifra sutelor şi cea a unităţilor numărului este 7. Să se afle numărul.

7. Împărţind 2414 şi 1856 prin acelaşi număr natural obţinem resturile 17 şi, respectiv,

23. Să se afle numărul prin care ele au fost împărţite.

8. Să se afle un număr natural în bazag10, format din 3 cifre, ştiind că scris în baza 7

are forma xyy, iar în baza 6 are forma yxx.

9. Să se afle x şi y, baze de numeraţie, astfel încât: 12(x) + 36(y) = 34(10).

10. În ce bază de numeraţie numerele 23, 32, respectiv 41 sunt pitagoreice?

11. Să se afle baza de numeraţie x în care sunt scrise numerele care verifică relaţia:

23(x) · 32(x) = 746(x).

12. Să se afle cifrele x şi y, ştiind că au loc simultan egalităţile:

45y(x) = 178(10) şi 452(x) = 3y1(7).

13. Să se determine cifrele x şi y din egalitatea:

1111(2) + 1111(3) + 1111(4) + 1111(5) + 1111(6) + 1111(7) + 1111(8) + 1111(9) = xyxyx(7) - -

91(10), unde indicii reprezintă baze de numeraţie.

35


1. Ce se numesc mulţimi echipotente?

Răspuns: ..............................................................................................................

2. Ce fel de relaţie este relaţia de echipotenţă?

Răspuns: ..........................................................................................................

3. Cum se numeşte o clasă de echivalenţă determinată de relaţia de echipotenţă a mulţimilor?

Răspuns: .........................................................................

4. Ce este numărul natural?

Răspuns: ..................................................................................................................

5. Ce proprietăţi are adunarea numerelor naturale? a) asociativitate

b) are element neutru

c) toate elementele sunt simetrizabile

d) comutativitate

e) este distributivă faţă de înmulţire

6. Ce proprietăţi are operaţia de înmulţire a numerelor naturale? a) asociativitate

b) are element neutru

c) toate elementele sunt simetrizabile

d) comutativitate

e) este distributivă faţă de adunare

7. Care sunt tipurile de sisteme de numeraţie care se folosesc?

Răspuns: ...........................................................................

8. Scrieţi cu cifre romane: 2845; 1974.

9. Scrieţi numărul 1324(6) în baza 10 şi apoi în baza 16.

10. Alcătuiţi tabla adunării şi înmulţirii în baza de numeraţie 4.

36

3.7. RĂSPUNSURI - fişa de autoevaluare

1. Mulţimile A şi B sunt echipotente dacă există o funcţie bijectivă f : A B.

2. Relaţia de echipotenţă este o relaţie de echivalenţă.

3. cardinal.

4. Numărul natural este cardinalul unei mulţimi finite.

5. a), b), d).

6. a), b), d), e).

7. sisteme poziţionale şi sisteme aditive.

8. 2845 = MMDCCCXLV

1974 = MCMLXXIV

1324(6) = 1· 63 + 3 · 62 + 2 · 6 + 4 = 216 + 108 + 12 + 4 = 340(10) 9.

340(10) = 154(16)

10.

3.8. BIBLIOGRAFIE CAPITOLUL 3

1. Aron, I. ; Herescu, Gh., Aritmetică pentru învăţători, E.D.P., 1977 2. Mică enciclopedie matematică, Ed. Tehnică, 1980

3. Roşu M., Roman M., Matematică pentru perfecţionarea învăţătorilor,

Educational, 1995

Ed. ALL

37

x 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 10 12

3 0 3 12 21

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 10

2 2 3 10 11

3 3 10 11 12

340 16

4 21 16

5

1

4. NUMERE ÎNTREGI

4.1. NUMERELE ÎNTREGI ŞI REPREZENTANŢII LOR

4.1.1. Număr întreg

Pe mulţimea N x N a perechilor de numere naturale definim relaţia:

( m,n ) este în relaţie cu ( p,q ) şi notăm ( m,n ) ( p,q ) dacă m + q = n + p.

Relaţia definită în acest mod este o relaţie de echivalenţă.

Reflexivitatea:

Oricare ar fi perechea ( m,n ) din N x N, ( m,n )

Simetria:

( m,n ), pentru că m + n = n + m.

Dacă ( m,n ) ( p,q ), atunci şi ( p,q ) p + n = q + m.

Tranzitivitatea:

( m,n ), pentru că din m + q = n + p rezultă

Dacă ( m,n ) ( p,q ) şi ( p,q ) ( r,s ), atunci ( m,n ) ( r,s ).

Din ( m,n ) ( p,q ) rezultă că m + q = n + p, iar din ( p,q ) ( r,s ) rezultă că p + s =

q + r. Adunăm egalităţile: m + q + p + s = n + p + q + r, de unde rezultă că m + s = n

+ + r, adică ( m,n ) ( r,s ).

Această relaţie determină pe mulţimea N x N clase de echivalenţă.

Definiţie: Se numeşte număr întreg o clasă de echivalenţă determinată de relaţia definită anterior pe N x N.

Mulţimea numerelor întregi se notează cu Z.

4.1.2. Numere întregi pozitive şi negative

Teoremă: O clasă de echivalenţă nu conţine decât cel mult un element ( p, q ) în care

q = 0.

Presupunem că există două elemente care au a doua componentă a perechii nulă, adică două perechi de forma ( m,0 ) şi ( p,0 ). Rezultă că m + 0 = 0 + p, adică m = p, deci

este una şi aceeaşi pereche.

Toate elementele dintr-o clasă care conţine perechea ( m, 0 ) sunt de forma ( p, q ) cu

p > q, pentru că m + q = 0 + p implică p > q.

Definiţie: Se numeşte număr întreg pozitiv o clasă care conţine un element de forma

( m, 0 ).

Teoremă: O clasă de echivalenţă nu conţine decât cel mult un element ( p, q ) în care

p = 0.

Presupunem că există două elemente care au prima componentă a perechii nulă, adică două perechi de forma ( 0, m ) şi ( 0, p ). Rezultă că 0 + p = m + 0, adică p = m, deci

este una şi aceeaşi pereche.

38

Toate elementele dintr-o clasă care conţine perechea ( 0,m ) sunt de forma ( p, q ) cu

p < q, pentru că 0 + q = m + p implică p < q.

Definiţie: Se numeşte număr întreg negativ o clasă care conţine un element de forma

( 0,m ).

Clasa care conţine elementul ( 0,0 ) defineşte numărul întreg zero. Oricare element din această clasă este de forma ( m,m ). Numărul întreg zero este şi pozitiv şi negativ.

Mulţimea numerelor întregi pozitive se notează Z+, iar mulţimea numerelor întregi

negative se notează Z-.

Z+ Z- = Z. Se notează Z* = Z \ { 0 }.

Numerele întregi se notează astfel: 0 = { ( 0,0 ), ( 1,1 ), ( 2,2 ), ..., ( n,n ), ... }

+ 1 = { ( 1,0 ), ( 2,1 ), ( 3,2 ), ..., ( n + 1,n ), ... }

- 1 = { ( 0,1 ), ( 1,2 ), ( 2,3 ), ..., ( n,n+1 ), ... }

+ 2 = { ( 2,0 ), ( 3,1 ), ( 4,2 ), ..., ( n+2,n ), ... }

- 2 = { ( 0,2 ), ( 1,3 ), ( 2,4 ), ..., ( n,n+2 ), ... }

Cu aceste notaţii, Z = { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ... } .

4.1.3. Modulul unui număr întreg

Definiţie: Se numeşte modulul numărului întreg pozitiv m care conţine perechea ( m, 0 ), numărul natural m. Se numeşte modulul numărului întreg negativ – m care

conţine perechea ( 0, m ), numărul natural m.

Adică | m | = | - m | = m.

4.2. OPERAŢII ÎN MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI

4.2.1. Adunarea

Definiţie: Considerăm două numere întregi, pentru care alegem câte un reprezentant ( m,n ) şi ( p,q ) al claselor de echivalenţă respective. Se defineşte suma celor două

numere întregi clasa reprezentată de elementul ( m+p,n+q ).

Independenţa definiţiei de reprezentanţi:

Fie ( m,n )

Din ( m,n )

( r,s ) şi ( p,q ) ( u,v ). Se va demonstra că ( m+p,n+q ) ( r+u,s+v ).

( r,s ) rezultă m + s = n + r, iar din ( p,q ) ( u,v ) rezultă p + v = q + u.

Adunând cele două relaţii se obţine m + s + p + v = n + r + q + u,

adică ( m+p ) + ( s+v ) = ( n+q ) + ( r+u ), deci ( m+p,n+q ) ( r+u,s+v ).

Proprietăţile adunării numerelor întregi:

1. Asociativitatea Oricare ar fi numerele întregi a, b, c: ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a, ( p,q ) un reprezentant al lui b şi ( r,s ) un

reprezentant al lui c.

Atunci ( a + b ) + c = (( m,n ) + ( p,q )) + ( r,s) = ( m+p,n+q ) + ( r,s ) =

( m+p+r,n+q+s).

a + ( b + c ) = ( m,n ) + (( p,q ) + ( r,s )) = ( m,n ) + ( p+r,q+s ) = ( m+p+r,n+q+s ). Se

obţine acelaşi rezultat, pentru că adunarea numerelor naturale este asociativă.

39

2. Comutativitatea Oricare ar fi numerele întregi a şi b: a + b = b + a.

Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a şi ( p,q ) un reprezentant al lui b.

a + b = ( m,n ) + ( p,q ) = ( m+p,n+q ), iar b + a = ( p,q ) + ( m,n ) = ( p+m,q+n ). Se

obţine acelaşi rezultat pentru că adunarea numerelor naturale este comutativă.

3. Elementul neutru este numărul întreg 0

Oricare ar fi un număr întreg a: a + 0 = 0 + a = a.

Fie ( m,n ) reprezentantul lui a, iar ( 0,0 ) reprezentantul lui 0. Atunci a + 0 = ( m,n ) +

+ ( 0,0 ) = ( m,n ).

4. Toate numerele întregi sunt simetrizabile faţă de adunare

Oricare ar fi un număr întreg a, există un număr întreg (- a), astfel încât a + (-a) = (-a)

+ a = 0.

Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a. Atunci reprezentantul lui (- a) este ( n,m ), căci: a

+ (- a) = ( m,n ) + ( n,m ) = ( m+n, n+m ) care este un reprezentant al lui 0.

Observaţii: - prin adunarea a două numere întregi pozitive se obţine tot un număr pozitiv;

- prin adunarea a două numere întregi negative se obţine un număr negativ;

- prin adunarea unui număr pozitiv cu unul negativ, suma este de semnul celui mai

mare număr în modul, iar modulul rezultatului este diferenţa modulelor celor două

numere.

4.2.2. Înmulţirea

Definiţie: Produsul a două numere întregi reprezentate prin perechile ( m,n ) şi ( p,q )

este ( mp + nq, mq + np )

Independenţa de reprezentanţi:

Fie: ( m,n )

· ( u,v ).

( r,s ) şi ( p,q ) ( u,v ). Se demonstrează că ( m,n ) · ( p,q ) ( r,s ) ·

( m,n ) · ( p,q ) = ( mp + nq,mq + np )

( r,s ) · ( u,v ) = ( ru + sv,rv + su )

Din ( m,n ) ( r,s ) rezultă că m + s = n + r, iar din ( p,q ) ( u,v ) rezultă că p + v =

q + u. Trebuie demonstrat că mp + nq + rv + su = mq + np + ru + sv. Din prima relaţie,

r = m + s - n, iar din a doua, u = p + v - q. Se înlocuieşte în relaţia care trebuie

demonstrată şi se obţine: mp + nq + ( m + s - n )v + s( p + v - q) = mq + np + ( m + s -

- n )( p + v - q) + sv;

mp + nq + mv + sv - nv + sp + sv - sq = mq + np + mp + mv - mq + sp + sv - sq - np -

- nv + nq + sv, egalitate adevărată.

Proprietăţile înmulţirii:

1. Asociativitatea Oricare ar fi a, b, c numere întregi, (a · b) · c = a · (b · c)

Fie ( m,n ) reprezentantul lui a, ( p,q ) reprezentantul lui b, ( r,s ) reprezentantul lui c.

Atunci ( a · b ) · c = ( mp + nq,mq + np ) · ( r,s ) = ( ( mp + nq )r + ( mq + np )s, ( mp

+ nq)s + ( mq + np )r ) = ( mpr + nqr + mqs + nps,mps + nqs + mqr + npr )

40

a · ( b · c ) = ( m,n ) · ( pr + qs, ps + qr ) = ( m(pr + qs ) + n(ps + qr),m(ps + qr) + n( pr + qs )) = ( mpr + mqs + nps + nqr,mps + mqr + npr + nqs ). Cele două rezultate

obţinute sunt egale, deci înmulţirea este asociativă.

2. Comutativitatea

Oricare ar fi numerele întregi a şi b, a · b = b · a

Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a şi ( p,q ) un reprezentant al lui b.

Atunci a · b = ( mp + nq,mq + np), iar b · a = ( pm + qn,pn + qm ). Cele două rezultate

sunt egale, deci înmulţirea este comutativă.

3. Elementul neutru 1

Oricare ar fi numărul întreg a, a · 1 = 1 · a = a.

Fie ( m,n ) un reprezentant al lui a şi ( 1,0 ) un reprezentant al lui 1.

Atunci a · 1 = ( m,n ) = a.

4. Elementele simetrizabile sunt 1 şi – 1.

5. Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare

Oricare ar fi numerele întregi a, b, c:

a · ( b + c ) = a · b + a · c

Fie ( m,n ) reprezentant al lui a, ( p,q ) reprezentant al lui b şi ( r,s ) reprezentant al lui

c. Atunci a · ( b + c ) = ( m,n ) · ( p + r,q + s ) = ( mp + mr + nq + ns,mq + ms + np +

+nr ), iar a · b + a · c = ( mp + nq,mq + np ) + ( mr + ns,ms + nr ) = ( mp + nq + mr +

+ ns,mq + np + ms + nr ), egalitate adevărată.

Observaţii: - Produsul a două numere întregi pozitive este pozitiv;

- Produsul a două numere întregi negative este pozitiv;

- Produsul unui număr întreg pozitiv cu un număr întreg negativ este negativ.

4.3. RELAŢIA DE ORDINE ÎN MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI

Definiţie: Numărul întreg a este mai mic sau egal cu numărul întreg b şi se notează:

a b, dacă există un număr întreg pozitiv c astfel încât a + c = b.

Relaţia definită mai sus este o relaţie de ordine.

Reflexivitatea:

Oricare ar fi un număr întreg a, a a + 0 = a.

Antisimetria:

a, pentru că există numărul întreg 0 astfel încât

Dacă a

Din a

b şi b a, atunci a = b.

b rezultă că există c pozitiv, astfel încât a + c = b, iar din b a rezultă că

există d pozitiv, astfel încât b + d = a. Se adună cele două relaţii şi se obţine: a + c + b + d = b + a, de unde rezultă c + d = 0. Dar c şi d sunt pozitive, atunci c = d =

0, de unde a = b.

Tranzitivitatea:

Dacă a b şi b c, atunci a c.

Din a b rezultă că există d pozitiv, astfel încât a + d = b, iar din b c, rezultă că

există e pozitiv astfel încât b + e = c. Înlocuindu-l pe b în ultima relaţie, se obţine:

a + d + e = c. Dacă d şi e sunt pozitive, atunci d + e este un număr întreg pozitiv şi

rezultă că a c.

Între operaţiile cu numere întregi şi relaţia de ordine există proprietăţi de legătură:

41

1. Dacă a, b, c sunt numere întregi şi a b, atunci a + c b + c şi reciproc.

2. Dacă a b şi c d, atunci a + c b + d.

3. Dacă c este un număr întreg, pozitiv şi nenul, iar a

4. Dacă c este un număr întreg, negativ şi nenul, iar a

b, atunci ac

b, atunci bc

bc şi reciproc.

ac şi reciproc.

5. Dacă a, b, c, d sunt numere întregi, pozitive şi a b, c d, atunci ac bd.


1. Două perechi de numere naturale ( m,n ) şi ( p,q ) sunt echivalente

dacă ...................................................

2. Numărul întreg este .....................................................................................................

3. Ce sunt numerele întregi pozitive?

Răspuns: .........................................................................................................................

4. Ce fel de număr este zero?

Răspuns: .........................................................................

5. Proprietăţile adunării numerelor întregi sunt: a) comutativitate

b) orice număr întreg are un simetric faţă de adunare

c) 0 este element neutru

d) adunarea este distributivă faţă de înmulţire

e) asociativitate

6. Prin adunarea a două numere întregi negative

întreg ...................

se obţine un număr

7. Proprietăţile înmulţirii numerelor întregi sunt: a) comutativitate

b) orice număr întreg are un simetric faţă de înmulţire


d) înmulţirea este distributivă faţă de adunare

e) asociativitate

8. Prin înmulţirea a două numere întregi negative

întreg .................

se obţine un număr

9. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor întregi are proprietăţile: a) reflexivitate

b) simetrie

c) antisimetrie

d) tranzitivitate

42


1. m + q = n + p

2. o clasă de echivalenţă determinată de relaţia de echivalenţă definită pe mulţimea

perechilor de numere naturale.

3. Numerele întregi pozitive sunt clasele de echivalenţă care conţin un element

forma ( p,0 ).

de

4. Zero este şi pozitiv şi negativ.

5. a), b), c), e).

6. negativ.

7. a), c), d), e).

8. pozitiv.

9. a), c), d).


Stănescu, I., Mulţimi de numere, Ed. Albatros, 1975

43

5. NUMERE RAŢIONALE

5.1. MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

5.1.1. Număr raţional

Pe mulţimea perechilor Z x Z* se defineşte relaţia: perechea ( m, n ) este echivalentă

cu perechea ( p, q ) şi se scrie: ( m, n ) ( p, q ) dacă mq = np.

Relaţia definită mai sus este o relaţie de echivalenţă. Reflexivitatea:

Oricare ar fi perechea ( m,n ), ea este echivalentă cu ea însăşi, pentru că mn = nm.

Simetria:

Dacă ( m,n ) ( p,q), atunci şi ( p,q ) ( m,n ).

Din ( m,n ) ( p,q ) rezultă că mq = np. Trebuie demonstrat că pn = qm, ceea ce este

adevărat, din condiţia anterioară.

Tranzitivitatea:

dacă ( m,n )

Din ( m,n )

( p,q ) şi ( p,q ) ( r,s ), atunci ( m,n ) ( r,s ).

( p,q ) rezultă că mq = np, iar din ( p,q ) ( r,s ) rezultă că ps = qr.

Înmulţind cele două egalităţi, se obţine: mqps = npqr, adică ms = nr, ceea ce înseamnă

că ( m,n ) ( r,s ).

Ca orice relaţie de echivalenţă, această relaţie împarte mulţimea Z x Z* în clase de

echivalenţă.

Definiţie: Se numeşte număr raţional o clasă de echivalenţă definită de relaţia dată

mai sus pe mulţimea Z x Z*. a

b Numărul raţional reprezentat de perechea ( a,b ) se notează

Aceasta este o fracţie, unde a se numeşte numărător, iar b se numeşte numitor.

Mulţimea numerelor raţionale se notează cu Q.

5.1.2. Numere raţionale pozitive şi negative

a Fracţia reprezintă un număr raţional pozitiv dacă ab 0. Ea reprezintă un

b

număr raţional negativ dacă ab 0. 0 este număr raţional pozitiv şi negativ.

Se notează cu Q+ mulţimea numerelor raţionale pozitive şi cu Q- mulţimea numerelor

raţionale negative. Q+ Q- = Q, Q+

Q- = 0 , Q \ { 0 } = Q*.

5.2. OPERAŢII CU NUMERE RAŢIONALE

5.2.1. Adunarea

a c Definiţie: Fie şi doi reprezentanţi ai numerelor raţionale p şi q. Se

b d

44

ad bc defineşte p + q ca fiind numărul raţional reprezentat de fracţia .

bd


Fie un alt reprezentant al numărului raţional p, adică: an = bm m

rn şi un alt reprezentant al numărului raţional q, adică cs = dr.

s

ad bc şi

ms

nr Trebuie să se demonstreze că

raţional,

reprezintă acelaşi număr bd ns

adică ( ad + bc )ns = bd( ms + nr ); adns + bcns = bdms + bdnr. Dar an = bm şi cs = =dr. Înlocuim pe an şi cs din membrul stâng şi obţinem: bmds + drbn = bdms + bdnr,

egalitate adevărată.

Proprietăţile adunării numerelor raţionale

1. Asociativitatea Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r, ( p + q ) + r = p + ( q + r ).

Se alege câte un reprezentant pentru fiecare număr raţional:

a , c

şi ge . Înlocuind, obţinem:

b d f

a c e a c e ad bc e a cf de

b

ad

d

bc

f b

bde

d

adf

f

b cf

bd

de

f b

bcf

df

bde f adf adf bcf bde

bdf bdf bdf bdf

egalitate adevărată, ceea ce demonstrează asociativitatea adunării. 2. Comutativitatea

Oricare ar fi numerele raţionale p şi q, p + q = q + p.

a şi

c Alegem fracţiile ca reprezentanţi ai numerelor raţionale p, respectiv q.

b d

Se înlocuieşte şi se obţine: a c c a ad bc cb da , egalitate adevărată pentru că adunarea şi

înmulţirea sunt comutative în Z. b d d b bd db


Oricare ar fi numărul raţional p, p + 0 = 0 + p = p.

a 0 Fie un reprezentant al numărului raţional p şi un reprezentant al lui 0.

b m

, egalitate adevărată pentru că amb = bma. A doua

relaţie rezultă din comutativitate.

a 0 am b 0 am a

b m bm bm b

4. Toate numerele raţionale sunt simetrizabile în raport cu adunarea Oricare ar fi un număr raţional p, există un număr raţional (- p), astfel încât:

p + (- p) = (- p) + p = 0.

45

a a Dacă este un reprezentant al lui p,

reprezentant al lui (-p)

atunci este un b b

a a ab b( a) ab ba 0 0.

b2

b2

b2

b b

Din comutativitate rezultă şi cea de a doua relaţie.

5.2.2. Înmulţirea

a c Definiţie: defineşte

de fracţia

Fie

p · q

şi

ca

doi reprezentanţi ai numerelor raţionale p şi q. Se b

.

d fiind numărul raţional reprezentat ac

bd


m Fie un alt reprezentant al numărului raţional p, adică: an = bm

n r

şi un alt reprezentant al numărului raţional q, adică cs = dr. s

ac şi

mr Trebuie demonstrat că reprezintă acelaşi număr raţional, adică

bd ns

acns = bdmr, ceea ce este evident, având în vedere că an = bm şi cs = dr.

Proprietăţile înmulţirii

1. Asociativitatea Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r, ( p · q ) · r = p · ( q · r ).


a ,

c şi

ge . Înlocuind, obţinem: b d f

a c e a c e ac e a ce ace ace

b d f b d f bd f b df bdf bdf

întregi şi s-a obţinut o s-a folosit asociativitatea adevărată.

2. Comutativitatea

înmulţirii numerelor egalitate

Oricare ar fi numerele raţionale p şi q, p · q = q · p.

a şi

c Alegem fracţiile ca reprezentanţi ai numerelor raţionale p, respectiv q.

b d

Se înlocuieşte şi se obţine: a c c a ac ca egalitate adevărată pentru că înmulţirea numerelor întregi

este comutativă. b d d b bd db


Oricare ar fi numărul raţional p, p · 1 = 1 · p = p.

46

a m Fie un reprezentant al numărului raţional p şi un reprezentant al lui 1.

b m

, egalitate adevărată pentru că amb = bma. A doua

relaţie rezultă din comutativitate. a m am a

b m bm b

4. Toate numerele raţionale nenule sunt inversabile în raport cu înmulţirea

0, există numărul raţional p-1 astfel încât: Oricare ar fi numărul raţional p

p · p-1 = p-1 · p = 1.

a b este un reprezentant al lui p-1. Fie

a b

un reprezentant al lui p. Atunci b ab

a

1 , egalitate adevărată. Cealaltă egalitate rezultă din comutativitatea

înmulţirii. b a ba

5. Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r,

p · ( q + r ) = p · q + p · r


a ,

c şi

e

. Înlocuind, obţinem: b d f

a c e a c a e a cf de ac ae acf ade acbf aebd

b d f b d b f b df bd bf bdf bdbf

Dar (acf + ade ) bdbf = bdf ( acbf + aebd ) în mulţimea numerelor întregi. S-au obţinut reprezentanţi ai aceluiaşi număr raţional, rezultă că înmulţirea este

distributivă faţă de adunare.

5.3. RELAŢIA DE ORDINE ÎN MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE

Definiţie: Se spune că numărul raţional p este mai mic sau egal cu numărul raţional q

şi se scrie p q dacă există numărul raţional pozitiv r astfel încât p + r = q.

Relaţia definită mai sus este o relaţie de ordine pe mulţimea numerelor raţionale. Se vor demonstra în cele ce urmează proprietăţile acesteia.

Reflexivitatea

Oricare ar fi un număr raţional p, el este mai mic sau egal cu el însuşi.

Oricare ar fi numărul raţional p, există numărul raţional pozitiv 0, astfel încât

p + 0 = p, deci relaţia este reflexivă.

Antisimetria

Dacă p

Din p

Din q

q şi q p, trebuie demonstrat că p = q.

q rezultă că există un număr raţional pozitiv r, astfel încât p + r = q.

p rezultă că există un număr raţional pozitiv s, astfel încât q + s = p. atunci p + r + q + s = q + p, adică r + s = 0. Dar r şi s sunt numere raţionale pozitive, rezultă că r = s = 0, adică p = q.

Tranzitivitatea

Dacă p

Din p

Din q

q şi p r, atunci p r.

q rezultă că există un număr raţional pozitiv s, astfel încât p + s = q.

r rezultă că există un număr raţional pozitiv t, astfel încât q + t = r.

47

Înlocuindu-l pe q în a doua relaţie se obţine: p + s + t = r. Dacă s şi t sunt numere

raţionale pozitive, atunci şi s + t este un număr raţional pozitiv. Rezultă că p r.

S-a demonstrat că relaţia definită anterior are proprietăţile unei relaţii de ordine.

Această relaţie este legată de operaţiile definite în Q prin următoarele proprietăţi:

1. Oricare ar fi numerele raţionale p, q şi r astfel încât

p q , atunci p + r q + r.

2. Dacă numerele raţionale p, q, r şi s sunt astfel încât p q şi r s, atunci

p + r q + s.

3. Dacă p

4. Dacă p

q şi r un număr raţional pozitiv nenul, p · r

q şi r un număr raţional negativ nenul, q · r

q · r.

p · r.

q şi r 5. Dacă p, q, r şi s sunt numere raţionale pozitive şi p s, atunci pr qs.

5.4. REPREZENTAREA NUMERELOR RAŢIONALE PRIN FRACŢII

ZECIMALE

5.4.1. Fracţii zecimale cu număr finit de cifre semnificative după virgulă

S-a arătat în paragraful 1 al acestui capitol că un număr raţional este reprezentat printr-o fracţie ordinară. O fracţie ordinară se poate reprezenta ca fracţie zecimală prin

împărţirea numărătorului la numitor.

În cazul în care numitorul acestei fracţii conţine numai factorii primi 2 sau 5 la

diferite puteri, acest număr se reprezintă printr-o fracţie zecimală cu număr finit de

cifre semnificative după virgulă.

Exemple: 28

2,8; 5672

13 65432

56,72; 0,013; 654,32. 10 100 1000 100

În cazul în care numitorii sunt puteri ale lui 2 şi/sau 5, printr-o amplificare

corespunzătoare se pot obţine puteri ale lui 10, deci se reduc la cazul anterior.

5.4.2. Fracţii zecimale periodice simple

Dacă o fracţie se transformă într-o fracţie zecimală infinită, cifrele părţii zecimale se repetă periodic, datorită faptului că prin împărţirea numărătorului la numitor se poate

obţine un număr finit de resturi, astfel încât la un moment dat se obţine acelaşi rest,

deci câturile se repetă.

În cazul în care numitorul conţine numai factori primi cu 10, perioada ( partea care se

repetă ) începe imediat după virgulă.

Exemple: 2

0,666666... 0, (6) 3

7 2,333333... 2, (3)

3

1 0,142857142857142857... 0, (142857)

7

3 0,2727272727... 0, (27)

11

Numărul cifrelor perioadei este egal cu numărul cifrelor de 9 din cel mai mic număr al

şirului: 9, 99, 999, 9999, ... care se divide prin numitor.

48

5.4.3. Fracţii zecimale periodice mixte

În cazul în care numitorul este format din factorii 2 sau 5 cât şi din alţi factori primi, fracţia ordinară se transformă în fracţie zecimală periodică mixtă. La o astfel de

fracţie, după virgulă există un număr de cifre care nu se repetă, după care începe

perioada. Numărul de cifre al părţii neperiodice este egal cu puterea cea mai mare a

factorilor 2 sau 5 din dezvoltarea numitorului, iar numărul cifrelor perioadei este egal

cu numărul cifrelor de 9 al celui mai mic termen al şirului 9, 99, 999, 9999, ... care se

divide prin numitor.

Exemple:

1 0,16666... 0,1(6)

6

25 2,083333... 2,08(3)

12

16219 2,43528528528... 2,43(528)

6660

5.4.4. Transformarea fracţiilor zecimale în fracţii ordinare

1. Fracţii zecimale cu număr finit de cifre semnificative după virgulă O astfel de fracţie se transformă astfel: se scriu în faţă întregii, la numărător

partea zecimală, iar la numitor cifra 1 urmată de un număr de zerouri egal cu numărul

de cifre al părţii zecimale.

Exemple: 687

0,687 1000

2 3473

20000 3473 23473

2,3473 10000 10000 10000

2. Transformarea fracţiilor zecimale periodice simple în fracţii ordinare O astfel de fracţie se transformă astfel: se scriu în faţă întregii, la numărător

partea zecimală periodică, iar la numitor cifra 9 de un număr de ori egal cu numărul

de cifre al părţii periodice.

Exemple:

3 41

297 41 338

3, (41) 99

1

99 99

3 0, (3)

9 3

3. Transformarea fracţiilor zecimale periodice mixte în fracţii ordinare Transformarea se face astfel: se scriu în faţă întregii, la numărător diferenţa

dintre numărul format din cifrele părţii neperiodice şi părţii periodice şi numărul

format din cifrele părţii neperiodice, iar la numitor, atâtea cifre de 9 câte cifre sunt la

partea periodică urmate de atâtea cifre de 0 câte cifre are partea neperiodică.

Exemple:

49

325 32 293 0,32(5)

900

2 43528

900

43 2

43485

199800 43485 243285 16219 2,43(528)

99900 99900 99900 99900 6660

Observaţie: Fracţiile zecimale infinite neperiodice nu reprezintă numere raţionale, nu

se pot scrie ca raport de numere întregi.


1. Două perechi de numere din ZxZ* ( m,n ) şi ( p,q ) sunt echivalente

dacă ...................................................

2. Numărul raţional este ..................................................................................................

3. Ce sunt numerele raţionale pozitive?

Răspuns: .........................................................................................................................

4. Ce fel de număr este zero?

Răspuns: .........................................................................

5. Proprietăţile adunării numerelor raţionale sunt: a) comutativitate

b) orice număr raţional are un simetric faţă de adunare


d) adunarea este distributivă faţă de înmulţire

e) asociativitate

6. Proprietăţile înmulţirii numerelor raţionale sunt: a) comutativitate

b) orice număr raţional nenul are un simetric faţă de înmulţire


d) înmulţirea este distributivă faţă de adunare

e) asociativitate

7. Relaţia de ordine în mulţimea numerelor raţionale are proprietăţile: a) reflexivitate

b) simetrie

c) antisimetrie

d) tranzitivitate

23 8. Fracţia ordinară se scrie ca fracţie zecimală ............................. .

14

9. Fracţia zecimală 8,3(215) se scrie ca fracţie ordinară ............................... .

50


1. mq = np

2. O clasă de echivalenţă determinată de relaţia de echivalenţă definită pe mulţimea ZxZ*.

a 3. Numărul raţional este pozitiv dacă ab 0. b

4. Zero este şi pozitiv şi negativ.

5. a), b), c), e).

6. a), b), c), d), e).

7. a), c), d).

8. 1,6(428571)

g41566 9. . 4995


1. Stănescu, I., Mulţimi de numere, Ed. Albatros, 1975

2. Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, E.D.P., 1977

51

6. DIVIZIBILITATE

6.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. DEFINIŢII

6.1.1. Divizor; multiplu

Definiţie: Fie a şi b numere naturale, a nenul. Se spune că: - a este divizor al lui b;

- a divide b ( a | b );

- b este multiplu al lui a;

- b se divide cu a ( b a )

dacă există un număr natural c astfel încât b = ac.

De exemplu, divizorii numărului 12 formează mulţimea D12= 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Orice număr admite ca divizori pe 1 şi numărul însuşi. Aceşti divizori se numesc divizori

improprii. Ceilalţi divizori se numesc divizori proprii. 1 şi 12 sunt divizorii improprii

ai lui 12, iar 2, 3, 4 şi 6 sunt divizorii proprii.

Mulţimea multiplilor lui 5 este: M5= 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... . 0 este multiplu pentru

orice număr natural. Mulţimea multiplilor unui număr este infinită.

Relaţia a | b este o relaţie de ordine pentru că are următoarele proprietăţi:

- reflexivitate: a | a pentru orice număr natural a;

- antisimetrie: dacă a | b şi b | a, atunci a = b;

- tranzitivitate: dacă a | b şi b | c, atunci a | c.

6.1.2. Numere prime

Definiţie: Se numeşte număr prim un număr care are doi divizori, pe 1 şi pe el însuşi.

Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... .

Definiţie: Se numeşte număr compus un număr care are mai mult de 2 divizori.

Observaţie: Numărul 1 nu este nici prim nici compus.

Teoremă: Şirul numerelor prime este infinit.

Demonstraţie: presupunem că şirul numerelor prime este finit, format din numerele: 2, 3, 5, 7, ... , p. Considerăm numărul 2 · 3 · 5 · 7 · ... · p + 1. Acest număr dă restul 1

la împărţirea cu oricare număr prim din şirul dat, deci este prim sau se divide cu un

număr prim mai mare. În concluzie mai există şi alte numere prime, deci şirul

numerelor prime este infinit.

Teoremă: Cel mai mic divizor propriu al unui număr compus este prim.

52

Demonstraţie: Se consideră numărul compus a şi cel mai mic divizor propriu al său d, astfel încât a = dq, unde d < q. Dacă d ar fi compus, atunci d = bp şi a = bpq, unde

b < d, deci d nu ar fi cel mai mic divizor al lui a, contradicţie. De aici rezultă că d este

prim.

6.1.3. Numere prime Fermat

Numerele prime Fermat sunt numere de forma:

unde n = 0, 1, 2, 3, ... . n

22

F 1, n

Fn = F0· F1 · ... · Fn-1 + 2

0

22 F 1

1

1

1

3

5

17

257

0

1

22 F 1

2

22 F 2

3

22 F 3

6.1.4. Numere perfecte

Definiţie: Se numesc numere perfecte, numerele

divizorilor este 2n.

naturale n pentru care suma

Exemple:

6 este perfect pentru că D6 = 1, 2, 3, 6 , iar S = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 · 6.

28 este perfect pentru că D28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28 , iar S = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = =

56 = 2 · 28.

Euclid a stabilit că 2p-1(2p-1) este perfect dacă şi numai dacă p şi 2p-1 sunt prime.

Euler a demonstrat că orice număr perfect par este de această formă.

Exemple: p = 2 22-1(22-1) = 6

p = 3 23-1(23-1) = 28

p = 5 25-1(25-1) = 496

p = 7 27-1(27-1) = 8128

p = 11

p = 13

211-1 = 2047 = 23 · 89, nu este prim, deci nu se obţine un număr perfect.

213-1(213-1) = 33 550 336

6.1.5. Numere prime Mersene

Definiţie: Dacă p şi 2p-1 sunt prime, atunci 2p-1 se numeşte număr prim Mersene.

Se cunosc 30 de numere prime Mersene din care rezultă 30 de numere perfecte. Cel

mai mare număr Mersene cunoscut se obţine pentru p = 216 091 pentru care obţinem

un număr perfect cu 65 000 de cifre.

53

6.2. TEOREME DE DIVIZIBILITATE

6.2.1. Divizibilitatea sumei

Teoremă: Dacă fiecare termen al sumei este divizibil printr-un număr, atunci suma este divizibilă prin acel număr.

Demonstraţie: Se consideră suma: S = m + n + p + q, unde d | m, d | n, d | p , d | q.

Atunci m = da, n = db, p = dc, q= df. S = da + db + dc + df = d ( a + b + c + f ), ceea

ce confirmă faptul că d | S.

6.2.2. Divizibilitatea diferenţei

Teoremă: Dacă ambii termeni ai unei diferenţe sunt divizibili cu acelaşi număr,

atunci diferenţa este divizibilă cu acel număr.

Demonstraţia se face ca şi la teorema anterioară.

Consecinţe: 1. Într-o sumă de doi termeni, dacă suma şi unul din termeni se divid prin acelaşi

număr, atunci şi al doilea termen se divide prin acel număr.

2. Dacă diferenţa a două numere şi unul din termeni se divid prin acelaşi număr,

atunci şi celălalt termen se divide prin acel număr.

6.2.3. Divizibilitatea unui produs

Teoremă: Pentru ca un produs să fie divizibil printr-un număr dat este suficient ca

unul din factori să fie divizibil prin acel număr.

Condiţia este suficientă, dar nu este necesară. Exemplu: nici 10 şi nici 21 nu se divid

prin 6, dar produsul lor 210 se divide prin 6.

6.2.4. Divizibilitatea deîmpărţitului, împărţitorului şi restului

Teoremă: Într-o împărţire cu rest, dacă deîmpărţitul şi împărţitorul se divid printr-un

număr, atunci şi restul se divide prin acel număr.

Teoremă: : Într-o împărţire cu rest, dacă împărţitorul şi restul se divid printr-un

număr, atunci şi deîmpărţitul se divide prin acel număr.

6.2.5. Teorema fundamentală a aritmeticii

Teoremă: Orice număr natural a > 1 poate fi descompus în mod unic ca produs de

numere prime.

Demonstraţie: Se presupune că există numere naturale a > 1 care nu pot fi reprezenate ca produs finit de numere prime. Fie A mulţimea acestora. Numerele din A nu sunt

prime. Fie a cel mai mic număr din mulţime. Cum a nu este prim rezultă că există

54

numerele naturale b şi c astfel încât bc = a, 1 < b < a, 1 < c < a. Dar b şi c nu aparţin mulţimii A, ceea ce înseamnă că ele se pot reprezenta ca produse finite de numere

prime şi atunci a are aceeaşi proprietate, ceea ce contrazice presupunerea făcută. Mai

rămâne de arătat unicitatea descompunerii. Presupunem că a admite două

descompuneri a = p1p2...pn şi a = q1q2...qm. Rezultă că p1 divide produsul q1q2...qm. Dar

p1 este prim, rezultă că există i astfel încât p1 divide qi. dar acesta este şi el prim, de

unde rezultă că p1 = qi. Numerele qi se pot renumerota, astfel încât p1 = q1, de unde

p2...pn = q2...qm = b. dacă n = 1, atunci şi m = 1, căci altfel din 1 = q2...qm rezultă q2

divide pe 1, deci q2 = 1, contradicţie. Unicitatea se demonstrează prin inducţie după n.

Exemple: 105 = 3 · 5 · 7; 12 = 22 · 3; 360 = 23 · 32 · 5.

6.2.6. Numărul divizorilor unui număr

Se consideră numărul natural a care se descompune conform teoremei fundamentale a

aritmeticii astfel:

p k1 p

k2 p kn

a ... 1 2 n

unde p1, p2, ..., pn sunt numere prime distincte. Numărul a se divide cu toate puterile numărului prim pi, de la 0 la ki, adică ki + 1

divizori, unde i = 1, 2, ..., n şi cu toate combinaţiile acestora. Rezultă că numărul

divizorilor acestui număr este ( k1 + 1 ) ( k2 + 1 )... ( kn + 1 ).

Exemplu: 360 = 23 · 32 · 5. Numărul divizorilor lui este ( 3 + 1 )( 2 + 1 )( 1 + 1 ) = 24.

6.3. CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN ŞI CEL MAI MIC MULTIPLU

COMUN

6.3.1. Cel mai mare divizor comun a două numere naturale

Mulţimea divizorilor comuni a două numere naturale este intersecţia mulţimilor divizorilor acestora.

Exemplu:

D12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 , iar D30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 . Mulţimea divizorilor

comuni este: D = 1, 2, 3, 6

Definiţie: Cel mai mare divizor comun este cel mai mare element al mulţimii

divizorilor comuni.

În exemplul anterior, acesta este 6.

Cel mai mare divizor comun se notează c.m.m.d.c. al numerelor a şi b sau ( a, b ).

Definiţie: Două numere naturale se numesc prime între ele dacă cel mai mare divizor

comun al lor este 1.

Exemplu: 35 şi 24 sunt prime între ele.

6.3.2. Aflarea c.m.m.d.c.

55

1. Aflarea c.m.m.d.c. prin descompunerea numerelor în factori primi

C.m.m.d.c. este egal cu produsul factorilor comuni la puterea cea mai mică.

Exemplu: 3600 = 24 · 32 · 52

1050 = 2 · 3 · 52 · 7

c.m.m.d.c. = 2 · 3 · 52 = 150.

2. Aflarea c.m.m.d.c. prin algoritmul lui Euclid

Fie numerele naturale a şi b. Se împarte un număr la celălalt. Dacă restul împărţirii nu este 0, se continuă, împărţind împărţitorul la rest. Dacă restul nu este 0, se împarte din

nou împărţitorul la rest. Procedeul continuă până se obţine restul egal cu 0. Ultimul

rest nenul sau împărţitorul ultimei împărţiri este c.m.m.d.c.. Scriind teorema împărţirii

cu rest pentru împărţirile care se fac până se obţine restul 0, rezultă:

a = bq + r b = rq1 + r1 r

= r1q2 + r2 r1

= r2q3 + r3

r < b; r1 < r;

r2 < r1;

r3 < r2;

...............................................

rn-2 = rn-1qn + rn

rn-1 = rnqn+1

rn < rn-1;

rn+1 = 0.

Şirul a > b > r > r1 > r2 > ... > rn > rn+1 este strict descrescător, format din numere naturale. În consecinţă trebuie să se ajungă la un rest egal cu 0, rest care s-a notat cu

rn+1 . Dacă se notează c.m.m.d.c. cu d, din prima relaţie, ştiind că divide pe a şi pe b,

rezultă că d divide şi pe r. Din a doua relaţie, dacă d divide pe b şi r, rezultă că d

divide şi pe r1. Judecând analog pentru toate relaţiile, rezultă că d divide pe rn şi pe

rn-1. Dar rn îl divide pe rn-1, de unde rezultă că d = rn.

Exemplu: Fie 3600 şi 1050 numerele pentru care căutăm c.m.m.d.c..

3600 = 1050 · 3 + 450

1050 = 450 · 2 + 150

450 = 150 · 3, restul acestei împărţiri fiind 0.

Rezultă că c.m.m.d.c. = 150.

6.3.3. Cel mai mic multiplu comun

Mulţimea multiplilor comuni a două numere naturale este intersecţia mulţimilor multiplilor acestora.

De exemplu, M15 = 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, ...

M12 = 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, ...

Mulţimea multiplilor comuni este:

M = 0, 60, 120, 180, 240, ...

Definiţie: Cel mai mic multiplu comun a două sau mai multe numere naturale este cel

mai mic element nenul al mulţimii multiplilor comuni.

În exemplul de mai sus acesta este 60.

56

Cel mai mic multiplu comun se notează c.m.m.m.c. al numerelor a şi b sau [ a, b ]. Între numerele a şi b şi c.m.m.d.c. al lor şi c.m.m.m.c. al lor există relaţia:

ab = ( a, b ) [ a, b ].

6.3.4. Aflarea c.m.m.m.c.

Se descompun numerele în factori primi. Cel mai mic multiplu comun al lor este

produsul factorilor primi care apar în descompuneri, la puterea cea mai mare.

Exemplu: 3600 = 24 · 32 · 52

1050 = 2 · 3 · 52 · 7

c.m.m.m.c. = 24 · 32 · 52· 7 = 25 200.

6.4. CRITERII DE DIVIZIBILITATE

6.4.1. Criteriul general de divizibilitate

Teoremă: Pentru ca numărul natural n să se dividă cu numărul natural d este necesar şi suficient ca suma produselor numerelor reprezentate de cifrele numărului n cu

resturile ce se obţin la împărţirea la d a puterilor respective ale lui 10 să se dividă cu

d.

Demonstraţie: Fie n = xk10k+xk-110k-1+xk-210k-2+...+x2102+x1101+x0100

10k = dqk + rk

10k-1 = dqk-1 + rk-1

10k-2 = dqk-2 + rk-2

..............................

102 = dq2 + r2

101 = dq1 + r1

100 = dq0 + r0

Se înlocuiesc puterile lui 10 şi se obţine:

n = xk(dqk + rk) + xk-1(dqk-1 + rk-1) + xk-2(dqk-2 + rk-2) + ... + x2(dq2 + r2) + x1(dq1 + r1) + +

x0(dq0 + r0)

După efectuarea înmulţirilor se regrupează termenii şi se obţine:

n = d ( xkqk + xk-1qk-1 + xk-2qk-2 + ... + x2q2 + x1q1 + x0q0 ) + ( xkrk + xk-1rk-1 + xk-2rk-2 + + ...

+ x2r2 + x1r1 + x0r0 )

Primul termen al sumei avându-l pe d ca factor este divizibil cu d. Pentru ca n să fie

divizibil cu d este necesar şi suficient ca suma produselor resturilor puterilor lui 10 cu

numerele reprezentate de cifrele corespunzătoare să fie divizibilă cu d, ceea ce trebuia

demonstrat.

Exemplu: Fie n = 62 746, iar d = 137. n = 6 · 104 + 2 · 103 + 7 · 102 + 4 · 101 + 6 · 100

Se caută resturile împărţirii puterilor lui 10 la 137:

104 = 137 · 72 + 136

103 = 137 · 7 + 41

102 = 137 · 0 + 100

57

101 = 137 · 0 + 10

100 = 137 · 0 + 1

Numărul 62 746 se divide cu 137 dacă 6 · 136 + 2 · 41 + 7 · 100 + 4 · 10 + 6 · 1 =

= 816 + 82 + 700 + 40 + 6 = 1644 este divizibil cu 137. Dar 1644 = 137 · 12, deci şi

numărul 62 746 este divizibil cu 137.

Metoda nu prezintă avantaje practice pentru că, observând exemplul anterior, ea conduce la calcule mai laborioase decât împărţirea propriu-zisă. Cu ajutorul acestei

teoreme însă se deduc criteriile de divizibilitate particulare, foarte utile în practică.

6.4.2. Criteriile de divizibilitate cu 2 şi 5

Dacă în criteriul general se face d egal cu 2 sau 5, se observă că toate puterile lui 10 cu excepţia lui 100 dau restul 0 la împărţirea la d. Din suma produselor dintre

numerele care reprezintă cifrele şi resturile respective rămâne doar ultima cifră a

numărului. Se deduce criteriul de divizibiliate cu 2 sau 5:

Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 2 sau 5 este necesar şi suficient ca

ultima cifră a numărului să reprezinte un număr divizibil cu 2 sau 5.

Exemple: numerele 4 325, 780, 45 sunt divizibile cu 5, pentru că 5 şi 0 sunt divizibile cu 5. Numerele 43 268, 76, 960, 700, 554 sunt divizibile cu 2, pentru că 8, 6, 0, 4

sunt divizibile cu 2.


Raţionând analog ca şi pentru deducerea criteriilor anterioare, se observă că puterile lui 10 mai mari sau egale cu 2 dau restul 0 la împărţirea la 4 sau 25.

Atunci este necesar şi suficient ca x1 · 10 + x0 să se dividă cu 4 sau 25, adică:

Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 4 sau cu 25 este necesar şi suficient ca

numărul format din ultimele două cifre ale numărului să fie divizibil cu 4 sau 25.

Exemple: 11 872, 236, 5 460, 500 sunt divizibile cu 4 pentru că 72, 36, 60, 0 sunt divizibile cu 4.

21 450, 3 475, 800, 425 sunt divizibile cu 25 pentru că 50, 75, 0, 25 sunt divizibile cu

25.

Criterii asemănătoare se obţin pentru 8 şi 125:

Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 8 sau cu 125 este necesar şi suficient

ca numărul format din ultimele trei cifre ale numărului să fie divizibil cu 8 sau 125.


Având în vedere că toate puterile lui 10 dau restul 1 atât la împărţirea la 3 cât şi la

împărţirea la 9, criteriul general se particularizează în acest caz astfel:

Pentru ca un număr natural să se dividă cu 3 sau cu 9 este necesar şi suficient ca

suma numerelor reprezentate de cifrele sale să fie un număr divizibil cu 3 sau cu 9.

Exemple: 43 527 are suma cifrelor 4 + 3 + 5 + 2 + 7 = 21. Acest număr este divizibil

cu 3, rezultă că şi numărul iniţial este divizibil cu 3.

58

Numărul 768 618 are suma respectivă: 7 + 6 + 8 + 6 + 1 + 8 = 36. Acest număr este divizibil cu 9, deci şi numărul 768 618 este divizibil cu 9.

6.4.5. Criteriile de divizibilitate cu 7, 11, 13

Pentru deducerea acestor criterii se observă mai întâi că 1001 = 7 · 11 · 13, deci 1001

se divide cu 7, cu 11 şi cu 13.

Se alege un număr scris cu 6 cifre pentru început, abcdef = 1000 · abc + def =

= 1001 · abc - abc + def

Pentru ca numărul natural abcdef să fie divizibil cu 7, 11 sau 13 este necesar şi

suficient ca diferenţa abc - def sau def - abc ( se alege aceea care reprezintă un

număr natural ) să fie divizibilă prin 7, 11, respectiv 13.

În mod analog se raţionează pentru un număr mai mare, spre exemplu de 9 cifre:

abcdefghi = 1 000 000 abc + 1 000 def + ghi = 1 001 000 abc - 1 000 abc + 1 000 def

+ ghi = (1 001 000 abc - 1 001 abc + 1 001 def ) + ( abc - def + ghi ) =

= 1 001 ( 1 000 abc - abc + def ) + ( abc - def + ghi ), unde primul termen al sumei având factor pe 1 001 este divizibil cu 7, 11 şi 13. Pentru ca numărul iniţial să fie

divizibil cu 7, 11 sau 13 este necesar şi suficient ca al doilea termen al sumei să fie

divizibil cu 7, 11 sau 13.

În general, numerele se împart în clase, iar numerele reprezentate de acestea se adună

şi scad alternativ. Dacă această sumă ( în sens algebric ) este divizibilă cu 7, 11 sau

13, atunci şi numărul iniţial este divizibil cu 7, 11 sau 13.

Exemplu: Fie numărul 4 218 307 247. Se împarte în clase, iar numerele reprezentate de acestea sunt: 4, 218, 307, 247. Acestea trebuie adunate şi scăzute alternativ. Se

observă că se obţine un număr natural dacă semnele se pun alternativ astfel:

247 - 307 + 218 - 4 = 465 - 311 = 154. ( Dacă s-ar fi calculat 4 - 218 + 307 - 247 s-ar

fi obţinut - 154, număr întreg care se divide şi el cu aceleaşi numere ca şi 154. )

154 se divide atât cu 7 cât şi cu 11, de unde se deduce că 4 218 307 247 se divide cu

7 şi 11.

154 nu se divide cu 13, de unde rezultă că nici numărul iniţial nu se divide cu 13.

6.5. DIVIZIBILITATEA ÎN MULŢIMEA NUMERELOR ÎNTREGI

Definiţie: Fie a şi b numere întregi, a nenul. Se spune că: - a este divizor al lui b;

- a divide b ( a | b );

- b este multiplu al lui a;

- b se divide cu a ( b a )

dacă există un număr întreg c astfel încât b = ac.

Relaţia de divizibilitate în mulţimea Z se defineşte ca şi în N. Spre deosebire de relaţia de divizibilitate în mulţimea numerelor naturale, relaţia de divizibilitate în

mulţimea numerelor întregi nu mai are proprietatea de antisimetrie. Dacă a | b şi b | a,

atunci rezultă că a = b.

Un număr p întreg este prim dacă |p| care este un număr natural este prim în sensul în

care s-au definit numerele naturale prime.

59

Definiţie: Un număr întreg d se numeşte c.m.m.d.c. al numerelor întregi a şi b dacă 1) d | a şi d | b

2) dacă c | a şi c | b, atunci c | d.

Se observă că c.m.m.d.c. definit în acest mod nu este unic. Cu condiţia suplimentară

ca d 0, atunci c.m.m.d.c. al lui a şi b este unic determinat şi se notează ( a, b ).

Se vor da în continuare câteva proprietăţi importante legate de c.m.m.d.c. definit mai sus.

Teoremă: Fie a şi b numere întregi. Atunci c.m.m.d.c. al lui a şi b există. În plus, dacă

d = ( a,b ), atunci există h şi k numere întregi astfel încât d = ah + bk.

Teoremă: Fie a, b, c numere întregi. Sunt valabile proprietăţile: 1) Dacă ( a,b ) = 1 şi ( a,c ) = 1, atunci ( a,bc ) = 1;

2) Dacă ( a,b ) = 1 şi a | bc, atunci a | c.

3) Dacă ( a,b ) = 1, a | c şi b | c, atunci ab | c.

6.6. ECUAŢII DIOFANTICE

6.6.1. Rezolvarea ecuaţiilor diofantice în cazuri particulare

Ecuaţiile diofantice ( numele provine de la numele matematicianului Diofant ) sunt ecuaţii liniare în două necunoscute cu coeficienţi naturali sau întregi, pentru care se

caută soluţiile în mulţimea numerelor naturale sau întregi. Vom studia aceste ecuaţii

în mulţimea numerelor naturale.

O astfel de ecuaţie este de următoarea formă:

ax = by + c, unde a,b,c sunt numere naturale.

Rezolvarea acestei ecuaţii înseamnă găsirea perechilor ( dacă există ) de forma ( x,y ) pentru care egalitatea este adevărată.

Se disting mai multe cazuri posibile, care se vor analiza în continuare.

1. ( a,b ) = 1, adică a şi b sunt prime între ele. În plus, c < b. În acest caz, scrierea ax = by + c poate fi considerată teorema împărţirii cu rest, unde

ax este deîmpărţitul, b este împărţitorul, iar c este restul.

Se scriu multiplii lui a şi resturile împărţirii acestora la b. La un moment dat se obţine

un rest egal cu c. Se fac cel mult b paşi până se găseşte acest rest. În acest fel se obţine

o soluţie particulară, x0 şi y0. Soluţia generală este de forma:

x = x0 + b şi y = y0 + a , unde N.

Exemplu: Fie ecuaţia 7x = 9y + 4

7 şi 9 sunt numere naturale prime între ele, iar 4 < 9. Se scriu multiplii lui 7 şi

resturile împărţirii lor la 9 până când se obţine restul 4:

Se observă că 49 dă restul 4 la împărţirea la 9.

60

multiplii lui 7

7 14 21 28 35 42 49

restul împ. la 9

7 5 3 1 8 6 4

7x = 49, de unde rezultă x = 7 Se înlocuieşte: 49 = 9y + 4, de unde rezultă y = 5

Aceasta este soluţia particulară: x0 = 7 şi y0 = 5

Soluţia generală este: x = 7 + 9 ; y = 5 + 7 , unde N.

2. ( a,b ) = 1, dar c > b. Acest caz se poate reduce la cazul anterior, scriindu-l pe c = bq + r, unde r < b.

Se obţine:

ax = by + bq + r,

ax = b ( y + q ) + r

Se notează z = y + q şi se rezolvă ecuaţia: ax = bz + r, care este o ecuaţie de forma 1.

Exemplu: 3x = 5y + 11

11 = 5 · 2 + 1

3x = 5y + 5 · 2 + 1, adică 3x = 5 ( y + 2 ) + 1.

Se notează: z = y + 2 şi se obţine: 3x = 5z + 1, care se rezolvă:

1

Aşadar 3x = 6, deci x0 = 2, 6 = 5z + 1, de unde z0 = 1

x = 2 + 5 şi z = 1 + 3 . Dar z = y + 2, atunci y + 2 = 1 + 3 , y = 3 - 1.

Soluţia este: x = 2 + 5 şi y = 3 -1, unde N*.

Observaţie: în acest caz, nu poate lua totdeauna toate valorile naturale. I se vor

atribui numai acele valori pentru care x şi y sunt numere naturale.

3. ( a,b ) = d, a şi b nu mai sunt prime între ele. Dacă d nu îl divide pe c, atunci

ecuaţia nu are soluţii.

Exemplu: 12x = 15 y + 7 Membrul stâng este un multiplu de 3, un termen al sumei din dreapta este multiplu de

3, atunci trebuie ca şi celălalt termen să fie multiplu de 3, ceea ce nu este adevărat.

Rezultă că ecuaţia nu are soluţii.

4. ( a,b ) = d, a şi b nu mai sunt prime între ele. Dacă d îl divide şi pe c, se împarte

toată ecuaţia cu d şi se reduce la o ecuaţie de tip studiat anterior.

Exemplu: 12x = 15y + 9 Această ecuaţie se poate împărţi cu 3 şi se obţine: 4x = 5y + 3, care se rezolvă după

metoda descrisă la punctul 1.

6.6.2. Rezolvarea ecuaţiilor diofantice oarecare

În cazul în care numerele a şi b sunt numere mari, metoda expusă anterior este foarte laborioasă, poate să necesite sute de încercări până la găsirea multiplului lui a care la

împărţirea la b dă restul c.

61

multiplii lui 3

3 6

restul împ. la 5

3

Metoda generală se bazează pe scrierea c.m.m.d.c. al numerelor a şi b ca o combinaţie liniară a lor, aşa cum s-a demonstrat în capitolul anterior. Problema se reduce la cazul

când a şi b sunt prime între ele, după cum s-a demonstrat în paragraful precedent.

Scrierea c.m.m.d.c. ca o combinaţie liniară a numerelor a şi b se deduce din

algoritmul lui Euclid de aflare a lui.

Fie ecuaţia ax = by + c, unde a şi b sunt prime între ele.

Conform algoritmului lui Eucliud, se scrie:

a = bq + r b = rq1 + r1 r

= r1q2 + r2 r1

= r2q3 + r3

r < b; r1 < r;

r2 < r1;

r3 < r2;

...............................................

rn-2 = rn-1qn + rn

rn-1 = rnqn+1

rn < rn-1;

rn+1 = 0, unde rn = 1.

În acest caz, 1 = rn-2 - rn-1qn, din relaţia anterioară se exprimă rn-1 care se înlocuieţte, apoi rn-2 şi aşa mai departe, până când 1 = ka - hb sau 1 = hb - ka.

Luăm în considerare primul caz, 1 = ka - hb. Relaţia se înmulţeşte cu c, de unde

rezultă c = kac - hbc, adică kac = hbc + c. O soluţie particulară a ecuaţiei este:

x0 = kc şi y0 = hc. Soluţia generală se obţine ca şi în cazul anterior,

x = x0 + b şi y = y0 + a , unde este număr întreg. Se alege astfel încât să se

obţină cea mai mică soluţie particulară pentru = 0, iar apoi se scrie soluţia generală.

Exemplu: Fie ecuaţia: 392x = 103 y + 40

Se scrie algoritmul lu Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. al numerelor 392 şi 103:

392 = 103 · 3 + 83

103 = 83 · 1 + 20

83 = 20 · 4 + 3

20 = 3 · 6 + 2

3 = 2 · 1 + 1

2 = 2 · 1

Din penultima relaţie şi apoi treptat din relaţie în relaţie până la prima, se obţine:

1 = 3 - 2 · 1 = 3 - ( 20 - 3 · 6 ) · 1 = ( 83 - 20 · 4 ) - 20 + ( 83 - 20 · 4 ) · 6 = 83 - 20 ·

· 4 - 20 + 83 · 6 - 20 · 4 · 6 = 392 - 103 · 3 - ( 103 - 83 · 1 ) · 4 - ( 103 - 83 · 1 ) +

+ ( 392 - 103 · 3 ) · 6 - ( 103 - 83 · 1 ) · 4 · 6 = 392 - 103 · 3 - 103 · 4 + ( 392 -

103 · 3 ) · 4 - 103 + 392 - 103 · 3 + 392 · 6 - 103 · 18 - 103 · 24 + ( 392 - 103 · 3 ) ·

24 =

= 392 - 103 · 3 - 103 · 4 + 392 · 4 - 103 · 12 - 103 + 392 - 103 · 3 + 392 · 6 - 103 · 18

-- 103 · 24 + 392 · 24 - 103 · 72 = 392 ( 1 + 4 + 1 + 6 + 24 ) - 103 ( 3 + 4 + 12 + 1 + 3

+ 18 + 24 + 72 ) = 392 · 36 - 103 · 137

S-a obţinut 392 · 36 - 103 · 137 = 1.

Se înmulţeşte relaţia cu 40 şi se obţine:

392 · 36 · 40 - 103 · 137 · 40 = 40, adică:

392 · ( 36 · 40 ) = 103 · ( 137 · 40 ) + 40, de unde rezultă că o soluţie particulară este

x = 36 · 40 = 1 440 şi y = 137 · 40 = 5480

Soluţia generală este: x = 1440 + 103 şi y = 5480 + 392 , unde ia valori întregi.

Cea mai mică soluţie în numere naturale se obţine pentru = -13, x0 = 101 şi y0 = 384

astfel încât soluţia generală este: x = 101 + 103 şi y = 384 + 392 , unde N.

62


1. Să se arate că oricare ar fi a, a4 este multiplu de 5 sau multiplu de 5 plus 1.

2. Să se afle c.m.m.d.c. al numerelor: 58 464 şi 37 008 prin descompunere şi prin

algoritmul lui Euclid.

3. Să se arate că oricare ar fi n număr natural, produsul

n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) este divizibil cu 120.

4. Să se demonstreze că orice număr prim p > 3 prin împărţirea la 6 dă restul 1 sau 5.

5. Dacă elevii unei clase se aşează câte 4 în rând, rămâne un elev singur. Dacă se aşează câte 5 în rând, iar rămâne un elev singur. Câţi elevi sunt în acea clasă? Puteţi

spune precis?

6. Peretele are lungimea de 4 m 86 cm şi lăţimea de 36 dm. Se acoperă cu faianţă pătrată. Care este latura maximă a pătratului astfel încât numărul plăcilor de faianţă să

fie întreg?

7. Dacă elevii unei şcoli se aşează câte 6 sau 8 în rând, nu rămâne nici un rând descompletat. Când se aşează câte 6, ies cu 10 rânduri mai mult decât când se aşează

câte 8. Câţi elevi sunt?

8. Pe o pistă aleargă 4 cai. Un cal parcurge pista în 20 min, al doilea în 15 min, al treilea în 12 min, iar al patrulea în 10 min. Dacă pleacă din acelaşi loc, după cât timp

se vor mai găsi din nou toţi în acelaşi punct?

9. Să se rezolve ecuaţiile diofantice: 3x = 10y + 2

3x = 10y + 22

10x = 20y + 30

10x = 15y + 7

81x = 128y + 20.

63


1. Numărul natural a este divizor al numărului natural b

dacă .......... ........................................................................................ .

2. Numărul natural p este număr prim

dacă ............................................................. ................................ .

3. Numerele naturale a şi b sunt prime între ele dacă ................................................... .

4. Orice număr natural mai mare decât 1 admite o descompunere unică în .................

........................................... .

5. Dacă două numere naturale sunt divizibile prin numărul natural d, atunci suma

lor ....................................................................... .

6. Cel mai mare divizor comun a două numere naturale este

factorilor ........................................................................ .

produsul

7. Aflaţi c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. pentru numerele 8100 şi 3240.

8. Pentru ca un număr natural să fie divizibil cu 4 este necesar

ca .................................................................................................. .

şi suficient

9. Scrieţi soluţia generală a ecuaţiei diofantice: 7x = 5y + 3.

64


1. există un număr natural c astfel încât ac = b.

2. are doi divizori.

3. cel mai mare divizor comun al lor este 1.

4. produs de factori primi.

5. este divizibilă prin d.

6. comuni la puterea cea mai mică.

7. c.m.m.d.c. = 1620; c.m.m.m.c. = 16200

8. numărul reprezentat de ultimele două cifre eate divizibil cu 4.

9. x = 4 + 5 şi y = 5 + 7 .


1. Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, E.D.P., 1977

2. Becheanu M., Dincă A., Ion I.D.,

perfecţionarea profesorilor, E.D.P., 1983

Niţă C., Purdea I. ş.a., Algebra pentru

3. Rusu E., Aritmetica, E.D.P., 1967

65

7. GRUPURI

7.1. LEGI DE COMPOZIŢIE

7.1.1. Definiţie; proprietăţi

Definiţie: Fie o mulţime M nevidă. Se numeşte lege de compoziţie pe M o funcţie

f : M x M M.

Prin această corespondenţă, oricărei perechi de elemente din M i se asociază tot un

element din M.

Exemple: Adunarea în mulţimea numerelor naturale este o lege de compoziţie internă, căci

oricărei perechi de numere naturale (a,b) îi corespunde numărul natural a+b.

De asemenea adunarea definită în alte mulţimi de numere sau înmulţirea sunt legi de

compoziţie. Operatorii logici definiţi în logica matematică sunt

compoziţie. La fel reuniunea şi intersecţia mulţimilor.

tot legi de

Aceste legi se notează prin diferite simboluri aşezate între elementele care se compun:

+, , , , , , ·, x, , etc.

Se pot defini legi de compoziţie cu ajutorul operaţiilor. De exemplu, pe mulţimea Z a numerelor întregi, definim legea ¤ astfel: x ¤ y = 2xy + x + y - 4. Atunci 4 ¤ 5 =

2·4·5

+ 4 + 5 - 4 = 45.

Dacă mulţimea este finită, legea de compoziţie se poate defini cu ajutorul tablei legii

de compoziţie, prin care se indică elementul care corespunde fiecărei perechi de

elemente. De exemplu, dacă M =

astfel:

a, b, c, d , definim legea de compoziţie * : MxM M

Din tabla legii se citeşte a*a = b, a*b = d, a*c = c, a*d = a, b*a = c etc

Legile de compoziţie pot să aibă anumite proprietăţi. Vom defini în cele ce urmează

unele dintre acestea.

a) Asociativitatea

Definiţie: Legea de compoziţie * : MxM

elemente din M, (x*y)*z = x*(y*z).

M este asociativă dacă oricare ar fi x, y, z

66

* a b c d

a b d c a

b c a b a

c c b b a

d c d a b

Exemple: Adunarea numerelor naturale este asociativă. S-a mai menţionat că operatorii logici conjuncţie şi disjuncţie sunt de asemenea legi asociative.

Compunerea funcţiilor este o lege asociativă.

b) Comutativitatea

Definiţie: Legea de compoziţie * : MxM

elementele x şi y din M, x*y = y*x.

M este comutativă dacă oricare ar fi

Exemple: Adunarea este comutativă pe diferite mulţimi de numere. De asemenea conjuncţia şi disjuncţia propoziţiilor logice, reuniunea şi intersecţia mulţimilor. Există

şi legi care nu sunt comutative, cum ar fi compunerea funcţiilor.

c) Element neutru

Definiţie: Legea de compoziţie * : MxM M are element neutru dacă există un

element e M, astfel încât oricare ar fi alt element x M, x*e = e*x = x.

Exemple: 0 este element neutru pentru adunare, pentru că adunat cu oricare alt număr se obţine acel număr. Pentru operaţia de înmulţire 1 este element neutru. Aplicaţia

identică este elementul neutru pentru compunerea funcţiilor.

d) Element simetrizabil

Definiţie: Se spune că x M este element simetrizabil pentru legea de compoziţie * :

MxM M care are elementul neutru e, dacă există un element x' M, astfel încât x*x'

= x'*x = e. Elementul x' se numeşte în acest caz simetricul lui x.

Exemple: În mulţimea Z a numerelor întregi, toate elementele sunt simetrizabile faţă de adunare ( simetricul elementului x este opusul acestuia - x ), iar faţă de înmulţire

numai 1 şi -1 sunt simetrizabile. Toate numerele raţionale nenule sunt simetrizabile

faţă de înmulţire. În raport cu compunerea funcţiilor, numai funcţiile bijective sunt

simetrizabile, adică admit inversă.

7.1.2. Monoizi

Definiţie: Se numeşte monoid o structură algebrică (M,*) formată dintr-o mulţime

nevidă M pe care s-a definit o lege de compoziţie * : MxM următoarele axiome:

M1) Legea * este asociativă

M2) Legea * are element neutru.

M care satisface

Dacă, în plus, legea este şi comutativă, atunci monoidul se numeşte monoid

comutativ.

Exemple: mulţimea numerelor naturale cu adunarea (N,+) sau cu înmulţirea (N,·)

formează monoizi comutativi.

67

7.2. NOŢIUNEA DE GRUP. EXEMPLE

7.2.1. Definiţia grupului

Definiţie: Se numeşte grup o structură algebrică formată dintr-o mulţime nevidă G pe

care s-a definit o lege de compoziţie internă * : G x G G astfel încât oricare ar fi x

şi y din mulţimea G, x * y G, cu următoarele proprietăţi:

G1. Asociativitatea:

G2. Elementul neutru:

x, y, z

e

G, ( x * y ) * z = x * ( y * z );

G astfel încât x G, x * e = e * x = x;

G3. Toate elementele din mulţimea G sunt simetrizabile: x G, x * x' = x' * x = e.

Notaţie: ( G,* ) grup.

x' G, astfel încât

În cazul în care legea este şi comutativă, adică:

atunci grupul se numeşte comutativ sau abelian.

x, y G, x * y = = y * x,

7.2.2. Exemple de grupuri

1. Fie mulţimea numerelor întregi Z pe care s-a definit operaţia de adunare. Adunarea

are următoarele proprietăţi în mulţimea numerelor întregi:

- asociativitatea: x, y, z Z, ( x + y ) + z = x + ( y + z );

- elementul neutru este 0: x Z, x + 0 = 0 + x = x;

- toate elementele sunt simetrizabile:

x Z, ( -x ) Z, astfel încât x + (- x) = (- x) + x = 0.

- comutativitatea: x, y Z, x + y = y + x.

În concluzie, ( Z, + ) este un grup abelian.

2. Fie mulţimea numerelor raţionale nenule Q* pe care s-a definit operaţia de

înmulţire. Înmulţirea are următoarele proprietăţi în mulţimea numerelor raţionale:

- asociativitatea: x, y, z Q*, ( x · y ) · z = x · ( y · z );

- elementul neutru este 1: x Q*, x · 1 = 1 · x = x;

- toate elementele sunt simetrizabile:

x-1 Q*, astfel încât x · x-1 = x-1 · x = 1. x Q*,

- comutativitatea: x, y Q*, x · y = y · x.

În concluzie, ( Q*, · ) este un grup abelian.

Observaţii: - Mulţimea numerelor naturale cu operaţia de adunare nu formează grup, pentru că

singurul element simetrizabil este 0.

- Mulţimea numerelor naturale cu operaţia de înmulţire nu formează grup, pentru că

singurul element simetrizabil este 1.

- Mulţimea numerelor întregi cu operaţia de înmulţire nu formează grup, pentru că

singurele elemente simetrizabile sunt 1 şi -1.

- Mulţimea numerelor raţionale cu operaţia de înmulţire nu formează grup, pentru că

0 nu este simetrizabil.

3. ( Q, + ) formează grup.

68

4. Fie mulţimea funcţiilor bijective FE = { f | f : E E } pe care se defineşte ca lege

de compoziţie internă compunerea funcţiilor: oricare ar fi funcţiile f şi g din mulţimea

FE, g f : E E, (g f)( x ) = g ( f ( x ) ). Dacă funcţiile f şi g sunt bijective atunci şi

compusa lor este o funcţie bijectivă, deci g f FE. Compunerea este o operaţie

asociativă. Există funcţia 1E FE, numită aplicaţia identică a mulţimii E, astfel încât

oricare ar fi funcţia f FE, f 1E = 1E f = f, ceea ce înseamnă că funcţia 1E este

element neutru în raport cu compunerea. Toate elementele sunt simetrizabile pentru că

f-1 f-1

orice funcţie bijectivă admite o inversă, adică, f FE, FE, astfel încât f

= f-1 f = 1E. În general compunerea funcţiilor nu este comutativă.

În concluzie, ( FE, ) este grup.

5. Un exemplu de grup foarte important în algebră este grupul lui Klein. Mulţimea este formată din 4 elemente: K = { e, a, b, c }, iar legea de compoziţie este dată prin

următorul tabel:

Proprietatea de asociativitate se verifică prin calcul. Studiind tabla legii se observă că

e este elementul neutru şi fiecare element este simetricul lui însuşi. Din simetria tablei

faţă de diagonala principală se deduce comutativitatea legii. În concluzie, ( K , ) este

un grup comutativ.

6. Fie mulţimea M = 1, -1 , iar legea de compoziţie înmulţirea. Se observă uşor că (

M , · ) formează grup abelian.

7. Mulţimea Zn a claselor de resturi modulo n formează grup în raport cu adunarea ( Zn,+ )

Ca exemplu se prezintă tabla adunării în Z4 = 0 ,1,2 ,3 :

Verificînd prin calcul se deduce că legea este asociativă. Din tabla adunării se observă că

admite element neutru şi că fiecare element este

simetrizabil.

În plus, legea este şi comutativă.

În concluzie, ( Z4, + ) are o structură de grup abelian. 3 3 0 1 2

8. Fie mulţimea numerelor întregi Z şi legea de compoziţie x * y = x + y - 2, oricare ar fi x şi y din Z.

Se demonstrează că ( Z, * ) are o structură de grup abelian.

- Asociativitatea:

69

0 1 2 3

0

1

2

ˆ

0 1 2 3

1 2 3 0

2 3 0 1

ˆ ˆ ˆ ˆ

e a b c

e

a

b

c

e a b c

a e c b

b c e a

c b a e

x, y, z Z, ( x * y ) * z = x * ( y * z )

Se înlocuieşte conform legii de compoziţie şi se obţine: ( x + y - 2 ) * z = x * ( y + z - 2 );

( x + y - 2 ) + z - 2 = x + ( y + z - 2 ) - 2;

x + y - 2 + z - 2 = x + y + z - 2 - 2;

x + y + z - 4 = x + y + z - 4, egalitate adevărată. S-au folosit proprietăţile adunării în

mulţimea numerelor întregi.

- Elementul neutru:

e Z, astfel încât x Z, x * e = e * x = x.

Se începe cu x * e = x, unde se înlocuieşte şi se obţine: x + e - 2 = x, de unde rezultă e = 2.

Din e * x = x rezultă tot e = 2. Elementul neutru este numărul întreg 2.

- Toate elementele sunt simetrizabile:

x Z, x' Z astfel încât x * x' = x' * x = e.

Se înlocuieşte în relaţia: x * x' = 2 şi se obţine: x + x' - 2 = 2, de unde x' = 4 - x.

Folosind relaţia x' * x = 2 se obţine x' = 4 - x.

Dacă x Z, atunci şi 4 - x Z, ceea ce înseamnă că toate elementele din Z sunt

simetrizabile în raport cu legea *. În aceste condiţii ( Z, * ) este grup. Pentru a fi grup comutativ se mai demonstrează:

- Comutativitatea:

x, y Z, x * y = y * x. Înlocuind conform legii de compoziţie, se obţine: x + y - 2

= y + x - 2, egalitate adevărată pentru că adunarea este comutativă în Z.

În concluzie, ( Z, * ) are o structură de grup abelian.

7.2.3. Reguli de calcul într-un grup

G astfel: xn = x Fiind dat un grup ( G , * ) se defineşte puterea a n-a a elementului x * x * x * ... * x (de n ori), dacă n este număr natural mai mare decât 1; x 1 = x şi x0 =

e, elementul neutru al grupului.

Definiţia se extinde şi pentru puteri întregi. Se notează simetricul elementului

x cu x-1. Pe baza faptului că ( xy )-1 = y-1x-1, rezultă

( xn )-1 = ( x-1 )n.

În cazul în care n < 0, xn = ( x-1 )- n = ( x- n )-1.

Într-un grup sunt valabile relaţiile:

xmxn = xm+n şi ( xm )n = xmn, oricare ar fi m şi n numere întregi.

Într-un grup ( G,· ) au loc legile de simplificare:

1. Dacă x, y, z G şi xy = xz, atunci y = z.

2. Dacă x, y, z G şi xz = yz, atunci x = y.

Demonstraţie: Prima lege se demonstrează compunând la stânga cu x-1, astfel încât se obţine: x-1(xy)

= x-1(xz). lagea este asociativă, deci: (x-1x)y = (x-1x)z, adică ey = ez, y = z, ceea ce

trebuia demonstrat.

A doua lege se demonstrează analog, compunând relaţia din partea dreaptă cu z-1.

70

Ca o consecinţă a acestor legi de simplificare, în orice grup G are loc următoarea

proprietate:

Dacă a şi b G, fiecare dintre ecuaţiile: ax = b şi ya = b, are soluţie unică în G.

7.3. MORFISME DE GRUPURI. IZOMORFISME

7.3.1. Morfisme de grupuri

Definiţie: Fie ( G, * ) şi ( , ) două grupuri. Se numeşte morfism de grupuri de la G

la o funcţie f : G , astfel încât:

f ( x * y ) = f ( x ) f ( y ), oricare ar fi x şi y din G.

Exemple:

1. Fie ( G, * ) şi ( , ) două grupuri, iar e' elementul neutru al grupului

( , ). Atunci funcţia f : G prin f ( x ) = e' oricare ar fi x din G este un morfism

de grupuri.

Se demonstrează că f ( x * y ) = f ( x ) f ( y ), oricare ar fi x şi y din G. Se

înlocuieşte şi se obţine: e' = e' e', ceea ce este adevărat, e' fiind elementul neutru.

2. Fie grupurile ( Z, + ) şi ( { -1, 1 }, · ). Funcţia f : Z definită prin:

1, dacă x este par,

f ( x ) =

- 1, dacă x este impar.

este un morfism de grupuri.

-1, 1

Pentru a demonstra relaţia f ( x + y ) = f ( x ) · f ( y ) oricare ar fi x şi y din Z, se consideră trei cazuri:

- x şi y numere pare, de unde rezultă x + y număr par şi după înlocuire se obţine: 1 =

1 · 1, adevărat;

- x şi y numere impare, de unde rezultă x + y număr par şi după înlocuire se obţine: 1

= ( -1 ) · ( -1 ), adevărat şi

- x şi y de parităţi diferite de unde rezultă x + y număr impar şi după înlocuire se

obţine: -1 = 1 · ( -1 ) sau - 1 = ( -1 ) · 1, egalităţi adevărate.

3. Fie grupurile ( Z, * ) unde x * y = x + y -2 oricare ar fi x şi y din Z şi

( Z, # ) unde x # y = x + y + 1 oricare ar fi x şi y din Z.

Funcţia f : Z Z, f ( x ) = x - 3 este un morfism de grupuri.

Trebuie arătat că oricare ar fi x şi y din Z, f ( x * y ) = f ( x ) # f ( y ).

Se înlocuieşte şi se obţine:

f ( x + y - 2 ) = ( x - 3 ) # ( y - 3 );

x + y - 2 - 3 = ( x - 3 ) + ( y - 3 ) + 1;

x + y - 5 = x - 3 + y - 3 + 1;

x + y - 5 = x + y - 5, ceea ce este adevărat.

Proprietăţi:

1. Dacă ( G, * ), ( , ) şi ( H, ¤ ) sunt grupuri şi f : G şi g : H sunt

morfisme de grupuri, atunci şi g f : G H este un morfism de grupuri.

71

Pentru a demonstra proprietatea trebuie arătat că ( g f )( x * y ) = (g f)( x ) ¤ (g f) ( y ), oricare ar fi x şi y elemente din G. Aplicând definiţia compunerii şi faptul că f şi

g sunt morfisme, se obţine:

g ( f ( x * y ) ) = g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) );

g ( f ( x ) f ( y ) ) = g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) );

g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) ) = g ( f ( x ) ) ¤ g ( f ( y ) ).

2. Dacă ( G, * ) este un grup, atunci aplicaţia identică 1G : G

un morfism de grupuri.

G 1G ( x ) = x este

Trebuie arătat că 1G ( x * y ) = 1G ( x ) * 1G ( y ). Înlocuind se obţine: x * y = x * y.

3. Dacă ( G, * ) şi ( G', ¤ ) sunt grupuri şi f : G G' este un morfism de grupuri, iar e

şi e' sunt elementele neutre ale grupurilor G, respectiv G', atunci: a) f ( e ) = e';

b) oricare ar fi x din G, f ( x -1 ) = ( f ( x ) ) -1.

Demonstraţie: a) Se foloseşte faptul că e şi e' sunt elemente neutre şi f morfism şi se scrie:

f ( e ) = f ( e * e ) = f ( e ) ¤ f ( e ) sau:

f ( e ) = f ( e ) ¤ e'

Egalând cele două expresii şi folosind regula de simplificare la stânga se obţine: f ( e )

¤ f ( e ) = f ( e ) ¤ e', adică f ( e ) = e'.

b) Se demonstrează că f ( x -1) ¤ f ( x ) = e' astfel:

f ( x -1 ) ¤ f ( x ) = f ( x -1 * x ) = f ( e ) = e'.

Analog se arată că f ( x ) ¤ f ( x -1 ) = e'.

Rezultă că simetricul elementului f ( x ) în grupul G' este f ( x -1 ), adică:

f ( x -1 ) = ( f ( x ) ) -1, ceea ce trebuia demonstrat.

7.3.2. Izomorfisme de grupuri

Definiţie: Fie ( G, * ) şi ( , ) două grupuri. Se numeşte izomorfism de grupuri de la

G la o funcţie f : G , astfel încât:

1. f este morfism de grupuri, adică f ( x * y ) = f ( x ) mulţimea G.

2. f este bijectivă.

f ( y ), oricare ar fi x şi y din

În cazul în care între două grupuri există un izomorfism, grupurile se numesc

izomorfe şi se notează G ~ .

Izomorfismele sunt foarte importante în algebră pentru că este suficient să se

studieze spre exemplu un grup, iar apoi toate proprietăţile deduse pentru acesta sunt

valabile pentru toate grupurile izomorfe cu el.

Exemple: 1. Din exemplele de morfisme de grupuri care s-au dat la 1.2.1. primele două nu sunt

izomorfisme pentru că funcţiile nu sunt bijective. Al treilea exemplu este un

izomorfism pentru că funcţia f : Z Z,

f ( x ) = x - 3 este atât morfism de grupuri ( ceea ce s-a demonstrat ), cât şi bijecţie.

Se demonstrează mai întâi injectivitatea:

72

Oricare ar fi x1 şi x2 din Z cu x1 x2 trebuie demonstrat că f ( x1 ) f (x2).

Se presupune că f ( x1 ) = f ( x2 ), adică x1 - 3 = x2 - 3, de unde rezultă că x1 = x2, în

contradicţie cu ipoteza. Rezultă că presupunerea făcută este falsă, deci

f ( x1 ) f ( x2 ), ceea ce înseamnă că funcţia este injectivă.

Se demonstrează surjectivitatea: Oricare ar fi y din mulţimea Z trebuie să existe x din domeniul de definiţie Z al

funcţiei, astfel încât f ( x ) = y.

Se înlocuieşte şi se obţine: x - 3 = y, de unde x = y + 3.

Rezultă că f este şi surjectivă. În acest caz funcţia este bijectivă, deci este

izomorfism de grupuri.

un

2. Fie grupul G1 = ( 0 , ) cu operaţia de înmulţire şi

grupul G2 = ( -2,2 ) cu legea de compoziţie dată de formula:

g4( x y) oricare ar fi x şi y din G2. x y xy 4

Faptul că ( G1 , · ) şi ( G2, * ) sunt grupuri se demonstrează fără dificultate. 2x 2

f x Funcţia f : G1 G2 , oricare ar fi x ( 0 , ) x 1

este un izomorfism între grupurile G1 şi G2. Se demonstrează mai întâi faptul că este morfism, adică:

f ( x y ) = f ( x ) * f ( y ) oricare ar fi x şi y din G1. Se înlocuieşte şi se obţine:

2 xy 2 2 x 2 2 y 2 ;

xy 1 x 1 y 1

2 y 2 2 x 2 4

x 1 y 1 2 xy 2 ;

2 x 2 2 y 2 xy 1 4

x 1

4 2 xy

y

2 x

1

2 y 2 2 xy 2 y 2 x 2

2 xy 2 x 1 y 1 ;

4 xy 4 x 4 y 4 4 xy 4 x 4 y 4 xy 1

x 1 y 1

2 xy 2 16 xy 16 ;

xy

2 xy

1

2

8xy 8

2 xy 2 .

xy 1 xy 1

S-a obţinut o egalitate adevărată oricare ar fi x şi y din G1. Mai trebuie demonstrat că funcţia este bijectivă.

Se demonstrează injectivitatea:

Oricare ar fi x1 şi x2 din G1, cu x1 x2 trebuie ca f ( x1 ) f ( x2 ).

Se presupune că f ( x1 ) = f ( x2 ), adică:

2 x1 2 2 x2 2 2 x x 2x 2 x 2 2 x x 2 x 2 x 2 4 x 4 x x x , 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2

x 1 x 1 1 2

ceea ce contrazice ipoteza, adică presupunerea făcută este falsă, deci

73

f ( x1 ) f ( x2 ). În aceste condiţii funcţia este injectivă.

Se demonstrează surjectivitatea: Oricare ar fi y din G2 trebuie să existe x din G1 astfel încât f ( x ) = y. Se înlocuieşte şi

se obţine: 2 x 2 y 2

. y 2 x 2 xy y 2 x xy y 2 x(2 y) y 2 x x 1 2 y

Se observă că y ( -2, 2 ) x ( 0, ). Deci funcţia este şi surjectivă.

Dacă f este o funcţie injectivă şi surjectivă, atunci ea este bijectivă. În concluzie, f este un izomorfism de la grupul G1 la grupul G2,

deci ( G1, · ) ~ ( G2, * ).

3. Fie grupul (Z4, +) care s-a studiat la paragraful 7.2.2. exemplul 7 şi mulţimea

G = 1, i, - 1, - i unde i este unitatea imaginară, adică i2 = - 1. Această mulţime

formează grup în raport cu operaţia de înmulţire. Se construiesc tablele legilor de

compoziţie pentru cele două grupuri:

2 3 0 1 i 1 i 1

Fie funcţia f : Z4 G, definită prin următorul tabel:

Analizând tablele celor două legi de compoziţie se deduce că funcţia definită mai sus este un izomorfism de grupuri, astfel încât

( Z4, + ) ~ ( G, · ).

Observaţie: Dacă se studiază tabla legii de compoziţie a grupului lui Klein (7.2.2.,

exemplul 4) se observă că nu se poate defini o funcţie bijectivă de la mulţime K la

mulţimea G sau la Z4 astfel încât să fie morfism de grupuri. Grupul lui Klein nu este

izomorf cu aceste grupuri.

7.4. SUBGRUPURI

7.4.1. Definiţia subgrupului. Exemple

Definiţie: Fie ( G, * ) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Se spune că H este un subgrup al grupului G dacă:

H1. Oricare ar fi x şi y elemente din H, x * y aparţine lui H;

H2. ( H, * ) este grup.

Teoremă: Fie ( G, * ) un grup şi H o submulţime nevidă a lui G. Atunci următoarele

trei afirmaţii sunt echivalente:

1. H este subgrup al lui G.

2. a) x, y H, rezultă că x * y H;

b) e H ( unde e este elementul neutru al lui G );

74

x 0 1 2 3

f ( x) 1 i 1 i

0 1 2 3

0

1

2

3

0 1 2 3

1 2 3 0

3 0 1 2

1 i 1 i

1

i

1

i

1 i 1 i i

1 i 1

1 i 1 i

i 1 i

H, simetricul său x-1 c) x H.

H, rezultă că x * y-1 3. x, y H.

Demonstraţie:

1. 2.

a) rezultă din H1 din definiţia subgrupului. Pentru a demonstra afirmaţia b) se ţine cont de faptul că H este grup, deci are element

neutru notat e'. e fiind elementul neutru al lui G,

e * e' = e' * e' = e', de unde rezultă e' = e. Dar e' H, deci e H.

H şi x-1 simetricul lui x în G, iar x' simetricul lui x în c) se demonstrează astfel: fie x H. Atunci x * x-1 = x * x' = e. Conform regulii de simplificare la stânga, rezultă x-1 =

x', deci x-1 H.

2. 3.

H, conform c) rezultă că şi y-1 H, iar conform a), Dacă x,y

x * y-1 H.

3. 1.

Trebuie demonstrat că în acest caz H este grup în raport cu legea * şi că

x, y H implică x * y H.

H, atunci x * x-1 = e H şi x-1 = e * x-1 Dacă x H. De asemenea, dacă y h,

atunci şi y-1 H şi x * y = x * (y-1)-1

H.

Asociativitatea legii din H rezultă din asociativitatea legii de compoziţie din G.

Observaţie: Dacă un grup este abelian, atunci orice subgrup al său este abelian.

Exemple:

1. Dacă G este un grup, atunci G însuşi este un subgrup al său, numit subgrupul total.

Mulţimea e este de asemenea un subgrup al lui G, numit subgrupul nul. Aceste

două subgrupuri se numesc subgrupuri improprii ale grupului. Oricare alt subgrup se

numeşte subgrup propriu.

2. Grupul ( Z, + ) este subgrup al grupului ( Q, + ).

3. Grupul multiplicativ ( -1, 1 , · ) este un subgrup al grupului multiplicativ ( Q*, · ).

7.4.2. Subgrup generat de o mulţime. Grup ciclic

Definiţie: Fie ( G, * ) un grup şi M o submulţime nevidă a lui G. Se numeşte subgrup generat de mulţimea M intersecţia tuturor subgrupurilor care conţin mulţimea M.

Se notează: H i

M M H i

Un caz particular îl

constituie subgrupul generat de un singur element, adică M = { x }. Acest subgrup se

notează x şi are ca elemente puterile lui x : ..., x-2, x-1, x0 = e, x, x2,... . Se numeşte

subgrupul ciclic generat de x.

= { xk | k x Z }

Definiţie: Un grup se numeşte ciclic dacă este generat de un element al său. Acest

element se numeşte generator al grupului.

75

Exemple:

1. Fie grupul G = 1, i, - 1, - i despre care s-a demonstrat că formează grup în raport

cu operaţia de înmulţire. Acest grup este ciclic, generat de elementul i. Toate

elementele sunt puteri ale lui i: i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1.

2. Grupul ( Z4, + ) care este izomorf cu acesta este tot un grup ciclic, generat de

elementul care îi corespunde lui i prin izomorfism, adică 1 , deoarece:

11

1; 1 2 1 1 2 ; 1 3 1 1 1 3; 1 4 1 1 1 1 0 .

3. Grupul ( Z, + ) este un grup ciclic, generat de numărul întreg 1.

Definiţie: Fie ( G, * ) un grup şi x G. Cel mai mic număr natural nenul n pentru care

xn = e se numeşte ordinul elementului x în grupul G. Dacă pentru orice n N*, xn

e, atunci se spune că ordinul elementului x este .

Observaţie: În orice grup ordinul unui element este egal cu ordinul simetricului

acestuia.

În grupul de la exemplul 1, ord ( -1 ) = 2 pentru că ( -1 )2 = 1, iar ord ( i ) = ord

( -i ) = 4, pentru că i4 = 1 şi ( -i )4 = 1.

În grupul lui Klein, K = e, a, b, c , a2 = b2 = c2 = e, deci ord(a) = = ord(b) =

ord (c) = 2.

Teoremă: Fie (G,*) un grup şi x un element al său de ordin n.

= { e, x, x2, ..., xn-1 } şi Atunci subgrupul generat de x, x

ord( x ) = n.

Demonstraţie:

{ e, x, x2, ..., xn-1 } x .

Fie xk x . Atunci, pentru orice k număr întreg există numerele întregi q şi

r, 0 r n. deci xk = xnq+r = (xn)q *xr = eq*xr = e * xr = xr, care aparţine mulţimii { e,

x, x2, ..., xn-1 }, deci x { e, x, x2, ..., xn-1 }.

Din cele două incluziuni rezultă că mulţimile sunt egale.

7.4.3. Teorema lui Lagrange

Teorema lui Lagrange: ordinul oricărui subgrup al unui grup finit este un divizor al

ordinului grupului.

Demonstraţie:

Fie ( G, ) un grup finit de ordin n, iar H = h1, h2, ..., hk un subgrup al său

de ordin k. Se va demonstra că n este divizibil cu k..

Fie x un element al lui G. Se defineşte clasa lui x la stânga modulo H astfel:

x xH xh | h H xh1, xh2, ..., xhk

76

Clasa lui x este o mulţime nevidă, deoarece conţine elementul x, căci acesta se poate scrie x = xe, iar e este un element al subgrupului H. Elementele clasei lui x sunt

distincte două câte două pentru că din xhi = xhj rezultă prin simplificare hi = hj, ceea

ce este fals. Aşadar numărul de elemente al clasei lui x este k..

Oricare două clase distincte sunt disjuncte. Aceasta se demonstrează prin

reducere la absurd. Presupunem că există un element care este şi în clasa lui x şi în

clasa lui y, dar cele două clase nu sunt una şi aceeaşi mulţime. Fie s elementul comun.

Atunci există i şi j 1, 2, ..., k pentru care s = xhi şi s = yhj, de unde y = xhihj-1.

Dar hihj

y

-1 H, deci y = xhp. Atunci,

x yh1, yh2, ..., yhk xhph1, xhph2, ..., xhphk xh1, xh2, ..., xhk

Oricare ar fi un element al lui G, există o clasă în care este conţinut. Fie

toate clasele distincte două câte două, submulţimi disjuncte

ale lui G. Fiecare clasă conţine k elemente, rezultă că G x 1, x 2, ..., x p

conţine pk elemente, adică n = pk, adică n se divide cu k, ceea ce trebuia demonstrat.

Consecinţa 1: Într - un grup finit, ordinul oricărui element este finit şi este un divizor

al ordinului grupului.

Consecinţa 2: Dacă ordinul grupului finit G este n, atunci oricare ar fi x din G, xn = e.

Consecinţa 3: Orice grup de ordin număr prim este ciclic.

7.5. PROBLEME

7.5.1. Legi de compoziţie. Monoizi

1. Fie M = 1, 2, 3, 4, 6 şi legea de compoziţie * : M x M M, x * y = c.m.m.d.c. al numerelor x şi y. Completaţi tabla legii de compoziţie. Este legea comutativă?

Există element neutru?

2. Fie legea de compoziţie * : Z x Z Z, x * y = xy + x + y - 1. Ce proprietăţi are

această lege? Este ( Z,* ) monoid comutativ?

7.5.2. Grupuri

1. Se consideră mulţimea M = ( -2, 2 ). Pentru orice x şi y din M se defineşte legea de

compoziţie:

x y x y

xy 1

4 Să se demonstreze că ( M, * ) este grup abelian.

1 2. Pe mulţimea Q \ { - } se defineşte legea de compoziţie

3

x * y = x + y + 3xy. a) Să se arate că mulţimea Q \ { - 1/3 } înzestrată cu această lege de compoziţie

formează o structură de grup abelian.

77

b) Să se rezolve ecuaţiile: x * 3 = 2 şi ( -5 ) * x = 1.

3. Fie G = ( 0, 1 ) şi legea de compoziţie pe G: xy

x y 2 xy x y 1

oricare ar fi x şi y din mulţimea G. Să se arate că:

a) ( G, * ) este grup abelian x

b) Funcţia f : G R*+ definită prin relaţia: f x

1 x

este un izomorfism de la grupul ( G, * ) la grupul (R*+, · ), unde · semnifică operaţia

de înmulţire.

4. Se consideră mulţimea G = ( 2, ) pe care se defineşte legea

x * y = xy - 2x - 2y + 6, oricare ar fi x şi y din mulţimea G. Să se demonstreze:

a) ( G, * ) este grup abelian;

G, f(x) = e x + 2 este un izomorfism între grupurile b) Funcţia f : R

( R, + ) şi ( G, * );

c) Să se determine a şi b astfel încât funcţia g : R*+

izomorfism de la grupul ( R*+, · ) la grupul ( G, * ).

G, g(x) = ax + b să realizeze un

5. Pe mulţimea numerelor reale R se defineşte legea de compoziţie x * y = 2(x+y) - xy - a; a număr real.

Să se determine a şi submulţimea lui R pe care legea determină o structură de grup

comutativ.

R*. Pe A se defineşte legea: 6. Fie A = ( 0, ) \ { 1 }, a A, log y

a . Notând Ga, = ( A, * ), să se arate că Ga, este un grup comutativ, x * y = x

R* ), izomorfismul fiind realizat de funcţia: izomorf cu Gb, ( b A,

f : Ga, Gb, ,

log a

b

f ( x) x

7. Se consideră mulţimea:

a a (1 x) (1 x) R*} F { f | f : ( 1,1) ( 1,1); f (x) , a

a a a (1 x)

a x)a (1

Să se arate că ( F, ) este grup abelian izomorf cu ( R*, · ), unde s-a notat cu

operaţia de compunere a funcţiilor şi cu · operaţia de înmulţire.

8. Fie grupul aditiv ( Z, + ).

78

Să se arate că submulţimea: 3Z = { 3n | n

cu operaţia indusă.

Z } este un subgrup al acestuia în raport


1. Fie M = 1, 2, 3, 4, 6, 12 şi legea * : M x M x şi y.

Completaţi tabla legii:

M astfel: x * y = c.m.m.m.c. al lui

2. Fie mulţimea M = [ 2, ) şi legea de compoziţie * : M x M M astfel:

x * y = xy - 2x - 2y + 6 oricare ar fi x şi y din mulţimea M. Demonstraţi că (M,*) are o structură algebrică de monoid. Este acesta un monoid

comutativ?

3. Care dintre următoarele mulţimi de numere înzestrate cu operaţiile respective

formează o structură algebrică de grup:

a) ( N, + );

d) ( Z, · );

b) ( Z, + ); c) ( Q, + );

e) ( Q, · ); f) ( Q*, · ) ?

4. Fie mulţimea părţilor unei mulţimi A, P(A), pe care se defineşte operaţia de reuniune a mulţimilor.

i) Ce proprietăţi are această operaţie:

a) asociativitate; b) existenţa elementului neutru; c) toate elementele simetrizabile; d)

comutativitate?

ii) ( P(A), ) formează o structură de grup?.........................

Motivaţi! ................................................................................

5. Fie grupurile ( Z, + ) şi ( { -1, 1 }, · ).

{ -1, 1 }, f(n) = ( -1 )n este un: Funcţia f : Z

a) morfism de grupuri

b) izomorfism de grupuri?

6.Oricare două grupuri finite care au acelaşi ordin sunt izomorfe? ...........................

Dacă nu, daţi un contraexemplu!

...................................................

79

* 1 2 3 4 6 12

1

2

3

4

6

12

7. Grupul ( Z, + ) este un grup ciclic, generat de elementul 1. Poate fi izomorf cu grupul ( Z[X], + )?.................................... Motivaţi!

..............................................................................................................

8. Există în grupul lui Klein elemente de ordin 3?........................................... Motivaţi!

................................................................................................................

...............................................................................................................

7.7. RĂSPUNSURI - FIŞA DE AUTOEVALUARE

1.

2. Se demonstrează proprietăţile monoidului:

M1) asociativitatea:

x,y,z M, (x * y) * z = x * (y * z)

(xy - 2x -2y + 6) * z = x * (yz - 2y - 2z + 6) (xy - 2x -2y + 6)z - 2(xy - 2x -2y + 6) - 2z + 6 = x(yz - 2y - 2z + 6) - 2x - 2(yz - 2y -

2z + 6) + 6

xyz - 2xz - 2yz + 6z - 2xy + 4x + 4y - 12 - 2z + 6 = xyz - 2xy - 2xz + 6x - 2x - 2yz +

4y + 4z - 12+ 6

xyz - 2xz - 2yz + 4z - 2xy + 4x + 4y - 6 = xyz - 2xy - 2xz + 4x - 2yz + 4y + 4z - 6,

egalitate adevărată, x,y,z

M2) element neutru:

M.

e M astfel încât x M, x * e = e * x = x.

x * e = x; xe - 2x - 2e + 6 = x; xe - 2e = 3x - 6; e(x - 2 ) = 3 ( x - 2 ). Dacă x e = 3.

e * x = x; ex - 2e - 2x + 6 = x; ex - 2e = 3x - 6; e(x - 2 ) = 3 ( x - 2 ). Dacă x

e = 3.

Mai trebuie analizat cazul când x = 2.

2,

2,

2 * 3 = 2·3 - 2·2 - 2·3 + 6 = 6 - 4 - 6 + 6 = 2

3 * 2 = 3·2 - 2·3 - 2·2 + 6 = 6 - 6 - 4 + 6 = 2

S-a obţinut rezultatul 2, deci se poate trage concluzia că elementul neutru este 3.

Pentru a cerceta dacă monoidul este comutativ vom studia comutativitatea legii de

compoziţie:

80

* 1 2 3 4 6 12

1 1 2 3 4 6 12

2 2 2 6 4 6 12

3 3 6 3 12 6 12

4 4 4 12 4 12 12

6 6 6 6 12 6 12

12 12 12 12 12 12 12

x,y M, x * y = y * x, adică: xy -2x -2y + 6 = yx -2y -2x +6, egalitate adevărată.

Rezultă că (M,*) este monoid comutativ.

3. b), c), f).

4. i)

ii)

a), b), d).

nu.

P(A) nu are toate elementele simetrizabile în raport cu reuniunea.

5. a)

6. nu Contraexemplu: grupul lui Klein şi grupul ( Z4, + ) sunt ambele de ordinul 4, dar nu

sunt izomorfe.

7. nu Ar trebui ca şi Z[X] să fie generat de un element al său. Dar, oricare polinom adunat

cu el însuşi îşi păstrează gradul, deci nu există nici un polinom astfel încât toate

celelalte să se obţină din el.

8. nu Un element de ordin 3 generează un subgrup de ordin 3. Teorema lui Lagrange afirmă

că ordinul oricărui subgrup divide ordinul grupului, ori 3 nu îl divide pe 4, deci un

astfel de element nu poate exista.


1. Ganga, M.; Algebră, Ed. Mathpress, 2000 2. Becheanu, M.; Dincă, A; Ion, I. D.; Niţă, C; Purdea I.; Algebra pentru

perfecţionarea profesorilor, E.D.P., Bucureşti, 1983

3. Ganga, M; Teste de algebră şi analiză matematică, Ed. Mathpress, 1998.

4. Năstăsescu, C.; Ţena, M; Andrei, G.; Otărăşanu, I.; Probleme de structuri

algebrice,Editura Academiei, Bucureşti, 1988.

8. INELE

8.1. NOŢIUNEA DE INEL. EXEMPLE

8.1.1. Definiţia inelului

Definiţie: Se numeşte inel o mulţime A pe care se definesc două legi de compoziţie,

una notată aditiv "+" şi una notată multiplicativ " " care satisfac următoarele axiome:

I. ( A, + ) este grup abelian, adică:

I.1. Legea + este asociativă:

oricare ar fi x şi y din A, ( x + y ) + z = x + ( y + z )

81

I.2. Legea + admite element neutru:

există 0 A, astfel încât oricare ar fi x A, x + 0 = 0 + x = x A sunt simetrizabile în raport cu legea +:

A, astfel încât x + x' = x' + x = 0

I.3. Toate elementele mulţimii

oricare ar fi un element x A, există x'

I.4. Legea + este comutativă: oricare ar fi elementele x şi y din mulţimea A, x + y = y + x.

II. ( A, ) este monoid, adică:

II.1. Legea este asociativă:

oricare ar fi x şi y din A, ( x y ) z = x ( y z )

II.2. Legea admite element neutru:

există 1 A, astfel încât oricare ar fi x A, x 1 = 1 x = x.

III. Legea este distributivă faţă de legea +: oricare ar fi x,y şi z elemente din mulţimea A,

x ( y + z ) = ( x y ) + ( x z ) şi ( x + y ) z = ( x z ) + ( y z ).

Dacă în plus legea este şi comutativă, adică oricare ar fi x şi y din A, x y =

y x, atunci inelul se numeşte inel comutativ.

Observaţie: După unii autori, printre axiomele inelului nu se numără II.2., iar după alţii nici II.1, aceştia numind un inel care satisface axioma II.2. inel unitar, iar pentru

axioma II.1. inel asociativ. Se va folosi în continuare definiţia dată mai sus.

Definiţie: Fie ( A, + , ) un inel. Un element din A se numeşte element inversabil al

inelului dacă este inversabil faţă de operaţia multiplicativă.

Mulţimea elementelor inversabile se notează cu U(A) şi se mai numeşte

mulţimea "unităţilor" lui A.

Propoziţie: Dacă ( A, + , ) este un inel, mulţimea U(A) este parte stabilă faţă de

legea şi cuplul ( U(A), ) este un grup, numit grupul multiplicativ al elementelor

inversabile din inelul A.

Definiţie: Fie ( A, + , ) un inel. Se numesc divizori ai lui zero, elementele x şi y din

A, x 0 şi y 0, dar al căror produs x y = 0.

Definiţie: Un inel comutativ se numeşte inel integru sau domeniu de integritate dacă

nu are divizori ai lui zero, adică din produsul x y = 0 rezultă x = 0 sau y = 0.

8.1.2. Exemple de inele

1. Un exemplu tipic de inel îl constituie mulţimea numerelor întregi Z, înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire. ( Z, + ) este grup abelian, ( Z, · ) este

monoid, iar înmulţirea este distributivă faţă de adunare. Înmulţirea numerelor întregi

este şi comutativă, deci inelul este comutativ. Acest inel nu are divizori ai lui zero.

Unităţile lui sunt 1 şi - 1.

2. Mulţimea numerelor raţionale şi mulţimea numerelor reale formează de asemenea inele faţă de operaţiile de adunare şi înmulţire, tot inele comutative şi fără

divizori ai lui zero.

82

3. Mulţimea matricelor pătratice de ordin n cu coeficienţi din R formează inel cu adunarea şi înmulţirea matricelor. Acest inel nu este comutativ. Unităţile sale sunt

matricele inversabile, adică matricele nesingulare, cele care au determinantul nenul.

Inelul ( Mn, + , · ) are divizori ai lui zero. Exemplul următor este din mulţimea

matricelor de ordin 2.

Fie matricele A şi B diferite de maticea nulă, dar al căror produs este matricea

nulă.

2

0

0

0

0

1

0

3

0

0

0

0 A şi B , iar AB .

În acest caz, matricele A şi B sunt divizori ai lui zero.

4. Inelul întregilor lui Gauss este mulţimea

Z[i] = { a + bi | a, b Z, iar i este unitatea imaginară, i2 = - 1 } Această mulţime, împreună cu operaţiile de adunare şi înmulţire formează un inel comutativ, fără divizori ai lui zero.

Mulţimea U(Z[i]) = { 1, - 1, i, - i } formea ză grup faţă de înmulţire, după cum s-a

demonstrat în exemplul 3. de la paragraful 7.3.2..

5. Inelul resturilor Rn = { 0, 1, 2, ..., n - 1 }. Pe această mulţime se definesc

adunarea modulo n, notată şi înmulţirea modulo n, notată , astfel: a b = restul

împărţirii lui a + b la n, iar a b = restul împărţirii lui a · b la n, unde a şi b aparţin

mulţimii Rn. Se observă că rezultatele acestor operaţii sunt tot din mulţimea Rn.

( Rn, , ) formează un inel comutativ. Dacă n nu este număr prim, atunci are

divizori ai lui zero. De exemplu, în R6, 2 3 = 0.

6. Inelul claselor de resturi modulo n se defineşte cu ajutorul operaţiilor modulo n definite anterior. Clasa de echivalenţă modulo n a elementului x din

mulţimea numerelor întregi reprezintă mulţimea numerelor întregi congruente cu x

modulo n, adică toate numerele întregi care dau acelaşi rest ca şi x la împărţirea la n:

x y | x y(mod n)

Mulţimea Zn este formată din elementele:

Zn 0 , 1, 2 , ..., n - 1

Adunarea şi înmulţirea se definesc astfel:

a b b a ab a b şi

( Zn, +, · ) formează un inel comutativ. În cazul în care n nu este număr prim,

inelul are divizori ai lui zero. Elementele inversabile ale inelului sunt clasele cu proprietatea că (x, n) = 1, unde s-a notat cu (x,n) cel mai mare divizor comun al lui x

şi n.

x

7. Fie mulţimea Z a numerelor întregi pe care se definesc legile de compoziţie:

x * y = x + y - a, oricare ar fi x şi y din Z şi

x # y = xy - a (x + y) + a2 + a, oricare ar fi x şi y din Z şi a un număr întreg

fixat. Se demonstrează că ( Z, *, # ) formează un inel comutativ, fără divizori ai lui

zero.

I.1. asociativitatea legii *:

83

oricare ar fi x, y, z din Z, ( x * y ) * z = x * ( y * z ), ( x + y - a ) * z = x * ( y + z - a ),

x + y - a + z - a = x + y + z - a - a, ceea ce este adevărat.

I.2. elementul neutru al legii *:

există e număr întreg astfel încât oricare ar fi x număr întreg,

x * e = e * x = x

x + e - a = x, respectiv e + x - a = x, de unde rezultă e = a. I.3.

toate elementele sunt simetrizabile în raport cu legea *:

oricare ar fi x număr întreg, există x' număr întreg astfel încât:

x * x' = x' * x = e,

x + x' - a = a, respectiv x' + x - a = a, de unde rezultă x' = 2a - x.

I.4. comutativitatea legii *:

oricare ar fi x şi y numere întregi, x * y = y * x,

x + y - a = y + x - a, ceea ce este adevărat.

II.1. asociativitatea legii #:

oricare ar fi x, y şi z numere întregi:

( x # y ) # z = x # ( y # z )

( xy - a ( x + y ) + a2 + a ) # z = x # ( yz - a ( y + z ) + a2 + a )

xyz - axz - ayz + a2z + az - axy + a2x + a2y - a3 - a2 - az + a2 + a =

= xyz - axy - axz + a2x + ax - ax - ayz + a2y + a2z - a3 - a2 + a2 + a,

xyz - axz - ayz - axy + a2z + a2x + a2y - a3 + a =

= xyz - axy - axz - ayz + a2x + a2y + a2z - a3 + a, egalitate adevărată.

II.2. elementul neutru al legii #:

există u număr întreg, astfel încât oricare ar fi x număr întreg,

x # u = u # x = x

xu - a ( x + u ) + a2 + a = x, respectiv ux - a ( u + x ) + a2 + a = x, de unde rezultă:

u ( x - a ) = ( x - a ) ( a + 1 ), adică u = a + 1.

III. distributivitatea legii # faţă de legea *:

oricare ar fi x, y, z numere întregi,

x # ( y * z ) = ( x # y ) * ( x # z ) şi ( x * y ) # z = ( x # z ) * ( y # z ). Se verifică prima

relaţie, demonstraţia celei de a doua făcându-se analog:

x # ( y + z - a ) = ( xy - a ( x + y ) + a2 + a ) * (xz - a ( x + z ) + a2 + a );

x (y + z - a ) - a ( x + ( y + z - a ) ) + a2 + a = ( xy - a ( x + y ) + a2 + a ) + + (xz - a ( x

+ z ) + a2 + a ) - a;

xy + xz - ax - ax - ay - az + a2 + a2 + a = xy - ax - ay + a2 + a + xz - ax - az + a2 + a -

a, egalitate adevărată.

Pentru ca inelul să fie comutativ, trebuie ca legea # să fie comutativă, adică

oricare ar fi x şi y numere întregi, x # y = y # x,

xy - a ( x + y ) + a2 + a = yx - a ( y + x ) + a2 + a, ceea ce este adevărat.

Pentru a demonstra că nu are divizori ai lui zero, folosim metoda reducerii la

absurd, adică presupunem că există numerele întregi x şi y,

a, dar x # y = a, adică xy - a ( x + y ) + a2 + a = a, x a şi y xy - ax - ay + a2 = 0, ( x - a ) ( y - a ) = 0 ,

de unde rezultă x = a sau y = a, ceea ce contrazice ipoteza. S-a demonstrat astfel că

inelul nu are divizori ai lui zero.

Se vor căuta în continuare elementele inversabile ale inelului, adică numerele

întregi x pentru care există x' astfel încât x # x' = x' # x = a + 1.

Legea este comutativă, se va folosi o singură relaţie:

xx' - a ( x + x' ) + a2 + a = a + 1,

x' ( x - a ) = ax - a2 + 1; x' ( x - a ) = a ( x - a ) + 1, de unde.

84

x' = a + 1/( x - a ). pentru ca acest număr să fie întreg, trebuie ca ( x - a ) să îl dividă pe 1, adică x - a = 1 sau x - a = - 1, de unde rezultă

x = a + 1 şi x = a - 1, elementele inversabile ale inelului.

8.1.3. Reguli de calcul într-un inel

Fie ( A, +, ) un inel. Se notează cu 0 elementul neutru al legii +, cu – x

simetricul lui x faţă de legea + şi cu 1 elementul neutru al legii .

1. Pentru orice x din A, x 0 = 0 x = 0.

Demonstraţie: x 0 = x (0+0) = x 0 + x 0, adică x 0 = x 0 + x 0.

Dar 0 = x 0 + (- x 0 ) = x 0 + x 0 + ( - x 0 ) = x 0 + ( x 0 + ( - x 0 ) ) = = x 0 + 0 =

x 0, adică 0 = x 0. Analog, 0 x = 0.

2. Dacă inelul A are cel puţin două elemente, atunci 1 0.

Demonstraţie: Dacă 1 = 0, atunci oricare ar fi x din A, x = 1 x = 0 x = 0, de unde A =

0 , contradicţie, căci s-a presupus că A are cel puţin două elemente.

3. Regula semnelor: Oricare ar fi x şi y din inelul A:

( - x ) y = x ( - y ) = - x y

( - x ) (- y ) = x y.

Demonstraţie: 0 = 0 y = ( ( - x ) + x) y = ( - x ) y + x y şi 0 = 0 y = ( x + ( - x ) ) y

= x y + ( - x ) y. Din cele două relaţii rezultă că ( - x ) y este simetricul lui x y,

adică ( - x ) y = - x y.

Analog se demonstrează că x ( - y ) = - x y.

( - x ) ( - y ) = - ( x ( - y ) ) = - ( - x y ) = x y.

4. Distributivitatea înmulţirii faţă de scădere: Oricare ar fi x, y şi z din inelul

A: x ( y – z ) = x y - x z şi ( y – z ) x = y x - z x.

S-a notat y – z = y + ( - z ).

Demonstraţie: x ( y – z ) = x ( y + ( - z ) ) = x y + x ( - z ) = x y - x z. Cealaltă

relaţie se demonstrează analog.

5. Într-un inel fără divizori ai lui zero, din x y = x z sau y x = z x, cu x

rezultă y = z.

0,

Demonstraţie: Dacă x ( y – z ) = x y - x z = x y - x y = 0. Dar x divizori ai lui zero, atunci y – z = 0, deci y = z.

Analog se arată că y x = z x implică y = z.

0, iar inelul nu are

8.2. SUBINEL

8.2.1. Definiţia subinelului

85

Definiţie: Fie ( A, +, · ) un inel. Se numeşte subinel al inelului A, o submulţime B

nevidă a lui A, astfel încât:

1. Oricare ar fi x şi y


B, rezultă că x - y

B, rezultă că xy

B;

B.

Observaţii: ( B, + ) este un subgrup al lui ( A, + ) şi B este parte stabilă în raport cu operaţia multiplicativă. Din acestea rezultă că mulţimea B împreună cu cele două legi

de compoziţie induse formează inel.

Dacă B şi C sunt subinele ale inelului A, atunci şi B C este un subinel al

inelului A.

Proprietatea nu este valabilă pentru reuniune.

8.2.2. Exemple de subinele

1. Oricare ar fi un inel A, mulţimile { 0 } şi A sunt subinele ale inelului A.

2. Inelul numerelor întregi (exemplul 1 de la 8.1.2.) este subinel al inelului

Z[i] al întregilor lui Gauss (exemplul 4 de la 8.1.2.).

3. Mulţimea 2Z = { 2z | z Z } este un subinel al lui Z.

Se verifică uşor proprietăţile subinelului pe toate exemplele de mai sus.

8.3. MORFISME DE INELE

8.3.1. Definiţia morfismului de inele

Definiţie: Fie (A, + , ) şi (R, *, # ) inele. Funcţia f : A R se numeşte morfism de

inele dacă oricare ar fi x şi y din A sunt îndeplinite condiţiile: 1. f (x + y) = f (x) * f (y)

2. f (x y) = f (x) # f (y).

Dacă f este morfism de inele şi f este şi bijectivă, atunci f se numeşte

izomorfism de inele.

Observaţii: Din condiţia 1 a definiţiei rezultă că f este un morfism de grupuri de la (A, +) la (R, *), ceea ce implică proprietăţile:

f (0A) = 0R şi f (- a) = - f (a), unde s-a notat cu 0A şi 0B elementele neutre în

raport cu legile +, respectiv * şi cu - a opusul elementului a.

Nu se poate deduce acelaşi lucru şi despre elementele unitate ale inelelor. Un

morfism de inele care satisface în plus condiţia:

f (1A) = 1R se numeşte morfism unitar de inele. Dacă morfismul de inele f este o

funcţie surjectivă, atunci f este morfism unitar de inele.

Dacă A, B şi C sunt inele şi funcţiile f : A B şi g : B C sunt morfisme de

inele, rezultă că funcţia g f : A C este un morfism de inele.

8.3.2. Exemple de morfisme şi izomorfisme de inele

86

1. Dacă A este un inel, atunci aplicaţia identică a lui A, 1A : A

= x este un morfism de inele.

A prin 1A (x)

2. Fie inelul (Z, +, · ). Atunci funcţia f : Z

un morfism de inele care nu este unitar.

Z, f (x) = 0 (morfismul nul) este

3. Fie Z mulţimea numerelor întregi şi legile de compoziţie: x * y = x + y + 2 şi x # y = xy - 2x - 2y + 6, oricare ar fi x şi y din Z.

(Z, *, #) formează un inel comutativ fără divizori ai lui zero.

Funcţia f : Z Z, f (x) = x + 2 este un izomorfism de la inelul (Z, +, ·) la inelul

(Z, *, #).

Demonstraţie:

1. Oricare ar fi x şi y din Z, f (x + y) = f (x) * f (y);

f ( x + y) = x + y + 2

f (x) * f (y) = (x + 2) * (y + 2) = x + 2 + y + 2 - 2 = x + y + 2

2. Oricare ar fi x şi y din Z, f (xy) = f (x) # f (y);

f (xy) = xy + 2

f (x) # f (y) = (x + 2) # (y + 2) = (x + 2)(y + 2) - 2(x + 2) - 2(y + 2) + 6 = = xy + 2x +

2y + 4 - 2x - 4 -2y - 4 + 6 = xy + 2.

3. f - funcţie bijectivă:

f - injectivă: oricare ar fi x şi y din Z, x y, trebuie ca f (x) f (y). Se presupune că f

(x) = f (y), adică x + 2 = y + 2, de unde rezultă x = y, contradicţie, deci presupunerea

este falsă, adică f (x) f (y), ceea ce înseamnă că funcţia f este injectivă.

f - surjectivă: oricare ar fi y din Z, există x din Z, astfel încât f (x) = y; x + 2 = y implică x = y - 2, iar dacă y este număr întreg şi x este număr întreg.

Funcţia f fiind şi injectivă şi surjectivă este bijectivă. Rezultă că f este un izomorfism

de inele.

8.4. PROBLEME

1. Să se demonstreze că pe mulţimea Z a numerelor întregi, următoarele legi de compoziţie:

x * y = x + y - 4 şi x # y = xy - 4x - 4y + 20

determină o structură de inel comutativ fără divizori ai lui zero. Determinaţi

elementele inversabile

2. Demonstraţi că mulţimea 5Z este un subinel al inelului (Z, + ,·).

3. Care sunt elementele inversabile ale inelului (Z12, + ,·); dar ale inelului (Z5, + ,·)?

4. Fie legile de compoziţie definite pe mulţimea Z a numerelor întregi: x * y = x + y - 3 şi x ¤ y = xy - 3x - 3y + 12.

a) Arătaţi că (Z, * ,¤) este un inel.

b) Determinaţi m şi n numere întregi, astfel încât funcţia f : Z Z,

f (x) = mx + n să fie un izomorfism de la inelul (Z, + ,·), la inelul (Z, *,¤).

5. Fie A = Z x Z, şi legile de compoziţie definite pe A:

87

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) şi (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc), unde a, b, c şi d sunt numere întregi.

a) Să se arate că (A, +, ·) este un inel comutativ fără divizori ai lui zero;

b) Să se afle elementele inversabile ale inelului;

c) Să se demonstreze că (A, +, ·) este izomorf cu inelul întregilor lui Gauss (Z[i], +, ·)

(exemplul 4 de la 8.1.2.), unde izomorfismul este realizat de funcţia f : A

b)) = a + bi, cu a şi b din Z.

Z[i], f((a,

88


1. Care dintre următoarele mulţimi de numere înzestrate cu operaţiile respective au o

structură de inel:

d) (R*, +, ·); a) (N, +, ·);

e) (R, +, :);

b) (Z, +, ·);

f) (R, ·, +);

c) (Q, + . ·);

g) (R, +, ·)?

2. Sunt adevărate sau false următoarele afirmaţii: a) Q este subinel al lui Z ...........................

b) Z este subinel al lui Q ...........................

c) Q este subinel al lui R ...........................

d) N este subinel al lui Q ...........................

3. Care dintre următoarele mulţimi sunt subinele ale lui Z:

a) 7Z; b) 6Z 8Z; c) 6Z 8Z; d) 6Z 3Z?

4. Care dintre următoarele morfisme ale unui inel este şi izomorfism: a) morfismul nul ............................

b) morfismul identic ......................?

5. Fie (A, +, #) şi (R, *, ¤) inele şi funcţia f : A R. Care afirmaţie este adevărată:

a) f izomorfism de inele implică grupurile (A, +) şi (R, *) izomorfe........... b) f izomorfism al grupurilor (A, +) şi (R, *) implică inelele (A, +, #) şi (R, *, ¤)

izomorfe ...................?

89


1. b), c) şi g).

2. a) fals; b) adevărat; c) adevărat; d) fals.

3. a), b), d).

4. a) nu; b) da.

5. a) adevărat; b) fals.


1. Becheanu, M.; Dincă, A; Ion, I. D.; Niţă, C; Purdea I.; Algebra pentru perfecţionarea profesorilor, E.D.P., Bucureşti, 1983;


algebrice,Editura Academiei, Bucureşti, 1988;

3. Niţă, C.; Spircu, T.; Probleme de structuri algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti,

1974.

90

9. CORPURI

9.1. NOŢIUNEA DE CORP. EXEMPLE

9.1.1. Definiţia corpului

Definiţie: Se numeşte corp o mulţime K pe care se definesc două legi de compoziţie,

una notată aditiv "+" şi una notată multiplicativ " " care satisfac următoarele axiome:

I. ( K, + ) este grup abelian, adică:

I.1. Legea + este asociativă: oricare ar fi x şi y din K,

( x + y ) + z = x + ( y + z )

I.2. Legea + admite element neutru: există 0

K, x + 0 = 0 + x = x

K, astfel încât oricare ar fi x

I.3. Toate elementele mulţimii K sunt simetrizabile în raport cu legea +:

oricare ar fi un element x K, există x' K, astfel încât x + x' = x' + x = 0

I.4. Legea + este comutativă: oricare ar fi elementele x şi y din mulţimea K, x + y = y + x.

II. ( A, ) este monoid, adică:

II.1. Legea este asociativă: oricare ar fi x şi y din K,

( x y ) z = x ( y z )

II.2. Legea admite element neutru: există 1 K, astfel încât oricare ar fi x

A, x 1 = 1 x = x şi 1 0.

III. Legea este distributivă faţă de legea +: oricare ar fi x,y şi z elemente din mulţimea K,

x ( y + z ) = ( x y ) + ( x z ) şi ( x + y ) z = ( x z ) + ( y z ).

IV. Toate elementele din K cu excepţia lui 0 sunt inversabile în raport cu legea ,

adică oricare ar fi x din K*, există x -1 în K*, astfel încât:

x -1 = x -1 x x = 1, unde s-a notat cu K* = K \ 0 .

Dacă în plus legea este şi comutativă, adică oricare ar fi x şi y din K, x y = y x,

atunci corpul se numeşte corp comutativ.

Observaţie: Corpul are o singură proprietate în plus faţă de inel, proprietatea IV: toate

elementele sale nenule sunt inversabile, asfel încât este valabilă:

Propoziţia: Dacă ( K, + , ) este un corp, cuplul ( K*, ) este un grup.

Propoziţie: Într-un corp nu există divizori ai lui zero.

9.1.2. Exemple de corpuri

1. Un exemplu tipic de corp îl constituie mulţimea numerelor raţionale Q, înzestrată cu operaţiile de adunare şi înmulţire. ( Q, + ) este grup abelian, ( Q, · ) este

monoid, înmulţirea este distributivă faţă de adunare şi toate numerele raţionale nenule

sunt inversabile în raport cu înmulţirea. Înmulţirea numerelor raţionale este şi

comutativă, deci corpul este comutativ.

91

2. Mulţimea numerelor reale formează de asemenea corp faţă de operaţiile de

adunare şi înmulţire, tot comutativ.

3. Corpul numerelor complexe.

i2 Fie i unitatea imaginară, cu proprietatea că = - 1. Mulţimea numerelor

complexe se defineşte astfel:

C = {a + bi | a, b R}

Operaţiile cu numere complexe se bazează pe operaţiile cu numere reale:

Fie x, y C, deci x = a + bi şi y = c + di, unde a, b, c, d R.

x + y = (a + c) + (b + d)i şi xy = (ac - bd) + (ad + bc)i. Se verifică uşor că aceste operaţii au toate proprietăţile corpului, adică

adunarea este asociativă, are elementul neutru 0 = 0 + 0i, toate elementele sunt

simetrizabile faţă de adunare ( - x = - a + (- b)i ), adunarea este şi comutativă.

Înmulţirea definită mai sus este de asemenea comutativă, are elementul neutru 1 = 1 +

0i, iar inversul lui x 0 este tot un element din C:

1 a bi a bi a b 1 x i C. 2 2 2 2 2 2 a bi a bi a bi a b a b a b

Înmulţirea este distributivă faţă de adunare. În

comutativ.

concluzie, (C, +, ·) este un corp

4. Corpurile de numere pătratice. Fie d un întreg liber de pătrate.

Acest corp se numeşte corpul numerelor pătratice.

Q( d ) a b d

a

b

a,b Q

x, y

x

xy

(Q

Q d , x

a u

dbv

b d şi y u v d ,

y v d Q d

Q au av bu d d

d , , ) este corp.

5. Corpul claselor de resturi modulo p, unde p este număr prim, se defineşte cu ajutorul operaţiilor modulo p date pentru inelul respectiv. În cazul în care p este

număr prim se poate demonstra că (Zp, +, ·) este corp comutativ.

9.2. SUBCORP

9.2.1. Definiţia subcorpului

Definiţie: Fie ( K, +, · ) un corp. Se numeşte subcorp al corpului K, o submulţime C

nevidă a lui K, astfel încât:



C, rezultă că x - y C;

C, nenule, rezultă că xy -1 C.

Observaţii: (C, +) este un subgrup al lui (K, +) şi (C*, ·) este un subgrup al lui (K*, ·).

92

Din acestea rezultă că mulţimea C împreună cu cele două legi de compoziţie induse formează corp. Din definiţie mai rezultă că orice subcorp conţine elementele 0

şi 1 ale lui K.

Dacă C şi D sunt subcorpuri ale corpului K, atunci şi C corpului K.

Proprietatea nu este valabilă pentru reuniune.

D este un subcorp al

3.2.2. Exemple de subcorpuri

1. Corpul numerelor raţionale este subcorp al corpului numerelor reale şi complexe.

2. Corpul numerelor reale este subcorp al corpului numerelor complexe.

3. Corpul numerelor pătratice (definit la 9.1.2. exemplul 4) este un subcorp al

corpului numerelor complexe (definit la 9.1.2. exemplul 3).

9.3. MORFISME DE CORPURI

9.3.1. Definiţia morfismului de corpuri

Definiţie: Fie (K, + , ) şi (C, *, # ) corpuri. Funcţia f : K C se numeşte morfism de

corpuri dacă oricare ar fi x şi y din K sunt îndeplinite condiţiile: 1. f (x + y) = f (x) * f (y)

2. f (x y) = f (x) # f (y).

Dacă f este morfism de corpuri şi f este şi bijectivă, atunci f se numeşte

izomorfism de corpuri şi corpurile se numesc în acest caz izomorfe.

Observaţii: Din condiţia 1 a definiţiei rezultă că f este un morfism de grupuri de la (K, +) la (C, *), ceea ce implică proprietăţile:

f (0K) = 0C şi f (- a) = - f (a), unde s-a notat cu 0K şi 0C elementele neutre în

raport cu legile +, respectiv * şi cu - a opusul elementului a.

f (1K) = 1C şi f (x -1) = (f (x)) -1 (x 0), pentru că elementele nenule ale celor

două mulţimi formează grup în raport cu a doua lege.

Dacă A, B şi C sunt corpuri şi funcţiile f : A B şi g : B C sunt morfisme

de corpuri, rezultă că funcţia g f : A C este un morfism de corpuri.

Orice morfism de corpuri este injectiv.

9.3.2. Exemple de morfisme şi izomorfisme de corpuri

1. Dacă K este un corp, atunci aplicaţia identică a lui K, 1 K : K

= x este un morfism de corpuri.

K prin 1K (x)

2. Fie mulţimea K = R x R pe care se definesc legile de compoziţie: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) şi (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc).

Se demonstrează uşor că (K, +, ·) este un corp comutativ.

Se defineşte funcţia f : K C, prin f ((a, b)) = a + bi. Această funcţie este un

izomorfism de la corpul K la corpul C al numerelor complexe.

Demonstraţie:

93

Oricare ar fi perechile (a, b) şi (c, d) din K, f ((a,b) + (c, d)) = f ((a, b)) + f ((c, d))

f ((a, b) + (c, d)) = f ((a + c, b + d)) = (a + c) + (b + d)i

f ((a,b )) + f ((c, d)) = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

În raport cu a doua lege: f ((a,b) · (c, d)) = f ((a, b)) · f ((c, d))

f ((a,b) · (c, d)) = f ((ac - bd, ad + bc)) = (ac - bd) + (ad + bc)i

f ((a, b)) · f ((c, d)) = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc), ceea ce demonstrează

faptul că f este morfism de corpuri.

Mai trebuie demonstrată bijectivitatea:

f - injectivă:

Oricare ar fi perechile distincte (a, b) (c, d) din K, trebuie să rezulte că f ((a,

b)) f ((c, d)). Se presupune că f ((a, b)) = f ((c, d)), adică a + bi = c + di, de unde

rezultă a = b şi c = d, cotradicţie, rezultă că funcţia este injectivă. f - surjectivă:

Oricare ar fi numărul complex a + bi, trebuie să existe o pereche din K, (x, y),

astfel încât f ((x, y)) = a + bi, adică x + yi = a + bi, de unde x = a şi y = b, deci există

perechea (a, b) de numere reale cu proprietatea cerută.

În concluzie, funcţia este şi bijectivă, deci este un izomorfism de corpuri.

9.4. PROBLEME

1. Să se demonstreze că pe mulţimea Q a numerelor raţionale, următoarele legi de compoziţie:

x * y = x + y + 2 şi x # y = xy + 2x + 2y + 2

determină o structură de corp comutativ.

2. a) Să se demonstreze că pe mulţimea R a numerelor reale, următoarele legi de

compoziţie:

x3 y 3 ; x x y 3 y xy, x, y R

determină o structură de corp comutativ.

b) Să se demonstreze că între corpul numerelor reale şi corpul de la punctul a) există

un izomorfism f : R R de forma: 3 ax f ( x) b.

3. Pentru un număr dat a Q, fie funcţia f : R R

ax, dacă x Q

fa (x) =

0, dacă x R \ Q

Să se arate că adunarea şi compunerea funcţiilor determină pe mulţimea

F = {fa | a Q} o structură de corp comutativ.


94

1. Care dintre următoarele mulţimi de numere înzestrate cu operaţiile respective au o

structură de corp:

d) (R*, +, ·); a) (Z, +, ·); b) (Z17, +, ·); c) (Q, + . ·);

e) (Z12, +, ·,); f) (C, +, ·); g) (R, +, ·)?

2. Sunt adevărate sau false următoarele afirmaţii: a) Q este subcorp al lui R ...........................

b) Z este subcorp al lui Q ...........................

c) Z3 este subcorp al lui Z5 ...........................

d) R este subcorp al lui C ...........................

3. Într-un corp există divizori ai lui zero?

.................

95


1. b), c), f) şi g).

2. a) şi d).

3. nu.


1. Becheanu, M.; Dincă, A; Ion, I. D.; Niţă, C; Purdea I.; Algebra pentru perfecţionarea profesorilor, E.D.P., Bucureşti, 1983;


algebrice,Editura Academiei, Bucureşti, 1988;

3. Niţă, C.; Spircu, T.; Probleme de structuri algebrice, Editura Tehnică, Bucureşti,

1974.

4. Ion, I. D.; Ghioca, A. P.; Nediţă, N. I.; Algebra, E.D.P., Bucureşti, 1989.

96

10. STATISTICĂ MATEMATICĂ ŞI TEORIA

PROBABILITĂŢILOR

10.1. ELEMENTE DE STATISTICĂ MATEMATICĂ

10.1.1. Noţiuni introductive

Statistica se ocupă în general cu gruparea, analiza şi interpretarea unor date referitoare la un anumit fenomen, precum şi cu unele previziuni privind producerea

lui viitoare.

Procesul de cunoaştere statistică parcurge mai multe etape:

1. Observarea statistică:

- culegerea datelor individuale de masă

2. Prelucrarea statistică:

- sistematizarea datelor observării de masă

- obţinerea sistemului de indicatori statistici

3. Analiza şi interpretarea statistică:

- confruntarea şi compararea datelor

- verificarea ipotezelor

- formularea concluziilor asupra cercetării

- fundamentarea calculelor de prognoză.

Noţiuni care se folosesc în statistică sunt:

1. Populaţie statistică reprezintă mulţimea care face obiectul unei analize statistice.

2. Unitate statistică este forma individuală de manifestare a fenomenelor supuse

cercetării.

3. Caracteristica statistică sau variabila este trăsătura comună tuturor unităţilor unei

populaţii statistice care face obiectul analizei statistice. Caracteristicile statistice pot

să fie:

- cantitative, care se pot măsura şi se exprimă numeric;

- calitative, care nu se pot măsura, ci se constată.

4. Indicatorul statistic reprezintă expresia numerică a unei determinări calitative

obţinută în urma unei cercetări statistice, raportată la condiţii specifice de timp sau

spaţiu.

Cercetarea statistică se poate face:

- luând în considerera toate elementele colectivităţii;

- se realizează pe subcolectivitate reprezentativă pentru întreaga colectivitate. Partea

examinată se numeşte eşantion sau selecţie. Numărul indivizilor reprezintă volumul

selecţiei.

10.1.2. Datele statistice

Datele statistice culese se ordonează în tabele după anumite criterii, grupate pe clase pentru a putea fi mai uşor interpretate.

Spre exemplu, dacă în urma unui test aplicat unei clase s-au obţinut anumite

note, tabelul care cuprinde elevul cu nota corespunzătoare nu este edificator în ceea ce

priveşte nivelul atins de clasă în însuşirea competenţelor testate. Acestea sunt datele

iniţiale care se vor prelucra şi interpreta.

97

În acest caz, populaţia statistică este clasa de elevi, caracteristica este nota obţinută. Unităţile statistice sunt elevii.

Numărul de unităţi ale populaţiei corespunzătoare unei anumite valori a

caracteristicii reprezintă frecvenţa absolută a valorii respective. În exemplul de mai

sus, numărul de elevi care au obţinut o anumită notă este frecvenţa absolută a notei

respective. Tabelul în care apar valorile caracteristicii şi frecvenţele absolute

formează o serie statistică.

Acest tabel reprezintă numărul notelor de o anumită valoare care s-au obţinut. Fiind puţine valori ale caracteristicii şi eşantionul destul de mic (25 elevi) se poate

observa distribuirea notelor, dar, mai edificator este dacă se calculează şi frecvenţa

relativă care exprimă în procente numărul de note de o anumită categorie raportat la

numărul total de elevi. Se poate observa din tabelul respectiv că cel mai mare procent

îl reprezintă notele de 6, adică 28%. Adeseori sunt necesare date de tipul: câţi elevi au

obţinut note sub 5 sau note peste 8. de aceea se calculează şi frecvenţa

cumulată crescător sau descrescător. Tabelul se completează astfel:

absolută

Examinând tabelul anterior, conform frecvenţelor absolute cumulate că

numărul notelor sub 5 este 3, numărul notelor sub 7 este 15 sau numărul notelor de 7 şi sub 7 este 18. Frecvenţa absolută cumulată descrescător indică faptul că numărul

notelor peste 8 este 3, numărul notelor de 8 şi peste 8 este 7.

98

Note

(caracteristica)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nr. elevi

(frecvenţa

absolută)

0

1

0

2

5

7

3

4

2

1

Frecv. abs.

cumulată

crescător

0

1

1

3

8

15

18

22

24

25

Frecv. abs.

cumulată

descrescător

25

25

24

24

22

17

10

7

3

1

Note

(caracteristica)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nr. elevi

(frecvenţa

absolută)

0

1

0

2

5

7

3

4

2

1

Frecvenţa

relativă

0%

4%

0%

8%

20%

28%

12%

16%

8%

4%

Note

(caracteristica)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nr. elevi

(frecvenţa

absolută)

0

1

0

2

5

7

3

4

2

1

Se observă că 32% din elevi au note de 5 şi sub 5. note sub 5 au 12% din elevi.

Note peste 7 au 28% din elevi, iar note de 7 şi peste 7 au 40% din elevi.

10.1.3. Reprezentarea grafică a datelor statistice

Ca exemplu s-au ales datele din primul tabel care reprezintă frecvenţa absolută

cu care au apărut notele. Reprezentările pot fi de diverse tipuri:

1. Reprezentare prin coloane

2. Reprezentare prin benzi

99

Nr. elevi

10

7

4

1

0 2 4 6 8

Nr. elevi

Nr. elevi

8

6

4

2

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Note

(caracteristica)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Procente

(frecvenţa

relativă)

0%

4%

0%

8%

20%

28%

12%

16%

8%

4%

Frecv. relativă

cumulată

crescător

0%

4%

4%

12%

32%

60%

72%

88%

96%

100

%

Frecv. relativă

cumulată

descrescător

100

%

100

%

96%

96%

88%

68%

40%

28%

12%

4%

3. Poligonul frecvenţelor

4. Reprezentarea prin sectoare de cerc

5. Reprezentarea prin corpuri geometrice (piramide)

10.1.4. Mărimi numerice care caracterizează variabila

100

1

3

5

7

9

Nr. elevi

8

6

4

2

0

Nr. elevi

Nr. elevi

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nr. elevi

8

6

4

2

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nr. elevi

Mediana Me este o valoare a variabilei (caracteristicii) cu proprietatea că numărul unităţilor statistice pentru care variabila ia valori mai mici decât Me este egal

cu numărul unităţilor statistice pentru care variabila ia valori mai mari. În exemplul

anterior este nota 6.

Modulul sau dominanta unei serii statistice este valoarea variabilei cu

frecvenţă maximă. Nota 6 are cea mai mare frecvenţă, deci acesta este modulul seriei

din exemplu.

Media aritmetică simplă a mai multor valori este suma lor împărţită la

numărul lor.

Media aritmetică ponderată. Dacă trebuie calculată o medie a notelor clasei,

se va face media ponderată a acestora, ţinând cont de frecvenţa apariţiei fiecărei note: 0 1 1 2 0 3 2 4 5 5 7 6 3 7 4 8 2 9 1 10

x 6,32 1 2 5 7 3 4 2 1

Dacă se noteză cu xi valorile variabilei şi cu ni frecvenţa apariţiei lor, atunci n x n x ... n x

1 1 2 2 p p x media ponderată se află astfel:

n n ... n 1 2 p

Abaterea liniară de la medie este media ponderată a abaterilor valorilor xi de

la media ponderată:

n x x n x x ... n x x 1 1 2 2 p p

e n n ... n

1 2 p

Pentru o mai bună apreciere a omogenităţii statistice se calculează dispersia şi

abaterea medie pătratică. 2

x 2 x 2 n x n x ... n x x Dispersia: s2

1 1 2 2 p p

n n ... n 1 2 p

Abaterea medie pătratică:

Coeficientul de variaţie: V

s 2 .

100 se exprimă procentual. Un ansamblu de x

valori este considerat omogen dacă coeficientul de variaţie este mai mic de 35%.

10.2. ELEMENTE DE PROBABILITĂŢI

10.2.1. Câmp de evenimente

Experienţă înseamnă producerea unui fenomen în condiţii ce permit urmărirea

rezultatelor sale şi care au un caracter întâmplător (aleator).

101

Rezultatele respective se numesc probe, fiecărei experienţe asociin-du-i-se mulţimea probelor sale.

De exemplu, aruncarea unui zar constituie experienţa, numărul de puncte de

pe suprafaţa superioară este proba, iar mulţimea probelor este {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Fiind dată o experienţă E şi M mulţimea probelor sale, se numeşte eveniment o

submulţime a mulţimii M. Se numeşte eveniment elementar o submulţime a lui M

care conţine numai un element. Un eveniment A este realizat când proba face parte

din din submulţimea A.

Exemplu: Fie E aruncarea zarului. Mulţimea probelor este: M = {1, 2, 3, 4, 5,

6}. Atunci A = {1, 2, 3}, apariţia unui număr impar este un eveniment. Evenimentul

{2} este un eveniment elementar.

Un eveniment realizat de oricare probă a experienţei se numeşte eveniment

sigur, iar un eveniment pe care nu îl realizează nici o probă este evenimentul

imposibil.

Fie E o experienţă şi evenimentele A şi B.

Atunci evenimentul A B se realizează dacă se realizează cel puţin unul din

evenimentele A, B. Evenimentul A B se realizează atunci când se realizează simultan A şi B. Evenimentul contrar lui A, Ā se realizează atunci când A nu se

realizează.

Definiţie: Fiind dată o mulţime finită M şi K mulţimea părţilor sale, se numeşte câmp

finit de evenimente cuplul (M, K).

10.2.2. Câmp finit de probabilitate

Definiţie: Fiind dat câmpul de evenimente (M, K), probabilitatea se defineşte ca o

funcţie P : K R, care satisface următoarele axiome:

1. Fiecărui eveniment A din M îi corespunde un număr real pozitiv notat P(A).

2. Dacă A şi B sunt incompatibile, adică A B = , atunci

P (A B) = P (A) + P (B).

3. Probabilitatea evenimentului sigur este egală cu 1: P (M) = 1.

Consecinţe:

a) P ( ) = 0.

b) Dacă A este o submulţime a lui M, atunci 0 P (A) 1.

c) Probabilitatea evenimentului contrar este P (Ā) = 1 - P (A).

Dacă A1, A2, ..., An sunt evenimente egal probabile (exemplu, la aruncarea

zarului, apariţia unei feţe) şi A1

atunci P(Ai) = 1/n şi dacă A = A1

A2

A2

... An,

Ak, atunci P (A) = k/n. ...

Exemple: 1. La aruncarea zarului apariţia unei feţe pare este reuniunea evenimentelor

elementare egal probabile {2}, {4} şi {6}. Rezultă că probabilitatea apariţiei unei feţe

pare este 3/6, adică 1/2.

2. O urnă conţine 3 bile albe şi 7 bile negre. Se extrage o bilă. Care este probabilitatea următoarelor evenimente:

A = bila este neagră;

102

B = bila este albă? Sunt 7 evenimente elementare care îl compun pe A din totalul de 10

evenimente elementare. Deci P (A) = 7/10.

Analog, P (B) = 3/10.

Definiţie: Dându-se câmpul finit de evenimente (M, K) pe care s-a definit

probabilitate P, atunci tripletul (M, K, P) se numeşte câmp finit de probabilitate.

o

103


1. Se face un sondaj de opinie înainte de alegeri pe un număr de 1000 de subiecţi, în funcţie de preferinţele electorale pentru partidele A, B, C, D, E, F şi se obţin

următoarele frecvenţe absolute:

a) Să se calculeze frecvenţele relative.

b) Să se reprezinte grafic seria statistică.

2. Să se calculeze dispersia, abaterea medie pătratică şi coeficientul de corelaţie

pentru seria statistică de la 8.1.2..

3. Fie x un număr din mulţimea: M = {1, 2, ..., 10}. Să se scrie evenimen-tele: numărul este par;

B = numărul este divizibil prin 3;

C = numărul este multiplu de 4.

A =

4. Să se afle probabilitatea de a extrage un as dintr-un pachet de 32 cărţi de joc.

5. Care este probabilitatea ca la aruncarea unui zar să se obţină un număr mai mare

decât 4?

104

Partidul A B C D E F

Frecvenţa

absolută

238

153

335

34

211

29


1.

2. Media ponderată s-a calculat şi a fost 6,32.

Dispersia s2 = 3,1736

Abaterea medie pătratică = 1,7815

Coeficientul de corelaţie: V = 28,19%.

3. A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {3, 6, 9}

C = {4, 8}.

4. Sunt 4 aşi, probabilitatea este P = 4/32 = 1/8.

5. Evenimentul A = {5, 6}. Atunci P (A) = 2/6 = 1/3.


1. Georgescu-Buzău, E.; Drăghicescu, I.; Matei, N.;

Probabilităţi, Editura Albatros, 1975

Mulţimi-Structuri algebrice -

2. Cîrjan, F.; Matematică pentru examenele de definitivat şi gradul II, Editura Paralela 45, 1998

3. Ghiciu, N.; Turcitu, G.; Elemente de statistică şi probabilităţi, Editura Radical,

1995

105

Cetăţeni

400

300

200

100

0

A B C D E F

Cetăţeni

Partidul A B C D E F

Frecvenţa

absolută

238

153

335

34

211

29

Frecvenţa

relativă

23,8%

15,3%

33,5%

3,4%

21,1%

2,9%

11. ELEMENTE DE GEOMETRIE

11.1. SISTEMUL AXIOMATIC AL LUI BIRKHOFF

11.1.1. Noţiuni primare

Prima prezentare axiomatică a geometriei a fost dată de Euclid, în cartea sa “Elementele”, care a servit ca model până la sfârşitul secolului XIX. Axiomatica lui

Euclid nu este perfectă şi de aceea în demonstraţii se face uz de intuiţie în mod tacit.

Primul sistem axiomatic complet al geometriei a fost dat de David Hilbert în

1899, în lucrarea sa “Grundlagen der Geometrie”. După Hilbert au mai apărut peste o

sută de axiomatizări ale geometriei. În continuare se va prezenta sistemul axiomatic al

lui George David Birkhoff, ales din considerente didactice.

Un sistem axiomatic cuprinde o mulţime de noţiuni şi relaţii primare sau

fundamentale, din care se deduc noţiunile şi relaţiile derivate. Sistemul mai cuprinde

un set de propoziţii adevărate, numite axiome, din care se deduc alte propoziţii

adevărate, numite teoreme.

Noţiunile primare în axiomatica lui Birkhoff sunt : punct, dreaptă, plan,

distanţă, măsură.

Punctele sunt elemente ale unei mulţimi S, care constituie spaţiul şi se notează

cu litere mari: A, B, C, ... .

Dreptele sunt mulţimi de puncte şi se notează cu litere mici : a, b, c, ... .

Mulţimea dreptelor D este o mulţime inclusă în mulţimea părţilor lui S : D P(S).

Planele sunt de asemenea mulţimi de puncte care se notează cu litere greceşti mici : α, β, γ, ... . Mulţimea planelor Π este o mulţime inclusă în mulţimea părţilor lui

S: Π P(S).

Distanţa este o funcţie d : S S R.

Se notează cu U mulţimea unghiurilor. Noţiunea de unghi nu este o noţiune

primară, se va defini pe baza altor noţiuni. Măsura este o funcţie m : U

În cadrul axiomaticii lui Birkhoff, geometria apare ca o structură :

(S, D, Π, d, m).

0,180 .

11.1.2. Axiome şi principalele lor consecinţe

Axiomele de apartenenţă

B1 : Prin două puncte diferite trece o dreaptă şi numai una.

A, B S , A B !a D : A a B a.

Dreapta determinată de A şi B se notează AB.

B A

B2 : Prin trei puncte necoliniare trece un plan unic.

106

A, B, C S , C AB ! : A, B, C .

Planul determinat de A, B şi C se notează (ABC).

C A

B α

B3 : Dacă două puncte distincte sunt într-un plan, dreapta care le conţine este inclusă

în acel plan.

A, B AB .

A d B

α

B4 : Dacă două

dreaptă.

plane distincte au intersecţie nevidă, atunci intersecţia lor este o

, , D.

d

α β

B5 : Orice dreaptă conţine cel puţin două puncte distincte. Orice plan conţine cel

puţin trei puncte necoliniare. S conţine cel puţin patru puncte necoplanare.

( a D, A, B a, A B) , A, B, C , C AB A, B, C, D S , D ABC .

Definiţie : Se numeşte sistem de coordonate pentru o dreaptă a, o funcţie bijectivă f : a R care satisface condiţia: |f(P) – f(Q)| = d(P,Q).

107

Axioma riglei

B6: Orice dreaptă a admite cel puţin un sistem de coordonate.

Teoremă: Fiind date punctele O şi A pe o dreaptă a există un sistem de coordonate f

astfel încât f(O) = 0 şi f(A) > 0.

O A

Definiţie: Punctul B este între punctele A şi C dacă punctele A, B, C sunt puncte

coliniare distincte două câte două şi d(A,B) + d(B,C) = d(A,C).

A B C

Teoremă: Dacă a este o dreaptă şi O un punct al ei, mulţimea a – {O} se descompune în mod unic în două clase disjuncte nevide, astfel încât punctele P, Q aparţin la clase

distincte dacă şi numai dacă O este între P şi Q. Cele două clase sunt semidreptele

deschise de origine O situate pe a.

P O Q

Demonstraţie: Fie f un sistem de coordonate pe aastfel încât f(O) = 0.

Mulţimile a1 X a | f X 0 şi a2 Y a | f Y 0 satisfac condiţiile din enunţ.

Teoremă: Orice segment nenul [AB] are un mijloc unic.

Axioma de separare a planului

B7: Pentru orice plan α şi orice dreaptă a inclusă în α, mulţimea α \ a se descompune în două submulţimi disjuncte, nevide, H, K, astfel încât punctele P, Q aparţin la

mulţimi H, K distincte dacă şi numai dacă există pe a un punct X situat între P şi Q.

Cele două submulţimi sunt semiplanele deschise determinate de a în planul α.

Definiţie: Se numeşte unghi o pereche de semidrepte cu aceeaşi origine.

Dacă cele două semidrepte coincid, unghiul se numeşte unghi nul. Dacă semidreptele sunt distincte, dar coliniare, unghiul se numeşte unghi alungit. În cazul

în care semidreptele sunt necoliniare, unghiul se numeşte unghi propriu.

108

A

O

B

Axioma de măsurare a unghiurilor

m AO B m AO B AO B B8: dacă şi numai dacă este unghi nul şi 0 180

AO B dacă şi numai dacă este unghi alungit.

Axioma de construcţie a unghiurilor proprii

B9: Oricare ar fi o dreaptă a, o semidreaptă închisă h inclusă în a, un semiplan H

delimitat de a şi un număr real u (0, 180) există exact o semidreaptă k în H a şi

m(h,k) = u.

Axioma de adunare a unghiurilor

AO C , B10: Dacă B este un punct interior unghiului atunci

m AO B m BO C m AO C .

B

A

O C

Axioma suplementului

B11: Dacă O este între A şi C, atunci pentru orice punct B nesituat pe dreapta AC are

loc relaţia: m AO B m BO C 180.

Definiţie: Două segmente [AB] şi [CD] sunt congruente dacă şi numai dacă

d(A,B) = d(C,D). Se notează: [AB] [CD].

AB C DE F sunt Două unghiuri şi congruente dacă şi numai dacă

m AB C m DE F AB C DE F

.

. Se notează

109

Definiţie: Se numeşte unghi drept un unghi congruent cu suplementul său. Un unghi se numeşte ascuţit dacă este mai mic decât un unghi drept. Un unghi se numeşte obtuz

dacă este mai mare decât un unghi drept.

unghi drept unghi ascuţit unghi obtuz

Definiţie: Două drepte se numesc perpendiculare dacă se intersectează formând patru

unghiuri drepte.

Axioma LUL

B12: Dacă (A, B, C) şi (D, E, F) sunt triplete de puncte necoliniare şi [AB] [DE], BA C DE F , AB C DE F , AC B DFE. [AC] [DF], atunci [BC] [EF],

A D

B F C E

Definiţie: Două drepte a şi b se numesc paralele dacă ele aparţin aceluiaşi plan şi nu

au nici un punct comun. Se notează: a b.

Teoremă: În planul determinat de o dreaptă a şi de un punct A care nu îi aparţine,

există o paralelă prin punctul A la dreapta a.

Demonstraţie: Fie α planul determinat de a şi A. În α, perpendiculara din A pe a taie pe a în punctul B. Perpendiculara b în A pe AB, aflată în planul α, este paralelă cu

dreapta a. Dreapta b se mai numeşte paralela canonică prin punctul A la dreapta a.

110

b A

B

Consecinţă: Există drepte paralele distincte.

Teorema anterioară asigură existenţa paralelei printr-un punct la o dreaptă.

Există două alternative: se poate impune existenţa unei singure paralele sau a mai multora. Ambele afirmaţii sunt independente de axiomele geometriei absolute (cele

enumerate mai sus) şi generează sisteme axiomatice diferite. Geometria euclidiană,

care se va trata în continuare, impune ca paralela să fie unică.

Axioma paralelelor

B13: Fiind date o dreaptă a şi un punct A care nu îi aparţine, în planul determinat de dreapta a şi punctul A, există cel mult o dreaptă b care conţine punctul A şi este

paralelă cu dreapta a.

11.2. SEGMENTE ŞI UNGHIURI. SIMETRIA

11.2.1. Mediatoarea segmentului

Definiţie: Se numeşte mediatoare a unui segment locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de capetele segmentului.

Teoremă: Mediatoarea unui segment trece prin mijlocul segmentului şi este

perpendiculară pe dreapta suport a segmentului.

A B

11.2.2. Bisectoarea unghiului

Definiţie: Se numeşte bisectoare a unui unghi locul geometric al punctelor din plan

egal depărtat de laturile unghiului.

111

M

a

Teoremă: Bisectoarea unghiului este semidreapta cu originea în vârful unghiului care

împarte unghiul în două unghiuri congruente.

A

C

B O

11.2.3. Simetria faţă de un punct

Definiţie: Fie punctul O, numit centru de simetrie. Simetricul punctului A în raport cu O este punctul B, astfel încât O este mijlocul segmentului [AB].

Figurile geometrice F şi F’ sunt simetrice faţă de punctul O dacă mulţimea punctelor

figurii F’ este mulţimea simetricelor punctelor figurii F în raport cu O.

C’ A

O B

B’

C A’

11.2.4. Simetria faţă de o dreaptă

Definiţie: Fie dreapta d, numită axă de simetrie. Simetricul punctului A în raport cu dreapta d este punctul B, astfel încât dreapta d este mediatoarea segmentului [AB].

Figurile geometrice F şi F’ sunt simetrice faţă de dreapta d dacă mulţimea punctelor

figurii F’ este mulţimea simetricelor punctelor figurii F în raport cu d.

A A’

B B’

112

C

C’

d

11.3. TRIUNGHIUL

Definiţie: Fie A, B, C trei puncte necoliniare. Triunghiul ABC este reuniunea

segmentelor [AB], [BC], [AC]. Segmentele [AB], [BC] şi [AC] se numesc laturi, iar BA C , AB C , AC B punctele A, B şi C se numesc vârfuri. Unghiurile

unghiurile triunghiului.

sunt

Clasificarea triunghiurilor

După laturi: Un triunghi se numeşte scalen sau oarecare dacă are laturile de lungimi diferite două

câte două;

Un triunghi se numeşte isoscel dacă are două laturi congruente;

Un triunghi se numeşte echilateral dacă are toate laturile congruente.

După unghiuri: Un triunghi se numeşte ascuţitunghic dacă are toate unghiurile ascuţite (mai mici

decât un unghi drept, adică măsurile lor sunt mai mici decât 90o);

Un triunghi se numeşte dreptunghic dacă are un unghi drept;

Un triunghi se numeşte obtuzunghic dacă are un unghi mai mare decât un unghi drept.

triunghi

ascuţitunghic

triunghi

dreptunghic

triunghi

obtuzunghic

11.3.1. Congruenţa triunghiurilor

Definiţie: Fie ABC şi DEF două triunghiuri. Dacă [AB] [DE], [BC] [EF] A D , B E , C F [CA] [FD] şi atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazurile de congruenţă a triunghiurilor

Cazul LUL

Acest caz este dat de axioma B12:

Dacă ABC şi DEF sunt două triunghiuri astfel încât [AB] [DE], [CA] [FD] şi

A D atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul ULU

113

A D , B E Dacă ABC şi DEF sunt două triunghiuri astfel încât [AB] [DE] şi atunci triunghiurile sunt congruente.

Cazul LLL

Dacă ABC şi DEF sunt două triunghiuri astfel încât [AB] [DE], [BC] [EF]

[CA] [FD], atunci triunghiurile sunt congruente.

11.3.2. Linii importante în triunghi

Înălţimea

Definiţie: Se numeşte înălţime în triunghi perpendiculara dusă dintr-un vârf pe latura

opusă.

Teoremă: Cele trei înălţimi ale triunghiului

numeşte ortocentrul triunghiului.

sunt concurente. Punctul lor comun se

A A

F

B B C

D D C

Mediana

Definiţie: Se numeşte mediană în triunghi segmentul care uneşte un vârf cu mijlocul laturii opuse.

Teoremă: Medianele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun se numeşte

centru de greutate. Centrul de greutate se găseşte pe fiecare mediană la 2/3 de vârf şi

1/3 de bază.

114

E

H

A A

N P

G

B B C

M M C

Bisectoarea

Definiţie: Se numeşte bisectoare în triunghi, bisectoarea unui unghi al său. Teoremă: Bisectoarele unui unghi sunt concurente. Punctul lor comun este

cercului înscris în triunghi.

centrul

A A

B’

C’

I

B B C

A’ A’ C

Mediatoarea

Definiţie: Se numeşte mediatoare în triunghi mediatoarea unei laturi a sa. Teoremă: Mediatoarele unui triunghi sunt concurente. Punctul lor comun este centrul

cercului circumscris triunghiului.

115

A

N

C B

Linia mijlocie

Definiţie: Se numeşte linie mijlocie în triunghi segmentul care uneşte mijloacele a două laturi.

Teoremă: Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură, iar lungimea ei este jumătate

din lungimea laturii respective.

A

P N

B C

M

11.3.3. Asemănarea triunghiurilor

Teoremă (Thales): O paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte laturi

segmente proporţionale.

Definiţie: Triunghiurile ABC şi DEF se numesc triunghiuri asemenea dacă laturile lor sunt proporţionale şi unghiurile respectiv congruente, adică:

AB BC CA

DE

A

EF

D , B

FD

E , C F .

Se notează: ABC DEF.

Teorema fundamentală a asemănării: O paralelă la o latură a unui triunghi formează

cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat.

116

P

O

M

A

D

B C E F

Cazurile de asemănare

Fie triunghiurile ABC şi DEF.

A

A

AB

D

D

B

AB E , atunci ABC DEF. 1. Dacă

2. Dacă

şi

şi AC

, atunci ABC DEF. DF DE

AC BC 3. Dacă , atunci ABC DEF.

DE DF EF

11.3.4. Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

Definiţie: Într-un triunghi dreptunghic, laturile alăturate unghiului

catete, iar latura opusă unghiului drept se numeşte ipotenuză.

drept se numesc

Observaţie: Catetele sunt în acelaţi timp şi înălţimi ale triunghiului pentru că sunt perpendiculare pe latura opusă. Când se vorbeşte despre înălţimea triunghiului

dreptunghic, se face referire la înlţimea corespunzătoare ipotenuzei.

m A 90 0 . [AB] şi [AC] sunt catetele, iar [BC] ipotenuza. Se notează Fie ABC cu

cu D piciorul înălţimii din A pe ipotenuza [BC]. Atunci [BD] este proiecţia catetei

[AB] pe ipotenuză, iar [DC] este proiecţia catetei [AC] pe ipotenuză.

A

B C

D

Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei: AB2 + AC2 = BC2

Teorema catetei: Într-un triunghi dreptunghic, cateta este medie proporţională între

ipotenuză şi proiecţia ei pe ipotenuză: AB2 = BC BD; AC2 = BC DC.

117

Teorema înălţimii: Într-un triunghi dreptunghic, înălţimea este medie proporţională

între proiecţiile catetelor pe ipotenuză: AD2 = BD DC.

11.3.5. Perimetrul şi aria unui triunghi

Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor: P = AB+ BC + AC. b i

Aria unui triunghi se află cu formula: A . 2

c1

c2 . Pentru triunghiul dreptunghic: A

2

11.4. PATRULATERE

11.4.1. Poligon

Definiţie: Se numeşte linie poligonală (linie frântă) o mulţime de forma:

L = [P1P2] [P2P3] ... [PnPn+1].

Punctele P1, P2, ..., Pn se numesc vârfurile liniei L, iar segmentele [P1P2], [P2P3], ..., [PnPn+1] se numesc laturile liniei L. Laturile [Pk-1Pk] şi [PkPk+1] se numesc vecine. Linia

poligonală L se numeşte închisă dacă P1 = Pn+1. O linie poligonală se numeşte simplu

închisă dacă oricare două laturi nevecine nu au punct comun şi două laturi vecine au

drepte suport diferite. O linie poligonală simplu închisă se numeşte poligon.

Un poligon cu 3 laturi este triunghi, un poligon cu 4 laturi este patrulater, cu 5 laturi

se cheamă pentagon, cu 6 laturi hexagon, etc..

P 2

P 3

P 1

P 4

P n

Poligonul P1P2...Pn se numeşte poligon convex dacă pentru fiecare latură [PkPk+1], toate vârfurile diferite de Pk şi Pk+1 se găsesc de aceeaşi parte a dreptei PkPk+1.

Interiorul unui poligon convex este intersecţia semiplanelor deschise limitate de

suporturile laturilor poligonului şi care conţin vârfurile nesituate pe laturile respective.

Reuniunea dintre un poligon convex P1P2...Pn şi interiorul său se numeşte suprafaţă

poligonală convexă şi se notează [P1P2...Pn].

11.4.2. Drepte paralele

Teoremă: Două drepte paralele tăiate de o secantă formează: 3 5 ; 4 6 ; - unghiuri alterne interne congruente:

118

unghiuri alterne externe congruente: 1 7 ;

5 ;

parte

2

2

a

8 ;

6 ;

-

-

-

1 3 7 ; 4 8 ; unghiuri corespondente congruente:

unghiuri interne de

m 3

de

m 2

aceeaşi

180 0

aceeaşi

secantei suplementare:

m 4 m 5 ; m 6 ;

parte

180 0

- unghiuri externe a secantei suplementare:

m 1 m 8 ; 180 0

m 7 . 180 0

1 2

4 3

5 6

8 7

11.4.3. Paralelogramul

Definiţie: Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele.

D C

O

A B

Proprietăţi:

1. Într-un paralelogram laturile opuse sunt congruente: [AB] [CD]; [BC] [AD]; A C ; B D ;

m B

2. Într-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente:

3. Într-un paralelogram unghiurile alăturate sunt suplementare: m A 180 0 ;

4. Într-un paralelogram diagonalele se înjumătăţesc: [AO] [OC]; [BO] [OD]; 5. Într-un paralelogram punctul de intersecţie a diagonalelor este centrul de simetrie al

paralelogramului.

Perimetrul paralelogramului: P = 2 (AB + BC).

Aria paralelogramului: A b i .

11.4.4. Dreptunghiul

119

Definiţie: Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept.

D C

A B

Consecinţa definiţiei: Dreptunghiul

90 0.

are toate unghiurile drepte:

m A m B m C m D

Proprietăţi:

1. Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente: [AC] [BD];

2. Mediatoarele laturilor dreptunghiului sunt axele de simetrie ale figurii.

Notaţie: L = lungimea; l = lăţimea.

Perimetrul dreptunghiului: P = 2 (L + l)

Aria dreptunghiului: A = L l.

11.4.5. Rombul

Definiţie: Rombul este paralelogramul cu două laturi alăturate congruente.

A

B D

C

Consecinţa definiţiei: Rombul are toate laturile congruente:

[AB] [BC] [CD] [DA].

Proprietăţi:

1. Diagonalele rombului sunt bisectoarele unghiurilor rombului:

2. Diagonalele rombului sunt perpendiculare: AC BD;

BA C CA D , etc.;

120

O

3. Diagonalele rombului sunt axele de simetrie ale figurii.

Notaţie: l = lungimea laturii rombului.

Perimetrul rombului: P = 4 l. d

1 d

2 . Aria rombului: A 2

11.4.6. Pătratul

Definiţie: Pătratul este paralelogramul cu un congruente.

Altfel spus, pătratul este şi dreptunghi şi romb.

unghi drept şi două laturi alăturate

D C

A B

Consecinţa definiţiei: Pătratul are toate unghiurile drepte şi toate laturile congruente.

Notaţie: l = lungimea laturii pătratului.

Perimetrul pătratului: P = 4 l.

Aria pătratului: A = l2.

11.4.7. Trapezul

Definiţie: Trapezul este patrulaterul cu două laturi paralele şi celelalte două neparalele. Laturile paralele se numesc baze, baza mare, notată cu B şi baza mică,

notată cu b.

b

a

B

Notăm lungimile laturilor neparalele cu a, respectiv c. Înălţimea trapezului este distanţa dintre laturile paralele, se notează cu i.

Perimetrul trapezului: P = B + b + a + c.

121

i

c

B b i Aria trapezului: A .

2

11.5. CERCUL

11.5.1. Definiţii

Definiţie: Cercul este locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de un punct

fix, numit centru. Distanţa de la centru la punctele cercului se numeşte rază.

R

O A

Segmentul care uneşte două puncte ale cercului se numeşte coardă. O coardă care trece prin centrul cercului se numeşte diametru.

Un unghi cu vârful în centrul cercului se numeşte unghi la centru. Un unghi cu vârful

pe cerc ale cărui laturi sunt coarde se numeşte unghi înscris în cerc.

11.5.2. Poziţiile unei drepte faţă de cerc

1. Dreaptă secantă este o dreaptă care taie cercul în două puncte. Distanţa de la

centrul cercului la această dreaptă este mai mică decât raza cercului.

2. Dreaptă tangentă la cerc este o dreaptă care atinge cercul într-un punct. Distanţa de la centrul cercului la această dreaptă este egală cu raza cercului. Raza cercului este

perpendiculară pe tangentă în punctul de tangenţă.

3. Dreaptă exterioară cercului este o dreaptă care nu are puncte comune cu cercul.

Distanţa de la centrul cercului la această dreaptă este mai mare decât raza cercului.

dreaptă secantă dreaptă tangentă dreaptă exterioară

122

11.5.3. Lungimea şi aria cercului

Se notează lungimea razei cercului cu R.

Lungimea cercului: L = 2 R.

Aria cercului: A = R2.

este un număr iraţional, = 3,141592653... .

11.6. CORPURI GEOMETRICE

11.6.1. Prisma

Definiţie: Fie S o suprafaţă poligonală inclusă într-un plan α, d o dreaptă care nu este paralelă cu planul α şi nici conţinută în acesta şi β un plan paralel cu planul α. Pentru

fiecare punct M S se consideră dreapta paralelă cu d care trece prin M şi care

intersectează planul β într-un punct N. Mulţimea formată din reuniunea tuturor

segmentelor [MN] se numeşte prismă.

Locul geometric al punctelor N β din definiţia precedentă este o suprafaţă poligonală S’ congruentă cu S. Suprafeţele poligonale S şi S’ se numesc bazele prismei.

Fie S = [A1A2...An] şi S’ = [B1B2...Bn].

Paralelogramele [AiAi+1Bi+1Bi] se numesc feţe laterale.

Segmentele [AiAi+1] sunt muchiile bazei, iar [AiBi] sunt muchiile laterale.

Punctele Ai, Bi se numesc vârfuri.

Distanţa dintre planele bazelor se numeşte înălţimea prismei.

În funcţie de poligonul de la bază, prismele pot fi: triunghiulare,

pentagonale, hexagonale, etc..

patrulatere,

Notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At aria totală, I înălţimea prismei. Aria bazei este aria suprafeţei poligonale de la baza prismei.

Aria laterală este suma ariilor feţelor laterale.

Aria totală: At = Al + 2 Ab.

Volumul prismei: V = Ab I.

123

B B 1 3

2

A A 1 3

A 2

Prismă triunghiulară oblică

Prisma dreaptă este prisma care are muchiile laterale perpendiculare pe planul bazei. Prisma cu poligonul bazei paralelegram se numeşte paralelipiped.

Paralelipipedul drept cu baza dreptunghi se numeşte paralelipiped dreptunghic.

Paralelipipedul dreptunghic are toate feţele dreptunghiuri.

Se notează lungimea, lăţimea şi înălţimea paralelipipedului dreptunghic cu a, b, c.

Aria totală a paralelipipedului dreptunghic: A = 2 (ab + bc + ac).

Volumul paralelipipedului dreptunghic: V = a b c.

Paralelipiped dreptunghic Cub

Cubul este paralelipipedul dreptunghic cu toate feţele pătrate. Se notează lungimea muchiei cubului cu l.

Aria totală a cubului: A = 6 l 2.

Volumul cubului: V = l 3.

11.6.2. Piramida

Definiţie: Fie S = [A1A2...An] o suprafaţă poligonală într-un plan α şi un punct V α. Se numeşte piramidă de vârf V şi bază S reuniunea tuturor segmentelor [VA], unde

A S.

124

I

B

S se numeşte baza piramidei. Suprafeţele triunghiulare [VAiAi+1] se numesc feţe laterale. [VAi] se numesc muchii laterale, iar [AiAi+1] sunt muchiile bazei. Punctele V,

A1, ..., An se numesc vârfuri.

Perpendiculara dusă din vârful V pe planul bazei se numeşte înălţimea piramidei.

În funcţie de poligonul de la bază, piramidele

patrulatere, penatagonale, hexagonale, etc..

pot fi: triunghiulare (tetraedru),

V

I

A A 1 3

A 2

Notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At aria totală, I înălţimea piramidei. Aria bazei este aria suprafeţei poligonale de la baza piramidei.

Aria laterală este suma ariilor feţelor laterale.

Aria totală: At = Al + Ab.

A I b . Volumul piramidei: V

3

11.6.3. Cilindrul

Definiţie: Fie D un disc inclus într-un plan α, d o dreaptă care nu este paralelă cu planul α şi nici conţinută în acesta şi β un plan paralel cu planul α. Pentru fiecare

punct M D se consideră dreapta paralelă cu d care trece prin M şi care intersectează

planul β într-un punct N. Mulţimea formată din reuniunea tuturor segmentelor [MN]

se numeşte cilindru circular.

Locul geometric al punctelor N β din definiţia precedentă este un disc D’ congruent cu D.

Dacă dreapta d este perpendiculară pe α, atunci cilindrul se numeşte cilindru circular

drept. Segmentele [PP’], unde P este pe cercul bazei inferioare, iar P’ pe cercul bazei

superioare şi PP’ d, se numesc generatoare. Raza cercului bazei este raza

cilindrului. Distanţa dintre planele bazelor este înălţimea cilindrului. În cazul

cilindrului circular drept, înălţimea este egală cu generatoarea.

125

G

Notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At aria totală, H înălţimea cilindrului, G generatoarea, R raza.

Aria bazei este aria discului de la baza cilindrului: Ab = R2.

Aria laterală: Al = 2 RG.

Aria totală: At = Al + 2 Ab = 2 R(G + R).

Volumul cilindrului: V = Ab H = R2H.

11.6.4. Conul

Definiţie: Fie D un disc într-un plan α şi un punct V α. Se numeşte con circular de

vârf V şi bază D reuniunea tuturor segmentelor [VA], unde A D.

Segmentele [VP], unde P este pe cercul bazei inferioare, se numesc generatoare. Raza cercului bazei este raza conului. Perpendiculara din V pe planul bazei este înălţimea

conului.

Dacă înălţimea conului cade în centrul cercului bazei, conul se numeşte con circular

drept. Într-un con circular drept, generatoarele sunt congruente.

Într-un con circular drept facem următoarea notaţie: Ab aria bazei, Al aria laterală, At

aria totală, H înălţimea conului, G generatoarea, R raza.

H

126

G

R

H

R

Atunci G2 = R2 + H2.

Aria bazei este aria discului de la baza conului: Ab = R2.

Aria laterală: Al = RG.

Aria totală: At = Al + Ab = R(G + R).

R 2 H A H

b Volumul: V . 3 3

11.6.5. Sfera

Definiţie: Sfera este locul geometric al punctelor din spaţiu egal depărtate de un punct

fix, numit centru. Distanţa de la centru la punctele sferei se numeşte raza sferei.

Corpul sferic este reuniunea dintre sferă şi interiorul acesteia.

R

Se notează cu R lungimea razei sferei.

R 2 .

4 R

Aria sferei: A 4

V 3

Volumul sferei: . 3

127

11.7. PROBLEME

1. Să se calculeze aria unui dreptunghi ştiind că are perimetrul de 42 m, iar lăţimea şi

lungimea sunt în raportul de 3/4. Ce lungime are diagonala dreptunghiului?

2. Determinaţi aria triunghiului echilateral de latură 6 cm.

3. Să se demonstreze că mijloacele laturilor unui romb sunt vârfurile unui dreptunghi,

iar mijloacele laturilor unui dreptunghi sunt vârfurile unui romb.

4. Să se determine raportul dintre aria unui cerc şi aria pătratului înscris în cercul

respectiv.

5. Să se demonstreze că miljoacele laturilor unui patrulater convex sunt vârfurile unui

paralelogram.

6. O piscină în formă de paralelipiped dreptunghic are lungimea de 18 m, lăţimea de 6 m şi adâncimea de 3 m. Câţi litri de apă sunt necesari pentru a umple piscina? Ce

suprafaţă de material impermeabil s-a folosit pentru a o căptuşi?

7. Un cilindru are raza bazei de 4 cm. Cilindrul este plin cu apă până la înălţimea de 12cm. Se introduce în cilindru o sferă cu raza de 3 cm. Cu câţi cm se ridică nivelul

apei din cilindru?

8. O piramidă metalică are baza un pătrat cu latura de 16 cm, iar înălţimea piramidei este 6 cm. Care este muchia cubului care se obţine din piramidă prin topire şi

remodelare?

9. Să se determine aria şi perimetrul unui triunghi dreptunghic care are proiecţiile

catetelor pe ipotenuză de 4 cm, respectiv 9 cm?

10. Care este înălţimea unui con a cărui suprafaţă laterală desfăşurată reprezintă un

sector de cerc de 216o şi raza de 10 dm?

11. Să se determine aria unui trapez isoscel care are baza mare de 30 cm, baza mică

de 20cm şi laturile neparalele de 13 cm.

128


1. Care sunt noţiunile primare din sistemul axiomatic al lui Birkhoff?

2. Care dintre axiome este specifică geometriei euclidiene şi o diferenţiază pe aceasta

de alte geometrii?

3. Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci ele au ................... comună.

3. Ce este o linie poligonală? Dar un poligon? Ce este o suprafaţă poligonală?

4. Centrul de greutate al triunghiului este punctul de intersecţie a .................. .

5. În triunghiul ........................... mediana corespunzătoare bazei este şi înălţime şi

bisectoare şi mediatoare.

6. Într-un paralelogram ........................... opuse şi ......................... opuse sunt

congruente.

7. Paralelogramul are ......................... de simetrie.

8. Dreptunghiul are diagonalele ......................... .

9. Axele de simetrie ale rombului sunt ............................. sale.

10. Cercul este locul geometric al punctelor din

plan ........................................................ .

11. Într-un trapez, unghiurile alăturate unei laturi neparalele sunt .............................. .

12. Paralelipipedul este o ...................... cu baza ........................... .

13. Paralelipipedul dreptunghic este o prismă ...................... cu baza .......................... .

14. Cubul are ........... feţe în formă de .............. .

15. Sfera este locul geometric al punctelor din spaţiu ............................................ .

16. Rombul are toate laturile ........................... .

17. Dacă într-un patrulater convex diagonalele se taie în părţi egale, atunci el

este ....................... .

129

11.9. RĂSPUNSURI – FIŞA DE AUTOEVALUARE

1. Punct, dreaptă, plan, distanţă, măsură.

2. Axioma paralelelor:

B13: Fiind date o dreaptă a şi un punct A care nu îi aparţine, în planul determinat de dreapta a şi punctul A, există cel mult o dreaptă b care conţine punctul A şi este

paralelă cu dreapta a.

3. o dreaptă

4. medianelor

5. isoscel

6. laturile şi unghiurile

7. centru

8. congruente

9. diagonalele

10. egal depărtate de un punct fix numit centru

11. suplementare

12. prismă ... paralelogram

13. dreaptă ... dreptunghi

14. şase ... pătrat

15. egal depărtate de un punct fix numit centru

16. congruente

17. paralelogram.

130


1. Miron, R.; Brânzei D.; Fundamentele aritmeticii şi geometriei, Editura Academiei, Bucureşti, 1983

2. Brânzei, D.; Onofraş E.; Aniţa S.; Isvoranu Gh.; Bazele raţionamentului geometric,

Editura Academiei, Bucureşti, 1983

3. Brânzei, D.; Aniţa S.; Cocea C.; Planul şi spaţiul euclidian, Editura Academiei,

Bucureşti, 1986

4. Vodă V.; Triunghiul – ringul cu trei colţuri, Editura Albatros, Bucureşti, 1979

131

12. MĂRIMI; MĂSURARE; UNITĂŢI DE MĂSURĂ

12.1. MĂRIMI FUNDAMENTALE ŞI MĂRIMI DERIVATE

Oamenii au creat şi utilizat unităţi de măsură, implicit mijloace de măsură încă din cele mai vechi timpuri. Progresul în ştiinţă şi tehnică, precum şi cunoaşterea,

stăpânirea şi transformarea mediului sunt de neconceput fără măsurări, fără mijloace

de măsură şi unităţi de măsură. Operaţia de măsurare constituie un atribut esenţial al

civilizaţiei. A măsura o mărime oarecare înseamnă a compara această mărime cu o

alta, luată ca unitate de măsură.

Condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească unităţile de măsură sunt

următoarele :

1. Unităţile trebuie să fie definite foarte precis. Unităţi care se foloseau înainte de

introducerea sistemului metric, de exemplu : palma, cotul pentru lungimi, ocaua

pentru masă, etc. nu îndeplineau această condiţie. definirea lor se face în legătură cu

fenomene fizice, în care intervine o mărime riguros constatată.

2. Sistemele de unităţi trebuie să fie aceleaşi pe tot globul pentru a uşura relaţiile

comerciale şi informaţiile de ordin ştiinţific.

3. Unităţile trebuie să fie cât mai utile şi uşor de mânuit – în problemele vieţii sau în

calcule – în legătură cu mărimile care se măsoară. De aceea, pe lângă unitatea

principală se adoptă şi unităţi mai mari şi mai mici decât ea, definite tot în legătură cu

unitatea principală. De exemplu, cu metrul se măsoară lungimea camerei, a unei stofe,

etc. ; drumurile sau căile ferate se măsoară cu kilometrul, lungimile mici se măsoară

cu centimetrul sau milimetrul, etc..

4. Pe cât posibil, unităţile de măsură trebuie legate de sistemul de numeraţie cu baza

10 pentru a se uşura calculele.

Mărimile fizice sunt de două categorii : mărimi fundamentale şi mărimi

derivate. Sistemul Internaţional de unităţi este un sistem coerent, simplu şi raţional

structurat, cu aplicabilitate în toate domeniile practicii, ştiinţei şi tehnicii. În Sistemul

Internaţional se consideră fundamentale şapte mărimi fizice :

- -

-

-

-

în mecanică : lungimea, masa, timpul ; în termodinamică : temperatura ;

în electricitate : intensitatea curentului electric ;

în optică : intensitatea luminoasă ;

în chimie : cantitatea de substanţe.

Celelalte mărimi se definesc cu ajutorul relaţiilor, pe baza mărimilor

fundamentale. Acestea se numesc mărimi derivate. De exemplu: aria, volumul, densitatea, viteza, acceleraţia, presiunea, etc..

Corespunzător mărimilor fundamentale se definesc unităţile fundamentale,

care sunt : pentru lungime metrul (m), pentru masă kilogramul (kg), pentru timp

secunda (s), pentru temperatură kelvinul (K), pentru intensitatea curentului electric

amperul (A), pentru intensitatea luminoasă candela (cd), pentru cantitatea de substanţe

molul (mol).

Pentru acestea se construiesc etaloane prototip. Prin comparaţie cu etaloanele

prototip se fac copii identice de primul, al doilea şi al treilea ordin. Acestea din urmă

se păstrează la institutele metrologice şi de cercetări. Numai copiile efectuate după

etaloanele de al treilea ordin se folosesc în practica zilnică în comerţ, ateliere, unităţi

132

de producţie, şantiere, etc.. Acestea se numesc măsuri şi cu ele se lucrează în mod

obişnuit.

12.2. LUNGIMEA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU LUNGIME

Unitatea de măsură pentru lungime este metrul (prescurtat m). Această unitate a fost fixată întâi în Franţa, în aprilie 1795. Pentru a se avea un model fix, precis

definit al metrului, s-a construit un metru din platină care se păstrează la Paris în

condiţii care să asigure o lungime absolut constantă (temperatură constantă pentru a

evita dilatarea, un material dur şi rezistent). Acest metru se numeşte metrul etalon.

Copii după metrul etalon (bare care respectă aceleaşi condiţii de exactitate cu lungimi

egale cu ale metrului etalon) au construit şi celelalte ţări. Diversele instrumente de

măsurat lungimi (metrul de lemn, ruletele din metal, etc.) se construiesc după aceste

modele exacte sub supravegherea unui serviciu special al fiecărui stat, serviciul de

măsuri, care are în grijă construirea sau verificarea instrumentelor de măsură.

Lungimea metrului s-a fixat la început (în 1795) în legătură cu lungimea

meridianului pământesc, la măsurarea căruia au luat parte cei mai pricepuţi oameni de

ştiinţă din acel timp (Laplace, Lagrange, D’Allembert). S-a luat un metru ca a zecea

milioana parte din sfertul unui cerc meridian. Ulterior s-a constatat că, dintr-o eroare

legată de calculul turtirii Pământului, distanţa etalon era cu 0,2 mm mai mică decât

definiţia originală; s-a stabilit însă ca etalonul să rămână definiţia unităţii de măsură.

În 1960, definiţia metrului a fost înlocuită cu lungimea egală cu 1 650 763,73

lungimi de undă în vid ale radiaţiei care corespunde tranziţiei între nivelele 2p10 şi

5d5 ale atomului de kripton 86.

În 1983, această definiţia a fost înlocuită cu definiţia curentă, distanţa

parcursă de lumină în vid în 1/299 792 458 dintr-o secundă. Viteza luminii în vid este

fixată prin definiţie la valoarea de 299 792 458 m/s.

Submultiplii şi multiplii metrului sunt daţi în tabelul următor:

133

Submultipli

Multipli

Factor

Nume

Simbol

Factor

Nume

Simbol

10−1

decimetru

dm

101

decametru

dam

10−2

centimetru

cm

102

hectometru

hm

10−3

milimetru

mm

103

kilometru

km

http://ro.wikipedia.org/wiki/Lungime_de_und%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Lungime_de_und%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Vid

http://ro.wikipedia.org/wiki/Radia%C5%A3ie

http://ro.wikipedia.org/wiki/Atom

http://ro.wikipedia.org/wiki/Kripton

http://ro.wikipedia.org/wiki/Factor

http://ro.wikipedia.org/wiki/Decimetru

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Decametru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Centimetru

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Hectometru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Milimetru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Kilometru

Pentru măsurarea lungimilor se folosesc diverse instrumente de măsură, în funcţie de specificul activităţii şi de necesitatea preciziei: metrul liniar, rigla gradată,

metrul tâmplarului, metrul de croitorie, ruleta, kilometrajul cu care sunt dotate

maşinile, şublerul, laser-metrul, etc..

12.3. MASA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU MASĂ

Kilogramul (prescurtat kg) este unitatea de măsură pentru masă, în Sistemul Internaţional de Unităţi de Măsură (SI).

Este singura unitate fundamentală formată cu ajutorul unui prefix. Astfel, deşi

conform prefixului kilo un kilogram este 1 000 grame, nu gramul este considerat

unitatea fundamentală, ci kilogramul.

Kilogramul a fost creat ca fiind masa unui decimetru cub (1 dm³) de apă la

temperatura de 4°C şi presiune atmosferică normală. Deoarece definiţia presiunii face

apel la unitatea de măsură pentru masă, kilogramul nu poate fi definit formal astfel.

Ca urmare, kilogramul este masa etalonului păstrat la Biroul de Măsuri şi Unităţi din

Paris.

Nu este corectă utilizarea kilogramului ca unitate de măsură pentru greutate

sau pentru forţe în general. Greutăţile şi, în general, forţele, se măsoară în newtoni.

Pentru măsurarea forţelor se foloseşte uneori o unitate numită kilogram-forţă, notată

kgf, egală cu greutatea unui corp cu masa de 1kg la suprafaţa Pământului. 1kgf ≈

9.8N.

Submultiplii kilogramului sunt următorii, iar 1 kg este echivalent cu:

134

10−6

micrometru (micron)

µm

106

megametru

Mm

10−9

nanometru

nm

109

gigametru

Gm

10−12

picometru

pm

1012

terametru

Tm

10−15

femtometru (fermi)

fm

1015

petametru

Pm

10−18

attometru

am

1018

exametru

Em

10−21

zeptometru

zm

1021

zettametru

Zm

10−24

yoctometru

ym

1024

yottametru

Ym

http://ro.wikipedia.org/wiki/Mas%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Sistemul_Interna%C5%A3ional_de_Unit%C4%83%C5%A3i_de_M%C4%83sur%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Sistemul_Interna%C5%A3ional_de_Unit%C4%83%C5%A3i_de_M%C4%83sur%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Ap%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Paris

http://ro.wikipedia.org/wiki/Greutate

http://ro.wikipedia.org/wiki/For%C5%A3%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Newton

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Kilogram-for%C5%A3%C4%83&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Micrometru

http://ro.wikipedia.org/wiki/Micrometru

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Megametru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Nanometru

http://ro.wikipedia.org/wiki/Gigametru

http://ro.wikipedia.org/wiki/Picometru

http://ro.wikipedia.org/wiki/Terametru

http://ro.wikipedia.org/wiki/Femtometru

http://ro.wikipedia.org/wiki/Femtometru

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Petametru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Attometru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Exametru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Zeptometru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Zettametru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Yoctometru&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Yottametru

10 hectograme (hg) 100 decagrame (dag)

1 000 grame (g)

10 000 decigrame (dg)

100 000 centigrame (cg)

1 000 000 miligrame (mg)

Multiplii kilogramului sunt:

1 chintal (q) = 100 kg

1 tonă (t) = 1 000 kg

1 vagon (w) = 10 000 kg

Pentru măsurarea masei se folosesc diverse cântare şi balanţa.

12.4. TIMPUL. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU TIMP

Oamenii au folosit la început ca unitate de măsură pentru timp ziua solară, adică intervalul de timp care trece din momentul când Soarele trece la meridianul

locului (când are înălţimea maximă deasupra orizontului) până a doua zi când trece

din nou la meridianul locului. Această unitate îndeplinea condiţia de a fi legată de

problemele vieţii. Dar acest interval de timp nu este absolut constant în timpul unui

an, din cauză că mişcarea Pământului în jurul Soarelui nu este uniformă în timp de un

an.

Ziua siderală. Intervalul de timp scurs între două treceri consecutive ale unei

stele fixe la meridianul locului se numeşte zi siderală şi este riguros constantă (egală

cu timpul unei rotaţii complete a Pământului în jurul axei polilor). Această unitate este

folosită în astronomie. Nu este folosită în practică deoarece nu este conformă cu

necesităţile vieţii. Între ziua solară şi cea siderală este o diferenţă de aproximativ 4

minute. Această diferenţă se acumulează cu trecerea mai multor zile şi se ajunge la

situaţia ca într-o zi Soarele să treacă la meridian (să fie miezul zilei) la ora siderală 12,

pentru ca, după 6 luni, tot la ora siderală 12 Soarele să fie la meridian în partea

cealaltă, adică să fie miezul nopţii.

Ziua solară mijlocie. Pentru a se găsi o zi – ca durată de timp – care să fie şi

riguros constantă şi legată de ziua solară obişnuită, în astronomie se introduce

noţiunea de zi solară mijlocie. Durata ei absolut exactă se fixează cu ajutorul

observaţiilor şi calculelor astronomice.

Subdiviziuni ale zilei solare mijlocii. O zi solară mijlocie se împarte în 24 de

ore, ora în 60 de minute, iar minutul în 60 de secunde.

Secunda, având simbolul „s”, este unitatea de măsură pentru timp, fiind în

Sistemul Internaţional una dintre cele şapte unităţi fundamentale. Este definită ca

durata a 9 192 631 770 de perioade ale radiaţiei ce corespunde tranziţiei dintre cele

două niveluri hiperfine ale stării fundamentale ale atomului de cesiu 133 în repaus la

temperatura de 0 K.

Denumirile iniţiale pentru subdiviziunile orei erau în latina medievală "pars

minuta prima" şi "pars minuta secunda" (adică parte mică de primul rang şi respectiv

parte mică de rangul al doilea). Prin simplificarea acestor expresii s-a ajuns la minutul

şi respectiv secunda de astăzi.

Numărul 60 folosit în divizarea orei şi a minutului este probabil moştenit de la

sistemul de numeraţie în baza 60 folosit de babilonieni. Se bănuieşte că ziua a fost

împărţită pentru prima dată în 24 de părţi de către vechii egipteni.

Secunda a fost, ca urmare, definită ca 1/86400 din zi (ziua solară medie).

Datorită neuniformităţii mişcării de rotaţie a Pământului, odată cu creşterea preciziei

135

http://ro.wikipedia.org/wiki/Unitate_de_m%C4%83sur%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Timp

http://ro.wikipedia.org/wiki/Sistemul_Interna%C5%A3ional

ceasurilor, a devenit necesară modificarea definiţiei secundei. În 1960, secunda a fost redefinită ca fracţiunea 1/31 556 925,9747 a anului tropic la 1900/01/0 la ora 12

timpul efemeridelor. În 1967, în urma progresului efectuat în realizarea ceasurilor

atomice, secunda a fost din nou redefinită ca durata a 9 192 631 770 de perioade ale

radiaţiei ce corespunde tranziţiei dintre cele două niveluri hiperfine ale stării

fundamentale ale atomului de cesiu 133. În 1997 a fost adăugată precizarea

temperaturii considerate: 0 K.

Unităţi de timp mai mari decât o zi. Intervalul de timp în care Pământul face o

rotaţie completă în jurul Soarelui se numeşte an astronomic. Este un interval constant,

însă nu este egal cu un număr întreg de zile. Anul astronomic are 365,2422 zile solare

mijlocii. Anul calendaristic însă trebuie să aibă un număr întreg de zile. Problema de a

alcătui un calendar cât mai just, în care anul să aibă un număr întreg de zile, fără să se

depărteze prea mult de anul astronomic este una dintre problemele ştiinţifice cele mai

vechi, este o problemă care a dat un impuls important cercetărilor astronomice şi

cercetărilor matematice legate de astronomie.

Prima soluţie este următoarea. Deoarece anul real are 365 zile şi aproape 1/4,

anul calendaristic are 365 zile, iar din 4 în 4 ani, va avea 366 zile. Astfel, anii al căror

număr este divizibil cu 4 (2004, 2008) au câte 366 de zile; ei se numesc ani bisecţi.

Această soluţie ar fi perfectă dacă anul astronomic ar avea exact 365,25 zile.

Procedând ca mai sus, se adaugă prea mult (o zi la 4 ani); trebuie scăzute 3 zile la 400

de ani. Pentru a realiza această scădere, se convine ca anii care au ca număr un

multiplu de 100, iar numărul sutelor nu este multiplu de 4 să nu fie bisecţi, să aibă tot

365 de zile. De exemplu, anii 2100, 2200, 2300 sunt divizibili cu 4, dar nu vor fi

bisecţi. Anul 2400 este bisect pentru că numărul sutelor este divizibil cu 4.

Fusuri orare. Având în vedere că momentul în care Soarele este la meridianul

locului pentru diferite localităţi de pe glob, momentul de la care se începe numărarea

orelor diferă în funcţie de poziţia acestora. Pământul face o rotaţie de 360o în 24 de

ore, aşadar într-o oră parcurge 15o. Două localităţi ale căror longitudini diferă prin

15o, au ora reală diferită prin o oră. În schimb, în cadrul aceluiaşi stat, ora trebuie să

fie aceeaşi. Pe continentul european, statele sunt împărţite în funcţie de poziţia

geografică în trei categorii: ora Europei de vest, ora Europei centrale şi ora Europei de

est, categorie din care face parte şi România. De exemplu, Anglia este în urma

României cu 2 ore, Germania cu o oră, iar Rusia are avans de o oră. În plus, o

convenţie internaţională impune adoptarea orei de vară care este cu o oră în avans faţă

de ora de iarnă, având în vedere utilizarea economică a resuselor energetice.

Ca instrumente de măsură pentru timp se utilizează ceasul, cronometrul,

clepsidra, calendarul. Pentru stabilirea orei exacte există ceasurile atomice, deosebit

de precise la ora actuală.

12.5. ARIA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU ARIE

Aria este o mărime derivată. Unitatea de măsură pentru arie este aria unui pătrat cu latura de 1 m, arie numită metru pătrat (m2).

Submultiplii metrului pătrat sunt: decimetrul pătrat: 1 m2 = 100 dm2

centimetrul pătrat: 1 m2 = 10 000 cm2

milimetrul pătrat: 1 m2 = 1 000 000 mm2

Multiplii metrului pătrat sunt:

decametrul pătrat: 1 dam2 = 1 a (ar) = 100 m2

hectometrul pătrat: 1 hm2 = 1 ha (hectar) = 10 000 m2

- -

-

-

-

136

kilometrul pătrat: 1 km2 = 1 000 000 m2 -

Aria nu se măsoară direct, se calculează, utilizând diverse formule, în funcţie de

forma suprafeţei.

12.6. VOLUMUL. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU VOLUM

Volumul este o mărime derivată. Unitatea sa de măsură în Sistemul Internaţional este metrul cub (m3).

Submultiplii metrului cub sunt: decimetrul cub: 1 m3 = 1 000 dm3

centimetrul cub: 1 m3 = 1 000 000 cm3

milimetrul cub: 1 m3 = 1 000 000 000 mm3

Multiplii metrului cub sunt: decametrul

cub: 1 dam3 = 1 000 m3 hectometrul cub: 1

hm3 = 1 000 000 m3 kilometrul cub: 1 km3

= 1 000 000 000 m3

Volumul se calculează, utilizând diverse formule în funcţie de forma corpului.

O mărime nestandard prin care se specifică în general volumul vaselor este

- -

-

- -

-

capacitatea. Unitatea de măsură pentru capacitate este litrul (prescurtat l),

folosită foarte mult în practică. Relaţia dintre această unitate de măsură şi unitatea standard pentru volum este:

1 l = 1 dm3.

Multiplii şi submultiplii litrului cresc şi descresc din 10 în 10.

Submultiplii litrului:

- -

-

decilitrul: 1 l = 10 dl; centilitrul: 1 l = 100 cl;

mililitrul: 1 l = 1 000 ml.

Multiplii litrului:

decalitrul: 1 dal = 10 l;

hectolitrul: 1 hl = 100 l;

kilolitrul: 1 kl = 1 000 l.

Capacitatea vaselor se măsoară utilizând vase gradate.

- -

-

12.7. VITEZA. UNITĂŢI DE MĂSURĂ PENTRU VITEZĂ

Viteza este o mărime derivată care depinde de distanţa parcursă şi timpul necesar parcurgerii acesteia. Astfel se poate calcula o viteză medie, care rezultă din

formula: d

v t

În consecinţă, unitatea de măsură standard pentru măsurarea vitezei este metrul pe secundă (m/s). În practică se utilizează kilometrul pe oră (km/h). Relaţiile

dintre acestea sunt:

1 m/s = 0,001 km/s = 3,6 km/h

1 km/h = 1000 m/h = 1000 / 3600 m/s = 0,2(7) m/s.

12.8. PROBLEME

137

1. Să se transforme în cm următoarele măsuri: 5 m 6 dm 3 cm; 1 dam; 3hm 8 dam 5

dm; 8 km 2 dam 7 dm.

2. Să se transforme în unităţi de volum: 3 l; 1 dal; 1 hl; 1 kl; 2 450 l; 3 cl; 7 ml.

3. Ce distanţă este de la podul situat pe şosea la kilometrul 14 + 8 hm până la cantonul

de la kilometrul 22 + 3hm?

4. Din 14 m de stofă se fac 5 costume. Câtă stofă intră la un costum?

5. Pentru construcţia unui gard lung de 23m 70 cm se bat stâlpi la distanţa de 2m 50cm unul de altul. Poarta se aşează ântre doi stâlpi care sunt unul la 5 m şi altul la

6m 20 cm de la capătul gardului. Câţi stâlpi trebuie?

6. Dintr-o tablă dreptunghiulară cu dimensiunile de 15 cm, respectiv 10 cm se taie din fiecare colţ câte un pătrat cu latura de 1 cm. Marginile rămase se îndoaie în sus şi se

construieşte o cutie. Să se afle volumul acestei cutii.

7. Un rezervor în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 4 m 30 cm, 3m, 2 m 50 cm este plin cu apă. Se scoate apa cu o găleată având capacitatea de 13 l

5dl. Câte găleţi pline se vor scoate?

8. Patru lădiţe cu roşii au cântărit 132 kg. O lădiţă goală cântăreşte 1 kg 500 g. Din 4kg 200 g de roşii rezultă 1 kg bulion. Câte kilograme de bulion s-au făcut cu roşiile

din cele 4 lădiţe?

9. S-au cumpărat 2700 kg lemne de foc. Dacă se aşează lemnele în stivă, într-un metru cub încap 450 kg lemne. Încap lemnele cumpărate într-o magazie cu dimensiunile

1,5m, 2m, 2m 5dm?

10. Un ceas merge înainte cu 14 minute 45 secunde şi arată ora 3, 7 minute şi 10

secunde. Ce oră este în realitate?

11. Arhimede a murit în anul 212 înainte de Christos. Câte secole şi câţi ani au trecut

de la data morţii lui Arhimede până în ziua de azi?

12. Acceleratul parcurge distanţa Bucureşti – Ploieşti de 60 km într-o oră. Într-o zi a fost oprit timp de 5 minute la jumătatea drumului. Cu ce viteză trebuie să îşi continue

drumul pentru a ajunge la ora stabilită în program la Ploieşti?

13. Viteza luminii este de 300 000 km/s. Lumina ajunge de la Soare la Pământ în 8 minute şi 19 secunde. Să se afle distanţa de la Soare la Pământ; să se rotunjească la

milioane de kilometri.


138

1. Care dintre următoarele mărimi sunt mărimi fizice fundamentale: viteza, masa,

lungimea, densitatea, volumul, intensitatea luminoasă?

2. Kilogramul este unitatea de măsură în Sistemul Internaţional pentru .................. .

3. Câţi metri reprezintă 2 cm 8 mm?

4. Să se transforme în dm3: 2 kl 3 hl 45 dal 4 l.

5. Care dintre următorii ani reprezintă ani bisecţi: 1980, 1900, 1996, 2100, 2000,

2400, 2404, 2100?

6. Ordonaţi crescător următoarele viteze: 2 m/s, 8 km/h, 121 m/min.

7. Câte zile sunt din 12 ianuarie ora 12 până în 8 martie ora 12, anul 2008?

8. Câte minute sunt de luni, ora 14 până joi, ora 12 şi 35 minute, aceeaşi săptămână?

12.10. RĂSPUNSURI – FIŞA DE AUTOEVALUARE

1. masa, lungimea, intensitatea luminoasă.

2. masă

3. 0,028 m.

4. 2754 l = 2754 dm3.

5. 1980, 1996, 2000, 2400, 2404.

6. 2 m/s = 7,2 km/h, 121 m/min = 7,26 km/h, 8km/h.

7. 56 zile

8. 4235 minute.


1. Rusu, E., Aritmetica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1967 2. Neacşu, I., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1988.

139

Documents

PIPP2-05