Upload
sadmirkalabic
View
80
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
1 VJEŽBA - Osnovna mjerenja u fizici
Vježbajmo što točnije mjeriti dužine
Uzmite olovku ili neko drugo tijelo Uz tijelo prislonite centimetarsku ljestvicu mjerila
Nastojite što točnije izmjeriti duljinu tog tijela Nekoliko puta očitajte kolika je duljina
mjerene duţine
- Kolika je duljina Jeste li je mogli očitati
Slika 1
Pri očitavanju motrite okomito broj koji očitavate i pogledom zahvaćajte rub tijela
koje premjeravate (Slika 1) Dogodi se da ne moţete točno očitati mjerni podatak jer nije
označen na ljestvici Tada očitajte znamenke koje su označene a neoznačene procijenite
U primjeru na slici izmjerena duljina predmeta je
Znamenka 6 očitana je a znamenka 7 procijenjena
Obje te znamenke očitana s ljestvice i procijenjena
pouzdane su znamenke
Matematička točnost često se iskazuje velikim brojem znamenki primjerice
56=08333333 U fizici se pak mjerni podatak ispisuje samo onim znamenkama koje su
označene na mjernoj ljestvici i dopiše im se procijenjena znamenka
Slika 2
U skladu s tim poloţaj strjelice na Slici 2 očitamo kao
Znamenke 1 i 2 pri tome su očitane dok je znamenka
8 procijenjena Podatak 128 ima tri pouzdane
znamenke
Napomena
Kod mjerenja metrom pomičnom mjerkom i mikrometarskim vijkom svaki student u
grupi neka izvrši svojih 5 mjerenja za različite predmete (stol cijev kosa tanka ţica)
11 Mjerenje duljine mjernom vrpcom
Pribor Mjerna vrpca
Zadatak Odredite površinu vašeg radnog stola maksimalnu apsolutnu i maksimalnu
relativnu pogrešku rezultata
Uputa
Najprije treba izmjeriti duljinu a i širinu b stola Dimenzije stola dobit ćemo tako da
svaku od njih izmjerimo na primjer 5 puta Pri svakom novom mjerenju treba vrpcu ponovo
staviti uz rub stola (Slika 111) Izmjerene podatke za a i b unesite u Tablicu 11 koja vam
pomaţe kako bi podaci bili pregledni Mnoţenjem podataka za duljinu i širinu dobit ćemo
iznos površine stola
Iz podataka za duljinu i širinu
odredite srednju vrijednost a
duljine i b širine te apsolutne
pogreške Δa Δb kao što je opisano
u knjizi Vernić-Mikuličić Vjeţbe iz
fizike Školska knjiga Zagreb
1991 na 13 strani i unesite ih u
tablicu na za njih označena mjesta
Slika 111
Izračunavajući srednje vrijednosti imajte na umu da one ne smiju imati više pouzdanih
znamenaka nego pojedine vrijednosti od kojih traţite srednju vrijednost tj računom ne
moţemo dobiti veću točnost nego što smo je dobili mjerenjem
Korišteni matematički izrazi
P =
P =
a =
b =
Tablica 11
mjerenje
jedinica
a b Δa Δb P
cm cm cm cm m2
1
2
3
4
5
a = b = Δam= Δbm= P =
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu iznosi
mP mm baba
Maksimalna relativna pogrešku za površinu iznosi
Pmr
100
b
b
a
a mm
Površina uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mP
Zaključak
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak Odredite debljinu stjenke cijevi apsolutnu i relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom moţemo odrediti duljinu neke duţine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duţ štapa moţe kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici moţemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a))
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmeĎu nul-
crtice štapa i nonija 06 mm (Slika 122b)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje poloţaj nonija ako je razlika izmeĎu nul-crtica 112 mm Broj
milimetara čitamo izravno na skali štapa L a 02 mm pomoću nonija
Kad izmeĎu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj ţelimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na noniju ne moţemo drugačije procjenjivati znamenku
MeĎutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito moţemo reći
da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
-------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi moţemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaţe da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 12
Korišteni matematički izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
mjerenje
jedinica
2R 2r Δ2R Δ2r d
mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = Δ2Rm= Δ2rm= d
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
md5
____________________
Zaključak
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak ţica vlas kose
Zadatak Odredite debljinu vlasi vaše kose površinu presjeka komada ţice apsolutnu i
maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba moţe pročitati na matici a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 05 mm (pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr debljinu
ţice treba ţicu staviti izmeĎu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim djelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka sluţi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja (zvučni signal) i postoji mehanizam koji to ne dozvoljava
Debljinu ţice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja moţemo procijeniti i tisućinku milimetra Na
našoj Slici 132 moţemo pročitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) i 039 mm što je jednako
1390 mm Općenito moţemo reći da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu
pomoću mikrometarskog vijka jednako omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 13 te odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Odredite površinu presjeka komada ţice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer
ţice mjereći 5 puta
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
11 Mjerenje duljine mjernom vrpcom
Pribor Mjerna vrpca
Zadatak Odredite površinu vašeg radnog stola maksimalnu apsolutnu i maksimalnu
relativnu pogrešku rezultata
Uputa
Najprije treba izmjeriti duljinu a i širinu b stola Dimenzije stola dobit ćemo tako da
svaku od njih izmjerimo na primjer 5 puta Pri svakom novom mjerenju treba vrpcu ponovo
staviti uz rub stola (Slika 111) Izmjerene podatke za a i b unesite u Tablicu 11 koja vam
pomaţe kako bi podaci bili pregledni Mnoţenjem podataka za duljinu i širinu dobit ćemo
iznos površine stola
Iz podataka za duljinu i širinu
odredite srednju vrijednost a
duljine i b širine te apsolutne
pogreške Δa Δb kao što je opisano
u knjizi Vernić-Mikuličić Vjeţbe iz
fizike Školska knjiga Zagreb
1991 na 13 strani i unesite ih u
tablicu na za njih označena mjesta
Slika 111
Izračunavajući srednje vrijednosti imajte na umu da one ne smiju imati više pouzdanih
znamenaka nego pojedine vrijednosti od kojih traţite srednju vrijednost tj računom ne
moţemo dobiti veću točnost nego što smo je dobili mjerenjem
Korišteni matematički izrazi
P =
P =
a =
b =
Tablica 11
mjerenje
jedinica
a b Δa Δb P
cm cm cm cm m2
1
2
3
4
5
a = b = Δam= Δbm= P =
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu iznosi
mP mm baba
Maksimalna relativna pogrešku za površinu iznosi
Pmr
100
b
b
a
a mm
Površina uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mP
Zaključak
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak Odredite debljinu stjenke cijevi apsolutnu i relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom moţemo odrediti duljinu neke duţine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duţ štapa moţe kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici moţemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a))
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmeĎu nul-
crtice štapa i nonija 06 mm (Slika 122b)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje poloţaj nonija ako je razlika izmeĎu nul-crtica 112 mm Broj
milimetara čitamo izravno na skali štapa L a 02 mm pomoću nonija
Kad izmeĎu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj ţelimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na noniju ne moţemo drugačije procjenjivati znamenku
MeĎutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito moţemo reći
da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
-------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi moţemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaţe da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 12
Korišteni matematički izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
mjerenje
jedinica
2R 2r Δ2R Δ2r d
mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = Δ2Rm= Δ2rm= d
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
md5
____________________
Zaključak
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak ţica vlas kose
Zadatak Odredite debljinu vlasi vaše kose površinu presjeka komada ţice apsolutnu i
maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba moţe pročitati na matici a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 05 mm (pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr debljinu
ţice treba ţicu staviti izmeĎu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim djelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka sluţi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja (zvučni signal) i postoji mehanizam koji to ne dozvoljava
Debljinu ţice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja moţemo procijeniti i tisućinku milimetra Na
našoj Slici 132 moţemo pročitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) i 039 mm što je jednako
1390 mm Općenito moţemo reći da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu
pomoću mikrometarskog vijka jednako omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 13 te odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Odredite površinu presjeka komada ţice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer
ţice mjereći 5 puta
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu iznosi
mP mm baba
Maksimalna relativna pogrešku za površinu iznosi
Pmr
100
b
b
a
a mm
Površina uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mP
Zaključak
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak Odredite debljinu stjenke cijevi apsolutnu i relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom moţemo odrediti duljinu neke duţine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duţ štapa moţe kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici moţemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a))
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmeĎu nul-
crtice štapa i nonija 06 mm (Slika 122b)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje poloţaj nonija ako je razlika izmeĎu nul-crtica 112 mm Broj
milimetara čitamo izravno na skali štapa L a 02 mm pomoću nonija
Kad izmeĎu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj ţelimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na noniju ne moţemo drugačije procjenjivati znamenku
MeĎutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito moţemo reći
da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
-------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi moţemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaţe da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 12
Korišteni matematički izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
mjerenje
jedinica
2R 2r Δ2R Δ2r d
mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = Δ2Rm= Δ2rm= d
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
md5
____________________
Zaključak
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak ţica vlas kose
Zadatak Odredite debljinu vlasi vaše kose površinu presjeka komada ţice apsolutnu i
maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba moţe pročitati na matici a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 05 mm (pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr debljinu
ţice treba ţicu staviti izmeĎu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim djelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka sluţi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja (zvučni signal) i postoji mehanizam koji to ne dozvoljava
Debljinu ţice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja moţemo procijeniti i tisućinku milimetra Na
našoj Slici 132 moţemo pročitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) i 039 mm što je jednako
1390 mm Općenito moţemo reći da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu
pomoću mikrometarskog vijka jednako omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 13 te odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Odredite površinu presjeka komada ţice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer
ţice mjereći 5 puta
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
12 Mjerenje duljine pomičnom mjerkom
Pribor Pomična mjerka cijev
Zadatak Odredite debljinu stjenke cijevi apsolutnu i relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Pomičnom mjerkom moţemo odrediti duljinu neke duţine točno na primjer na
desetinku milimetra iako su na mjerci direktno označeni samo milimetri Pomična mjerka
sastoji se od štapa L na čijem su donjem bridu označeni centimetri i milimetri (Slika 121)
Duţ štapa moţe kliziti okvir koji nosi razdiobu N zvanu nonij
Slika 121
Pomoću nonija prikazanog na slici moţemo očitati 110 milimetra Načelo je ovo
svaki djelić skale na noniju je za 110 mm manji od djelića skale na štapu L (Slika 12 a))
Podudaraju li se na primjer šesta crtica nonija sa šestom crticom štapa razlika je izmeĎu nul-
crtice štapa i nonija 06 mm (Slika 122b)
Slika 122
Slika 122 c) pokazuje poloţaj nonija ako je razlika izmeĎu nul-crtica 112 mm Broj
milimetara čitamo izravno na skali štapa L a 02 mm pomoću nonija
Kad izmeĎu krakova A i B mjerke stavimo predmet na primjer cijev kojoj ţelimo
odrediti vanjski promjer na štapu L i na noniju N pročitat ćemo koliko su oba kraka
razmaknuta
Pomoću pomične mjerke na Slici 121 mogli smo izmjeriti duljinu s točnošću od 01
mm a procjena tj zadnja znamenka se obično piše kao 0 (ako se točno poklapa) ili 5 (ako se
malo razlikuje) jer na noniju ne moţemo drugačije procjenjivati znamenku
MeĎutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito moţemo reći
da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
-------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi moţemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaţe da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 12
Korišteni matematički izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
mjerenje
jedinica
2R 2r Δ2R Δ2r d
mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = Δ2Rm= Δ2rm= d
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
md5
____________________
Zaključak
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak ţica vlas kose
Zadatak Odredite debljinu vlasi vaše kose površinu presjeka komada ţice apsolutnu i
maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba moţe pročitati na matici a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 05 mm (pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr debljinu
ţice treba ţicu staviti izmeĎu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim djelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka sluţi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja (zvučni signal) i postoji mehanizam koji to ne dozvoljava
Debljinu ţice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja moţemo procijeniti i tisućinku milimetra Na
našoj Slici 132 moţemo pročitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) i 039 mm što je jednako
1390 mm Općenito moţemo reći da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu
pomoću mikrometarskog vijka jednako omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 13 te odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Odredite površinu presjeka komada ţice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer
ţice mjereći 5 puta
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
MeĎutim noniji na različitim mjerkama imaju različiti broj dijelova Općenito moţemo reći
da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu jednaka omjeru
najmanji djelić glavne skale
-------------------------------------
broj djelića nonija
Slika 123 Slika 124
Unutrašnji otvor neke cijevi moţemo izmjeriti tako da pročitamo razmak šiljaka C i D
kojima smo cijev iznutra dodirnuli (Slika 123) Slika 124 vam pomaţe da izvedete
matematički izraz za debljinu stjenke cijevi Svaku veličinu mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 12
Korišteni matematički izrazi
R2 =
r2 =
d =
d =
Tablica 12
mjerenje
jedinica
2R 2r Δ2R Δ2r d
mm mm mm mm m
1
2
3
4
5
R2 = r2 = Δ2Rm= Δ2rm= d
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
md5
____________________
Zaključak
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak ţica vlas kose
Zadatak Odredite debljinu vlasi vaše kose površinu presjeka komada ţice apsolutnu i
maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba moţe pročitati na matici a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 05 mm (pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr debljinu
ţice treba ţicu staviti izmeĎu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim djelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka sluţi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja (zvučni signal) i postoji mehanizam koji to ne dozvoljava
Debljinu ţice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja moţemo procijeniti i tisućinku milimetra Na
našoj Slici 132 moţemo pročitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) i 039 mm što je jednako
1390 mm Općenito moţemo reći da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu
pomoću mikrometarskog vijka jednako omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 13 te odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Odredite površinu presjeka komada ţice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer
ţice mjereći 5 puta
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Račun pogrešaka
Pomoću izraza (6) iz knjige odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku
Maksimalna apsolutna pogreška za debljinu stjenke iznosi
md
=
Maksimalna relativna pogreška za debljinu stjenke iznosi
dmr
=
Debljina stjenke uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
md5
____________________
Zaključak
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak ţica vlas kose
Zadatak Odredite debljinu vlasi vaše kose površinu presjeka komada ţice apsolutnu i
maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba moţe pročitati na matici a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 05 mm (pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr debljinu
ţice treba ţicu staviti izmeĎu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim djelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka sluţi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja (zvučni signal) i postoji mehanizam koji to ne dozvoljava
Debljinu ţice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja moţemo procijeniti i tisućinku milimetra Na
našoj Slici 132 moţemo pročitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) i 039 mm što je jednako
1390 mm Općenito moţemo reći da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu
pomoću mikrometarskog vijka jednako omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 13 te odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Odredite površinu presjeka komada ţice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer
ţice mjereći 5 puta
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
13 Mjerenje duljine mikrometarskim vijkom
Pribor Mikrometarski vijak ţica vlas kose
Zadatak Odredite debljinu vlasi vaše kose površinu presjeka komada ţice apsolutnu i
maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Uputa
Mikrometarski vijak (Slika 131) sastoji se od vijka V koji se okreće u matici M Kod
nekih se mikrometarskih vijaka pri jednom potpunom okretu bubnja vijak pomakne za 1 mm
Ta se milimetarska razdioba moţe pročitati na matici a dijelovi okreta mogu se pročitati na
bubnju B Rub bubnja razdijeljen je na 10 50 100 ili neki drugi broj dijelova Mikrometarski
vijak prikazan na Slici 131 ima bubanj razdijeljen na 50 dijelova a potpuni njegov okret
pomakne ga udesno za 05 mm
Slika 131 Slika 132
Znači da pomoću crtica na bubnju očitavamo stotinke milimetra jer pri zakretu za 50 crtica
bubanj pomaknemo za 05 mm (pokazuje se crtica dolje na skali S) Mjerimo li npr debljinu
ţice treba ţicu staviti izmeĎu nakovnja N i vijka V te čegrtaljkom Č na kraju vijka s
narovašenim djelom pritisnuti uz nakovanj Čegrtaljka sluţi kako ne bismo pretegli vijak i
deformirali uzorak mjerenja (zvučni signal) i postoji mehanizam koji to ne dozvoljava
Debljinu ţice pročitat ćemo pomoću skale S i bubnja B Na skali ćemo pročitati broj
milimetara do točnosti 05 mm a na bubnju stotinke milimetra tj broj koji se nalazi na
bubnju nasuprot pravcu skale S Pomoću bubnja moţemo procijeniti i tisućinku milimetra Na
našoj Slici 132 moţemo pročitati 1 mm (jer je jedna crtica gore) i 039 mm što je jednako
1390 mm Općenito moţemo reći da je točnost kojom moţemo izmjeriti neku duljinu
pomoću mikrometarskog vijka jednako omjeru
najmanji djelić glavne skale
------------------------------------
broj djelića bubnja
Uzmite vlas vaše kose i izmjerite joj debljinu Mjerite 5 puta podatke upišite u
Tablicu 13 te odredite maksimalnu apsolutnu i maksimalnu relativnu pogrešku mjerenja
Odredite površinu presjeka komada ţice tako da izmjerite mikrometarskim vijkom promjer
ţice mjereći 5 puta
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Korišteni matematički izrazi
kd =
žd =
žP =
žP =
Tablica 13
mjerenje
jedinica
dk Δdk dž Δdž Pž
mm
mm mm
mm mm2
1
2
3
4
5
kd Δdk m= žd Δdž m= žP
NaĎite maksimalnu apsolutnu pogrešku mjerenja i pomoću nje izraza za površinu
kruga i pomoću izraza (6) i (10) iz knjige izračunajte i napišite vrijednost za P i relativnu
pogrešku za P
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
kmd
Maksimalna apsolutna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
žmP
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja debljine vlasi kose iznosi
dkmr
=
Maksimalna relativna pogreška za površinu presjeka ţice iznosi
Pžmr
=
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Debljina vlasi kose uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
mmdk 5____________________
Površina presjeka žice uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
2
5____________________ mmPž
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
14 Određivanje mase vaganjem
Pribor Precizna vaga kutija s utezima od 10 g do 500 mg menzura list milimetarskog
papira
Zadaci 1 Odredite vaganjem masu prazne menzure od 100 ml
2 Odredite masu lista papira (oko 4 dm2) s mreţom milimetarske razdiobe
Izreţite papir tako da sadrţi cijeli broj cm2 Odredite masu papira površine 1 mm
2
Uputa
Masu nekog tijela moţemo odrediti vagom Vagom usporeĎujemo nepoznatu masu
nekog tijela s poznatom masom utega koja je na njemu označena Pomoću precizne vage
(Slika 141) moţemo izmjeriti masu tijela do stotog dijela grama
Slika 141
Prikazana vaga je dvostrana poluga s jednakim krakovima Znači da će nepoznata
masa mx biti jednaka masi mu onog utega koji će s njom na vagi uspostaviti ravnoteţu
Pretpostavljamo da su krakovi k1 i k2 meĎusobno jednaki jer se ravnoteţa uspostavlja na
poluzi ukoliko su momenti sile na oba kraka vage jednaki
21
21
21
kmkm
kgmkgm
MM
ux
ux
Dakle
mx = mu ako je k1 = k2
Pogrešku zbog nejednakih krakova vage moţemo izbjeći vaţući pomoćnim tijelom mase mt
takozvanom tarom Nepoznatu masu mx stavimo u lijevu zdjelicu vage i uravnoteţimo je
utezima mase mt Onda je
2t1x mm kk
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Sad skinemo tijelo mase mx i stavimo na lijevu zdjelicu vage toliko utega ukupne mase mu da
se ponovo uspostavi ravnoteţa Tada je
21 kmkm tu
Iz tih dviju jednadţbi zaključujemo da je
21 kmkm ux
dakle
mx = mu
Tako smo izbjegli pogrešku koja bi se javila ako je 21 k k
Pri uspostavljanju ravnoteţe pri vaganju posao je jednostavan no ipak se u postupku
treba pridrţavati nekog reda da bi se taj posao odvijao što brţe i da bi rezultat bio što bolji
Naročito je vaţan taj postupak pri vaganju na analitičkoj vagi na kojoj moţemo izmjeriti
masu do točnosti 00001 g i bez kojega ne moţemo uspješno vaganje ni zamisliti
Za vaganje na preciznoj vagi potrebni su nam utezi od 500 g 200 g 2 x 100 g 50
g 20 g 2 x 10 g 5 g 2 g 1 g 05 g 02 g 2 x 100 mg 2 x 20 mg i 2 x 10 mg Utezi manji od
500 mg obično su u obliku pločica i treba ih hvatati pincetom Obično su kompletirani u
jednoj kutijici
Postupci pri vaganju
Stavimo vagu na stol u vodoravan poloţaj pomoću libele L Libela se nalazi na
postolju vage a pomoću vijaka (V1 i V2) na dvjema nogama postolja moţemo postolje dovesti
u vodoravan poloţaj Pomoću dugmeta D na prednjoj strani postolja vaga se moţe zakočiti
Okretom dugmeta odstranjujemo polugu vage i zdjelice iz leţaja Vagu zakočimo pri svakom
opterećivanju i rasterećivanju zdjelice Otkočimo je samo kad je očitavamo
Prije svakog vaganja treba provjeriti je li vaga u ravnoteţi tj poklapa li se donji kraj
igle na poluzi s nul-crticom skale Ako ne treba pomicanjem vijaka (M1 i M2) na poluzi vage
ili sitnih zrnaca tare dovesti vagu u ravnoteţni poloţaj na skali S
Za vrijeme vaganja sjedimo ispred stola s vagom tako da ravno gledamo u njezinu
sredinu Utege stavimo s desne strane vage Na lijevu zdjelicu vage stavimo tijelo mase mx
koje ţelimo izvagati Na desnu zdjelicu stavljamo redom po jedan uteg počevši od najvećeg
Dokle god preteţe desna strana zamjenjujemo uteg sljedećim manjim Kada prvi put
prevagne lijeva strana ostavimo taj uteg na vagi pa dodajemo po redu na isti način utege koji
su po masi jednaki posljednjem odnosno manji od njega Taj postupak treba nastaviti dok ne
uspostavimo ravnoteţu Ravnoteţa je postignuta kad se oba šiljka vage poklapaju Kad smo
uspostavili ravnoteţu zakočimo vagu i po redu skidamo utege zapisujući veličinu mase
svakog utega Zbroj masa svih utega daje nam masu mx
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Prvi zadatak riješite tako da menzuru izvaţete najprije metodom tare kako bismo
utvrdili jesu li kraci jednaki a potom još četiri puta obično kako je opisano u uvodu ove
vjeţbe Rezultate upišite u Tablicu 14 NaĎite srednju vrijednost mjerenja maksimalnu
apsolutnu i relativnu pogrešku
U drugom zadatku odredite još masu papira površine 1 mm2 Da li biste to mogli
odrediti neposrednim vaganje Prisjetite se izraza Koliko si teţak te razmislite koji bi
trebao biti vaš odgovor na takvo pitanje
Korišteni matematički izrazi
mm =
pm =
Tablica 14
mjerenje
jedinica
mm Δmm mp Δmp
g g g g
1
2
3
4
5
mm pm
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmm
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase menzure iznosi
mmmr
=
Maksimalna relativna pogreška mjerenja mase papira iznosi
pmmr
=
Masa menzure uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmm 5____________________
Masa papira uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
gmp 5____________________
Masa 1 mm2 papira iznosi
1pm =
= kg
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
15 Određivanje gustoće čvrstog tijela
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 250 cm3 tijelo nepravilna oblika
komad milimetarskog papira
Zadaci 1 Odredite gustoću nekog čvrstog tijela nepravilna oblika (npr kamena)
2 Odredite debljinu lista milimetarskog papira iz vjeţbe 14 ako znamo da je
gustoća papira 080 gcm3
3 Iz mjerenih podataka odredite gustoću tijela NaĎite maksimalnu relativnu
pogrešku za gustoću i pomoću nje maksimalnu apsolutnu pogrešku rezultata
Uputa
Trebate odrediti masu i volumen tijela Masu ste već naučili mjeriti Volumen tijela
moţemo odrediti pomoću menzure tj staklene posude na kojoj su označeni volumeni
pojedinih dijelova njezine šupljine
Slika 151 Slika 152
Kad u menzuru u kojoj je npr voda uronimo tijelo moţemo volumen tijela odrediti mjereći
volumen vode koji to tijelo istisne Najprije odredimo razinu vode u menzuri prije nego tijelo
uronimo a zatim novu razinu vode nakon što smo tijelo uronili
Pri čitanju podataka visine razine vode treba paziti da doglednica bude u njezinoj
ravnini (Slika 151) kako ne bi bilo paralakse i pazite da mjerite gledate rub meniska a ne
tamo gdje tekućina kvasi rubove (Slika 152) Odredite masu i volumen tijela pet puta Svaki
put kad tijelo izvadite iz vode treba ponovo odrediti razinu u menzuriRezultate upišite u
Tablicu 15
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Korišteni matematički izrazi
tm =
t =
tV =
tV =
t =
Tablica 15
mjerenje
jedinica
mt V1 V2 Vt ρt
g m m m kgm3
1
2
3
4
5
tm tV t
Račun pogrešaka
Maksimalna apsolutna pogreška mase tijela iznosi
tmm
Maksimalna apsolutna pogreška volumena tijela iznosi
tmV
Maksimalna apsolutna pogreška gustoće tijela iznosi
tm
=
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Maksimalna relativna pogrešku gustoće tijela iznosi
tm
r
=
Gustoća tijela uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
5 ____________________ mkgt
Izmjerite debljinu papira mikrometarskim vijkom i usporedite rezultate Kako ćete učiniti da
rezultat mjerenja vijkom bude bolji od neposrednog mjerenja jednog lista papira
Debljina milimetarskog papira (računom) iznosi
prd =
=
mm
Debljina milimetarskog papira (mjerenjem) iznosi
pmd = = mm
Postotna pogreška (usporedba računa i mjerenja) debljine lista papira
dpp =
100
pm
prpm
d
dd
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
16 Određivanje gustoće tekućine pomoću vage i menzure
Pribor Precizna vaga kutija s utezima menzura od 100 cm3 oko 100 cm
3 vode i 100 cm
3
alkohola (ili neke druge tekućine) termometar
Zadaci 1 Odredite gustoću vode
2 Odredite gustoću alkohola (ili neke druge tekućine)
3 Pogreške
Uputa
Da bismo odredili gustoću tekućine moramo za neku njezinu količinu odrediti masu i
volumen Budući da raspolaţemo menzurom moţemo pomoću nje neposredno odrediti
volumen (Slika 151) Masu moţemo odrediti vaganjem najprije prazne menzure mase m0 pa
onda pune menzure mase m1 Masa tekućine m onda je
10 mmm
U svakom zadatku ponovite mjerenja barem tri puta tako da svaki put uzmete drugu
količinu iste tekućine Rezultate upišite u Tablice 17 i 18 Pomoću izraza za gustoću V
m
odredite gustoću za svako mjerenje i zatim naĎite srednju vrijednost za ρ Izmjerite i
temperaturu mjerne vode
Tablica 16
temperatura
(degC)
gustoća vode
(kgmsup3)
+100 9584
+80 9718
+60 9832
+40 9922
+30 9956502
+25 9970479
+22 9977735
+20 9982071
+15 9991026
+10 9997026
+4 9999720
0 9998395
led na 0 9168
minus10 998117
minus20 993547
minus30 983854 Vrijednosti ispod 0 degC se odnose na
superhladnu vodu Slika 161
Korišteni matematički izrazi
vm =
v =
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
vm =
v =
vV =
Matematički izrazi su analogni za alkohol
Tablica 17
VODA
mjerenje
jedinica
m1 mm mv Vv ρv
g g g m kgm3
1
2
3
vm vV t
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Temperatura mjerene vode iznosi τ = _____ degC
Račun pogrešaka za vodu
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase vode iznosi
vmm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena vode iznosi
vmV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću vode iznosi
vm
r
=
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) gustoće vode
vp =
100
tab
atab
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Gustoća vode uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkgv
Tablica 18
ALKOHOL
mjerenje
jedinica
m3 mm ma Va ρa
g g g m kgm3
1
2
3
am aV a
mm je masa menzure iz vjeţbe 14
Račun pogrešaka za alkohol
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja mase alkohola iznosi
amm
Maksimalna apsolutna pogreška mjerenja volumena alkohola iznosi
amV
Maksimalna apsolutna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
=
Maksimalna relativna pogreška za gustoću alkohola iznosi
am
r
=
Gustoća alkohola uz maksimalnu apsolutnu pogrešku iznosi
3
3 ____________________ mkga
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
2 VJEŽBA
21 Proučavanje helikoidne zavojnice
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica utezi štoperica
Zadaci 1 Izmjerite konstantu elastičnosti zavojnice statičkom metodom Učinite 10
mjerenja s različitim masama
2 Nacrtajte krivulju x = f (F) Iz nagiba pravca izračunajte konstantu elastičnosti
k metodom najmanjih kvadrata
3 Odredite konstantu elastičnosti zavojnice dinamičkom metodom i prikaţite
grafički ovisnost mT te ovisnost mT
4 Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji
Teorijska podloga
Djelovanjem vanjske sile na čvrsto tijelo promijeni se meĎusoban poloţaj molekula u
tijelu zbog čega se tijelo deformira mijenja svoj oblik i dimenzije Kao reakcija na
deformaciju izmeĎu molekula se javlja sila koja se protivi deformaciji i drţi ravnoteţu
vanjskoj sili Tijelo je elastično ako deformacija nestaje po prestanku djelovanja sile ako je
deformacija trajna tijelo je neelastično Svako tijelo ima granicu elastičnosti deformacija
postaje trajna kada sila prijeĎe granični iznos karakterističan za to tijelo
U području elastičnosti tijela vrijedi Hookeov zakon prema kojem je deformacija
tijela razmjerna vanjskoj sili koja ju je izazvala
Slika 211
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje proporcionalna
udaljenosti tijela od ravnoteţnog poloţaja Tu udaljenost nazivamo pomak izduţenje ili
elongacija Djelovanje harmonijske sile na tijelo ili materijalnu točku moţemo ostvariti
pomoću elastičnog pera (ili čelične helikoidalne zavojnice ndash spiralne opruge) na čijem je kraju
obješeno neko tijelo mase m koje titra bez trenja na vertikalnom pravcu
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Ako djeluje neka vanjska sila i izvuče tijelo iz ravnoteţnog poloţaja (x = 0 cm) javlja se
elastična harmonijska sila pera
xkF koja djeluje protivno izduţenju Prestane li
djelovati vanjska sila npr u točki A (donji granični poloţaj) Slika 211 harmonijska sila
vraća tijelo prema ravnoteţnom poloţaju
Vanjska je sila nakon što je izvela rad predala tijelu energiju u obliku potencijalne
energije koja onda prelazi u kinetičku energiju (jer se uteg giba) Kinetička je energija
sustava najveća kada tijelo prolazi kroz ravnoteţni poloţaj te se smanjuje uz povećavanje
potencijalne energije do poloţaja ndashA (gornji granični poloţaj) Kod ovog gibanja najveću
elongaciju A nazivamo amplituda Zbroj kinetičke (EK) i potencijalne (EP) energije čini
ukupnu mehaničku energiju koja je konstantna
2
1
2
1
2
1 222 constAkxkvmEEE PK
Navedena energijska jednadţba moţe se promatrati i kao diferencijalna jednadţba ako je
dt
dxv što se onda rješava integriranjem koje vodi na sinusnu funkciju ovisnosti elongacije o
vremenu
Potraţit ćemo periodičku funkciju x = x(t) kao rješenje diferencijalne jednadţbe koju
dobivamo iz Hookeovog zakona
xkdt
xdm
xkam
FF Ha
2
2
02
xx
gdje je m
k2
Rješenje je diferencijalne jednadţbe oblika
)sin(sincoscossin tCtCtCx
gdje su C i φ proizvoljne konstante
Obješeno elastično pero ili harmonijski oscilator titra periodom T frekvencijom f i
kutnom frekvencijom (kutnom brzinom) ω koji su povezani s parametrima oscilatora
Tf
m
k
22
pa se moţe pokazati kako je period titranja
k
mT 2
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Određivanje konstante zavojnice statičkom metodom
Na zavojnicu (Slika 212) vješamo redom
deset utega masa m1 m2 te mjerimo
pripadajuća produljenja zavojnice Δx1 Δx2
Podatke zapišite u Tablicu 21 i izračunajte
konstantu elastičnosti prema formuli
x
gmk
gdje je g akceleracija sile teţe i iznosi za naš
poloţaj na Zemlji 981 ms2
Slika 212
Korišteni matematički izrazi
F =
x =
k =
k =
Tablica 21
mjerenje
jedinica
m F x ∆x k
g N cm cm Nm
početni
poloţaj 0 0 0 -
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Nacrtajte krivulju x = f (F) na milimetarskom papiru
Graf 21 Ovisnost sile o produljenju
Izračunajte konstantu elastičnosti k metodom najmanjih kvadrata
Δx F Fx Δx2
x F Fx 2x
2
x
Fx
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
bxaF Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti konstantu elastičnosti k
k
=
Određivanje konstante zavojnice dinamičkom metodom
Na elastično spiralno pero objesite uteg mase
m Tada uteg postavite u titranje tako da ga
rukom izvučete prema dolje označite donji
granični poloţaj i mirno pustite (masu m
odabrati tako da uteg sporo titra kako biste
mogli pratiti prijelaze utega pored skale)
Mjerite štopericom vrijeme potrebno za
N=10 titraja tj 10 potpunih prolaza pored
donjeg graničnog poloţaja označenog na
skali Dijeljenjem ukupnog vremena t titranja
s ukupnim brojem titraja N dobivamo vrijeme
T jednog titraja Slika 213
To ponovite za 5 različitih masa podatke upišite u Tablicu 21 odredite srednju
vrijednost konstante zavojnice i prikaţite grafički ovisnost mT te ovisnost mT
Zaključite kakva je ovisnost T i m iz grafova
Korišteni matematički izrazi
T =
k =
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Tablica 22
m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g m = _____ g
mjerenje
jedinica
N t T k t T k
t T k t T k
t T k
- s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
s s Nm
1 10
2 10
3 10
4 10
5 10
6 10
7 10
8 10
9 10
10 10
k k
k
k
k
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 22 Ovisnost perioda titranja opruge o masi
Tablica 23
mjerenje
jedinica m m T
g g s
1
2
3
4
5
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Nacrtajte krivulju mT na milimetarskom papiru
Graf 23 Ovisnost perioda titranja opruge o drugom korijenu mase
Ovisi li period titranja o elongaciji
Provjerite pokusom ovisi li period titraja o elongaciji To ćete izvesti ovako izvucite
uteg na peru oko 10 cm i pustite ga da titra Izmjerite vrijeme titraja T To ponovite za još 4
različite elongacije a podatke upišite u Tablicu 24
Korišteni matematički izrazi
T =
T =
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Tablica 24
mjerenje
jedinica
A N t T
cm - s s
1
2
3
4
5
T
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
22 Određivanje gustoće tijela pomoću uzgona dinamometrom
Pribor Elastična opruga na stalku s ogledalom i metrom zdjelica tijela nepoznatog
sastava čaša voda
Zadaci 1 Odredite gustoću niza tijela pomoću dinamometra Gustoća vode v = 1000
kgm3
2 Na osnovi izračunate gustoće odredite od kojeg su materijala načinjena tijela i
usporedite s tabličnom vrijednošću
Teorijska podloga
Znamo da produljenje Δx zavojnice moţe
sluţiti za mjerenje sile F prema Hookeovom
zakonu xkF ako Δx nije prevelik
(pretpostavimo da sila pripada intervalu u
kojem postoji proporcionalnost izmeĎu
produljenja i sile) Ako na zavojnicu
objesimo nepoznatu masu m na nju djeluje
sila ndash teţina tog tijela gmG Tada je
gmxk
GF
1
Slika 221
Ako tijelo objesimo na zavojnicu i uronimo u vodu po Arhimedovom zakonu na njega će
djelovati sila uzgona Fu u suprotnom smjeru od sile teţe
gm
gVF vode
tijela
vodeu
Stoga će ukupna sila na zavojnicu biti manja od one kada je tijelo samo u zraku pa je
produljenje Δx2 zavojnice sada manje
gm
gmxk
FGF
vode
tijela
u
2
gdje su ρtijela i ρvode ndash gustoće tijela i vode Za dana tijela odredite produljenja zavojnice Δx1 u
zraku te Δx2 u vodi Za svako tijelo mjerenja ponovite pet puta arezultate upišite u Tablice
24 25 i 26 te izračunajte gustoće tijela i pretpostavite od kojeg su materijala načinjena
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Iz prethodne jednadţbe moţemo izračunati gustoću tijela
vodetijelaxx
x
21
1
022
011
xxx
xxx
Slika 222
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 25
Tijelo 1 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ1
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
1
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 1 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 1
1p =
100
1
tab
tab
=
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Tablica 26
Tijelo 2 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ2
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
2
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 2 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 2
2p =
100
2
tab
tab
=
Tablica 27
Tijelo 3 ____________
mjerenje
jedinica
x0 x1 ∆x1 x2 ∆x2 ρ3
cm cm cm cm cm kgm3
1
2
3
4
5
3
Na osnovu rezultata mjerenja gustoće tijela 3 zaključujem kako je tijelo načinjeno od
_________________
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja) tijela 3
3p =
100
3
tab
tab
=
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
23 Određivanje gustoće tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Pribor Mohr-Westphalova vaga s priborom destilirana voda alkohol čaša termometar
Zadatak 1 Odredi gustoću danih tekućina Mohr-Westphalovom vagom
Teorijska podloga
Mohr-Westphalova vaga je hidrostatska vaga koja sluţi za odreĎivanje gustoće
tekućina Pri odreĎivanu gustoće tekućina koristi se metoda relativnog odreĎivanja tj
odreĎuje se gustoća dane tekućine u odnosu na gustoću poznate tekućine (voda)
Dijelovi vage izvade se iz kutije i sastave
prema Slici 231 Na desni krak vage o
kukicu K objesi se ronioc na tankoj ţici
Potom se cijeli ronilac uroni u čašu s
destiliranom vodom Pri tome treba paziti
da ne dodiruje dno čaše
Na uronjenog ronioca tada djeluje i sila
uzgona Zato se na kukicu K doda uteg
(jahač u obliku potkove mase M=10 g)
koji će uravnoteţiti uzgon Kada je ronioc
potpuno uronjen u vodu pomoću vijka V
vaga se uravnoteţi Na skali S očita se i
zabiljeţi poloţaj kazaljke ndash to je ravnoteţni
poloţaj
Slika 231
Potom ronioca izvadimo iz posude s destiliranom vodom i obrišemo ga kako bi bio
potpuno suh U posudu sada ulijemo tekućinu nepoznate gustoće i ponovo uronimo ronioca
Ukoliko je gustoća tekućine manja od gustoće vode i uzgon će biti manji te će biti potrebno
pomaknuti jahača bliţe osi vage tj s oznake 10 na neki manji broj n1 Ukoliko vaga nije u
ravnoteţnom poloţaju uzimamo novog jahača mase m2 = M10 i stavljamo na krak vage (n2)
tako da postignemo ravnoteţu Potom uzmemo i trećeg jahača mase m3 = M100 te i njega
stavimo na krak vage na mjesto koje daje ravnoteţu vage (n3) Očitamo poloţaje utega na vagi
(n1 n2 n3) i odredimo gustoću dane tekućine po relaciji
2
31 2
10 100 1000tek H O
nn n
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Dakle gustoća tekućine odreĎena je relativno s obzirom na gustoću vode čiji iznos očitamo
iz Tablice 16 za odreĎenu temperaturu pa stoga izmjerite i temperaturu vode Poloţaji utega
daju decimalna mjesta gustoće zadane tekućine
Na primjer ukoliko su n1 n2 n3 redom jednaki 8 7 5 tada je gustoća tekućine jednaka
875002 Htek
Ako je gustoća dane tekućine veća od gustoće vode tada je i uzgon veći pa nam
trebaju dva jahača mase M jedan ostaje na kukici K a drugi stavljamo na poloţaj n1 Traţena
gustoća je tada
2
31 2110 100 1000
tek H O
nn n
Za dane tekućine odredite vrijednosti za n1 n2 i n3 te ih upišite u tablice 28 i 29 Za
svaku tekućinu mjerenja ponovite 3 puta te odredite gustoće tekućina
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 28
Tekućina 1__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ1
- - - kgm3
1
2
3
1
Tablica 29
Tekućina 2__________
mjerenje
jedinica
n1 n2 n3 ρ2
- - - kgm3
1
2
3
2
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
3VJEŽBA
31 Matematičko njihalo
Pribor Matematičko njihalo zaporna ura mjerna vrpca
Zadaci 1 Odredite period titranja matematičkog njihala za male kutove za deset različitih
duljina niti
2 Prikaţite rezultate u T ndash l i T2 ndash l dijagramu Kakva je ta ovisnost Metodom
najmanjih kvadrata odredite ubrzanje Zemljine sile teţe g i usporedite ga s
poznatom vrijednošću za naš poloţaj
3 Odredite period titranja njihala za kugle različitih masa na istoj duljini njihala i
zaključite ovisi li period o masi
Teorijska podloga
Titranje je periodičko gibanje tijela po putanji koja se ponavlja Primjerice jednoliko
gibanje po kruţnici je titranje a takoĎer i gibanje njihala oko ravnoteţnog poloţaja (ako
zanemarimo trenje)
Za opisivanje titranja koristimo sljedeće fizikalne veličine
- Elongacija (x) - udaljenost tijela od poloţaja ravnoteţe
- Amplituda (A) ndash maksimalna elongacija
- Period (T) ndash vrijeme potrebno za jednu oscilaciju
- Frekvencija (f) ndash ukupan broj oscilacija u sekundi
Da bi došlo do titranja mehaničkog sustava on se prvo mora izvesti iz stanja
mirovanja (poloţaj ravnoteţe) a zatim se sustav vraća u ravnoteţno stanje zbog djelovanja
neke druge sile Najjednostavniji oblik periodičkog gibanja su tzv harmonijska titranja
Harmonijsko titranje izvodi tijelo kada je sila koja izvodi titranje razmjerna udaljenosti tijela
od ravnoteţnog poloţaja
Matematičko njihalo je primjer tijela koje izvodi harmoničko titranje To je
jednostavno njihalo kod kojega je sitno tijelo mase m (odnosno materijalna točka) obješeno
pomoću niti duljine l na objesište O kao na Slici 311 Nit je zanemarive mase (s obzirom na
obješeno tijelo) i savršeno je elastična U stanju ravnoteţe materijalna točka miruje u poloţaju
B Na tijelo izvučeno iz poloţaja ravnoteţe djeluje tangencijalna komponenta (Ft) sile teţe
(T = mg) i izvodi gibanje tijela po putu s što je luk koji pripada otklonskom kutu s obzirom
na ravnoteţni poloţaj njihala
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Slika 311
Slika 312
Za male kutove otklona pripadna duljina luka s iznosi 119904 = 119897120579
Za brzinu i ubrzanje dobijemo
119907 =119889119904
119889119905= 119897
119889120579
119889119905 119886 =
119889119907
119889119905= 119897
1198892120579
1198891199052
Izrazimo tangencijalnu komponentu (Ft) sile teţe (T = mg) koja daje ubrzanje tijelu pomoću
kuta (Slika 312)
119865119905 = 119879 sin 120579 = 119898119892 sin 120579
Drugi Newtonov zakon kaţe da je ukupna sila na materijalnu točku jednaka umnošku
mase materijalne točke i ubrzanja što ga to tijelo dobije zbog djelovanje te sile
119865119905 = minus119898119886
Negativan predznak na desnoj strani jednadţbe govori da je smjer djelovanja sile Ft u
svakom trenutku gibanja materijalne točke suprotan od smjera porasta kuta otklona (kut raste
u desno a sila djeluje u lijevo i obrnuto) Komponenta sile teţe duţ pravca niti zateţe nit
i uravnoteţena je sa silom napetosti niti
119898119892 sin 120579 = minus119898119886 = minus1198981198971198892120579
1198891199052
Gornju jednadţbu dijelimo s m i uvodimo aproksimaciju za male kutove
sin 120579 = 120579 minus1205793
3+
1205795
5minus ⋯
Zadrţimo li samo prvi član dobijemo sin 120579 asymp 120579
Konačno dobivamo jednadţbu gibanja matematičkog njihala u sljedećem obliku
119892120579 asymp minus1198971198892120579
1198891199052
1198892120579
1198891199052asymp minus
119892
119897120579
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima Uobičajeni način rješavanja ovakvih jednadţbi je da se pretpostavi rješenje
koje zatim uvrstimo u jednadţbu i provjeravamo uvjete valjanosti našeg rješenja I sami
moţete pretpostaviti jedno od rješenja gornje jednadţbe Koja funkcija nakon dvostrukog
deriviranja postaje ona sama Ima ih više (eksponencijalna sinus kosinus) Izaberimo
rješenje u obliku 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Gornja jednadţba daje otklon materijalne točke u nekom trenutku t ako je početni
otklon bio 1205930 Uvrstimo li naše pretpostavljeno rješenje u jednadţbu
minus1205531205962 sin(120596119905 + 1205930) = minus119892
119897120553 sin(120596119905 + 1205930) 1205962 =
119892
119897 120596 =
119892
119897
gdje je kutna brzina Iz teorije kruţnog gibanja koristimo vezu kutne brzine i perioda
kruţenja (titranja)
120596 =2120587
119879
119879 = 2120587
119897
119892
Uputa
Odredite vrijeme potrebno za 10 titraja matematičkog njihala te iz izmjerenog vremena
odredite period njihala Ponovite to za deset različitih duljina njihala l
Za iste duljine njihala ponovite mjerenja za drugu kuglicu (različite mase) kako biste
provjerili ovisi li period njihala o masi Podatke upišite u Tablicu 31 te nacrtajte traţene
dijagrame
Tablica 31
Kuglica 1 Kuglica 2
mjerenje
jedinica
l t1 T1 T12
t2 T2 T22
m s s s2
s s s2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Korišteni matematički izrazi
T =
Nacrtajte krivulju lT na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda njihala o duljini
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Nacrtajte krivulju lT 2 na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost kvadrata perioda njihala o duljini
Što zaključujete iz nacrtanih grafova
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Izračunajte akceleraciju sile teţe g metodom najmanjih kvadrata Posluţite se danom
tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Kako ćete iz dobivenog koeficijenta smjera pravca dobiti akceleraciju sile teže g
g
=
Koliko se dobivena vrijednost razlikuje od poznate vrijednosti (g = 981 ms2)
Postotna pogreška (usporedba tablične vrijednosti i mjerenja)
gp =
=
=
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
32 Fizikalno njihalo
(određivanje recipročnih osi fizikalnog njihala)
Pribor Fizikalno njihalo zaporna ura mjerna vrpca izvijač
Zadaci 1 Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa (fizikalnog njihala)
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
2 Nacrtajte krivulju koja daje vrijeme titraja T kao funkciju udaljenosti osi
titranja od gornjeg kraja šipke
3 Pomoću te krivulje naĎite poloţaje recipročnih osi koje odgovaraju osima koje
su udaljene redom 18 21 i 24 cm od gornjeg kraja šipke
Teorijska podloga
Fizikalno je njihalo kruto tijelo koje moţe titrati oko čvrste horizontalne osi koja ne
prolazi njegovim teţištem Kruto će tijelo biti u poloţaju stabilne ravnoteţe kad mu je teţište
na vertikali i ispod osi vrtnje Pomakom iz poloţaja ravnoteţe tijelu se povećava potencijalna
energija i prepusti li se samo sebi tijelo počinje izvoditi kutno titranje oko ravnoteţnog
poloţaja potencijalna se energija pretvara u kinetičku i obratno
Neka tijelo titra oko osi z (koja je okomita na ravninu titranja xOy) kao na Slici 321
Slika 321
Na fizikalno njihalo zakrenuto za kut djeluje moment M teţine G s obzirom na os
Oz Uz pripadni krak sile d (udaljenost od ishodišta O do teţišta C) vrijedi 119872 = 119889 times 119866
Moment ima takav predznak da vraća tijelo u ravnoteţni poloţaj a to je suprotno predznaku
kuta zakreta tj vrijedi 119872 = minus119866119889 sin 120579
Drugi Newtonov zakon za rotaciju moţemo pisati u obliku
119872 = 119868119889120596
119889119905= 119868
1198892120579
1198891199052
gdje je I moment inercije tijela Uvrstimo li naš moment M dobivamo
minus119866119889 sin 120579 = 1198681198892120579
1198891199052
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Iskoristimo li izraz za teţinu tijela (G = mg) i aproksimaciju za sinuse malih
kutovasin 120579 asymp 120579konačno dobivamo diferencijalnu jednadţbu
120579 +119898119892119889
119868120579 = 0
Dobili smo homogenu diferencijalnu jednadţbu drugog reda s konstantnim
koeficijentima slično kao kod matematičkog njihala Rješenje je istog oblika kao i kod
matematičkog njihala tj 120579 119905 = 120553 sin(120596119905 + 1205930)
Kutna brzina kod fizikalnog njihala postaje 120596 = 119898119892119889
119868=
2120587
119879 a period titranja
fizikalnog njihala 119879 = 2120587 119868
119898119892119889
Usporedimo li gornju jednadţbu s izrazom za period matematičkog njihala uočavamo
da postoji matematičko njihalo duljine Il
md koje će imati isti period kao fizikalno njihalo
Duljinu l takvog matematičkog njihala zovemo reducirana duljina fizikalnog njihala
Reverzijsko njihalo
Primijenimo li poučak o paralelnim osima za moment inercije I u izrazu za reduciranu
duljinu njihala dobivamo
119897 =119868
119898119889=
119868119862 + 1198981198892
119898119889
119897 =
119868119862119898119889
+ 119889 = 119889prime + 119889
gdje je d jednaka za sva objesišta koja su na udaljenosti d od teţišta njihala C Dakle
fizikalno njihalo obješeno oko bilo koje paralelne osi udaljene za d od teţišta njihala C ima
istu reduciranu duljinu njihala tj ima isto vrijeme njihaja
Neka je sada točka O udaljena za l = d + d od objesišta O (Slika 322)
Slika 322
Ako bi os objesišta prolazila kroz točku O onda bi pripadni period titranja njihala bio
119879 = 2120587 119868119874prime
119898119892119889prime
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Tada reducirana duljina njihala (obješenog na O) postaje
119897prime =119868119874prime
119898119889prime=
119868119862 + 119898119889prime 2
119898119889prime=
119868119862119898119889prime
+ 119889prime
Iskoristimo li izraz za 119889prime =119868119862
119898119889 dobivamo
119897prime =119868119862
119898119868119862119898119889
+119868119862119898119889
= 119889 +119868119862119898119889
= 119889 + 119889prime
Uputa
Raspolaţete metalnim okruglim štapom (kao na Slici 323)
na kojem su označeni jednaki razmaci (udaljeni po 3 cm) Štap
moţete objesiti na bilo kojoj oznaci na horizontalno pričvršćen
čelični noţ pomoću odvijača Noţ i štap postavite na njegov nosač
Pri dnu štapa pričvršćena je masa mu
Pomoću zaporne ure odredite periode T titranja štapa
otklonjenog za male amplitude i obješenog na svaku od oznaka
Izmjerite vrijeme potrebno za 10 titraja fizikalnog njihala te iz toga
vremena izračunajte period titranja Podarke upišite u Tablicu 32
Nacrtajte grafikon ovisnosti perioda titranja T o udaljenosti
točke vješanja od gornjeg kraja štapa x (t ndash x dijagram) i iz njega
odredite zadane recipročne osi Slika 323
Korišteni matematički izrazi
T =
Tablica 32
mjerenje
jedinica
x t T mjerenje
jedinica
x t T
cm s s cm s s
1 6
2 7
3 8 4 9
5 10
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Nacrtajte krivulju T - x na milimetarskom papiru
Graf 31 Ovisnost perioda titranja štapa o udaljenosti točke vješanja od gornjeg kraja štapa
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 18 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 21 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Os koja je recipročna osi koja je udaljena 24 cm od gornjeg kraja šipke udaljenja je ________
cm od gornjeg kraja šipke
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
4 VJEŽBA
41 Određivanje napetosti površine tekućine metodom otkidanja prstena
(Du Nouyeva metoda)
Pribor Torzijska vaga utezi voda alkohol deterdţent
Zadaci 1 Odredite napetost površine danih tekućina metodom otkidanja
2 Odredite napetost površine vode ako u nju usipate kap deterdţenta
3 Odredite odstupanje dobivene vrijednosti za napetost površine vode od tablične
vrijednosti
Teorijska podloga
Poznato je da se neki insekti kreću po površini mirne vode (Slika 411) TakoĎer
moguće su pojave da predmeti teţi od vode ne potonu ako ih pravilno stavimo na površinu
vode Tako lagani metalni novčić tanke aluminijske pločice pa čak i šivaće igle plivaju po
površini vode iako bi prema Arhimedovu zakonu trebale tonuti Slobodna se površina vode (i
drugih tekućina) ponaša kao zategnuta membrana koja spriječava teške predmete da propadnu
u dubinu Zategnuta membrana nalazi se samo na površini i kada teški predmet probije tu
opnu nastavlja tonuti po Arhimedovu zakonu
Slika 411
Slika 412
Sve te pojave pokazuju da se slobodna površina tekućine nalazi u stanju napetosti
Površinska napetost igra veoma vaţnu ulogu u odrţavanju ţivota jer omogućava biljkama da
sačuvaju vodu da prenesu vodu od korijena do vrha biljke
Napetost površine posljedica je dodatne energije koju ima površina tekućine zbog
djelovanja meĎumolekularnih sila Kako u prirodi svi procesi teţe stanju minimalne
potencijalne energije kao stabilnom stanju tako i slobodna površina tekućine nastoji zauzeti
što manju površinu Najmanju površinu za dani volumen ima kugla prema tome bi svaka
slobodna tekućina na koju ne djeluju vanjske sile i koja nije ograničena posudom poprimila
oblik kugle Kapljica vode koja slobodno pada u vakuumu ima sferičan oblik Kapljice magle
imaju i u zraku sferičan oblik Na Zemlji se voda i druge tekućine raspršuju u kapljice koje su
zbog djelovanja gravitacije i drugih sila izduţene
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Što drţi čestice vode na okupu u kaplji da se ne rasprše u manje djeliće MeĎu
molekulama tekućine djeluju privlačne sile koje tekućinu drţe na okupu Te
meĎumolekularne sile zovemo silama kohezije (djeluju meĎu istovrsnim molekulama)
Molekule u unutrašnjosti tekućine ravnomjerno su okruţene drugim molekulama pa je
rezultantna sila na molekulu u unutrašnjosti jednaka nuli MeĎutim za česticu na površini
iznad koje je npr zrak ovakva simetrija ne postoji (čestice tekućine i zraka meĎusobno slabo
djeluju) Slika 412 Javlja se rezultantna sila koja površinsku molekulu privlači prema
unutrašnjosti tekućine Stoga tekućina nastoji poprimiti oblik koji će imati najmanju površinu
Ţelimo li povećati površinu tekućine sa S na S + dS moramo uloţiti rad dW Površinska je
napetost rad koji je potrebno izvršiti da se površina tekućine poveća za jedinicu površine
dW
dS
Slika 413
Na Slici 413 shematski je prikazana opna od sapunice razapeta preko ţičanog okvira
kojemu je jedan kraj pomičan Rad sile F za pomak pokretnog dijela okvira iznosi dW = F dx
dok je povećanje površine sapunice jednako l dx Prema gornjoj formuli napetost površine
iznosi
Fdx F
ldx l
Jedinica površinske napetosti
2
J N
m m
Površinska napetost ovisi o prirodi tekućine i njenoj temperaturi S porastom
temperature vrijednost površinske napetosti opada i na kritičnoj temperaturi na kojoj prestaju
razlike izmeĎu tekuće i plinovite faze napetost iščezava Površinska napetost ovisi i o
materijalu s kojim graniči tekućina jer broj i vrsta graničnih molekula imaju utjecaj na
vrijednost koeficijenta površinske napetosti
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Uputa
U ovom dijelu vjeţbi mjeri se sila F potrebna da se horizontalni prsten polumjera r
napravljen od tanke ţice otkine od površine tekućine (Slika 414) Ako tekućina dobro moči
prsten moţe se uzeti da površinska napetost tekućine djeluje na prsten vertikalno prema dolje
Sloj tekućine koji drţi prsten ima dvije površine (unutarnja i vanjska strana prstena) pa je
ukupna duljina dodira tekućine s prstenom jednaka dvostrukom obodu prstena (l = 2middot2r)
Konačno dobivamo formulu za
površinsku napetost
4
F F
l r
Polumjer prstena moţemo lako
izmjeriti pomičnom mjerkom a
za mjerenje sile F koristimo
torzijsku vagu Jedan krak vage
čine obruč O i zdjelica Z na koju
se stavljaju utezi a na drugom
kraku vage nalazi se pomični
uteg
Teţina pomičnog uteg zajedno
sa silom torzije ţice uzrokuje
moment sile koji uravnoteţuje
moment sile prstena uronjenog u
tekućinu Slika 414
Prije samog mjerenja napetosti potrebno je baţdariti skalu instrumenta To činimo na
sljedeći način U praznu posudicu P ulijmo tekućinu čiju napetost ţelimo mjeriti te je
postavimo na stalak ispod prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen
Lagano spuštamo stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Poţeljno je da
skala S pokazuje otklon izmeĎu 5 i 20 Ako to nije slučaj okrećite pomični uteg Jednom kada
podesite poloţaj pomičnog utega više ga ne smijete dirati Kada podesite skalu tako da je
otkidanje u poţeljnom području uklonite tekućinu iz posude (vratite ju u originalnu posudu)
Baţdarenje radite s utezima i prstenom u zraku U posudicu neposredno iznad prstena
stavljamo utege odreĎenih masa mjereći pritom otklon kraka vage na skali Bitno je izabrati
takve utege da pokrijemo područje otkidanja prstena (probajte s utezima od 0 do 1000 mg u
koracima po 100 mg) Dobivene podatke za masu odnosno silu (F = mg) i otklon skale
unosimo u Tablicu 41 crtamo graf otklon - sila skale Metodom najmanjih kvadrata (MNK)
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
računamo pravac koji najbolje opisuje dobivene točke na grafu Nakon baţdarenja skale
uklonimo sve utege iz posudice
Korišteni matematički izrazi
F =
Tablica 41 mjerenje
jedinica 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
m g
F N
otklon crtica
Ucrtajte točke otklon - sila na milimetarskom papiru
Graf 32 Ovisnost otklona torzijske vage o sili
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Izračunajte nagib pravca metodom najmanjih kvadrata i ucrtajte taj pravac u grafikon
Posluţite se danom tablicom a sve oznake upišite sami (slično kao u vjeţbi 21)
Ako opća jednadţba pravca glasi bxay tada je jednadţba pravca za naš slučaj
______________ Odredimo pomoću metode najmanjih kvadrata koeficijente a i b
Izračun koeficijenta smjera pravca
a
=
Izračun odsječka na osi ordinati
b
=
Nakon baţdarenja skale mjerimo napetosti površine danih tekućina U praznu posudicu
ulijmo po jednu od tekućina čiju napetost ţelimo mjeriti posudicu postavimo na stalak ispod
prstena Podiţimo stalak dok prsten ne bude potpuno umočen u tekućinu Lagano spuštamo
stalak s posudom i promatramo skalu u trenutku otkidanja Biljeţimo maksimalne otklone
skale
Silu otkidanja dobivamo iz grafa otklon - sila skale Dobivenim otklonima skale (os
ordinata) odgovara sila otkidanja (os apscisa) Postupak Povučemo okomicu kroz točku na
ordinati koja odgovara otklonu kazaljke za otkidanje obruča za danu tekućinu do pravca
dobivenog MNK a zatim od sjecišta s pravcem povučemo okomicu na os apscisu (sila
otkidanja) Silu otkidanja obruča direktno očitamo s osi apscisa Napetost površine računamo
prema gornjoj relaciji Podatke upišite u Tablicu 42 te izračunajte traţene veličine
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Mjerenje treba ponoviti nekoliko puta Za izvoĎenje ovog pokusa veoma je vaţno da
prsten bude čist (ne dodirivati prtima) i vodoravan Masnoća s prstiju moţe promijeniti
površinsku napetost dane tekućine
Izmjerite slijedeće veličine
Vanjski promjer prstena
D
mm
Nutarnji polumjer prstena
d
mm
Srednji polumjer prstena
r
=
=
mm
Korišteni matematički izrazi
=
=
Tablica 42
mjerenje
jedinica
voda alkohol voda + deterdţent
otklon F σv otklon F σa otklon F σd
crtica N Nm crtica N Nm crtica N Nm
1
2
3
4
5
v = a = d =
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Koliko iznosi tablična vrijednost površinske napetosti vode
tv =
Nm
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) površinske napetosti vode
vp =
=
=
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
42 Određivanje koeficijenta viskoznosti Hopplerovim viskozimetrom
Pribor Hopplerov viskozimetar zaporna ura
Zadaci 1 Odredite koeficijent viskoznosti glicerina uz sljedeće uvjete
ρglicerin = 1260 kgm3
ρkuglica = 2510 kgm
3
k = 02310
-4 m
2s
-2
2 Demonstrirajte ovisnost koeficijenta viskoznosti o temperaturi glicerina
3 Usporedite dobiveni koeficijent viskoznosti pri sobnoj temperaturi s tabličnom
vrijednošću
Teorijska podloga
Kada se dva sloja tekućine gibaju relativnom brzinom jedan prema drugom javljaju se
sile koje nastoje spriječiti to relativno gibanje Te sile djeluju suprotno od smjera gibanja
slojeva tekućine i usporavaju gibanje (slično kao i trenje) a zovemo ih unutarnje trenje
tekućina ili viskoznost tekućine Viskoznost tekućina je posljedica djelovanja privlačnih
meĎumolekulskih sila koje se opiru smicanju susjednih slojeva tekućina
Viskoznost se javlja i kod plinova kao posljedica difuzije molekula meĎu slojevima
Difuzija uzrokuje izmjenu impulsa i time izjednačava brzine susjednih slojeva što je
ekvivalentno sili trenja meĎu slojevima Utjecaj difuzije u plinovima puno je manji od
utjecaja meĎumolekuslkih sila u tekućinama tako da plinovi pokazuju znatno manju
viskoznost od tekućina (Tablica 43) Viskoznost tekućina opada s porastom temperature a
viskoznost plinova raste s temperaturom Objasni
Tablica 43 Koeficijent viskoznosti nekih fluida na temperaturi 20 oC
fluid voda živa krv etil
alkohol
strojno
ulje glicerin kisik zrak
η
mPa s
20deg
1 16 4
(kod 37deg)
16 113-660 830 0020 0018
Promatrajmo tekućinu izmeĎu dviju ploča od kojih je donja ploča nepomična a na
gornju djeluje vanjska sila F (slika 421) Zbog unutarnjeg trenja izmeĎu ploče i dodirnog
sloja fluida vanjska sila F uravnoteţena je silom viskoznosti pa se ploča giba stalnom
brzinom vp Gornja pokretna ploča povlači za sobom dodirni sloj tekućine a taj sloj povlači
drugi susjedni sloj ovaj povlači svoj donji susjedni sloj itd Najviši sloj tekućine ima najveću
brzinu a niţi slojevi sve manje brzine
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Slika 421
Empirijski je ustanovljeno (Newton) da je sila viskoznosti razmjerna površini ploče S i
promjeni brzine po jedinici duljine u pravcu normalnom na pravac protjecanja fluida
gradijentu brzine dvdz (tzv gradijent brzine) te da ovisi o vrsti fluida što uključujemo u tzv
koeficijent viskoznosti
119865 = 120578119878119889119907
119889119911
Lakše pokretljiva tekućina ima manju viskoznost Recipročnu vrijednost viskoznosti
1 nazivamo koeficijent fluidnosti Mjerna jedinica za koeficijent viskoznosti
120578 = 119873119904
1198982 = [Pa s]
Uputa
Hopplerov je viskozimetar ureĎaj koji se sastoji od staklene cilindrične posude u koju
se stavlja tekućina nepoznatog koeficijenta viskoznosti (η) i staklene kuglice (Slika 422)
Mjerite se vrijeme t padanja kuglice u tekućini dok se spušta za visinu H (udaljenost izmeĎu
dva prstena označena na stjenci posude) te mjerene podatke upišite u Tablicu 44 Kuglica
pada u fluidu pod djelovanjem sile teţe a gibanju se suprotstavljaju sila uzgona i Stokesova
sila trenja (viskoznost) U početku se kuglica giba ubrzano dok ne dostigne odreĎenu stalnu
brzinu vo nakon čega su spomenute sile u ravnoteţi (Slika 423)
Fg Fu FStokes
kVg tVg rv0
gdje je ρk gustoća V volumen i r polumjer kuglice ρt gustoća tekućine i g ubrzanje sile teţe
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Ako uvrstimo 3
3
4rV i
t
Hv 0 dobivamo izraz za koeficijent viskoznosti
Zamijenimo li član ispred zagrade s H
grk
9
2 2
gornji izraz postaje jednostavniji
Konstanta k je konstanta viskozimetra ρk i ρt su zadane veličine pa je za izračun
koeficijenta viskoznosti η dovoljno mjeriti vrijeme padanja kuglice
Slika 422
Slika 423
Unutar Hopplerovog viskozimetra nalazi se električni grijač koji zagrijava vodu oko
glicerina te se tako grije i glicerin Temperaturu moţete očitavati na ugraĎenom termometru
Zagrijavajući viskozimetar na nekoliko različitih temperatura i mjereći vrijeme padanja
kuglice uočite kako se mijenja viskoznost glicerina
Korišteni matematički izrazi
=
=
tH
grtk
9
2 2
tk tk
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Tablica 44
mjerenje
jedinica
τ1 =_____degC τ2 =_____degC τ3 =_____degC
t η1 t η1 t η3
s mPa s s mPa s s mPa s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 =
2 = 3 =
Koliko iznosi tablična vrijednost koeficijenta viskoznosti glicerina
t =
Pa s
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) koeficijenta viskoznosti
glicerina
p =
=
=
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
VJEŽBA 5
Teorijska podloga
Valovi i titranja
Valovi su jedna od najraširenijih pojava u prirodi Vrlo često govorimo o valovima na
površini vode o valovima hladnoće valovima eksplozije radio valovima itd Pored
očiglednih valnih pojava (npr valovi na površini vode) postoje i pojave kod kojih je valna
priroda ostala skrivena stoljećima (zvuk svjetlost) Danas se elementarne čestice u atomima
opisuju zakonima valnog gibanja Suvremena kvantna fizika nezamisliva je bez zakona
valnog gibanja
Valno gibanje relativno je sloţeno za interpretaciju Ograničimo se zasad na mehaničke
valove Promatrajmo elastično tijelo tj tijelo koje ima sposobnost ponovnog zauzimanja
početnog poloţaja nakon što je na njega djelovala sila i deformirala ga U elastičnom tijelu
(sredstvu) postoje elastične veze izmeĎu čestica pa se deformacija (pomak čestica) u jednom
dijelu tijela (sredstva) prenosi sukcesivno na ostale čestice Zbog inercije čestica deformacije
se ne prenose trenutačno nego nekom konačnom brzinom koja ovisi o elastičnim svojstvima
te tvari (sredstva)
Osnovno svojstvo vala je da se širi u prostoru no treba razlikovati širenje vala od
gibanja čestice u tvari kroz koju se širi val Čestice tvari pomiču se veoma malo iz svog
ravnoteţnog poloţaja Što se onda širi Širi se poremećaj u sredstvu i tada kaţemo da se u
sredstvu širi val Sjetimo se nedavnog primjera tsunamija u Indoneziji Potres je izazvao
pomicanje Zemljine kore zbog čega je došlo do spuštanja (podizanja) razine mora neposredno
uz kopno Indonezije Molekule vode uz obalu Indonezije nastavile su titrati gore dolje i nisu
se udaljavale od obale Neposrednim dodirom sa susjednim molekulama vode došlo je do
prijenosa energije i količine gibanja (energija potresa) iz jedne točke u drugu bez prijenosa
tvari Valno je gibanje kolektivno svojstvo tvari Općenito moţe se reći da je val prijenos
energije i količine gibanja iz jedne točke prostora u drugu bez prijenosa tvari
Transverzalni i longitudinalni poremećaji
Promatrajmo gumenu cijev koja je privezana na jednom kraju a drugi kraj drţimo u
ruci Naglim trzajem ruke napravimo kratkotrajni trzaj okomito na cijev (slika 511 a)) Na taj
smo način stvorili poremećaj u obliku brijega koji se širi gumenom cijevi Promotrimo li
poremećaj u različitim trenucima vidimo da gumena cijev pokazuje uvijek istu sliku s time
što se poremećaj pomaknuo Gumena cijev sama za sebe nije se pomakla niti se promijenila
Promatramo li pojedinačnu točku gumene cijevi uočavamo da se ona pomiče gore-dolje S
druge strane poremećaj se širi u desno Takvu vrstu valova kod kojih čestice (sredstvo)
titraju okomito na smjer širenja poremećaja zovemo transverzalnim valovima
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Slika 511 a)
Slika 511 b)
Promatrajmo sada obješenu elastičnu helikoidnu spiralnu čeličnu zavojnicu (slika 511
b)) Jednim udarcem ruke uzduţ zavojnice nastaje lokalno zgušnjenje (poremećaj) Poremećaj
će se duţ opruge prenosi impulsivno što se vidi u kretanju sabijenog dijela opruge uzduţ
zavojnice Uočavamo da se poremećaj širi puno većom brzinom nego što se sabijaju (rasteţu)
dijelovi opruge Kroz zavojnicu se proširio poremećaj kod kojega se čestice pomiču u smjeru
širenja vala Takve poremećaje kod kojih se smjer širenja poremećaja nalazi na pravcu
pomicanja čestica zovemo longitudinalni poremećaji Primjerice longitudinalni val nastaje na
vlaku kojemu se priključuje lokomotiva (pomak od udarca lokomotive prenosi se od vagona
do vagona) Periodični longitudinalni val nastaje i u dugoj cijevi ispunjenoj fluidom (plinom
ili tekućinom) kada se na jednom kraju cijevi klip giba periodično naprijed ndash nazad Val se
sastoji od periodično izmjeničnih područja kompresije (zgušnjenja) i dilatacije (razrjeĎenja)
plina
Transverzalni su valovi mogući samo u tijelima čvrstog stanja a longitudinalni se mogu
širiti u sredstvima svih agregatnih stanja Naime za pojavu transverzalnog vala potrebne su
sile koje se protive pomicanju jednog sloja sredstva prema susjednom sloju a u fluidima su
takve sile zanemarive
Moţe se pokazati (vidi udţbenik Osnove fizike 3 autora drsc Josipa Planinića) da se
valovi mogu opisati tzv valnom jednadţbom
120597 119906 2
1205971199052= 1199072
120597 119906 2
1205971199092 (51)
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Jednadţba se izvodi posebno za longitudinalne a posebno za transverzalne valove U
oba slučaja dobivamo slične jednadţbe a razlikuju se samo u izrazu za brzinu širenja valova
v Brzina širenja longitudinalnih valova ovisi o Youngovom modulu E i gustoći sredstva
119907 = 119864
120588
a brzina valova kod transverzanih valova napete ţice ovisi o napetosti niti N i masenoj
gustoći ţice
119907 = 119873
120583
Svaku funkciju u(xt) koja zadovoljava jednadţbu (51) zovemo val Pretpostavimo da
je rješenje jednadţbe (51) dano u obliku
119906 = 119891 119907119905 minus 119909 + 120593 119907119905 + 119909 (52)
gdje su funkcije f(xt) i (xt) neke derivabilne funkcije (dakle imaju derivacije 1 i 2 reda po
x i t) Uvrštavanjem izraza (52) u jednadţbu (51) lako pokazujemo da je funkcija u(xt)
rješenje valne jednadţbe
Provjera
120597119906
120597119909= minus119891 prime 119907119905 minus 119909 + 120593prime(119907119905 + 119909)
120597119906
120597119905= 119907119891prime 119907119905 minus 119909 + 119907120593prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199092= 119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 120593prime prime(119907119905 + 119909)
120597 119906 2
1205971199052= 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593primeprime 119907119905 + 119909 = 1199072119891primeprime 119907119905 minus 119909 + 1199072120593prime prime(119907119905 + 119909)
Funkcija u(xt) je dakle zbroj dviju funkcija od kojih 119891(119907119905 minus 119909)označuje funkciju valnog
gibanja u pozitivnom smjeru osi x dok je funkcija 119891(119907119905 + 119909) funkcija valnog gibanja u
negativnom smjeru osi x Općenito je funkcija u(xt) sastavljena od dva gibanja uzduţ osi x u
suprotnim smjerovima Pribrajanje dviju valnih funkcija koje daju jednu rezultantnu funkciju
vala nazivamo princip superpozicije (prema kojem svaki val proizvodi svoje titranje neovisno
o postojanju drugog vala)
Funkcija u(xt) moţe imati jednostavan oblik periodične sinusne funkcije tako da poloţaj
čestice udaljen za x od ishodišta u nekom trenutku t prikazujemo kao
119906 119909 119905 = 119860 cos 120596(119905 minus119909
119907) (53)
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Iskoristimo li vezu kruţne frekvencije i perioda titranja T 120596 =2120587
119879 jednadţba (53) postaje
119906 = 119860 cos2120587
119907119879(119907119905 minus 119909) (54)
Valnu duljinu definiramo kao udaljenost izmeĎu dva susjedna sloja koji se nalaze u
istoj fazi titranja Vrijeme potrebno da poremećaj prevali udaljenost od jedne valne duljine
zovemo period T
Budući da se poremećaj širi stalnom brzinom koristimo definiciju srednje brzine iz
mehanike prema kojoj je srednja brzina jednaka omjeru prevaljenog puta i vremena potrebnog
za taj put tj valna duljina prevaljeni je put za vrijeme od jednog perioda T
119907 =prevaljeni put
vrijeme=
120582
119879
Konačno jednadţba (54) postaje
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) (55)
Smjer širenja ovog vala je smjer pozitivne osi x Na sličan način dobivamo i val koji se širi u
smjeru negativne osi x
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879+
119909
120582) (56)
Što će se dogoditi ako se u homogenom izotropnom elastičnom sredstvu gibaju dva
sinusna vala jednakih perioda i amplituda jednakih brzina po iznosu ali suprotnih smjerova
Ovakvu situaciju imamo kod refleksije vala na krajevima sredstva PronaĎimo zbroj
(superpoziciju) valova čije su jednadţbe dane izrazima (55) i (56)
119906 = 119860 cos 2120587(119905
119879minus
119909
120582) + 119860 cos 2120587(
119905
119879+
119909
120582)
119906 = 119860(cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582minus sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582
+ cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582+ sin 2120587
119905
119879sin 2120587
119909
120582)
119906 = 2119860 cos 2120587119905
119879cos 2120587
119909
120582 (57)
Dobili smo rezultantno gibanje koje je razmjerno umnošku dviju kosinusnih funkcija od
kojih jedna faza ovisi samo o vremenu a druga samo o prostoru Val prikazan izrazom (57)
ne putuje Neke točke titraju s maksimalnom amplitudom a neke uopće ne titraju već uvijek
ostaju na istom mjestu Zato takav val zovemo stojni (stacionarni) val Točke maksimalne
amplitude zovemo trbusima stojnog vala a točke u kojima nema titranja zovemo čvorovima
Iz izraza (57) lako se vidi da su trbusi tamo gdje prostorni dio sinusoidalne funkcije cos 2120587119909
120582
ima maksimum a čvorovi tamo gdje se ta funkcija poništava
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Dakle uvjet za trbuhe glasi
cos2120587
120582119909 = 1
2120587
120582119909 = 119896120587 119909 = 119896
120582
2 (119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip )
dok je uvjet za čvorove
cos2120587
120582119909 = 0
2120587
120582119909 = 2119896 + 1
120587
2 119909 = 2119896 + 1
120582
4 119896 = 0 plusmn1 plusmn2 hellip
Udaljenost izmeĎu trbuha i trbuha odnosno čvora i čvora stojnog vala je 2 a izmeĎu
trbuha i čvora je 4 Stojni val se ne giba i prema tome ne prenosi nikakvu energiju Kako
postoje samo točke koje uvijek ili samo titraju ili samo miruju a to titranje je uvijek
simetrično srednji tok energije kroz neku točku jednak je nuli Stojni val naravno ima
energiju ali je ne prenosi iz jedne točke prostora u drugu
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
51 Širenje vala između dva nepomična kraja
Pribor Izvor 12 V DC funkcijski generator elektromotor spojni vodovi 2 postolja
stativa 2 duţe šipke 3 spojke -mufne 1 kraća šipka kuka elastična nit kolotura
dinamometar mjerna vrpca
Zadaci 1 Demonstrirajte u tekstu zadana titranja
2 Istraţite matematički i pokaţite grafički ovisnost brzine titranja niti o sili
napetosti niti (5 mjerenja)
Uputa
Promatramo stojne valove na niti Jedan kraj niti pričvrstimo na vibrator a drugi kraj
preko koloture spojimo na dinamometar tako da moţemo mijenjati napetost niti (slika 511)
Slika 511
Vibrator izvodi harmoničko titranje u smjeru okomitom na nit Titranje se prenosi po
niti i dolazi do kraja obješenog na koloturu odakle se reflektira kao od čvrstog kraja
Mijenjamo frekvenciju f vibratora počevši od najmanjih vrijednosti Pri odreĎenoj frekvenciji
titranja nit počne titrati tako da na krajevima miruje a po sredini titra najjače Krajevi niti
postali su čvorovi a sredina je postala trbuh (slika 512 a)) Bitno je uočiti da u tom trenutku
sve čestice niti titraju sinkrono tj sve u istom trenu postiţu maksimalni otklon prema gore
sve u istom trenu prolaze kroz poloţaj ravnoteţe i sve u istom trenu postiţu maksimalni
otklon prema dolje
Povećamo li frekvenciju vibratora nit se prvo smiri a zatim se kod neke veće
frekvencije opet uspostavi stacionarna situacija ali drugačija od početne
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Na krajevima i u sredini nit miruje (čvorovi) a
izmeĎu toga stvore se dva trbuha (slika 512
b)) Nastavimo li s povećanjem frekvencije
vibratora nit se opet smiri i zatim kod odreĎene
frekvencije zatitra kao na slici 512 c) (četiri
čvora i tri trbuha) Daljnje povećanje
frekvencije moţe stvoriti stojne valove s 5 6 7
hellip čvorova Nacrtajte sliku stojnog vala s 5
čvorova Slika 512
Nategnite nit proizvoljnom silom tako da uzmete kraj dane elastične niti Metrom
izmjerite duljinu niti L na kojoj se javljaju stojni valovi a dinamometrom napetost niti N
Mijenjajte frekvenciju vibratora (motora) počevši od najmanjih vrijednosti tako da
podesite frekvenciju da se formira val s jednim a zatim s dva i tri trbuha Odredite brzine
širenja vala za ta tri slučaja Podatke upišite u Tablicu 51
Korišteni matematički izrazi
v =
Tablica 51
mjerenje
jedinica
f l λ v
Hz m m ms
1
2
3
Sada mijenjajte frekvenciju dok ne uspostavite titranje s jednom valnom duljinom Za
istu valnu duljinu titranja izvršite pet mjerenja za različite napetosti niti Izračunajte brzinu
širenja valova od kojih nastaje stojni val Podatke upišite u tablicu 52
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Tablica 52
mjerenje
jedinica
N λ f v
N m Hz ms
1
2
3
4
5
Kako biste općenito pronašli frekvencije niti (vibratora) kod kojih će se stvoriti stojni
valovi Koristimo sliku 513 Promatrajmo slučaj a (dva čvora i jedan trbuh) Duljinu niti
označimo s L Prema slici 513a vidimo da se na cijelu duljinu niti L smjesti pola valne
duljine tj vrijedi odnos = 2L Pripadnu frekvenciju dobivamo iz veze valne duljine
frekvencije i brzine
120582 =119907
1198910= 2119871 1198910 =
119907
2119871=
1
2119871
119873
120583
Frekvenciju f0 zovemo osnovna frekvencija titranja niti
Promatrajmo slučaj b) (tri čvora i dva trbuha) Prema slici 513 b) vidimo da se na cijelu
duljinu niti L smjesti jedna i pol valna duljina tj vrijedi odnos L= Pripadnu frekvenciju
dobivamo iz veze valne duljine frekvencije i brzine
120582 =119907
1198911= 119871 1198910 =
119907
119871=
1
119871
119873
120583= 21198910
Frekvenciju f1 zovemo prva (iza osnovne) harmonijska frekvencija titranja niti
Pokušajte sami pronaći frekvenciju titranja niti u slučajevima s 4 i pet čvorova Moţete li
napisati formulu za stotu harmonijsku frekvenciju Koristite zakonitosti za stojne valove
1 Na mjestima gdje štap (nit kraj cijevi) miruje uvijek dolazi čvor
2 Na slobodnom kraju uvijek je trbuh
3 Čvor i čvor odnosno trbuh i trbuh ne mogu biti susjedi
4 Udaljenost izmeĎu čvorova (trbuha) mora biti jednaka
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Ustanovite kako brzina vala ovisi o napetosti niti N Tu ovisnost prikaţite grafički i
matematički
Nacrtajte krivulju Nv na milimetarskom papiru
Graf 51 Ovisnost brzine širenja vala o napetosti niti
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
52 Određivanje brzine širenja zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi
Pribor Kundtova cijev s zvučnikom izvor zvučnih signala ndashfunkcijski generator
pojačalo mjerna vrpca fini prah ndashpiljevina spojni vodovi
Zadaci 1 Izračunajte brzinu zvuka u zraku pomoću Kundtove cijevi za 5 različitih
frekvencija (raspon od 300-2000 Hz)
2 Usporedite dobivenu vrijednost s tabličnom
Uputa
Nastanak stojnih (stacionarnih) valova plina moţe se pokazati pomoću Kundtove
cijevi Kundtova cijev je obično staklena cijev duljine oko 1 m promjera 3 do 4 cm zatvorena
na jednom kraju pokretnim čepom Pomicanjem pokretnog čepa moţe se podešavati duljina
stupca zraka u cijevi Na drugom kraju naše cijevi smještena je membrana zvučnika koja
pobuĎuje stupac zraka u cijevi na titranje (Slika 521) U cijevi se nalazi i piljevina od pluta
koja sluţi za vizualizaciju čvorova odnosno trbuha
Slika 521
Sastavite aparaturu prema Slici 522 Za svaku od izabranih frekvencija podešavajte
udaljenost pomičnog čepa od kraja cijevi tako da u cijevi nastaju stojni valovi To će se
dogoditi kada je ta udaljenost jednaka neparnom broju četvrtina duţine vala tj kada je
L = (2k-1)4 gdje je k = 1 2 3 hellip Stojni val se vidi po figurama piljevine koja se skuplja u
čvorovima Izmjerite udaljenost izmeĎu dva susjedna čvora (L) što odgovara polovici valne
duljine te odredite valnu duljinu valova zvuka u zraku unutar cijevi
Slika 522
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Pojačalo sluţi kako bismo pojačali signal funkcijskog generatora na zvučniku a skalom
funkcijskog generatora mijenjamo frekvenciju Poznavajući frekvenciju zvuka f (očitajte s
funkcijskog generatora) lako je izračunati brzinu zvuka v prema relaciji 119907 = 120582119891 Podatke
upišite u Tablicu 53
Korišteni matematički izrazi
v =
=
v =
Tablica 53
mjerenje
jedinica
f L λ v
Hz m m ms
1
2
3
4
5
v =
Koliko iznosi tablična vrijednost brzine zvuka pri sobnoj temperaturi
tv =
ms
Postotna pogreška (usporedba s tabličnom vrijednosti) brzine zvuka
vp =
=
=
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak
Razmislite
1 Gdje je najveće zgušćenje a gdje najveće razrjeĎenje sredstva
2 Kakve su elongacije čestica na tim mjestima
3 Gdje se gustoća sredstva ne mijenja
a) na mjestu gdje elongacije čestica imaju jednak smjer
b) gdje su elongacije čestica suprotnog smjera
Zaključak