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GUA DE EJERCICIOSMAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta
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PRACTICA 5 (transformada de Fourier)Determinar la transformada Fourier de:
1 2 3 cos1 1( ) : 40 1sen w w wt tf t Rpta F w
t w
2 7 32 2 2( ) cos cos : 5 2 2 5f t t t Rpta F w w w w w 3 2 22 2( ) :
jw a wa
tf t Rpta F w ea t
4 2 22( ) :a t af t e Rpta F w a w
5 2 21( ) : a waf t Rpta F w ea t
6 2 2 222 22( ) : 2
ta w
af t Ae Rpta F w A a e
7 0 2 0 01 1( ) cos :at Af t Ae u t w t Rpta F w
a j w w a j w w
8 0 2 22 20 01 1( ) cos :a tf t Ae w t Rpta F w Aa
a w w a w w
9 2 2 2( ) 1 :at wA aAf t A e u t Rpta F w j aw w 10 2 12
1 1( ) 4 :2 4 2 4
t df t t e sen t u t Rpta F wdt j w j w
11 21 1 2
0 2
( ) :wT kk j k
wTn
sen wtf t t nT Rpta F w e
sen
Hallar la transformada Fouriaer de las siguientes seales:
1 4
fx(t)A
t
coseno
2 2
7
2 5 8
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3 6 9 tx t e u t
22 cos 2
1:A wT A
Rpta X wT jw
2 cos 2 2 : A wT ARpta X w jw
1 12 2 2 4 : sin sinA w wRpta F w c c 3
37103 351 22 2
310 2
10 10 3
3 : 10 sin
wj
w
jw jw e
Rpta X w c
e e
22cos 2 2 5 : w sen wRpta F w jA w w 23 224 2 4 6 : cos 1jw jww wAjwRpta X w w e j e
2 9 : 1jwRpta X wjw
2 24 4 8 7 : 4sin sinwT wTATRpta X w c c
24
1040 10100
8 : cos 1 2cosw
A w wRpta X w
Resolver los siguientes problemas
1. Calcular la transformada de Fourier de 0( ) cosf t u t w t utilizando por la propiedad de modulacin y porel teorema de convolucion en frecuencia.
0 02 2 20
:jwRpta F w w w w w
w w
2. Calcular la transformada de Fourier de la funcion f t y con este resultado, calcular la transformada de las
siguientes funciones 1 2 3 4, , ,f t f t f t f t : 1 12 22 1 1
2 2
w ww w
F w e P e P
1
1 3 4
1 0 1 00 1 0 1( ) ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( )
0 otro caso 0 otro caso0 otro caso 0 otro caso
t t
t tt t
e t e te t te tf t f t e t f t e t f t
1 1 11 3
11 11 1
142 22
1 1 11:1 1 1
11 21 11
1 1 1
jw jw jwjw
jwjw jwjt jt
e e eF w F w eRpta jw jw jweF w e jwee e F wf tjw jt jt jw
Hallar el diagrama de magnitud y fase para:
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12( ) 3
4tf t P 4
1( ) 33
tf t P
2 5
41( ) 2 :
2 2
sen wF wt
wf t P Rptaw arctg tg w
Mediante la transformada de Fourier de la seal generatriz, calcular los coeficientes de Fourier nx de lassiguientes seales peridicas:
1
x(t)
t-T T2
T2
14
24
1 4: 1 1 nAn
nRpta x e
3
2 22
32
impar: 0
0 par
An
n
nRpta x x A
n
Resolver los siguientes problemas1. La seal peridica mostrada es la entrada a un filtro RC
disear el filtro para eliminar los primeros cincoarmnicos. Encuentre la amplitud de la respuesta alsexto armnico
2. Si la entrada al filtro de la figura es la seal: Disear el filtro tal que el sistema no elimine los
armnicos de frecuencia Calcular la relacin: potencia de seal de salida
eliminada y potencia total de salida.
3. Encontrar el espectro de magnitud y fase de la sealperidica
4. Una seal en el tiempo v t tiene transformada deFourier que se muestra en la figura. Dibujar la
transformada de Fourier de 2v t , 2v t y de cosv t t
5. Si 10 tx t e . Calcular el ancho de banda dentro de la cual este contenido el 80% de la energa de laseal. : 0.15056Rpta B Hz
6. La seal ktx t t e u t se pasa por un filtro pasabajos de ganancia unitaria y ancho de banda B .Calcular el ancho de banda del filtro, a fin de que la energa de salida del filtro sea el 80% de la energa a laentrada. Expresar B en funcin de k . : 0.15056Rpta B k Hz
7. Si 2sin 10x t c t . Hallar su espectro de energa y su energa total.
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8. La salida y t de un sistema LTI causal esta relacionado con la entrada x t por la ecuacin 10 3tdy t y t x z d x t z t e t t
dt
.
Encontrar la funcin de transferencia H w Determinar la respuesta al impulso del sistema
9. El modelo de un sistema es '' 8 ' 15 x t x t x t y t . Hallar: ( )h t y H w Determinar la salida si tx t e
10. Un sistema estable tiene respuesta en frecuencia:
324
2 5 6jwH w
w jw jw
Determinar:
La ecuacin diferencial que relaciona la salida con la entrada La respuesta al impulso Cual es la salida si 4 4t tx t e t e u t
11. Dado un sistema causal y estable representado por:
246 5
jwH wjw w
Determinar La ecuacin diferencial que relaciona la salida con la entrada La respuesta al impulso (la funcin del sistema ( )h t )
Cual es la salida si la entrada es la componente par de 0 10
te t
x totros
Cual es la salida si la entrada es la componente par de 41 tx t t e u t12. Si la entrada a un rectificador de onda completa es 0a t sen w t siendo 0a t hallar su salida Y w
en funcin de A w a tF13. Si un sistema representado por y t x t tiene entrada 0a t sen w t con 0a t hallar la densidad
espectral de energa en trminos de A w a tF14. Hallar la respuesta a una entrada 0cosx t w t de un sistema cuya funcin es: 0
0
0
0
j
je w
H we w
0 0: cosRpta y t w t
15. Hallar la respuesta a una entrada 5 2x t u t de un sistema cuya funcin de transferencia es: 2110 1
1jwH w ejw
4: 10 4tRpta y t e u t
16. Si la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es ( )h t y la entrada ( )x t hallar el espectro defrecuencia de la salida
0 ( )y t ( ) ( )t th t t e u t x t e u t
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17. Utilizar la convolucion para encontrar: 1 1
1 2x t jw jw
F18. Sea 5 x t X w w w w F y 2 h t u t u t :
x t es peridica? x t h t es peridica? puede ser peridica la convolucion de dos seales peridicas?
19. Para el sistema LTI cuya respuesta a la entrada x t es una salida y t Encontrar: La respuesta en frecuencia. La respuesta al impulso La ecuacin diferencial que relaciona la entrada y la salida de este sistema
3 42 t t t tx t e e u t y t e e tHallar la transformada inversa de Fourier si:
1 2 21 12 21 w wF w arcsen arcsenj 10 2 3F w sen w2 2 2
2
wjwsenF w ejw
3 21 :1 2 t tF w Rpra f t e e u tjw jw 4 2 2 22 62 3 : 1 4w wF w e e Rpra f t t t 5 2 42 :1
j twF w Rpra f t tew
Para las siguientes funciones esquematizar los diagramas de magnitud y fase.
1 10 cos 100tf t e u t t 3 21 cos 10tf t t P t 2 2 22 cos 10tf t arcsen t 4 4cos 10 cos 100f t t tHallar la representacin de la funcin en el tiempo a partir de los diagramas:
1 3
2 4
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7
2 2: A T TRpta f t jsen t Sa t 12
: 2TRpta f t Sa T t Determinar h t , La funcin de transferencia, la ecuacin diferencial que relaciona la entrada y la salida y larespuesta al impulso de:
1
2y(t) Ajwx(t) RetardoT=10u sg +
3
y(t)Ajw
x(t)
RetardoT
+
4
5
8
+X(w) Y(w)+ 1jw+11
jw+11jw
++
1jw+1
1jw+1
1jw+1
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2
4 3 21
:3 3 1
jwRpta H w
jw jw jwPara los siguientes circuitos hallar lo pedido:
1 i(t)
1
2 1 1 2 v0(t)
-
+
, 2 i t t i t i t 3 vi(t)
21
1 3i(t)
2 , 2 i i iv t t v t v t
2
08 4 T w