Bloque 4

Competencias a desarrollar:

Construir e interpretar modelos matemticos mediante la aplicacin de procedimientos aritmticos, algebraicos, geomtricos y variacionales para la comprensin y anlisis de situaciones reales, hipotticas o formales.

Formular y resolver problemas matemticos aplicando diferentes enfoques.

Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemticos y contrastarlos con modelos establecidos o situaciones reales.

Argumentar la solucin obtenida de un problema, con mtodos numricos, grficos, analticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemtico, y el uso de las tecnologas de la informacin y la comunicacin.

Analizar las relaciones entre dos o ms variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Interpretar tablas, grficas, mapas, diagramas y textos con smbolos matemticos y cientficos.

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Funciones polinomiales de grados tres y cuatro

Indicadores de desempeo

Al terminar el estudio de esta secuencia, sers capaz de:

Reconocer el patrn de comportamiento grfico de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

Describir las propiedades geomtricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.

Utilizar transformaciones algebraicas y propiedades geomtricas para obtener la solucin de ecuaciones factorizables y representar grficamente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolucin de problemas.

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80 Matemticas 4

0

Y

X

0

Y

X

0

X

0

X

0

Y

X

0

Y

X

Y

X

lY

X

01

10

10

20

2

12

34Y

01

10

10

2

12

34

Y

X

7x - 1y = 5

y = 8

9y = 0

2x +

5y =

0

(-a, 0

)

(-4a2, 0)

y

0

Y

X

0

Y

X

0

1

10

10

20

2

1

2

3

4

Y

X

jercicios

a)

c)b)

d)

Figura 4.6 Grficas de diferentes polinomios.

1. Traza las grficas de los polinomios siguientes, obtn las consideraciones pertinentes a partir de las grficas y de la tabulacin respectiva. a) I(x) = 2x + 3 b) c(x) = x2 + 2x + 1c) z(x) = (x + 3) (x2 + 1) d) Q(x) = x4 + 4x3 9x2 16x + 20

2. Suponiendo que las grficas que se muestran a continuacin presentan la informacin ms representativa del polinomio, determina su grado y el signo del coeficiente principal.

Consideraciones a partir de la grfica y la tabulacin1. Al aplicar el teorema 4.1 para analizar el polinomio, se tiene que el trmino que

domina es el principal, en este caso 2x3, su coeficiente es positivo; debido a ello, para valores muy negativos de x, el valor de 2x3 ser muy negativo. Es decir, si el coeficiente del trmino principal es positivo, el signo no se altera y la grfica de un polinomio cbico partir de 2.

2. La grfica cruza al eje X en slo un punto.3. Tambin se observa que para valores positivos de x, considerando que el coeficiente

del trmino principal es positivo, al multiplicarse no se altera el signo y, en conse-cuencia, la grfica del polinomio cbico se aproxima a +.

4. La funcin es de grado impar.5. El plano en el que se traza la grfica no es euclidiano, ms bien se trata de un plano

cartesiano, ya que las escalas de sus ejes son diferentes.

Para analizar los ejemplos

adicionales lee y analiza el documento

que se localiza en el CD Bloque 4/Documento/Ejemplos adicionales tema 4.1.

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Bloque 4 Funciones polinomiales de grados tres y cuatro 81

0

Y

X

0

Y

X

0

X

0

X

0

Y

X

0

Y

X

Y

X

lY

X

01

10

10

20

2

12

34Y

01

10

10

2

12

34

Y

X

4.2 Propiedades geomtricas de las funciones de grados tres y cuatro

A partir del anlisis de los ejercicios que se presentaron en el tema anterior, se pueden obtener las siguientes definiciones.

Funcin crecienteUna funcin f(x) con dominio, o una funcin que est definida en un intervalo deter-minado (a, b), es creciente en ese intervalo si para dos valores cualesquiera de x, sean x1, x2 (a, b) con x1 < x2 como los valores respectivos de la funcin, se cumple que f(x1) < f(x2).

Geomtricamente, una funcin creciente se visualiza como una funcin que se dirige hacia arriba, en el eje Y, cuando el punto de la grfica se desplaza de izquierda a derecha en el eje X, es decir, en la direccin positiva del eje X.

Ejemplo 1. Indicar el grado y el comportamiento de la funcin polinomial f(x) = x3 + x.

SolucinLa funcin polinomial es de tercer grado, adems es creciente en todos los nmeros reales (2, + ), como se puede verificar en la representacin visual y en la tabla aso-ciada a la grfica 4.2.

112345

5

5

10

15

20

25

10

15

20

25

6 2 3 4 5 6 70

(x) = x3 + x

Grfica 4.2 Funcin polinomial de tercer grado f(x) = x3 + x

Tabla 4.2 Valores de la grfica de la funcin polinomial de tercer grado f(x) = x3 + x

A B C1234 x f(x) = x3 + x5 210 210106 29 27387 28 25208 27 23509 26 2222

10 25 213011 24 26812 23 23013 22 21014 21 2215 0 016 1 217 2 1018 3 3019 4 68020 5 13021 6 22222 7 35023 8 52024 9 73825 10 1010

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Bloque 4 Funciones polinomiales de grados tres y cuatro 101

0

Y

X

0

Y

X

0

X

0

X

0

Y

X

0

Y

X

Y

X

lY

X

01

10

10

20

2

12

34Y

01

10

10

2

12

34

Y

X

Pero como P = 2x + 2c, al despejar c en funcin de x, se tiene

cP x P

x2

2 2=

=

As, al sustituir el valor de c en la funcin de rea A, se tiene

A x x P x x P x( )2 2

2=

= +

que corresponde a una funcin cuadrtica.

Si renombramos a b = P2

, se tiene que el rea ser A(x) = x (b 2 x), como en este

caso P = 860, se tendra que bP2

8602

430= = = , y en consecuencia, la funcin ser

A(x) = x(430 2 x) = 2x2 + 430x

Las races sern x1 = 0 y x2 = 430.

Por lo tanto, para x = 215 y C = 430 2 x = 215, se tiene un cuadrado con rea mxima.

Resolucin de problemas

1. Renanse en equipos de seis integrantes.2. Seleccionen una serie de problemas de aplicacin real que impliquen el uso de funciones

polinomiales de grados tres y cuatro.3. Resuelvan los problemas y elaboren las tabulaciones correspondientes. Describan y analicen

las caractersticas de las funciones, adems de su comportamiento grfico.4. Realicen una presentacin ante el grupo donde expliquen el procedimiento seguido,

esquematicen los resultados mostrando las tablas y grficas realizadas para resolver los problemas. Empleen la notacin matemtica adecuada.

y = 8

9y =

0

2x + 5y = 0

(-a, 0)

(-4a2

, 0)

0

Y

X

0110

1020

2

12

34

Y

X

0

Y

X

ctividad de aprendizaje

Evala tu desempeo en

la resolucin de problemas para esta

actividad en:Bloque 4/Evaluacin/Rbrica/Resolucin de problemas.

Practica sobre el tema, para ello

resuelve lo que se indica en Bloque

4/Contenido/Comportamiento de la grfica de una funcin/Problemas y ejercicios imprimibles.

En la seccin del CD Bloque 4/

Evaluacin/Sumativa responde

la evaluacin, los resultados sern parte de la evidencia de los aprendizajes adquiridos.

Recursos Web

Los enlaces a los videos y pginas de apoyo de este bloque son:htttp://www.aprendematematicas.org.mx/notas/funciones/DGB4_2_1_5.pdfhttp://www.cch-sur.unam.mx/guias/matematicas/matecuatro.pdfhttp://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/Mecanica/MateI/1.5.-%20Funciones%20y%20sus%20Gr%C3%A1ficas.pdfhttp://www.matepop.com.mx/phocadownload/Libros/GuiaProfesM4/Unidad1-Parte2.pdfhttp://math.kendallhunt.com/documents/daa1/condensedlessonplansspanish/daa_clps_07.pdfhttp://temariosalbatros.files.wordpress.com/2011/02/unidad-ii1.pdf

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