Peti susret Hrvatskog društva za mehaniku Terme Jezer ica, Donja Stubica, 6.-7. lipnja 2013.

POSTUPAK ZA ODRE IVANJE CILJANOG UBRZANJA U VIŠEMODALNOJ METODI NAGURAVANJA

Bali , I., Mihanovi , A., Trogrli , B.

Sažetak: Danas vode a metoda odre ivanja potresne otpornosti je nelinearna stati ka metoda naguravanja koja je i u sastavu europske norme EN 1998. U prakti noj primjeni dominantna je metoda naguravanja zasnovana na prvom modu osciliranja. U ovom radu prikazana je višemodalna metoda naguravanja uz formulaciju ciljanog ubrzanja tla kao mjera najniže potresne otpornosti. Kombinacijom metode naguravanja sa spektrom odgovora jednostupnjevnog sustava dobiva se ocjena kapaciteta nosivosti i deformacija konstrukcije usljed djelovanja potresa. Izložen je iterativni postupak za odre ivanje ciljanog ubrzanja na na in da se zadovolji princip anvelope i odredi najniža potresna otpornost sustava. U nekoliko koraka, za odabrano razli ito hipotetsko ubrzanje, postupak vodi ciljanom ubrzanju koje predstavlja najmanje ubrzanje baze koje dovodi do ra unskog grani nog stanja nosivosti konstrukcije. Primjena ove metode pokazana je na primjeru prostornog 5-katnog a/b okvirnog sustava. Prikazano je naguravanje promatranog sustava linearnom (L) kombinacijom modova. Analiza je vršena za dva me usobno okomita smjera. Pokazuje se zna ajan utjecaj viših modova. Isto tako pokazuje se da je ciljano ubrzanje dobiveno višemodalnom metodom naguravanja zna ajno manje, pa i višestruko manje od slomnog ubrzanja s jednim modom. Klju ne rije i: ciljano ubrzanje, višemodalna metoda naguravanja, linearna kombinacija modova, a/b okvir

1 UVOD

Jedna od metoda odre ivanja potresne otpornosti sustava je nelinearna stati ka metoda naguravanja koja je i sastavni dio europske norme EN 1998. U prakti noj primjeni dominantna je metoda naguravanja zasnovana na raspodjeli ubrzanja prema prvom modu osciliranja i konstantnoj raspodjeli po visini konstrukcije. U mnogim radovima, kao što su [1,2,4-9], promatran je utjecaj viših modova kod nelinearne metode naguravanja sa zaklju kom da je znatan njihov utjecaj. U ovom radu prikazana je višemodalna metoda naguravanja uz formulaciju ciljanog ubrzanja tla kao mjera najniže potresne otpornosti. Opisan je postupak odre ivanja ciljanog ubrzanja tla do kojeg se dolazi iterativnim putem, višemodalnim naguravanjem po na elu anvelope. Prikazano je naguravanje 5-katnog a/b okvirnog sustava linearnom (L) kombinacijom modova.

U primjeru prikazanom u radu korišten je elasti ni spektar tipa 1 za tlo tipa A prema EN 1998. Krivulje kapaciteta nosivosti odre ene su metodom naguravanja za svaki mod zasebno, te zatim preba ene u ADRS format (spektar odgovora ubrzanje-pomak). Oblik modova i veli ine perioda se odre uju na osnovu linearno elasti nog modela.

Metoda se može primijeniti kroz slijede i niz koraka: - Postupak zapo inje izborom konkretnog elasti nog spektra.

17

- Odabire se iznos hipotetskog vršnog ubrzanja tla, uobi ajeno ono koje je najniže od svih modova (ubrzanje prvog moda).

- Za svaki mod, na temelju krivulje kapaciteta nosivosti, odre uje se razina spektralnog ubrzanja i optere enja uzimaju i u obzir ciljani pomak prema EN 1998. Oblik vektora optere enja odgovara obliku odgovaraju eg moda.

- Op i slomni vektor formira se prema nekim mogu im kombinacijama modova. Kao mogu a modalna kombinacija u radu je prikazana linearna (L) kombinacija.

- Za ovako formirano optere enje, pomo u nelinearne analize konstrukcije višemodalnom metodom naguravanja odre en je kapacitet nosivosti, odnosno ra unsko grani no optere enje. Postavljeni zadatak se smatra riješenim kada je u granicama zadane to nosti postignuta jednakost optere enja iz op eg slomnog vektora i ra unskog grani nog optere enja za pretpostavljeno ubrzanje tla. U nekoliko koraka, iterativnim postupkom, za odabrano razli ito hipotetsko ubrzanje i pripadne vektore, odredi se ciljano ubrzanje koje predstavlja najmanje ubrzanje baze koje dovodi do ra unskog grani nog stanja nosivosti konstrukcije.

2 ODRE IVANJE CILJANOG UBRZANJA

Kako je prethodno navedeno, postupak traženja ciljanog ubrzanja po inje odre ivanjem vektora oblika i, pripadnih perioda Ti i sudjeluju ih masa mei, na osnovu linearno elasti ne analize. Vektor optere enja Fi, za svaki i-ti mod, odre en je preko faktora intenziteta djelovanja pi, kao produkt matrice masa M i vekora i

iii p MF (1) Krivulje kapaciteta nosivosti dobivene su numeri kim modelom stabilnosti i

nosivosti prostornih linijskih konstrukcija s uvažavanjem materijalne i geometrijske nelinearnosti [10] s monotono rastu im vektorom optere enja Fi. Na taj na in odre ene su slomne popre ne sile na bazu prora unskog modela za svaki mod pojedina no.

U traženju ciljanog ubrzanja, svaki pokušaj po inje s pretpostavljenom vrijednosti ciljanog ubrzanja tla agr. Za pretpostavljeni agr, tip elasti nog spektra (tip 1 ili tip 2), tip tla (parametar tla S) i korekcijski faktor prigušenja ( =1 za =5% viskozno prigušenje), konstruira se ADRS krivulja. U ADRS format preba ene su krivulje kapaciteta nosivosti svakog moda.

Spektralno ubrzanje as,i odre eno je za svaki mod, uvažavaju i pravila EN 1998 i Dodatak B [3], tako da slommi pomak na krivulji nosivosti iznosi 150% ciljanog pomaka.

utdd

32

(2)

Potrebno je odrediti pripadni elastoplasti ni ekvivalent kod kojeg sjecište perioda Ti i srodnog ciljanog pomaka dt pada na ADRS krivulju za pretpostavljeno ubrzanje tla. Mora se prona i jednakost dobivenog ubrzanja tla agr,i u i-tom pokušaju s pretpostavljenim ubrzanjem tla agr, iz ega slijedi spektralno ubrzanje as,i. Postupak odre ivanja bilinearnog dijagrama sila-deformacija je prikazan na slici 1. Parametar definiran je kao omjer dobivenog spektralnog ubrzanja i pretpostavljenog ubrzanja tla.

grigr

i,si aa

a (3)

18

TC

TC

TC

TC

TC

TC

TD TD

TD

TD

TD

TD

Ti

Ti

Ti

Ti

T i

T i

Sa

Sa

Sa

Sd Sd

Sd Sd

Sd Sd

as,i

as,i

as,i

as,i

as,i

as,i

du,1

du,2

du,1

du,2

du,3du,3

du,1d =t,1

dt,2

dt,1

dt,2

dt,3dt,3

23

a1) b1)

a2) b2)

a3) b3)

a Sgr,i!a Sgr,i!

a Sgr,i! a Sgr,i!

a Sgr! a Sgr!

a Sgr! a Sgr!

a S=gr,ia S=gr,i!=a Sgr !

a S=gr,i! a Sgr!

! ! !a S 2.5gr "

! ! !a S 2.5gr "

! ! !a S 2.5gr "

Sl. 1. Odre ivanje spektralnog ubrzanja as,i: a1)-a3) za Ti TC; b1)-b3) za Ti

g)

h)

200000

400

sim.

0.0

020

0.0

035

0.0

003

0.0

001

0.0

020

0.0

200

500

25.0

2.0

!"s

!"c

#"c

!$s#$s

!$c #$c

ET ( )$

Ec0=30500

$cu

c)b)a)

28.1 kN/m

A1 (greda)

%

%

5 22

5 22

A2

A2 (greda)

18.0 kN/m

25.0 kN

B1 (greda)B2 (greda)C1 (stup)C2 (stup)

Sila u čvoru:

Opterećenje po gredama:

Poprečni presjek:

[MPa]

[MPa]

d)

%

% %%

5 22

22

12

A1

22

e)

35%4 22

B1

% 22

12

22% %

35

25

20

B2

%4 22

%4 22

X

Y

%12 25

C2

50

50

f)

%12 32

C150

50

8.08.0

8.04.0

4.0

4.0

4.0

4.0

4.0

Sl. 2. Primjer: a) prostorni 5-katni okvir; b) oznake popre nih presjeka; c) optere enje po

gredama; d)-f) diskretizacije popre nih presjeka; g) model armaturnog elika; h) model betona

Svojstva vektora optere enja promatranih pet modova za smjer x prikazana su u tablici 1.

Vektor-x smjer Ti [s] mei [%] mei [t] Ffi [kN] agri /g

1 0.839 81.47 688.42 1735 0.405

2 0.265 10.51 88.81 1823 1.75

3 0.146 4.12 34.81 2786 7.90

4 0.097 1.98 16.73 1954 6.32

5 0.076 0.67 5.66 1838 41.70Tablica 1. Svojstva vektora horizontalnog optere enja za smjer x

Oblik prvog vektora optere enja u grani nom stanju, pripadna krivulja nosivosti

kao i redoslijed nastajanja plastifikacijskih zglobova za smjer x prikazani su na slici 3.

Faktor opterećenja

ux

1735 kN

F1

Ff1=

100

246

380

477

532

1

27

34

10

15

20

22

33

1

10

20

2

2

2 33

4

4

4

5

5

66

77

8910

10

12

12

1213

13

13

14

14

1414

15

15

16 17

18

19

19

2021

22

23

24

2526

272728

2829

30

31

31

31

31

31

32

32

3333

33

34

34

26

5

12

18

25

24

31

26

29

30

0.4

0.6

0.2

0.8

0

1.0

0.050 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

u [m]x

0.3

0.5

0.1

0.7

0.9

Sl. 3. Krivulja nosivosti za vektor 1 (smjer x) i slijed plastifikacije presjeka

20

Konverzija krivulje nosivosti u ADRS format, odre ivanje elasto-plasti nog ekvivalenta kao i grani nog ciljanog ubrzanja tla sukladno EN 1998, prikazani su na slici 4. za prvi mod u x smjeru.

F /mf1 e1Tlo tipa A

Sd [m]

T=

0.4

s

T=

0.1

5s

T=2.0 s

0.00

0.50

1.00

0.0

0

0.0

5

0.1

0

0.1

5

0.2

0

T=0.8

39s

dudt

0.405

!a Sgr

as,1

Sl. 4. Prora un potresne otpornosti za prvi vektor (F1)

3.2 Odre ivanje ciljanog ubrzanja za smjer x Kod odre ivanja ciljanog ubrzanja za smjer x, kao polazno ubrzanje u prvom koraku, pretpostavlja se grani no ubrzanje dobiveno za prvi vektor, koje iznosi agr,1 = 0.405g.

Na slici 5. prikazano je odre ivanje spektralnog ubrzanja promatranih pet modova, 5-katnog a/b okvira u x smjeru, za pretpostavljeno polazno ubrzanje agr,1 = 0.405g, odnosno pokazan je prvi korak u iterativnom postupku odre ivanja ciljanog ubrzanja kod linearne (L) kombinacije modova. Na slici su prikazani periodi Ti i krivulje nosivosti promatranih modova. Krivulje nosivosti prvog i drugog moda su vidljive cijele na slici, dok su krivulje tre eg, etvrtog i petog moda odsije ene nešto iznad spektralnog ubrzanja od 2.00g.

S /ga

T =10.8

39s

T=

20.2

65s

T=

30.1

46s

T=

40.0

97s

T=

50.0

76s

0.2

5Tlo tipa A

Sd [m]

T=

0.4

s

T=2.0 s

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0.0

0

0.0

5

0.1

0

0.1

5

0.2

0du,1du,2 dt,1dt,2

0.405

!a Sgr

as,1=0.257

as,2=1.206

as,3=1.400

as,4=0.810as,5=0.720

Sl. 5. Odre ivanje spektralnog ubrzanja modova, 5-katnog a/b okvira u smjeru x, na

elasti nom spektru za ubrzanje tla 0.405g

21

U tablici 2. pokazan je iterativni tok metode s rezultatom za minimalni agr, za slu aj ciljanog ubrzanja linearne kombinacije modova za smjer x. Dobiveno ciljano ubrzanje iznosi agr,t = 0.18g, a njemu pripadna sila u presjeku pri bazi prora unskog modela iznosi 2197 kN.

agr,i as,1 F1 as,2 F2 as,3 F3 as,4 F4 as,5 F5 Fi FL FL/ Fi 1 2 3 4 5 0.405 0.257 1735 1.206 1051 1.400 478 0.810 133 0.720 40 3437 2303 0.67 0.63 2.98 3.46 2.00 1.78 0.27 0.244 1648 0.815 710 0.930 318 0.534 88 0.479 27 2790 2232 0.80 0.90 3.02 3.44 1.98 1.77 0.22 0.228 1540 0.700 610 0.750 256 0.443 73 0.390 22 2500 2175 0.87 1.04 3.18 3.41 2.01 1.77 0.19 0.212 1432 0.620 540 0.667 228 0.383 63 0.330 18 2281 2190 0.96 1.12 3.26 3.51 2.02 1.74 0.18 0.206 1391 0.592 516 0.628 214 0.352 58 0.320 18 2197 2197 1.00 1.14 3.29 3.49 1.96 1.78 0.17 0.198 1337 0.585 510 0.608 208 0.338 56 0.308 17 2127 2191 1.03 1.16 3.44 3.58 1.99 1.81

Tablica 2. Ciljano ubrzanje pri linearnoj kombinaciji modova za smjer x Na slici 6. prikazani su vektori optere enja svih sudjeluju ih modova, krivulja

nosivosti i redoslijed nastajanja plastifikacijskih zglobova za linearnu kombinaciju modova za smjer x.

0

0.050 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

0.4

0.2

0.6

1.0

0.8

Faktor opterećenja

1

21

23

25

2

3

57

9

29 3031

F1 F2 F3 F4 F5 FL

276

481

320

166

208

201

143

230

96

465

516 2141391

80

197

305

382

427

2197 kN

760

700

409

216

112

58

73

65

70

131

135

18

15

50

51

35

39

14

4

1718

10

23

92

31

31

16

24

3018

1930

10

6

1512 7

31

31

26

19

15

22

11

28

2027

29

13

3

5

16

1 3

4

1 25

6

6

24

8

26 2123 6

26

3 21

23 5

2931

29

29

13

1516

1719

27

11

0.3

0.1

0.5

0.9

0.7

+ + + + =

u [m]x

ux

Sl. 6. Krivulja nosivosti za linearnu kombinaciju modova za smjer x

3.3 Odre ivanje ciljanog ubrzanja za smjer y Svojstva vektora optere enja promatranih modova u y smjeru prikazana su u tablici 3.

Vektor-y smjer Ti [s] mei [%] mei [t] Ffi [kN] agri /g

1 0.953 80.34 678.87 1427 0.392 0.293 10.94 92.44 1572 1.653 0.156 4.51 38.11 2593 4.624 0.101 2.27 19.18 2146 8.085 0.077 0.78 6.59 1576 17.70

Tablica 3. Svojstva vektora horizontalnog optere enja za smjer y

Odre ivanje ciljanog ubrzanja za linearnu kombinaciju modova za smjer y prikazano je u tablici 4. Kao polazno ubrzanje u prvom koraku, pretpostavlja se grani no ubrzanje dobiveno za prvi vektor, koje iznosi agr,1 = 0.39g. Dobiveno je ciljano ubrzanje agr,t = 0.17g, i njemu pripadna sila pri bazi modela iznosa 1934 kN.

22

agr,i as,1 F1 as,2 F2 as,3 F3 as,4 F4 as,5 F5 Fi FL FL/ Fi 1 2 3 4 5 0.39 0.214 1427 1.142 1036 1.388 519 0.803 151 0.698 45 3178 2097 0.66 0.55 2.93 3.56 2.06 1.79 0.25 0.202 1345 0.722 655 0.843 315 0.510 96 0.443 29 2440 1927 0.79 0.81 2.89 3.37 2.04 1.77 0.19 0.184 1225 0.560 508 0.713 267 0.390 73 0.330 21 2094 1927 0.92 0.97 2.95 3.75 2.05 1.74 0.17 0.173 1152 0.505 458 0.638 239 0.345 65 0.308 20 1934 1934 1.00 1.02 2.97 3.75 2.03 1.81

Tablica 4. Ciljano ubrzanje pri linearnoj kombinaciji modova za smjer y Na slici 7. prikazani su vektori optere enja svih sudjeluju ih modova, krivulja

nosivosti i redoslijed nastajanja plastifikacijskih zglobova za linearnu kombinaciju modova za smjer y.

6

1413

1716

4

5

10

16

1

14

7

8

66

8

13

9

1711

12

15

15

15

15

15

12

152

11

14

17

3

15

16

1414

15 15

14

17

1717

87

11

10

12

3

4

5

9

1215

uy

0

0.050 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

0.4

0.2

0.6

1.0

0.8

Faktor opterećenja

F1 F2 F3 F4 F5 FL

223

411

289

191

220

207

172

245

66

399

458 2391152

61

159

251

320

361

1934 kN

714

625

311

160

124

65

72

74

63

133

141

20

14

52

54

36

440.3

0.1

0.5

0.9

0.7

+ + + + =

u [m]y

Sl. 7. Krivulja nosivosti za linearnu kombinaciju modova za smjer y

4 ZAKLJU AK

U radu je prikazana formulacija ciljanog ubrzanja i postupak za njegovo odre ivanje, definiranog kao najmanje ubrzanje baze koje dovodi do grani nog stanja nosivosti konstrukcije pomo u višemodalnog naguravanja, što predstavlja najnižu potresnu otpornost. Postupak se temelji na uzastopnoj primjeni nelinearne analize konstrukcije višemodalnom metodom naguravanja i uzastopnim traženjem ciljanog ubrzanja.

Na osnovu dobivenih rezultata na konkretnim primjerima može se zaklju iti: - Utjecaj viših modova, posebno drugog i tre eg moda, je veoma zna ajan. - Ciljano ubrzanje uvijek je niže od grani nog ubrzanja svakog moda pojedina no. - Ciljanom ubrzanju pripadni op i slomni vektor oblikom se zna ajno razlikuje od

oblika optere enja prvog vektora ali i od oblika optere enja s konstantnim ubrzanjem po visini konstrukcije sadržanim u EN 1998.

- Višemodalna metoda naguravanja apriori polazi od pretpostavke da su u stvarnom potresnom djelovanju svi relevantni modovi i aktivirani.

- Prakti na primjena višemodalnog naguravanja pokazuje da je potresna otpornost, promatranih okvirnih a/b konstrukcija, niža od one prema kriteriju ciljanog pomaka u skladu s EN 1998 (Dodatak B).

- Uklju ivanje viših modova u prikazanim primjerima redovito zna ajno smanjuje grani no vršno ubrzanje tla, a u nekim situacijama i za više od dva puta, što je znatno nepovoljnije od zahtjeva za rezervom u krivulji kapaciteta nosivosti od 150% u odnosu na karakteristi ni ciljani pomak vrha konstrukcije.

23

Literatura: [1] Chopra, A.K., Goel, R.K.: “A modal pushover analysis procedures for estimating seismic demands for buildings”, Earthquake Engineering & Structural Dynamics, Vol.31, No.3., 2002, str. 561–582. [2] Chopra, A.K., Goel, R.K., Chintanapakdee, C.: “Evaluation of a modified MPA procedure assuming higher modes as elastic to estimate seismic demands”, Earthquake Spectra, Vol.20, No.3., 2004, str. 757-778. [3] European Committee for Standardization (CEN): “EN 1998-1. Eurocode 8: Design of Structures for earthquake resistance – Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings”, Brussels, Belgium, 2004. [4] Goel, R.K., Chopra, A.K.: “Role of Higher-“Mode” Pushover Analyses in Seismic Analysis of Buildings”, Earthquake Spectra, Vol.21, No.4., 2005, str. 1027-1041. [5] Jiang, Y., Li, G., Yang, D.: “A modified approach of energy balance concept based multimode pushover analysis to estimate seismic demands for buildings”, Engineering Structures, Vol.32, No.5., 2010, str. 1272–1283. [6] Kalkan, E., Kunnath, S.K.: “Assessment of current nonlinear static procedures for seismic evaluation of buildings”, Engineering Structures, Vol.29, 2007, str. 305–316. [7] Kalkan, E., Kunnath, S.K.: “Adaptive modal combination procedure for nonlinear static analysis of building structures”, Journal of Structural Engineering, Vol.132, No.11., 2006, str. 1721–1731. [8] Sasaki, K.K., Freeman, S.A., Paret, T.F.: “Multi-mode pushover procedure (MMP) - a method to identify the effects of higher modes in a pushover analysis”, Proceedings of 6th U.S. National Conference on Earthquake Engineering, Seattle, USA, 1998, str. 1-12. [9] Shakeri, K., Mohebbi, M.: “Single-run modal pushover procedure based on the modal shear and moment in the stories”, Proceedings of 14th European Conference on Earthquake Engineering, Ohrid, Republic of Macedonia, 2010, str. 6199-6207. [10] Trogrli , B., Mihanovi , A.: “The comparative body model in material and geometric nonlinear analysis of space R/C frames”, Engineering Computations, Vol.25, No.2., 2008, str. 155-171.

Autori: Ivan Bali , Sveu ilište u Splitu, Fakultet gra evinarstva, arhitekture i geodezije, Katedra za teoriju konstrukcija, Matice hrvatske 15, tel. 021/303-378, e-mail: ivan.balic@gradst.hr, web stranica: www.gradst.hr Ante Mihanovi , Sveu ilište u Splitu, Fakultet gra evinarstva, arhitekture i geodezije, Katedra za teoriju konstrukcija, Matice hrvatske 15, tel. 021/303-357, e-mail: ante.mihanovic@gradst.hr, web stranica: www.gradst.hr Boris Trogrli , Sveu ilište u Splitu, Fakultet gra evinarstva, arhitekture i geodezije, Katedra za teoriju konstrukcija, Matice hrvatske 15, tel. 021/303-352, e-mail: boris.trogrlic@gradst.hr, web stranica: www.gradst.hr

24