Upload
others
View
20
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
� U praktičnoj primjeni, dominantni značaj imaju električne struje i
naponi čije se karakteristične veličine periodično mjenjaju po
sinusoidalnom zakonu
� Električni ureñaji koji imaju veliku upotrebu onih koji proizvode ili
pretvaraju naizmjeničnu električnu energiju (generatori, elektromotori,
transformatori i dr.)
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
Period
Pozitivna
poluperioda
Negativna
poluperioda
� I slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na
linije magnetnog polja tj.
� Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je:
� Za
Generisanje naizmjeničnog napona
0( , ) 0B v =∡
( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� �� �
∢
B
v
( )sin 0 0oe B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =
0( , ) 0B v =∡
� II slučaj: namotaj u obliku rama horizontalno postavljen u odnosu na
linije magnetnog polja tj.
� Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je:
� Za
Generisanje naizmjeničnog napona
0( , ) 90B v =∡
( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� �� �
∢
( )sin 90o
me B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =
0( , ) 90B v =∡
� III slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na
linije magnetnog polja tj.
� Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je:
� Za
Generisanje naizmjeničnog napona
0( , ) 180B v =∡
( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� �� �
∢
( )sin 180 0oe B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =
0( , ) 180B v =∡
v
B
� IV slučaj: namotaj u obliku rama vertikalno postavljen u odnosu na
linije magnetnog polja tj.
� Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je:
� Za
Generisanje naizmjeničnog napona
0( , ) 270B v =∡
( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� �� �
∢
( )sin 270o
me B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ = −
0( , ) 270B v =∡
v
� V slučaj: namotaj u obliku rama ponovo vertikalno postavljen u
odnosu na linije magnetnog polja tj.
� Indukovani napon (ems) na krajevima navoja u obliku rama je:
� Za
Generisanje naizmjeničnog napona
0( , ) 360B v =∡
( ) ( )sin ,e l B v B l v B v= ⋅ × = ⋅ ⋅ ⋅� �� �
∢
B
v
( )sin 0 0oe B l v V= ⋅ ⋅ ⋅ =
0( , ) 360B v =∡
� Vrijeme za koje prostoperiodična veličina napravi jednu potpunu
promjenu (oscilaciju) naziva se period (T)
� Broj potpunih promjena perioda (T) u jednoj sekundi predstavlja
frekvenciju (f) naizmjenične veličine
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
[ ]1
1f Hz HercT
= − [ ]1
1T sf
=
� Sinusoidalna prostoperiodična veličina u svakoj poluperiodi ima jednu
trenutnu vrijednost koja je veća/manja od svih ostalih. Ta
najveća/najmanja trenutna vrijednost se naziva maksimalna/minimalna
vrijednost ili amplituda
� Obično se označava sa Um ili Im
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
Um
-Um
u(t)
Upp
� Za izražavanje trenutne vrijednosti naizmjeničnih valičina koristi se
trenutna vrijednost ugla α izmeñu obodne brzine rama v i magnetne
indukcije B
Ugaona prezentacija naizmjeničnih veličina
Ugaona prezentacija naizmjeničnih veličina
Primjer:
� Naizmjenične veličine često se predstavljaju preko ugaone brzine
obrtanja ω [rad/s] navoja u obliku rama
� Izmeñu ugaone brzine i ugla zakretanja važi jednakost:
� Veza izmeñu radija i stepeni je:
Ugaona brzina ω
tα ω= ⋅t
αω = t
α
ω=
2 360Oπ⋅ =
180rad stepeniO
πα α= ×
180O
stepeni radijanaα α
π= ×
ω
� Prostoperiodična sunusoidalna veličina za jednu punu oscilaciju
(period T) prebriše ugao od 2π
� Zamjenom dobija se veza izmeñu ugaone brzine i frekvencije
Ugaona brzina ω, period T i frekvencija f
22T
T
πω π ω
⋅⋅ = ⋅ ⇒ =
1T f=
2 2 ff
ωπ ω π= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
� Zamjenom umjesto u uganom naizmjenične veličine se mogu
predstaviti u vremenskom domenu:
Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
tα ω=
( )sinm
u U tω=
( )sinm
i I tω=
( )sinm
e E tω=
Veza izmeñu ugaonog i vremenskog domena
Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
Primjer:
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
� Ponekad je potrebno da za unaprijed poznatu trenutnu vrijednost
naizmjenične veličine odrediti ugao/vrijeme koje odgovara toj
trenutnoj vrijednosti
� Iz dobija se:
� Iz dobija se:
Veza izmeñu trenutne vrijednosti i ugla/vremena
( )sinm
u U α= arcsinm
u
Uα
=
( )sinm
u U tω= arcsinm
ut
Uω
=
1arcsin
m
ut
Uω
=
Primjer:
Veza izmeñu trenutne vrijednosti i ugla/vremena
Primjer:
Veza izmeñu trenutne vrijednosti i ugla/vremena
� Ako prostoperiodična sinusna veličina ne prolazi kroz nulu u trenutku
t=0 s, onda kažemo da je fazno pomjerena
� Ako prostoperiodična sinusna veličina u trenutku t=0 s ima pozitivnu
vrijednost kažemo da fazno prednjači, a ako ima negativnu vrijednost
onda kažemo da fazno zaostaje
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
( )sinm
v V t θω= + ( )sinm
v V t θω= −
Fazno prednjačenje Fazno kašnjenje
Primjer:
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
Primjer:
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
Zadaća:
Osnovni pojmovi o naizmjeničnim veličinama
� Fazor je obrtni vektor koji rotira ugaonom brzinom ω i čija projekcija
na vertikalnu (y) osu predstavlja trenutnu vrijednost naizmjenične
veličine
� Dužina vektora (fazora) odgovara maksimalnoj vrijednosti posmatrane
naizmjenične veličine
� Fazori se koriste samo za prezentaciju sinusoidalnih veličina
Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina
� I slučaj: Obtranje fazora u prvom kvadrantu
� Predpostavimo da je:
Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina
( ) [ ] 0100sin , 0 90u Vα α= ≤ ≤
� II slučaj: Obtranje fazora u drugom kvadrantu
� Predpostavimo da je:
Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina
( ) [ ] 0 0100sin , 90 180u Vα α= ≤ ≤
� III slučaj: Obtranje fazora u trećem kvadrantu
� Predpostavimo da je:
Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina
( ) [ ] 0 0100sin , 180 270u Vα α= ≤ ≤
� IV slučaj: Obtranje fazora u četvrtom kvadrantu
� Predpostavimo da je:
Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina
( ) [ ] 0 0100sin , 270 360u Vα α= ≤ ≤
Fazori- za prezentaciju naizmjeničnih veličina
Primjer:
� Početni položaj fazora odreñuje početnu fazu naizmjenične veličine
Fazori- početni faza i fazna razlika
( )sinmi I tω θ= +
( )sinm
i I tω θ= −
Fazori- početni faza i fazna razlika
Primjer:
� Za dvije ili više naizmjeničnih valičina kažemo da su u fazi ako
njihovi fazori imaju isti fazni stav
Fazori- početni faza i fazna razlika
( )
( )
sin
sin
m
m
i I t
u U t
ω
ω
=
=
� Kažemo da jedna naizmjenična veličina prednjači u odnosu na drugu
ako fazor jedne naizmjenične veličine ima veći fazni stav u odnosu na
fazor druge
Fazori- početni faza i fazna razlika
( )
( )
sin
sin
m
m
i I t
u U t
ω θ
ω
= +
=
� Kažemo da jedna naizmjenična veličina kasni u odnosu na drugu ako
fazor jedne naizmjenične veličine ima manji fazni stav u odnosu na
fazor drugu
Fazori- početni faza i fazna razlika
( )
( )
sin
sin
m
m
i I t
u U t
ω θ
ω
= −
=
Primjer:
Fazori- početni faza i fazna razlika
Primjer:
Fazori- početni faza i fazna razlika
� Ponekad se naizmjenični naponi i struje izražavaju preko cos(ωt)
umjesto sin(ωt)
� Veza izmeñu cos(ωt) i sin(ωt) je:
Fazori- početni faza i fazna razlika
( ) ( )
( ) ( )
cos sin 90
sin sin 90
O
O
t t
t t
ω θ ω θ
ω θ ω θ
+ = + +
+ = − +
Primjer:
Fazori- početni faza i fazna razlika
Primjer:
Fazori- početni faza i fazna razlika
� Zbog simetričnosti sinusne funkcije njena srednja vrijednost na
periodu T=2π jednaka je nuli
� Zato se srednja vrijednost definiše na poluperiodi T/2=π
� Srednja vrijednost jednaka je površini koju kriva zaklapa sa x osom
podjeljena sa poluperiodom T/2=π
Srednja vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine
( )
( ) ( )
2
0
0
0
1sin
2
1 1 2sin cos |
T
sr m
sr m m m
I I dT
I I d I I
ππ
α α
α α απ π π
=
= = − =
∫
∫
( )2 2 20.637
2
m
sr m m
II I I
π π
⋅= = = ⋅
Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine
� Neka je struja kroz otpornik R data sa:
� Trenutna vrijednost snage na otporniku p(t) data je izrazom:
( ) ( )sinm
i t I tω=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
22 2 2
2 22
sin sin
1 cos 2cos 2
2 2 2
m m
m mm
p t i t R p t I t R p t I R t
t I R I Rp t I R p t t
ω ω
ωω
= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = −
Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine
� Snaga p(t) sadrži fiksni dio i promjenljivi dio
� Neka fiksni dio snage odgovara istoj snazi koju razvije jednosmjerna
struja I na otporniku R, tj.
( )2
cos 22
mI Rtω
⋅2
2
mI RP
⋅=
22
2
mI RP I R
⋅= = ⋅
Efektivna vrijednost izmjenične struje odgovara onoj vrijednosti
istosmjerne struje I koja na otporniku R proizvede istu količinu toplote
kao ta izmjenična struja
Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine
� Iz posljednjeg izraza dobija se:
� Konačno je izraz za efektivnu vrijednost naizmjenične struje:
� Na isti način dobija se izraz za efektivnu vrijednost naizmjeničnog
napona:
22
2
mII =
0.7072
m
m
II I= = ⋅
0.7072
m
m
UU U= = ⋅
Primjer:
Efektivna vrijednost sinusoidalne naizmjenične veličine
� Pošto fazori kao obrtni vektori imaju amplitudu i početnu fazu oni se
mogu predstaviti kompleksnim brojevima. Prema tome i naizmjenične
veličine mogu predstaviti kompleksnim brojevima
Predstavljanje naizmjeničnih veličina kompleksnim brojevima
Primjer:
� Primjenimo trigonometrijski oblik kompleksnog broja
Predstavljanje naizmjeničnih veličina kompleksnim brojevima
( ) ( )200 40 200 cos 40 200 sin 40 153.2 128.55o o oE j j V= ∠ ⇒ ⋅ + ⋅ = +
�
� Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
je dosta kompleksno i nepraktično
Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina
� Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina u vremenskom domenu
je dosta kompleksno i nepraktično
Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina
� Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina kao kompleksnih
brojeva je mnogo jednostavnije
� Potrebno je nazmjenične veličine e1(t) i e2(t) iz vremenskog domena
preslikati u odgovarajuće veličine u E1 i E2 u kompleksnom domenu i
napraviti operaciju sabiranja ili oduzimanja
Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina
Primjer:
Odrediti zbir i u kompleksnom domenu
Rješenje:
Sabiranjem se dobija:
Dobijeni zbir treba pretvoriti u kompleksni broj u formi:
Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina
( ) ( )1 10sine t tω= ( ) ( )215sin 60oe t tω= +
( ) ( ) ( ) ( )1 1 110sin 10 0 ; 10cos 0 10sin 0 10 0O O O
e t t E V E j j Vω= ⇒ = ∠ ⇒ = + = +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 215sin 60 15 60 ; 15cos 60 15sin 60 7.5 13o O O O
e t t E V E j j Vω= + ⇒ = ∠ ⇒ = + = +
( ) ( ) ( )1 2 10 0 7.5 13 10 7.5 0 13 17.5 13V E E j j j j V= + = + + + = + + + = +
o
mV E ϕ= ∠
( ) ( )2 22 2 17.5 13 475.25 21.8mE A B V= + = + = =
Im 1336.6
Re 17.5
oarctg arctgϕ
= = =
Primjer:
Sabiranje i oduzimanje naizmjeničnih veličina
� Maksimalne vrijednosti napona Um i struja Im koristile su se u
fazorskom domenu za predstavljanje neizmjeničnih veličina
� Meñutim, u praksi se koriste efektivne vrijednosti naizmjeničnih
veličina U i I pa je potrebno napraviti dijeljenja maksimalnih
vrijednosti sa
� Primjer: Struju predstaviti u fazorskom
(kompleksnom domenu) ?
� Pošto je struja zadana u obliku njenu amplitudu pri
predstavljanju u fazorskom (kompleksnom) domenu treba podijeliti sa
� Dobija se:
� Konačno je:
Napomene o prezentaciji naizmjeničnih valičina u kompleksnom domenu
2
( ) ( )120sin 30oi t t Aω= +
( ) ( )sinmi t I tω=2
max 12084.85; 30
2 2
o o oII I Iϕ ϕ→
= ∠ ⇒ = = = ∠ =
84.85 30o o
I I I Aϕ→ →
= ∠ ⇒ = ∠
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina
Primjer:
Prezentacija naizmjeničnih veličina