Postulados de la mecánica cuántica

Ponentes:

Rodrigo Aguayo Ortiz

Paulina Flores Carrillo

Tania Hernández Ríos

CONTENIDO

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Mecánica cuántica

Postulados de la mecánica cuántica

Postulado I. Estado del sistema

Postulado II. Observables

Postulado III. Mediciones

Postulado IV. Valores esperados

Postulado IV. Evolución temporal de los estados

Mecánica Cuántica

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•La mecánica cuántica es un conjunto de principios que describen el comportamiento de la materia y sus interacciones a escala atómica y subatómica.

•La teoría de la relatividad resulta aplicable a los sistemas de gran escala.

•La física clásica era incapaz de explicar ciertos fenómenos que ocurren a nivel atómico y subatómico.

•La mecánica cuántica es la obra de muchos nombres propios: Planck, Schrödinger, Bohr, Heisemberg, De Broglie, Dirac y otros, incluido el mismo Einstein, hicieron diferentes contribuciones a la teoría.

Postulados de la Mecánica Cuántica

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• Un postulado es un enunciado que se propone como cierto sin

necesidad inicial de prueba y que se utiliza como punto de partida

para la construcción lógica de una teoría.

• La validez de la teoría se examina a posteriori, comprobando que

se pronostica correctamente el resultado de experimentos

controlados.

Postulado I

Estado del sistema

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a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad

b) Evolución temporal de los estados: Ecuación de Schrödinger

c) Principio de superposición

Postulado I. Estado del sistema

a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad

• El estado de un sistema físico está descrito por una función Ψ(x,t) de las coordenadas (x) y del tiempo (t). • Esta función, llamada función de estado o función de onda, contiene toda la información que es posible determinar acerca del sistema.

El módulo al cuadrado de la función de onda es la probabilidad, por unidad de volumen, de encontrar a una partícula.

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Postulado I. Estado del sistema

a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad

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En caso de que queramos localizar la partícula en un volumen , efectuaremos la siguiente integral:

Eso se traduce en que las funciones de onda han de estar normalizadas, es decir, la integral en todo el espacio de su módulo al cuadrado ha de ser la unidad:

Postulado I. Estado del sistema

a) Función de onda y condiciones de aceptabilidad -Condiciones de aceptabilidad

¿Cómo saber si una función de onda puede representar un estado cuántico?

1.- La función ha de ser continua en todo su rango. 2.- La función ha de ser univaluada. Con esto nos aseguramos que sólo tenemos una probabilidad de encontrar la partícula en cada punto del espacio. 3.- La función ha de tener derivada y además ha de ser continua. 4.- La función ha de anularse en el infinito

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Postulado I. Estado del sistema

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b) Evolución temporal de los estados: Ecuación de Schrödinger A. Energía cinética B. Momento lineal de la partícula Por lo tanto, podemos expresar la energía cinética como: C. Energía potencial únicamente depende de la posición de las partículas

involucradas (protones y electrones) D. Energía total del sistema.

Postulado I. Estado del sistema

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b) Evolución temporal de los estados: Ecuación de Schrödinger • La energía total , como la energía cinética y la potencial , son observables y podemos medirlas en los sistemas. • Es posible asociar unos operadores cuánticos

Hamiltoniano Ĥ= T + V • La ecuación condensa toda la información sobre la posible evolución del mismo. • Así la ecuación de Schrödinger será: • Que toma la siguiente forma:

Postulado I. Estado del sistema

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c) Principio de superposición

• Sean dos funciones de onda cualesquiera, Ψ1(r, t) y Ψ2(r, t), que representan estados de un mismo sistema, y sean dos números complejos arbitrarios c1 y c2. • La combinación lineal Ψ = c1 Ψ1 + c2Ψ2 es la función de onda de un estado válido del sistema, y este estado se dice que es una superposición de los representados por Ψ1 y Ψ2.

Postulado I. Estado del sistema

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c) Principio de superposición

> Obsérvese que Ψ∗= c∗1Ψ∗

1+ c∗2Ψ∗2

Por lo tanto: |Ψ|2= |c1|2|Ψ1|2+ |c2|2|Ψ2|2 + c∗1c2Ψ∗

1Ψ2 + c∗2c1Ψ∗2Ψ1

La probabilidad del estado superpuesto no es una simple suma de las probabilidades de los estados que se superponen.

Las funciones de onda se suman pero la información está contenida en su cuadrado.

Esta regla permite explicar los fenómenos ondulatorios, tales como la difracción de electrones o neutrones.

Postulado II

Observables

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Postulado II. Observables

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Todo observable estará representado por un operador hermítico y lineal.

Operador: Regla que convierte una función en otra.

Postulado II. Observables

- Explicación a) Operador Lineal: asegura el principio de superposición.

b) Operador Hermítico: asegura que sus valores propios sean reales y no complejos.

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Postulado II. Observables

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- Operadores

Postulado III

Mediciones

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Postulado III. Mediciones

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Los únicos resultados de las medidas asociadas al operador  son sus valores propios.

FUNCIÓN PROPIA: aquella función que al aplicarle el operador nos da la misma función multiplicada por un escalar, que es el VALOR PROPIO de esta función.

 f(x) = α f(x)

Postulado III. Mediciones

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- Ejemplos:

Postulado III. Mediciones

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- Interpretación

Dado un estado arbitrario, no podemos predecir qué resultado se obtendrá en una medida individual sobre el sistema.

Lo que sí podremos decir es con qué probabilidad se obtendrán las posibles medidas (valores propios del observable).

Postulado IV

Valores esperados

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Postulado IV. Valores esperados

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El acto de medición altera el estado del sistema y lo transforma en un estado propio del operador medido.

Si todos los sistemas están en el mismo estado, podemos predecir el valor promedio (valor más probable) o valor esperado de la medida.

La medición del observable  en un conjunto de sistemas idénticos preparados en el estado Ψ=ΣnΨncn, trasforma el estado del sistema al estado propio (Ψn) y da como resultado un valor propio (an). En consecuencia, el valor promedio de una colección de medidas de  en el mismo estado es: ó El denominador es 1 si Ψ está normalizada.

Postulado IV. Valores esperados

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La incertidumbre mide la desviación con respecto al valor medio:

ó

Cuando dos operadores no conmutan (no tienen un conjunto de funciones propias en común y uno de los operadores altera el estado del sistema con respecto a la medición del otro) entonces:

Principio de incertidumbre de Heisenberg:

Si hacemos una medición más precisa de la posición aumenta la incertidumbre en la velocidad, y viceversa.

Postulado V

Evolución temporal de estados

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Postulado V. Evolución temporal de estados

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La función de onda del sistema varía en el tiempo siguiendo la ecuación de onda de Schrödinger:

- Hamiltoniano: - Ecuación extendida: *Se puede encontrar un estado estacionario cuando la energía potencial no es

dependiente del tiempo.

Función espacial

Función temporal

Postulado V. Evolución temporal de estados

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(1) Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo [Función espacial] -Extendida: (2) Función de onda de un estado estacionario [Función temporal] - Estado cuántico estacionario: estado en el que se pueda factorizar su dependencia

temporal en una fase. - La densidad de probabilidad es independiente del tiempo: