Prof. dr Esad Jakupović

�Teorija igara je matematička teorija konfliktnih situacija.�Veoma je teško precizirati šta se u realnom životu podrazumeva podkonfliktnom situacijom.�Najopštije, može se reći da je konflikt, situacija u kojoj dolazi do sukobainteresa pojedinih učesnika.�Preciznije, pod konfliktnom situacijom podrazumjevamo svaka situacija uodnosu na koju ima smisla da se postave sljedeća pitanja: ko i kako učestvuje unjoj, koji su njeni mogućni ishodi, ko je za pojedine od tih ishoda zainteresovani u čemu se sastoji ta zairiteresovanost.�Osnovni pojam teorije igaraje igra.

�Igra je matematički model realne konfliktne situacije.

�Igra se od realne konfliktne situacije razlikuje prvenstveno po tome što seodvija po tačno utvrđenim pravilima igre.

�U realnom konfliktu pravila ponašanja učesnika nisu u potpunosti precizirana.

�Osim toga, učesnici vođeni svojim interesima mogu i da prekrše eventualnopostojeća pravila.

�Osnovni zadatak teorije igara je određivanje optimalnog načina ponašanja uuslovima konflikta (koji mogu uz to biti komplikovani i prisustvom slučajnihpojava).

�Temelje teorije igara je postavio J. von Neumann 1928. god.

�Preteča teorije igaraje E. Zermelo, koji je 1912. god. na primjeru zahavske igreizveo jednu važnu teoremu teorije igara.

�Teorija igara se primenjuje prvenstveno u ekonomskim i vojnim naukama alitakođe i u tehničkim

�Definicija pojma igre u najbpštijem slučaju izlazi iz okvira ove knjige.�Umjesto toga opisaćemo jednu specijalnu klasu igara, tzv. matrične igre ili igredva igrača sa zbirom nula.�Na primjeru ovakvih igara izložićemo osnovne pojmove i probleme teorijeIgara.�Matrična igra je određena matricom

čiji su elementi realni brojevi.

�U igri učestvuju dva igrača X i Y.�Igrač X bira jednu od vrsta matrice A a igrač Y jednu od njenih kolona.�Izbor vrste i kolone vrši se nezavisno, tj. prilikom izbora nijedan od igrača nezna šta će onaj dragi izabrati.�Ako je igrač X izabrao i-tu vrstu a igrač Y j-tu. kolonu, broj aij izražava dobitakigrača X, odnosno gubitak igrača Y.

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

=

�Veličina — aij predstavlja dobitak igrača Y.�Naziv »igre dva igrača i zbirom nula« potiče otuda što je zbir dobitaka igrača Xi Y jednak nuli.�Izborom vrste (igrač X) i kolone (igrač Y) i utvrđivanjem dobitka odnosnogubitka pojedittih igrača igra je završena.�Kako treba igrati ovu igru ?�Odgovor na ovo pitanje daćemo postupno.�Definisaćemo najprije pojam strategije.�U proizvoljnoj igri pod strategijom nekog igrača podrazumjeva se skup pravila,fiksiranih prije početka igre, na osnovu kojih igrač određuje svoje postupke utoku igre. (Podrazumeva se da se igra u opštem slučaju sastoji od više postupaka— poteza — koje izvode igrači te svaki igrač treba više puta u toku igre da donosiodluku o tome kako da nastavi igru).�Kod matričnih igara svaki igrač izvodi tačno jedan potez — izbor vrste ilikolone.�Strategija igrača X koja, kada se primjeni u igri, dovodi do toga da igrač Xizabere i-tu vrstu označava se sa xi.�Analogno tome, yj je strategija igrača Y čijom primjenom u igri igrač Y bira j-tukolonu.

�Ovakve strategije igrača se nazivaju čiste strategije.

�Osim čistih, postoje i druge strategije, o kojima će kasnije biti riječi.

�Određivanje najboljih strategija zavisi od principa optimalnosti koji se uzima uobzir.

�Najčešće se usvaja kao princip da igru treba igrati tako da se postigne što jemogućno veći dobitak, odnosno da se gubitak svede na minimum.

�Uređen par strategija igrača X i Y pomoću kojih igrači X i Y postižu ovaj ciljnaziva, se rješenja igre a takve strategije se nazivaju optimalne strategije.

�Rješenje igre U opširnom slučaju ne mora biti jedinstveno.

�Posmatrajmo najprije matričnu igru u kojoj igrači primjenjuju samočistestrategije.�Pri izboru strategije svaki od igrača mora da računa sa najboljim mogućimodgovorom protivnika.�Ako igrač X izabere xi on mora da očekuje da će Y odabrati takvu strategiju yj

pri kojoj ja aij, minimalni element i-te vrste matrice A.�Takvim izborom Y minimizira svoj gubitak.�Zbog toga će X izabrati onu vrstu za koju je minimalan broj iz vrste najveći.�Za nalaženje optimalne strategije potrebno je, dakle, odrediti broj datpomoću�Neka je =ai1j1,

�Ako igrač X odabere vrstu i1 njegov dobitak ne može biti manji od bezobzira na način igigre protivnika.�Strategija xi1 , naziva se maksiminska strategija.�Na sličan način se ustanovljava da igrač Y treba da odabere kolonu u kojoj senalazi elemenat jednak veličini definisanoj sa�Ovakva strategija naziva se minimaksna.

maxmin .ijji

v a=

v

v

v minmax .ijj i

v a=

�Na ovaj način Y obezbeđuje da njegov gubitak ne bude veći od .�Veličina naziva se donja cijena igre ili maksimin a veličina gornja cijenaigre ili minimaks.

�Teorema 1.�Za svaku matričnu igru važi ≤

�Dokaz.�Neka je = ai1j1 i = ai2j2.

�Tada je ≤ ≤ čime je teorema dokazana.

�Teorema 2.�Ako matrica igre ima sedlastu tačku na mjestu (i1 ,j0), jedna od optimalnihstrategija igrača X je xi0 a jedna od optimalnih strategija igrača Y je yj0.�Dobitak igrača X, odnosno gubitak igrača Y, jednak je cijeni igre v= ai0j0.

v

v

v v

v v

1 1maxmini j ij

jia a= 1 2i ja 2 2

minmax ,ij i jj i

a a=

�Dokaz.�Dokazaćemo samo da igrač X nema bolju strategiju od xi0.�Ostalo je na osnovu ovog očigledno.�Igrač X mora da računa sa tim da će Y igrati najbolje.�Zbog toga on mora pretpostaviti da će Y izabrati strategiju yj0 jer mu tastrategija garantuje najmanji gubitak.�Ako X izabere strategiju xi njegov dobitak će bili aij0.�Pošto je na mestu (i1 ,j0) sedlasta tačka matrice igre. dobijamo aij0 ≤ ai0j0.�Stoga xi nije boija strategija od xj0.

�Primjer 5.�Neka je igra određena sljedećom matricom:

�Desno od matrice su navedeni minimalni elementi u pojedinim vrstama aispod matrice maksimalni elementi iz pojedinih kolona.�Očigledno je�Sedlasta tačka je označena u matrici igre.�Optimalna strategija igraća X je x2 a optimalna strategija igrača Y je y3.�Cijena igre je v=5.

10 1 2 1 1

6 8 5 6 5

2 4 4 8 2

10 8 5 8

maxmin minmax 5.ij ijj ji i

a a= =

�Posmatrajmo igru određenu matricom�Ova matrica ne poseduje sedlastu tačku jer je ,dok je .�Ako igrač X primenjuje maksiminsku strategiju x1 on ima zagarantovandobitak ne manji od 1.�Slično tome, ako Y primjenjuje minimaksnu strategiju y2, njegov gubitak nemože bili veći od 2.�Međutim, ako se igra ponavlja i ako Y uoči da X stalno primjenjuje strategiju x1,Y može da pređe na strategiju y1 i na taj način smanji svoj gubitak sa 2 na 1.�Ali lada X može da primjeti daje Y promjenio strategiju pa da i sam pređe nanovu strategiju, tj. x1 i poveća dobitak na 3.�No, tada bi Y ubrzo prešao na y2 i smanjio gubitak sa 3 na 0 itd.� Vidi se da prilikom većeg broja odigravanja igre koja nema sedlastu tačkuigrači ne smiju da se stalno pridržavaju određenih čistih strategija.�Međutim, mjenjanje strategija ne smije da se vrši po nekom unapredutvrđenom sistemu jer bi protivnik eventualno mogao na neki način da seupozna sa tim sistemom i na odgovarajući način podesi primjenu svojihstrategija u svoju korist.

1 2.

3 0

minmax 2.ijj i

a =maxmin 1ijji

a =

�Stoga se izbor čiste strategije mora prepustili slučaju.�Igrač treba samo da odredi sa kojim vjerovatnoćama će podesno odabranslučajni mehanizam (na primjer, izvlačenje raznobojnih kuglica iz urne) daodređuje pojedine čiste strategije.�Neka u gornjem primjeru igrač X odabire (pomoću slučajnog mehanizma)strategiju x1 sa vjerovatnoćom p1 a strategiju x2 sa vjerovatnoćom p2.�Slično tome, neka Y odabire strategije y1 i y2 sa vjerovatnoćama q1 i q2

respektivno.�Pri ovom važi p1+p2 = 1 q1 +q2= 1.�Odredićemo optimalne vrijednosti ovih vjerovatnoća za igrače X i Y.�Sa vjerovatnoćom p1q1 desiće se da igrač X izabere strategiju x i da Y izaberestrategiju y1.�Dobitak igrača X iznosi tada 1.�Slično tome, sa vjerovatnoćom p1q1 igrač X ostvaruje dobitak 2, savjerovatnoćom p2 q1 dobitak 3 i sa vjerovatnoćom p2q2 dobitak 0.�Srednja vrijednost dobitka igrača X iznosi

1 1 1 2 2 1 2 21 2 3 0 .D p q p q p q p q= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

�Iz ovih relacija dobija se izraz

�Vidi se da je za igrača X optimalno da izabere , dok je za igrača Yoptimalna vrijednost . �Na taj način srednja vrijednost dobitka igrača X odnosno srednja vrijednost gubitka igrača Y iznosi D= �Ako bi, na primjer, igrač X izabrao , igrač Y bi mogao, pogodnim izborom veličine q1, svoj gubitak da smanji ispod . �(Za p1> treba uzeti q1 =1 a u suprotnom slučaju q1 =0).�Na opisanom primjeru se vidi da kod igara bez sedlaste tačke ne postoje opti-malne čiste strategije.�Najbolji rezultati se postižu ako se pojedine čiste strategije primjenjuju saodređenim vjerovathoćama.�Tako dolazimo do poimanja kombinovane strategije.

�Teorema 1.�Svaka matrična igra ima rešenje u skup u kombinovanih strategija.�Ovo je rezultat J. von Neumanna iz 1928. god.

1 1

3 3 14 .

2 4 2D p q

= − − −

1

3

4p =

1

1

2q =

3

21

3

4p ≠

3

23

4

�Opisaćemo ukratko tzv. igre na grafovima pri čijoj analizi pojam jezgra igravažnu ulogu.�Igru igraju dva igrača tako što naizmenično biraju čvorove zadatog grafa.�Najpre se žrebom ili na drugi način određuje jedan čvor grafa.�Prvi igrač može da izabere čvor do koga se može stići granom iz početnogčvora; drugi igrač bira između čvorova u koje vode grane iz čvora koji je izabraoprvi igrač itd.�Igru gubi onaj koji ne može više da izabere nijedan čvor.�Sljedeći stav može da pomogne prilikom igranja ovakvih igara.�Teorema 1. Igrač koji izabere čvor iz jezgra grafa ne može (pri pravilnoj igri) daizgubi.�Dokaz.�Neka je igrač A izabrao čvor iz jezgra. Pošto je jezgro unutrašnje stabilni skup,igrač B mora da izabere čvor van jezgra.�Igrač A pri ovom ne može da izgubi, jer je jezgro i spoljasnje stabilni skup, paiz svakog čvora van jezgra vodi bar jedna grana u neki čvor iz jezgra.�Pošto A ponovo izabere čvor u jezgru situacija se ponavlja, te A ne može daizgubi igru.�Ovim je teorema dokazana.

�Primjer 1.�Na stolu je poredano 15 šibica, igrači A i B uzimaju naizmenično po jednu, dveili tri šibice.�Gubi onaj ko ne može da uzme više nijednu šibicu kada dođe na red. Kakotreba igrati ovu igru?�Igra se može interpretirati kao igra na grafu sa sl. 1.�Čvor x1 (i=0,1, ... , 15) označava stanje igre: »na stolu se nalazi i šibica«.�Čvorovi jezgra su označni na crtežu kvadratićima.�U ovom slučaju igrač koji izabere čvor iz jezgra dobiju igru.

�Napomenimo da ne mora svaki graf da poseduje jezgro i da jezgro ne mora bitijedinstveno.