Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Poglavlje 3: PrebrojavanjaPoglavlje 4: Slucajne varijable
web stranica kolegija:https://www.pmf.unizg.hr/math/predmet/vje
Snjezana Lubura Strunjak i Nikolina Milincevic
Zagreb, 03. studenoga 2020.
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 1 / 27
3. Prebrojavanja
Zadatak 3.6. Na slucajan nacin rasporedujemo 30 jednakih jabuka u 8 razlicitih kutija(pri cemu u svaku kutiju moze stati proizvoljno mnogo jabuka). Uz pretpostavku da jesvaka kombinacija broja jabuka po kutijama jednako vjerojatna, odredite vjerojatnost da
(a) se u svakoj kutiji nalaze barem 3 jabuke,
(b) su 3 kutije ostale prazne.
Rjesenje:
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 2 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 3 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 4 / 27
3. Prebrojavanja
Zadatak 3.7. Lutrija je u prodaju poslala n srecki, od kojih je m dobitnih. Ovisi livjerojatnost dobitka za pojedinog igraca o broju preostalih srecki, tj. je li bitan redoslijedkupovanja?
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 5 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 6 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 7 / 27
3. Prebrojavanja
Zadatak 3.8. U kutiji se nalazi n kuglica. Na slucajan nacin izvlacimo kuglice (baremjednu), tako da je svaka kolekcija izvucenih kuglica jednako vjerojatna. Kolika jevjerojatnost da je broj izvucenih kuglica paran?
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 8 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 9 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 10 / 27
3. Prebrojavanja
Zadatak 3.9. Neka je X skup, |X | = n. Odredite vjerojatnost da su dva nasumceizabrana neprazna razlicita podskupa skupa X disjunktna.
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 11 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 12 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 13 / 27
4. poglavlje
Slucajne varijable
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 14 / 27
4. Slucajne varijable
Zadatak 4.1. Bacamo simetricnu kocku. Oznacimo s X broj koji je pao na kocki.Odredite razdiobe slucajnih varijabli X , X 2 i |X − 3|. Odredite funkciju gustoce teskicirajte funkciju distribucije slucajne varijable |X − 3|.
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 15 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 16 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 17 / 27
4. Slucajne varijable
Zadatak 4.2. Slucajna varijabla X ima razdiobu
X ∼(
1 2 3 4 5 6 7c 2c 2c 3c c2 2c2 7c2 + c
).
(a) Odredite konstantu c ∈ R.
(b) Izracunajte P(2 ≤ X ≤ 5).
(c) Odredite najmanji k ∈ N takav da vrijedi P(X ≤ k) ≥ 2/5.
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 18 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 19 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 20 / 27
4. Slucajne varijable
Zadatak 4.3. Neka je Ω = ω1, ω2, ω3, P(ωi) = 1/3. Definirajmo slucajne varijable:X (ω1) = 1, X (ω2) = 2, X (ω3) = 3, Y (ω1) = 2, Y (ω2) = 3, Y (ω3) = 1, Z(ω1) = 3,Z(ω2) = 1, Z(ω3) = 2. Odredite razdiobe varijabli X , Y , Z , X + Y ,
√(X 2 + Y 2)Z ,
|X−Y |Z
.
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 21 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 22 / 27
4. Slucajne varijable
Zadatak 4.4. Slucajna varijabla X poprima vrijednosti u skupu prirodnih brojeva i vrijedi
P(X = k) = 12k
za k ∈ N. Odredite razdiobu slucajne varijable Y = sin
(πX
2
).
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 23 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 24 / 27
4. Slucajne varijable
Zadatak 4.5. Neka je s > 1, a X slucajna varijabla koja poprima vrijednosti u N sdistribucijom zadanom s
PX = n =n−s
ζ(s),
pri cemu je ζ(s) =∑∞
n=1 n−s vrijednosti Riemannove zeta funkcije u tocci s. Neka je
p1 < p2 < . . . niz svih prostih brojeva, te neka Ak oznacavaju dogadaj u kojem je Xdjeljiv s pk . Dokazite da je familija dogadaja (Ak)k∈N nezavisna, te vjerojatnosnimmetodama dokazite aritmeticku jednakost
∞∏k=1
(1− p−sk ) =
1
ζ(s).
Rjesenje
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 25 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 26 / 27
SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 27 / 27