1

ตอนที� 1 ข้อ 1 – 10 เป็นข้อสอบอตันยัข้อละ 2 คะแนน

1. กําหนดให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกซึ�ง ห.ร.ม. ของ n และ 420 เทา่กบั 210 และ ค.ร.น. ของ n

และ 1260 เทา่กบั 8820 แล้วคา่ n จะมีคา่น้อยที�เทา่กบัเทา่ใด

2. กําหนดให้จํานวนเชงิซ้อน iz

i1

i1

1 i

คา่ของ 1 25z เทา่กบัเทา่ใด

3. ผลคณูของรากทกุตวัของสมการ 2(log x) 1 2x 100x มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

2

4. A เป็นเมตริกซ์ 3 × 3 ที� det( 2A ) – det(2A) + 2det(2I) = 0

โดยที� I คือเมตริกซ์เอกลกัษณ์ขนาด 3 × 3 แล้ว det(adj(2 1A )) มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

5. กําหนดเส้นตรง 1L มีสมการคือ 3x + Ay + 1 = 0

และวงกลม C มีสมการคอื 2 2x y Bx 6y 0 เมื�อ A และ B เป็นจํานวนจริง

ถ้าเส้นตรง 1L และวงกลม C สมัผสักนัที�จดุ (1, 1) และเส้นตรง 2L สมัผสัวงกลม C ที�จดุ (k, –k) เมื�อ k > 0

แล้วเส้นตรง 2L หา่งจากจดุกําเนิดเทา่กบัเทา่ใด

6. กําหนดให้ u i, v 2 i j และ เป็นมมุระหวา่ง u และ v

ถ้า w a i b j เป็นเวกเตอร์ที�ทํามมุกบั u เทา่กบั 2 แล้ว a

| |b

มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

3

7. ผลบวกของคา่สมับรูณ์ของคําตอบของสมการ 2 113arccos 2 0x 5x

2

มีคา่เทา่กบัเทา่ใด

8. กําหนด (fog)(x) = 23x 2x 3 ถ้ากราฟ y = (fog)(x) ตดัแกน Y ที�จดุ (0, –3)

ตดัแกน X ที�จดุ (a, 0), (b, 0) และ (c, 0) แล้วคา่ของ 2 2 2a b c เทา่กบัเทา่ใด

9. กล่องใบหนึ�งใสบ่ตัร 9 ใบ แตล่ะใบเขียนตวัเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ใบละหนึ�งตวั

ให้นาย ก นาย ข และนาย ค สุ่มหยิบบตัรจากกลอ่งคนละ 1 ใบ

โดยให้นาย ก หยิบกอ่น ตามด้วยนาย ข และนาย ค ตามลําดบั โดยหยิบแล้วจะไมใ่ส่คืน

จํานวนวธีิที�นาย ก หยิบได้บตัรที�มีตวัเลขที�มีน้อยกวา่ตวัเลขในบตัรที�นาย ข หยิบได้ และนาย ข หยิบได้บตัรที�มี

ตวัเลขที�มีคา่น้อยกวา่ตวัเลขที�นาย ค หยิบได้อยู ่1

4

10.

พ.ศ. 2553 2554 2555 2556

รายได้(ล้านบาท) 4 6 9 11

จากตารางแสดงรายได้ในปีตา่งๆ จะคาดการณ์รายได้ในปี 2557 ได้เป็นเงินกี�ล้านบาท

ตอนที� 2 ข้อ 11–30 เป็นข้อสอบอตันยัข้อละ 4 คะแนน

11. กําหนด A = 3 2

3 2

2x 5x 22x 15x | 0

x x 4x 4

และ B = { 2x | x และ x A}

ผลบวกของสมาชิกในเซต B ทกุตวั เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 55 2. 56 3. 60

4. 61 5. 64

5

12. กําหนดให้ 1r และ 2r เป็นความสมัพนัธ์ กําหนดดงันี �

21

2

r {(x, y) R R | x xy 1}

2r {(x, y) R R | y }

1 | 3 x |

แล้ว 2 1r rR R เป็นสบัเซตในข้อใดตอ่ไปนี �

1. (–4, –2) 2. (–1, 1) 3. (–2, 0)

4. (–1, 1) 5. [2, 4)

13. ให้วงรีมีจดุศนูย์กลางอยูท่ี�จดุยอดของพาราโบลา 2y 4y 8x 4 0 ถ้าโฟกสัจดุหนึ�งของวงรีที�จดุซึ�งเกิด

จากไดเรกตริกซ์ตดักบัแกนของพาราโบลา และวงรีผ่านจดุ (4, 2) และเส้นตรง L เป็นเส้นตรงที�ผา่นจดุโฟกสัของ

วงรีซึ�งอยูใ่นจตภุาคที� 2 และผ่านจดุปลายแกนโทซึ�งอยูใ่นจตภุาคที� 4 แล้วสมการ L ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 5x 2y 4 5 0 2. 5x 2y 8 5 0 3. 5x 4y 8 5 0

4. 5x 4y 4 5 0 5. 5x 4y 8 5 0

6

14. ให้ A และ B เป็นจํานวนจริงใดๆที�สอดคล้องกบัสมการ

sin A + sin B = 2

2 และ cos A + cos B =

6

2

คา่ของ sin(A + B) เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 3

4 2.

1

2 3.

1

2

4. 2

2 5.

3

2

15. สามเหลี�ยม ABC เป็นสามเหลี�ยมซึ�งด้าน AB ยาว 5 หนว่ย ด้าน BC ยาว 6 หนว่ย

และด้าน AC ยาว 7 หนว่ย ถ้าจดุ D แบง่ด้าน BC ออกเป็นอตัราสว่น BD : BC = 1 : 2

แล้วคา่ของ ˆcos BDAˆcos ACB

เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 7 2. 7

2 3.

7

5

4. 7

8 5.

7

10

7

16. ถ้า a และ b เป็นคําตอบของสมการ x x x2 6 6 2 3 3 0

แล้วคา่ y จากสมการ log | a b | (| a b | log y) 1 อยูใ่นชว่งใดตอ่ไปนี �

1. (0, 1) 2. (1, 2) 3. (2, 3)

4. (3, 4) 5. (4, 5)

17. กําหนดให้ A เป็นเมตริกซข์นาด 2×2 โดยที� a 0A

0 b

เมื�อ a > b

ถ้า det(A + I) – det(A – I) = 12 และ det(A + I) + det(I – A) = 18

เมื�อ I เป็นเมตริกซเ์อกลกัษณ์ขนาด 2×2 แล้วคา่ของ det(bA t) – det(a 1A ) ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 15.5 2. 17.5 3. 24

4. 30 5. 32

8

18. ถ้า z a bi เป็นรากที� 3 ของ 8i โดยที� a < 0 และ b > 0

แล้วคา่สมับรูณ์ของ 13z 2z มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. –1 2. – 2 3. 2

4. 5 5. 5

19. กําหนดเวกเตอร์ u 3 i 2 j k, v i 4 j 2k, w i 5 j 2k

เวกเตอร์ a เป็นเวกเตอร์ซึ�งตั �งฉากกบัเวกเตอร์ u และ v พิจารณาข้อความตอ่ไปนี �

ก. เวกเตอร์ a อยูบ่นระนาบ XZ

ข. ถ้า a w 0 แล้ว a w u v 28

ค. a a 245

ง. a (u v) 0

จํานวนข้อที�ถกูต้องเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 0 ข้อความ 2. 1 ข้อความ 3. 2 ข้อความ

4. 3 ข้อความ 5. 4 ข้อความ

9

20. จากการสํารวจ ได้ตารางแสดงความสงูของนกัเรียน 60 คน ดงันี �

จากตารางข้อมลู x = คา่เฉลี�ยเลขคณิตของข้อมลู

และ S.D. = ส่วนเบี�ยงเบนมาตรฐานของข้อมลู

ข้อใดถกูต้อง

1. x 170, S.D. 3.0

2. x 170, S.D. 3.2

3. x 172, S.D. 3.4

4. x 172, S.D. 3.6

5. x 170, S.D. 3.6

21. ภายในกลอ่งกระดาษสีดําถงุผ้าทบึแสงสองใบ คือ ถงุ A และ ถงุ B บรรจลุูกบอลสีแดงและสีขาวคละกนัโดย

ถงุ A มีลูกบอลสีแดง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 4 ลูก และถงุ B มีลูกบอลสีแดง 2 ลูก และลูกบอลสีขาว 1 ลูก

ความนา่จะเป็นที�สุ่มหยิบถงุผ้าขึ �นมาหนึ�งถงุจากกลอ่งดําและสุ่มหยิบลูกบอลจากในถงุผ้านั �นแล้วได้ลูกบอลสีแดง

ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 0.33 2. 0.50 3. 0.52

4. 0.54 5. 0.67

ความสงู(เซนติเมตร) จํานวนนกัเรียน

160 – 162 2

163 – 165 8

166 – 168 10

169 – 171 k

172 – 174 13

175 – 177 5

178 – 180 3

10

22. คะแนนสอบของนกัเรียนกลุ่มหนึ�งมีการแจกแจงปกติ โดยมีสมัประสิทธิ�การแปรผนัเทา่กบั 32%

และความแปรปรวนเทา่กบั 64 ถ้ากําหนดพื �นที�ใต้เส้นโค้งปกติ ดงันี �

ระหวา่ง z = 0 ถงึ z = 0.44 และ ถงึ 0.51 เทา่กบั 0.1700 และ 0.1950 ตามลําดบั

นกัเรียนผู้หนึ�งมีคะแนนสอบเป็นเปอร์เซนต์ไทล์ที� 33 เขาสอบได้คะแนนตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 20.92 2. 21.48 3. 28.52

4. 29.08 5. 29.48

23. กําหนดให้ 4 4 4

1 1 1...

1 2 3 มีคา่เทา่กบั

4

90

คา่ของ 4 4 4

1 1 1...

1 3 5 เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 4

96

2.

4

45

3.

489

90

4. 4

46

5.

489

45

11

24. กําหนดให้ n(a ) เป็นลําดบัเลขคณิต ซึ�งสอดคล้องกบั

100 100

2n 2n 1n 1 n 1

a a 50

และ 100 100

2n 2n 1n 1 n 1

a a 9350

จํานวนเต็มบวก n ซึ�งทําให้ na 96 มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 184 2. 188 3. 190

4. 195 5. 199

25. กําหนดให้ f(x) = 3 2x – 12x + 15

ถ้า a

b

(2x 4) dx 0 โดยที� a = b + m เมื�อ m คือ คา่ตํ�าสุดสมัพธ์ัของ f

แล้วคา่ของ 2a

2

2b 4

(3x 4) dx

เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. –32 2. 16 3. 24

4. 32 5. 34

12

26. กําหนด 2

3

x af(x)

x b

เมื�อ a และ b เป็นจํานวนจริงใดๆ โดยที� a b

ถ้า x 2

1lim f(x)

3 และเส้นตรงซึ�งสมัผสัเส้นโค้ง f ที�จดุ x = 1 ขนานกบัเส้นตรง

2

3x y

แล้ว f(b – a) มีคา่ตรงกบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 1

3 2.

1

2 3.

2

3

4. 3

4 5. 1

27. กําหนดฟังก์ชนั f ที� นิยามดงันี � f(x) = 3 2x – 2x – 5

ถ้า a เป็นจํานวนจริงบวกที�สอดคล้องกบัสมการ a

a

f(x) dx 0

แล้วพื �นที�ระหวา่งกราฟ y = f(x) กบัแกน X เฉพาะสว่นที�อยูเ่หนอืแกน X ในชว่ง –a x 0

เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 5 ตารางหนว่ย 2. 6 ตารางหนว่ย 3. 7 ตารางหนว่ย

4. 8 ตารางหนว่ย 5. 12 ตารางหนว่ย

13

28. ในบรรดาจํานวนเต็มตั �งแต ่ 1 ถงึ 1000 มีจํานวนนบัซึ�งมีจํานวนหลกัที�เป็นเลขโดดคูเ่ป็นจํานวนคี�

(เชน่ 435, 83, 206 เป็นต้น) เป็นจาํนวนเทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 359 2. 399 3. 459

4. 499 5. 500

29. ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงซึ�งสอดคล้องกบัสมการ

2 8 2(1 3x) (1 ax) 1 10x bx ...

แล้ว b – a มีคา่เทา่กบัข้อใดตอ่ไปนี �

1. 22 2. 23 3. 24

4. 25 5. 32

14

30. กําหนด x เป็นตวัเลขที�สุม่มาจาก {2, 3, 7, 8} และ y เป็นตวัเลขที�สุม่มาจาก {1, 4, 5, 6, 9}

ความน่าจะเป็นที�ผลคณูของ xy เป็นเลขคูห่รือมีคา่มากกวา่ 49 เท่ากบัเท่าใด

1. 0.25 2. 0.45 3. 0.65

4. 0.75 5. 0.85

เฉลย

1. 1470 6. 0.75 11. 1 16. 3 21. 2 26. 1

2. 45 7. 10 12. 3 17. 4 22. 2 27. 4

3. 10 8. 7 13. 1 18. 5 23. 1 28. 5

4. 4 9 28 14. 5 19. 2 24. 5 29. 2

5. 9.8 10. 13.5 15. 3 20. 2 25. 5 30. 5