Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni diplomski studij matematike(smjer: Financijska i poslovna matematika)

Ivana Oreski

Police osiguranja

Diplomski rad

Osijek, 2015.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveucilisni diplomski studij matematike(smjer: Financijska i poslovna matematika)

Ivana Oreski

Police osiguranja

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. T. Marosevic

Osijek, 2015.

Sadrzaj

1. Uvod 1

2. Opcenito o policama osiguranja 3

2.1 Vrste osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Osnovni pojmovi trzista osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Fransiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Indeksacija police osiguranja zivota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Reosiguranje, retrocesija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Fond polica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Sto u slucaju nemogucnosti placanja premije? . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.8 Prednosti i nedostatci police zivotnog osiguranja . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.9 Hrvatska agencija za nadzor financijskih usluga . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Vrste zivotnih osiguranja 14

3.1 Dozivotno osiguranje zivota (Whole life insurance) . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Osiguranje zivota na odredeno vrijeme (Term life insurance) . . . . . . . . . 15

3.3 Osiguranje dozivljenja (Pure endowment) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Mjesovito osiguranje zivota i dozivljenja (Endowment) . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Odgodeno osiguranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4. Zivotne rente 19

4.1 Neposredne dozivotne rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Neposredne privremene rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3 Odgodene dozivotne rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4 Odgodene privremene rente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.5 Zivotne rente koje se isplacuju m puta godisnje . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5. Premije 22

5.1 Neto premije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1.1 Godisnje neto premije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.1.2 Ispodgodisnje premije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2 Bruto premije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6. Uvod u vrijednost police 25

7. Neto metode izracunavanja premijske rezerve 28

7.1 Prospektivna rezerva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2

7.2 Retrospektivna rezerva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.3 Prospektivna vs retrospektivna rezerva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.4 Rekurzivna formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8. Dobit i gubitak zbog smrtnosti 38

9. Modificirane rezerve 43

Literatura 46

Sazetak 47

Summary 48

Zivotopis 49

Prilozi 50

A. Tablice smrtnosti LAT A1967-70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1

1. Uvod

U ovom radu, u vezi polica osiguranja, razmatraju se pojmovi prospektivne i retros-

pektivne rezerve za dozivotno osiguranje zivota, osiguranje zivota na odredeno vrijeme i

mjesovito osiguranje zivota i dozivljenja.

U drugom poglavlju govori se osnovno o pojmu polica osiguranja i njihovim bitnim svoj-

stvima na koje treba obratiti paznju prije potpisivanja ugovora police osiguranja. Ukoliko

se klijent upozna sa svim detaljima police, to moze promijeniti nacin razmisljanja i samu

odluku o njenom uzimanju ako postoje tocke koje osiguraniku financijski ne odgovaraju.

Polica osiguranja je ugovor izmedu osiguravajuce kuce i osiguranika koji sadrzi uvjete osigu-

ranja te obveze i prava obiju strana ugovora. Obvezni sastojci police osiguranja su: ugovorne

strane (osiguravatelj i ugovaratelj osiguranja), osigurana osoba ili osigurana stvar odnosno

neki drugi osigurani predmet, osigurani rizik, trajanje osiguranja i vrijeme pokrica, iznos

osiguranja (osigurana svota), premija osiguranja ili doprinos (ulog), nadnevak izdavanja po-

lice i potpisi ugovornih strana. Polica osiguranja ne bi trebala predstavljati bilo kakvu vrstu

rizicnog ulaganja. Ugovor o osiguranju je dvostrani pravni posao kojim se ugovaratelj osigu-

ranja obvezuje platiti premiju osiguranja, a osiguravatelj isplatiti osiguranu svotu u slucaju

nastanka osiguranog slucaja osiguraniku ili korisniku osiguranja. On sadrzi vise cimbenika

koji mogu utjecati na kljucne elemente police tokom trajanja ugovora te zahtijeva detaljno

upoznavanje sa svakom tockom dokumenta. Promjene koje se mogu traziti tijekom cijele go-

dine su: promjena ugovaratelja osiguranja, promjena korisnika osiguranja, promjena imena

ili prezimena, promjena adrese. U radu se promatraju zivotna osiguranja cija je potraznja iz

godine u godinu sve veca. Ustrajnost, strpljenje, mogucnosti u placanju su preduvjeti da se

polica zivotnog osiguranja u konacnici i isplati. Upravo zbog neredovitih placa i smanjenog

kucnog budzeta klijenti osiguravajucih kuca se raspituju o raskidu police.

Kroz trece poglavlje obradit ce se osnovni pojmovi vezani uz vrste zivotnog osigura-

nja. Najcesce vrste zivotnog osiguranja su osiguranje zivota u slucaju smrti (privremeno ili

dozivotno), osiguranje dozivljenja, te mjesovito osiguranje u slucaju smrti i dozivljenja kao

kombinacija prethodna dva pa je ono najtrazeniji oblik zivotnog osiguranja. Kod osiguranja

u slucaju smrti ugovoreni iznos se isplacuje osiguranikovoj obitelji nakon njegove smrti, a

kod osiguranja dozivljenja se osiguraniku isplacuje naknada samo ako dozivi ugovoreni rok.

Uz klasicnu policu zivotnog osiguranja moze se ugovoriti i dodatno osiguranje od nesretnog

slucaja, a sve ovisi o vrsti osiguranja.

U cetvrtom poglavlju opisuju se vrste zivotnih renti. Nakon sto se u petom poglavlju

navede najbitnije o premijama, dolazi se do najvaznijih poglavlja, o vrijednosti police i neto

metodama izracunavanja premijske rezerve. Vrijednost police predstavlja odredeni iznos

koji bi osiguravatelj u svakom trenutku trebao imati, kako bi mogao pokriti sve svoje buduce

2

obveze. Ta rezerva moze biti knjigovodstvena, prospektivna i retrospektivna, sto se opisuje

u sedmom poglavlju. U osmom poglavlju promatra se pitanje dobiti i gubitka osiguravajuce

kuce kod polica osiguranja.

U zadnjem poglavlju daje se kratak pregled modificiranih rezervi koje se temelje na bruto

premijama. Kako osiguravatelji moraju u premije uracunati i vlastite troskove (pocetne,

periodicne i administrativne), oni tipicno zaracunavaju bruto premije u kojima su ti troskovi

ukljuceni. Ako se ukljuce ovi troskovi i u izracun rezerve, govori se o Zillmeriziranoj rezervi.

3

2. Opcenito o policama osiguranja

U ovom poglavlju navode se osnovni pojmovi i termini u vezi osiguranja, posebno s njihove

pravne strane i pozadine.

2.1 Vrste osiguranja

Osiguranje je gospodarska djelatnost u okviru koje se pruza sigurnost svima zainteresi-

ranima ciji imovinski interesi ili tjelesni integritet mogu biti ugrozeni djelovanjem raznolikih

opasnosti. Ta se zastita ostvaruje sklapanjem ugovora o osiguranju. Pravni poslovi vezani

uz osiguranje zovu se poslovima osiguranja. Skup pravnih normi sto se odnose na gospodar-

sku djelatnost osiguranja nazivaju se pravom osiguranja. Postoje razlicite vrste osiguranja

zavisno od toga sto se zeli osigurati. Izbor osiguranja moze ovisiti o vise cimbenika, o poslu,

stilu zivota, financijskim mogucnostima i potrebama. Vazni su planovi koji se vezu uz osi-

guranje dok ono traje i cilj koji se zeli postici njegovom isplatom. Ispravno odabrana visina

osiguranog iznosa ce dozivljenjem osiguranja predstavljati ustedeni iznos novca, a osigurani

iznos za slucaj smrti i invaliditeta u najtezim slucajevima moze djelomice zamijeniti gubitak

prihoda od nekoliko mjeseci ili godina.

Automobilsko osiguranje jamci pokrice kojim se osigurava vozac, suputnici i vozilo. Ob-

zirom na vrijednost imovine, moze se uzeti osiguranje imovine. Osiguranje za slucaj nezgode

sluzi za stvari koje se ne mogu predvidjeti. Na najbolje isplaniranim putovanjima i na

kratkim izletima u inozemstvu moze se dogoditi bolest ili nesreca, a to pokrivaju putna osi-

guranja. U vezi osiguranja plovila i zrakoplova moze se koristiti kasko osiguranje zrakoplova

i odgovarajuce osiguranje od odgovornosti vlasnika ili pilota prema trecim osobama i putni-

cima. Osiguranje usjeva i nasada sluze da tuca, mraz, pozari, poplave i druge nepogode ne

ugroze prihod radi unistenih ili smanjenih prinosa.

Kod zivotnog osiguranja moze se birati izmedu zivotnog osiguranja koje ukljucuje samo

komponentu osiguranja ili bilo kojeg drugog oblika osiguranja s profitabilnom kombinacijom

i osiguranja i stednje. Navedimo neke vrste zivotnog osiguranja.

MJESOVITO ZIVOTNO OSIGURANJE- istovremeno je i osiguranje i stednja, te pred-

stavlja najcescu vrstu zivotnih osiguranja. U slucaju da osigurana osoba dozivi ugovoreno

trajanje osiguranja, osiguravatelj isplacuje korisniku osiguranja osigurani iznos uvecan za

pripisanu dobit. U slucaju smrti osigurane osobe tijekom trajanja osiguranja korisniku se

isplacuje osigurani iznos za slucaj smrti s do tada pripisanom dobiti. Premija mjesovitog

osiguranja zivota moze se smatrati kao stednja kapitala u osiguranju te se osiguranicima

omogucuje da pri ugovaranju police sami odluce o visini premije. Kapital koji se isplacuje

po isteku ugovorenog roka, odnosno visina mirovine, je u uzajamnoj vezi s visinom uplacenih

sredstava te trajanjem osiguranja.

4

STIPENDIJSKO OSIGURANJE- namjera stipendijskog osiguranja je da se djetetu sa stednjom

do ugovorenog dana ili za dogovoreni vremenski period osigura isplacivanje stipendije, a da

je pri tome roditelj u periodu placanja premije osiguranja zivotno osiguran.

RENTNO OSIGURANJE- rjesava dva problema odjednom, kako ustedjeti nesto novca za

starost, a istovremeno osigurati financijsku sigurnost najblizima.

RIZIKO ZIVOTNO OSIGURANJE- to je osiguranje za slucaj smrti, najcesce se koristi kao

garancija za otplatu kredita. Zato sto nema stednu ili investicijsku komponentu jeftinije

je od zivotnih osiguranja koje takve komponente imaju, ali po isteku osiguranja nema niti

isplate stednje ili dobiti. Riziko zivotno osiguranje omogucava lakse podmirenje kreditnih

obveza osiguranika ili nadoknaduje neplanirani manjak sredstava prouzrokovan smrcu osigu-

rane osobe.

HIPOTEKARNO OSIGURANJE- sklapanjem police riziko zivotnog osiguranja s padajucim

osiguranim iznosom (hipotekarno osiguranje) osigurava se vlastita financijska sigurnost i fi-

nancijska sigurnost obitelji za slucaj smrti, kriticne bolesti i/ili invalidnosti uslijed nezgode.

Kredit se nastavlja otplacivati iz sklopljenog osiguranja.

INVESTICIJSKO ZIVOTNO OSIGURANJE- namijenjeno je onima koji se zele osigurati,

a ujedno i ulagati u investicijske fondove preuzimajuci na sebe sav rizik ulaganja. Kada se

sklopi ovakvo osiguranje, posredno se ulazi na trziste vrijednosnih papira.

Riziko zivotnom osiguranju i investicijskom zivotnom osiguranju moguce je prikljuciti: do-

datno osiguranje od posljedica nesretnog slucaja/nezgode, dodatno osiguranje djece od pos-

ljedica nesretnog slucaja/nezgode, dodatno osiguranje od tezih bolesti i ozljeda, zdravstveno

osiguranje na putovanju u inozemstvo s asistencijom, dodatno osiguranje drugog lijecnickog

misljenja.

Vise o vrstama osiguranja moze se pogledati u [15], [16], [17], [18].

2.2 Osnovni pojmovi trzista osiguranja

Navedimo neke osnovne pojmove u vezi osiguranja koji se koriste u pravnoj terminologiji.

Polica osiguranja (eng. insurance policy, njem. Police, Polizze, Versicherungsschein) je

isprava o ugovoru o osiguranju, dokument potpisan od osiguravatelja, sadrzan u ugovoru o

osiguranju. Ako je polica izdana bez ponude ili drugog dokumenta osiguravatelja potvrdenog

od ugovaratelja osiguranja, tada je na polici potreban i potpis ugovaratelja osiguranja. U

osiguranju osoba, ako se osiguranje odnosi na slucaj smrti nekog treceg, za pravovaljanost

ugovora potrebna je njegova pismena suglasnost dana u polici ili odvojenom pismenom prili-

kom potpisivanja police s naznakom ugovorene svote. Kod osiguranja potrebno je da policu

potpisu svi suosiguravatelji. U polici moraju biti navedene ugovorne strane, osigurana stvar

ili osoba, rizik obuhvacen osiguranjem, trajanje osiguranja i vrijeme pokrica, svota osigura-

5

nja ili limit pokrica, premije ili doprinos i datum izdavanja police. Opci, dodatni i posebni

uvjeti sastavni su dio ugovora o osiguranju i mogu biti tiskani na polici osiguranja, ili se tre-

baju predati uz policu osiguranja, sto mora biti tiskano na samoj polici. (Gornja definicija

je iz [5].)

Godina police (eng. year of policy, njem. Vertragsjahr) u analizama steta jedan je od kriterija

njihova grupiranja. Stete se grupiraju po godini u kojoj je zapocelo pokrice ili je izdana polica

po kojoj se prijavljuje steta neovisno o godini nastanka stete. Prednost ovog kriterija je da

slijedi logiku racunovodstvenog pracenja premije, ali se stete iz dviju razlicitih godina nalaze

u istoj grupi. Potrebno je dulje vrijeme da se grupe steta po godinama formiraju i sire

je razdoblje izlozenosti za jednu grupu. Projekcije temeljene na ovom kriteriju ukljucuju

automatski i rezervu za nastale, za neprijavljene stete i ponovno aktivirane stete. (Gornja

definicija je iz [5].)

Promotrimo opisne definicije raznih pojmova koji se javljaju kod ugovora osiguranja.

Osiguranik je osoba ciji se zivot osigurava i o cijem dozivljenju ili smrti ovisi isplata osigurane

svote, a korist ima korisnik osiguranja. Korisnik osiguranja je osoba, ili vise njih, koja

polaze pravo na odstetu kada dode do osiguranog slucaja. Moze biti vise korisnika za isti

osigurani slucaj i oni tada dijele naknadu. Osobu korisnika odreduje ugovaratelj osiguranja,

to moze biti fizicka ili pravna osoba i mora biti punoljetna osoba. Ugovaratelj za vrijeme

trajanja osiguranja ima pravo promijeniti korisnika, osim ako se tog prava nije odrekao. U

slucaju da ugovaratelj i osigurana osoba nisu ista osoba, za promjenu korisnika potrebna je

suglasnost osigurane osobe. Ugovaratelj osiguranja je osoba koja zakljuci ugovor o osiguranju

s osiguravateljem i po tom ugovoru joj pripadaju prava i duznosti do nastupa osiguranog

slucaja. Osiguranik i ugovaratelj osiguranja ista su osoba ako ugovaratelj sklapa ugovor u

svoju korist. Osiguravatelj je pravna osoba koja se bavi osiguranjem. Obaveze osiguravatelja

predstavljaju sve obaveze koje je osiguravatelj preuzeo ugovorom o osiguranju, a to su razni

oblici isplate ugovorenih suma ili naknada koji su detaljno definirani policom i uvjetima

osiguranja.

Ugovor o osiguranju cine ponuda osiguranja, polica i uvjeti osiguranja. Uvjeti osiguranja

su skup klauzula kojima se ureduju odnosi izmedu osiguravatelja i osiguranika iz ugovora

o osiguranju. Ponuda osiguranja je pisani prijedlog osiguravatelja za sklapanje osiguranja

zivota. Ponudac je osoba koja podnosi pisanu ponudu s namjerom da zakljuci ugovor o osi-

guranju. Ugovor je zakljucen kada osiguravatelj prihvati ponudu osiguranja (tada je ugovor

konsenzualan i neformalan) ili kada stranke potpisu policu osiguranja (tada je ugovor strogo

formalan). Osigurana svota je najvisi iznos obaveze osiguravatelja. Izracunava se u skladu

s vazecim tarifama osiguravatelja, a zavisi od spola i dobi osiguranika, trajanja osiguranja

te zeljenom iznosu premije osiguranja. Predstavlja iznos koji je osiguranje duzno platiti

osiguraniku ili drugoj osobi odredenoj ugovorom o osiguranju, na temelju ugovora o osigu-

6

ranju, nakon nastupa osiguranog slucaja. Osigurani slucaj je dogadaj koji moze prouzrociti

stetu, a pripada rizicima koje osiguravatelj pokriva svojom djelatnoscu. Moguci osigurani

slucajevi definirani su u uvjetima za svaku vrstu osiguranja, a u svakom ugovoru o osigura-

nju pojedinacno su navedeni svi osigurani rizici. Osigurani rizik je bitan element ugovora o

osiguranju. To je buduci, neizvjestan dogadaj nezavisan od volje ugovaratelja osiguranja ili

osiguranika, tj. to su opasnosti koje su pokrivene ugovorom o osiguranju. Dok se ne ostvari

osigurani slucaj, osiguravatelj nije ni u kakvoj obvezi prema osiguraniku. Osigurani slucaj

se mora ostvariti dok traje osiguranje.

Zivotno osiguranje moze sklopiti svaka zdrava osoba od navrsenih 14 do 65 godina sta-

rosti. Prema utvrdenim uvjetima ugovaratelj moze osigurati i one osobe koje nisu potpuno

zdrave. Financijski su povoljnija osiguranja na duzi vremenski period jer se ostvaruje veci

kapital, sto je narocito povoljno za mlade osobe. Osiguranje se moze ugovoriti na rok od 5 do

30 godina. Pocetak osiguranja je datum kojim pocinje vrijediti ugovor o osiguranju. Trajanje

osiguranja je razdoblje od 00 sati prvog dana osiguranja do 24 sata posljednjeg dana osigu-

ranja. Istek osiguranja predstavlja istek vazenja ugovora o osiguranju. Dinamika placanja je

nacin placanja ugovorenog iznosa premije. Dinamiku placanja premije odabire ugovaratelj, a

moze biti jednokratna ili visekratna (mjesecna, kvartalna, polugodisnja, godisnja), a racuna

se na temelju vjerojatnosti nastupanja osiguranog slucaja. Premija se moze placati bez

naknada trajnim nalogom. Premija osiguranja je iznos koji je ugovaratelj osiguranja duzan

platiti osiguravatelju na temelju ugovora o osiguranju. Visina premije ovisi o velicini rizika

i povecava se odnosno smanjuje proporcionalno s njim. Velicina rizika ovisi o mogucnosti

nastupanja stetnih posljedica i o jacini rizika. Visinu premije utvrduje osiguravatelj u svojoj

tarifi. Polica zivotnog osiguranja moze posluziti kao instrument osiguranja kredita u banci.

U tom slucaju radi se vinkulacija police osiguranja, to znaci da se pravo na isplatu osigurane

svote ustupa banci umjesto osiguraniku.

Ugovaratelj osiguranja moze zatraziti sljedece promjene ugovora tijekom trajanja osi-

guranja: produljenje ugovorenog trajanja osiguranja, promjenu visine premije osiguranja,

promjenu ugovaratelja osiguranja, promjenu korisnika za slucaj smrti, promjenu korisnika

za dozivljenje. Za tarife zivotnog osiguranja povezanog s investicijskim fondovima ugovoreni

pocetak i istek osiguranja ostaje za cijelo trajanje osiguranja. Ostale promjene moguce su

samo na rocnost ugovora (datum do kojeg je placena premija). U slucajevima stete ili ozljede

osiguranje jamci isplatu za tu stetu te je polica osiguranja sigurnost da ce se u tom slucaju

imati financijska potpora od osiguravajuce kuce. Nakon isteka ugovorenog roka isplacuje se

ugovoreni iznos uvecan za pripisani udio u dobiti koji se naziva kapital. Kapital se moze

isplatiti jednokratno ili u obliku rente, npr. za mirovinu. Nema posebne formule o kolicini

polica osiguranja koliko bi netko trebao imati. Uzimaju se proporcionalno s financijskim

primanjima.

7

Tvrtke koje se bave osiguranjem konstantno kreiraju nove programe polica osiguranja i po-

boljsavaju trenutne te na taj nacin konkuriraju jedni drugima. Postoje i tzv. zastupnicke

tvrtke koje objedinjavaju vise osiguravajucih tvrtki i posreduju u ponudama na trzistu osi-

guranja.

2.3 Fransiza

Fransiza je mogucnost oslobadanja osiguravatelja od placanja naknade stete do svote

ugovorene fransize (vidjeti u [12]). Fransizama se ogranicava odgovornost osiguravatelja tako

sto se on oslobada obveze na naknadu manjih steta, koje su u praksi cesce, a koje za osi-

guranika ne predstavljaju osobit gubitak. Drugim rijecima, fransiza je vlastita participacija

osiguranika u steti koju je duzan snositi sam ukoliko je ona manja ili jednaka iznosu fransize.

Iznos fransize se odreduje u apsolutnom iznosu ili kao postotak iznosa osiguranja ili osigurane

vrijednosti. Postoje dvije vrste fransiza:

• obicna ili integralna fransiza- to je vrsta fransize kod koje osiguravatelj ne isplacuje

stete nize od fransize, ali ako je steta iznad visine fransize, osiguravatelj isplacuje stetu

u cjelokupnom iznosu kao da fransiza nije ni postojala.

• odbitna ili fransiza viska- kod nje ce osiguranje, ako je rijec o stetama koje premasuju

iznos fransize, platiti samo onaj dio koji premasuje iznos fransize.

2.4 Indeksacija police osiguranja zivota

Buduci da je zivotno osiguranje dugorocan ugovor, postoji rizik da po isteku osiguranja

ili po nastupu smrti osiguranika, vrijednost novca koji bi trebao biti isplacen ne odgovara

vrijednosti koju je imao u vrijeme sklapanja ugovora. Potrebno je omoguciti da premija koja

se uplacuje tijekom ugovorenog roka trajanja osiguranja kao i ugovorena osigurana svota u

trenutku isplate zadrzi svoju vrijednost u odnosu na rast cijena i inflaciju. Stoga ugovaratelj

osiguranja moze ugovoriti indeksaciju, odnosno uvecanje premije osiguranja svake godine za

odredeni ugovoreni postotak. Istodobno sa porastom premije raste i osigurana svota cime se

postize ocuvanje vrijednosti novca ulozenog tijekom trajanja osiguranja.

2.5 Reosiguranje, retrocesija

Reosiguranje (vidi [12]) je ugovor jednog osiguravatelja s drugim osiguravateljem (reosi-

guravatelj). Na temelju njega reosiguravatelj preuzima obvezu da osiguravatelju plati dio ili

cak sav iznos koji je on platio ili mora platiti osiguraniku, a osiguravatelj preuzima obvezu

da reosiguravatelju plati odredenu premiju razmjerno visini preuzetog rizika. Reosiguranje

se ugovara u slucaju kada osiguravatelj zeli s drugim osiguravateljem podijeliti krupne rizike.

8

Reosiguranje i osiguranje dva su odvojena i samostalna pravna odnosa pa se osiguranik u

slucaju nastanka stete ne moze obratiti direktno reosiguravatelju (u nekim drzavama propisi

dopustaju i tu mogucnost).

Retrocesija je daljnje ustupanje reosiguranja. Osiguravatelj moze i sam u vezi s poslovima

koje je primio u reosiguranje zakljuciti ugovor o reosiguranju s nekim drugim reosiguravate-

ljem. Tako nastaje niz reosiguranja ili retrocesija. O suosiguranju se radi kada je isti predmet

osiguran kod dva ili vise osiguravatelja koji su se sporazumjeli o zajednickom snosenju rizika.

Kod suosiguranja svaki osiguravatelj naznacen u polici odgovara za pun iznos naknade.

2.6 Fond polica

Fond polica obuhvaca zivotno osiguranje s izborom investicijskih fondova (vidjeti u [9]).

Namijenjeno je onima koji zele biti u isto vrijeme zivotno osigurani i ostvarivati potencijalno

vise prinose na stedni dio svog osiguranja zivota. S fond policom odjednom se ostvaruju

dva bitna cilja: sa zivotnim osiguranjem brine se za socijalnu sigurnost, a s ulaganjem u

investicijske fondove ulaze se u vrijednost imovine.

Prednosti fond police:

1. Odabir strukture ulaganja i ostvarivanje visih prinosa

Fond polica omogucava da ulagac sam kreira svoj ulagacki portfelj ovisno o svojim

sklonostima riziku. Dugorocno se mogu ostvariti visi prinosi.

2. Odluka o visini osigurane svote

Osiguranik sam odlucuje koji dio ce se od premija odnositi na pokrice rizika, a koji dio

ce se ulagati u fondove koji se odaberu. U slucaju vise osigurane svote za slucaj smrti

veci dio premije koristi se za pokrice rizika, a manji dio premije za ulaganje, i obrnuto.

3. Fleksibilnost

Za vrijeme trajanja osiguranja, fond polica se moze prilagodavati osiguranikovim zivotnim

potrebama i ciljevima (promjena fondova, dodatne jednokratne uplate, promjena koris-

nika, isplata predujma u slucaju iznenadne potrebe za novcem, produljenje osiguranja,

povecanje ili smanjene premije, odnosno osigurane svote i sl.).

Fond polica perspektivnih vrijednosti je zivotno osiguranje koje je namijenjeno stednji u

posebnim investicijskim fondovima koji ulazu u zlato, srebro i ostale plemenite kovine i to u

njihovom fizickom obliku. Prednosti fond police perspektivnih vrijednosti su:

- transparentnost- prije zakljucivanja osiguranja jasno su odredeni svi posredni i nepo-

sredni troskovi koji se zaracunavaju za vrijeme trajanja osiguranja,

- mogucnost uporabe metode prosjecne kupovne cijene (”cost average effect”),

9

- prilagodavanje investicijske politike za vrijeme trajanja osiguranja,

- optimalna sigurnost cuvanja plemenitih kovina,

- kod obrocnog placanja premije s dopunskim osiguranjima moze se omoguciti dodatnu

socijalnu i financijsku sigurnost osiguraniku,

- mogucnost podizanja dijela ustedenih sredstava,

- mogucnost snizavanja premije kod obrocnog placanja,

- porezno povoljan oblik ulaganja u zlato, srebro i ostale plemenite, strateske i rijetke

metale,

- porezno povoljan oblik osiguranja i stednje.

Kod fond police perspektivnih vrijednosti moze se izabrati izmedu razlicitih investicijskih

fondova koji ulazu sredstva u dionice poduzeca koja se bave dobivanjem sirovina, odnosno

poduzeca koja cuvaju monetarno i strateski znacajne plemenite kovine u fizickom obliku.

Nakon isteka prve godine osiguranja moze se investicijski izbor prosiriti i na druga ulaganja

iz brojne ponude osiguravajuceg drustva.

2.7 Sto u slucaju nemogucnosti placanja premije?

Pri ugovaranju osiguranja treba voditi racuna o visini ugovorene premije jer u suprotnom

ona moze postati nezeljeni teret. Sastavljanje i kupnja police nema smisla ukoliko se razmislja

unaprijed sto ce biti ako se polica prekine. Prekid police se ne isplati ni u jednom slucaju,

iako postoje opcije da se dobije ulozeni ili veci dio novca ukoliko se polica prekine prije isteka

(vidi [13]). U vecini slucajeva ako se odustane u roku kracem od tri godine, osiguranik gubi

sve sto je uplatio. Ako se ugovorena premija vise ne moze placati, opcije umjesto potpunog

prekida osiguranja su sljedece:

1. Smanjenje premije sto rezultira i smanjenjem osiguranog iznosa.

2. Produljenje trajanja osiguranja, kako bi smanjili iznos premije koju se mora placati uz

zadrzanje iste osigurane svote.

3. Promjena nacina placanja premije (mjesecno, tromjesecno, polugodisnje, godisnje).

4. Kapitalizacija police, sto znaci da se na temelju svih uplacenih premija osiguranja

formira novi, umanjeni iznos osigurane svote. U tom slucaju osiguranik nema obvezu

daljnjeg placanja premije osiguranja sve do ugovorenog isteka osiguranja, a polica

ostaje aktivna uz smanjenu osiguranu svotu. Kapitalizacija osiguranja zivota moguca

10

je ako su od pocetka osiguranja protekle najmanje 2 ili 3 godine (ovisno o trajanju

police osiguranja zivota) i ako su za to razdoblje placene sve dospjele premije.

5. Stavljanje police u mirovanje na nacin i uz ogranicenja kako je to definirano uvjetima

osiguranja (obicno je najdulje moguce trajanje mirovanja 12 mjeseci). Osiguranik

je osiguran na svotu koju je do tada uplatio. Nakon mirovanja se moze nastaviti

uplacivati. Osiguravatelj nema obvezu odobriti mirovanje police osiguranja.

Ukoliko je nemogucnost placanja premije trajna, onda se ugovaratelju osiguranja isplacuje

otkupna vrijednost police ili se polica kapitalizira i osiguranik je tada do isteka trajanja osi-

guranja osiguran kapitaliziranom osiguranom svotom uz ukidanje svih dopunskih osiguranja

po polici. Otkup se vrsi temeljem Tablice otkupnih vrijednosti. On je moguc tek kada su

zadovoljeni uvjeti za otkupom prema uvjetima koje osiguranici primaju po sklapanju osi-

guranja zivota. Otkup je prekid osiguranja uz isplatu stednog dijela police umanjenog za

troskove. Kod otkupa je bitno da se isplacuje otkupna vrijednost police, a ne uplacena

premija ili osigurani iznos. Otkupna vrijednost se izracunava na osnovu ponudene osigu-

ravateljne zastite i pripadajucih troskova prema vazecim propisima i tehnickim osnovama

osiguranja. U nekim slucajevima se ne isplati otkupiti osiguranje. Prema izracunu otkupa

moze biti nepovoljan za osiguranika, posebno u prvoj polovini trajanja osiguranja. Prilikom

otkupa police potrebno je priloziti: potvrdu nadlezne porezne uprave o koristenju porezne

olaksice na ime uplacenih premija zivotnog osiguranja, popunjeni zahtjev za otkup police,

original police zivotnog osiguranja. Bolja solucija je kapitalizacija.

Polica zivotnog osiguranja je vrijednosni papir s funkcijom zaloga, instrumenta osiguranja

kredita (vinkulira se u korist banke) i otkupne vrijednosti temeljem koje osiguravatelj moze

odobriti i isplatu pozajmice ili predujma ugovaratelju osiguranja. Zalaganje police osiguranja

ima ucinak prema osiguravatelju samo ako je on pismeno obavijesten da je polica zalozena

odredenom vjerovniku. Pozajmica (predujam) iz police zivotnog osiguranja omogucava da se

od osiguravajuce kuce temeljem ugovorene police posudi odredeni iznos, a da se pritom i dalje

bude osiguran i da se ne odustane od police osiguranja. Iznos koji se moze posuditi ne moze

biti veci od trenutne visine otkupne vrijednosti. U vecini slucajeva pravo na predujam se

moze steci ako je od pocetka osiguranja proteklo najmanje dvije godine. Najvazniji preduvjet

za pozajmicu je da su sve premije uredno placene.

2.8 Prednosti i nedostatci police zivotnog osiguranja

Pitanje je sto se dobiva, a sto gubi policom zivotnog osiguranja? Potreba za zivotnim

osiguranjem vise nije luksuz, nego je neophodna. Polica osiguranja za osiguranika predstavlja

jednu vrstu ugovora kojom je kao osoba osiguran, tj. njegove vrijednosti (nekretnine, vozila

i slicno) su osigurane u slucaju nezgode, stete, ozljede ili nesrece. Jedan od razloga zbog

11

kojih se netko odluci kupiti policu zivotnog osiguranja je nada da ce po isteku police imati

ustedeni odredeni iznos s kojim ce mirno uci u trecu zivotnu dob. Zivotno osiguranje je

ulaganje s najvecom dobiti jer je zivot neprocjenjiv, a zivotnim osiguranjem se ostvaruju

pogodnosti stednje i zastite. Ono sadrzi vrijednosti koje mogu osigurati ljepsu, stabilniju i

sigurniju buducnost. Ako je netko zainteresiran za vise polica koje bi pokrile recimo imovinu,

vozila i obitelj, onda se mora gledati na to koliko se moze odvajati za uplacivanje vise polica.

Treba biti siguran u svoje mogucnosti, tada po listi prioriteta odrediti koliki se mjesecni

(polugodisnji, godisnji) izdatak moze dati za police osiguranja.

Treba biti oprezan i dobro prouciti opce uvjete police osiguranja. Njih potpisuju osi-

guranik i osiguravajuca kuca te taj ugovor govori o pravima i obavezama obje strane. On

zahtijeva detaljno i pozorno citanje svake tocke zato sto nedovoljno poznavanje moze dovesti

do neugodnih situacija za vrijeme trajanja police i u trenutku isteka. Nakon sto se ugovor

potpise nema promjena ili dogovaranja oko pojedinih tocki i svaka se tocka ugovora mora

postovati. Kao i svaki ugovor, i ovaj ima tocke koje mogu ostetiti osiguranika ukoliko se

odluci drugacije napraviti sa svojom policom i zbog toga mora biti upoznat sa stanjima

koje te odluke mogu donijeti. To ne znaci da svaka osiguravajuca kuca pokusava prevariti,

nego da imaju nacine kako zastititi pored svega i svoje interese ukoliko dode do promjene

u stadiju otplacivanja police. Svaki iskusni i iskreni agent ili zastupnik bi trebao upozoriti

svog klijenta na mogucnost financijske dobiti ili gubitka, te svaki klijent (osiguranik) ima

pravo znati spomenutu informaciju prije potpisivanja ugovora. Mnogi ni ne znaju sto su pot-

pisali pravdajuci se sigurnijim zivotom i stednjom. U programima osiguravajucih kuca ne

postoji program ”brze zarade”. Pojedini neiskusni agenti i zastupnici pokusavaju pridobiti

klijente ukazujuci indirektno na program koji ce im u kratkom vremenskom roku omoguciti

financijsku dobit, no to nije moguce. Osiguravajuce kuce omogucuju financijsku dobit na

pojedinim policama, ali to je moguce samo u dugorocnoj suradnji klijenta i kuce osiguranja.

Te programe kao takve treba prihvatiti jer postoji mogucnost dobiti vise od uplacenog, tj.

uplacenu sumu plus dobit, ali postoji i mogucnost gubitka. Za svaku policu koju se planira

napraviti treba provjeriti sve prednosti i mane osiguravajuce kuce tako da se bude siguran u

sto se ulaze i kome se daje novac na raspolaganje. Osiguranje je dobar stari zanat kojeg su

poznavali i stari Kinezi kada su prevozili robu camcima preko rijeka. Kada bi se neki camac

prevrnuo gazdi bi namirili stetu robom iz camaca koji su stigli na cilj. Tu se javila ideja o

osiguranju robe. Kako se do danas taj posao razvio vidljivo je iz svjetlecih reklama i viso-

kih staklenih zgrada osiguravajucih drustava koje nas okruzuju. Kupovina police zivotnog

osiguranja se moze usporediti s kupovinom macka u vreci. Izraz ”macak u vreci” potjece

od uspomene na prijevaru na sajmovima iz 18. stoljeca. Male svinje bile su dovedene na

sajam zatvorene u vreci. Varalica bi cesto u vrecu stavio macku umjesto male svinje i tako

prevario kupca.

12

Postavlja se pitanje zbog cega je netko kupio policu osiguranja, zbog stednje, osiguranja

zivota ili nekog treceg razloga? Poznato je da su mnogi ljudi kupili policu zivotnog osi-

guranja u zamjenu za jednog jamca za stambeni kredit. Cinjenica je da su mnogi vlasnici

polica, ubrzo nakon uvida u izracune, izracun o otkupu police i izracun o ukupnom dobitku

po njenom isteku, raskinuli ugovor bez obzira na vec ostvareni gubitak novca. Suvremenom

covjeku novac je vazan i gubitak novca moze biti frustrirajuci. Kod osiguravajucih kuca pre-

poruke medu klijentima i zastupnicima su jedan od najvaznijih cimbenika, jer odreduju broj

klijenata pojedinog zastupnika. Zastupnicka kuca pridaje najvecu vaznost ovom cimbeniku

jer vecina klijenata koji zele police osiguranja dolaze putem preporuke ili se radi o ”starim”

klijentima kojima je polica osiguranja istekla pa zele produziti ili uzeti noviju. Na temelju

broja preporuka moze se zakljuciti kvaliteta usluge i odnos prema osiguranicima tako da bi

trebalo prije odabira osiguravajuce kuce obratiti paznju i na taj detalj.

Prije potpisivanja ugovora police osiguranja, treba obratiti paznju na porez na isplatu

koji se vecinom ne spominje kod prezentiranja police. Postoje detalji opcih uvjeta koji go-

vore o dodavanju porezne obveze osiguranika kod isteka, odnosno isplate police osiguranja.

Osiguranik je obvezan na isteku police platiti porez na dobivenu novcanu sumu te na taj

nacin ne dobiva sumu novaca koja mu je ugovorom obecana, vec umanjenu za iznos poreza.

Mnoge police zivotnog osiguranja imaju dva dijela i to stedni dio koji obuhvaca i osigu-

ranje i stednju i drugi dio koji se odnosi samo na osiguranje, npr. za boravak u bolnici.

Lijecnicka komisija procjenjuje koji je uzrok boravka u bolnici, ako on nije uzrokovan nesret-

nim slucajem, tada se ne dobiva novac. Kategorija osiguranja boravak u bolnici ne ubraja

se u stedni dio i do tada uplaceni novac u tu svrhu se moze smatrati izgubljenim.

Mnogi vlasnici polica zivotnog osiguranja vjeruju kako ce po njenom isteku imati odredeni

iznos novca s kojim ce moci raspolagati. To je istina, ali je pitanje kolika ce biti vrijednost

tog novca po isteku police uz postojecu inflaciju i stalno opadanje vrijednosti novca?

Slijedi objasnjenje koristenjem statistickih podataka iz MMF– a, Medunarodnog monetarnog

fonda. Jedan dolar iz 1913. godine danas bi vrijedio oko 22 dolara njegove vrijednosti.

Devalvacija u roku od oko 100 godina je sljedeca: 22 000 dolara za 100 godina imat ce

vrijednost oko danasnjih 1000 dolara uz uvjet da inflacija ostane ista.

Ako osoba ulaze 500 eura godisnje u zivotno osiguranje i ustraje li u tome u narednih 30

godina, nakon isteka osiguranja moze racunati na isplatu priblizno 30 000 eura. Ulaze

li osoba 500 eura u zivotno osiguranje u kombinaciji s ulaganjem u investicijske fondove,

tj. fond polica zivotnog osiguranja, iznos za isplatu bi mogao narasti na priblizno 52 000

eura. Takvom policom zivotnog osiguranja povezanog s ulaganjima u investicijske fondove

osoba ima visestruke koristi jer ulaze i na trzistu kapitala i ostvaruje pravo na prinose u

investicijskim fondovima. Fleksibilnost ulaganja, porezne olaksice i stedna komponenta cine

taj produkt zanimljivim. U slucaju smrti isplacuje se ugovorena osigurana svota za slucaj

13

smrti ili, ukoliko je veca, vrijednost udjela u investicijskom portfelju. U slucaju dozivljenja

isplacuje se vrijednost udjela u investicijskom portfelju. Ugovaratelj osiguranja sam snosi

rizik ulaganja.

2.9 Hrvatska agencija za nadzor financijskih usluga

U Republici Hrvatskoj postoji 26 osiguravajucih drustava, od cega njih 15 u svojim po-

nudama ima i zivotna osiguranja. Osiguravajuca drustva s najvecim udjelom na trzistu su

Allianz Zagreb d.d. i Croatia osiguranje d.d. (vidjeti u [8]).

Hrvatski ured za osiguranje (HUO) je neprofitna pravna osoba koja u pravnom prometu s

trecim osobama predstavlja udruzenje drustava za osiguranje sa sjedistem u Republici Hrvat-

skoj. Trziste osiguranja u Republici Hrvatskoj, kao i djelokrug i nadleznost Hrvatske agencije

za nadzor financijskih usluga (Hanfe) u tom podrucju, uredeno je Zakonom o osiguranju,

Zakonom o obveznim osiguranjima u prometu te pripadajucim podzakonskim aktima. Hanfa

je osnovana 2005. godine spajanjem triju postojecih nadzornih institucija: Komisije za vri-

jednosne papire, Agencije za nadzor mirovinskih fondova i osiguranja te Direkcije za nadzor

drustava za osiguranje. Hanfa provodi nadzor trzista osiguranja, tj. zakonitosti poslova-

nja subjekata nadzora, radi odrzavanja ucinkovitog, sigurnog i stabilnog trzista osiguranja

s ciljem zastite interesa osiguranika (tj. korisnika osiguranja) te pridonosi stabilnosti finan-

cijskog sustava. Osim nadzora nad drustvima za osiguranje i reosiguranje, Hanfa provodi

i nadzor nad pravnim i fizickim osobama koje obavljaju poslove zastupanja u osiguranju,

posredovanja u osiguranju i reosiguranju te Hrvatskim uredom za osiguranje. Po zadovo-

ljenim uvjetima propisanim zakonskim i podzakonskim aktima, Hanfa izdaje i ovlastenje za

obavljanje poslova ovlastenog aktuara.

Aktuar je strucnjak koji se bavi problemima financijske neizvjesnosti i rizika koristeci ma-

tematicke metode teorije vjerojatnosti, statistike, financijske i aktuarske matematike. Posao

aktuara za projekciju buducih dogadaja ukljucuje analizu podataka iz proslosti, razvoj mo-

dela i procjenu postojecih rizika. Primarna zadaca aktuara je odrzati solventnost (sposobnost

podmirivanja obveza) i profitabilnost osiguravatelja. Imovina koju osiguravatelj posjeduje

mora biti dovoljna za obveze koje se mogu javiti, a premije koje placa osiguranik moraju biti

dovoljne da pokriju naknade koje ce mu biti isplacene nakon smrti ili isteka ugovora.

14

3. Vrste zivotnih osiguranja

U ovom poglavlju razmotrit ce se formule za oblike zivotnih osiguranja. Osiguranje

zivota (osiguranje za slucaj smrti) je obveza da se odredenu svotu novca isplati nakon smrti

osigurane osobe, a u praksi ta isplata dospijeva odmah poslije smrti.

3.1 Dozivotno osiguranje zivota (Whole life insurance)

Pretpostavka je da je osoba sada u dobi x. Neka je u slucaju smrti u dobnom intervalu

[x + t, x + t + 1〉 naknada 1 i isplacuje se na kraju godine u kojoj je nastupila smrt, tj. u

trenutku x+ t+ 1. Vjerojatnost smrti u tom intervalu je

t/1qx =lx+t − lx+t+1

lx=dx+t

lx,

gdje su velicine:

lx- broj osoba koje su dozivjele dob x,

lx+t- broj osoba koje su dozivjele dob x+ t,

lx+t+1- broj osoba koje su dozivjele dob x+ t+ 1,

dx+t- broj osoba koje su preminule u intervalu [x+ t, x+ t+ 1〉,a nalaze se u odgovarajucim tablicama dozivljenja odnosno smrtnosti (vidi [1]).

Ako smrt nastupi izmedu dobi x+ t i x+ t+ 1, sadasnja vrijednost obveza osiguravatelja

je dx+t

lx· vt+1 · 1.

Stoga je ukupna sadasnja vrijednost obaveze osiguravajuceg drustva

Ax =ω−x∑t=0

vt+1 · t/1qx =ω−x∑t=0

vt+1 · dx+t

lx=

1

vxlx

ω−x∑t=0

vx+t+1 · dx+t . (3.1.1)

Definiraju se nove zamjenske (komutacijske) funkcije

Cx = vx+1 · dx,

Mx = Cx + Cx+1 + · · ·+ Cω−1 =ω−1∑k=x

Ck,

(Mx predstavlja zbroj diskontiranih brojeva umrlih osoba Cx = vx+1 · dx u dobi x.)

Dx = vxlx,

pa iz njih slijedi

Ax =Mx

Dx

. (3.1.2)

15

Zasto se gore ovo zbraja moze se obrazloziti ”heuristicki”

lxAx = vdx + v2dx+1 + . . . / · vx

DxAx = Cx + Cx+1 + . . .

Dozivotno osiguranje zivota je takvo osiguranje kod kojega se osigurana glavnica C isplacuje

poslije smrti osiguranika bez obzira na to kada smrt nastupi. Glavnica se isplacuje osobi

koja je odredena za primitak osigurane svote. Jednokratna premija za takvo osiguranje dana

je formulom:

C · Ax = C · Mx

Dx

.

Primjer 3.1. Izracunajte iznos koji osiguranik u dobi 50 mora uplatiti pri sklapanju dozivotnog

osiguranja u zamjenu za isplatu glavnice C=80 000 eura na kraju godine u kojoj smrt osigu-

ranika nastupi (koristite tablicu LAT A1967-70, i = 4%).

Rjesenje: x = 50, C = 80000, Ax =?

Koristimo prethodne formule i odgovarajuce vrijednosti tablice smrtnosti LAT A1967-70 za

godisnju kamatnu stopu i = 0.04 = 4% koje su dane u Prilogu A.

C · A50 = C · M50

D50

= 80000 · 1767.5555

4597.0607= 30759.75046 .

Pri sklapanju ugovora po navedenim uvjetima obveza osiguranika je uplata jednokratne neto

premije u iznosu priblizno 30760 eura.

3.2 Osiguranje zivota na odredeno vrijeme (Term life insurance)

Osiguranje zivota na odredeno vrijeme je takvo osiguranje kod kojega se glavnica C

isplacuje samo onda ako osiguranik umre unutar nekog unaprijed odredenog roka, npr. od

n godina. Sadasnja vrijednost obaveze osiguravajuceg drustva1 kada je osigurani iznos 1 je

(vidi [1]):

A1x:n =

n−1∑t=0

vt+1 · t/1qx =Mx −Mx+n

Dx

. (3.2.1)

Odatle slijedi ACx:n

= C · Mx−Mx+n

Dx.

Primjer 3.2. Izracunajte iznos koji osiguranik u dobi 50 mora uplatiti pri sklapanju police

zivotnog osiguranja na rok od 30 godina, u zamjenu za isplatu C=80 000 eura na kraju godine

u kojoj smrt osiguranika nastupi (LAT A1967-70, i = 4%).

1 ”1” iznad x znaci da ce se iznos osigurane svote (1) isplatiti ako smrt nastupi prije isteka periodaosiguranja.

16

Rjesenje:

A8000050:30| = C · A1

50:30| = 80000 · M50 −M80

D50

= 80000 · 1767.5555− 422.09271

4597.0607= 23414.31411 .

Postoji mogucnost da osiguranik nikad ne dobije osigurani iznos od 80 000 eura, a to ce se

dogoditi ako dozivi 80 godina. Stoga je i iznos koji treba uplatiti pri sklapanju osiguranja

manji nego u prethodnom primjeru.

3.3 Osiguranje dozivljenja (Pure endowment)

Osiguranje dozivljenja sastoji se od jednokratne isplate na odredeni datum u buducnosti.

Neka je ugovoreni period n godina, a osiguranik u tom trenutku mora biti ziv. Sadasnja

vrijednost takvog osiguranja (jednokratna neto premija2) je (vidi [1]):

A 1x:n = 1 · vn · npx = vn

lx+n

lx, (3.3.1)

gdje je velicina npx uvjetna vjerojatnost da ce osiguranik dozivjeti dob x+ n uz uvjet da je

sada u dobi x.

Da bi se uvela zamjenska funkcija Dx = vxlx, prethodna jednakost se zapisuje kao

A 1x:n =

vx+nlx+n

vxlx.

Slijedi, pomocu zamjenske funkcije:

A 1x:n =

Dx+n

Dx

. (3.3.2)

Primjer 3.3. Izracunajte iznos koji osiguranik u dobi 50 mora uplatiti za 30-godisnje osi-

guranje dozivljenja u iznosu C=80 000 eura (LAT A1967-70, i = 4%).

Rjesenje: A 8000050: 30 = C · A 1

50: 30 = 80000 · D80

D50= 9454.687079 .

3.4 Mjesovito osiguranje zivota i dozivljenja (Endowment)

Mjesovito osiguranje je privremeno osiguranje zivota u vremenu od dobi x do dobi x+n

i osiguranje dozivljenja dobi x+ n. Za osigurani iznos 1 u oba slucaja vrijedi:

Ax:n = A1x:n + A 1

x:n =Mx −Mx+n +Dx+n

Dx

. (3.4.1)

2 ”1” iznad n oznacava da ce osigurana svota (u iznosu 1) biti isplacena ako period osiguranja od ngodina prode prije negoli dode smrt.

17

Za osigurani iznos C u oba slucaja treba uplatiti jednokratnu premiju:

C · Ax:n = C · A1x:n + C · A 1

x:n = C · Mx −Mx+n +Dx+n

Dx

.

Kod ovog mjesovitog osiguranja osiguravatelj je u svakom slucaju duzan isplatiti osiguranu

svotu bilo da osiguranik dozivi dob x+n ili da ne dozivi dob x+n. To je mjesovito osiguranje

za isplatu jedne svote.

Ugovor o mjesovitom osiguranju moze biti formuliran na nacin da postoji mogucnost isplate

dviju osiguranih svota. Osiguraniku se isplacuje svota u slucaju da dozivi dob x + n i

njegovim nasljednicima se isplacuje ugovorena svota poslije njegove smrti. Ovakvo mjesovito

osiguranje je kombinacija dozivotnog osiguranja zivota i osiguranja dozivljenja dobi x + n.

Jednokratna premija za takvo osiguranje je:

C · Ax:n = C · Mx +Dx+n

Dx

.

Primjer 3.4. Osoba u dobi 40 godina zakljuci 20-godisnje mjesovito osiguranje sa svotom za

slucaj smrti 10 000 eura i svotom za slucaj dozivljenja 8 000 eura. Treba odrediti jednokratnu

neto premiju koju osiguranik mora platiti pri sklapanju ugovora (LAT A1967-70, i = 4%).

Rjesenje:

A40:20| = 10000 · A140:20| + 8000 · A 1

40: 20

= 10000 · M40 −M60

D40

+ 8000 · D60

D40

= 3888.77314 .

3.5 Odgodeno osiguranje

Isplata osigurane svote kod odgodenog zivotnog osiguranja za k godina ce se ostvariti samo

ako osiguranik prezivi tih k godina.

Dozivotno osiguranje zivota s odgodom k godina znaci da se promatra dob osiguranika

od x + k pa sve do smrti, i bez obzira kada smrt nastupi nakon x + k, osigurana svota u

iznosu 1 isplacuje se korisniku osiguranja. Sadasnja vrijednost tog osiguranja je

k|Ax =Mx+k

Dx

, (3.5.1)

gdje je zamjenska funkcija Mx+k = Cx+k + · · ·+ Cω−1 .

Ako je osiguranje odgodeno za k godina, ali za iznos C, onda je jednokratna premija odredena

formulom:

C · k|Ax = C · Mx+k

Dx

.

18

Za privremeno osiguranje zivota, tj. na odredeno vrijeme od n godina s odgodom k

godina, sadasnja vrijednost za iznos 1 je:

k|A1x:n =

Mx+k −Mx+k+n

Dx

. (3.5.2)

Ako je osiguranje zivota za iznos C odgodeno za k godina, onda je jednokratna premija

odredena formulom:

k|ACx:n = C · Mx+k −Mx+k+n

Dx

.

19

4. Zivotne rente

Zivotna renta je opcenito niz isplata u jednakim vremenskim intervalima cija isplata je

uvjetovana dozivljenjem osigurane osobe.

Rente mogu biti dozivotne ili privremene, neposredne ili odgodene, prenumerando (plative

unaprijed, tj. na pocetku intervala (eng. annuity-due)) ili postnumerando (plative una-

trag, tj. na kraju intervala (eng. immediate annuity)). Mogu se isplacivati u jednakim ili

nejednakim vremenskim intervalima (u godisnjim, ispodgodisnjim ratama ili kontinuirano).

Iznos koji se isplacuje moze biti konstantan ili varijabilan. Ako je konstantan, dovoljno je

izvesti izraz za sadasnju vrijednost rente koja se isplacuje u iznosu 1, a ostale vrijednosti su

proporcionalne. Fiksiramo kao vremensku jedinicu jednu godinu.

4.1 Neposredne dozivotne rente

Neposredna dozivotna osobna renta (eng. whole life annuity) pocinje vrijediti od datuma

potpisivanja ugovora o osiguranju do smrti osiguranika. Ona se moze isplacivati na pocetku

godine (prenumerando renta) ili na kraju godine (postnumerando renta). Odrediti sadasnju

vrijednost te rente znaci naci iznos koji bi osoba u dobi x morala uplatiti pri sklapanju police

osiguranja da bi joj osiguravatelj mogao isplacivati rentu do kraja zivota.

Neka ax oznacava sadasnju vrijednost (vrijednost u trenutku x) neposredne dozivotne

godisnje rente u iznosu 1, plative unatrag (postnumerando). Tada je

ax = A 1x: 1 + A 1

x: 2 + A 1x: 3 + · · ·+ A 1

x:ω−x

Odatle i iz (3.3.2) slijedi

ax =ω−x∑t=1

A 1x: t =

ω−x∑t=1

Dx+t

Dx

=1

Dx

(Dx+1 +Dx+2 + · · ·+Dω−1)

(suma zapravo ide do ω − x − 1 jer je Dω = vωlω = 0). Uvodi se nova zamjenska funkcija

Nx kao

Nx =ω−1∑t=0

Dx+t = Dx +Dx+1 + · · ·+Dω−1 =ω−1∑k=x

Dk,

(Nx predstavlja zbroj diskontiranih brojeva zivih osoba Dx = vx · lx u dobi x.)

te se moze pisati

ax =Nx+1

Dx

. (4.1.1)

Sadasnja vrijednost neposredne dozivotne godisnje prenumerando rente je

ax = 1 + ax = 1 +Nx+1

Dx

=Dx +Nx+1

Dx

=Nx

Dx

. (4.1.2)

Vrijednosti Nx su tabelirane. Uocimo da je Nx+1 +Dx = Nx, Nω−1 = Dω−1 (Nω = 0).

20

4.2 Neposredne privremene rente

Privremena osobna renta vrijedi samo kroz unaprijed odredeno vrijeme, najdulje do

smrti osiguranika ako smrt prije nastupi. Ako se radi o neposrednim privremenim (eng.

temporary life annuities) godisnjim postnumerando rentama s iznosima isplate 1 cije placanje

prestaje nakon n godina (ili ranije ako osiguranik umre), onda je sadasnja vrijednost rente

ax:n = A 1x: 1 +A 1

x: 2 +A 1x: 3 + · · ·+A 1

x:n =Dx+1

Dx

+Dx+2

Dx

+ · · ·+Dx+n

Dx

=Nx+1 −Nx+n+1

Dx

,

(4.2.1)

a u prenumerando slucaju je

ax:n = 1 + ax:n−1| =Dx

Dx

+Nx+1 −Nx+n

Dx

=Nx −Nx+n

Dx

. (4.2.2)

4.3 Odgodene dozivotne rente

Polica odgodene dozivotne rente (eng. deferred whole life annuity) moze se ugovoriti za

slucaj kada uplate osobnih renti pocinju stizati za k godina pa sve do osiguranikove smrti.

Odgodena dozivotna godisnja postnumerando renta s rokom odgode k godina (u godisnjem

iznosu 1) je

k|ax = ax − ax:k =Nx+1

Dx

− Nx+1 −Nx+k+1

Dx

=Nx+k+1

Dx

. (4.3.1)

Takoder, za odgodenu dozivotnu godisnju prenumerando rentu s rokom odgode k godina je

k|ax = ax − ax:k =Nx+k

Dx

. (4.3.2)

4.4 Odgodene privremene rente

Isplata odgodene privremene rente (eng. deferred temporary life annuity), ugovorene u

dobi x, krece u dobi x+ k i traje do dobi x+ k + n. Radi se o renti u trajanju od n godina

s odgodom k godina. Sadasnja vrijednost za prenumerando slucaj je

k|nax = ax:k+n| − ax:k =Nx+k −Nx+k+n

Dx

. (4.4.1)

Za n = 1 vrijedi:

k|1ax =Nx+k −Nx+k+1

Dx

=Dx+k

Dx

= A 1x: k ,

kako i treba biti, jer k|1ax znaci upravo to: isplatu u iznosu 1, u dobi x+ k za osobu sada u

dobi x. Za slucaj postnumerando jedinicne rente analogno se dobiva:

k|nax = ax:k+n| − ax:k =Nx+k+1 −Nx+k+n+1

Dx

. (4.4.2)

21

4.5 Zivotne rente koje se isplacuju m puta godisnje

Isplate renti cesce se vrse kvartalno i mjesecno, nego godisnje.

Neka je m prirodan broj. Promatra se dozivotna postnumerando renta u godisnjem iznosu

1 koja se placa u iznosima 1m

. Ti iznosi dospijevaju u dobi osiguranika

x+1

m,x+

2

m, · · · , x+ 1, x+ 1 +

1

m, · · · .

Diskontni faktor za period duljine 1m

je v1m , a vjerojatnost dozivljene dobi x + 1

mza osobu

sada u dobi x je 1mpx pa je sadasnja vrijednost prve isplate 1

m· v 1

m · 1mpx . Ukupna sadasnja

vrijednost ove rente je

a(m)x =

1

m

∞∑t=1

vtm · t

mpx =

1

m

∞∑t=1

vtm ·

lx+ tm

lx=

1

m

∞∑t=1

Dx+ tm

Dx

.

Sadasnja vrijednost odgovarajuce prenumerando rente je

a(m)x =

1

m

∞∑t=0

Dx+ tm

Dx

, jer je a(m)x =

1

m+ a(m)

x .

Slicnim zakljucivanjem se dobiju formule za privremene rente koje se isplacuju m puta

godisnje. Ako je ugovorom odredeno da ce se renta isplacivati kroz n godina, tada ukupno

ima najvise nm isplata.

a(m)

x:n=

1

m

nm∑t=1

Dx+ tm

Dx

,

a(m)

x:n=

1

m

nm−1∑t=0

Dx+ tm

Dx

,

a(m)

x:n− a(m)

x:n=

1

m− 1

m

Dx+n

Dx

=1

m

(1− Dx+n

Dx

).

Prenumerando rente su skuplje.

Problem je u odredivanju vrijednosti Dx+ tm

. To se radi samo priblizno, a aproksimacija

se zasniva na Woolhousevoj formuli (vidi [1]).

Dobivaju se formule:

a(m)x ≈ ax +

m− 1

2m,

a(m)x ≈ ax −

m− 1

2m,

a(m)

x:n≈ ax:n +

m− 1

2m

(1− Dx+n

Dx

),

a(m)

x:n≈ ax:n −

m− 1

2m

(1− Dx+n

Dx

).

22

5. Premije

Tri su nacina placanja premija. Sadasnja vrijednost iznosa obaveze isplate od strane

osiguravajuceg drustva se naziva i jednokratna neto premija. Rijetko se premija placa u

cijelosti jednokratno, a iznimka su neposredne rente. U tom slucaju osiguravajuca kuca

mora osigurati sredstva za isplatu jer isplata neposrednih renti pocinje odmah po sklapa-

nju ugovora. Kod osiguranja zivota, osiguranja dozivljenja ili odgodenih renti premije se

obicno placaju u pravilnim vremenskim razmacima u jednakim iznosima, ali uvijek unapri-

jed, tj. prenumerando (pocetkom godine, polugodista, kvartala ili mjeseca). Treci nacin je

periodicno placanje premija u razlicitim iznosima i to je rijetko.

5.1 Neto premije

Izracun neto premije zasniva se na sljedecoj jednadzbi vrijednosti:

ocekivana sadasnja vrijednost svih neto premija = ocekivana sadasnja vrijednost naknade.

5.1.1 Godisnje neto premije

Promatraju se godisnje neto premije Px koje osiguranik pocinje placati u dobi x.

a) Jednadzba vrijednosti za dozivotno osiguranje zivota za osobu u dobi x i godisnjom

premijom Px koja se placa unaprijed, a osigurani iznos je 1 plativ na kraju godine smrti

jeste

ax · Px = Ax .

Zbroj godisnjih uplata svih premija mora biti jednak svoti koja se isplacuje nakon smrti

osiguranika. Odatle se dobiva

Px =Ax

ax=

Mx

Dx

Nx

Dx

=Mx

Nx

. (5.1.1)

b) Neka se promatra osiguranje zivota na rok od n godina. Vrijedi P 1x:n· ax:n = A1

x:n.

P 1x:n =

A1x:n

ax:n

=Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

. (5.1.2)

c) Premija za mjesovito osiguranje na rok od n godina je

Px:n = P 1x:n + P 1

x:n =A1

x:n

ax:n

+A 1

x:n

ax:n

=Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

+

Dx+n

Dx

Nx−Nx+n

Dx

=Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

.

(5.1.3)

23

Ako se premije uplacuju kroz kraci vremenski period nego sto je trajanje osiguranja,

oznakama za premiju se dodaje prefiks t na nacin tPx koji ukazuje da se premija placa samo

kroz t godina. Godisnja premija u slucaju dozivotnog osiguranja zivota je

tPx · ax:t = Ax ⇒ tPx =Mx

Nx −Nx+t

,

a u slucaju osiguranja zivota na odredeno vrijeme

tP1x:n =

Mx −Mx+n

Nx −Nx+t

.

Ako se kod mjesovitog osiguranja premija placa samo u prvih t obroka, njen iznos je

tPx:n =Ax:n

ax:t

=Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+t

.

5.1.2 Ispodgodisnje premije

Premije se uglavnom uplacuju u obrocima cescim od godisnjih, tj. m puta godisnje.

Tada za dozivotno osiguranje zivota vrijedi

P (m)x =

Ax

a(m)x

,

a za privremeno osiguranje zivota

P1(m)

x:n=A1

x:n

a(m)

x:n

.

Za mjesovito osiguranje, osiguranikova obveza je uplata osiguravatelju godisnje m rata u

iznosu:

P(m)

x:n=Ax:n

a(m)

x:n

.

5.2 Bruto premije

Svi troskovi koji se u poslovanju mogu pojaviti moraju se uzeti u obzir kada osigura-

vajuce drustvo odreduje visinu premija za pojedino osiguranje. Bruto premija ukljucuje sve

troskove koje osiguravajuce drustvo moze imati u vezi s osiguranim slucajem. Oni se dijele

na pocetne troskove i troskove obnove. Troskovi obnove nastaju u drugoj godini i dalje se

protezu do kraja, zato se vrednuju kao postnumerando (ax). Obje vrste troskova mogu biti

dane u postotku necega ili u fiksnom iznosu.

Jednadzba vrijednosti za izracun bruto premije je:

ocekivana sadasnja vrijednost svih bruto premija =

ocekivana sadasnja vrijednost naknade (obaveze) + ocekivana sadasnja vrijednost troskova.

24

Pretpostavimo posebnu strukturu troskova koja je primjenjiva u mnogim situacijama u

praksi: k po jedinici svake bruto premije P ′′, c po jedinici osigurane svote, I dodatni pocetni

troskovi.

Dio troskova obnove su proporcionalni premiji (npr. k puta godisnja premija, 0 6 k 6 1),

dok drugi dio troskova obnove u konstantnom iznosu c nastaje na pocetku svake godine kad

se premija placa. Premije se placaju godisnje, prenumerando, tijekom n godina. Neka je A

sadasnja vrijednost naknade, a n beskonacan. Tada je jednadzba vrijednosti

P ′′ax = A+ kP ′′ax + cax + I︸ ︷︷ ︸sadasnja vrijednost troskova

,

gdje je sadasnja vrijednost naknade A = P ax, te P je neto godisnja premija.

Odatle slijedi

P ′′ax(1− k) = (P + c)ax + I,

odnosno

P ′′ =1

1− k

(P + c+

I

ax

), ako je n beskonacan. (5.2.1)

U slucaju kada je n konacan vrijedi

P ′′n =1

1− k

(Pn + c+

I

ax:n

). (5.2.2)

Svaki put kad je placena godisnja bruto premija P ′′n , vrijedi da troskove obnove pokriva jedan

dio te premije, kP ′′n + c . Ostaje

P ′′n − (kP ′′n + c) = (1− k)P ′′n − c = Pn +I

ax:n

.

I

ax:n

se moze interpretirati kao godisnja rata koja u seriji uplata pokriva pocetne troskove.

Sadasnja vrijednost tih uplata jeI

ax:n

ax:n = I. Slijedi zakljucak, svaka uplata godisnje bruto

premije u potpunosti pokriva neto premiju i troskove obnove za tu godinu, a dio koji preos-

taje ce s vremenom pokriti i pocetne troskove.

Razlika P ′′ − P naziva se opterecenje (loading).

25

6. Uvod u vrijednost police

U trenutku sklapanja ugovora o polici osiguranja sadasnja vrijednost naknade (koju

osiguravatelj ocekuje da ce isplatiti) je jednaka sadasnjoj vrijednosti premija (koje se ocekuju

da ce klijent uplatiti). Kako vrijeme prolazi, vrijednost premija koje tek trebaju biti uplacene

pada, a vrijednost naknade raste. Osiguravatelj zato u svom posjedu u svakom trenutku treba

drzati razliku sadasnje vrijednosti naknade i premije. Taj iznos se zove vrijednost police ili

rezerva (pricuva). Promatramo li osiguranje zivota i zanemarimo li troskove, govorit cemo o

neto premijskim rezervama (pricuvama). Da bi se shvatio pojam premijske rezerve, tj. fonda

osiguranika koji osiguravatelj formira iz primljenih premija osiguranika zbog izvrsavanja

svojih obveza, vazno je razlikovati: prirodnu premiju, riziko premiju, stednu premiju i riziko

osiguranu sumu (vidi [10]).

Osiguranje zivota s prirodnom premijom je osiguranje na jednu godinu i uvijek s razlicitom

premijom koja se izracunava na temelju dobi osiguranika. Tako je rizik smrti uvijek osiguran

za jednu godinu, pa se kaze da je prirodna premija riziko premija za jednu godinu, odnosno

premija za riziko osiguranja na jednu godinu. Ona je opravdana s matematickog stajalista, ali

u praksi se izracunava prosjecna premija koja je jednaka za cijelo vrijeme trajanja osiguranja.

Ona je uvijek izracunata za niz godina u konstantnom iznosu s dozivotnim ili privremenim

placanjem. Prosjecna premija je u prednosti nad prirodnom jer osiguranje zivota uvijek traje

duze od jedne godine. Prirodna premija je u prvim godinama osiguranja znacajno manja

od one u kasnijim godinama osiguranja, a prosjecna premija u odnosu na prirodnu je veca u

prvim, a manja u kasnijim godinama trajanja osiguranja. U cilju uspostavljanja ravnoteze

izmedu prirodnih i prosjecnih premija osiguravatelj izdvaja u prvim godinama od naplacenih

premija osiguranja zakljucenih po prosjecnoj premiji jedan dio premije (po principima teh-

nike osiguranja zivota) za kasnije godine, da bi iz tih izdvojenih sredstava formirao jedan

iznos za pokrice smrtnih slucajeva u narednim godinama. Taj iznos koji se svake godine

na opisani nacin formira iz sredstava naplacene premije naziva se ”Fond premijske rezerve

osiguranja zivota”. Obracunavanjem ovog fonda iz godine u godinu osiguravatelj smanjuje

svoju riziko osiguranu sumu, odnosno ”riziko osigurani kapital”.

Neto premija (P ) sastoji se iz:

1. Riziko premije (Pr),

2. Stedne premije (Ps).

Stedna ili rezervna premija je onaj dio premije koji se izdvaja iz godine u godinu iz

naplacene premije u fond koji sluzi za pokrice buducih obveza osiguravatelja. Riziko pre-

mija je razlika izmedu ukupne neto premije i stedne premije. Formiranjem stedne premije

26

osiguravatelj ne snosi vise rizik na cijelu osiguranu sumu, nego samo na razliku izmedu

osigurane sume i stedne premije. Razlika izmedu cijele osigurane sume i ukupne stedne

premije je riziko-osigurana suma ili riziko-kapital. Riziko premija je prirodna premija za

riziko-osigurani kapital. Osiguravatelj od naplacene neto premije koristi samo riziko premiju

za pokrice rizika, a stednu premiju odvaja na stednju uz kamatu, da bi ispunio svoje obveze

kad se za to ukaze potreba. Stoga je ukupna premijska rezerva u odredenom trenutku zbroj

do tog trenutka ukamacenih stednih premija. Ukupna rezerva na kraju godine t podijeljena

brojem polica tog trenutka na snazi zove se neto premijska rezerva po slucajno odabranoj

polici.

Primjer 6.1. Zamislimo 10 000 polica koje pocinju u isto vrijeme za osobe tocno u dobi 60

godina. Neka je rijec o mjesovitom osiguranju na rok od 5 godina, osigurana svota neka je

100 (plativa na kraju godine u kojoj osiguranik umre, odnosno po isteku ugovorenog perioda

u slucaju dozivljenja). Neka se premija uplacuje godisnje (prenumerando). Nadite godisnju

premiju po polici, te ukupnu premijsku rezervu i vrijednost police (rezervu po polici) na kraju

svake godine (LAT A1967-70 ultimate, i = 4%).

Rjesenje: Sa Px:n oznacimo neto vrijednost premije po polici. Izjednacavamo sadasnje

vrijednosti svih premija i naknada

Px:n · ax:n = C · Ax:n

Px:n ·Nx −Nx+n

Dx

= 100 · Mx −Mx+n +Dx+n

Dx

x = 60 , n = 5

P60:5| = 100 · M60 −M65 +D65

N60 −N65

= 100 · 1477.0842− 1258.7316 + 2144.1713

35841.261− 23021.434= 18.42867 .

Analizirajmo situaciju nakon tocno 1 godine (neposredno prije uplate 2. premije). Razlika

sadasnjih vrijednosti buducih naknada (obaveza osiguravatelja) i buducih premija (obaveza

osiguranika) je

100 · A61:4| − P60:5| · a61:4| = 100 · M61 −M65 +D65

D61

− 18.42867 · N61 −N65

D61

= 17.9821 .

Kako je osigurano 10000 osoba (od kojih je nakon 1 godine ostalo zivih 10000 · l61l60

onih koji ce

placati buduce premije i primati buduce naknade) osiguravatelj u rezervi mora imati ukupno

10000 · 17.9821 · l61l60

= 177225.7408 .

Nakon tocno 2 godine (neposredno prije uplate 3. premije) imamo analogno

10000(

100A62:3| − P60:5|a62:3|

) l62

l60

= 10000(

100M62 −M65 +D65

D62

− 18.42867N62 −N65

D62

) l62

l60

= 357424.4 .

27

Dakle, na kraju 2. godine u rezervi treba biti iznos 357424.4 . Dalje se analogno racuna,

da bi na kraju 5. godine u rezervi bilo 913544.46 koliko je potrebno za isplatu dozivljenja

ugovorenog iznosa 100 svakom od, prema tablici smrtnosti, ocekivanih 9135.44 prezivjelih

osiguranika (vidi tablicu).

S druge strane gledano, na pocetku 1. godine, naplaceno je 10000 · 18.42867 = 184286.7

(premije), i ukamaceno po stopi od 4%, tako da je to naraslo na 191658.2 . Na kraju3 1.

godine isplacena steta je 100 · d60l60· 10000 = 14432.46 i ostalo je 177225.74 . Dakle,

10000(P60:5| · (1 + 0.04)− 100

d60

l60

)= 177225.74,

upravo kolika je i potrebna rezerva na kraju 1. godine. Npr. na pocetku 2. godine naplati

se 10000 · l61l60· 18.42867 = 181627, sto s prethodnim iznosom od 177225.74, uz kamatnu

stopu od 4% na kraju 2. godine iznosi 373206.85 . Na kraju 2. godine za stetu se isplatilo

10000 · 100d61l60

= 15782.45 i akumulirani iznos je 357424.4 . Dakle vrijedi

10000 ·P60:5| ·(

(1 + 0.04)2 +l61

l60

(1 + 0.04))− 10000 · 100 ·

(d60

l60

(1 + 0.04) +d61

l60

)= 357424.4 .

godine

prispjelepremije napocetkugodine

naknadekrajemgodine

ukupnapremijaukamacenana krajugodine

ukupnaukamacenanaknada nakraju godine

ukupnarezervana krajugodine

brojdozivjelihna krajugodine

vrijednostjednepolicena krajugodine

1 184 286.7 14 432.46 191 658.2 14 432.46 177 225.74 9 855.68 17.982

2 181 627 15 782.45 388 216.61 30 792.21 357 424.4 9 697.85 36.856

3 178 718.5 17 213.41 589 612.58 49 237.31 540 375.27 9 525.72 56.728

4 175 546.3 18 722.45 795 765.23 69 929.25 725 835.98 9 338.49 77.725

5 172 096 20 304.78 1006 575.65 93 031.19 913 544.46 9 135.44 100.000

3 obicaj je da se u ovakvim racunima na ”kraju godine” zamisli trenutak neposredno po svim izvrsenimisplatama i prije svih uplata godisnje premije.

28

7. Neto metode izracunavanja premijske rezerve

Obracun premijske rezerve vrsi se krajem svake poslovne godine. Premijska rezerva u osigu-

ranju zivota moze se promatrati s nekoliko stajalista:

a) knjigovodstvena metoda- kao razlika izmedu osiguranikovih uplata i osiguravateljevih

isplata, uz pretpostavku da su sve dospjele uplate u obracunskoj godini naplacene i da

su sve isplate osiguravatelja izvrsene onako kako je to tablicama smrtnosti predvideno.

Dakle, premijska rezerva je razlika izmedu prihoda i rashoda u osiguranju zivota.

b) kao ukamaceni zbroj stednih, odnosno rezervnih premija. Dakle, premijska rezerva se

javlja kao posljedica prosjecne premije koja nuzno stvara visak. Kako je prosjecna pre-

mija u prvim godinama veca od prirodne, a u kasnijim manja, visak uplacene premije

se izdvaja iz godine u godinu da bi se od tih izdvojenih sredstava formirao fond koji

se u knjigovodstvu osiguravatelja javlja kao fond premijske rezerve osiguranja zivota.

On sluzi za osiguranje osiguravateljevih isplata u onim kasnijim godinama u kojima

su prosjecne premije, koje osiguranik placa, manje od stvarnih. Osiguravatelj ne moze

smatrati uplacene premije kao svoj prihod, vec je duzan to izdvojiti kao rezervu koja

ce posluziti za pokrice isplate u kasnijim godinama kada uplate ne budu dovoljne za

podmirenje tih potreba.

c) vremenski

1) razlika izmedu sadasnje vrijednosti svih buducih isplata osiguravatelja i sadasnje

vrijednosti svih buducih osiguranikovih uplata, pri cemu se pod sadasnjom vri-

jednoscu podrazumijeva vrijednost u trenutku za koji se izracunava premijska

rezerva (to je tzv. prospektivna rezerva).

2) razlika izmedu sadasnje vrijednosti svih dosadasnjih osiguranikovih uplata i sadasnje

vrijednosti svih dosadasnjih isplata osiguravatelja, gdje se pod sadasnjom vri-

jednoscu podrazumijeva vrijednost u trenutku za koji se izracunava premijska

rezerva (to je retrospektivna rezerva).

7.1 Prospektivna rezerva

Uvodi se simbol tVx koji predstavlja vrijednost police po osiguranoj osobi koja je ziva u

trenutku t. Prospektivna rezerva u trenutku t se dobije kao razlika sadasnjih vrijednosti svih

buducih isplata naknada u trenutku t i sadasnjih vrijednosti svih buducih uplata premija u

trenutku t (prospektivno= gledano unaprijed).

29

Prospektivna metoda racunanja rezervi:

(a) Dozivotno osiguranje zivota:

tVx = Ax+t − Px · ax+t

=Mx+t

Dx+t

− Mx

Nx

· Nx+t

Dx+t

.

(b) Privremeno osiguranje zivota:

tV1x:n = A1

x+t:n−t| − P1x:n · ax+t:n−t|

=Mx+t −Mx+n

Dx+t

− Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

.

(c) Mjesovito osiguranje:

tVx:n = Ax+t:n−t| − Px:n · ax+t:n−t|

= A1x+t:n−t| + A 1

x+t:n−t − Px:n · ax+t:n−t|

=Mx+t −Mx+n +Dx+n

Dx+t

− Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

.

Znamo da je Mx = vNx −Nx+1, pa dijeljenjem s Dx dobiva se formula

Ax =Mx

Dx

= vax − ax = vax − (ax − 1) = 1− (1− v)ax = 1− dax.

U slucaju (a) imamo

Px+d =Mx

Nx

+d =vNx −Nx+1

Nx

+dNx

Nx

=vNx −Nx+1 + (1− v)Nx

Nx

=Nx −Nx+1

Nx

=Dx

Nx

=1

ax,

tVx = 1− dax+t − Pxax+t = 1− (Px + d)ax+t ,

tVx = 1− ax+t

ax.

Slucaj (c)

Ax:n =Mx −Mx+n +Dx+n

Dx

=vNx −Nx+1 − vNx+n +Nx+n+1 +Nx+n −Nx+n+1

Dx

=v(Nx −Nx+n)

Dx

− Nx+1

Dx

+Nx+n

Dx

= vax:n − ax + n|ax

= vax:n − (ax − 1) + ax − ax:n = 1− (1− v)ax:n = 1− dax:n .

30

Kako je

Px:n + d =Mx −Mx+n +Dx+n + d(Nx −Nx+n)

Nx −Nx+n

=vNx −Nx+1 − vNx+n +Nx+n+1 + dNx − dNx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

=v(Nx −Nx+n) + (1− v)(Nx −Nx+n)−Nx+1 +Nx+n+1 +Dx+n

Nx −Nx+n

=Nx −Nx+1 −Nx+n +Nx+n+1 +Dx+n

Nx −Nx+n

=1

ax:n

,

vrijedi

tVx:n =Mx+t −Mx+n +Dx+n

Dx+t

− Px:n · ax+t:n−t| = 1− dax+t:n−t| − Px:n · ax+t:n−t|

= 1− (Px:n + d)ax+t:n−t| = 1−ax+t:n−t|

ax:n

.

Primjer 7.1. Osoba u dobi 60 ugovara dozivotno osiguranje zivota u iznosu 10 000 eura

i godisnju uplatu premija. Koliko iznosi prospektivna rezerva u dobi od 75 godina? (LAT

A1967-70, i = 4%)

Rjesenje: Trazena rezerva iznosi 10000 · 15V60.

U ovom primjeru iskoristimo formulu koju smo izveli za prospektivnu rezervu kod dozivotnog

osiguranja.

15V60 = 1− a75

a60

15V60 = 1−N75

D75

N60

D60

= 1− 7.288969

12.5512445= 0.41926325 .

Ukupna rezerva nakon 15 godina trajanja ugovora iznosi 4192.6325 eura.

Primjer 7.2. Godisnja premija koja je uplacena za desetogodisnju policu izdana je u zivotnoj

dobi od 40 godina i u vezi je sa zaduzenjem kuce kao hipoteke. Osigurana svota od 10 000

eura smanjuje se svake godine za 1 000 eura, osigurana svota bit ce otplacena u trenutku

smrti. Treba pronaci rezervu na kraju 5 godina. Smrtnost je LAT A1967-70, select, i = 4%.

Rjesenje: Tablice smrtnosti u kojima je posvecena paznja trajanju clanstva u grupi zovu se

tablice s odabirom (select)4. Nakon sto protekne period odabira (kad osiguranici potpadnu

pod opce pravilo) za zivot se kaze da je krajnji i koriste se krajnje (ultimate) tablice. Vrijedi

4 [x] znaci da se osoba prikljucila osiguranju u zivotnoj dobi x.

31

D[x]+t = Dx+t, odnosno N[x]+t = Nx+t, kad god je t > s, gdje je s period odabira.

Premija za policu je oznacena s P . Zamjenska funkcija Rx definira se kao

Rx = Mx +Mx+1 +Mx+2 + . . . .

PN[40] −N50

D[40]

=1.02

D[40]

(11000M[40] − 1000R[40] + 1000R51)

P131995.19− 73567.136

6981.60=

1020

6981.60(11 · 1904.86− 57705.4 + 37396.51)

8.369P = 94.17

P = 11.25 .

Rezerva na kraju 5 godina ce biti (prospektivno):

1.02

D45

( 5000M45 − 1000R46 + 1000R51)− 11.25N45 −N50

D45

=1020

5689.18(5 · 1852.39− 46417.04 + 37396.51)− 11.25

99756.54− 73567.14

5689.18= 43.3− 51.8

= −8.5 .

Rezerva je negativna. U slucaju smanjenja privremenih jamstava, ukljucujuci obiteljski

dohodak, to nije nista neobicno i neke osiguravajuce kuce ogranicavaju rok otplate premija

na krace obroke, npr. tri cetvrtine, te razdoblje naknade u svrhu toga da osiguranik koji gubi

svoju policu ne izgubi i kucu pod hipotekom. Kada se dogode negativne rezerve, omogucuju

se vece naknade za jamstva nego premije koje su uplacene.

7.2 Retrospektivna rezerva

Neka se opcenito osiguralo λ · lx osoba, svi u dobi x, te je svima obracunata premija

Px, a osigurana svota je 1. Promatra se situacija t godina poslije. Retrospektivna rezerva u

vremenu t se dobije kao razlika akumuliranih vrijednosti svih uplacenih premija u vremenu

t i akumuliranih vrijednosti svih isplacenih naknada u vremenu t (retrospektivno= gledano

unatrag).

Px · (λlx(1 + i)t + λlx+1(1 + i)t−1 + · · ·+ λlx+t−1(1 + i))

− 1 · (λdx(1 + i)t−1 + λdx+1(1 + i)t−2 + · · ·+ λdx+t−1) := tVx · λlx+t

tVx =1

λlx+t

λPx(lx(1 + i)t + · · ·+ lx+t−1(1 + i))− 1

λlx+t

· λ(dx(1 + i)t−1 + · · ·+ dx+t−1)

32

Vrijedi:

tVx = Px ·Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

, (7.2.1)

tVx =1

A 1x: t

[Pxax:t − A1

x:t

].

Formula je tocna i za privremeno i dozivotno osiguranje zivota, kao i za mjesovito osiguranje

(kada je t < n= osigurani period).

Retrospektivna metoda za racunanje rezerve koje daje formula (7.2.1):

(a) Dozivotno osiguranje zivota:

tVx = Px ·Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

=Mx

Nx

· Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

.

(b) Privremeno osiguranje zivota:

tV1x:n = P 1

x:n ·Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

=Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

· Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

.

(c) Mjesovito osiguranje:

tVx:n = Px:n ·Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

=Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

.

Primjer 7.3. Muskarac u dobi x= 30 sklopio je 30-godisnje mjesovito osiguranje s osigura-

nom svotom 5 000. Pocetni troskovi su 50% prve premije i 2% osigurane svote, trosak obnove

je 5% svake premije osim prve, trosak 50 kod prijave stete. Treba naci godisnju premiju te

retrospektivnu rezervu nakon 16 godina (baza LAT A1967-70 ultimate, i = 4%).

Rjesenje:

P a30:30| = 5000M30 −M60 +D60

D30

+ 0.5P + 0.02 · 5000 + 0.05P · a30:29| + 50M30 −M60 +D60

D30

33

(a30:29| = a30:30| − 1)

P (0.95a30:30| − 0.45) = 5050M30 −M60 +D60

D30

+ 100

P = 105.96 .

16V30 = PN30 −N46

D46

− M30 −M46

D46

5000 = 2308.6404 .

7.3 Prospektivna vs retrospektivna rezerva

Ako se prospektivna i retrospektivna vrijednost police izracunavaju na istoj osnovi u

danom trenutku t i ta osnova je jednaka osnovi za izracun premija, tada mora vrijediti da je

retrospektivna rezerva u trenutku t jednaka prospektivnoj rezervi u trenutku t. U praksi ti

uvjeti rijetko vrijede.

Jednostavno receno, retrospektivna rezerva je novac koji je osiguravajuce drustvo akumu-

liralo do trenutka t, dok je prospektivna rezerva novac potreban da bi se zadovoljile buduce

obveze. Stoga i ne cudi da su jednake, ako se premije odrede ispravno na pocetku ugovara-

nja osiguranja. Ako se zeli naglasiti da je rezerva dobivena na prospektivan nacin, pisemo

tVprosp, a za retrospektivnu rezervu se koristi zapis tV

retro. Dakle, tVprosp = tV

retro.

Buduci da se zivotno osiguranje ne moze prodati mrtvoj osobi, placanje naknade u slucaju

smrti za t = 0 je uvijek nula. Iz toga slijedi 0Vretro = 0 = 0V .

Kako bi dobili da je tVretro = tV

prosp izjednacava se sadasnja vrijednost premija i nak-

nada:

Pxax = Ax

Px(ax:t + vttpxax+t) = A1x:t + vttpxAx+t

Pxax:t − A1x:t = vttpx(Ax+t − Pxax+t)

Pxax:t − A1x:t =

Dx+t

Dx

(Ax+t − Pxax+t)

(PxNx −Nx+t

Dx+t

− Dx

Dx+t

A1x:t) = (Ax+t − Pxax+t)

tVretro = tV

prosp.

Pokazimo u konkretnim slucajevima da su prospektivne i retrospektivne formule jednake:

34

a) slucaj dozivotnog osiguranja zivota

Mx+t

Dx+t

− Mx

Nx

· Nx+t

Dx+t

=Mx

Nx

· Nx −Nx+t

Dx+t

+Mx+t

Dx+t

− Mx

Dx+t

=Mx

Nx

· Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

tVprospx = tV

retrox .

b) slucaj osiguranja zivota na odredeno vrijeme

Mx+t −Mx+n

Dx+t

− Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

=Mx+t −Mx

Dx+t

+Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

· Nx −Nx+n

Dx+t

− Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

=Mx −Mx+n

Nx −Nx+n

· Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

tV1prospx:n

= tV1retrox:n .

c) slucaj mjesovitog osiguranja zivota i dozivljenja

Mx+t −Mx+n +Dx+n

Dx+t

− Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

=(Mx −Mx+n +Dx+n) + (Mx+t −Mx)

Dx+t

− Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

=Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx −Nx+n

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

− Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx+t −Nx+n

Dx+t

=Mx −Mx+n +Dx+n

Nx −Nx+n

· Nx −Nx+t

Dx+t

− Mx −Mx+t

Dx+t

tVprospx:n

= tVretrox:n .

Vjerojatnost umiranja za pojedinog osiguranika raste iz godine u godinu sto je osiguranik

stariji, a vjerojatnost dozivljenja se smanjuje. To znaci da ce osiguravatelj svake godine

isplacivati sve vise naknada, a primati sve manje premija. Zato je potrebno uvijek imati

pozitivnu rezervu. Matematicki se to pokazuje sljedecim teoremom i korolarom.

Teorem 7.1. ( Preuzet iz [3] gdje se moze naci dokaz ovog teorema.)

Pretpostavimo da je osiguranje izdano osobi u dobi x u trenutku t = 0. Za bilo koji cijeli

broj k, uplate i isplate (premije i naknade) se ne mogu ostvariti nakon t = k, osim ako je

osiguranik prezivio do tog trenutka. Neka je n konacan pozitivan cijeli broj ili beskonacan,

takav da je vjerojatnost uplate premije nakon trenutka t = n jednak 0. Za bilo koji nenegativni

cijeli broj k 6 n − 1, s Pk oznacimo ocekivanu sadasnju vrijednost u trenutku t = k toka

novca premija izmedu t = k i t = k+1, a ocekivanu sadasnju vrijednost u t = k toka novca

naknada izmedu trenutaka t = k i t = k +1 sa Uk. Stovise, ako je n konacan, Un oznacava

35

ocekivanu sadasnju vrijednost u t = n svih tokova novca nakon t = n. Neka su Pk i Uk

pozitivnog predznaka. Pretpostavljamo da vrijedi

P0 > P1 > P2 > · · · > Pn−1 > 0,

U0 6 U1 6 U2 6 · · · 6 Un−1.

Tada je

r(t) =tV

n−t−1∑k=0

vk · kpx+t · Pt+k

za t = 0, 1,. . . , n-1 rastuca funkcija od t.

Korolar 7.1. ( Preuzet iz [3].)

Pod pretpostavkama Teorema 7.1 vrijedi tV > 0, t = 0, 1, 2, 3, . . . , n.

Dokaz: Buduci je vjerojatnost isplate naknade uslijed smrti u trenutku t = 0 jednaka nuli,

imamo 0V = 0Vretro = 0. Slijedi

r(0) = 0.

Koristeci tvrdnju teorema dobiva se

0 6 r(t) =tV

n−t−1∑k=0

vk · kpx+t · Pt+k

.

Dakle, 0 6 tV , t = 1, 2, 3, . . . , n− 1.

Buduci da se premije ne placaju nakon t = n slijedi

nV = nVprosp = Un > 0.

�

7.4 Rekurzivna formula

Ako se placanje premija i naknada dogada uvijek na pocetku ili na kraju godine tijekom

trajanja osiguranja, postoji jednostavna rekurzivna formula koja daje vezu izmedu rezervi u

uzastopnim godinama. Promatrat cemo sljedeci model.

Osiguranje je prodano u trenutku t0 = 0 osobi u dobi x. Trajanje ugovora je N godina,

gdje je N pozitivan cijeli broj ili beskonacan. Ako osiguranik prezivi do trenutka t, 0 6

t 6 N , naknada za dozivljenje Bt i premije Pt se placaju u trenutku t. Ako je osiguranik

umro izmedu t − 1 i t, 1 6 t 6 N , t cijeli broj, naknada uslijed smrti St, isplacena je u

36

trenutku t. Iznosi Bt, Pt i St mogu biti nula. Na taj nacin ovaj model opisuje sirok raspon

razlicitih osiguranja: zivotne rente, osiguranje dozivljenja, privremeno i dozivotno osiguranje

zivota ili mjesovito osiguranje sa jednokratnom ili godisnjom premijom. Ako osiguranje

podrazumijeva placanje naknade uslijed smrti, pretpostavka je da se ona isplacuje na kraju

godine u kojoj je smrt nastupila kako bi se i taj slucaj uklopio u model. Navest cemo neke

vrste osiguranja opisane navedenim modelom.

1. Neposredna privremena zivotna renta u trajanju od n godina, s godisnjom isplatom u

iznosu 1, placena jednokratnom premijom:

N = n

Pt =

{A

x:nax:n

, ako je t = 0

0 , ako je 1 6 t 6 N

Bt =

{0 , ako je t = 01 , ako je 0 < t 6 N

St = 0, ako 1 6 t 6 N.

2. Dozivotno osiguranje zivota sa isplatom iznosa 1 u slucaju smrti, a premije se uplacuju

godisnje:

N =∞

Pt =Ax

ax, 0 6 t

Bt = 0, 0 6 t

St = 1, 1 6 t.

3. Mjesovito osiguranje u trajanju od n godina, s osiguranim iznosom 1 koji se isplacuje

ako osoba dozivi n godina ili nakon smrti, ako umre ranije. Premije se uplacuju

godisnje.

N = n

Pt =

{A

x:nax:n

, ako je 0 6 t 6 N − 1

0 , ako je t = N

Bt =

{0 , ako je 0 6 t 6 N − 11 , ako je t = N

St = 1, 1 6 t 6 N.

37

Za opceniti model promatra se tV sa prospektivnog stajalista (ocekivana sadasnja vrijednost

toka novca nakon trenutka t). Podijelit cemo taj tok novca na dva dijela. Sadasnja vrijednost

u trenutku t toka novca izmedu t i t+ 1 iznosi

Bt − Pt + vqx+tSt+1 = Bt − Pt +Cx+t

Dx+t

St+1.

S druge strane, sadasnja vrijednost u trenutku t+ 1 toka novca nakon vremena t+ 1 iznosi

t+1V. Sadasnja vrijednost tog toka novca u trenutku t je v · px+t · t+1V. Slijedi

tV = Bt − Pt + v · qx+t · St+1 + v · px+t · t+1V, (7.4.1)

odnosno

t+1V =(tV −Bt + Pt)− vqx+tSt+1

vpx+t

.

Uvode se funkcije ux = 1vpx

i kx = qxpx

pa se moze pisati

t+1V = (tV −Bt + Pt)ux+t − St+1kx+t, t = 0, 1, . . . , N − 1. (7.4.2)

Funkcije ux i kx se lako mogu zapisati pomocu zamjenskih funkcija

ux =1

vpx=

vxlxvx+1lx+1

=Dx

Dx+1

, (7.4.3)

kx =qxpx

=dxlx

lxlx+1

=vx+1dxvx+1lx+1

=Cx

Dx+1

. (7.4.4)

Formula (7.4.2) se onda moze zapisati na sljedeci nacin:

t+1V =(tV −Bt + Pt)Dx+t − St+1Cx+t

Dx+t+1

, t = 0, 1, . . . , N − 1. (7.4.5)

Ako se zeli izracunati rezerva u bilo kojem trenutku, jednostavnije je koristiti rekurzivnu

formulu nego direktno racunati rezerve za svaku godinu.

38

8. Dobit i gubitak zbog smrtnosti

Osiguravajuce drustvo treba izdvojiti iznos tV u trenutku t, kako bi mogli zadovoljiti

buduce obveze. Tijekom sljedece godine, primat ce nove premije i isplacivati naknade osigu-

ranicima. Ako je osiguranik jos uvijek ziv u trenutku t+1, tada rezervu t+1V te godine treba

izdvojiti sa strane. Dakle, u trenutku t+ 1, osiguravajuca kuca moze izracunati akumulaciju

novcanog toka koji se sastoji od tV , tocne uplate premija i isplate naknada izmedu t i t+ 1,

a mozda i rezervu t+1V ukoliko je osiguranik i dalje ziv. Ako je akumulirana vrijednost

pozitivna, osiguravatelj to moze smatrati dobitom po polici tijekom godine. Buduci da je

ta dobit utvrdena smrtnoscu osiguranika, zove se dobit zbog smrtnosti. Ako je akumulirana

vrijednost negativna, to je gubitak zbog smrtnosti. Ovdje se promatra grupa osiguranika.

Treba nam spomenuti model koji se sastoji od premija Pt, naknada u slucaju dozivljenja

Bt i naknada uslijed smrti St. Ako osiguranju odgovara ovaj model, jednostavno se moze

izracunati dobit ili gubitak zbog smrtnosti.

Ako osiguravatelj pravi adekvatne rezerve u trenutku t, izdvojeni novac po polici koja je

aktivna u trenutku t iznosi tV . Buduci je osiguranik ziv u trenutku t, on ce uplatiti premiju

Pt i naknada za dozivljenje Bt ce mu biti isplacena (ako je to ugovoreni slucaj) na vrijeme.

Iznos tV − Bt + Pt ce se akumulirati (tV − Bt + Pt)(1 + i) do trenutka t + 1. Buduci da je

osiguranik ziv u t + 1, osiguravatelj mora napraviti rezervu t+1V u trenutku t + 1. Tada je

dobit po polici u godini t+ 1:

(tV −Bt + Pt)(1 + i)− t+1V.

Ako osiguranik umre izmedu t i t+ 1, osiguravatelj ce isplatiti naknadu zbog smrti St+1 na

pocetku godine t+ 1. Dobit zbog smrtnosti po polici u godini t+ 1 onda iznosi:

(tV −Bt + Pt)(1 + i)− St+1.

Govori se o gubitku zbog smrtnosti ako je vrijednost ovih izraza negativna.

Pretpostavka je da ukupno n0 osoba u istoj dobi ugovara isti tip osiguranja u isto vrijeme.

Tada je nt broj svih osiguranika (tj. vlasnika polica) koji su zivi u trenutku t, t = 1, 2, ..., N .

Ukupan iznos dobiti grupe od nt polica za godinu t+ 1 iznosi:

nt+1∑k=1

((tV −Bt + Pt)(1 + i)− t+1V ) +

nt−nt+1∑k=1

((tV −Bt + Pt)(1 + i)− St+1)

=nt∑k=1

(tV −Bt + Pt)(1 + i)−nt+1∑k=1

t+1V −nt−nt+1∑

k=1

St+1.

39

U praksi se cesce koriste neki od sljedecih izraza za ukupan profit:

( nt∑k=1

tV −nt∑k=1

Bt +nt∑k=1

Pt

)(1 + i)−

nt+1∑k=1

t+1V −nt−nt+1∑

k=1

St+1, (8.6)

ili

nt · (tV −Bt + Pt)(1 + i)− nt+1 · t+1V − (nt − nt+1) · St+1 . (8.7)

Mozemo izraz (8.6) protumaciti na sljedeci nacin:

ukupna5 dobit zbog smrtnosti u godini = (ukupne rezerve na pocetku godine minus ukupne

placene naknade za dozivljenje placene pocetkom godine plus ukupne premije uplacene na

pocetku godine)·(1 + i) minus ukupne rezerve na kraju godine minus ukupne naknade uslijed

smrti placene na kraju godine.

Izvedimo jos jednu formulu za ukupnu dobit po polici iz (7.4.1):

tV −Bt + Pt = v · qx+t · St+1 + v · px+t · t+1V,

(tV −Bt + Pt)(1 + i) = qx+t · St+1 + px+t · t+1V .

Ako je osiguranik ziv u trenutku t+ 1 dobit po polici za tu godinu je

qx+tSt+1 + px+t · t+1V − t+1V = qx+t(St+1 − t+1V ),

a ako je osiguranik umro tijekom te godine, onda je dobit po polici zbog smrtnosti za tu

godinu

qx+tSt+1 + px+t · t+1V − St+1 = px+t(t+1V − St+1)

= (1− qx+t)(t+1V − St+1)

= qx+t(St+1 − t+1V )− (St+1 − t+1V ).

Kada se sve sumira, dobije se ukupna dobit za nt polica u godini t+ 1:

nt+1∑k=1

qx+t(St+1 − t+1V ) +

nt−nt+1∑k=1

(qx+t(St+1 − t+1V )− (St+1 − t+1V ))

=nt∑k=1

qx+t(St+1 − t+1V )−nt−nt+1∑

k=1

(St+1 − t+1V )

= ntqx+t(St+1 − t+1V )− (nt − nt+1)(St+1 − t+1V )

= (ntqx+t − (nt − nt+1))(St+1 − t+1V ).

5 ”ukupno” znaci da su sve police na snazi uzete u obzir u odgovarajucem trenutku.

40

Taj rezultat se moze interpretirati na sljedeci nacin. Pretpostavka je da je osiguranik ziv

u trenutku t. Ako prezivi do t + 1, osiguravatelj mora odvojiti iznos t+1V kako bi bio u

mogucnosti pokriti svoje buduce obveze. No ako smrt nastupi izmedu t i t+1, osiguravatelju

ce biti potreban iznos St+1 u trenutku t + 1 kako bi isplatio naknadu. Razlika St+1 − t+1V

zove se svota pod rizikom (za tu godinu). Taj iznos ce biti potreban samo ako osiguranik

umre izmedu t i t+ 1, a vjerojatnost za to je qx+t .

Uz t+1V , bit ce nam potreban u trenutku t+ 1 ocekivani iznos

px+t0 + qx+t(St+1 − t+1V ) = qx+t(St+1 − t+1V ).

Taj izraz se zove ocekivana svota pod rizikom (eng. EDS= expected death strain) ili trosak

osiguranja. Ako se sumira ocekivana svota pod rizikom za svih nt polica u trenutku t, dobiva

se ukupna ocekivana svota pod rizikom (eng. TEDS= total expected death strain):

TEDS =nt∑k=1

qx+t(St+1 − t+1V ) = ntqx+t(St+1 − t+1V ). (8.8)

Neka se uzima razlika izmedu stvarne smrtnosti i smrtnosti iz tablica. Na osnovu stvarne

smrtnosti, iznos koji je stvarno potreban uznt∑k=1

t+1V u trenutku t+ 1, se zove ukupna svota

pod rizikom (eng. TADS= total actual death strain):

TADS =

nt−nt+1∑k=1

(St+1 − t+1V ) = (nt − nt+1)(St+1 − t+1V ). (8.9)

Zakljucak je:

ukupna dobit od smrtnosti na godinu = TEDS−TADS = (St+1−t+1V )(ntqx+t−(nt−nt+1)),

ntqx+t predstavlja ocekivani broj umrlih izmedu t i t + 1 iz grupe od nt ljudi koji su zivi u

t, a nt − nt+1 oznacava stvarni broj umrlih u istom periodu.

Odatle slijedi zakljucak:

(1) Ako je svota pod rizikom (St+1 − t+1V ) pozitivna i ako je

a) umrlo manje ljudi od ocekivanog u periodu izmedu t i t + 1 (ntqx+t > nt − nt+1),

to je dobit od smrtnosti,

b) umrlo vise ljudi od ocekivanog u periodu izmedu t i t + 1 (ntqx+t 6 nt − nt+1),

osiguravatelj se suocava s gubitkom od smrtnosti.

41

(2) Ako je svota pod rizikom (St+1 − t+1V ) negativna i ako je

a) umrlo manje ljudi od ocekivanog u periodu izmedu t i t + 1 (ntqx+t > nt − nt+1),

doslo je do gubitka zbog smrtnosti,

b) umrlo vise ljudi od ocekivanog u periodu izmedu t i t + 1 (ntqx+t 6 nt − nt+1),

osiguravatelj posluje s dobitkom u toj godini.

Primjer 8.1. Osiguravajuce drustvo ugovara 20-ogodisnje mjesovito osiguranje u iznosu

2000 eura s osobama u dobi 50 na dan 1.1.1990. godine. Premije se placaju godisnje. Na

dan 1.1.2003. je jos uvijek zivo 800 vlasnika polica, a tijekom 2003. godine ih je umrlo 13.

Treba izracunati dobit ili gubitak od smrtnosti za 2003. godinu (LAT A1967-70, i = 4%).

Rjesenje: Prvo se mora odrediti godisnja premija po polici. Vrijedi

P = 2000A50:20|

a50:20|= 2000

M50 −M70 +D70

N50 −N70

= 20001767.5555− 994.38597 + 1516.9972

73567.136− 13587.893= 76.37 .

Ako zelimo koristiti (7.4.2), moramo znati rezerve na pocetku i na kraju 2003. godine.

1.1.2003. rezerva (prospektivna) po polici koja je na snazi iznosi

13V = 2000A63:7| − P a63:7|

= 2000(

1− N63 −N70

D63

· D50

N50 −N70

)= 1104.23 .

Najlaksi nacin da se izracuna rezerva za godinu poslije je koristeci rekurzivnu formulu:

14V = (13V + P )u63 − 2000k63 =(1104.23 + 76.37)D63 − 2000C63

D64

= 1212.34 .

Dalje,

B13 = 0,

P13 = P = 76.37,

S14 = 2000,

n13 = 800,

n14 = 800− 13 = 787.

i = 4% = 0.04 .

Dobit od smrtnosti iznosi

n13(13V −B13 + P13)(1 + i)− n14 · 14V − (n13 − n14)S14 = 2147.62 .

42

Profit za 2003. godinu iznosi 2147.62 eura.

Ukupna dobit se moze izracunati kao TEDS - TADS. Znamo q63 = 0.01965464 pa se

moze racunati

TEDS − TADS = (S14 − 14V )(n13q63 − (n13 − n14)) = 2145.36 .

Dakle, ovom metodom se dobiva profit u iznosu 2145.36 eura. Razlikuje se od prve metode

zbog greske zaokruzivanja.

43

9. Modificirane rezerve

Ako se rezerve temelje na bruto premijama, tada se radi o modificiranim rezervama. Za

jasniju predodzbu modificiranih rezervi u odnosu na neto premijsku rezervu, koristi se zapis

V net za neto premijsku rezervu, a V mod za modificiranu rezervu.

U razmatranje ce se uzeti rezerva u kontekstu posebne strukture troskova koja je dana

kod definiranja bruto premija. Ovaj model sadrzi premije koje se uplacuju godisnje tijekom

n godina, prenumerando (n je konacna ili beskonacna vrijednost). Svaki put kad se uplati

premija, nastaje obnovljivi trosak koji k puta uvecava godisnju premiju, te ostali troskovi c.

Takoder, postoji i pocetni trosak I te se bruto premija P ′′ moze prikazati kao

P ′′ =1

1− k

(P + c+

I

ax:n

). (9.1)

Potrebno je definirati modificirane rezerve u trenutku t (t = 0, 1, . . . , n). Ako je t = 0,

tada se pretpostavlja da je pocetni trosak I vec nastao te se uzima u obzir unutar retros-

pektivne rezerve. Tada je

0Vmod = −I, (9.2)

koja je uvijek negativna ako je pocetni trosak veci od nule. Postoji i drugi nacin gledanja

modificirane rezerve u trenutku 0. Za policu se moze reci da, prije nego sto se uplati prva

premija, ona nije na snazi. Dakle, razumno je utvrditi rezervu tek nakon prvog uplacivanja

premije. Kada je P ′′ vec uplacena, dio nje kP ′′ + c se koristi za pokrivanje obnovljivih

troskova. Ostalo je P +I

ax:n

. Oduzimanjem pocetnog troska od tog izraza, dobiva se:

P +I

ax:n

− I = P − I(

1− 1

ax:n

). (9.3)

Formula (9.3) cesto daje bolju sliku o stanju na pocetku osiguranja od formule (9.2).

Ako je t = 1, 2, . . . , n, tada je tVmod jednak ocekivanoj sadasnjoj vrijednosti buducih

naknada plus ocekivane sadasnje vrijednosti buducih troskova minus ocekivane sadasnje vri-

jednosti buducih bruto premija. S druge strane, tVnet je jednak ocekivanoj sadasnjoj vri-

jednosti buducih naknada minus ocekivane sadasnje vrijednosti buducih neto premija. Tako

je

tVmod = EPVt (novcani tok naknade nakon t) + (kP ′′ + c)ax+t:n−t|–P

′′ax+t:n−t|, (9.4)

a

tVnet = EPVt (novcani tok naknade nakon t)–P ax+t:n−t|. (9.5)

44

Oduzimanjem (9.4) od (9.5), dobiva se

tVmod − tV

net = (kP ′′ + c)ax+t:n−t|–P′′ax+t:n−t| + P ax+t:n−t|,

odnosno

tVmod − tV

net = ((k − 1)P ′′ + c+ P )ax+t:n−t|.

Koristeci formulu (9.1) dobiva se:

tVmod − tV

net =(

(k − 1) · 1

1− k

(P + c+

I

ax:n

)+ c+ P

)ax+t:n−t|

=(− P − c− I

ax:n

+ c+ P)ax+t:n−t| = −I ·

ax+t:n−t|

ax:n

.

Stoga je

tVmod = tV

net–Iax+t:n−t|

ax:n

za t = 1, 2, . . . , n. (9.6)

Ako je n beskonacan, (9.6) se koristi u obliku

tVmod = tV

net–Iax+t

axza t = 1, 2, . . . . (9.7)

Ako je t > n, tada se buduci novcani tok sastoji samo od placanja naknada i ne sadrzi

vise uplacene premije niti troskove. Dakle, koristeci prospektivne rezerve dobiva se:

tVmod = tV

net, za t > n. (9.8)

Ako je t = n, onda (9.6) i (9.8) daju isti rezultat:

ax+n:n−n|

ax:n

=ax+n:0|

ax:n

= 0.

U nekim slucajevima, modificirana rezerva se moze izraziti kao jednostavna funkcija

neto premijskih rezervi i pocetnog troska. Neto premijska rezerva za n godisnje mjesovito

osiguranje je

tVnetx:n = 1−

ax+t:n−t|

ax:n

.

U ovom slucaju, (9.6) se moze napisati kao

tVmodx:n = tV

netx:n − I(1− tV

netx:n ).

Slican izraz moze se dobiti za dozivotno osiguranje. Buduci da je neto premijska rezerva

tVnetx = 1− ax+t

ax,

45

formula (9.7) podrazumijeva

tVmodx = tV

netx − I(1− tV

netx ).

Izrazi (9.2), (9.3), (9.6) i (9.7) ne sadrze c i k. To znaci da modificirane rezerve ne ovise o

obnovljivim troskovima, sto znaci da svaka premija u potpunosti pokriva obnovljive troskove

unutar pojedine godine. Dakle, nije nuzno stvoriti rezerve za ovakve troskove, stoga je za

definiciju modificiranih rezervi dovoljno uzeti u obzir pocetne troskove. Rezerve koje uzimaju

u obzir pocetne troskove nazivaju se Zillmerizirane rezerve. Ako ne postoje dodatni pocetni

troskovi (tj I = 0) posebna vrijednost police jednaka je normalnoj. U slucajevima koji se

odnose na modificirane rezerve, retrospektivne i prospektivne rezerve nisu nuzno jednake, a

prospektivna rezerva neposredno prije uplate prve premije ne moze biti nula.

Za vise informacija o modificiranim rezervama pogledati u [2] i [3].

46

Literatura

[1] D. Bakic, D. Franciskovic, Financijska i aktuarska matematika, skripta, Osijek, 2013.

[2] A. Neil, Life contigencies, Heinemann, 1977.

[3] A.K. Gupta, T. Varga, An Introduction to Acturial Mathematics, Mathematical Model-

ling: Theory and Applications, Vol.14, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht Nether-

land, 2002.

[4] H.U. Gerber, Life Insurance Mathematics, Swiss Association of Actuaries Zurich,

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, Berlin, 1997.

[5] S. Andrijasevic, T. Racic-Zlibar, Rjecnik osiguranja, Masmedia, Zagreb 1997.

[6] http://www.mathos.unios.hr/financijska/materijali/FAM-2013-12-zadnje.pdf

(lipanj, 2015.)

[7] http://web.efzg.hr/dok/FIN//AM2ef2.pdf (lipanj, 2015.)

[8] http://www.hanfa.hr/HR/ (lipanj, 2015.)

[9] http://www.investicije.biz/fond polica.html (lipanj, 2015.)

[10] http://lumens.fthm.hr/edata/2011/08d028b4-eed9-4ad5-924a-469ae5861372.pdf

(lipanj, 2015.)

[11] http://www.scribd.com/doc/150008512/ekonomika#scribd (lipanj, 2015.)

[12] http://www.nasciturus.com/skriptarnica/doc view/135-pravo-osiguranja-skripta-.

(lipanj, 2015.)

[13] http://www.miransan.com.hr/esto-postavljana-pitanja.html (svibanj, 2015.)

[14] http://bk.docsity.com/sr-dokumenti/ext/Neto metode za ocenu matematicke rezerve-

Slajdovi-Tarife u osiguranju (svibanj, 2015.)

[15] http://www.erste-osiguranje.hr/servis-za-klijente/cesto-postavljana-pitanja

(svibanj, 2015.)

[16] http://www.merkur.ba/cms/ziel/ (svibanj, 2015.)

[17] http://www.triglav.hr/centar-za-pomoc-korisnicima (svibanj, 2015.)

[18] http://www.wiener.hr/podrska/zivotno-osiguranje/ (svibanj, 2015.)

Sazetak

Posljednjih je godina sve veca potraznja za policama zivotnog osiguranja. Postoje razne

vrste zivotnih osiguranja ovisno o tome sto se zeli osigurati. Osigurane svote mogu biti

isplacene jednokratno ili u vise obroka (u obliku zivotnih renti). Premijske rezerve su vazne

za odrzavanje solventnosti osiguravajuce kuce. Razlikuju se prospektivne i retrospektivne

rezerve za dozivotno osiguranje zivota, osiguranje zivota na odredeno vrijeme i mjesovito

osiguranje zivota i dozivljenja. Kada se zeli izracunati rezerva u bilo kojem trenutku, ko-

risti se rekurzivna formula. Taj nacin izracunavanja rezerve je jednostavniji nego direktno

racunanje rezerva za svaku godinu. Formulama se moze odrediti suocava li se osiguravatelj

s dobiti ili gubitkom zbog smrtnosti. Za razliku od neto premijskih rezervi, modificirane

rezerve se temelje na bruto premijama. To znaci da ukljucuju troskove osiguravajuce kuce

sto je u praksi realnije.

Kljucne rijeci: dozivotno osiguranje zivota, osiguranje zivota na odredeno vrijeme, mjesovito

osiguranje zivota i dozivljenja, vrijednost police (rezerva), neto premijska rezerva, prospek-

tivna rezerva, retrospektivna rezerva, rekurzivna formula, dobit i gubitak zbog smrtnosti,

modificirane rezerve.

47

Summary

A demand for life insurance policies is increasing in recently years. There are many

types of life insurance depending on what the ensured object is. An ensured sum may be

paid at once or in several installments (in the form of life annuities). Premium reserves

are important to maintain the solvency of insurance companies. There are two types of

reserves: prospective and retrospective reserves for whole life insurance, term life insurance

and endowment insurance. The recursive formula is used to calculate the reserve at any time.

Recursive method of calculating reserves is easier than compute the reserves directly at every

year. Different expressions can determine whether the insurance office is faced with a profit

or loss due to mortality. In difference to the net premium reserves, modified reserves are

based on gross (office) premiums. That means they include the cost of insurance company

which is more realistic in practice.

Keywords: whole life insurance, term life insurance, endowment insurance, policy value,

net premium reserve, prospective reserve, retrospective reserve, recursive formula, mortality

profit, mortality loss, modified reserves

48

Zivotopis

Ivana Oreski rodena je 17. sijecnja 1990. godine u Nasicama. Od 1996-2004 osnovnu

skolu pohada u Osnovnoj skoli Ivan Brnjik-Slovak u Jelisavcu. Sve razrede osnovne skole

prosla je s odlicnim uspjehom. 2004. godine upisuje 1. razred opce gimnazije u Srednjoj

skoli Isidora Krsnjavoga u Nasicama koju zavrsava takoder s odlicnim uspjehom. Stoga u

srpnju 2008. godine upisuje 1.godinu sveucilisnog preddiplomskog studija matematike na

Odjelu za matematiku Sveucilista Josipa Jurja Strossmayera. Prvu godinu zavrsava sa vrlo

dobrim uspjehom. Na temelju toga dobiva opcinsku stipendiju ciji je korisnik do kraja

preddiplomskog studija gdje 2011. godine stjece akademski naziv Sveucilisnog prvostupnika

matematike. 2011. godine upisuje 1. godinu sveucilisnog diplomskog studija na istoimenom

fakultetu, smjer Financijska i poslovna matematika.

49

Prilozi

A. Tablice smrtnosti LAT A1967-70

50

51

52

53

54

55

56

57