Prof. dr Esad Jakupović

Kao što je istaknuto u uvodnom poglavlju, algebarske strukture sa jednom binarnom operacijom nazivamo grupoidima. Grupoid je skup snabdjeven binarnom operacijom. Ako skup označimo sa X a. binarnu operaciju u tom skupu sa · ,odgovarajući grupoid G se označava kao uređen par G=(X, ·). Umjesto a · b ponekad ćemo pisati ab.Grupoidi sa izvjesnim osobinama imaju odgovarajuća imena.

Definicija 1. Grupoid G=(X, · ), gde je • asocijativna operacija, naziva se semigrupa (polugrupa). Semigrupa sa jediničnim elementom naziva se monoid.

Definicija 2. Grupoid G=(X, • ), u kome za svako a, b X postoji jedinstveno rješenje jednačina a · x=b i y · a=b (po x i y respektivno), naziva se kvazigrupa.

Definicija 3. Kvazigrupa sa jediničnim elementom naziva se lupa.

Definicija 4. Grupoid G= (X, · ) naziva se grupa ako su ispunjeni sledeći uslovi:

Uslov 1° označava asocijativnost grupoida. Element e, čija se egzistencija utvrđuje u 2°, naziva se jedinični ili neutralni element grupoida, odnosno grupe. Element a-1 iz uslova 3° naziva se inverzni element elementa a. Ako u nekom grupoidu element a ima inverzni element onda se za a kaže da je invertibilan. Na osnovu ovog može se dati i sledeća definicija grupe koja je ekvivalentna sa prethodnom.

1 1 1

1 , , ,

2 ,

3 .

a b c X a b c a b c

e X a X e a a e a

a X a X a a a a e

Definicija 5. Semigrupa sa jediničnim elementom u kojoj je svaki element invertibilan naziva se grupa.

Definicija 6. Grupa G=(X, • ) u kojoj je operacija komutativna naziva se komutativna grupa ili Abelova grupa.

Primjer 1. Skup racionalnih brojeva različitih od 0 snabdjeven operacijom množenja (brojeva) predstavlja grupu. Takođe su i grupoidi grupe.Mnogi grupoidi sa operacijom sabiranja brojeva predstavljaju grupe (vidjeti primer 2), pa se često i u opštem slučaju grupe za oznaku operacije koristi simbol +. Ako je operacija grupe označena sa • grupa se naziva multiplikativna a ako je upotrebljen znak + grupa se naziva aditivna. Razlika između multiplikativne i aditivne grupe nije suštinska već se ogleda samo u različitoj notaciji. Definicija 4 je u multiplikativnoj notaciji. U aditivnoj notaciji neutralni element se obilježava sa 0 a inverzni element elementa a sa —a.

/ 0 , , / 0 , , 1, 1 ,R C

Definicija 7. Grupoid G= (X, +) naziva se grupa ako su ispunjeni sledeći uslovi:

Primjer 2. Poznati primjeri aditivnih grupa su grupoidi (Z, +), (Q, +), (R, +) i (C, +).

Primer 3. Dokazati da skup S={1, 2, ... ,p—1}, gde je p prost broj, obrazuje grupu u odnosu na množenje po modulu p. (Dva cijela broja a i b se množe po modulu m na taj način što se najprije pomnože na uobičajeni način pa se dobijeni rezultat ab podijeli sa m; ostatak pri djeljenju se zove proizvod po modulu m brojeva a i b).Obilježićemo sa množenje po modulu p. Skup S je očigledno zatvoren u odnosu na .

1 , , ,

2 0 0 0 ,

3 1 0.

a b c X a b c a b c

X a X a a a

a X X a a a a

Da bi dokazali asocijativnost operacije , tj: (a b) c=a (b c), dokazaćemo da je

Zaista, a b= ab (mod p) i a b=ab + kp za neki cijeli broj k. Dalje je (a b) c= (a b)·c (mod p), (a b)· c=abc+kcp=abc (mod p), što daje prvu od relacija (1). Na sličan način se dokazuje i druga relacija.Jedinični element, naravno, postoji; to je broj 1.Da bi dokazali invertibilnost elemenata iz S posmatrajmo za fiksirano a sve proizvode elementa a sa elemetirna iz S.Među tim proizvodima nema jednakih, jer ako bi bilo i a=j za i>i, imali bi ia=ja (mod p), tj. , a ovo je nemoguće jer p je prost broj i 1<i-j <,p-2, l<a<p-1.Prema tome, jedan od proizvoda iz (2), recimo b a; mora biti jednak 1. Dakle, b je lijevi inverzni element za a. Na osnovu komutativnosti operacije ,b je i desni inverzni element za a.Dakle, (S, ) je grupa.Napomenimo da (S, ) ne predstavlja grupu ako p nije prost broj.

mod ; mod .a b c abc p a b c abc p

1 ,2 ,..., 1a a p a

p i j a

Definicija 1. Grupoidi (G, • ) i (H, ) su izomorfni ako postoji bijekcija f: G H sa osobinom

Primjer 1. Neka je G={1, i, -1, -i} i H={0,l,2,3}. Ako • označava množenje kompleksnih broje va a sabiranje po modulu 4, grupoidi (G, •) i (H, ) su izomorfni. Izomorfizam je preslikavanje f={(1, 0), (i, 1), (-1, 2), (-i, 3)},Cayleyjeve tablice ovih operacija imaju u suštini istu strukturu.

, . .x y G f x y f x f y

Može se reći da su izomorfni grupoidi, u stvari, isti grupoidi a razlikuju se samo po tome što su im elementi i operacije označeni različitim simbolima.

Definicija 2. Surjekcija f : G→H naziva se homomofizam grupe (G,∙) na grupu (H, ) ako važiAko postoji bar jedan homomorfizam kaže se da je grupa (H, ) homomorfna slika grupe (G,∙ ) ili da je (H, x) homomorfna sa (G, ∙),

Primjer 2. Grupa ({1,-l},∙) je homomorfna slika grupe (Z, +). Homomorfizam je preslikavanje f : Z → {1,-l} definisano pomoću

Definicija 3. Izomorfizam grupe na samu sebe naziva se automorfizam. Homomorfi zam grupe na neki njen deo naziva se endomorfizam.

Primjer 3. Neka je a fiksirani element gupe (G, ∙). Preslikavanje f: G→G definisano pomoću f(x)=a ∙ x ∙ a-1 je bijekcija. f je automorfizam jer je f (x + y)=a ∙ (x ∙ y) ∙ a-1=(a ∙ x ∙ a-1)(a ∙y ∙ a-1)= f(x)∙f(y).

, .x y G f x y f x f y

11 .

ako je x paran brojf x

ako je x neparan broj

Definicija 1. Neka je (G, ∙ ) grupa. Ako podskup H skupa G obrazuje grupu u odnosu na operaciju ∙ , kaže se da je (H, ∙) podgrupa grupe (G, ∙ ).

Teorema 1. (H, ∙ ) je podgrupa grupe (G, ∙ ) ako važi

Dokaz. Najprije, na osnovu 2°, (H, ∙) je grupoid. Taj grupoid je asocijativan jer se asocijativnost operacije na skupu G automatski prenosi na podskup H. Pošto je H neprazan postoji neko x H. Na osnovu 3°,takođe x-1 H. Kako su x, x-1 H iz 2° sleduje x ∙ x-1=e H, gde je e neutralni element grupe (G, ∙), e je neutralni element za grupoid (H, ∙ ). Svi elementi skupa H su invertibilni na osnovu 3°. Stoga je (H,∙ ) grupa. Kako je, prema 1°, H G, (H, ∙) je podgrupa grupe (G, ∙ ).

1

1 ;

2 , ;

3 .

H Gx y H x y H

x H x H

Teorema 2. (H, ∙ ) je podgrupa grupe (G, ∙ ) ako je H neprazan podskup skupa G i važi implikacija

Dokaz. Pošto postoji x H implikacija (1) sa y=x daje x H x∙ x-1=e H. Dalje, e, y H y-1 H, tj. svaki element iz H je irivertibilan.Zatvorenost skupa Ha odnosu na operaciju ∙ dobija se iz implikacije (1):

Pošto važi i asocijativnost (H, ∙ ) je grupa.Svaka grupa (G, ∙) ima dve trivijalne podgrupe: ({e}, ∙) i (G, ∙), gde je e neutralni element grupe (G, ∙).Red konačne grupe (G, ∙) se definiše kao broj elemenata skupa G.Sljedeća teorema koja daje jednu vezu reda konačne grupe sa redom proizvoljne njene podgrupe naziva se Lagrangeova teorema.

1, , .x y x y H x y H

11 1, , .x y H x y H x y x y H

G

Teorema 3. Ako je (H, ∙ ) podgrupa reda m konačne grupe (G,∙ ) čiji je red n, tada je n deljivo sa m.

Dokaz. Definišimo binarnu relaciju u skupu G pomoću

Za svako y G. definišimo skup Hy={z ∙ y | z H}. Pošto ( z1,z2 H) z1 z2 z1 y z2 y, broj elemenata | Hy | skupa Hy je jednak broju elemenata | H | podgrupe H, tj. | Hy | =m za svako y iz G. Gore navedena relacija može se sada interpretirati i na sledeći način

Relacija je relacija ekvivalencije. Na osnovu relacije skup G se deli na klase ekvivalencije koje obrazuju particiju skupa G.Klasa ekvivalencije elementa y iz G je

, .x y G x y z H x z y

, .x y G x y x Hy

y .y x x y x x Hy Hy

Posmatrajmo permutacije skupa X={1, 2,..., n}. Permutacija je svaka bin jekcija p : X→X. Permutacije možemo predstaviti matricama tipa 2 n, gde se u prvoj vrsti nalaze elementi skupa X (pri čemu redoslijed navođenja elemenata nije bitan) a u drugoj odgovarajuće slike u odnosu na preslikavanje p:

Broj permutacija p skupa X je jednak n!Proizvod p1∙ p2 permutacija p1 i p2 je opet permutacija skupa X jer je proizvod bijekcija takođe bijekcija i p1 p2 : X→X, te (Pn, ∙) predstavlja grupoid. Svaki element p grupoida je invertibilan jer postoji p-1 koje je bijekcija i p-1 : X→X.Grupa (Pn, ∙ ) se naziva simetrična grupa reda n i obeležava se sa Sn.

Primjer 1. Neka je X={1,2, 3, 4, 5 } . Proizvod permutacija

1 2 ...1 2

np

p p p n

1

1 2 3 4 52 3 5 4 1

p

je

Dalje je: i

Permutacije se obeležavaju i u vidu »proizvoda ciklusa«.

Primjer 2. Simetrija geometrijske figure je preslikavanje figure na figuru koje »čuva« rastojanje tačaka. Kod nekih geometrijskih figura skup simetrija je konačan. Na primer, simetrija pravougao-nika određena je jednom permutacijom skupa njegovih tjemena {1,2,3,4} (vidjeti sl.1).

2

1 2 3 4 54 5 3 1 2

p

1 2

1 2 3 4 55 3 2 1 4

p p

11

1 2 3 4 55 1 2 4 3

p

12

1 2 3 4 54 5 1 3 2

p

Neka je E identičko preslikavanje, X simetrija u odnosu na x osu, Y simetrija u odnosu na y osu, O preslikavanje u odnosu na koordinalni početak. To su sve simetrije pravougaonika.

Skup {E, X, Y, O} je grupa u odnosu na proizvod preslikavanja Sto se vidi iz sledeće Cayleyjeve tablice

Navedena grupa se naziva Klilnova četvorna grupa (Vltrtrgruppe).

Teorema 1. (Cayloyeva teorema) Svaka konačna grupa je izomorfna nekoj permutacionoj grupi, tj. Nekoj podgrupi simetrične grupe.

Dokaz. Neka. je data grupa (G, ∙) gde je G={x1, x2,. .., xn}. Za svako x1

G formirajmo permutuciju pxi skupa G definisanu pomoću

E X Y OE E X Y OX X E O YY Y O E XO O Y X E

1 2

1 2

...

...i

nx

i i n i

x x xp

x x x x x x

Neka je Strukturu (PG, ∙ ), gde sada ∙ označava proizvod permutacja, je izomorfna grupi (G, ∙) jer je preslikavanje f: G→PG definisano pomoću f{xi)=pxi izomorfizam.

Naime, f je bijekcija i važi

Stoga je (PG, ∙ ) (permutaciona) grupa,

Ovim je dokaz, teoreme završen,

iG x iP p x G

1 2

1 2

1 21 2

1 21 2

1 21 2

1 21 2

...

...

......

......

......

......

ni j xi xj

i j i j n i j

i i n in

i j i j n i ji i n i

nn

j ji i n i

x x xf x x p

x x x x x x x x x

x x x x x xx x xx x x x x x x x xx x x x x x

x x xx x xx x x x xx x x x x x

.n j

xi xj i j

x

p p f x f x

U muitiplikativnoj grupi (G, ∙ ) sa jediničnim elementom e stepen a elementa a( G) definiše se pomoću : a0=e,an=an-

1∙a(n=l,2,...),a-1=(an)-1,(=n 1,2, . . .).Element a se naziva idempotentan ako je a2=a.

Definicija 1. Grupa (G, ∙ ) se naziva ciklička ako postoji element a te grupe takav da su svi elementi grupe stepeni tog elementa. Element a se naziva generator grupe (G, ∙ ).Ciklička grupa je konačna ili beskonačna u zavisnosti od toga da li postoji ili ne postoji prirodan broj k takav daje ak=e. Ako takav broj ne postoji, ciklička grupa je oblika i izomorfna je sa aditivnom grupom celih brojeva. U slučaju postojanja broja k posmatrajmo najmanji takav broj. Tada grupa ima tačno k elemenata i ona se može predstaviti u obliku {e, a, a2, . . . , ak-1}. Svi ostali stepeni elementa a su jednaki nekima od navedenih jer je ak=e, ak+1=a, a-1=ak-1 itd. Ciklička grupa reda k obeležava se sa Ck.

2 1 2..., , , , , ,...a a e a a

Primjer 1. Skup n-tih. korena iz 1 je ciklička grupa reda n u odnosu na operaciju množenja kompleksnih brojeva.

Definicija 2. U konačnoj muitiplikativnoj grupi (G, ∙ ) sa jediničnim elementom e, red proizvoljnog elementa a G definiše se kao najmanji prirodan broj k takav da je ak = e. Ako je k = 2, element a se naziva involutivan.

Teorema 1. U svakoj konačnoj grupi red elementa je djelilac reda grupe.

Dokaz. Posmatrajmo grupu (G, ∙) sa jediničnim elementom e. Neka je red elementa a jednak k. Tada skup {e, a,...,ak-1} (snabdeven operacijom ∙) predstavlja jednu (cikličku) podgrupu reda k grupe (G, ∙). Na osnovu Lagrangeove teoreme, k je djelilac reda grupe (G, ∙). Ovim je dokaz završen.

2exp 0,1,..., 1ji j nn

Dokaz. Neka je k red elementa a. Tada je k | n, tj. Stoga je an= akm=(ak)m=em=e.U cikličkoj grupi reda p, gde je p prost broj, svi elementi su reda p osim jediničnog elementa koji je reda 1.Daćemo sada pregled konačnih grupa sa malim brojem elemenata.Za n=1,2,3,5 postoje samo cikličke grupe C1,C2,C3C5, respektivno. Za n==4 postoje dve grupe — Kleinova četvorna grupa i ciklička grupa C4. Da ne postoje druge grupe reda 4 možemo se uvjeriti postupnom konstrukcijom Cayleyjeve tabelice. Neka grupa reda četiri pored jediničnog elementa e sadrži elemente a, b, c.Tada se Caylcyjeva tablica može popuniti kao što je prikazano:

Vrste Cuyleyjeve tablice cikličke grupe su cikličke permutacije prve vrste u tablici.

.m Z n km

?

e a b c e a b c e a b ce e a b c e e a b c e e a b ca a a a e c b a a b c eb b b b c e a b b c e ac c c c b a e c c e a b

Neka je (G, ∙ ) grupa i (H, ∙ ) jedna njena podgrupa.

Definicija 1. Skupovi yH={y ∙ z | z H} i Hy={z ∙ y | z H} nazivaju se respektivno lijeva i desna klasa razvoja grupe G po podgrupi H. (Umjesto klasa razvoja kaže se i klasa dekompozicije.)

Paralelno sa relacijom za koju je x y a koja je uvedena u dokazu Lagrangeove teoreme, može se posmatrati i relacija definisana pomoću

Relacija a je takođe relacija ekvivalencije a klase ekvivalencije su lijeve klase razvoja yH grupe G po podgrupi H.

Dakle, slično onom što smo videli za desne klase razvoja, dve lijeve klase razvoja y1H i y2H su ili disjunktne ili se poklapaju (u zavisnosti od toga da li je y1 non y2 ili y1 y2).

,z H x zy x Hy

.x y z H x yz x yH

1 2,y y G

Definicijia 2. Neka je (H,∙) podgrupa grupe (G, ∙ ). Ako je za svako y G ispunjeno Hy=yH,(H, ∙ ) se naziva normalna (ili invarijantna) podgrupa grupe (G, ∙ ).Kod normalnih podgrupa relacije i su identične pa se ova činjenica takođe može uzeti za definiciju invarijantne podgrupe.U komutativnim grupama su sve podgrupe invarijantne jer je očigledno Hy=yH za svako y. Interesantno je da postoje i nekomutativne grupe sa invarijantnim podgrupama.Posmatrajrno količnički skup G/ =G/ , koji ćemo obeležavati i sa G/H, Čiji su elementi klase razvoja Hy grupe G po invarijantnoj podgrupi H, tj. G/H= {Hy | y G} .U skupu G | H može se definisati binarna operacija pomoću

Relacija (odnosno ) naziva se relacija kongruencije grupe G po modulu invarijanine podgrupe. H. Naziv potiče otuda što i za relaciju kongruencije u skupu cjelih brojeva važe slične osobine izražene implikacijom

.Hx Hy Hx y

1 1 1 1 .x x y y x y x y

Definicija 3. Grupa (G|H, ) naziva se faktorska grupa grupe (G, ∙ ) po invarijantnoj podgrupi (H, ∙ ).Preslikavanje f: G G|H definisano pompću f(x)==Hx je homomorfizam grupe (G, ∙ ) na faktorsku grupu (G|H, ). Zaista preslikavanje je surjekcija i važi Navedeni homomorfizam naziva se prirodni homomorfizam grupe (G, ∙) na faktorsku grupu (G|H, ).

Primjer 1. Posmatrajmo grupu (Z, +) i skup H={3 k | k Z}. Struktura (H, +) je invarijantna podgrupa grupe (Z, +). U ovom primjeru koristićemo aditivnu notaciju. Umesto Hx pisaćemo H+x. Relacija kongruencije po podgrupi H ima oblik

Dakle, je, u stvari, kongruencija po modulu 3.

.f x y Hx y Hx Hy f x f y

3 .x y x H y x y H k z xy k

Neka je (H, ) homomorfna slika grupe (G, ∙ ) i neka je f jedan homomorfizam. Pošto je f: G→H surjekcija, svaki element skupa H je slika jednog ili više elemenata skupa G. Stoga se uvodi sljedeća definicija kao početni korak u analizi postavljenog zadatka.

Definiciju 1. Ako je f homomorfizam grupe (G,∙) na grupu (H, ) čiji je neutralni element e, skup K={x|x G f(x)=e} naziva se jezgro homomorfizma.

Teorema 1. Jezgro K homomorfizma f grupe (G, ∙ ) na grupu (H, ) je invarijanina podgrupa grupe (G, ∙ ) u odnosu na operaciju iz te grupe.

Dokaz. Neka je 1 neutralni element grupe (G, ∙ ). Tada je 1 ∙ x=x ∙ 1=x za svako x iz G. Odatle je f(l) f(x) f(x) f(1)=f(x) pa se zaključuje da je f(1) neutralni element grupe (H, ), tj. f(1)= e. Dakle, 1 K i K . Iz x ∙ x-1 =x-1 ∙ x=1, sleduje f(x) f(y-1) =f(x-1) f(x)=e te ako je f(x)=e izlazi f(y-1)=e, tj. x K x-1 K. Konačno, važi implikacija

Dakle, (K, ∙ )je grupa. Značaj jezgra homomorfizma se uviđa na osnovu sljedeće teoreme koju dajemo bez dokaza.

Teorema 2. Neka je homomorfizam grupe (G, ∙ ) na grupu (H, ) i neka je K jezgro homomorfizma. Grupa (H, ) je izomorfna sa faktorskom grupom grupe (G, ∙ ) po invarijantnoj podgrupi (K, ∙ ).

.x K y K f x f y e f x y f x f y e x y K