POVIJEST MATEMATIKEHISTORY OF MATH

Gordana Divić, prof. mentor

Srednja škola Novska

History of Math

eTwinning projekt

Surađivali smo s Grčkom

Istražili smo:

razvoj matematičke misli od Sumerana do modernog

doba

istaknute matematičare od Antičke Grčke do modernog

doba

Što smo napravili?

Prezentacije (.ppt) kojima smo predstavili:

Sebe

Školu

Grad

Što smo napravili?

Izabrali LOGO projekta

13

Što smo napravili?

Posjetili smo izložbu „Volim matematiku”

Što smo napravili?

Organizirali smo „Večer matematike”

Što smo napravili?

Razmijenili čestitke za Božić

Naše čestitke u Grčkoj

Grčke čestitke kod nas

Što smo napravili?

Obilježili Dan broja 𝜋

Što smo napravili?

Kolege iz Grčke posjetili su Tehnički muzej Antičke

Grčke u Solunu

Što smo napravili?

Mjerili opseg Zemlje – Eratostenov pokus

Izračunali opseg Zemlje (39 635 km)

Mjerili duljinu sjene škole

Računali visinu škole

... and our outcome

for Novska school

is 8.322 m !!!

Greek Team

… and our outcome for Edessa school is

𝟏𝟏, 𝟗𝟖 ± 𝟎, 𝟏𝟒 𝒎

Croatian Team

Što smo napravili?

Napisali dokumente (.doc i .ppt) o zadanim temama

Što smo napravili?

Predstavili projekt na Županijskom vijeću nastavnika

matematike Sisačko-moslavačke županije (22. travnja 2015.)

Što smo napravili?

Postavili smo izložbu plakata u hodniku škole

Pisali smo na forumu

TwinSpacea rječnik

matematičkih pojmova s

grčkim korijenom na:

Engleskom

Grčkom

Hrvatskom

Što smo napravili?

Što smo napravili?

Napisali smo radove na zadane teme i spojili ih u

jednu knjigu

http://www.slideshare.net/gordanadivic/povijest-

matematike-history-of-math

Uredili smo TwinSpace projekta:

http://twinspace.etwinning.net/490/home

Antonio Jakubek, 4.g

Naše prvo znanje o matematici dolazi od Egipćana i Babilonaca

Babilonska matematika je datirana za 4000 godina prije Krista zajedno sa Sumeranima u Mezopotamiji

Malo se zna o Sumeranima

Prvi put je naseljen 4500 i 4000 godina prije Krista

Danas se ti ljudi zovu Ubaidiansi

Još manje se zna o njihovoj matematici

Koristili su klinasto pismo, a pisali su na glinenim pločicama

Koristili su preko 2000 znakova

Slika 1. Sumerski zapis klinastim pismom

Razvili su heksagezimalni brojevni sustav koji su preuzeli Babilonci

Babilonci, Asirci i Hiti su naslijedili sumerski zakon i književnost i važnije njihov način pisanja

Ono što smo od Sumerana zadržali do danas je podjela tjedna na 7 dana, dana na 24 sata, sata na 60 minuta i minutu na 60 sekundi

Propašću Sumerske civilizacije u Mezopotamiji razvija se Babilonska

Od Sumerana su naslijedili klinasto pismo i heksagezimalni brojevni sustav

Slika 2. Znamenke u Babilonskom brojevnom sustavu

Za prikaz brojeva koristili su 2 osnovna oblika:

Nisu imali sumbol za nulu ili decimalnu točku pa je bilo teško tumačiti nalaz iz tog doba

Slika 3. Babilonski simbol za broj 10

Slika 4. Babilonski prikaz za broj 1 ili 60

40-ih godina prošlog stoljeća

Njemački povijesničari Otto Neugebauer i Abraham Sachs

Primijetili kako reci na pločici zadovoljavaju zanimljivo svojstvo

Uređene trojke prirodnih brojeva (a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost a²+b²=c²

Dokaz postojanja Pitagorine trojke tisućama godine prije pojave matematičara antičke Grčke

Slika 5. Plimpton 322

Nalazište u Nipuru-nađeno oko 50 000 glinenih pločica

Svjedoče znatnom poznavanju matematike

Slika 7. Nalazište u Nipuru

Izgrađivali su nizove koji uključuju trokutaste brojeve (1, 3, 6, 10 ,15...), kvadratne brojeve (1, 4, 9, 16, 25...) i piramidalne brojeve (1, 5, 14, 30, 50...)

Slike 8. i 9. Prikazuju nizove brojeva

Primjer korištenja niza piramidalnih brojeva je slaganje municije u Calcutti i lako izračunavanje broja đuladi

Slika 10. Složena municija u Calcutti

Egipat

Ella Cink, 4.g

Moskovski papirus

- otkriven je 1893., a autor je nepoznat

- najveća dostignuća egipatske geometrije

- dužine je oko pola metra i širine manje od 8 cm

- čuva se u Moskovskom muzeju

Moskovski papirus

Rhindov papirus

• 1858. otkrio ga je škotski egiptolog Henry Rhind u Luxoru

• Napisao ga je pisar Ahmes oko 1600. pr. Kr.

• Dug je 6 metara , širok 30 cm, čuva se u British Museumu u Londonu

• Zbirka tablica i vježbi sa 87 matematičkih problema

• U njemu se nalaze i najstariji poznati i sačuvani zapis broja π

Rhindov papirus

Brojevi

Egipćani su koristili brojevni sustav s bazom 10

broj 1339

• Zbrajanje

• Oduzimanje

• Množenje

• Dijeljenje

Razlomci

• Poznavali su samo jedinične razlomke

• Iznimka je bio 2/3

• Razlomke su tvorili tako što su kombinirali pojedine dijelove simbola oka boga Horusa.

cjelokupni simbol oka ima vrijednost 1

Geometrija • Za izgradnju piramida i hramova Egipćani su morali imati

dobro razvijenu geometriju i stereometriju

• Znali su računati nagib i obujam piramide, te obujam krnje piramide

Algebra

• Staroegipatska algebra bila je retorička

• problemi i rješenja dani su riječima

• Koristili su se sedmeroznamenkastim brojevima, a u svojim računima imali su mješavinu jednostavnosti i kompliciranosti

MATEMATIKAANTIČKE GRČKE

Doroteja Lukić, 3.g

temeljena na grčkim tekstovima

razvijena od 7. st. pr. Kr. do 4. st. po. Kr.

duž istočnih obala Mediterana

matematika – grčki mathema –znanost

korištenje općih matematičkih dokaza i teorija

presjedali najvažnijom i najdramatičnijom revolucijom u matematici ikad

osnovni cilj: shvaćanje čovjekova mjesta u svemiru

matematika dosegla najviši nivo razvitka

počeli upotrebljavati papirusgrčki doprinos matematike u tri faze:

1. od Talesa i Pitagore do Demokrita2. Euklidov sustav3. Aleksandrijska faza

Tales – osnivač grčke matematike

nema dokumentiranih dokaza

klasična filozofija pomogla da se rekonstruiraju tekstovi iz bližeg perioda

izdanja Euklida, Arhimeda, Apolonija itd.

teško pratiti tijek povijesnog razvitka

o grčkoj matematici zaključujemo pomoću: manjih sastavnica i zapažanja filozofa i drugih autora

Grčki brojevni sustav(oko 900. pr. Kr. – 200. poslije Kr.)

prvi zasnovan na početnim slovima imena brojeva

drugi je upotrebljavao sva slova iz

grčkog alfabeta i tri iz feničkog

baza – 10

ideja dokaza i deduktivna metoda korištenja logičkih koraka za dokazivanje ili opovrgavanje teorija

dalo je matematici snagu

osigurava da su dokazane teorije istinite

postavilo temelje za sustavni pristup matematici

Najvažniji doprinos Grka

PITAGORA

Petra Kalanja, 2.g

Općenito...

prvi “pravi” matematičar

rođen na grčkom otoku Samosu

Tales ga je zainteresirao za matematiku

otputovao je u Egipat oko 535. pr. Kr.

osnovao je Pitagorejsku skolu

danas ga svi znamo po Pitagorinom

poučku

Kroz život...

filozof u Egiptu

hramski svećenik u Diospolisu

zarobljenik u Babilonu

oženio se u 60. godini

gladovao do smrti

najsavršeniji broj 10

broj – bit u filozofiji

Pitagorejska škola

osnovana u Krotoni

naglasak na tajnosti i zajedništvu

Pitagorin poučak

otkriće iracionalnih brojeva

pet pravilnih geometrijaskih tijela

Pitagorin poučak

površina kvadrata

nad hipotenuzom

pravokutnog

trokuta jednaka je

zbroju površina

kvadrata nad

katetama

Pitagorine trojke

3, 4, 5 9+16=25

Egipatski trokut

možemo dobiti još beskonačno mnogo

Pitagorinih trojki tako što ćemo brojeve

3, 4 i 5 umnožavati istim brojem

6, 8 i 10 36+64=100

PLATON (428.-347.god. p.n.e.)

-živio i djelovao u Ateni

-387.g.p.n.e. osnovao

filozofsku školu

AKADEMIJU u kojoj se

poučavala i matematika

aritmetika, trigonometrija i

planimetrija

Slika 1.Platon

Marija

Kožarić,

4.g

„Neka ne ulazi onaj koji ne zna

geometriju!”

Slika 2. Natpis na ulazu u Akademiju

Platonova geometrijska tijela

Opisana u djelu Timej

5 pravilnih poliedara:

Slika 3. Pravilni poliedri

TETRAEDAR

4 vrha

6 bridova

4 strane jednakostranični trokuti

Slika 4. tetraedar

HEKSAEDAR

Kocka

8 vrhova

12 bridova

6 stranakvadrati

Slika 5. heksaedar

OKTAEDAR

6 vrhova

12 bridova

8 strana jednakostranični trokuti

Slika 6. oktaedar

DODEKAEDAR

20 vrhova

30 bridova

12 stranapravilni peterokut

Slika 7. dodekaedar

IKOZAEDAR

12 vrhova

30 bridova

20 stranajednakostranični trokuti

Slika 8. ikozaedar

Kineska matematika

• u 2. tisućljeću pr.Kr. u Kini su imali

simbole za brojeve

• računali su štapićima dok se u

16. st. nije pojavio abakus

Slika 1. kineski brojevi

Slika 2. abakus

• ne zna se mnogo o matematici drevne Kine, no prilično je

sigurno da počeci astronomije i matematike drevne Kine

sežu barem u 2. tisućljeće pr.n.e. ,u to doba Kinezi su već

imali detaljno razrađen kalendar

• najstariji sačuvani matematički tekstovi potječu tek iz doba

oko 200. pr.Kr.

• Doprinosi kineskih matematičara:

• Sveta knjiga o aritmetici (2. – 12.st.) – indirektno govori o

Pitagorinom poučku

• Aritmetika u devet knjiga (oko 150. g.pr.Kr.) - postupak

izračunavanja površine trokuta, četverokuta, kruga, kružnog

odsječka i isječka, obujam prizme, piramide, valjka, stošca,

prikraćene (krnje) piramide i stošca

• Knjiga o mijenama (I Ching) - jedna od najstarijih

očuvanih knjiga - koristila se za proricanje i gatanje, sadrži

elemente binarne notacije brojeva

• Poznati matematičari:

• Zhang Qiu-Jian (5. st.) - dao je formulu za sumu

aritmetičkog niza

• Tsu Chung – chih (430. – 500.) – za vrijednost broja π

uzima daje šest točnih decimalnih mjesta

• Quin Jiu - Shao (1202. -1261.) - tražio je rješenja

jednadžbi metodom koju nazivamo Hornerova (William

Horner, 1819.), iako je u Kini bila poznata 500 godina

ranije

• Chu Shih - kieh (1270. - 1330.) - napisao je dva važna

teksta koji su vrhunac kineske matematike, tekstovi

sadrže ˝Pascalov˝ trokut binomnih koeficijenata, koji je u

Kini poznat četiri stoljeća prije no što ga je Pascal

˝otkrio˝.

INDIJSKA MATEMATIKA

• u staroindijskoj matematici nema velikih djela

isključivo posvećenih matematici; matematika je

prisutna tek kao dio, kao pojedinačno poglavlje u

astronomskim ili astrološkim djelima

• najstariji poznati matematički tekstovi su Sulvasutre,

dodaci vjerskim tekstovima

u njima se nalaze pravila za mjerenje i izgradnju

hramova i oltara na razini elementarne geometrije

• karakteristike indijskih matematičkih tekstova je da su

općenito pisani u stihovima

Slika 1. indijski brojevi

Staroindijski matematičari:

• Aryabhatta (476. – 550.) - znao je vaditi

drugi i treći korijen podjelom radikanda u

grupe

• dao je točne formule za površinu trokuta i

kruga, piše o, kvadratnim jednadžbama,

potencijama

• Brahmagupta (598. – oko 670.)

• Brahmaguptina formula: poopćenje

Heronove formule na tetivne četverokute;

• Mahavira (9. st.) – bavio se elementarnom matematikom

i prvi je indijski matematičar koji je napisao samo

matematici posvećen tekst

• Bhaskara (1114. – 1185.) - najpoznatiji je indijski

matematičar do 12. stoljeća, puno je doprinjeo

razumijevanju brojevnih sustava i rješavanju

jednadžbi, dokazivao je i Pitagorin poučak

• glavna su mu matematička djela

Lilavati i Bijaganita, bavio se

ravninskom i sfernom trigonometrijom,

Arapska matematika

• današnja matematika zapadnog stila mnogo je sličnija

matematici kakvu susrećemo u arapskim doprinosima, nego

onoj u starogrčkim, mnoge ideje koje su pripisane

Europljanima pokazale su se zapravo arapskim

Slika 1. arapski brojevi

Arapski matematičari:

• Al-Karaji (953.g. - 1029.g.) - smatra se prvom osobom koja

je potpuno oslobodila algebru od geometrijskih operacija i

zamijenila ih aritmetičkim

• osnovao je utjecajnu algebarsku školu

koja će uspješno raditi više stoljeća

• Al-Haytham (965.g. - 1040.g.) je vjerojatno prvi

koji je pokušao klasificirati parne savršene brojeve

• također je prva poznata osoba koja je izrekla Wilsonov

teorem (ako je p prost broj, onda p dijeli 1 + (p - 1)!),

nije jasno je li to znao dokazati

• Omar Khayyam (1048.g. – 1131.g.) uz matematiku bavio se

astronomijom, filozofijom i poezijom

• dao je potpunu klasifikaciju kubnih jednadžbi (14 tipova) i

prvi uočio da ne moraju imati jedinstveno rješenje

(12. – 13. stoljeće)

Slika 1. FibonacciBarbara Mašunjac, 4.g

talijanski matematičar

mladost proveo u Arabiji

temelj njegove matematike je broj

iza sebe ostavio niz otkrića

FIBONACCIJEV NIZ

Slika 2. Fibonaccijev niz

FIBONACCIJEV NIZ U PRIRODI

Slika 3. Fibonaccijev niz u suncokretu

Slika 4. Fibonaccijev niz u školjci puža Nautilus

Slika 5. Fibonaccijev niz u ljudskom tijelu

FIBONACCIJEV NIZ U UMJETNOSTI

Slika 6. Fibonaccijev niz u portretu Mona Lise Slika 7. Fibonaccijev niz u

Partenonu

˝Božanski omjer˝ ili omjer Zlatnog reza

𝜑 =1 + 5

2≈ 1.618033989

Omjer zlatnog reza

Omjer zlatnog reza

Omjer zlatnog reza

Omjer zlatnog reza

Omjer zlatnog reza

Omjer zlatnog reza

LIBER ABACI

najpoznatije djelo o aritmetici

jedna od prvih zapadnih knjiga u kojoj su opisane arapske brojke

četiri dijela

Slika 8. Liber Abaci

JOHN

NAPIER Laura Iličić, 3.g

OPĆENITO:

• rođen u Edinburghu 1550.god, a umro 4.travnja 1617.god

• Upisao se na sveučilište St. Andrews

• Diplomu je stekao u Parizu, te je nakon toga boravio u

Nizozemskoj i Italiji

• Poznat je u matematičkim i inženjerskim krugovima

• Najpoznatiji je kao izumitelj logaritama, Napierovih kostiju, te

popularizaciji decimalnog zareza

• Radio je na područjima matematike, fizike, astronomije i

astrologije

Napierove kosti

Decimalni zarez Logaritmi

NAJPOZNATIJA DJELA

• Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John,

1593.

• Statistical Account

• Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614.

• Construction of Logarithms, 1619.

• Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Statistical Account i Construction of

Logarithms

Henry Briggs

engleski matematičar

Profesor geometrije u Oxfordu

rođen u Warleywoodu u Yorkshireu 1561.

studirao je na St. John’sCollegeu u Cambridgeu

Patricia Kujundžić, 3.g

kao profesor na Oxfordu saznaje za Napiera

1615. putuje k njemu u Edinburgh

Napier se slaže s Briggsovimprijedlogom za logaritme s bazom 10

Nakon Napierove smrti nastavjanjegov rad

1624. objavljuje tablicu Arithmetica Logarithmica

Umro je u Oxfordu 1630.

Blaise Pascal

Antonio Horaček, 4.g

Životopis

Blaise Pascal

Blaise Pascal bio je francuski matematičar,

fizičar, izumitelj, pisac i kršćanski filozof. Bio

je ''čudo od djeteta'', a školovao ga je otac.

Pascalovi najraniji poslovi bili su u

primjenjenim i prirodnim znanostima, gdje je

doprinio proučavanju tekućina te je pojasnio

pojmove tlaka i vakuuma generalizacijom

rada Evangelista Torricellija.

Pascalov prvi stroj za računanje

Pascalov doprinos matematici

Prvi značajan rad, Blaise je napisao sa samo šesnaest

godina, a bio je to osnovni nacrt njegove čuvene

rasprave o presjecima stožca.

Blaise Pascal, također je stvorio i svoj čuveni

mistični heksagram (Pascalov teorem), koji nije sačuvan.

U njegovoj ''Raspravi o aritmetičkom trokutu'' (Traité du

triangle arithmétique), opisao je zgodan, praktičan tablični

prikaz za binomne koeficijente, sada nazvan 'Pascalov

trokut'.

Pascalov doprinos fizici

Njegov rad na području hidordinamike i hidrostatike bio je

usmjeren na načelima hidrauličkih tekućina.

Njegovi izumi uključuju hidrauličku prešu (koristi hidraulični tlak da

umnoži snagu) i špricu.

Hidrostatski tlak povećava se dubinom, djeluje jednako u svim

smjerovima te je jednak na svim mjestima na istoj dubini.

Pascalov zakon Temeljni je zakon hidrostatike:

◦ U tekućini koja se nalazi u zatvorenoj posudi vanjski

tlak p širi se jednako na sve strane, odnosno čestice

tekućine prenose tlak u svim smjerovima jednako.

Povijest infinitezimalnog računa

Stjepan Marijan, 4.g

Gottfried Wilhelm Leibniz• Leipzig 1.7.1646.

• Filozof, matematičar, fizičar i diplomat

• Preteča Georgea Boolea i simboličke logike

• „diferencijal“ i „integral“

• 1559. Francuska akademija znanosti

• Prvi model računalnog stroja

Slika 1.1.: Gottfried Wilhelm LeibnizSlika 1.2.: Leibnizovo mehaničko računalo

Isaac Newton• Woolsthorpe-by-Colsterworth 4.1.1643.

• Astronom, matematičar i fizičar

• Metode fluksije

• Opći zakon gravitacije

• Zrcalni teleskop

• Kraljevska akademijaSlika 2.1.: Isaac Newton

Slika 2.2.: Zrcalni teleskop

Infinitezimalni račun

• Fukcije, derivacije, integralne granične vrijednosti i limesi funkcije

• Diferencijalni račun

• Integralni račun

Slika 3.1.: Integral

Slika 3.2.: Derivacija

Newton – Leibnizova formula

• Ako je 𝐹 po volji odabrana primitivna funkcija funkcije 𝑓 na intervalu 𝑎, 𝑏 , onda vrijedi:

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Povijest infinitezimalnog računa

• 5. st. pr. Kr.- Zenon

• 4. st. pr. Kr.- Eudokso

• 225. g. pr. Kr.- Arhimed

• 17. st.- Bonaventura Francesco Cavalieri

Slika 4.1.: Metoda ekshaustije

Slika 4.2.: Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota

Sukob Newtona i Leibniza

• Isaac Newton- 1671.- De Methodis Serierum etFluxionum (objavljen 60 godina kasnije), fizikalni pristup

• Gottfried Wilhelm Leibniz- 1684.- prvi objavljeni rezultati, geometrijski pristup

Slika 5.2.: De Methodis Serierum et FluxionumSlika: 5.3.: Transactions of the

Royal Society of London

ABRAHAM DE MOIVRE

Iva Ciprijanović, 4.g

DE MOIVREOVI POČETCI:

rođen je u mjestu Vitry u Francuskoj, 26.svibnja

1667.godine.

francuski matematičar poznat po formuli koja

povezuje kompleksne brojeve i trigonometriju

Bio je protestant, pa je neko vrijeme nakon

edikta iz Nantesa (1685.) proveo u zatvoru, a

nakon toga se odselio u Englesku gdje je

proživio ostatak svog života.

Za život je zarađivao kao privatni učitelj

matematike te je učenike podučavao u njihovim

domovima, ali i u londonskim kafićima.

Nadao se da će jednom postati profesor

matematike, ali u svakoj državi je zbog nečega

bio diskriminiran.

DE MOIVREOVA ANEGDOTA:

Njegova poznata anegdota je da je predvidio

dan svoje smrti tako što je utvrdio da svaki dan

spava po 15 minuta dulje te je sumacijom

odgovarajućeg aritmetičkog niza izračunao da

će umrijeti na dan kad prespava puna 24 sata,

i bio je u pravu.

THE DOCTRINE OF CHANCE: A METHOD

OF CALCULATING THE PROBABILITIES OF

EVENTS IN PLAY

Glavno De Moivrevo djelo

U toj se knjizi može naći definicija

statističke nezavisnosti događaja

te niz zadataka vezanih za razne

igre.Slika 1. De Moivrevo

djelo :The Doctrine of

Chance: A method of

calculating the

probabilities of events

in play

DE MOIVREOVE FORMULE:

Slika 2. Formula

za binomne

koeficijente

Slika 3. Formula kojom je mogao dokazati

sve cjelobrojne brojeve n

Slika 4. Poznata DE MOIVREOVA

formula

Slika 1. Johann Carl Friedrich Gauss

Marta Ćurić, 3.g

njemački matematičar (1777. – 1855.)

osim matematikom, bavio se astronomijom, fizikom,

geodezijom i topografijom

osmislio “neeuklidsku geometriju” sa šesnaest

godina

s dvadeset i četiri godine objavio je majstorsko djelo

Disquisitiones Arithmeticae

1801. je prema njegovim izračunima otkriven

planetoid Ceres

otkrio Kirchhoffove zakone

napravio primitivni telegraf

stvorio vlastite novine - Magnetischer Verein

Slika 2. Disquisitiones Arithmeticae Slika 3. Magnetischer Verein

osmislio brži način rješavanja zadataka zbrajanja

brojeva od 1 do 100:

(1 + 100) + (2 + 99) + ... + (50 + 51) = 50 * 101 = 5050

spoznao kriterij konstruiranja pravilnog

sedamnaesterokuta

dokazao osnovni teorem algebre

stvorio Gaussovu ravninu

stvorio Gaussovu krivulju koja se koristi u mnogim

znanostima, posebno u psihologiji

Slika 4. Gaussova ravnina

Slika 5. Pravilan sedamnaesterokut

Slika 6. Gaussova krivulja

John Nash

Lana Matičević, 3.g

John Nash (1928.) je

ekonomist i matematičar.

Objavio je nekoliko teorija

koje ste koriste i koje su

doprinjele ekonomiji.

Osvojio je 1994. godine Nobelovu

nagradu za ekonomiju.

Njegova najpoznatija teorija je:

Nash Equilibrium (teorija igara)

Što je Nashov Equilibrium?

Koncept koji je na početku bio

napravljen kao taktika za jednostavne

igre

Nije najbolja strategija koja se može

iskoristiti, ali je najbolja taktika da se ne

koriste drugi igrači kako bi se došlo do

cilja

Zanimljivosti

Patio od shizofrenije (do 1990.)

Film Beautiful mind je snimljen o

njegovom životu.

Od znastvene racionalnosti do

iluzionističkog kaosa

Jednandžba N.E.