. . , . . , . . , . .

, . , . , ! , , . . , ! . , , , !

"" , , ! , , , ! . , !

( - )

. . , . . , . . , . .

,

1

2002 1273-4 531(075): 378.14 -58

:

. . ,

. .

. ., . ., . ., . . -58 . 1. . 2- ., . . : -

. . . -, 2002. 80 .

180 , 1981 1990 , . , . .

, .

1273-4 531(075): 378.14

(), 2002

. ., . ., . ., . ., 2002

, , ,

. . . .

020851 13.01.94 020079 28.04.97

27.04.2002 60 84/16. . . Times. : 4,65 . . .; 4,38 .-. .

150 . . 322.

-

392000, . , . , 106, . 14

, , , - . , , . , .

, . (, 1992 - 1995; , 1996 - 2001), (, 2000 - 2001), , .

C1 (, 1982. 3 ) , -

, , . , f.

2 (, 1982. 3 )

, . 1 M . , , - , . 2 1.

(, 1983. 3 )

, . - , , Q, , . .

C4 (, 1983. 10 )

OABD Q

, B . . , , , . .

5 (, 1984. 5 ) 1 M1. 2 , 3

, 21O = 90, O1O2A = , O1A = r, CO2 = O2D = a, 2 3 f, 1, , 2 , , 2 3 D.

6 (, 1984. 4 )

, - , - - , - . f, l, a . -.

7 (, 1985. 4 )

OA O, KL. - - l. - , - - f. M , - . .

8 (, 1985. 8 )

. , , .

,

F = M SK/(LK OS), AS AE, EC OC, AE || OC.

l

9 (, 1986. 3 )

S , -, .

10 (CCP, 1986. 4 )

1 Q1 Q2, . f. f0 2 3 .

11* (, 1986. 4 )

m1 m2, A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 . .

C12* (, 1986. 3 )

M1 2 - , - . . - , M2 1.

* , , .

C13 (, 1987. 5 )

- z = H - (x2+y2)/H. h . h - , f ?

C14 (, 1987. 6 )

Q R , ,

F

H

, D. d , . , f, tg > /R, f > /R. ?

C15* (, 1987. 4 )

R r, - , - c. , Q. , ?

C16* (, 1987. 7 )

,

M0 = MA = MB = m. V z; = a, = b. , - M0 , MA , MB .

C17 (, 1988. 10 )

l O - h - , . , k (k - ). . .

C18 (, 1988. 4 )

R - , . ( ) . AA1 1 , -.

19* (, 1988. 5 )

AB = l Y, Z YZ. , F, .

20 (, 1989. 6 )

- P1 2. , - f1. f2.

z

x

. F ?

C21 (, 1989. 4 )

. - - , M, Z, F. F 1CY1 (X1 // X, Y1 // Y) Y1 = 60. - , = , = , = . = 1 , = 2 , = 0,5 , F = 2 H, = 0,5 H, M = 1 .

22* (, 1989. 5 )

12 1 = 2 = , = 12 = ( > ). - 1 2,

1 2. - 2/1, O2 12.

23 (, 1990. 4 )

. -. . , f. . f ?

24 (, 1990. 5 )

- - - D . D . - , - . - ?

25 (, 1982. 3 )

, - , . , ?

26 (, 1982. 3 )

, 1 2 (1 > P2) - l, r = 0,5 2 l,

- f. , . .

27 (, 1983. 5 )

M2, , , D 5. . : = = l, CD = 0,5l, = 60, = 90; .

28 (,1983. 3 )

,

, Q, f0. - = f(y), .

29 (, 1984. 5 )

- - . , - , : R, Q f, (OA = AB = R).

30 (, 1984. 5 )

DOE. , Q, M, = = l.

C31 (PCP, 1985. 3 )

2R , . .

32 (, 1985. 3 )

, - -, - , - . , F, - . R .

33 (, 1986. 3 )

D . -

1 . - l, = = 0,5l; , CF, P

r BD.

34 (, 1986. 5 )

c 1,

= 600 c? h = 1 . A f = 0,3, . : r = 10 , a = 4 , b = l = 20 , = 90, = 45.

35 (, 1987. 3 )

G - - . f , . - Pmin, , - .

36 (,1987. 5 )

. D 90. r, f0 = 0,268. 0B0, . : 1) B , 2) l

. : f, = 4, tg = f, M = b G, h = 3/2 f b.

38 (PC, 1988. 5 )

- , - - . - - . - f - . NA, , , -.

39 (, 1989. 3 )

2 Q r

- O1O2 2r O1; 1 3. ; O1A

. 3.

40 (, 1989. 5 )

- , - . . : = = l, r1 = R2 = 0,5l, r2 = 0,25l, = 30, = 90, 3 = 0, QA = QB = Q.

C41 (, 1990. 3 )

2 G2 r 1 G1 , O. - -. L, O - l, - f. , , f, G1, G2 .

42 (, 1990. 3 )

- c , . : - - r/R = 0,2, - = 30 f = 0,577, k/R = 0,5, Q, O - .

43 (. , 1984. 3 )

-

l

l/3

V1=const

l l

1

2

3

3

, - - l/3. . .

44 (. , 1984, 3 )

OBAD OZ O D. OZ . ZOZ1. - , Q, . 2 2b (AD = 2a, OD = 2b) , O D.

45 (. CP, 1987)

( ), F? .

46 (, 1983. 3 )

, - , r. r - , l. l , , .

47 (, 1985. 3 )

1 2 m1 m2, , , . - f. - - . 48 (, 1986. 3 )

O, ,

: MO = , MA = 4M, MB = 5M. , , .

49 (, 1982)

, n , - -. - ; Q - ; O, 1, 2, ... n - . k ( = 1, 2, ..., n) .

50 (, 1982)

1 2

n

C. f1 f2 (f1 < f2). , -, MN.

51 (, 1987)

O O A . , -

. - Z.

52 (, 1982)

. r h . - f. b - , - ? - .

53 (, 1983)

, 1 (1X, 1Y, 1Z) 2 (2X, 2Y, 2Z), 1 (1,1,1), 2 (2,2,2), .

54 (, 1984)

, -, M l , - . D B . . c , 2l 2 .

C55 (, 1984)

, D , , , D . - 1, 1, D1 , . , - .

56 (, 1985)

MO, MA MB - - - , , ; OM = 3 Fh k ; AM

= 3 Fh k ; MB = 5Fh; OA = OB = h. .

57 (., 1985, 3 )

4 - - D G, D - , G - . M Q. , = AD = DC = , F = 2.

58 (. , 1983, 3 )

- -, - ,

. , - , 1-1.

, - 1-1, .

59 (., 1988)

G, r R

. f , = 30 r/R = 0,2.

60 (. , 1985, 3 )

- 1 2 - h -. - - . - - f.

61 (. , 1987)

G , - ; - f. , , = , .

62 (. , 1988)

D B1 - 1 DD1. B1 D, D = 1D1 = 1/3 1. .

63 (. , 1983. 3 )

- . - M, 1 r , 1O = /2, 1 = /6, = = 2 3 r.

64 (. . 1984, 3 )

,

, ,

. f, . x = D, , n ? .

65 (. , 1988)

l = 4 y = 0,5 x2. -.

66 (. , 1988)

AB D . D , Q. , = 4 ; = 12 H; Q = 16; a = 1 . 67 (. , 1986. 3 )

D, , 5, 6, 7, 8, 9. L Q Z 1, 2, 3, 4. 1 2, -, = 8 ; Q = 6 ; = 4 , = 3 , = b = = 2 ; L = 5 ; = 2 ; = = = 45; KL OY.

2 2

Z

1 2

3 4

5

6

7

9 8

Y

X

68 (, 1985. 3 ) , , , .

, , . ? .

69 (, 1986. 3 )

m . l. - - 1, - 2. .

70 (, 1986. 3 )

, ? = 2.

71 (, 1988)

M , x = x0 y = sin (x) Q, . , f < (dy/dx) (x0).

C72 (., 1984. 3 )

OX Q , F1, F2, F3, Q ? F1 = = F2 = F3 = F.

73(., 1984. 3 )

R P, ,

- ( f). - F - - h, ?

74 (., 1985. 3 )

1 2. 1 . 2 , . f 2 , 1 ? , 2 .

75 (., 1986. 3 )

, , . - , R1 R2 - , , yi : Ri = R0 + k0 yi, R0 k0 - . 0 l0. .

76 (., 1986. 3 )

, - , - , - -

P

. = 12,0 . , DF . .

77 (., 1987) - O

- - . , , - , .

78 (., 1982)

, n ,

, - - . l. .

79 (., 1983)

: F1, F2, F3, , , D .

= = b 120 ? F1 = F2 = F3 = P, AB = OC = OD = a.

80 (., 1982)

n , . 1, 11 / 11 = = 22/22 = ... = nn/nn = 1/4.

81 (., 1963)

: 1Pr

= P kr

, 2Pr

= P ir

, 3Pr

= P jr

, 1(, 0, 0), 2(0, , 0), 3(0, 0, ), . - , , ?

82 (., 1984)

, .

L ( n ), n .

83 (., 1985)

, - - f. - 45 -. - ( x), . 2. f x , ?

84 (., 1985)

- .

85 (., 1977)

a Q M , M l. r (r = ), 2/

91 (.-. , . - / ., 1990)

Q ,

G,

. , , .

92 (.-. , . - / ., 1990)

, - - . , . 1 , .

93 (. , 1979)

1 . ,

2 3 f , , .

94 (, 1987) = , D = 2 ,

, D. , F - , - .

95 (, 1986)

2Q r

l D. ? - . ; - -.

96 (, 1987)

- . - , ?

97 (, 1985)

, , O1 = O1O2, 1 2 P1 P2 -.

, , , 1 = , BO2 = 90, , 1 2 .

G

1

2

98 (. . -, 1982)

A 1, M2, M3, M4,

YOZ, ZOX, XOY , . , 1 = 4 ; 2 = 3 ; 3 = 1 ; 4 = 3 ; = = .

99 (. . -, 1983)

-

2h .

, - h. f 0,6. ? . 100 (. . -, 1984)

Q D, -

, . - f. - ? - , Q, f, ( - -). 101 (c. .-. ., 1987)

R r ,

. . . , . , r 0 0 (.. , ). . , r - , r ; r R 0. ? )(tg r R 0. ? , 0 < r < . , , ( ).

102 (. - . ., 1987)

2l R. , , .

103 (. . -, 1986)

R

Q . - f = 0,5. , , = 2 = 2 R ? .

104 (. -. -, 1978)

l Q - . a . , YOZ . B f. .

105 (, 1982)

. 0,3, N. , , 0,25N ?

106 (, 1980)

aaa 2 , 12, . 12 D C A, , . , . .

107 (, 1986)

h , ? f = 0,2; 2 .

108 (, 1979)

- - . P1 2 r1 r2 .

. , . .

109 (, 1979)

- , - .

, , . , . f, = = a.

110 (, 1981)

, , , . . , ?

111 (, 1980)

. 2l Q, . Q0 , , . l, . .

112 (, 1978)

, D. . ( ). - . 11 (, 1978)

. f. f ? Q,

. Q ?

114 (. 1978)

, , 1, , 2 R, ( ) fA fB , , . , .

115 (. . -, 1982)

, , ,

60 . D Q. Q, , f. . 116 (. . -, 1982)

, , , D, - . - - - 45. B , = 4 . 117 (. . -, 1983)

R

,

l = 2r, 1 r, . 2. Q, ; b = r, - f ; 2; . 118 (. . -, 1982)

, , 1 2 G . Q ,

. .

119 (. . -, 1983)

r

G R; Q , . Q ?

120 (. . -, 1984)

m = 500 .

: - 1 = 0,01 , - 2 =

0,005 . - f = 0,1. , , . 121 (. - . ., 1985)

, ,

Q, ? ( ) f, R .

122 (. - . ., 1983)

. . , 1.

123 (. - . ., 1987)

R. . , , , Q. Q , ? f,

0,8

Q

. 124 (. - . ., 1987)

BED O

D P R. = 60o , = 30 . , . f1 f2, . .

125 (. - . ., 1984)

m1. m2, O1B , , = 90, = 30, = O1 = l. . F, ? = l 2 , AK = l. . 126 (. - . - ., 1985)

O, , , , D, - . . D m. - O, D = , = . D F, ? 127 (. - . ., 1987)

BE D . E - , , - D P. yA, xD; = 20 ; m1 = m2 = = 120 . , , .

128 (. - . ., 1988)

m l ABCD, 1 C2; - . , . , . 129 (. - . ., 1988)

D

, , . -

1 , , D .

130 (. - . ., 1989)

6 , Fi, .

131 (. - . ., 1989)

R . M OZ, O, , f ?

132 (. - . ., 1989)

Q r. - . , P =

81 Q.

, min ? min min . 133 (. - . ., 1989)

O1A O2B R r . - , Q, p. , . -. 134 (. - . - ., 1989)

R , , . r . . .

135 (. - . ., 1989)

, . - ,

, 1 = 1,5 , 2 = 1 , P3 = 2 , , .

136 (. - . ., 1989)

2Q r, , . , , . , , . , . .

137 (. - . ., 1988)

F Q. F . Q, .

138 (. . -., 1987)

, 30=

f = 0,15? . - - = 0? 139 (. . -, 1986)

D

- . -, .

140 (. . -, 1986)

r

. . R.

C141 (. . -, 1986)

R

- r ? f. . 142 (. . -, 1985)

1 1 ,

, R. f, r = R/2. P2 - 2 ? 143 (. . -, 1985)

h ,

, 10, ? : f - ; - - . 144 (. . -, 1985)

, f = 0,2? . ? , ?

145 (. . -, 1987)

, , , . . - -. . -, .

146 (. . -, 1983)

= = b . , , . . - .

147** (, 1992. 4 )

AB = l P

B f < 1, . , D. , . , , P = 2cl.

** 147 - 154 .

. . , . . , . . , . . . 148** (, 1992. 3 )

Q

. , . FGHN ,

B

D A

30

N

HP1

P2

G

BF

AE

. NH, . , , AF = 105 AEAB = .

C149** (, 1993. 5 )

, , , 0. : 1) f , , ; 2) , , . . 150** (, 1993. 4 )

ADBE P AB = DE = 2l - .

, : 1) - - ; 2) , D

25Pl . , .

151** (, 1994. 5 )

, , , , - , . P1 = 1 , P2 = 2 . A , f1 =0,2, f2 = 0,15. = 60.

, , .

152** (, 1994. 3 )

a b AD, BF, CH. , x, y ,

x. , ab 2/tg = .

X

a

H

CD

z

O bB

y

F

A

153** (, 1995. 4 )

P r . B f = 153 .

A B

= 60o. BD 8r, . F = 2P. ? ?

154** (, 1995. 4 )

ABCDEH AB = CD = 4l AE = DE = l AED = 2 EG. , EG . . , AD = 15o .

155*** (, 1996. 3 )

, n , . , Q, . ( > Qsin). ,

. .

n

n-11

Q

1 n-1

n

*** 155 - 166 . . . , . . , . . . 156*** (, 1996. 4 )

, - . D. , , f. 157*** (, 1997. 3 )

. , ?

158*** (. 1997. )

-

, . - 2 . , , f?

159*** (, 1998. 5 )

AD

B

: l, 2l, 2,

. , . , , = l ( - ). 160*** (, 1998. 6 )

l , .

, ( < l). f. l ? 161*** (, 1999. 3 )

,

b, Q . ,

. , .

162*** (, 1999. 5 )

, , . , l, , r. Q = 2. , f, .

C163*** (, 2000. 5 )

2r r r. , . .

C164*** (, 2000. 5 )

. xAy f, z. xAz. f 30? ,

A

B Q

, A .

165*** (, 2001. 5 )

R , . , f (f < 1). .

166*** (, 2001. 6 ) a, b Q f. ,

)2/0( ? .

C 167**** (, , 2000. 3 )*

n mk xk, yk, zk, k = 1 n. Q: kF =f mk QM k , f - . Q, , .

168**** (, , 2000. 4 )

2P , . f. - , 45 . ( x). , f x , ?

**** 167 - 170 . . . , . . , .

. . 169**** ( - , , 2001. 6 )

,

() D. OD DA, . = 2l.

170**** ( - , , 2001. 6 )

m . . .

171**** (, 1992. 4 )

ABCD, , , . BC CD --, . = BD = b, .

172 (, 1992. 6 )

-- (

), = = r. m = M 3 , F, .

173 (, 1993. 4 )

SABC P , , . , . S F, , ? . 174 (, 1993. 6 )

1, 2,

3, 4 F, Q. F CD , Q DE CK; BD = DC = BC = a; CK = CN. Q . .

30

F

175 (, 1995. 4 )

1 2 , f. , . 2. 1 .

176 (, 1995. 3 )

BD 1 2

, = l, BD = 1,5l, AE = EC = CK = KB ACB = 60. f. Q D, , ? S .

177 (, 1995. 5 )

= 4 , , - , - . CD KL . 1 z, 2 30. 2 F = 2 , , - m , ON m = 2 a , - . OA = OB = = AN = BE = AD = OK = OC = a (), KL - z KL OL, OL || AN. (-) CD KL.

178 (, 1996. 4 )

r

R, . ,

. R, .

179 (, 1996. 3 )

F

.,,, 4321 MMMM , .5,1,2, 21 lCDlBOlAO === 4M .

180 ( , 1993. 5 )

1 R Q, 2 , . , 2 f. P 2, 1?

178.

1:

30

1

2

====+=

===

.3

;030cos30cos,0

.;060cos60cos,0

12121

2121

NPNNPNNY

NNNNX

oo

oo

2: ( ) 060coscossin,0 131 =+= oNNPX .

( )( ) .3,6721

sin;

147sin

,93tg060cos

3sin

.03

rrrrR

PP

N

+=+==

==+

=

o

: R < 6,3r.

179.

:

.0

.0

44332211 =+++=

DSFMMMM

A

AB - , .03 =

() CD D,

.05,12

;23,2,

.0

421

421

=+

===

====

lSM

lSM

lSM

lSlSlS

SSSS

S

CBA

CBA

D

180.

( ).243: 124 MMM =

:

;02;0 1 == RFNMmC

.2

02;, 1 fRQMPRPfQMPfFQN ====

.0;0;0 111 QPffPfQfFFx ===

: fRQMP 2/)( = , QPff /1

1. f 2/tg . 2. )/()cos( 2 caM = . 3. )2/( QPQf + . 4. 2/tg)( += QPYa . 5. )cossin/()( 21min2 += fraaMM . 6. )1(3,3max fal += . 7. )cos)sin/((cos)( += fPlM .

8. , L - , S - , - . 9. 2/PS = . 10. .arctg2max f= )/( 211min QQfQfO += . 11.

222111 // RAmRAmmX += ; 222111 // RBmRBmmY += ; 222111 // RCmRCmmZ += , 2121211 CBAR ++= ; 22

22

222 CBAR ++= . , m1 m2

(). 12. )9/3(arctg= . 13. )4/1( 2fHh . 14. )/cos(sin/)/cos(sin RDQPdRDQ +

32. RMF /3= . 33. 2/31 PlM = . 34. /210min =C , H20min =P . 35. )arctg2cos(min fGP += . 36. 1 : ) o450 ; ) 00 . 2 : ) 045 . 51.

0RM Orr

- , hMMR OAXZ /22 += .

52. 291/6 fRfb + , 224/4 haRab + . 53. ))(())(( 22221111212222111121 ZXZXYYYZYZXX PaPcPaPcPPPcPbPcPbPP +++++ 0))(( 111121 =++ ZYZZ PbPaPP . 54. lmgc /2= . 55. 6/MgT = . 56. FR 4= . 57. 2/ctg)2(23 += QPx A , 2/ctg)2(2 += QPyA , QzA = , += sin/)2( QPTCG ,

+= ctg)2(2 QPT DE . 58. 3/3f . 59. 4,0min =f . 60. fha 2/min = , 0min P . 61. )cos2/(sincosmin += fGP , )cos2/(sincosmax = fGP 62. PS E 4,2= , PS D 1,2= , PyA 3,1= , Py B 2,1= , P AD. 63. Pr75,0min =M . 64. )1/()()1/()( 2222 ++ nbfanxnbfan , 1>n , 1222 += nnfab . 65.

o451 = , o1352 = . 66. 0=Ax , 14=Ay , H32=AM , H2=CR . 67. 24,021 == SS . 68. ( M , , , M ). 69. )(/)( 2112 += PmgPlx . 70. 9min =n . 71. + cossin/cossin fPQf , 0tg x= . 72. FQX 5,1= . 73. ))/()2(( hRhRhfPF + . 74. = tgf . 75. 21

2021001 2))(2( ylPyykRy =++ , 2122012200 )()))(( yylPyyykR =+ . 76. 2,17== AB xx , 3=Ay ,

9=By , 6=CN , 5,89=CM . 77. 0)sin()sin( >+ . 78. )/1/())/(1(5,0 lalaPy nA = . 79. 2/2ab = . 80. 3/)4/11(2 nPT = 81. 0=++ cba . 82.

==

n

iiaL

1)/1(2/ . 83. 1) )1/()12( flfx +> . 2) 2/,1 lxf == . 84. PxC 7= . 85. QaPar /cos422 = . 86.

bafl 2)1/tg( ++ , ftg . 87. QN 4= . 88. == BA RR 3/PRC = . 89. )cos/(sin)cos(sin ++= ffPQ . 90. ftg , cos/tg r . 91.

)cos(/(cos)2sin(costgmin ++= QGP 92. )sin5,13/()cos1(tg += , )sin2/()cos1(tg 1 += . 93. farctg2r , )(4/3tg 222 rrRRr ++= , oooo 6,18,5,0;6,53,2;67,;1,38,( ==== RrRrrRr ) 2) 0

)sinsincoscos(sin 222min += fPQ . 114. 1+ . 115. 32/1

166. )1/(8 2max fRfl += , 32 f . 167. . . 168. 2/lx = . 169. 2/Ll = . 170. )2/(tgtg MmM += . 171.

abPT = 172.

34r

MF = .

173. 3

6PF = . 174. aFaMMMQ /)2(4 431 ++= .175. P )ctg21()ctg21( 212 + fPPf . 176.

fPPQPP )(3652

2121 ++ , S = .3

232

21

+ QPP

177. 21 =S .

1 . . . . 1. -., 1980. 172 . 2 . . . .: , 1986. 448 . 3 / . . . . . .: , 1986. 480 . 4 / . . . . .: , 1983. 320 . 5 . . . .: , 1978. 189 . 6 . ., . ., . . . .: ,

1987. 176 . 7 . ., . ., . ., . . / .:

, 1980. 210 . 8 . ., . . : . . : - . .

. -, 2001. 84 . 9 . ., .. . : F, 1998. 56 . 10 1987 - 1998 /

. . . . : i, 2000. 280 . 11 . : -

, 2000. 76 . 12 " -

" 1992 . : - , 1993. 32 . 13 " -

" 1993 . : - , 1994. 26 . 14 " -

" 1994 . : - , 1995. 32 . 15 . : -

, 1996. 56 . 16 . : -

, 1997. 68 . 17 . : -

, 1998. 72 . 18 . : -

, 1999. 90 .