Politecnico di Torino Elettrotecnica II CeTeM 9205F Temi d'esame ...corsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/9205F/9205f.pdf · Data ultima revisione 20/12/00 Autore: Stefano Grivet Politecnico

Elettrotecnica II

9205F Temi d'esame

© Politecnico di Torino Pagina 1 di 15 Data ultima revisione 20/12/00 Autore: Stefano Grivet

Politecnico di Torino CeTeM

9205F-E0199 Cognome Nome Matricola 1 Marzo 1999

Voto

ES.1)Calcolare la trasformata di Laplace F(s) del segnale f(t) mostrato in figura.

Soluzione:

)4(2)3(3

)2(2

)()( TtuTtuT

TtTtu

TTt

Ttutf −−−−−−−+−=

Sfruttando le proprietà:

0)()(

1)(

1)(

0

2

st

L

esxttxs

tu

sttu

−→−

→

→

si ottiene sTsTsTsT e

se

sTe

sTe

ssF 43

22

2

211111)( −−−− −−+=

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Voto

ES.2) Dato il circuito mostrato in figura calcolare (attraverso il metodo simbolico con le trasformate di Laplace) e diagrammare la tensione v0(t). Siano R1=R2=R, vi(t)=Au(t) e all’istante 0 il condensatore sia caricato alla tensione VC0=A/4.

Soluzione:

Sfruttando Millman

+

+=

+++=

CG

s

sVCG

V

GsCGsGVCV

sViC

iC

2

)()()(

00

0

4 ; )( 0

AV

SA

sV Ci ==

sCGs

ssC

GAs

A

sV

+

//

+=

2

14)(0

Decomposizione in fratti semplici:

( ) CG

sconss

Ks

KsV

2 , )( 0

0

210 −=

−+=

+R

1

R2

CVi(t)

Vo (t)

Laplace →

+R

R1/sC

Vi(s) Vo(s)Vco C

I(s)

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−=−=

==

→

→

4)()(lim

2)(lim

002

001

0

AsVssK

AssVK

ss

s

)()((t)v0 tueAA

sVt

CG

−==

−−2

01

42l

v0(t)

t τ

A/4

A/2

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9205F-E0199 Cognome Nome Matricola

8 Febbraio 2000

Voto

ES.2) Dato il circuito mostrato in figura, con R=2Ω , L1=2H, L2=1H, M=1H, e(t)=u(t-3) V. Calcolare e diagrammare la dforma d’onda della corrente i(t), ricorrendo alle trasformate di Laplace per la soluzione del problema.

Soluzione:

−==

+−+

+=

ii

idtdi

Mdtdi

LRidtdi

Mdtdi

Lte

2

1

122

211

1

)(

Lt → ( ) )(2)()( 21 sRIMLLssIsE +−+=

MLLLeq 221 −+=

+L1

Re(t) M

L2

i(t)e(t)

t

1

3

+

L1

R

e(t)

M L2

i

i1 i2

v1 v2

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( ) )()( sIRsLsE eq +=

eq

eq

LR

s

LsE

sI+

=→

1)(

)(

sesss

sEsI 3

)2(11

2)(

)( −

+=

+=

ss es

Be

sA

sI 33

2)( −−

++=

21

;21 −== BA

)3(2)3(

21

)3(21

)( −−−−−= tetututi

[ ])3(21)3(21

)( −−−−= tetuti

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Voto

ES.4) Dato il circuito mostrato in figura calcolare: a) L’impedenza di carico ZL. b) Il valore della capacità C da porre in parallelo al carico in modo da ottenere un

rifasamento totale. c) Il valore della tensione Vq prima dell’inserzione della capacità C.

Soluzione: Calcolare ZL e rifasare il carico(rifasamento totale)

→= ϕcosgL IVP 210

2120

200cos

===ϕL

g VP

I

2210

20 ===g

LL I

VZ

o452

1cos 1 =

= −ϕ

cos ϕ

PvLvg

Rg

Carico induttivo

Dati: f =50 Hz

P =200 W

cos ϕ = 1/ 2

per |VL | =20 V

Rg = 0,73 Ω

C di rifasamento

RL

XL

ZL VL

12

12cos === ϕLL ZR

12

12sen === ϕLL ZX

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per il rifasamento si pone QC=QL ϕω tan2 PcVL =→ da cui

FV

PC

L

µπω

ϕ6.1

20105021200tan

232 =⋅⋅

⋅==

Calcolare Vg prima del rifasamento

( ) 30220 jLLgggtg ejXRRIIZV =++==

Calcolare il nuovo valore della potenza reale P dopo l’inserimento del condensatore di rifasamento

90221 j

C ejCj

Z −=−==ω

73.22

2273.0

)2(1122

73.0//45

459045

=+=−++

⋅+=+=−

−−

j

jjj

CLgeqe

ejj

eeZZRZ

con rifasamento completo ℜ=eqZ

3030

36.1073.2220

' jj

eq

gg e

eZ

VI ===

3072.20'' j

LgL eZIV ==

Quindi la nuova potenza assorbita dal carico è:

( ) WZIP LgL 66.214''2

=ℜ⋅=

TABELLA RIASSUNTIVA Prima del rifasamento Dopo il rifasamento

AI g 1.14= AI g 36.10' =

VVL 20= VVL 72.20' =

WPL 200= WPL 66.214'= 7.3% in più

Ig’

Ig’

Vg

Rg

VL’

Vg Zeq

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8 Febbraio 2000

Voto

ES.1) Dato il circuito magnetico mostrato in figura, con l=10cm, rfµ =6000, t1=1mm,

t2=2mm, N=100, S=1cm, i=2A. Determinare: (a) L’induttanza LAB vista ai morsetti A-B (b) Il flusso φ nel materiale magnetico (c) Il campo magnetico Ht1 nel traferro t1

Soluzione:

64

0

21

0

1024103.13)( ⋅+⋅≅++=

stt

sl

Rr

TOT µµµ

mH7

0 104 −= πµ 161024 −⋅≈ HRTOT

HRN

LAB µ4172

≅=

WbRNi 6103.8 −⋅==Φ

mA

sH t

3

0

10661

1⋅≅=

µφ

+ Ni RTOT

φ

equivalente circuitale

A

B N t 1

l

v

i

Aria ( µ R t =1)

t 2

S sezione e µ r f

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Voto

ES.3) Si consideri il circuito magnetico mostrato in figura. Dati N=100, a=10cm, S=1cm2,

∞=1rµ , 10002 =rµ , mH7

0 104 −= πµ , determinare:

a) La lunghezza del traferro t in modo che il flusso nel traferro sia uguale al flusso nel manicotto e il valore del flusso nel manicotto mφ

b) La corrente i tale per cui il campo magnetico nel traferro sia pari ad Ht=2 106 A/m c) In base ai valori di t calcolati nei punti precedenti determinare il valore

dell’induttanza equivalente L vista dai morsetti di ingresso del circuito.

Soluzione: Equivalente elettrico

5

0

1096.7 ⋅==S

aR

rmm µµ

St

Rt0µ

=

• Determinare t affinchè il flusso nel traferro sia uguale a quello nel “manicotto”.

rmtm

mm

tt

atRR

RNi

RNi

µφφ =⇔=⇔===

da cui

t a

(A)

(B)

µR1 , sezione S “manicotto” µR2

N v

i

+ Ni Rt

φ

Rm

φ t φm

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mmcmt 1.0100010 ==

• Determinare la corrente i affinchè H t=2 106 A/m

tS

SNi

SB

HS

B ttt

tt

0

000

µµµ

φµ

φ ===→=

AiiiH t 2102101011

100 664 =⇔⋅=⋅=

⋅= −

• Calcolare infine mφ

WbSaNi

mrmm447

0 5110.21010001041.

200 −−− =⇒⋅== φπµµφ

• Calcolare l’induttanza L

mmt RNi

RRNi

2=

+=φ

dtdi

RN

Vidtd

LVdtd

NVm2

2

=⇒=→= φ

mHLR

NL

m

28.62

2

=⇒=

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Voto

ES.1) Dato il circuito in figura, con Rg=10 ΩΩ , RL=4 ΩΩ , Rs=2 ΩΩ , n=2, Vg = Vgm cos(ωω t), Vgm=10V. Determinare:

• La potenza disponibile del generatore Pd • k per avere il massimo trasferimento di potenza a destra della sezione (B) • l’equivalente Thevenin (resistenza equivalente RTH e tensione a vuoto VTH) a sinistra della sezione(A) • la potenza dissipata sulle resistenze della linea Rs

Vg+

Rg

I1 I3I4

I2

RS

RS

(B) (A)

Req’ RTHVTH

V1 V2V3 V4 RL

1 : n k : 1

Soluzione: a) Determinare k per avere il massimo trasferimento di potenza a destra della sezione (B)

[ ]22

21

kRRn

R LSeq +='

imponendo

geq RR =' à

L

Sg

R

RnRk

222

−= à

34

440=

−=k

b) Determinare la potenza disponibile del generatore

WR

VP

g

gmd 25,1

80100

81

2

===

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c) Determinare l’equivalente Thevenin a sinistra della sezione(A)

gTH RnR 2= ; gTH nVV −=

d) Determinare la potenza dissipata sulle resistenze della linea Rs

gLsgmg

RnRkRnVI

2221

++−=

=

2

2 221

gsRs IRP

mWP Rs 1252 =

Vg+

Rg

(A)

1 :n

VTH

+

RTH

THV+

R TH

k2 RL

2 RS

gI

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Voto

ES.3) Un trasformatore da 90 kVA, 2200/220V ha i parametri: R1=1ΩΩ , R2=0.01ΩΩ , X1=X2=0 (è nullo il flusso disperso). Rm=5000, Xm=2000 ed è connesso ad un carico con cosϕϕ =0.9 (ϕ=25,8). Calcolare la regolazione di tensione =(V1-nV2)/nV2, con riferimento al modello equivalente del trasformatore reale riferito al primario, mostrato nello schema in figura.

R1

1V

n2R2 n2X2 X1

Rm Xm 2nV 1E

mI

aI

0I

1I 2I /n

Soluzione:

n=10 0

2 2200 jeVn =

AVA

VKVA

I 409220

90

22 ===

8.178.369.40 8.252 jenI j −== −

Ω== 1122 RRn

45.02

2221 22378.178.362200 jejRn

nI

VnE −=−+=+=

AjjeeX

EI j

jm

m 12.112.10098.012.1 5.8990

1 −≅−≅== −

AeRE

I j

m

a 45.045.0 45.01 ≅== −

AjIII am 12.145.00 −=+=

9.26201 8.419.1825.37 jej

nI

II −=−=+=

22747.3622749.1825.378.178.22361111 ≅−=−+−=+= jjjRIEV

%36.32200

22002274

2

21 =−

=−

=nV

nVVeregolazion

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8 Febbrio 2000 Voto

ES.3) Sia dato trasformatore reale da 10kVA, 110/220V per cui sono state effettuate le prove in circuito aperto (C.A.) e in corto corcuito (C.C.) che hanno fornito i seguenti risultati:

1. Prova a C.A.: V0=110V, I0=2A, P=50W 2. Prova in C.C.: V=80V, I=3.5A, P=150W

Determinare i parametri caratteristici del modello equivalente mostrato in figura e calcolare il rapporto tra il valore della corrente di eccitazione ed il valore della corrente nominale del primario.

R1 R2 X2 X1

Rm Xm

I1,0

n

LA

TO

110

V

LA

TO

220

V

220 V 110 V

10 kVA

Soluzione

1.

Z2 Z1

1/Bm = Rm Xm =1/Bm = ωLm

I1,0

n

Ia

Im

≈ 0 I20 = 0

13

20 101.4

1242 −− Ω⋅==→Ω==

mm

fm R

GP

VR

ARV

Im

a 45.00 ==

12

0

0,1 108.1 −− Ω⋅==V

IYm

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1222 1075.1 −− Ω⋅=−= mmm GYB

mHLB

X mm

m 91571 =→Ω==

21

110220

1

=

=

−

VV

n

2. eqeqeq jXRZZnZ +==+ 2

21

Ω=−=−= 3.1922

22

eqcc

cceqeqeq R

IV

RZX

Ω== 24.122cc

cceq

I

PR

2;

2;

2;

2 222211 n

XX

n

RR

XX

RR eqeqeqeq ====

%2.2022.0

11010

2

1,

0,1 →==

VkVAA

I

I

n

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