Pozo de Potencial Esférico

8/17/2019 Pozo de Potencial Esférico

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Pozo de Potencial Esférico

Los potenciales de los pozos cuadrados de tres dimensiones y de una

dimensión, de paredes infnitas idealizados, pueden resolverse por la ecuación

de Schrödinger, dando niveles de energías cuantizados. Para el caso de un

núcleo, una idealización útil es la de un potencial esrico de paredes infnitas.

!s decir, se modela el núcleo con un potencial "ue es cero dentro del radio

nuclear, e infnito, uera de ese radio.

!n coordenadas polares esricas, la ecuación de Schrödinger se puede separar

en la orma general #$r,",% & '$r%($"%)$%, como en el caso de lasolución del

*tomo de hidrógeno. !n este caso, con un potencial cero, la separación de las

ecuaciones azimutal $% y colatitud $"% re"uieren

Las soluciones de ( y ), cuando est*n normalizadas, dan un con+unto est*ndar

de unciones llamadas armónicas esricas.

La ecuación radial es

y la solución de esta ecuación, se puede epresar en trminos de otro con+unto

de unciones llamadas unciones -essel esricas.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/schr.html#c3http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/pbox.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/pbox.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/sphc.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/hydsch.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/hydsch.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/math/sphhar.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/math/bessel.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/pbox.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/pbox.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/sphc.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/hydsch.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/hydsch.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/math/sphhar.html#c1http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/math/bessel.html#c2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/quantum/schr.html#c3


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ndas de simetría circular y esrica

Los pro/lemas "ue hemos visto con anterioridad han podido ser resueltos

recurriendo eclusivamente al uso de coordenadas rectangulares 0artesianas.

Pero hay otros pro/lemas en los cuales la solución de los mismos mediante

coordenadas 0artesianas se vuelve un asunto diícil, o/lig*ndonos a recurrir a

otro tipo de coordenadas para poder llevar a ca/o la resolución de los mismos.

1na clase importante de pro/lemas de este tipo son los pro/lemas "ue ehi/en

un tipo de simetría "ue puede ser circular o esrica, cuyo an*lisis veremos a

continuación. !l primero "ue estudiaremos ser* el del rotor rígido $conocido

espor*dicamente tam/in como el rotador rígido%. !ste pro/lema es

interesante por"ue nos permite introducir el concepto del momento angular

como un operador mec*nico cu*ntico.

0l*sicamente, la energía cintica de un cuerpo movindose siempre en línea

recta en una misma dirección est* dada por la relación ! lineal & mv234. Puesto

"ue el momentum cl*sico es igual al producto de la masa por la velocidad, P &

mv, el momentuml lineal est* relacionado con la energía mediante la órmula

!lineal & P234m.

Por otro lado, si tenemos dos masas iguales conectadas con una vara rígida a

las cuales se les imprime una rotación en torno al centro geomtrico de las

masas d*ndoles una velocidad angular 5, en analogía con el concepto6e7toniano de la masa "ue identifca a la masa inercial como 8la oposición "ue

presenta un cuerpo a ser acelerado linealmente9, para movimientos angulares

podemos defnir una especie 8inercia angular9 a la cual llamamos el momento

de inerciasim/oliz*ndolo como :. # del mismo modo en "ue la velocidad a lo

largo de una línea recta proporciona a un cuerpo una energía de movimiento

igual a mv234, la velocidad angular proporciona a un cuerpo girando en torno a

una ór/ita circular una energía rotacional igual a !rot& :5234. # si el momentum

lineal P est* relacionado con la energía cintica de movimiento lineal

!lineal mediante la relación !lineal & P234m, entonces de/e ser posi/le defnir una

cantidad llamadamomentum angular de dicho sistema de masas "ue podemossim/olizar como L "ue de/e ser igual al producto de la 8inercia angular9 : por la

velocidad angular 5, o sea;

L & :5


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la energía rotacional, tenemos entonces la siguiente relación "ue nos conecta a

la energía rotacional con el momentum angular;

!rot & =:$L3:%2>34 & L234:

0omparemos ahora las dos epresiones cl*sicas "ue nos conectan a la energíacon el momentum;

!lineal & P234m

!rot & L234:

Si nos ue posi/le redefnir a P como un operador mec*nico?cu*ntico de la

siguiente manera;

entonces comparando las relaciones "ue tenemos arri/a para y para nos de/e

ser posi/le defnir tentativamente un operador para el momentum angular de

la siguiente manera;


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est* descrita por un movimiento angular. !l operador re"uerido tiene "ue ser

necesariamente el siguiente;

La defnición "ue de/emos dar al momento de inercia : de un sistema de

partículas "ue va a ser sometida a un movimiento angular en torno a su centro

de masa geomtrico es la misma "ue la "ue le damos cl*sicamente, o sea;

: & C mD rD2

siendo rD la distancia de cada partícula de masa mD al centro de masa del

sistema de partículas. Para un sistema de dos partículas, esta epresiónad"uiere la mayor simplicidad posi/le, y es precisamente la "ue descri/e el

caso del rotor rígido.

PROBLEMA; Escríbase la ecuación de Schrödinger que corresponde a un rotor

rígido de dos partículas que consta de dos masas puntuales iguales M

mantenidas separadas a una distancia constante por una vara rígida, el cual

sufre una rotación alrededor de su centro de masa a una velocidad angular

constante ω. espreciando los efectos que puedan involucrar un estiramiento

de la vara rígida que conecta a las dos masas puntuales, determínense los

valores de energía permisibles en este sistema así como las funciones eigen.

Las energías del rotor rígido est*n cuantizadas y est*n dadas por la siguiente

relación;


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PROBLEMA; El rotor rígido de dos partículas sufre una rotación alrededor de

su centro de masa a una velocidad angular constante ω. !sando las

coordenadas que m"s convenga utilizar, escríbase el operador #amiltoniano #

que debe ser utilizado en la ecuación de Schrödinger para la determinación de

los valores eigen de energía del sistema así como las eigenfunciones

asociadas. Supóngase que la distancia entre las partículas permanece

invariable s.

!l caso m*s sencillo es a"ul en el cual el rotor consta de dos partículas de

masas iguales;

PROBLEMA; $esu%lvase la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo

encontrando las eigenfunciones & los valores permisibles para la energía de

una partícula con'nada a una región bidimensional acotada por una frontera

circular r ( a. Supóngase que el potencial dentro de la región es igual a cero &

que fuera de la región es in'nitamente grande.

Si el potencial dentro de la región /idimensional es igual a cero, entonces la

partícula no eperimente uerzas al moverse de un lado a otro dentro de la

región. La naturaleza del pro/lema es tal "ue no resulta conveniente tra/a+aren coordenadas rectangulares 0artesianas, y dada la simetría del pro/lema lo

m*s conveniente es recurir a coordenadas polares, !sto signifca "ue la unción

de onda estar* epresada en unción de estas dos coordenadas;

E & E$r, F%


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Gl estar el espacio dentro de la región descrito mediante coordenadas polares

$r,F%, esto implica "ue ha/r* dos números cu*nticos dierentes re"ueridos para

la especifcación de cual"uier unción de onda dentro de la ca+a esrica. Si

vamos a utilizar coordenadas polares, entonces tenemos "ue reormular la

ecuación de onda de Schrodinger independiente del tiempo con el Laplacianoespecifcado no en coordenadas rectangulares 0artesianas sino en

coordenadas polares. !l operador H $na/la% en coordenadas polares est* dado

por la relación;

!l operador aplicado a una unción de onda E es entonces;

Para encontrar las soluciones posi/les a esta ecuación, recurrimos a la tcnica

matem*tica de separación de varia/les.


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!ste pro/lema es esencialmente el mismo "ue el pro/lema de las vi/raciones

posi/les en una mem/rana circular como las "ue puedan ocurrir en la

superfcie de un tam/or, y es un pro/lema "ue ya ha/ía sido estudiado a ondo

y resuelto por la mec*nica ondulatoria cl*sica desde antes del advenimiento de

la @ec*nica 0u*ntica.

$adialmente, las ondas estacionarias "ue podemos tener en una mem/rana

circular tienen el siguiente aspecto;

Pero no es el único tipo de vi/ración posi/le. Aam/in podemos tener el


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siguiente tipo de vi/ración angular;

Gun"ue no lo parezca, el modo ondulatorio "ue se aca/a de mostrar es de/ido

no a una vi/ración radial sino a una vi/ración angular de/ida a la componente

angular de la ecuación de onda. Si permaneciendo a una distancia radial f+a

nos movimos angularmente desde un *ngulo F & JK hasta un *ngulo F & MJK,

o sea dando una vuelta completa regresando al punto de partida, si hay una

oscilación a lo largo de la coordenada angular entonces dicha oscilación solo

puede ocurrir en múltiplos enteros de longitudes de onda.


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La siguiente fgura nos muestra en mayor detalle lo complicado "ue se pueden


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ver las cosas;

La com/inación de una oscilación simtricamente radial con otra oscilación

simtricamente angular es lo "ue permite la comple+idad necesaria para "ue,

al ser trasladado el pro/lema a una situación tridimensional esrica, sea

posi/le la estructura necesaria para construír el constituyente esencial de la

6aturaleza; los *tomos.

PROBLEMA; isc)tase el comportamiento que puede esperarse desde la

perspectiva de la Mec"nica *u"ntica para una partícula libre encerrada dentro

de una esfera hueca de radio $.

Podemos imaginarnos a la partícula encerrada en una cavidad hueca de radio '

dentro de una esera cuya pared es impenetra/le para la partícula;


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0onsiderando al potencial dentro de la ca+a esrica igual a cero, entonces la

partícula no eperimenta uerzas al moverse de un lado a otro dentro de la

ca+a, y si la partícula se comporta como una onda entonces las únicas ondas

posi/les dentro de la cavidad de/en ser ondas estacionarias, múltiplos de

medias longitudes de onda o de longitudes de onda completas. !l punto de

partida es, como siempre;

BE & !E

La naturaleza del pro/lema es tal "ue no resulta conveniente tra/a+ar en

coordenadas rectangulares 0artesianas, y dada la simetría del pro/lema lo m*s

conveniente es recurir a coordenadas esricas, !sto signifca "ue la unción de

onda estar* epresada en unción de estas tres coordenadas;

E & E$r, F,N%

Para una partícula li/re encerrada en una ca+a esrica, el potencial es igual a

cero dentro de la ca+a y es infnitamente grande uera de la misma. La

condición de rontera re"uiere adem*s "ue todas las unciones de onda

estacionarias se desvanezcan en la pared de la ca+a.


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dierencial est*n dadas por las funciones de +essel. G continuación tenemos

una gr*fca de la unción de -essel de primera especie J;

y la gr*fca de la unción de -essel Q, tam/in de primera especie;

!n la siguiente gr*fca tenemos a las tres primeras unciones de -essel

superimpuestas una so/re la otra;


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Las soluciones "ue re"uerimos para la ecuación de onda dentro de la cavidad

esrica vienen siendo las siguientes;

siendo G la constante de normalización para la unción de onda radial, y en

donde los valores posi/les de la energía !nl son tales "ue hacen "ue la unción

de onda se anule +usto en la pared interior de la cavidad esrica $la condición

de frontera%, es decir, cuando r & ', los cuales pueden o/tenerse a partir de los

ceros de la $lRQ34%?sima unción de -essel;

Los ceros de una unción de -essel pueden ser o/tenidos ya sea gr*fcamente

$puntos ro+os en las gr*fcas%;

o con mayor precisión numrica en algún programa computacional o en

cual"uiera de los evaluadores numricos de unciones de -essel disponi/les

gratuitamente en :nternet.


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Las eigenfunciones de onda para l & J est*n dadas por;

en donde G es la constante de normalización. Para otros valores $superiores% de

l, la unción de onda se vuelve m*s complicada.

Los conceptos "ue hemos visto a"uí tendr*n posteriormente una aplicación

etraordinariamente importante cuando tratemos el pro/lema de un electrón

confnado a una 8ca+a9, o me+or dicho, a un pozo de potencial esf%rico, como el

potencial $r% "ue proporciona un núcleo atómico 8encerrando9 al electrón

dentro de un potencial esrico. !sto es precisamente lo "ue hace posi/le la

eistencia de los *tomos y el comportamiento de los elementos para ormarcompuestos "uímicos.

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