Črnjarić-Žic N.: Inženjerska statistika 3. predavanje

Aksiomatska definicija vjerojatnosti

• klasična definicija vjerojatnosti je pogodna za korištenje samo u slučajevima u kojima je broj mogućih ishoda konačan, ishodi moraju biti jednako vjerojatni i disjunktni

• vjerojatnost možemo na prostoru događaja definirati i općenitije Označimo s skup svih elementarnih događaja Ω• Algebrom događaja nazivamo skup koji ima sljedeća svojstva: ℑ

1. , NΩ∈ℑ ∈ℑ 2. A A∈ℑ⇒ ∈ℑ 3. ,A B A B∈ℑ⇒ ∪ ∈ℑ

• Funkcija vjerojatnosti svakom događaju A pridruži broj , koji nazivamo vjerojatnost tog događaja, a koji odražava preciznu „mjeru izgleda“ da se događaj A realizira.

( )P A

• Funkcija vjerojatnosti [ ]: 0P ℑ→ ,1 mora zadovoljavati sljedeće aksiome:

1. za svaki ( ) 0P A ≥ A∈ℑ , 2. , ( ) 1, ( ) 0P P NΩ = =3. ako je su događaji A i B disjunktni

tj.( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +A B N∩ = .

Trojku { }, , Pℑ Ω nazivamo prostor vjerojatnosti. Iz osnovnih aksioma slijede svojstva vjerojatnosti: 1. ( ) 1 ( )P A P A= − ; 2. ; 0 ( )P A≤ ≤1 3. Ako je A B⊂ tj. A je poddogađaj događaja B ili (kad se dogodi A se sigurno

realizira i B) onda vrijedi ( ) ( )P A P B≤ . 4. Ako su događaji A i B disjunktni, onda tj. ako se isključuju, onda je

. ( )P A B∩ = 0 5. Za bilo koja dva događaja A i B vrijedi

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ .

Črnjarić-Žic N.: Inženjerska statistika 3. predavanje

Primjer Neka je vjerojatnost da je na proizvodu greška 1. vrste jednaka 0.1, a vjerojatnost da je greška 2. vrste 0.2. Odrediti vjerojatnost da proizvod nije ispravan: a) ako se ne mogu pojaviti istovremeno greška 1. i 2. vrste (npr. 1. šipka je prekratka, 2.

šipka je predugačka) b) ako greška 1. vrste ne isključuje grešku 2. vrste (npr. 1. šipka je predugačka, 2. šipka je

oštećena)

• Događaji A i B su nezavisni ako vrijedi ( ) ( ) (P A B P A P B)∩ = ⋅ .

Primjer 2.11. Povećanje pouzdanosti sustava Imamo sustav koji je sastavljen od tri različite komponente povezane u seriju (vidi sliku).

3

1 2 3

Karakteristika ovakvog sustava je da je ispravan samo ako je svaka od komponenti ispravna. Pouzdanosti (pouzdanost=vjerojatnost da neće doći do kvara) komponenti 1,2 i 3 su redom jednake 0.9, 0.8 i 0.95. Ako s , i=1,2,3 označimo događaj da je i-ta komponenta ispravna, onda ispravnost sustava (označimo s S) možemo zapisati u obliku

iA

1 2S A A A= ∩ ∩ . Dodatno pretpostavimo da kvar jedne komponente ne utječe na druge komponente, što znači da su događaji i nezavisni. Vjerojatnost događaja S možemo u tom slučaju izračunati kao

. 1,A A2 3A

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.9 0.8 0.95 0.684P S P A A A P A P A P A= ∩ ∩ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =Vidimo da je dobivena pouzdanost relativno “mala” u odnosu na pouzdanost pojedinih komponenti. Pouzdanost ovakvog sustava “ruši” komponenta 2. Na koji se način može povećati pouzdanost ovakvog sustava?

Črnjarić-Žic N.: Inženjerska statistika 3. predavanje

• Iz osnovnih svojstava vjerojatnosti se za vjerojatnost unije događaja može izvesti

Sylvestrova formula

111

( ) ( ) ( ) ( 1) ( )n n

ni i i j i j k

i i j i j ki

P A P A P A A P A A A P A A= < < <=

⎛ ⎞= − ∩ + ∩ ∩ + + − ∩ ∩⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ K KU n .

Uvjetna vjerojatnost

• vjerojatnosti događaja koji se realiziraju u nekom pokusu mijenjaju se s izmjenom uvjeta do kojih dolazi tijekom izvođenja tih pokusa

• Neka su A i B proizvoljni događaji, i vjerojatnost događaja

A prije početka izvođenja eksperimenta. ( ) 0P B > ( )P A

• Zanima nas, na koji način informacija, „dogodio se je događaj B“ utječe

na vjerojatnost da se je u tom slučaju ostvario i događaj A.

Primjer Bačene su dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da se je pojavio broj 6 (barem jednom), ako znamo da je zbroj jednak 8?

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

B

A

Črnjarić-Žic N.: Inženjerska statistika 3. predavanje

• Vjerojatnost događaja koji se realizira, uz uvjet da se je neki događaj polja već realizirao, zove se uvjetna ili kondicionalna vjerojatnost.

Uvjetna vjerojatnost događaja A, pod uvjetom da se je ostvario događaj B, je dana s

(( )( )

P A BP A BP B∩

=) .

• Iz formule uvjetne vjerojatnosti slijedi formula za vjerojatnost presjeka

događaja ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPABPAPBAP // ⋅=⋅=∩ .

• Ako su događaji A i B nezavisni, tada je

( ) (P A B P A= ) , odnosno

( ) ( ) ( )BPAPBAP ⋅=∩ .

NAPOMENA. Događaji koji se isključuju nisu nezavisni.

A B

Ω

Črnjarić-Žic N.: Inženjerska statistika 3. predavanje

Primjer

U proizvodnom procesu 10% dijelova ima tekućinu na površini. Čak 25% takvih dijelova nije funkcionalno. Za razliku od toga, među dijelovima koji nemaju vidljivu tekućinu na površini je samo 5% nefunkcionalnih.Odrediti ukupan udio nefunkcionalnih dijelova.

Vrlo je jednostavno pokazati da vrijedi ( )P A A 1= i ( )P A 1Ω = .

Ako su događaji međusobno disjunktni onda je 1, , nA K A11

( )n n

i iii

P A B P A B==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑U