19

I N E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2

Budite zahvalni na

savjetima, a ne na pohvalama.

(LA FONTEN )

1.1.2. Neka svojstva realne funkcije dviju i vie realnih promjenljivih

Niz pojmova, definicija i teorema koji se odnosi na realne funkcije jedne realne promjenljive

prenose se bez promjene ili sa neznatnom promjenom na realne funkcije vie realnih promjenljivih. Ovdje navodimo samo neke od njih:

1) Funkciju

f : D K (D Rn, K R) (1.1.1)

moemo posmatrati na svakom podskupu E skupa D.

2) Kako je skup vrijednosti funkcije zadane sa (1.1.1) podskup skupa R, to ostaju ouvani

pojmovi: funkcija ograniena odozgo (ili odozdo), funkcija neograniena odozgo (ili odozdo),

ograniena funkcija i neograniena funkcija na skupu E ( D).

3) Ostaju ouvani pojmovi vee, manje i jednako u skupu vrijednosti funkcije zadane sa (1.1.1).

4) Pojam sloene funkcije uvodi se na sljedei nain : Neka je u1 : = u1(x), u2 = u2(x), ..., um = um(x) sistem od m funkcija koje su zadane na nekom skupu

Ex Rn i neka je y = f (u1, u2, ..., um) = f (u) funkcija zadana na nekom skupu Eu ( R

m). Funkcija

F (x) : = f [u1(x), u2(x), ..., um(x)] naziva se sloenom funkcijom sa meuargumentima u1, u2, ..., um

koja je definirana na skupu taaka Ex* Ex za koje taka (u1(x), u2(x), ..., um(x)) pripada skupu Eu.

5) Elementarnim funkcijama nazivaju se sve one realne funkcije vie realnih promjenljivih kojese mogu dobiti iz osnovnih elementarnih realnih funkcija vie realnih promjenljivih konanom

primjenom algebarskih operacija +, , , : i operacije slaganja (kompozicije) funkcija, pri emu se pod osnovnim elementarnim funkcijama vie promjenljivih podrazumijevaju stepene, eksponencijalne,

logaritamske, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske funkcije (analogno kao i u sluaju realnih funkcija jedne realne promjenljive).

Na primjer, funkcija f (x1, x2, ..., xn) posmatrana na skupu taaka koje pripadaju krivoj (L) zadanoj

(parametarski) jednainama x1 = x1 (t ), x2 = x2 (t ), ..., xn = xn (t ), a koja pripada definicionom podruju funkcije f, predstavlja sloenu funkciju:

F(t ) = f (x1(t ), x2 (t ), ..., xn (t ))

jednog argumenta t.

Ako je funkcija F(t ) konstantna na hiperkrivoj (L), onda se ta kriva naziva nivo hiperlinija (ili nivo - linija) funkcije f.

Funkcija f moe biti posmatrana i na skupu taaka neke hiperpovri zadane jednainom F(x1, x2, ..., xn) = 0 koja pripada definicionom podruju funkcije f. Ako je funkcija f konstantna na nekoj hiperpovri, onda se ta povr naziva nivo hiperpovr (ili nivo - povr) funkcije f.

Kao i funkcije jedne promjenljive, tako i funkcije od dvije, tri ili n promjenljivih mogu biti

racionalne ili iracionalne, algebarske ili transcendentne, eksplicitne, implicitne, jednoznane ili vieznane, parne, neparne (u odnosu na sve neprazne podskupove skupa {x1, ..., xn} argumenata

x1, ..., xn funkcije f (x1, ..., xn) ), ...

P r e d a v a n j a 2

20

1. 2. Granina vrijednost realne funkcije dviju i vie realnih promjenljivih

1.2.1. Pojam i osnovna svojstva limesa funkcije vie promjenljivih

Definicija 1.2.1. Okolinom beskonano daleke take naziva se skup svih taaka xRn za koje je

d( nOR , x) > r , pri emu je r proizvoljan broj iz R+.

Kako su R i Rn metriki prostori u kojima je definiran pojam okoline take kao i pojam

konvergencije, to se pojam granine vrijednosti za realnu funkciju vie realnih promjenljivih moe definirati po Cauchyju ili Heineu.

Dokazuje se (analogno kao i za limese realnih funkcija jedne realne promjenljive) da su ove dvije

definicije ekvivalentne:

Definicija 1.2.2. (Po Cauchyju). Neka je DRn i taka x0 = (x10, x2

0, ..., xn0) nR taka

gomilanja skupa D koja mu moe, a ne mora pripadati. Neka je funkcija f zadana sa (1.1.1).

Kaemo da funkcija f u taki x0 ima graninu vrijednost (limes) jednaku BR ako za svaku

okolinu V(B) take B postoji okolina U(x0) take x0 takva da vrijednost funkcije f pripada okolini

V(B) za svaku vrijednost argumenta xU(x0), tj. za svaki xD ( U(x0) \ {x0}) (= DU (x0)).

Definicija 1.2.3. (Po Heineu). Kaemo da funkcija f zadana sa (1.1.1) ima graninu vrijednost

jednaku B (R ) u taki x0 (nR ) ako za proizvoljan niz (xn), sa svojstvima xnD za nN, xn

x0 (x0 je taka gomilanja skupa D koja mu moe a ne mora pripadati) i xn x0 za n ,

odgovarajui niz ( f (xn)) ima graninu vrijednost B.

U svakoj od definicija 1.2.2 i 1.2.3. kratko piemo

B =0

limx x

f (x) ili B = 0

1 10

2 2

0

lim

n n

x x

x x

x x

f (x1, x2, ..., xn).

Primijetimo da u prethodnim definicijama limesa funkcije f taka x0 moe biti i beskonano

daleka taka u nR , a B moe biti iz proirenog skupa R realnih brojeva. Napomenimo da se esto

za okolinu pomenute take x0 Rn, umjesto kugline okoline, uzima okolina koju ini n

dimenzionalni paralelopiped (kvadar) ili n dimenzionalna kocka sa centrom u x

Sve teoreme o graninim vrijednostima koje vae za funkcije jedne realne promjenljive (njihovi analogoni) vae i za realne funkcije vie realnih promjenljivih (jasno, o pojmovima i svojstvima koja

imaju smisla za funkcije vie promjenljivih). Na primjer, vrijede: teorema o jedinstvenosti granine vrijednosti, teorema o graninoj vrijednosti sloene funkcije, teoreme o nejednakostima za limese, teoreme o algebarskim operacijama sa graninim vrijednostima, Cauchyjev kriterij koji predstavlja

potreban i dovoljan uslov postojanja granine vrijednosti.

1.2.2. Uzastopni limesi

U dijelu 1.2.1. uveli smo pojam limesa funkcije kad argument x = (x1, ..., xn) tei ka x0 = (x1

0, ..., xn0). Drugim rijeima, razmatrali smo ponaanje funkcije kad sve koordiante x1, ..., xn

vektorskog argumenta x tee istovremeno ka odgovarajuim koordinatama x10, ..., xn

0 take x0. No, pojavljuje se potreba da se ispita ponaanje funkcija u sluaju kad najprije pustimo da jedna od koordinata tei ka nekoj fiksiranoj vrijednosti, a ostale koordinate se smatraju nepromijenjenim; zatim

putamo da neka druga koordinata tei ka nekoj (obino drugoj) fiksiranoj vrijednosti itd. Ako poslije

21

svega dobijemo neku fiksiranu vrijednost nazivamo je uzastopnim (ili sukcesivnim) limesom.

Limes, odnosno granina vrijednost u prijanjem smislu ponekad se zove n limesom (ili n terostrukim limesom ili simultanim limesom). Kad je n = 2, 3, ... kae se dvojni (ili dvostruki),

trojni (ili trostruki) itd. limes. Mi emo limes u ovom smislu u kojem je bio najprije definiran, zvati prosto limesom ili graninom vrijednou, a limes koji sada posmatramo uzastopnim limesom. Uzastopni limes ispitivaemo detaljnije u sluaju n = 2, tj. kad imamo sluajeve funkcija koje zavise

od dvije nezavisne (skalarne) promjenljive. U sluaju proizvoljnog n (N) postupak je slian, ali uz

neto glomaznije oznaavanje.

Kad funkcija zavisi od dvije nezavisne promjenljive, onda se te promjenljive esto oznaavaju sa x

i y (umjesto x1 i x2). Neka je, dakle, (x0, y0)R2, tj. neka je (x0, y0) neka taka u xy ravni.

Oznaimo sa Q pravougaonik u R2 (tj. dvodimenzionalni kvadar) definiran izrazom

Q = {(x, y)R2 : x0 < x < x0 + a, y0 < y < y0 + b},

gdje su a, b > 0 neke pozitivne realne konstante (sl. 1.2.1).

Neka je na Q definirana skalarna funkcija f (x, y). Ako

uzmemo po volji y( y0, y0 + b) i drimo ga fiksiranim, a

putamo da se x mijenja u intervalu (x0, x0 + a), onda je f (x, y) funkcija jednog argumenta x (definirana na (x0, x0 + a)).

Uzimajui razne y( y0, y0 + b) dobijemo, uopte uzev, razne funkcije argumenta x. Moemo se, prema tome, pitati da li

postoji 0

limx x

f (x, y).

Pretpostavimo da za svaki y( y0, y0 + b) postoji i da je

konaan 0

limx x

f (x, y). Jasno je da ovaj limes zavisi od toga koji

smo y( y0, y0 + b) uzeli. Znai, taj limes je neka funkcija od y. Oznaimo je sa ( y ):

( y ) 0

def.

limx x

f (x, y), y( y0, y0 + b).

Funkcija ( y ) je definirana na ( y0, y0 + b) pa se moemo pitati da li postoji 0

limy y

( y ).

Ako ovaj posljednji limes postoji, nazivamo ga uzastopnim limesom i oznaavamo izrazom

0

limy y

(0

limx x

f (x, y)) ili 0

limy y 0

limx x

f (x, y) (: = L1, 2).

Naravno, mi moemo u prethodnom razmatranju zamijeniti uloge x i y. Moemo, naime, najprije

x(x0, x0 + a) drati fiksiranim i posmatrati (x) = 0

limy y

f (x, y). Ako ovaj limes postoji i ako je

konaan za sve x(x0, x0 + a), onda moemo traiti 0

limx x

(x). U sluaju da taj limes postoji,

dobijemo novi uzastopni limes

0

limx x

(0

limy y

f (x, y)) ili 0

limx x 0

limy y

f (x, y) (: = L2, 1).

Odmah se postavlja pitanje odnosa ova dva uzastopna limesa L1, 2 i L2, 1, i njihovog odnosa sa

limesom L : = 0 0( , ) ( , )

limx y x y

f (x, y) u obinom smislu, ako ovaj posljednji limes postoji. U vezi sa ovim

vrijedi sljedea teorema: Teorema 1.2.1. Neka je na pravougaoniku Q definirana funkcija f (x, y) i neka su zadovoljeni

sljedei uslovi : ( i ) postoji granina (konana ili beskonana) vrijednost

L : = 0 0( , ) ( , )

limx y x y

f (x, y) 0

0

lim ( , )x xy y

f x y

; (1.2.1)

( ii ) za svaki y( y0, y0 + b) postoji konaan limes ( po x)

( y ) = 0

limx x

f (x, y). (1.2.2)

y

y0+b

M0 = (x0, y0) y0

0 x0 x0+a x

Sl. 1.2.1.

22

Tada postoji i 0

limy y

( y ), tj. postoji uzastopni limes 0

limy y 0

limx x

f (x, y) i vrijedi

L = 0

limy y

( y ) (=0

limy y 0

limx x

f (x, y) ).

Mi smo u teoremi 1.2.1. razmatrali, ustvari, samo desne limese po x i y. Jasno je da sve ostaje da

vrijedi i u ostalim sluajevima. Zapravo, lako se vidi da teorema 1.2.1. ostaje da vai i kada se funkcija

f (x, y) definirana na pravougaoniku Q zamijeni funkcijom f : D K, pri emu je DR2, (K, ) metriki prostor, (x0, y0)R

2 taka gomilanja skupa D, s tim da se uslov ( ii ) zamijeni uslovom:

postoji okolina V( y0) take y0 takva da za svaki yV( y0) postoji 0

limx x

f (x, y) = ( y). Zaista, iz

0 0( , ) ( , )lim

x y x y f (x, y) = L slijedi da za svaki > 0 postoji takav > 0 da 0 < |x x0| < , 0 < | y y0|

23

Zadatak 1.2.1. * Odredite (ili ustanovite da ne postoji) graninu vrijednost :

a) 2 2 2 2

2 200

2( )lim

1 cos( )xy

x y x y

x y

; b) 2 2

00

1lim ( ) sin ;xy

x yxy

c) 2 2

( )

2 2

( , ) , 0lim ( )x y

x yx y

za svaki R .

1.3. Neprekidnost realne funkcije vie realnih promjenljivih

Definicija 1.3.1. Za funkciju

f : D R (D Rn) (1.3.1)

kaemo da je neprekidna u taki x0D ako je

a) taka x0 taka gomilanja skupa D i ispunjen je jedan od sljedea etiri ekvivalentna uslov*)

:

1) 0

limx x

f (x) = f (x0);

2) Za svaki > 0 postoji broj = () > 0 takav ad je | f (x) f (x0)| < za sve vrijednosti

argumenta x za koje je d (x, x0) < (d metrika funkcija u Euklidovom prostoru Rn);

3) Za proizvoljan niz (xn), xnD za svaki nN, koji konvergira ka taki x0 odgovarajui niz

( f (xn)) vrijednosti funkcije f konvergira ka f (x0) za n;

4) Za svaki > 0 postoji broj = () > 0 takav da je f (K(x0, )) ( f (x0) , f (x0) + ), ili b) taka x0 je izolovana taka skupa D (domena od f ).

Analogno, ako i u sluaju realne funkcije jedne realne promjenljive, lako se vidi da je definiciji 1.4.1 ekvivalentna sljedea definicija pojma neprekidnosti realne funkcije vie realnih promjenljivih:

Definicija 1.3.1.' Neka je f : D K realna funkcija od n realnih promjenljivih. Za funkciju f

kaemo da je neprekidna u taki x0D ako za svaku okolinu V take f (x0) postoji okolina U

take x0 takva da je f (U )V, tj. ako za svaki > 0 postoji takav > 0 da je

| f (x) f (x0)| < (*) za svaki xD za koji je **) d (x, x0) < , gdje je d euklidska metrika u R

n.

Napomenimo da se definicija 1.3.1.' pojma neprekidnsoti realne funkcije od n realnih

promjenljivih proiruje***) i na pojam neprekidnosti proizvoljne funkcije f : D K , (D X, K Y ),

pri emu su (X, d ) i (Y, ) proizvoljno zadani metriki prostori.

Definicija 1.3.2. Za funkciju f zadanu sa (1.3.1) kaemo da je neprekidna na skupu E ( D)

ako je neprekidna u svakoj taki tog skupa. Teoreme o neprekidnim funkcijama jedne promjenljive prenose se i na funkcije vie realnih

promjenljivih, kao na primjer teorema o operacijama nad neprekidnim funkcijama, teorema o

neprekidnosti sloene funkcije, teoreme kojima su data lokalna svojstva neprekidnih funkcija itd.

Takoe vrijedi i svojstvo da je svaka elementarna funkcija vie realnih promjenljivih neprekidna gdje je i definirana.

________________ *)

Ekvivalentnost ovih uslova provjerava se analogno kao i u sluaju neprekidnosti realnih funkcija jedne realne promjenljive.

**) Umjesto za svaki xD za koji je d (x, x0) < , gdje je d euklidska metrika u R

n moe se, ekvivalentno, iskazati

za svaki x : = (x1, ..., xn) D za koji je |xi xi0| < za i = 1, ..., n, gdje je x0 : = (x1

0, ..., xn

0 )(D).

***) S tim, da, jasno, u nejednakosti (*) umjesto izraza | f (x) f (x0)| imamo izraz ( f (x), f (x0)).

24

Za funkcije od n argumenata take prekida mogu imati razliita svojstva, pa se pitanjem

klasifikacije taaka prekida neemo ni baviti jer skup taaka prekida moe imati razliitu strukturu. Tako, na primjer, take prekida mogu obrazovati linije ili povri, pa se nazivaju linijama ili povrima prekida.

Meutim, pojam take otklonjivog prekida i princip produenja po neprekidnsoti prenosi se sa funkcija jedne promjenljive na funkcije vie promjenljivih. Pa neka je taka x0 funkcije f zadane formulom (1.3.1) taka gomilanja. Tada se taka x0 naziva singularnom takom funkcije f ako x0 D.

Imamo sljedeu klasifikaciju singularnih taaka:

1) Ako postoji konaan 0

limx x

f (x), onda se taka x0 naziva singularnom takom funkcije f

koja se moe otkloniti.

2) Ako je 0

limx x

f (x) = + (ili ), onda se taka x0 naziva polom funkcije f.

3) Ako granina vrijednost funkcije f u taki x0 ne postoji, onda se singularna taka x0 naziva esencijalnim singularitetom funkcije f.

Ako je x0 singularna taka funkcije f koja se moe otkloniti, onda, analogno kao i u sluaju take

prekida koja se moe otloniti, postoji funkcija g : D { x0} R koja je neprekidna u taki x0 a

definirana je formulom:

g(x) =

00

( ), ,

lim ( ), .x x

f x x D

f x x x

**********

Lako se dokazuje da familija U svih otvorenih skupova u metrikom prostoru (X, d ) ima sljedea svojstva:

(T1) prazan skup i itav prostor X su otvoreni skupovi, tj. pripadaju familiji U; (T2) unija proizvoljne familije otvorenih skupova je otvoren skup;

(T3) presjek svake konane familije otvorenih skupova je otvoren skup.

Openito, ako je X neprazan skup, a U P(X) (gdje je P(X) partitivni skup skupa X) neka familija

podskupova od X koja ima svojstva (T 1), (T 2) i (T 3), onda ureen par (X,U) zovemo topoloki

prostor, a familiju U topolokom strukturom ili topologijom na X. Elemente familije U zovemo otvorenim skupovima. Napomenimo da bi u sluajevima u kojima se ne specificira metrika d, trebalo zapravo govoriti o metrizabilnom prostoru X, i pod tim podrazumijevati (topoloki) prostor X s bilo kojom metrikom koja inducira zadanu topologiju. S druge strane, metriki prostor bi uvijek trebao biti ureen par (X, d) skupa X i neke metrike d. Naime, neka svojstva, kao npr. neprekidnost i konvergencija, ovise samo o topolokoj strukturi prostora, dok neke, kao uniformna neprekidnost i potpunost(kompletnost), ovise o odabranoj metrici. Ipak, najece se ne postupa tako pedantno (precizno), i govori se jednostavno o metrkom prostoru X.

Za podskup Y X kaemo da ima relativnu ili induciranu topologiju ukoliko je skup V Y otvoren u Y ako i samo ako postoji skup U X otvoren u X takav da je V = Y U. U tom se sluaju kae da je Y potprostor topolokog prostora X.

Za metriki prostor X kaemo da je nepovezan ako postoje neprazni otvoreni podskupovi

U,VX takvi da je X = UV i UV = , a za prostor X kaemo da je povezan (koneksan) ako

nije nepovezan, tj. ako se ne moe prikazati kao disjunktna unija dvaju nepraznih otvorenih

podskupova. Skup A X je povezan akko je A povezan kao topoloki potprostor.

Odmah je jasno da se rije otvoren u definiciji nepovezanog, odnosno povezanog prostora, moe zamijeniti rijeju zatvoren. Za podskup A metrikog prostora X e povezanost znaiti da je A

povezan kao potprostor od X, pa e otvoren u prethodnoj definiciji znaiti otvoren s obzirom na A,

25

tj. (pod)skup A X je povezan akko ne postoje neprazni otvoreni podskupovi U, V X takvi da je

AUV i (UV )A . Prototip povezanog prostora je segment realnih brojeva (to se lako

dokazuje).

Neka je A X podskup topolokog prostora X. Put u skupu A je svako neprekidno preslikavanje : [a, b] X takvo da je ([a, b]) A. (Bez smanjenja openitosti, u definiciji puta : [a, b] X moe se pretpostaviti da je [a, b] = [0, 1].)

Za skup A X iz topolokog prostora X kae se da je povezan putevima ako izmeu bilo koje dvije take x0, x1 A postoji put u A. Lako se dokae da je svaki putevima povezan skup A povezan. Otvoren skup u Rn je povezan ako

i samo ako je putevima povezan. Meutim, vrijedi ak sljedea karakterizacija:

Otvoren skup U Rn je povezan ako i samo ako za svake dvije take P i Q iz U, postoji konano mnogo taaka P0 =P, P1, P2, . . . , Pk = Q u skupu U takvih da su svi segmenti [Pi1, Pi] := {(1 t)Pi1 + tPi : 0 t 1} sadrani u skupu U. Uniju svih tih segmenata nazivamo poligonalnom

linijom od P do Q. Dakle, otvoren skup U Rn je povezan ako i samo ako se svake dvije take iz U mogu unutar U spojiti poligonalnom linijom.

Navedimo i primjer povezanog skupa u ravnini R2, ali koji nije putevima povezan, tj. kod kojeg se

ne mogu svake dvije take spojiti neprekidnom linijom unutar tog skupa (u skladu s prethodnim, takav skup ne moe biti otvoren!):

Neka je W = {(x, sinx

1): 0 x 1} {(0, y) : 1 y 1} R2. Lako se provjeri da je W

povezan skup iako se, naprimjer, take P: = (1, sin 1) i Q : = (0, 1) ne mogu spojiti putem unutar W.

Konveksni metriki prostori, intuitivno, su metriki prostori u kojima "segment" pridruen dvjema takama u tom prostoru sadri i druge take osim tih krajnjih taaka. Formalno, konveksni metriki

prostor je metriki prostor (X, d) takav da, za bilo koje dvije razliite take x i y u X, postoji trea taka z u X koja je razliita od x i y i za koju vrijedi

d(x, z) + d (z, y) = d(x, y).

Neka je X vektorski prostor. Za skup K X kaemo je konveksan ako za sve x, y X vrijedi

[x, y] := {t x + (1 t)y : t [0, 1]}K.

Napomenimo da metrika konveksnost ne podrazumijeva konveksnost u uobiajenom smislu za podskupove u euklidskom prostoru, niti znai povezanost putevima (a niti implicira tzv. geodetsku konveksnost).

Definicija 1.3.3. Za skup E Rn kaemo da je otvorena oblast (ili, krae, oblast, podruje) ako

Vae sljedee teoreme o globalnim svojstvima neprekidnih funkcija koje navodimo bez dokaza, jer se dokazuju analogno kao i za realne funkcije jedne realne promjenljive.

Teorema 1.3.1. (Prva Weierstrassova teorema). Ako je funkcija

f : D R , D Rn . (1.3.2)

neprekidna na zatvorenoj ogranienoj oblasti E ( D), onda je ona ograniena na toj oblasti.

Teorema 1.3.2. (Druga Weierstrassova teorema). Ako je funkcija f, zadana sa (1.3.2)

neprekidna na zatvorenoj ogranienoj oblasti E ( D), onda postoji najmanje jedan par taaka

, E takvih da je f ( ) = supx E

{ f (x)} i f ( ) = infx E

{ f (x)}.

Napomenimo da se moe govoriti o neprekidnosti realne funkcije vie realnih promjenljivih i samo

po jednom broju njenih argumenata, tj. ako je ona neprekidna kao funkcija jednog broja argumenata za

svaki dozvoljeni zadan skup vrijednosti njenih argumenata, tj. pri fiksiranim ostalim promjenljivim.

26

Specijalno, za funkciju f : D K (D Rn, K R) se kae da je neprekidna po promjenljivoj xi u

taki x0 = (x10, ..., xn

0 )D ako je ona neprekidna u taki xi, shvaena kao funkcija od xi pri

fiksiranim ostalim promjenljivim xj = xj0, j i. Lako se vidi, meutim, da funcija f moe biti

neprekidna po svakoj od promjenljivih ponaosob, ali da pri tom ne bude neprekidna u smislu definicije

1.3.1. Naime, funkcija f : R2 R definirana formulom

f (x, y) = 2 2, ( , ) (0,0),

0, ( , ) (0,0)

xyx y

x y

x y

je oito neprekidna i po promjenljivoj x i po promjenljivoj y u taki (0, 0) budui da je 0

limx

f (x,0)

= 0

limy

f (0, y) = f (0, 0), ali nije neprekidna u (0, 0) jer ne postoji ( , ) (0,0)

limx y

f (x, y) (v. primjer 1.2.1.a))

Definicija 1.4.4. Za funkciju f zadanu sa (1.3.2) kaemo da je ravnomjerno (ili uniformno)

neprekidna na oblasti E( D) ako za svaki > 0 postoji broj = ( ) > 0 takav da je | f (x) f ( y) | < za sve x,y E za koje je d (x, y) < , gdje je d euklidska metrika u Rn.

Vae sljedee teoreme koje navodimo bez dokaza, jer se dokazuju analogno kao i za funkcije

jednog argumenta.

Teorema 1.3.3. (Cantorov stav o ravnomjernoj neprekidnsoti funkcija vie promjenljivih).

Ako je funkcija f koja je zadana sa (1.4.2) neprekidna na zatvorenoj ogranienoj oblasti E ( D) ,

onda je ona ravnomjerno neprekidna na toj oblasti.

Teorema 1.3.4. (Stav o meuvrijednosti funkcija vie promjenljivih). Ako je funkcija f koja je

zadana sa (1.3.2) neprekidna na otvorenoj ili zatvorenoj oblasti E( D) i ako su a i b proizvoljni

elementi skupa vrijednosti Im( f ), onda za proizvoljnu taku c izmeu a i b postoji bar jedna

taka E takva da je f ( ) = c.

Napomenimo da teoreme 1.3.1. 1.3.3. vrijede i ako se izostavi svojstvo povezanosti skupa E, tj. ako je E zatvoren i ogranien skup u

Euklidovom prostoru Rn (ne nuno i povezan).

Primjer 1.3.1. Ispitati ravnomjernu neprekidnost funkcije f iz R2 u

R zadane formulom

f (x, y) = 2 2 2 22 2 arccosec ( 4 6)x x y y x y - x - .

Rjeenje: Prirodni domen D( f ) funkcije f zadan je sa

D( f ) = {(x, y) R2 : 2x x2 y2 2y 0 | x2 + y2 4x 6 | 1} =

= {(x, y) R2 : (x 1)2 + ( y + 1)2 2},

tj. D( f ) je zatvoreni krug u ravni Oxy sa centrom u taki (1,1) radijusa 2 (sl. 1.3.1).

Budui da je D( f ) zatvorena i ograniena oblast i da je funkcija f neprekidna na toj oblasti (jer je

0 0( , ) ( , )lim

x y x yf (x, y) = f (x0, y0) za svaki x : = (x, y)D( f ); neprekidnost funkcije f slijedi i iz oite

injenice da je f elementarna funkcija pa je ona neprekidna gdje je i definirana), zakljuujemo da je zadana funkcija f i ravnomjerno neprekidna na toj oblasti.

y

0 2

1 x 1

2 D( f )

Sl. 1.3.1.

27

G L A V A 2

DIFERENCIJALNI RAUN REALNIH FUNKCIJA DVIJU ILI VIE REALNIH PROMJENLJIVIH

2.1. Parcijalni izvodi (parcijalne derivacije). Lagrangeova teorema za funkcije vie promjenljivih

U ovom paragrafu emo, u osnovnom tekstu, razmatrati funkcije dvije nezavisno promjenljive.

Analogna razmatranja vrijede i za funkcije od tri ili vie nezavisno promjenljivih.

Neka je z = f (x, y) funkcija dvije nezavisno promjenljive i neka je D = D ( f ) R2 njena oblast

definiranosti. Odaberimo po volji taku T0 = (x0, y0)D i neka je x = x x0 prirataj koordinate x0 ,

a koordinata y0 neka ostane nepromijenjena. Pri tom e funkcija f (x, y) imati prirataj (promjenu)

x z = x f (x0, y0) : = f (x0 + x, y0) f (x0, y0) koji nazivamo parcijalni prirataj funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj x u taki T0 = (x0, y0).

Analogno definiramo parcijalni prirataj funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj y u taki T0 = (x0, y0) formulom

y z = y f (x0, y0) : = f (x0 , y0 + y) f (x0, y0).

Totalni (potpuni, ukupni) prirataj funkcije z = f (x, y) u taki T0 = (x0, y0) definiramo

formulom

z = f (x0, y0) : = f (x0 + x, y0 + y) f (x0, y0) = f ( T ) f ( T0 ),

jer je x : = x x0, y : = y y0 i otuda x0 + x = x, y0 + y = y.

Geometrijski tumaeni prirataji x z, y z, z, redom, predstavljaju dui A1B1, A2B2, A3B3 (vidi sl. 2.1.1).

1 1

2 2 0 0 0

3 3

u ( , ) ( )

x

y

z A B

z A B T x y D f

z A B

.

Na primjer, ako je je z = xy2 = f (x, y), T0 = (1, 2), x = 0,1; y = 0,2 , onda je

x z (T0) = f (x0 + x, y0) = f (1,1; 2) f (1, 2) = 0,4,

y z (T0) = f (x0 , y0 + y) = f (1; 2,2) f (1, 2) = 0,84,

z (T0) = f (x0 + x, y0 + y) = f (1,1 ; 2,2) f (1, 2) = 1,324.

z B1 z = f (x, y)

B2 B3

A1 A3

A2

y

x (x0 + x, y0 + y) = (x, y)

T0 = (x0, y0) y x

Sl. 2.1.1.

28

Ako je u = f (x, y, z) funkcija od tri nezavisno promjenljive, onda za nju definiramo parcijalne

prirataje x u, y u, z u i totalni prirataj u (sve u datoj taki T0 = (x0, y0, z0)D(u)), redom

formulama:

x u = f (x0 + x, y0, z0) f (x0, y0, z0),

y u = f (x0 , y0 + y, z0) f (x0, y0, z0),

z u = f (x0 , y0, z0 + z) f (x0, y0, z0), z = z z0 ,

u = f (x0 + x, y0 + y, z0 + z) f (x0, y0, z0).

Analogno se definiraju parcijalni prirataji ix

u, i{1, 2, ..., n}, funkcije u = f (x1, x2, ..., xn)

od n nezavisno promjenljivih, kao i njen totalni prirataj u (svi u zadanoj taki

T0 = (x1(0), x2

(0), ..., xn(0)) D(u)).

Parcijani izvod (preciznije: prvi parcijalni izvod ) funkcije z = f (x, y) u taki T0 = (x0, y0)

(zadanoj), T0D( f ), po promjenljivoj x definiramo formulom

0 0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) ( )lim lim xx x

f x x y f x y z T

x x

(2.1.1)

(ako postoji ova granina vrijednost) i oznaavamo bilo kojim od simbola:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( , ) ( , )'( ), '( ), '( , ), '( , ), , , ,

x x x x

z T f T z x y f x yz T f T z x y f x y

x x x x

.

Parcijalni izvod funkcije z = f (x, y), u proizvoljnoj taki T = (x, y) D( f ), po promjenljivoj x,

definiramo formulom

0 0

( , ) ( , )lim lim xx x

zf x x y f x y

x x

(2.1.1)'

i oznaavamo bilo kojim od simbola:

', ', '( , ), '( , ), , , '( ), '( )

x x x x x x

z fz f z x y f x y z T f T

x x

.

Analogno je

00 0 0 0

0 0

( )( , ) ( , )lim lim

y

y y

z Tf x y y f x y

y y

(2.1.2)

prvi parcijani izvod funkcije z = f (x, y) po promjenljivoj y u taki T0 = (x0, y0) D( f ) i

0 0

( , ) ( , )lim lim

y

y y

zf x y y f x y

y y

(2.1.2)'

prvi parcijalni izvod funkcije z = f (x, y) po y u proizvoljnoj taki T = (x, y) D( f ).

Izvod (2.1.2) oznaavamo bilo kojim od simbola:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

( ) ( ) ( , ) ( , )', '( ), '( , ), '( , ), , , ,

y y y y

z T f T z x y f x yz f T z x y f x y

y y y y

;

a izvod (2.1.2)' oznaavamo bilo kojim od simbola:

( , ) ( , ) ( ) ( )', ', '( , ), '( , ), , , ,

y y y y

z x y f x y z T f Tz f z x y f x y

y y y y

.

Parcijalne izvode funkcije tri ili vie nezavisno promjenljivih definiramo i oznaavamo analogno. Na primjer, ako je u = f (x, y, z) funkcija od tri nezavisno promjenljive, onda se pracijalni izvod

(preciznije: prvi parcijalni izvod) po x u taki T0 = (x0, y0, z0) D( f ) definira formulom

0 0 0 0 0 0 0

0 0

( , , ) ( , , ) ( )lim lim xx x

f x x y z f x y z u T

x x

i oznaava jednim od simbola:

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

( ) ( ) ( , , ) ( , , )'( ), '( ), , , , , '( , , ), '( , , )

x x x x

u T f T u x y z f x y zu T f T u x y z f x y z

x x x x

.

29

Dakle, parcijalni izvod funkcije od dvije ili vie nezavisno promjenljivih po nekoj od tih promjenljivih definira se kao izvod funkcije jedne od tih promjenljivih (one po kojoj izraunavamo

parcijalni izvod) uz uslov da sve ostale promjenljive ostaju postojane (mirne) dok izraunavamo taj

izvod, tj. openito imamo:

Definicija 2.1.1. Neka je funkcija f (x) : = f (x1, ..., xn); (xi R, i = 1, ..., n) definirana u nekoj

okolini take A : = (a1, ..., an)(Rn). Posmatrajmo tu funkciju za zadane vrijednosti njenih argumenata:

x1 = a1 , x2 = a2, ..., xi 1 = ai 1 , xi + 1 = ai + 1 , ..., xn = an

kao funkciju jednog argumenta xi (i = 1, ..., n). Parcijalnim izvodom, odnosno parcijalnom

derivacijom prvog reda funkcije f po argumentu xi u taki A naziva se konaan ili beskonaan

izvod funkcije f (a1, a2, ..., ai 1 , xi , ai + 1 , ..., an) u taki ai. Ovaj izvod obiljeavamo sa Di f (A) ili

( )

i

f A

x

ili )(Af

ix , pri emu je

'( )ix

f A = 1 1 1 1 1 1( ,..., , , ,..., ) ( ,..., , , ,..., )

limi i

i i i n i i i n

x ai i

f a a x a a f a a a a a

x a

, xi = ai + xi .

Vrijednost )(Afix , jasno, ovisi o taki A tako da ako je A promjenljiva taka, onda izraz

)(Afix definira odreenu realnu funkciju od n realnih promjenljivih.

U tom smislu neka je E* skup svih taaka iz domena funkcije f u kojima postoji konaan

parcijalni izvod ix

f . Tada je '( )ix

f x , x E*, funkcija od n argumenata x1, ..., xn. Funkcija ( )ix

f x ,

xE* naziva se parcijalnim izvodom (parcijalnom derivacijom) funkcije f po promjenljivoj xi.

Definicija 2.1.2. Funkcija koja u nekoj oblasti ima neprekidne parcijalne izvode po svakom od

svojih argumenata naziva se glatkom na toj oblasti.

Zadaci 2.1.1.

a) Izraunati parcijalne izvode funkcije z = x2 + sin (x + y2) u proizvoljnoj taki T = (x, y)D( f ).

b) Izraunati ux', uy', uz' u taki T = (x, y ,z)D( f ), ako je u = f (x, y, z) = xy + ln(x y z).

(Rjeenje: ux' = y + 1

x y z , uy' = x

1

x y z , uz' =

1

x y z .)

c) Ako je u = xy + sin2(z xt), izraunati ux', uy', uz', ut' u proizvoljnoj taki T = (x, y, z, t)R4.

Brzina rasta funkcije z = f (x, y) u dva osnovna smjera, u smjeru koordinatne osi Ox i Oy, oko

take (x0, y0) je data parcijalnim izvodima funkcije f u taki (x0, y0).

Geometrijski interpretiran parcijalni izvod zx'(T0), (T0 = (x0, y0)D( f )), je koeficijent pravca (tg ) tangente na presjenu

krivu k P ( y = y0)

povri P, ija je jednaina

z = f (x, y), i ravni y = y0,

u taki M0 = (x0, y0, z0), z0 = f (T0) = f (x0, y0), u

odnosu na pozitivan

smjer ose Ox (vidi sl.

2.1.2).

Analogno geometrijsko

znaenje ima parcijalni izvod zy'(T0), gdje je

T0 = (x0, y0)D( f ).

z

P : z = f (x, y) M0

k P ( y = y0) M0 k, M0 = (x0, y0, z0), z0 = f (x0, y0) k : z = f (x, y0)

zx' = fx'

0 y

T0 = (x0, y0)

x

y = y0 Sl. 2.1.2.

30

Primijetimo da su limesi koji se pojavljuju u definiciji parcijalnih izvoda limesi funkcije jedne promjenljive, a ne

funkcija dviju ili vie promjenljivih. No, zraunavanje parcijalnih izvoda po definiciji je dosta nepraktino, ali je ponekad nuno.

Za funkcije dvije ili vie promjenljivih formuliu se i dokazuju odgovarajui analogoni Fermatove, Rolleove, Lagrangeove i Taylorove teoreme (formule).

Teorema 2.1.1. (Lagrangeova teorema). Ako funkcija f : D K (DRn, KR) u nekoj okolini

U(A) take A = (a1, ..., an) ima izvod (konaan ili beskonaan) po svakom od svojih argumenata, tada

za proizvoljnu taku X = (x1, ..., xn)UD(A) postoji bar jedan sistem (skup) taaka X 1

, X 2, ..., X n

takvih da je

f (X) f (A) = 1

' ( )i

ni

x

i

Xf

(xi ai), (d (X i , A) < d (X, A), i = 1, ..., n). (2.1.3)

Dokaz: (Podsjetimo se formulacije Lagrangeove teoreme za realnu funkciju jedne realne promjenljive: Ako funkcija f : [a, b] K ([a, b], KR) zadovoljava sljedee uslove:

1) f je neprekidna na segmentu [a, b];

2) ako postoji (konaan ili beskonaan) izvod f '(x) za svaki x iz intervala (a, b), onda postoji bar jedna taka iz

(a, b) takva da je ( ) ( )

'( )f b f a

fb a

.)

Bez umanjenja optosti, pretpostavimo da je funkcija f funkcija od tri nezavisno promjenljive x,y,z i da je A = (a, b, c). Prirataj ove funkcije moemo napisati u obliku:

f (x, y , z) f (a, b, c) = [ f (x, y, z) f (a, y, z)] + [ f (a, y, z) f (a, b, z)] + [ f (a, b, z) f (a, b, c)]. (2.1.4)

Oigledno, funkcija koja se pojavljuje u svakoj od zagrada u (2.1.4) je neprekidna, kao funkcija jedne

promjenljive, na segmentu sa krajevima a, x ; b, y ; c, z i unutar tih segmenata ima konaan ili beskonaan izvod. Prema Lagrangeovoj teoremi za realnu funkciju jedne realne promjenljive imamo da je:

a) f (x, y, z) f (a, y, z) = fx' (1, y, z) (x a), pri emu je 1 taka zadana formulom 1 = a + 1 ( x a), (0 < 1 < 1), a rastojanje take X

1 = (1, y, z) od take A = (a, b, c) je

21 2 2 2 2 2

1 1

2 2 2

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , ), gdje je ( , , ).

d X A a y b z c x a y b z c

x a y b z c d X A X x y z

b) f (a, y, z) f (a, b, z) = fy' (a, 2, z) ( y b), gdje je 2 = b + 2 ( y b), (0 < 2 < 1). Za

taku X 2 : = (a, 2, z) vai relacija

22 2 2 2 2 2 2

2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) d X A a a b z c y b z c y b z c d X A za

X = (x,y,z).

c) f (a, b, z) f (a, b, c) = fz' (a, b, 3) ( z c), pri emu je 3 = c + 3 ( z c ), (0 < 3 < 1). Taka X 3 = (a, b,3) zadovoljava relaciju

23 2 2 2 2

3 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ),d X A a a b b c z c z c d X A za X = (x,y,z).

Iz jednakosti (2.1.4) i dobijenih jednakosti pod a), b) i c) slijedi da je zadovoljena jednakost

(2.1.3), tj. f (x, y , z) f (a, b, c) = 1 2 3 ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( )x y zf X x a f X y b f X z c .

Time je dokaz teoreme 2.1.1. zavren. Treba voditi rauna da u definiciji izvoda realne funkcije jedne realne promjenljive i parcijalnih izvoda realnih funkcija vie realnih promjenljivih, neki autori pretpostavljaju da je funkcija u toj taki neprekidna, tako da prema njima, npr. za funkciju f (x) = sgn x (sl. 2.1.3.) nema smisla traiti izvod ove funkcije u taki 0 jer u toj taki ona ima prekid prve vrste, dok drugi autori ne zahtijevaju da je funkcija

neprekidna u toj taki, tako da u skladu s tim za funkciju f (x) = sgn x u taki 0 imamo

y y = sgn x

0 x

S l. 2.1.3.

31

f '(0) = 0

0 0

0

1lim

( ) (0) sgnlim lim

10lim

x

x x

x

xf x f x

x x

x

.

No, znamo da bi realna funkcija jedne realne promjenljive bila diferencijabilna u nekoj taki potrebno je i dovoljno da u toj taki ima konaan izvod, pa funkcija f (x) = sgn x nije diferencijabilna u taki 0 jer u taki 0 ima beskonaan izvod.

Primjenom Lagrangeove teoreme za realne funkcije vie realnih promjenljivih lako se dokazuje da vae sljedee teoreme.

Teorema 2.1.2. Ako funkcija f vie promjenljivih ima ograniene (prve) parcijalne izvode po svakom od argumenata u nekoj oblasti D, onda je ona neprekidna u toj oblasti.

Teorema 2.1.3. Ako funkcija f vie promjenljivih na oblsati D ima parcijalne izvode po svim argumentima jednake nuli, onda je funkcija f konstantna na toj oblasti.

Posljedica 2.1.1. Ako funkcija f na oblasti D ima parcijalne izvode jednake nuli po jednom

broju argumenata, onda u dovoljno maloj okolini svake take u oblasti D posmatrana funkcija je

konstantna u odnosu na te argumente.

2.2. Diferencijabilnost i totalni diferencijal funkcija vie promjenljivih

U diferencijalnom raunu realnih funkcija jedne promjenljive se kae da je funkcija y = f (x) (jedne

nezavisno promjenljive x) diferencijabilna u x0D( f ) akko prirataj y (x0) = f (x0) def.

= f (x0 + x) f (x0) je mogue napisati u obliku

f (x0) = L(x0) + o(x), (x 0) i da je za to potreban i dovoljan uslov A(x0) = f '(x0) . Analogna je situacija i u sluaju realne funkcije

od dvije ili vie nezavisno promjenljivih. Preciznije:

Za funkciju z = f (x, y) kaemo da je diferencijabilna u taki A = (a, b)D( f ) akko je njen

totalni prirataj u A mogue napisati u obliku

z(A) = p1(A) x + p2(A) y + x + y, (2.2.1) gdje su p1 = p1 (A), p2 = p2(A) neke realne konstante koje zavise od A i

= (x, y) 0, kada (x, y) (0, 0), = (x, y) 0, kada (x, y) (0, 0).

Uslov (2.2.1) je ekvivalentan sa uslovom

z(A) = f (x, y) f (a, b) = p1(A) x + p2(A) y + o ( ), def.

2 2

x y . (2.2.1)'

Stvarno, x + y = ( )x y

o

, kada (x, y) (0, 0) (uoimo da

(x, y) (0, 0) akko 0), jer je 1x

, 1

y

,

0lim 0

.

Izraz

p1(A) x + p2(A) y, (2.2.2)

koji je linearan u odnosu na x i y, nazivamo glavni dio prirataja funckije z = f (x, y) u A, jer

je

x + y = o( )

beskonano mala funkcija (skraeno b.m.f.) vieg reda od b.m.f. = 2 2

x y , pri

(x, y) (0, 0).

32

Na isti nain moemo definirati pojam diferencijabilnosti i za realnu funkciju f = f (x1, ..., xn) od n realnih promjenljivih. No, taj pojam moemo ekvivalentno uvesti i ovom definicijom:

Definicija 2.2.1. Za funkciju f definiranu u okolini take A : = (a1, ..., an)Rn kaemo da je

diferencijabilna u taki A ako se njen totalni prirataj f (X ) f (A) moe predstaviti u obliku

f (X ) f (A) = L(X ) + (X ) d (X, A), (2.2.3) gdje je L(X ) linearna funkcija po X, X = (x1, ..., xn)R

n i jednaka nuli u taki A, a (X )

neprekidna funkcija u taki A i jednaka nuli u toj taki, tj.

lim ( ) ( ) 0X A

X A

.

Linearna funkcija L(X) naziva se diferencijalom ili totalnim diferencijalom funkcije f u taki A i obino se obiljeava sa d f (X, A), d f (A, X), d f (A ; X), d f (A; X A).

Ako je f : D K (DRn, KR), gdje je D otvoren skup u Euklidovom n - dimenzionalnom

prostoru Rn i ako je a : = (a1, ..., an) fiksna taka iz D, onda za h : = (h1, ..., hn)R

n za koje je

|| h || = 2 2

1 ... nh h dovoljno malo, tako da x = a + hD imamo da je L iz (2.2.3) zadan izrazom

L(h) = L1h1 + ...+ Lnhn, pa se diferencijal d f (a; x) moe shvatiti kao linearna funkcija zadana sa

h L1h1 + ...+ Lnhn, tj. kao funkcija d f (a)(h) = L1h1 + ...+ Lnhn , pa je, dakle, prirataj iz (2.2.3)

zadan izrazom f (a ; h) = f (a + h) f (a) = L1h1 + ...+ Lnhn + o(h) = d f (a)(h) + o(h), kada

|| h || 0 (|| h || je norma vektora h u Rn),

( ; )( ; )

( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

df a xf a x

f x f a L x x d x a

, 0

( )lim 0

|| ||h

o h

h .

Iz definicije pojma diferencijala funkcije f vie promjenljivih u taki aD( f ) slijedi da je diferencijabilna funkcija f u taki a i neprekidna u toj taki, jer iz jednakost (2.2.3) slijedi da je

lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( , ) 0x a x a

f x f a L x x d x a

limx a

f (x) = f (a) f neprekidna u taki a.

Vai sljedea teorema koju navodimo bez dokaza:

Teorema 2.2.1. Ako je funkcija (x) neprekidna u taki a : = (a1, ..., an) i (a) = 0, onda se proizvod (x) d (x, a), gdje je x : = (x1, ..., xn) moe predstaviti u obliku

(x) d (x, a)= 1

( )( )n

i i i

i

x x a

,

gdje su i(x) za i = 1,n neprekidne funkcije u taki a i jednake nuli u toj taki, tj.

limx a

i(x) = i(a) = 0.

Vai i obrnuto.

Posljedica 2.2.1. Ekvivalentna jednakost jednakosti (2.2.3) u definiciji pojma diferencijabilnosti

funkcije f u taki a je jednakost

f (x) f (a) = L(x) +1

( )( )n

i i i

i

x x a

. (2.2.4)

Teorema 2.2.2. (Potreban uslov diferencijabilnosti). Neka je funkcija f : D K (D Rn,

KR) diferencijabilna u taki AD. Tada u toj taki funkcija f ima konaan izvod po svakom od

svojih argumenata i njen totalni diferencijal u toj taki je dat sa

d f (A, X ) = 1

'( )( )i

n

x i i

i

f A x a

,

gdje je X = (x1, ..., xn) D, A = (a1, ..., an).

Dokaz: Bez umanjenja optosti, pretpostavimo da je funkcija f funkcija tri promjenljive x, y, z i da je diferencijabilna u taki A = (a, b, c). Tada iz jednakosti

f (x, y, z) f (a, b, c) = p1 (x a) + p2 ( y b) + p3 (z c) + (X ) d (X, A), (X = (x1, ..., xn)), ( p1, p2, p3 R)

33

za y = b i z = c dobijemo da je

f (x, b, c) f (a, b, c) = p1 (x a) + (x, b, c) 2 2 2( ) ( ) ( )x a b b c c ,

odakle je

f (x, b, c) f (a, b, c) = p1 (x a) + (x, b, c) | x a | = p1 (x a) + (x, b, c) (x a) sgn (x a), tj.

1

( , , ) ( , , )sgn( ) ( , , )

f x b c f a b cp x a x b c

x a

.

Prelaskom na graninu vrijednost kad x a dobijemo:

1 1

( , , ) ( , , )lim limsgn( ) ( , , )x a x a

f x b c f a b cp x a x b c p

x a

,

( lim sgn( )x a

x a

ne postoji, ali je sgn t ograniena funkcija; lim ( , , ) 0x a

x b c

).

Dakle, dobili smo da je

fx'(a, b,c) = p1.

Na isti nain se dokazuje da je fy'(a, b,c) = p2 i fz'(a, b,c) = p3.

Time je dokaz teoreme 2.2.2. zavren.

Napomenimo da za funkcije jedne promjenljive vrijedi potreban i dovoljan uslov

diferencijabilnosti koji glasi:

Da bi realna funkcija jedne realne promjenljive bila diferencijabilna u nekoj taki, potrebno je i dovoljno da ona ima konaan (prvi) izvod u toj taki. Meutim, ovakav analogon za funkciju dviju ili vie realnih promjenljivih ne vai.

Za realnu funkciju n realnih promjenljivih (nN\{1}) iz egzistencije konanih izvoda po svakom od argumenata funkcije f ne slijedi njena diferencijabilnost u toj taki, to i predstavlja jednu od

bitnih razlika diferencijalnog rauna realne funkcije n realnih promjenljivih u odnosu na diferencijalni raun realne funkcije jedne realne promjenljive. Dokazuje se da vrijedi sljedea teorema:

Teorema 2.2.3. (Dovoljan uslov diferencijabilnosti). Da bi funkcija f : D K (DRn, KR),

zadana formulom f (x) = f (x1, ..., xn) bila diferencijabilna u taki a = (a1, ..., an)D dovoljno je da

ona ima parcijane izvode u nekoj okolini U(a) take a, koji su neprekidne funkcije u taki a.

Primjer 2.2.1. Neka je zadana realna funkcija f dvije realne promjenljive formulom:

f (x, y) = 3 33 x y .

Ispitajmo da li je zadana funkcija f diferencijabilna u taki (1, 1).

Zadana funkcija f je definirana u taki (1, 1), ali i u proizvoljnoj okolini te take. Oito je

2 23 3 23

3 3 23

1( ) 3

3 ( )

f xx y x

x x y

, ((x, y)R2, x3 + y3 0),

a zbog simetrije imamo i da je 2

3 3 23 ( )

f y

y x y

((x, y)R2, x3 + y3 0).

Otuda je

3

(1,1) 1 (1,1)

4

f f

x y

.

Jedan od potrebnih uslova za diferencijabilnost u ovom sluaju je ispunjen jer funkcija f ima konane parcijalne izvode u taki (1,1).

Primijenit emo teoremu o dovoljnom uslovu za diferencijabilnost i ako je on ispunjen, onda je funkcija f diferencijabilna u taki (1,1). Kako je

34

2 2

1 23 3 2 3 3 23 3

( , ) ( , ): ( , ), : ( , ),

( ) ( )

f x y x f x y yx y x y

x yx y x y

funkcije 1, 2 su elementarne pa su neprekidne gdje su i definirane, odakle slijedi da su neprekidne i u taki A = (1,1). Prema tome, data funkcija f zadovoljava pretpostavke teoreme o dovoljnim uslovima za diferencijabilnost funkcije dviju ili vie realnih promjenljivih u taki (1,1), pa je zadana funkcija f

diferencijabilna u taki (1, 1).

Primjer 2.2.2. Neka je funkcija f = f (x, y) zadana formulom

2 2

2, ( , ) (0, 0),

0, ( , ) (0, 0).

( , )

xyx y

x y

x y

f x y

Ispitajmo diferencijabilnost zadane funkcije.

Rjeenje: Da bi funkcija f bila diferencijabilna u nekoj taki potrebno je da je ona u toj taki neprekidna i da ima konane parcijalne izvode po svakom od svojih argumenata. Ispitajmo da li data

funkcija f zadovoljava navedene uslove. Kako je oito

D ( f ) = R2, lim

x a

y b

f (x, y) = 2 2 2 2

2 2limx a

y b

xy ab

x y a b

= f (a, b) za sve (a, b)R2 \ {(0,0)},

to je zadana funkcija f neprekidna na D ( f )\{(0,0)} (neprekidnost funkcije f slijedi i iz injenice da je njena rastrikcija

g = f | R2 \ {(0,0)}, g (x, y) =

2 2

2xy

x y ( (x, y) (0, 0))

elementarna funkcija, pa je neprekidna gdje je i definirana, tj. neprekidna je za sve (x, y)R2 \ {(0,0)},

pa je i funkcija f neprekidna u tim takama. Ostaje da se ispita da li je zadana funkcija f neprekidna i u taki (0, 0). Funkcija f nije

elementarna, pa ne moemo rei da je neprekidna tamo gdje je i definirana. Kako je taka (0, 0) taka gomilanja (pripada domenu funkcije f ), a nije izolovana taka domena D( f ), to e funkcija f biti neprekidna i u taki (0, 0) ako vrijedi uslov

0

0

lim ( , ) (0,0) 0x

y

f x y f

.

Meutim, oito ( , ) (0,0)lim ( , )x y f x y ne postoji, jer je

2 2 20 0

2 2( , ) ( )

1lim limx x

y kx y kx

xy kf x y L k

x y k

.

Dakle, zadana funkcija f u taki (0,0) ima esencijalni prekid i ona nije diferencijabilna u toj taki jer

nije neprekidna u toj taki. No, primijetimo da je ispunjen drugi potreban uslov

0

(0, 0) (0 , 0) (0, 0) (0, 0)lim 0, 0,x

f f x f f

x x y

iako funkcija f nije diferencijabilna, pa ak ni neprekidna u taki (0,0). Takoe primijetimo da su parcijalni izvodi nuno prekidni u taki (0,0), jer bi u protivnom funkcija f bila diferencijabilna u taki (0,0). Postoje i parcijalni diferencijali funkcije f u taki (0,0), ali njihova suma nije totalni diferencijal funkcije f u taki (0,0).

Za funkciju dvije ili vie nezavisno promjenljivih kaemo da je neprekidno diferencijabilna na

skupu M akko ona ima parcijalne izvode koji su neprekidne funkcije na skupu M. Npr., z = f (x, y) = = (x

2 + y) e

xy je neprekidno diferencijabilna funkcija u svakoj taki T = (x, y)R2, jer su njeni parcijalni izvodi fx'(x, y) =

(x2y + y

2 + 2x) e

xy, fy' = (x

3 + xy + 1) e

xy neprekidne funkcije u proizvoljnoj taki (x, y)D( f ).

Neka je z = f (x, y) diferencijabilna funkcija u T0 = (x0, y0). Tada, prema teoremi o potrebnom

uslovu diferencijabilnosti, glavni dio

35

fx'(T0)x + fy'(T0)y

njenog totalnog prirataja z(T0) = f (T0) = fx'(T0)x + fy'(T0)y + x + y predstavlja totalni diferencijal df (T0) funkcije z = f (x, y) u taki T0 . Dakle,

df (T0) = fx'(T0)x + fy'(T0)y.

Prirataje x i y nezavisno promjenljive x i y esto oznaavamo (redom) sa dx, dy i nazivamo diferencijalima nezavisno promjenljivih. Otuda, imamo

df (T0) : = fx'(T0) dx + fy'(T0) dy.

Veliine fx'(T0) dx, fy'(T0) dy nazivamo parcijalnim diferencijalima (redom, po x, odnosno po y) funkcije z = f (x, y) u T0 i redom ih oznaavamo sa

dx f (T0), dy f (T0) (odnosno: dx z (T0), dy z (T0)).

Ako umjesto take T0 = (x0, y0) uzmemo proizvoljnu taku T = (x, y)D ( f ), onda tu taku

dogovorno ne piemo (iz praktinih razloga). Tada imamo: df = fx' dx + fy' dy, odnosno dz = zx' dx + zy' dy, odnosno dz = dx z + dy z.

Gornja definicija parcijalnih diferencijala funckije z = f (x, y) se lako uoptava na sluaj funkcije

od n (n 3) nezavisnih promjenljivih.

Zadaci za ponavljanje i utvrivanje gradiva:

Zadatak 2.2.1 * . Odrediti (ili ustanoviti da ne postoji) graninu vrijednost

2 2

00

1lim ( ) cos .xy

x yxy

[I. 1. II. 0. III. . IV. Ne postoji.]

Zadatak 2.2.2 * . Nai graninu vrijednost 00

2 21 cos ( )

lim .2 2 2 2

( )xy

x y

x y x y

[ I. 0. II. 1. III. + . IV. 2.]

Zadatak 2.2.3 * . Odrediti (ili ustanoviti da ne postoji) graninu vrijednost 00

1sin

lim .xy

x yx

x y

[ I. 1. II. 0 . III. . IV. Ne postoji. ]

Zadatak 2.2.4 * . Neka je zadana realna funkcija f od dvije realne promjenljive formulom:

f (x, y) = 3 3 ( 0)m x y m .

a) Odrediti prirodni domen Dom( f ) i ispitati neprekidnost zadane funkcije f .

b) Izraunati parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije f . c) Ispitati diferencijabilnost zadane funkcije f.

Zadatak 2.2.5*. Izraunati 2 2 2

22 2

( , , ) ( , 0, 0)lim ( )x y z

x y zx y z

za svaki R .

Zadatak 2.2.6. Dokazati i pooptiti (Rolleovu teoremu za funkcije vie promjenljivih): ako je

realna funkcija f od n realnih promjenljivih neprekidna na zatvorenoj kugli K [0, r] (Rn), jednaka

nuli na granici te kugle i diferencijabilna u njenoj unutranjosti K (0, r), onda postoji taka x K(0, r) koja je stacionarna za funkciju f.

__________________________ * Zadatak sa ispita i/ili je bio zadan za domau zadau (DZ) iz IM2 (u prethodnim akademskim godinama).