Polinomios_II.pdf

Escuela de Educación Secundaria Técnica N°°°° 6

Prof. Lorena Laugero – Prof. Sebastián Leoni – Prof. Patricia Taddeo

Matemática – 4º año Página 1

Polinomios

División entera de polinomios

Recordemos, para empezar, cómo resolvemos una división entera:

donde a = b . c + r y además el resto cumple la siguiente condición: 0 ≤≤≤≤ r < b.

De la misma manera, dados un polinomio )(xP (dividendo) y otro )(xQ (divisor), trataremos de determinar, cuando sea posible, dos polinomios )(xC (cociente) y )(xR (resto) que cumplan con las siguientes condiciones:

P ( x ) = Q ( x ) . C ( x ) + R ( x )

y gr R ( x ) < gr Q ( x ) o bien )(xR es el polinomio nulo.

Primer caso: división de un monomio por otro monomio

Ejemplo: Observen cómo calculamos esta división:

257 4)2(8 xxx ⋅−=⋅−÷⋅

Obtuvimos como resto el polinomio nulo y, como cociente, un monomio, cuyo coeficiente es el .................................. de los coeficientes del dividendo y del divisor, y cuyo grado es la

.................................. entre los grados del dividendo y del divisor.

Segundo caso: división entera de un polinomio por un monomio

Ejemplo 1: Hallaremos el cociente y el resto de la división entre 2354 1831296)( xxxxxF ⋅+⋅+−⋅+⋅−= y xxG ⋅−= 3)( .

En primer lugar, ordenamos y completamos el dividendo:

........................................................)( =xF

Hacemos la división:

a: dividendo b: divisor c: cociente r: resto

a b

r c




En este ejemplo, según el algoritmo de la división entera, podemos escribir la siguiente igualdad:

..........................................................12........................................................ =−

Actividades

1 ) Calcula el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a ) =⋅−÷⋅+⋅+⋅−⋅−⋅+−⋅− )2()6842422( 423456 xxxxxxx

b ) =⋅÷−⋅−⋅+−⋅ )3()2193186( 2476 xxxx

2 ) Halla el polinomio dividendo )(xP de una división entera sabiendo que el resto

13)( −= xxR , el cociente )()( 2 xRxxC ⋅−= y el divisor 1)()( 4 −+= xxCxQ .

3) Calcula la altura h del rectángulo sabiendo que su área es igual xxxxxxA 2841012)( 2465 +−−−= y su base xxB 4)( −= .

Tercer caso: división entera entre dos polinomios

La división entre dos polinomios es similar a la división de un polinomio por un monomio.

Ejemplo 1: Vamos a hallar el cociente y el resto que se obtienen al realizar la siguiente división entre:

59)( 42 −+⋅−= xxxP y 2)( −= xxQ

9x5 - 6x4 + 3x3 + 2x2 + x - 4 -3x

+

+

+

+




• En primer lugar, ordenamos y completamos el dividendo:

..................................................)( =xP , y ordenamos, si es necesario, el divisor ............)( =xQ

Según el algoritmo de la división, podemos escribir la siguiente igualdad:

..................................................................................................................

Actividades

1) Calcula el cociente y el resto en las siguientes divisiones:

a ) =+÷+++ )3()206217( 223 xxxx

b ) =−÷

−+− )32(142

23106 234 xxxxx

c ) =++÷+++ )414()26128( 36369 xxxxx

d ) =

−−−÷

+++− 9833

140

2

7111

6

19

6

1 23234 xxxxxxx

e ) =

−−÷

+−−− 12

12

2

126

5

122 5734 xxxxxx

2) Resuelve =+÷−+ )2()82( 2635 xxxxx y luego escribe la expresión )()()()( xRxCxQxP +⋅= correspondiente.

x – 2 +

+

+

+




3) Calcula la altura h de un triángulo sabiendo que su base es 163)( 3 −+−= xxxB y su

área 35182115)( 235 −−++−= xxxxxA .

Raíces de un polinomio

Especialicen el siguiente polinomio para los valores indicados: 35)( xxxP −= en 1=x y 1−=x .

¿Qué sucede cuando sustituimos la indeterminada por cada uno de los valores?

..................................................................................................................

Observen el gráfico 23 8)( xxxS ⋅−= con sus raíces 0=x y 8=x . En cada raíz real, el gráfico puede atravesar el eje x ( ........=x ) o sólo tocarlo ( ........=x ) sin atravesarlo, es decir que rebota.

Las abscisas en las que el gráfico de la función polinómica tiene contacto con el eje x son raíces de polinomios.

Regla de Ruffini

A un matemático italiano llamado Paolo Ruffini se le atribuye la creación de una regla que nos permite, de una manera sencilla y rápida, efectuar la división entre un polinomio cualquiera )(xP de grado mayor que cero y un divisor de la forma ax + (polinomio mónico de grado uno).

Un valor de x es raíz de P( x ) si el polinomio se anula para ese valor.

x = a es raíz de P( x ) ⇔⇔⇔⇔ P ( a ) = 0




Calcularemos la división de 1673)( 23 −⋅+⋅+⋅= xxxxP y 2)( += xxQ aplicando la regla de Ruffini. Para ello hay que escribir los coeficientes del dividendo, ordenado y completo hasta el término independiente. Con respecto al divisor, sólo se escribe su raíz.

Veamos, cómo se obtienen los demás coeficientes:

El resto es -9. Los valores 3, 1 y 4 son los coeficientes del cociente: ...........................................)( =xC , cuyo grado es una unidad menor que el del polinomio

dividiendo.

Actividades

1) Realiza las siguientes divisiones enteras de polinomios empleando la regla de Ruffini:

a ) =−÷+⋅−⋅+⋅− )4()8532( 234 xxxxx

b ) =−÷⋅−⋅++⋅ )3()262( 235 xxxxx

c ) =+÷+−⋅+⋅−⋅ )2()9543( 347 xxxxx

2) Al dividir axxxxP +⋅−⋅+⋅= 242)( 23 por 3)( −= xxQ , se obtuvo 10 como resto. Halla el término independiente de )(xP .

3) El resto de dividir )(xA por )(xB es igual a 32. Hallen el valor de ℜ∈a si 322 3)( xaxxxA ⋅−⋅+= y 2)( += xxB .

4) Encuentren los valores de ℜ∈a y ℜ∈b , sabiendo que al dividir 165)( 24 −⋅−⋅+⋅= xbxaxxP por 2)( += xxQ da un resto de 96 y que 56)2( =P .

-2

3 7 6 -1

-2

3 7 6 -1




5) Sabiendo que 3 es raíz de )(xK y que el resto de dividir )(xK por 1−x es -90,

encuentren los valores de ℜ∈a y ℜ∈b si 48)36()6(5)( 234 −⋅+−⋅−−⋅+= xbxaxxxK .

Divisibilidad de polinomios

Si al realizar la división entera entre )(xP y )(xQ el resto es nulo, decimos que )(xP es divisible por )(xQ . En ese caso podemos expresar )(xP como:

P ( x ) = Q ( x ) . C ( x )

Si a es raíz del polinomio P ( x ), entonces el resto de la división entre P ( x ) y ( x - a ) es cero.

Si a es raíz de )(xP , es decir, si )(0)( xPaP ⇒= es ........................... por )( ax− .

Actividades

1) El polinomio T ( x ) = 2x2 + 3ax - 4a es divisible por U ( x ) = x - 4. Halla el valor de a ∈ ℜ para que eso sea posible.

2) Halla el valor de k para que el polinomio 5)3()( 22 −⋅+⋅+= xkxkxG sea divisible por 1)( −= xxS .

3) Determina los valores de ℜ∈a y ℜ∈b , sabiendo que 82)( 23 −⋅+⋅+⋅= xbxaxxP es divisible por 1−x y que al dividirlo por 2−x da resto 4.

Factorización de polinomios

Cajas de igual volumen

En una fábrica de chocolates, se decidió envasar los bombones en dos modelos de cajas cuyos volúmenes sean iguales. Una de ellas debe ser un cubo. La otra, un prisma, cuyo ancho sea igual al del cubo, su profundidad sea el doble, y su altura, 4 cm menor.

¿Cómo podemos hallar las medidas exactas de cada una de estas cajas? ¿Qué ecuaciones podríamos plantear?

Completamos la tabla con la información que disponemos:

Modelo Ancho Profundidad Altura Volumen

Cubo

Prisma




Cada uno de los volúmenes es un polinomio de grado .........................

Hallemos los valores de x para los cuales ambos volúmenes son iguales.

prismacubo VV =

...........................................

...........................................

Los valores de x que igualan los volúmenes son los mismos que anulan el polinomio 23 8xx − .

Sabemos que los valores de x que anulan un polinomio son sus raíces, busquemos entonces, las raíces de 23 8)( xxxP −= .

Una forma eficaz de hallar las raíces de 23 8)( xxxP −= es expresándolo como producto de otros polinomios.

Como los dos términos de )(xP contienen un factor común, que es 2x , lo extraemos:

)8(8)( 223 −⋅=−= xxxxxP

Entonces:

)8(080)( 223 −⋅⇒=−⇒= xxxxxP

Como nos quedó el producto de dos factores igualado a 0, necesariamente uno de ellos debe ser nulo: 02 =x o 08 =−x ; entonces .................=x y .................=x son las raíces de

)(xP y, a la vez, son los valores que hacen que los volúmenes sean iguales.

Si .................=x , los volúmenes dan ................. , y esa solución no nos sirve.

Si .................=x , tenemos que:

......................................=prismaV

......................................=prismaV

Conclusión: En esa fábrica deben armar un modelo de caja que sea un cubo de ................. de arista, y otro que sea un prisma de ................. de frente, ................. de

profundidad y ................. de alto. Así, ambas cajas tendrán el mismo volumen, que será de .................

Teorema fundamental del álgebra

Recordemos que un valor de x es raíz de )(xP si el polinomio se anula para ese valor. Además, si )(xP está expresado como producto de otros polinomios, las raíces de éstos son las raíces de )(xP .

Observen los siguientes ejemplos:




Polinomio factorizado Raíces reales Cantidad de raíces reales

)3()2()1()( +⋅−⋅−= xxxxP x = 1; x = 2; x = -3 Tres

2)4()7()( −⋅−= xxxQ x = 7; x = 4 Tres

3)5()( −= xxR x = 5 Tres

)1()8()( 2 +⋅−= xxxS x = 8 Una

Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma raíz, a ésta se la llama raíz múltiple. Por eso, x = 4 es una raíz doble de )(xQ y x = -5 es una raíz triple de )(xR .

En la tabla anterior figuran las raíces reales, pero un polinomio puede tener raíces reales y no reales. Existe un teorema, llamado teorema fundamental del álgebra, a partir del cual podemos afirmar que un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces, considerando las reales y las no reales.

Otra consecuencia de este teorema es la siguiente:

Las raíces no reales siempre vienen en parejas. Por eso, un polinomio de grado tres puede tener una raíz real y dos raíce ................. , o bien, tener tres raíces .................

Polinomios expresados como productos

En el problema inicial vimos que era más conveniente expresar la ecuación mediante el producto )8(0 2 −⋅= xx , ya que como el polinomio se anula cuando alguno de sus factores es 0, es más sencillo averiguar las raíces de cada factor que las raíces del polinomio original.

Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales




De la misma forma en que descomponemos un número entero en producto de sus factores primos, podemos descomponer un polinomio compuesto en producto de polinomios primos.

Son primos únicamente los polinomios de grado uno y los de grado dos sin raíces reales. Por ejemplo, son primos: 63)( +⋅−= xxP y 4)( 2 += xxR .

Ahora vamos a aprender algunas técnicas para expresar un polinomio como producto.

Factor común

A veces sucede que en un polinomio )(xP la variable x figura en todos los términos. En estos casos es muy conveniente extraer factor común.

Observen cómo extraemos la variable x como factor común: la extraemos elevada a la menor de sus potencias. También podemos extraer un número que es factor en todos los coeficientes. Después dividimos cada término del polinomio por el factor.

Ejemplos:

=−⋅+⋅= 345 47)( xxxxQ ...........................................

=⋅+⋅−⋅= 234 4824)( xxxxF ...........................................

Siempre podemos controlar que el producto que obtuvimos es correcto aplicando propiedad distributiva.

Factor común por grupos

Algunos polinomios presentan una estructura que nos permite formar grupos de igual cantidad de términos y sacar factor común en cada uno de esos grupos. Una vez hecho esto, aparece un nuevo factor común en todos los grupos.

Ejemplo: 632)( 45 +−−= xxxxP

Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal que en cada uno de ellos haya un factor común.

..........................................)( =xP

En cada término debe aparecer el mismo factor para poder extraerlo nuevamente como factor común.

..........................................)( =xP

El factor común puede ser la variable del polinomio elevada a la menor potencia, y/o el d.c.m. de todos los coeficientes del mismo




Al sacar nuevamente todo el paréntesis como factor común, la expresión queda factorizada a través del factor común por grupos.

..........................................)( =xP

Observación: la forma de agrupación no es única.

Diferencia de cuadrados

Así como el producto de la diferencia de dos monomios por su suma es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos monomios, del mismo modo, la diferencia de los cuadrados de dos monomios se puede factorizar como el producto de la diferencia de ambos por su suma.

)()(22 bababa −⋅+=−

Ejemplos:

=−= 2564)( 2xxQ ...........................................

=−= 16)( 4xxF ...........................................

Actividades.

1) Expresen los siguientes polinomios como producto.

a) 2451 301824)( xxxxP −+=

b) 1)( 342 −+−= xxxxP

c) 443 1681)( axxP −=

d) aaxaxaxxP 3624)( 234 −+−=

e) 4222)( 34565 +++++= xxxxxxP

f) 925)( 226 −= xaxP

g) bxbxbxbxP 2222)( 2467 +−−=

h) 23042569)( 2468 +⋅−⋅−= xxxxP

i) yxyxP 805)( 49 −=

j) bxbxxxxP 844422)( 2310 −+−−+=

Trinomio cuadrado perfecto

Analicemos el resultado de elevar un binomio al cuadrado. 222 2)( bbaaba +⋅⋅+=+ 222 2)( bbaaba +⋅⋅−=−

Al desarrollar estas expresiones siempre obtenemos dos términos cuadráticos y un término que es el doble producto de los dos términos que constituyen el binomio. Expresiones de este tipo reciben el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

Para que un polinomio sea un trinomio cuadrado perfecto, es necesario verificar:




• el grado del polinomio debe ser par.

• dos de los términos deben ser cuadrados perfectos.

• el término restante debe ser el doble producto de los términos que constituyen el binomio.

Ejemplos:

=+⋅+⋅= 144)( 2 xxxF ...........................................

=+⋅+⋅= 93

2

81

1)( 24 xxxF ...........................................

Actividades

1) Indiquen cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos. En caso afirmativo factorizarlos.

a) 221 9124)( axaxxP +−⋅=

b) 2236

2 2)( axabxxbxP ++⋅=

c) 42234

3 1644

1)( axaxxxP −+=

d) 422424 100

9

5

99 yyxbxbP +−=

Cuatrinomio cubo perfecto

Analicemos el resultado de elevar el cubo de un binomio. 32233 33)( bbabaaba +⋅⋅+⋅⋅+=+ 32233 33)( bbabaaba −⋅⋅+⋅⋅−=−

Al desarrollar estas expresiones siempre obtenemos dos términos cúbicos y dos términos que son el triple producto de uno de los términos que constituyen el binomio elevado al cuadrado por el otro sin elevar. Expresiones de este tipo reciben el nombre de cuatrinomio cubo perfecto.

Para que un polinomio sea un cuadrinomio cubo perfecto, es necesario verificar:

• dos de los términos deben ser cubos perfectos.

• los dos términos restantes deben ser el triple producto de uno de los términos que constituyen el binomio elevado al cuadrado por el otro sin elevar.

Ejemplos:

=+⋅+⋅+= 8126)( 23 xxxxM ...........................................

=−⋅+⋅−= 133)( 23 xxxxH ...........................................




Actividades

1) Indiquen cuáles de los siguientes cuatrinomios son cubos perfectos. En caso afirmativo factorizarlos.

a) 3223

1 92727)( bxbbxxxP −+−⋅=

b) 332234363

2 33)( abbxabxaxaxP −++=

c) 632689

3 6128)( xaaxaxxxP +++=

2) Factoricen los siguientes polinomios.

a) 2222234

1 22)( bxbxbxxxxP −+−+−=

b) bbxbxxP 162362)( 242 +−=

c) axaxP 364)( 43 −=

d) xbbxbxbxxP 2185454)( 2344 −+−=

e) 18984)( 235 +−−= xxxxP

f) bxbbxbxxP 1616)( 236 +−−=

g) 23457 3248244)( bxbxbxbxxP −+−=

h) bxbxbxxP 32328)( 238 ++=

i) aaxaxaxxP 50225)( 239 +−−=

j) 222322410 9966)( axxaxaxxxP −++−−=

Suma y resta de potencias de igual exponente

Para un polinomio de la forma nn axxP +=)( ó nn axxP −=)( existen cuatro posibilidades:

nn axxP +=)( nn axxP −=)( con n par

nn axxP +=)( nn axxP −=)( con n impar

1 ) 444 216)( −=−= xxxP . Se buscan las raíces de )(xP . En nuestro caso:

0164 =−x

164 =x

2=x ⇒ 21 =x 22 −=x




Se aplica la regla de Ruffini:

=−= 16)( 4xxP ...........................................

2 ) 81)( 4 += xxP , no tiene raíces reales.

3 ) 333 327)( −=−= xxxP

Se buscan las raíces de )(xP . En nuestro caso:

0273 =−x

273 =x

3=x


=−= 27)( 3xxP ...........................................

4 ) 555 232)( +=+= xxxP

Se buscan las raíces de )(xP . En nuestro caso:

0325 =+x

325 −=x

2−=x


=+= 32)( 5xxP ...........................................

Actividades

1) Expresen los siguientes polinomios como producto.




a) 16

)(4

41

bxxP −=

b) 772 128)( bxxP +=

c) 3125)( 553 −= xaxP

d) 224 4

25

100

1)( bxxP +=

e) 335 12527)( zxxP −=

Raíces de polinomios con coeficientes enteros. Teorema de Gauss

Consideremos el polinomio 482)( 23 +−−= xxxxP , que tiene todos sus coeficientes

enteros. Calculemos ...........................2

1 =

P . Como ......

2

1 =

P , resulta que

2

1=x es una

raíz de )(xP .

Observen que esa raíz es una fracción que cumple con estas dos condiciones:

• el numerador 1 divide al término independiente 4.

• el denominador 2 divide al coeficiente principal 2.

El teorema de Gauss, que generaliza esta situación, afirma que:

Cuando una fracción irreducible q

p es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, p

divide al término independiente y q divide al coeficiente principal.

Entonces, para hallar las raíces racionales de un polinomio con coeficiente enteros, se deben seguir los siguientes pasos:

• Hallar los divisores p del término independiente y los divisores q del coeficiente principal.

• Formar con ellos fracciones irreducibles q

p, que son las posibles raíces.

• Aplicar la regla de Ruffini para verificar si alguna es raíz del polinomio.

Ejemplo: Hallemos las raíces racionales de 132)( 23 −+= xxxP

• Verificamos si todos los coeficientes de )(xP son enteros.

• Hallamos los divisores p del término independiente: ...........................................

• Hallamos los divisores q del coeficiente principal: ...........................................

• Formamos todas las fracciones irreducibles q

p: ...........................................

• Aplicamos la regla de Ruffini verificamos si alguna es raíz del polinomio.




Por lo tanto, teniendo en cuenta las raíces obtenidas, la factorización del polinomio )(xP es:

......................................................)( =xP

Actividades

1) Hallar las raíces racionales de los siguientes polinomios:

a ) 1834)( 231 −−+= xxxxP

b ) 412136)( 2342 ++++= xxxxxP

c ) xxxxxxP 88682)( 23453 −++−=

d ) 8020205)( 234 +−−= xxxxP

e ) xxxxxP 1224153)( 2345 −+−=

2) El polinomio axxxxK 282)( 34 −+−= corta el eje x en x = 2. Hallar el valor de a y las raíces reales de )(xK .

3 ) Expresar los siguientes polinomios en función de sus raíces.

a ) 1256)( 231 ++−= xxxxP

b ) xxxxxP 122436)( 2342 +−−=

c ) 4125832)( 23453 −+−−+= xxxxxxP

c ) 12121293)( 3244 +−+−−= xxxxxP

d ) 23455 4885)( xxxxxP −−+=

e ) 242624282)( 2356 +−−+−= xxxxxP

4 ) Se aplicó la Regla de Ruffini a un polinomio )(xW de grado tres. Determinar el valor de a y factorizar el polinomio )(xW teniendo en cuenta sus raíces.




5 ) Usar la factorización de polinomios para resolver las siguientes ecuaciones.

a ) 62

2122 23

−=++ xxx

b ) 2610

3110)5(312 23 −

+⋅+−=− xxxxx

c ) )14(26)1(5 3 −⋅−=−⋅ xxx

6 ) Calcular la longitud de cada uno de los lados sabiendo que estos están expresados en cm.

7) Sabiendo que el polinomio )(xP puede expresarse como )()()( xUxTxP ⋅= , que )(xT es un polinomio de grado dos cuyo coeficiente principal es 3 y que corta el eje x

en 2−=x y 3=x y que )(xU es un polinomio primo de la forma 1−x :

a) Hallar las raíces de )(xP . b) Expresar )(xP en forma polinómica.

8) Un número entero es tal que el cubo del siguiente disminuido en el cuádruplo del cuadrado del anterior da como resultado treinta veces el número, más dos. ¿Cuál es ese número?

a

2 -2 -20 -16

0 8 24 16

2 6 4 /

x

4102 −+ xx

Área = 40 cm2

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